Зөв гурвалжин - энэ бол нэг өнцөг нь шулуун, өөрөөр хэлбэл 90 градустай тэнцүү гурвалжин юм.

• Зөв өнцгийн эсрэг талын талыг гипотенуз гэж нэрлэдэг (зураг дээр вэсвэл AB)
• Зөв өнцөгтэй зэргэлдээх талыг хөл гэж нэрлэдэг. Тэгш өнцөгт гурвалжин бүр хоёр хөлтэй (зураг дээр тэдгээрийг дараах байдлаар тэмдэглэв аба b эсвэл AC ба BC)

Тэгш өнцөгт гурвалжны томьёо ба шинж чанарууд

(дээрх зургийг харна уу)

а, б- тэгш өнцөгт гурвалжны хөл

в- гипотенуз

α, β - гурвалжны хурц өнцөг

С- дөрвөлжин

h- өндөр нь дээрээс унасан зөв өнцөггипотенуз руу

м а аэсрэг булангаас ( α )

м б- хажуу тийш зурсан медиан бэсрэг булангаас ( β )

м в- хажуу тийш зурсан медиан вэсрэг булангаас ( γ )

IN зөв гурвалжин аль нэг хөл нь гипотенузаас бага байна(Формула 1 ба 2). Энэ өмчнь Пифагорын теоремын үр дагавар юм.

Аливаа хурц өнцгийн косинуснэгээс бага (Формула 3 ба 4). Энэ өмч нь өмнөхөөсөө дагалддаг. Аль нэг хөл нь гипотенузаас бага байдаг тул хөл ба гипотенузын харьцаа үргэлж нэгээс бага байдаг.

Гипотенузын квадрат нийлбэртэй тэнцүү байнахөлийн квадратууд (Пифагорын теорем). (Формула 5). Энэ өмчийг асуудлыг шийдвэрлэхэд байнга ашигладаг.

Тэгш өнцөгт гурвалжны талбайхөлний бүтээгдэхүүний хагастай тэнцүү (Формула 6)

Квадрат медиануудын нийлбэрхөл нь гипотенузын дундажийн таван квадрат ба гипотенузын таван квадратыг дөрөвт хуваасантай тэнцүү байна (Формула 7). Дээрхээс гадна байдаг Өөр 5 томъёо, тиймээс та медианы шинж чанарыг илүү дэлгэрэнгүй тайлбарласан "Тэгш өнцөгт гурвалжны медиан" хичээлийг уншихыг зөвлөж байна.

ӨндөрТэгш өнцөгт гурвалжны хөлийг гипотенузаар хуваасан үржвэртэй тэнцүү байна (Формула 8)

Хөлний квадратууд нь гипотенуз руу буулгасан өндрийн квадраттай урвуу пропорциональ байна (Формула 9). Энэхүү ижил төстэй байдал нь Пифагорын теоремын үр дагаврын нэг юм.

Гипотенузын уртхүрээлэгдсэн тойргийн диаметртэй (хоёр радиус) тэнцүү (Формула 10). Тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз нь тойргийн диаметр юм. Энэ өмчийг ихэвчлэн асуудлыг шийдвэрлэхэд ашигладаг.

Бичсэн радиусВ зөв гурвалжин тойрогЭнэ гурвалжны хөлүүдийн нийлбэрийг гипотенузын уртыг хассан илэрхийлэлийн хагасыг олж болно. Эсвэл хөлний үржвэрийг бүх талын нийлбэрт хуваасан (периметр) өгөгдсөн гурвалжин. (Формула 11)
Өнцгийн синус эсрэг талын харьцаа энэ өнцөг хөл нь гипотенуз хүртэл(синусын тодорхойлолтоор). (Формула 12). Энэ өмчийг асуудлыг шийдвэрлэхэд ашигладаг. Хажуугийн хэмжээг мэдсэнээр тэдгээрийн үүсэх өнцгийг олох боломжтой.

Тэгш өнцөгт гурвалжны А (α, альфа) өнцгийн косинус нь тэнцүү байна хандлага зэргэлдэээнэ өнцөг хөл нь гипотенуз хүртэл(синусын тодорхойлолтоор). (Формула 13)

Дунд түвшний

Зөв гурвалжин. Бүрэн зурагтай гарын авлага (2019)

Тэгш өнцөгт гурвалжин. ЭЛСЭЛТИЙН ТҮВШИН.

Асуудлын хувьд зөв өнцөг нь огт шаардлагагүй байдаг - зүүн доод хэсэг, тиймээс та энэ хэлбэрээр тэгш өнцөгт гурвалжинг таньж сурах хэрэгтэй.

мөн үүнд

мөн үүнд

Тэгш өнцөгт гурвалжин юугаараа сайн бэ? За ... юуны түрүүнд онцгой байдаг сайхан нэрстүүний талуудын хувьд.

Зураг дээр анхаарлаа хандуулаарай!

Санаж, бүү андуураарай: хоёр хөлтэй, зөвхөн нэг гипотенуз байдаг(нэг бөгөөд цорын ганц, өвөрмөц, хамгийн урт)!

За, бид нэрсийн талаар ярилцлаа, одоо хамгийн чухал зүйл бол Пифагорын теорем.

Пифагорын теорем.

Энэ теорем нь тэгш өнцөгт гурвалжинтай холбоотой олон асуудлыг шийдвэрлэх түлхүүр юм. Пифагор үүнийг бүрэн нотолсон эрт дээр үеэс, тэр цагаас хойш тэр түүнийг мэддэг хүмүүст маш их ашиг тусыг авчирсан. Мөн хамгийн сайн зүйл бол энэ нь энгийн зүйл юм.

Тэгэхээр, Пифагорын теорем:

"Пифагорын өмд бүх талаараа тэгш байна!" гэсэн онигоог санаж байна уу?

Эдгээрийг адилхан зурцгаая Пифагор өмдтэгээд тэднийг харцгаая.

Энэ нь ямар нэгэн шорт шиг харагдахгүй байна уу? За, аль талдаа, хаана тэнцүү вэ? Энэ онигоо яагаад, хаанаас гарсан бэ? Мөн энэ хошигнол нь Пифагорын теоремтой, эсвэл Пифагор өөрөө теоремоо томъёолсонтой яг холбоотой юм. Тэгээд тэр үүнийг дараах байдлаар томъёолжээ.

"Сум квадрат талбайнууд, хөл дээр баригдсан, тэнцүү байна дөрвөлжин талбай, гипотенуз дээр баригдсан."

Энэ нь арай өөр сонсогдохгүй байна уу? Тиймээс Пифагор теоремийнхээ мэдэгдлийг зурахад яг ийм зураг гарч ирэв.

Энэ зураг дээр жижиг квадратуудын талбайн нийлбэр нь том талбайн талбайтай тэнцүү байна. Хүүхдүүд хөлний квадратуудын нийлбэр нь гипотенузын квадраттай тэнцүү гэдгийг илүү сайн санаж байхын тулд хэн нэгэн ухаантай Пифагор өмдний тухай онигоо гаргаж ирэв.

Яагаад одоо бид Пифагорын теоремыг томъёолж байна вэ?

Пифагор зовж, дөрвөлжингийн тухай ярьсан уу?

Эрт дээр үед ... алгебр байгаагүй гэдгийг та харж байна! Ямар ч шинж тэмдэг байхгүй гэх мэт. Ямар ч бичээс байсангүй. Эртний хөөрхий оюутнууд бүх зүйлийг үгээр санах нь ямар аймшигтай байсныг та төсөөлж байна уу??! Мөн бид байгаадаа баяртай байж болно энгийн үг хэллэгПифагорын теорем. Үүнийг илүү сайн санахын тулд дахин давтъя:

Энэ нь одоо хялбар байх ёстой:

За, энд байна гол теоремтэгш өнцөгт гурвалжны талаар ярилцав. Хэрэв та үүнийг хэрхэн баталж байгааг сонирхож байгаа бол дараах түвшний онолыг уншаарай, тэгээд цаашаа... харанхуй ой... тригонометр! Синус, косинус, тангенс, котангенс гэсэн аймшигтай үгсэд.

Тэгш өнцөгт гурвалжин дахь синус, косинус, тангенс, котангенс.

Үнэндээ бүх зүйл тийм ч аймшигтай биш юм. Мэдээжийн хэрэг, синус, косинус, тангенс, котангенсийн "жинхэнэ" тодорхойлолтыг нийтлэлд авч үзэх хэрэгтэй. Гэхдээ би үнэхээр хүсэхгүй байна, тийм үү? Бид баярлаж чадна: тэгш өнцөгт гурвалжны асуудлыг шийдэхийн тулд та дараах энгийн зүйлийг бөглөж болно.

Яагаад бүх зүйл зүгээр л буланд байдаг юм бэ? Булан хаана байна? Үүнийг ойлгохын тулд 1 - 4-р мэдэгдлүүдийг үгээр хэрхэн бичсэнийг мэдэх хэрэгтэй. Харж, ойлгож, санаж яваарай!

1.
Үнэндээ энэ нь иймэрхүү сонсогдож байна:

Өнцгийн талаар юу хэлэх вэ? Булангийн эсрэг талын хөл, өөрөөр хэлбэл эсрэг талын (өнцгийн хувьд) хөл байна уу? Мэдээжийн хэрэг байгаа! Энэ бол хөл!

Өнцгийн талаар юу хэлэх вэ? Анхааралтай хар. Аль хөл нь булангийн хажууд байдаг вэ? Мэдээжийн хэрэг, хөл. Энэ нь өнцгийн хувьд хөл нь зэргэлдээ байна гэсэн үг юм

Одоо анхаарлаа хандуулаарай! Бидэнд юу байгааг хараарай:

Энэ нь ямар сайхан болохыг хараарай:

Одоо шүргэгч ба котангенс руу шилжье.

Би үүнийг одоо яаж үгээр бичих вэ? Хөл нь өнцөгтэй ямар холбоотой вэ? Мэдээжийн хэрэг эсрэгээрээ - булангийн эсрэг талд "худлаа". Хөл нь яах вэ? Булангийн хажууд. Тэгэхээр бидэнд юу байгаа вэ?

Тоолуур ба хуваагч хэрхэн байраа сольсныг хараарай?

Тэгээд одоо булангуудыг дахин хийж, солилцоо хийсэн:

Үргэлжлэл

Сурсан бүхнээ товчхон бичье.

Пифагорын теорем:

Тэгш өнцөгт гурвалжны тухай гол теорем бол Пифагорын теорем юм.

Пифагорын теорем

Дашрамд хэлэхэд, та хөл, гипотенуз гэж юу болохыг сайн санаж байна уу? Хэрэв тийм ч сайн биш бол зургийг хараарай - мэдлэгээ сэргээ

Та аль хэдийн Пифагорын теоремыг олон удаа ашигласан байх магадлалтай, гэхдээ яагаад ийм теорем үнэн болохыг та бодож байсан уу? Би яаж үүнийг батлах вэ? Эртний Грекчүүд шиг хийцгээе. Хажуу талтай дөрвөлжин зуръя.

Хажуу талыг нь уртаар нь хэр ухаалгаар хуваасаныг хараарай!

Одоо тэмдэглэсэн цэгүүдийг холбоно

Энд бид өөр нэг зүйлийг тэмдэглэсэн боловч та өөрөө зургийг хараад яагаад ийм байгааг бодож байна.

Том талбайн талбай хэд вэ?

Зөв,.

Жижиг талбайг яах вэ?

Мэдээж, .

Дөрвөн булангийн нийт талбай хэвээр байна. Бид тэднийг нэг нэгээр нь авч, гипотенузаар нь бие биендээ наасан гэж төсөөлөөд үз дээ.

Юу болсон бэ? Хоёр тэгш өнцөгт. Энэ нь "тайрах" талбай тэнцүү байна гэсэн үг юм.

Одоо бүгдийг нь нэгтгэе.

Хөрвүүлье:

Тиймээс бид Пифагорт зочилсон - бид түүний теоремыг эртний аргаар нотолсон.

Тэгш өнцөгт гурвалжин ба тригонометр

Тэгш өнцөгт гурвалжны хувьд дараах харилцааг хангана.

Хурц өнцгийн синус харьцаатай тэнцүү байнагипотенузын эсрэг тал

Хурц өнцгийн косинус нь харьцаатай тэнцүү байна зэргэлдээх хөлгипотенуз руу.

Цочмог өнцгийн тангенс нь эсрэг талынх нь зэргэлдээ талын харьцаатай тэнцүү байна.

Хурц өнцгийн котангенс нь зэргэлдээ талын эсрэг талын харьцаатай тэнцүү байна.

Дахин нэг удаа энэ бүгдийг таблет хэлбэрээр:

Энэ нь маш тохиромжтой!

Тэгш өнцөгт гурвалжны тэгш байдлын шинж тэмдэг

I. Хоёр талдаа

II. Хөл ба гипотенузаар

III. Гипотенуз ба хурц өнцгөөр

IV. Хөл ба хурц өнцгийн дагуу

а)

б)

Анхаар! Энд хөл нь "тохиромжтой" байх нь маш чухал юм. Жишээлбэл, хэрэв энэ нь иймэрхүү байвал:

ТЭГВЭЛ ГУРВАЛЖИНУУД ТЭНЦҮҮ БИШ, тэдгээр нь нэг ижил хурц өнцөгтэй байсан ч.

Энэ нь зайлшгүй шаардлагатай гурвалжингийн аль алинд нь хөл нь зэргэлдээ, эсвэл хоёуланд нь эсрэг талд байсан.

Тэгш өнцөгт гурвалжны тэгш байдлын тэмдгүүд нь гурвалжны тэгш байдлын ердийн тэмдгүүдээс хэрхэн ялгаатай болохыг та анзаарсан уу?

"Энгийн" гурвалжнуудын тэгш байдлыг хангахын тулд тэдгээрийн гурван элемент нь тэнцүү байх ёстой гэдгийг анхаарч үзээрэй: хоёр тал ба тэдгээрийн хоорондох өнцөг, хоёр өнцөг ба тэдгээрийн хоорондох тал эсвэл гурван тал.

Гэхдээ тэгш өнцөгт гурвалжны тэгш байдлын хувьд зөвхөн хоёр харгалзах элемент хангалттай. Гайхалтай, тийм үү?

Нөхцөл байдал тэгш өнцөгт гурвалжны ижил төстэй шинж тэмдгүүдийн хувьд ойролцоогоор ижил байна.

Тэгш өнцөгт гурвалжны ижил төстэй байдлын шинж тэмдэг

I. Хурц өнцгийн дагуу

II. Хоёр талдаа

III. Хөл ба гипотенузаар

Тэгш өнцөгт гурвалжин дахь медиан

Яагаад ийм байна вэ?

Тэгш өнцөгт гурвалжны оронд бүхэл бүтэн тэгш өнцөгтийг авч үзье.

Диагональ зурж, цэгийг авч үзье - диагональуудын огтлолцлын цэг. Тэгш өнцөгтийн диагональуудын талаар юу мэддэг вэ?

Тэгээд үүнээс юу гарах вэ?

Тэгэхээр ийм болсон

1. - дундаж:

Энэ баримтыг санаарай! Маш их тусалдаг!

Хамгийн гайхалтай нь бас эсрэгээрээ байгаа явдал юм.

Гипотенуз руу татсан медиан нь гипотенузын хагастай тэнцүү байх нь ямар сайн зүйл болох вэ? Зургийг харцгаая

Анхааралтай хар. Бидэнд: , өөрөөр хэлбэл гурвалжны цэгээс бүх гурван орой хүртэлх зай тэнцүү болсон. Гэхдээ гурвалжинд гурвалжны гурван орой хүртэлх зай нь тэнцүү ганцхан цэг байдаг бөгөөд энэ нь ТОГЛОГЫН ТӨВ юм. Тэгээд юу болсон бэ?

За ингээд "үүнээс гадна..."-ээс эхэлцгээе.

болон харцгаая.

Гэхдээ ижил төстэй гурвалжинбүх өнцөг тэнцүү байна!

болон тухай мөн адил хэлж болно

Одоо хамтдаа зурцгаая:

Энэхүү "гурвалсан" ижил төстэй байдлаас ямар ашиг тус авч болох вэ?

За, жишээ нь - тэгш өнцөгт гурвалжны өндрийн хоёр томьёо.

Холбогдох талуудын харилцааг бичье.

Өндөрийг олохын тулд бид пропорцийг шийдэж, авна Эхний томъёо "Тэгш өнцөгт гурвалжин дахь өндөр":

Тиймээс ижил төстэй байдлыг хэрэгжүүлье: .

Одоо юу болох вэ?

Дахин бид пропорцийг шийдэж, хоёр дахь томьёог авна.

Та эдгээр хоёр томъёог маш сайн санаж, илүү тохиромжтойг нь ашиглах хэрэгтэй.

Тэднийг дахин бичье

Пифагорын теорем:

Тэгш өнцөгт гурвалжинд гипотенузын квадрат нь хөлийн квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна: .

Тэгш өнцөгт гурвалжны тэгш байдлын шинж тэмдэг:

• хоёр талдаа:
• хөл ба гипотенузаар: эсвэл
• хөл болон зэргэлдээ хурц өнцөг дагуу: эсвэл
• хөлний дагуу болон эсрэг талын хурц өнцөг: эсвэл
• гипотенуз ба хурц өнцгөөр: эсвэл.

Тэгш өнцөгт гурвалжны ижил төстэй байдлын шинж тэмдэг:

• нэг хурц өнцөг: эсвэл
• хоёр хөлийн пропорциональ байдлаас:
• хөл ба гипотенузын пропорциональ байдлаас: эсвэл.

Тэгш өнцөгт гурвалжин дахь синус, косинус, тангенс, котангенс

• Тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгийн синус нь эсрэг талын гипотенузтай харьцуулсан харьцаа юм.
• Тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгийн косинус нь зэргэлдээх хөлийг гипотенузтай харьцуулсан харьцаа юм.
• Тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгийн тангенс нь эсрэг талын хажуугийн хажуугийн харьцаа юм.
• Тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгийн котангенс нь зэргэлдээ талын эсрэг талын харьцаа юм: .

Тэгш өнцөгт гурвалжны өндөр: эсвэл.

Тэгш өнцөгт гурвалжинд зөв өнцгийн оройноос татсан медиан нь гипотенузын хагастай тэнцүү байна: .

Тэгш өнцөгт гурвалжны талбай:

• хөлөөрөө:
• хөлөөр дамжин ба хурц өнцөг: .

За ингээд сэдэв дууслаа. Хэрэв та эдгээр мөрүүдийг уншиж байгаа бол энэ нь таныг маш дажгүй гэсэн үг юм.

Учир нь хүмүүсийн ердөө 5% нь өөрөө ямар нэг зүйлийг эзэмших чадвартай байдаг. Хэрэв та дуустал уншсан бол та энэ 5% -д байна!

Одоо хамгийн чухал зүйл.

Та энэ сэдвээр онолыг ойлгосон. Би давтан хэлье, энэ бол зүгээр л супер! Та үе тэнгийнхнийхээ дийлэнх олонхоос аль хэдийн илүү болсон.

Асуудал нь энэ нь хангалтгүй байж магадгүй юм ...

Юуны төлөө?

Учир нь амжилттай дуусгахУлсын нэгдсэн шалгалт, коллежид төсвөөр элсэх, ХАМГИЙН ЧУХАЛ насан туршдаа элсэх.

Би чамайг юунд ч итгүүлэхгүй, би нэг л зүйлийг хэлье...

Хүлээн авсан хүмүүс сайн боловсрол, хүлээн аваагүй хүмүүсээс хамаагүй их орлого олдог. Энэ бол статистик.

Гэхдээ энэ нь гол зүйл биш юм.

Хамгийн гол нь тэд ИЛҮҮ АЗ ЖАРГАЛТАЙ байдаг (ийм судалгаанууд байдаг). Магадгүй тэдний өмнө илүү их нээлттэй байгаа болохоор тэр байх илүү их боломжуудтэгээд амьдрал илүү гэрэл гэгээтэй болох уу? Мэдэхгүй...

Гэхдээ өөрийнхөөрөө бод...

Улсын нэгдсэн шалгалтанд бусдаас илүү байж, эцэст нь... аз жаргалтай байхын тулд юу хэрэгтэй вэ?

ЭНЭ СЭДВИЙН АСУУДЛЫГ ШИЙДВЭРЭЭР ГАРАА АВНА.

Шалгалтын үеэр танаас онол асуухгүй.

Танд хэрэгтэй болно цаг хугацааны эсрэг асуудлыг шийдвэрлэх.

Хэрэв та тэдгээрийг шийдэж амжаагүй бол (МАШ ИХ!) Та хаа нэгтээ тэнэг алдаа гаргах нь гарцаагүй, эсвэл зүгээр л цаг зав гарахгүй.

Энэ нь спорттой адил юм - баттай ялахын тулд та үүнийг олон удаа давтах хэрэгтэй.

Хүссэн газраасаа цуглуулгаа олоорой зайлшгүй шийдэл бүхий, нарийвчилсан шинжилгээ мөн шийд, шийд, шийд!

Та бидний даалгавруудыг (заавал биш) ашиглаж болно, бид мэдээж санал болгож байна.

Бидний даалгавруудыг илүү сайн ашиглахын тулд та одоо уншиж байгаа YouClever сурах бичгийн ашиглалтын хугацааг уртасгахад туслах хэрэгтэй.

Яаж? Хоёр сонголт байна:

1. Энэ нийтлэл дэх бүх далд ажлуудын түгжээг тайлах - 299 рубль.
2. Сурах бичгийн бүх 99 өгүүлэлд байгаа бүх далд даалгавруудыг нээх 499 рубль.

Тийм ээ, бидний сурах бичигт ийм 99 өгүүлэл байгаа бөгөөд бүх даалгавар, тэдгээрт байгаа бүх далд текстийг шууд нээх боломжтой.

Бүх далд даалгаврууд руу нэвтрэх эрхийг сайтын ашиглалтын хугацаанд олгодог.

Тэгээд эцэст нь ...

Хэрэв танд бидний даалгавар таалагдахгүй бол бусдыг хайж олоорой. Зөвхөн онол дээр бүү зогс.

“Ойлголоо”, “Би шийдэж чадна” гэдэг бол огт өөр чадвар юм. Танд хоёулаа хэрэгтэй.

Асуудлыг хайж олоод шийдээрэй!

Гурвалжин - Энэ бол хамгийн алдартай геометрийн дүрсүүдийн нэг юм. Үүнийг хаа сайгүй ашигладаг - зөвхөн зураг зурахаас гадна дотоод засал чимэглэл, янз бүрийн загвар, барилгын эд ангиудыг ашигладаг. Энэ зургийн хэд хэдэн төрөл байдаг - тэгш өнцөгт нь тэдгээрийн нэг юм. Түүний өвөрмөц онцлогтэнцүү тэгш өнцөг байх явдал юм 90°. Гурван өндрийн хоёрыг олохын тулд хөлийг хэмжихэд хангалттай. Гурав дахь нь баруун өнцгийн орой ба гипотенузын дундын хоорондох утга юм. Геометрийн хувьд ихэвчлэн тэгш өнцөгт гурвалжны өндрийг хэрхэн олох вэ гэдэг асуулт гарч ирдэг. Энэ энгийн асуудлыг шийдье.

Шаардлагатай:

- захирагч;
- геометрийн тухай ном;
- тэгш өнцөгт гурвалжин.

Заавар:

• Тэгш өнцөгтэй гурвалжин зур ABC, өнцөг хаана байна ABCтэнцүү байна 90 ° , өөрөөр хэлбэл энэ нь шууд юм. Өндөрийг доошлуул Хбаруун өнцгөөс гипотенуз хүртэл - сегмент AS. Сегментүүд хүрэх газрыг цэгээр тэмдэглээрэй. Д.
• Та одоо өөр гурвалжинтай байх ёстой - А.Д.Б.. Энэ нь одоо байгаатай төстэй гэдгийг анхаарна уу ABC, өнцөгөөс хойш ABSТэгээд АХБ = 90°, дараа нь тэдгээр нь хоорондоо тэнцүү бөгөөд өнцөг МУУгеометрийн дүрст хоёуланд нь нийтлэг байдаг. Тэдгээрийг харьцуулж үзвэл талууд гэж дүгнэж болно AD/AB = BD/BS = AB/AS. Үүний үр дүнд үүссэн харилцаанаас дүгнэж болно АДтэнцүү байна AB²/AS.
• Үүссэн гурвалжингаас хойш А.Д.Б.зөв өнцөгтэй тул түүний талууд ба гипотенузыг хэмжихдээ Пифагорын теоремыг ашиглаж болно. Энэ нь дараах байдалтай байна. AB² = AD² + BD². Үүнийг шийдэхийн тулд үүссэн тэгш байдлыг ашиглана уу МЭ. Та дараахь зүйлийг авах ёстой. BD² = AB² - (AB²/AC)². Гурвалжинг хэмжиж байгаа тул ABSтэгвэл тэгш өнцөгт хэлбэртэй байна BS²тэнцүү байна AS² — AB². Тиймээс тал BD²тэнцүү байна AB²BC²/AC², үндсийг нь олборлоход энэ нь тэнцүү байх болно BD = AB*BS/AS.
• Үүний нэгэн адил шийдлийг өөр гурвалжинг ашиглан гаргаж болно.
  BDS. IN энэ тохиолдолд, энэ нь мөн анхныхтай төстэй ABC, хоёр өнцгийн ачаар - ABSТэгээд BDS = 90°, болон өнцөг DSBнийтлэг байдаг. Цаашилбал, өмнөх жишээний нэгэн адил пропорцийг талуудын харьцаагаар харуулав BD/AB = DS/BS = BS/AS. Тиймээс үнэ цэнэ Д.С.тэгш эрхээр дамжин үүсдэг BS²/AS. Учир нь, AB² = AD*AS , Тэр BS² = DS*AS. Эндээс бид ингэж дүгнэж байна BD² = (AB*BS/AS)²эсвэл AD*AS*DS*AS/AS², энэ нь тэнцүү байна AD*DS. Энэ тохиолдолд өндрийг олохын тулд бүтээгдэхүүнээс үндсийг нь арилгахад хангалттай Д.С.Тэгээд МЭ.

Аль сургуулийн сургалтын хөтөлбөрт геометр гэх мэт хичээл орсон байх нь хамаагүй. Бидний хүн нэг бүр оюутан байхдаа сурч байсан энэ сахилга батмөн тодорхой асуудлуудыг шийдсэн. Гэхдээ олон хүний ​​хувьд сургуулийн жилүүдхоцорч, олж авсан мэдлэгийн нэг хэсэг нь ой санамжаас арчигджээ.

Хэрэв та гэнэт тодорхой асуултын хариуг олох шаардлагатай бол яах вэ сургуулийн сурах бичигжишээлбэл, тэгш өнцөгт гурвалжны өндрийг хэрхэн олох вэ? Энэ тохиолдолд орчин үеийн дэвшилтэт компьютер хэрэглэгч эхлээд интернетийг нээж, түүний сонирхсон мэдээллийг олох болно.

Гурвалжингийн талаархи үндсэн мэдээлэл

Энэ геометрийн дүрсхоорондоо холбогдсон 3 сегментээс бүрдэнэ төгсгөлийн цэгүүд, мөн эдгээр цэгүүдийн холбоо барих газрууд нь нэг шулуун шугам дээр байдаггүй. Гурвалжны хэсгүүдийг талууд гэж нэрлэдэг. Хажуугийн уулзварууд нь зургийн дээд хэсэг, түүнчлэн түүний булангуудыг бүрдүүлдэг.

Өнцөгөөс хамааран гурвалжны төрлүүд

Энэ зураг нь хурц, мохоо, шулуун гэсэн 3 төрлийн өнцөгтэй байж болно. Үүнээс хамааран гурвалжингийн дунд дараахь сортуудыг ялгадаг.

Талуудын уртаас хамааран гурвалжны төрлүүд

Өмнө дурьдсанчлан энэ зураг 3 сегментээс харагдаж байна. Хэмжээнээс хамааран гурвалжны дараах төрлийг ялгадаг.

Тэгш өнцөгт гурвалжны өндрийг хэрхэн олох вэ

Хүргэх цэг дээр тэгш өнцөг үүсгэдэг тэгш өнцөгт гурвалжны ижил төстэй хоёр талыг хөл гэж нэрлэдэг. Тэдгээрийг холбосон сегментийг "гипотенуз" гэж нэрлэдэг. Өгөгдсөн геометрийн дүрсийн өндрийг олохын тулд баруун өнцгийн дээд хэсгээс гипотенуз хүртэлх шугамыг буулгах хэрэгтэй. Энэ бүхний хамт энэ мөрөнцгийг 90-д хуваах ёстой юу? яг хагас. Ийм сегментийг биссектрис гэж нэрлэдэг.

Дээрх зураг нь тэгш өнцөгт гурвалжинг харуулж байгаа бөгөөд түүний өндрийг бид тооцоолох хэрэгтэй болно. Үүнийг хэд хэдэн аргаар хийж болно:

Хэрэв та гурвалжны эргэн тойронд тойрог зурж, радиусыг зурвал түүний утга нь гипотенузын хагастай тэнцүү байх болно. Үүний үндсэн дээр тэгш өнцөгт гурвалжны өндрийг дараах томъёогоор тооцоолж болно.

Юуны өмнө гурвалжин гэдэг нь нэг шулуун дээр оршдоггүй, гурван сегментээр холбогдсон гурван цэгээс үүссэн геометрийн дүрс юм. Гурвалжны өндрийг олохын тулд эхлээд түүний төрлийг тодорхойлох хэрэгтэй. Гурвалжингууд нь өнцгийн хэмжээ, тоогоор ялгаатай байдаг тэнцүү өнцөг. Өнцгийн хэмжээнээс хамааран гурвалжин нь хурц, мохоо, тэгш өнцөгт хэлбэртэй байж болно. Тэнцүү талуудын тоонд үндэслэн гурвалжныг тэгш өнцөгт, тэгш өнцөгт, масштаб гэж ялгадаг. Өндөр нь доошилсон перпендикуляр юм эсрэг талтүүний оройноос гурвалжин. Гурвалжны өндрийг хэрхэн олох вэ?

Хоёр талт гурвалжны өндрийг хэрхэн олох вэ

Учир нь тэгш өнцөгт гурвалжинОнцлог шинж чанар нь түүний суурийн талууд ба өнцгийн тэгш байдал тул хажуу талууд руу татсан тэгш өнцөгт гурвалжны өндөр нь үргэлж бие биетэйгээ тэнцүү байдаг. Мөн энэ гурвалжны өндөр нь медиан ба биссектриса юм. Үүний дагуу өндөр нь суурийг хагасаар хуваана. Бид үүссэн тэгш өнцөгт гурвалжинг авч үзээд Пифагорын теоремыг ашиглан ижил өнцөгт гурвалжны талыг, өөрөөр хэлбэл өндрийг олно. Дараах томьёог ашиглан өндрийг тооцоолно: H = 1/2*√4*a 2 − b 2, энд: a - талөгөгдсөн тэгш өнцөгт гурвалжны, b нь өгөгдсөн тэгш өнцөгт гурвалжны суурь.

Тэгш талт гурвалжны өндрийг хэрхэн олох вэ

-тай гурвалжин тэнцүү талуудтэгш талт гэж нэрлэдэг. Ийм гурвалжны өндрийг ижил өнцөгт гурвалжны өндрийн томъёоноос гаргаж авдаг. Эндээс харахад: H = √3/2*a, энд a нь энэ тэгш талт гурвалжны тал юм.

Скален гурвалжны өндрийг хэрхэн олох вэ

Аль ч хоёр тал нь хоорондоо тэнцүү биш гурвалжинг масштаб гэнэ. Ийм гурвалжинд гурван өндөр нь өөр өөр байх болно. Та өндрийн уртыг дараах томъёогоор тооцоолж болно: H = sin60*a = a*(sgrt3)/2, энд a нь гурвалжны тал юм эсвэл эхлээд тодорхой гурвалжны талбайг Хероны томъёогоор тооцоолж болно. дараах байдлаар харагдана: S = (p*(p-c)* (p-b)*(p-a))^1/2, энд a, b, c талууд байна масштабтай гурвалжин, ба p нь түүний хагас периметр юм. Өндөр тус бүр = 2 * талбай/тал

Тэгш өнцөгт гурвалжны өндрийг хэрхэн олох вэ

Тэгш өнцөгт гурвалжин нэг өнцөгтэй. Нэг хөл рүү явах өндөр нь нэгэн зэрэг хоёр дахь хөл юм. Тиймээс, хөл дээр хэвтэж буй өндрийг олохын тулд өөрчлөгдсөн Пифагорын томъёог ашиглах хэрэгтэй: a = √ (c 2 - b 2), энд a, b нь хөл (a нь олох шаардлагатай хөл), c нь гипотенузын урт. Хоёр дахь өндрийг олохын тулд b-ийн оронд үүссэн a утгыг тавих хэрэгтэй. Гурвалжин дотор байрлах гурав дахь өндрийг олохын тулд ашиглана уу дараах томъёо: h = 2s/a, h - тэгш өнцөгт гурвалжны өндөр, s - түүний талбай, a - өндөр нь перпендикуляр байх талын урт.

Гурвалжны бүх өнцөг нь хурц байвал түүнийг хурц гэж нэрлэдэг. Энэ тохиолдолд бүх гурван өндрийг дотор нь байрлуулна хурц гурвалжин. Гурвалжинтай бол түүнийг мохоо гэж нэрлэдэг мохоо өнцөг. Хоёр өндөр мохоо гурвалжингурвалжны гадна байгаа ба талуудын үргэлжлэл дээр унадаг. Гурав дахь тал нь гурвалжин дотор байна. Өндөр нь ижил Пифагорын теоремыг ашиглан тодорхойлогддог.

Гурвалжны өндрийг тооцоолох ерөнхий томъёо

• Гурвалжны өндрийг талуудаар нь олох томьёо: H= 2/a √p*(p-c)*(p-b)*(p-b), h нь олох өндөр, a, b, c нь талууд. өгөгдсөн гурвалжин, p нь түүний хагас периметр, .
• Өнцөг ба талыг ашиглан гурвалжны өндрийг олох томъёо: H=b sin y = c sin ß
• Талбай ба хажуугаар гурвалжны өндрийг олох томьёо: h = 2S/a, энд a нь гурвалжны тал, h нь а тал руу босгосон өндөр юм.
• Радиус ба талуудыг ашиглан гурвалжны өндрийг олох томъёо: H= bc/2R.