The онлайн тооцоолуурдифференциал тэгшитгэлийг онлайнаар шийдвэрлэх боломжийг танд олгоно. Тохирох талбарт тэгшитгэлээ оруулж, функцийн деривативыг апострофоор тэмдэглээд "тэгшитгэлийг шийдвэрлэх" товчийг дарахад хангалттай бөгөөд алдартай WolframAlpha вэбсайт дээр суурилсан систем нь дэлгэрэнгүй мэдээлэл өгөх болно дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхтуйлын үнэ төлбөргүй. Та мөн Кошигийн асуудлыг бүх багцаас тодорхойлж болно боломжит шийдлүүдөгөгдсөн эхний нөхцөлд тохирох хэсгийг сонгоно. Кошигийн асуудлыг тусдаа талбарт оруулсан болно.

Дифференциал тэгшитгэл

Анхдагчаар тэгшитгэл дэх функц yхувьсагчийн функц юм x. Гэсэн хэдий ч, хэрэв та хувьсагчийн хувьд жишээлбэл, y(t) гэж бичвэл тооцоолуур автоматаар таних болно yхувьсагчийн функц байдаг т. Тооны машины тусламжтайгаар та чадна дифференциал тэгшитгэлийг шийдэхАливаа нарийн төвөгтэй байдал, төрөл: нэгэн төрлийн ба нэг төрлийн бус, шугаман эсвэл шугаман бус, нэгдүгээр зэрэглэлийн эсвэл хоёрдугаар ба түүнээс дээш эрэмбийн, салгаж болох эсвэл салгах боломжгүй хувьсагчтай тэгшитгэлүүд гэх мэт. Шийдлийн ялгаа. тэгшитгэлүүд өгөгдсөн аналитик хэлбэр, Байгаа Дэлгэрэнгүй тодорхойлолт. Дифференциал тэгшитгэлфизик, математикт маш түгээмэл байдаг. Тэдгээрийг тооцоолохгүйгээр олон асуудлыг шийдэх боломжгүй (ялангуяа математик физикийн хувьд).

Дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үе шатуудын нэг бол функцүүдийг нэгтгэх явдал юм. Дифференциал тэгшитгэлийг шийдэх стандарт аргууд байдаг. Тэгшитгэлийг y ба x салангид хувьсагчтай хэлбэр болгон бууруулж, тусгаарлагдсан функцүүдийг тусад нь нэгтгэх шаардлагатай. Үүнийг хийхийн тулд заримдаа тодорхой орлуулалт хийх шаардлагатай болдог.

Дифференциал тэгшитгэл нь функц болон түүний нэг буюу хэд хэдэн уламжлалыг агуулсан тэгшитгэл юм. Ихэнх практик асуудлуудад функцууд байдаг физик хэмжигдэхүүнүүд, деривативууд нь эдгээр хэмжигдэхүүний өөрчлөлтийн хурдтай тохирч, тэгшитгэл нь тэдгээрийн хоорондын хамаарлыг тодорхойлдог.

Энэ нийтлэлд шийдлүүдийг хэлбэрээр бичиж болох энгийн дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой төрлийг шийдвэрлэх аргуудыг авч үзэх болно. үндсэн функцууд, өөрөөр хэлбэл олон гишүүнт, экспоненциал, логарифм ба тригонометр, түүнчлэн тэдгээрийн урвуу функцууд. Эдгээр тэгшитгэлүүдийн ихэнх нь бодит амьдрал дээр тохиолддог боловч бусад ихэнх дифференциал тэгшитгэлийг эдгээр аргаар шийдвэрлэх боломжгүй бөгөөд тэдгээрийн хариултыг тусгай функц эсвэл хэлбэрээр бичдэг. эрчим хүчний цуврал, эсвэл байна тоон аргууд.

Энэ өгүүллийг ойлгохын тулд та дифференциал болон интеграл тооцооллын мэдлэгтэй байхаас гадна хэсэгчилсэн деривативын талаар тодорхой ойлголттой байх ёстой. Мөн үндсийг мэдэхийг зөвлөж байна шугаман алгебрдифференциал тэгшитгэл, ялангуяа хоёр дахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлд хэрэглэхэд хэдийгээр дифференциал ба интеграл тооцоо.

Урьдчилсан мэдээлэл

• Дифференциал тэгшитгэл нь өргөн хүрээний ангилалтай байдаг. IN энэ нийтлэлтухай ярьдаг энгийн дифференциал тэгшитгэл, өөрөөр хэлбэл нэг хувьсагчийн функц болон түүний деривативыг агуулсан тэгшитгэлийн тухай. Энгийн дифференциал тэгшитгэлийг ойлгох, шийдвэрлэхэд илүү хялбар байдаг хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэл, үүнд хэд хэдэн хувьсагчийн функцууд орно. Эдгээр тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргууд нь ихэвчлэн тодорхой хэлбэрээр тодорхойлогддог тул энэ өгүүлэл хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэлийг авч үзэхгүй.
  • Энгийн дифференциал тэгшитгэлийн зарим жишээг доор харуулав.
    • d y d x = k y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=ky)
    • d 2 x d t 2 + k x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+kx=0)
  • Хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэлийн зарим жишээг доор харуулав.
    • ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\хэсэг ^(2)f)(\хэсэг х^(2))))+(\frac (\хэсэг ^(2)) )f)(\хэсэг y^(2)))=0)
    • ∂ u ∂ t − α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial u)(\partial t))-\alpha (\frac (\partial ^(2)u)(\partial x) ^(2)))=0)
• Захиалгадифференциал тэгшитгэлийг оруулсан хамгийн дээд деривативын дарааллаар тодорхойлно өгөгдсөн тэгшитгэл. Дээрх энгийн дифференциал тэгшитгэлүүдийн эхнийх нь нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэл бол хоёр дахь нь хоёрдугаар эрэмбийн тэгшитгэл юм. Зэрэгдифференциал тэгшитгэлийн аль нэг гишүүнийг өсгөх хамгийн дээд хүч юм.
  • Жишээлбэл, доорх тэгшитгэл нь гурав, хоёрдугаар зэрэг юм.
    • (d 3 y d x 3) 2 + d y d x = 0 (\displaystyle \left((\frac ((\mathrm (d) )^(3)y)((\mathrm (d) )x^(3)))\ баруун)^(2)+(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0)
• Дифференциал тэгшитгэл нь шугаман дифференциал тэгшитгэлфункц болон түүний бүх деривативууд нэгдүгээр зэрэгт байгаа тохиолдолд. Үгүй бол тэгшитгэл болно шугаман бус дифференциал тэгшитгэл. Шугаман дифференциал тэгшитгэлүүд нь тэдгээрийн шийдлүүд нь өгөгдсөн тэгшитгэлийн шийдэл болох шугаман хослолуудыг бий болгоход ашиглагдаж чаддагаараа гайхалтай юм.
  • Шугаман дифференциал тэгшитгэлийн зарим жишээг доор харуулав.
  • Шугаман бус дифференциал тэгшитгэлийн зарим жишээг доор харуулав. Эхний тэгшитгэл нь синус гишүүний улмаас шугаман бус байна.
    • d 2 θ d t 2 + g l sin ⁡ θ = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)\theta )((\mathrm (d) )t^(2))))+( \frac (g)(l))\sin \theta =0)
    • d 2 x d t 2 + (d x d t) 2 + t x 2 = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2))+ \left((\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))\right)^(2)+tx^(2)=0)
• Нийтлэг шийдвэрэнгийн дифференциал тэгшитгэл нь өвөрмөц биш, үүнд багтдаг дурын интеграцийн тогтмолууд. Ихэнх тохиолдолд дурын тогтмолуудын тоо тэгшитгэлийн дараалалтай тэнцүү байна. Практикт эдгээр тогтмолуудын утгыг өгөгдсөн дээр үндэслэн тодорхойлдог анхны нөхцөл, өөрөөр хэлбэл функц ба түүний деривативын утгуудын дагуу x = 0. (\displaystyle x=0.)Тоо анхны нөхцөл, олоход зайлшгүй шаардлагатай хувийн шийдэлДифференциал тэгшитгэл нь ихэнх тохиолдолд өгөгдсөн тэгшитгэлийн дараалалтай тэнцүү байдаг.
  • Жишээлбэл, энэ нийтлэлд доорх тэгшитгэлийг шийдвэрлэх талаар авч үзэх болно. Энэ бол хоёр дахь эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл юм. Түүний нийтлэг шийдвэрдурын хоёр тогтмолыг агуулна. Эдгээр тогтмолуудыг олохын тулд анхны нөхцөлүүдийг мэдэх шаардлагатай x (0) (\displaystyle x(0))Тэгээд x ′ (0) . (\displaystyle x"(0).)Ихэвчлэн эхний нөхцөлийг цэг дээр зааж өгдөг x = 0 , (\displaystyle x=0,), гэхдээ энэ нь шаардлагагүй юм. Өгөгдсөн эхний нөхцлүүдийн тодорхой шийдлүүдийг хэрхэн олох талаар энэ нийтлэлд мөн хэлэлцэх болно.
    • d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+k^(2) )x=0)
    • x (t) = c 1 cos ⁡ k x + c 2 sin ⁡ k x (\displaystyle x(t)=c_(1)\cos kx+c_(2)\sin kx)

Алхам

1-р хэсэг

Энэ үйлчилгээг ашиглах үед зарим мэдээллийг YouTube рүү шилжүүлж болно.

1. Эхний эрэмбийн шугаман тэгшитгэл. IN энэ хэсэгНэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийг ерөнхий болон зарим гишүүн тэгтэй тэнцүү байх тусгай тохиолдлуудад шийдвэрлэх аргуудыг авч үзнэ. Ингэж жүжиглэе y = y (x) , (\displaystyle y=y(x),) p (x) (\displaystyle p(x))Тэгээд q (x) (\displaystyle q(x))функцууд юм x. (\ displaystyle x.)

   D y d x + p (x) y = q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+p(x)y=q(x) ))
   

   P (x) = 0. (\displaystyle p(x)=0.)Гол теоремуудын аль нэгний дагуу математик шинжилгээ, функцийн деривативын интеграл нь мөн функц юм. Тиймээс түүний шийдийг олохын тулд тэгшитгэлийг нэгтгэх нь хангалттай юм. Тодорхой бус интегралыг тооцоолохдоо дурын тогтмол гарч ирдэг гэдгийг анхаарах хэрэгтэй.

   • y (x) = ∫ q (x) d x (\displaystyle y(x)=\int q(x)(\mathrm (d) )x)

   Q (x) = 0. (\displaystyle q(x)=0.)Бид аргыг хэрэглэдэг хувьсагчдыг салгах. Энэ нь янз бүрийн хувьсагчдыг тэгшитгэлийн өөр тал руу шилжүүлдэг. Жишээлбэл, та бүх гишүүдийг зөөж болно y (\displaystyle y)нэг болон бүх гишүүдтэй x (\displaystyle x)тэгшитгэлийн нөгөө тал руу. Мөн гишүүдийг шилжүүлж болно d x (\displaystyle (\mathrm (d) )x)Тэгээд d y (\displaystyle (\mathrm (d) )y), тэдгээр нь дериватив илэрхийлэлд багтсан боловч эдгээр нь зүгээр л гэдгийг санах нь зүйтэй бэлэг тэмдэг, энэ нь нарийн төвөгтэй функцийг ялгахад тохиромжтой. гэж нэрлэдэг эдгээр гишүүдийн хэлэлцүүлэг дифференциалууд, энэ нийтлэлийн хамрах хүрээнээс гадуур байна.

   • Эхлээд та хувьсагчдыг тэнцүү тэмдгийн эсрэг тал руу шилжүүлэх хэрэгтэй.
     • 1 y d y = − p (x) d x (\displaystyle (\frac (1)(y))(\mathrm (d) )y=-p(x)(\mathrm (d) )x)
   • Тэгшитгэлийн хоёр талыг нэгтгэж үзье. Интеграцчилсны дараа хоёр тал дээр дурын тогтмолууд гарч ирэх бөгөөд тэдгээрийг шилжүүлж болно баруун талтэгшитгэл
     • ln ⁡ y = ∫ − p (x) d x (\displaystyle \ln y=\int -p(x)(\mathrm (d) )x)
     • y (x) = e − ∫ p (x) d x (\displaystyle y(x)=e^(-\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • Жишээ 1.1.Сүүлийн шатанд бид дүрмийг ашигласан e a + b = e a e b (\displaystyle e^(a+b)=e^(a)e^(b))ба сольсон e C (\displaystyle e^(C))дээр C (\displaystyle C), учир нь энэ нь бас дурын интеграцийн тогтмол юм.
     • d y d x − 2 y sin ⁡ x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))-2y\sin x=0)
     • 1 2 y d y = sin ⁡ x d x 1 2 ln ⁡ y = − cos ⁡ x + C ln ⁡ y = − 2 cos ⁡ x + C y (x) = C e − 2 cos ⁡ x (\displaystyle (\begin(aligned)) )(\frac (1)(2y))(\mathrm (d) )y&=\sin x(\mathrm (d) )x\\(\frac (1)(2))\ln y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^(-2\cos x)\end(зохицуулсан)))

   P (x) ≠ 0 , q (x) ≠ 0. (\displaystyle p(x)\neq 0,\ q(x)\neq 0.)Ерөнхий шийдлийг олохын тулд бид танилцуулсан нэгтгэх хүчин зүйлфункцээр x (\displaystyle x)зүүн гар талыг нийтлэг дериватив болгон бууруулж, тэгшитгэлийг шийдэх.

   • Хоёр талыг үржүүлнэ μ (x) (\displaystyle \mu (x))
     • μ d y d x + μ p y = μ q (\displaystyle \mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py=\mu q)
   • Зүүн талыг ерөнхий дериватив болгон багасгахын тулд дараах хувиргалтыг хийх шаардлагатай.
     • d d x (μ y) = d μ d x y + μ d y d x = μ d y d x + μ p y (\displaystyle (\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )x))(\mu y)=(\ frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))y+\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)) =\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py)
   • Сүүлчийн тэгш байдал нь үүнийг илэрхийлдэг d μ d x = μ p (\ Displaystyle (\ frac ((\ mathrm (d) ) \ mu ) ((\ mathrm (d) ) x)) = \ mu p). Энэ нь аливаа нэгдүгээр эрэмбийн шугаман тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд хангалттай интегралч хүчин зүйл юм. Одоо бид энэ тэгшитгэлийг шийдвэрлэх томъёог гаргаж болно μ , (\displaystyle \mu ,)бүх завсрын тооцоог хийх нь сургалтанд ашигтай хэдий ч.
     • μ (x) = e ∫ p (x) d x (\ displaystyle \mu (x)=e^(\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • Жишээ 1.2.Энэ жишээ нь өгөгдсөн анхны нөхцөл бүхий дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг хэрхэн олохыг харуулж байна.
     • t d y d t + 2 y = t 2 , y (2) = 3 (\displaystyle t(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+2y=t^(2) ,\quad y(2)=3)
     • d y d t + 2 t y = t (\ displaystyle (\ frac ((\ mathrm (d) )y) ((\ mathrm (d) ) t)) + (\ frac (2) (t)) y=t)
     • μ (x) = e ∫ p (t) d t = e 2 ln ⁡ t = t 2 (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(t)(\mathrm (d) )t)=e ^(2\ln t)=t^(2))
     • d d t (t 2 y) = t 3 t 2 y = 1 4 t 4 + C y (t) = 1 4 t 2 + C t 2 (\displaystyle (\begin(aligned)(\frac (\mathrm (d)) )((\mathrm (d) )t))(t^(2)y)&=t^(3)\\t^(2)y&=(\frac (1)(4))t^(4) )+C\\y(t)&=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (C)(t^(2)))\төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)))
     • 3 = y (2) = 1 + C 4 , C = 8 (\displaystyle 3=y(2)=1+(\frac (C)(4)),\quad C=8)
     • y (t) = 1 4 t 2 + 8 t 2 (\displaystyle y(t)=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (8)(t^(2)) ))
   
   Эхний эрэмбийн шугаман тэгшитгэлийг шийдвэрлэх (Intuit - үндэсний нээлттэй их сургууль).

2. Шугаман бус нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэл. Энэ хэсэгт нэгдүгээр эрэмбийн шугаман бус дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудыг авч үзнэ. Ийм тэгшитгэлийг шийдэх ерөнхий арга байхгүй ч заримыг нь доорх аргуудыг ашиглан шийдэж болно.

   D y d x = f (x , y) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=f(x,y))
   d y d x = h (x) g (y) . (\ displaystyle (\ frac ((\ mathrm (d) )y) ((\ mathrm (d) )x))=h(x)g(y).)Хэрэв функц f (x , y) = h (x) g (y) (\displaystyle f(x,y)=h(x)g(y))нэг хувьсагчийн функцэд хувааж болох тул ийм тэгшитгэл гэж нэрлэдэг салангид хувьсагчтай дифференциал тэгшитгэл. Энэ тохиолдолд та дээрх аргыг ашиглаж болно:

   • ∫ d y h (y) = ∫ g (x) d x (\displaystyle \int (\frac ((\mathrm (d) )y)(h(y)))=\int g(x)(\mathrm (d)) )x)
   • Жишээ 1.3.
     • d y d x = x 3 y (1 + x 4) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (x^(3))( у(1+х^(4)))))
     • ∫ y d y = ∫ x 3 1 + x 4 d x 1 2 y 2 = 1 4 ln ⁡ (1 + x 4) + C y (x) = 1 2 ln ⁡ (1 + x 4) + C (\displaystyle (\) start(aligned)\int y(\mathrm (d) )y&=\int (\frac (x^(3))(1+x^(4)))(\mathrm (d) )x\\(\ frac (1)(2))y^(2)&=(\frac (1)(4))\ln(1+x^(4))+C\\y(x)&=(\frac (\frac) 1)(2))\ln(1+x^(4))+C\төгс(зэрэгцүүлсэн)))

   D y d x = g (x , y) h (x , y) . (\ Displaystyle (\ frac ((\ mathrm (d) ) y) ((\ mathrm (d) ) x)) = (\ frac (g (x, y)) (h (x, y))).)Ингэж жүжиглэе g (x , y) (\displaystyle g(x,y))Тэгээд h (x , y) (\displaystyle h(x,y))функцууд юм x (\displaystyle x)Тэгээд y. (\displaystyle y.)Дараа нь нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлнь тэгшитгэл юм g (\displaystyle g)Тэгээд h (\displaystyle h)байна нэгэн төрлийн функцууд ижил түвшинд. Өөрөөр хэлбэл, функцууд нь нөхцөлийг хангасан байх ёстой g (α x , α y) = α k g (x , y) , (\displaystyle g(\alpha x,\alpha y)=\alpha ^(k)g(x,y),)Хаана k (\displaystyle k)нэгэн төрлийн байдлын зэрэг гэж нэрлэдэг. Аливаа нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийг тохиромжтой байдлаар ашиглаж болно хувьсагчийн орлуулалт (v = y / x (\displaystyle v=y/x)эсвэл v = x / y (\displaystyle v=x/y)) салгаж болох тэгшитгэлд хөрвүүлэх.

   • Жишээ 1.4.Нэг төрлийн байдлын дээрх тайлбар нь тодорхойгүй мэт санагдаж магадгүй юм. Энэ ойлголтыг жишээгээр авч үзье.
     • d y d x = y 3 − x 3 y 2 x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y^(3)-x^) (3))(y^(2)x)))
     • Эхлэхийн тулд энэ тэгшитгэл нь шугаман бус гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй y. (\displaystyle y.)Үүнийг бид бас харж байна энэ тохиолдолдТа хувьсагчдыг салгаж чадахгүй. Үүний зэрэгцээ энэ дифференциал тэгшитгэл нь нэгэн төрлийн байна, учир нь тоологч болон хуваагч хоёулаа 3-ын зэрэгтэй нэгэн төрлийн байна. Тиймээс бид хувьсагчдын өөрчлөлтийг хийж болно. v = y/x. (\displaystyle v=y/x.)
     • d y d x = y x − x 2 y 2 = v − 1 v 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y)(x) ))-(\frac (x^(2))(y^(2)))=v-(\frac (1)(v^(2))))
     • y = v x , d y d x = d v d x x + v (\displaystyle y=vx,\quad (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac ((\mathrm)) (d) )v)((\mathrm (d) )x))x+v)
     • d v d x x = − 1 v 2 . (\ displaystyle (\ frac ((\ mathrm (d) )v) ((\ mathrm (d) )x)) x=-(\ frac (1) (v ^ (2))).)Үүний үр дүнд бид тэгшитгэлтэй болно v (\displaystyle v)салгаж болох хувьсагчтай.
     • v (x) = − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle v(x)=(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
     • y (x) = x − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle y(x)=x(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))

   D y d x = p (x) y + q (x) y n . (\ displaystyle (\ frac ((\ mathrm (d) )y) ((\ mathrm (d) )x))=p(x)y+q(x)y^(n).)Энэ Бернулли дифференциал тэгшитгэл- нэгдүгээр зэрэглэлийн шугаман бус тэгшитгэлийн тусгай төрөл, шийдлийг энгийн функц ашиглан бичиж болно.

   • Тэгшитгэлийн хоёр талыг үржүүлнэ (1 − n) y − n (\displaystyle (1-n)y^(-n)):
     • (1 − n) y − n d y d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (1-n)y^(-n)(\frac () (\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
   • Бид зүүн талд байгаа нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийг ашиглаж, тэгшитгэлийг болгон хувиргадаг шугаман тэгшитгэлхарьцангуй y 1 − n , (\displaystyle y^(1-n),)дээрх аргуудыг ашиглан шийдэж болно.
     • d y 1 − n d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y^(1-n)) ((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))

   M (x , y) + N (x , y) d y d x = 0. (\displaystyle M(x,y)+N(x,y)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm) (d) )x))=0.)Энэ дахь тэгшитгэл бүрэн дифференциалууд . Энэ гэж нэрлэгддэг зүйлийг олох шаардлагатай байна боломжит функц φ (x , y) , (\displaystyle \varphi (x,y),)нөхцөлийг хангасан d φ d x = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=0.)

   • Гүйцэтгэлийн хувьд энэ нөхцөлбайх ёстой нийт дериватив. Нийт дериватив нь бусад хувьсагчдаас хамаарах хамаарлыг харгалзан үздэг. Нийт деривативыг тооцоолох φ (\displaystyle \varphi) By x , (\displaystyle x,)гэж бид таамаглаж байна y (\displaystyle y)мөн хамааралтай байж болно x. (\ displaystyle x.)
     • d φ d x = ∂ φ ∂ x + ∂ φ ∂ y d y d x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=(\frac (\partial \varphi) )(\partial x))+(\frac (\partial \varphi )(\partial y))(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)))
   • Нэр томъёог харьцуулах нь бидэнд өгдөг M (x , y) = ∂ φ ∂ x (\displaystyle M(x,y)=(\frac (\хэсэг \varphi )(\хэсэг х)))Тэгээд N (x, y) = ∂ φ ∂ y. (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\хэсэг \varphi )(\хэсэг y)).)Энэ нь холимог деривативтай олон хувьсах тэгшитгэлийн ердийн үр дүн юм жигд функцуудбие биетэйгээ тэнцүү. Заримдаа энэ хэргийг дууддаг Клэраутын теорем. Энэ тохиолдолд дифференциал тэгшитгэл нь нийт дифференциал тэгшитгэл юм дараагийн нөхцөл:
     • ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x (\displaystyle (\frac (\хэсэг М)(\хэсэг y))=(\frac (\хэсэг N)(\хэсэг х)))
   • Нийт дифференциал дахь тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга нь хэд хэдэн дериватив байгаа тохиолдолд боломжит функцийг олохтой төстэй бөгөөд бид үүнийг товч авч үзэх болно. Эхлээд нэгтгэж үзье M (\displaystyle M) By x. (\ displaystyle x.)Учир нь M (\displaystyle M)функц ба x (\displaystyle x), Мөн y , (\displaystyle y,)Интеграцид орсноор бид бүрэн бус функцийг авдаг φ , (\displaystyle \varphi,)гэж тодорхойлсон φ ~ (\displaystyle (\tilde (\varphi ))). Үр дүн нь мөн үүнээс хамаарна y (\displaystyle y)интеграцийн тогтмол.
     • φ (x , y) = ∫ M (x , y) d x = φ ~ (x , y) + c (y) (\displaystyle \varphi (x,y)=\int M(x,y)(\mathrm) (г) )x=(\tilde (\varphi ))(x,y)+c(y))
   • Үүний дараа авах c (y) (\displaystyle c(y))-ын хувьд үүссэн функцийн хэсэгчилсэн деривативыг авч болно y , (\displaystyle y,)үр дүнг тэнцүүлэх N (x , y) (\displaystyle N(x,y))болон нэгтгэх. Та эхлээд нэгтгэж болно N (\displaystyle N), дараа нь -д хамаарах хэсэгчилсэн деривативыг авна x (\displaystyle x), энэ нь танд дурын функцийг олох боломжийг олгоно d(x). (\displaystyle d(x).)Хоёр арга хоёулаа тохиромжтой бөгөөд нэгтгэхийн тулд ихэвчлэн энгийн функцийг сонгодог.
     • N (x , y) = ∂ φ ∂ y = ∂ φ ~ ∂ y + d c d y (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y))=(\frac (\) хэсэгчилсэн (\tilde (\varphi )))(\partial y))+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y)))
   • Жишээ 1.5.Та хэсэгчилсэн деривативуудыг авч, доорх тэгшитгэл нь нийт дифференциал тэгшитгэл болохыг харж болно.
     • 3 x 2 + y 2 + 2 x y d y d x = 0 (\displaystyle 3x^(2)+y^(2)+2xy(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x) )=0)
     • φ = ∫ (3 x 2 + y 2) d x = x 3 + x y 2 + c (y) ∂ φ ∂ y = N (x , y) = 2 x y + d c d y (\displaystyle (\эхлэх(зэрэгцүүлсэн)\varphi) &=\int (3x^(2)+y^(2))(\mathrm (d) )x=x^(3)+xy^(2)+c(y)\\(\frac (\хэсэг) \varphi )(\хэсэг y))&=N(x,y)=2xy+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))\төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)))
     • d c d y = 0 , c (y) = C (\ Displaystyle (\ frac ((\ mathrm (d) )c) ((\ mathrm (d) ) y)) = 0, \ quad c (y) = C)
     • x 3 + x y 2 = C (\displaystyle x^(3)+xy^(2)=C)
   • Хэрэв дифференциал тэгшитгэл нь нийт дифференциал тэгшитгэл биш бол зарим тохиолдолд та үүнийг нийт дифференциал тэгшитгэл болгон хувиргах боломжийг олгодог интегралчлагч коэффициентийг олж болно. Гэсэн хэдий ч ийм тэгшитгэлийг практикт бараг ашигладаггүй бөгөөд интеграцийн хүчин зүйл болдог байдаг, үүнийг олох нь тохиолддог амар биш, тиймээс эдгээр тэгшитгэлийг энэ зүйлд авч үзэхгүй.

2-р хэсэг

1. -тэй нэгэн төрлийн шугаман дифференциал тэгшитгэл тогтмол коэффициентүүд. Эдгээр тэгшитгэлийг практикт өргөн ашигладаг тул тэдгээрийн шийдэл нь хамгийн чухал ач холбогдолтой юм. Энэ тохиолдолд бид ярьж байнаНэг төрлийн функцүүдийн тухай биш, харин тэгшитгэлийн баруун талд 0 байгаа тухай дараагийн хэсэгт харгалзах функцийг хэрхэн шийдвэрлэхийг харуулах болно нэг төрлийн бусдифференциал тэгшитгэл. Доор a (\displaystyle a)Тэгээд b (\displaystyle b)тогтмолууд юм.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a(\frac) ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   Онцлог тэгшитгэл. Энэхүү дифференциал тэгшитгэл нь түүний шийдэл нь ямар шинж чанартай байх ёстойг анхаарч үзвэл маш амархан шийдэгддэгээрээ гайхалтай юм. Тэгшитгэлээс харахад энэ нь тодорхой байна y (\displaystyle y)ба түүний деривативууд хоорондоо пропорциональ байна. Нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлийн хэсэгт авч үзсэн өмнөх жишээнүүдээс харахад зөвхөн экспоненциал функц ийм шинж чанартай байдаг гэдгийг бид мэднэ. Тиймээс ч дэвшүүлэх боломжтой ansatzӨгөгдсөн тэгшитгэлийн шийдэл ямар байх талаар (боловсруулсан таамаглал).

   • Шийдэл нь экспоненциал функц хэлбэртэй байна e r x , (\displaystyle e^(rx),)Хаана r (\displaystyle r)утга нь олдох ёстой тогтмол юм. Энэ функцийг тэгшитгэлд орлуулж дараах илэрхийллийг ол
     • e r x (r 2 + a r + b) = 0 (\displaystyle e^(rx)(r^(2)+ar+b)=0)
   • Энэ тэгшитгэл нь экспоненциал функц ба олон гишүүнтийн үржвэр нь тэгтэй тэнцүү байх ёстойг харуулж байна. Зэрэглэлийн аль ч утгын хувьд экспонент нь тэгтэй тэнцүү байж болохгүй гэдгийг мэддэг. Эндээс бид олон гишүүнт тэгтэй тэнцүү гэж дүгнэж байна. Ийнхүү бид дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх бодлогыг өгөгдсөн дифференциал тэгшитгэлийн шинж чанарын тэгшитгэл гэж нэрлэгддэг алгебрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх илүү энгийн бодлого болгон буурууллаа.
     • r 2 + a r + b = 0 (\displaystyle r^(2)+ar+b=0)
     • r ± = − a ± a 2 − 4 b 2 (\displaystyle r_(\pm )=(\frac (-a\pm (\sqrt (a^(2)-4b))))(2)))
   • Бид хоёр үндэстэй. Энэхүү дифференциал тэгшитгэл нь шугаман тул түүний ерөнхий шийдэл нь хэсэгчилсэн шийдүүдийн шугаман хослол юм. Энэ бол хоёр дахь эрэмбийн тэгшитгэл учраас бид үүнийг мэднэ үнэхээрерөнхий шийдэл, өөр зүйл байхгүй. Үүний илүү хатуу үндэслэл нь сурах бичгүүдээс олж болох шийдлийн оршин тогтнол, өвөрмөц байдлын талаархи теоремуудад оршдог.
   • Хоёр шийдэл нь шугаман хамааралгүй эсэхийг шалгах ашигтай арга бол тооцоолох явдал юм Вронскиана. Вронскиан W (\displaystyle W)багана нь функц болон тэдгээрийн дараалсан деривативуудыг агуулсан матрицын тодорхойлогч юм. Шугаман алгебрийн теорем нь Вронскиан дахь функцууд нь шугаман хамааралтай бол Вронскиан тэгтэй тэнцүү. Энэ хэсэгт бид хоёр шийдэл нь шугаман бие даасан эсэхийг шалгаж болно - үүнийг хийхийн тулд бид Wronskian тэг биш эсэхийг шалгах хэрэгтэй. Тогтмол коэффициент бүхий нэгэн төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийг янз бүрийн параметрийн аргаар шийдвэрлэхэд Вронскиан чухал ач холбогдолтой.
     • W = | y 1 y 2 y 1 ′ y 2 ′ | (\ displaystyle W = (\ эхлэл (vmatrix) y_ (1) & y_ (2) \\ y_ (1)" & y_ (2)" \ төгсгөл (vmatrix)))
   • Шугаман алгебрийн хувьд өгөгдсөн дифференциал тэгшитгэлийн бүх шийдлүүдийн олонлог үүсдэг вектор орон зай, хэмжээс нь дифференциал тэгшитгэлийн дараалалтай тэнцүү байна. Энэ орон зайд та суурийг сонгож болно шугаман бие даасанбие биенээсээ гаргасан шийдвэр. Энэ нь функцтэй холбоотой байж болох юм y (x) (\displaystyle y(x))хүчинтэй шугаман оператор. Дериватив байнашугаман оператор, учир нь энэ нь дифференциал функцүүдийн орон зайг бүх функцын орон зай болгон хувиргадаг. Зарим тохиолдолд тэгшитгэлийг нэгэн төрлийн гэж нэрлэдэг шугаман оператор L (\displaystyle L)Бид тэгшитгэлийн шийдлийг олох хэрэгтэй L [ y ] = 0. (\displaystyle L[y]=0.)

   Одоо хэд хэдэн зүйлийг авч үзье тодорхой жишээнүүд. Олон үндэстэй тохиолдол шинж чанарын тэгшитгэлБид үүнийг бага зэрэг дараа, дарааллыг бууруулах хэсэгт авч үзэх болно.

   Хэрэв үндэс бол r ± (\displaystyle r_(\pm ))ялгаатай бодит тоо, дифференциал тэгшитгэл нь байна дараагийн шийдэл

   • y (x) = c 1 e r + x + c 2 e r − x (\displaystyle y(x)=c_(1)e^(r_(+)x)+c_(2)e^(r_(-)x) ))

   Хоёр нарийн төвөгтэй үндэс.Алгебрын үндсэн теоремоос шийдлийн шийдлүүд гарч ирдэг олон гишүүнт тэгшитгэлбодит коэффициентүүд нь жинхэнэ үндэстэй эсвэл хосолсон хос үүсгэдэг. Тиймээс, хэрэв нийлмэл тоо r = α + i β (\displaystyle r=\альфа +i\бета)шинж тэгшитгэлийн үндэс юм, тэгвэл r ∗ = α − i β (\displaystyle r^(*)=\альфа -i\бета )нь мөн энэ тэгшитгэлийн үндэс юм. Тиймээс бид шийдлийг хэлбэрээр бичиж болно c 1 e (α + i β) x + c 2 e (α − i β) x , (\displaystyle c_(1)e^((\alpha +i\beta)x)+c_(2)e^( (\alpha -i\beta)x),)гэхдээ энэ нь нарийн төвөгтэй тоо бөгөөд практик асуудлыг шийдвэрлэхэд тийм ч таатай биш юм.

   • Үүний оронд та ашиглаж болно Эйлерийн томъёо e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x (\displaystyle e^(ix)=\cos x+i\sin x), энэ нь бидэнд шийдлийг хэлбэрээр бичих боломжийг олгодог тригонометрийн функцууд:
     • e α x (c 1 cos ⁡ β x + i c 1 sin ⁡ β x + c 2 cos ⁡ β x − i c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle e^(\alpha x)(c_(1)\cos \ бета x+ic_(1)\sin \бета x+c_(2)\cos \бета x-ic_(2)\sin \бета x))
   • Одоо та тогтмолын оронд хийж болно c 1 + c 2 (\displaystyle c_(1)+c_(2))бичих c 1 (\displaystyle c_(1)), мөн илэрхийлэл i (c 1 − c 2) (\displaystyle i(c_(1)-c_(2)))-ээр сольсон в 2. (\ displaystyle c_(2).)Үүний дараа бид дараах шийдлийг авна.
     • y (x) = e α x (c 1 cos ⁡ β x + c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle y(x)=e^(\alpha x)(c_(1)\cos \beta x+c_) (2)\sin\beta x))
   • Физикийн бодлогод илүү тохиромжтой далайц ба фазын хувьд шийдлийг бичих өөр нэг арга бий.
   • Жишээ 2.1.Өгөгдсөн анхны нөхцлөөр доор өгөгдсөн дифференциал тэгшитгэлийн шийдийг олъё. Үүнийг хийхийн тулд та үүссэн шийдлийг авах хэрэгтэй. түүнчлэн түүний дериватив, мөн тэдгээрийг анхны нөхцөлд орлуулах нь бидэнд дурын тогтмолуудыг тодорхойлох боломжийг олгоно.
     • d 2 x d t 2 + 3 d x d t + 10 x = 0 , x (0) = 1 , x ′ (0) = − 1 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)(( \mathrm (d) )t^(2)))+3(\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))+10x=0,\quad x(0) =1,\x"(0)=-1)
     • r 2 + 3 r + 10 = 0 , r ± = − 3 ± 9 − 40 2 = − 3 2 ± 31 2 i (\displaystyle r^(2)+3r+10=0,\quad r_(\pm ) =(\frac (-3\pm (\sqrt (9-40)(2))=-(\frac (3)(2))\pm (\frac (\sqrt (31))(2) )i)
     • x (t) = e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(c_(1) )\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\баруун))
     • x (0) = 1 = c 1 (\displaystyle x(0)=1=c_(1))
     • x ′ (t) = − 3 2 e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) + e − 3 t / 2 (− 31 2 c 1 sin ⁡ 31 2 t) + 31 2 c 2 cos ⁡ 31 2 т) (\displaystyle (\эхлэх(зэрэгцүүлсэн)x"(t)&=-(\frac (3)(2))e^(-3t/2)\left(c_) (1)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\баруун)\\&+e ^(-3t/2)\left(-(\frac (\sqrt (31))(2))c_(1)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac (\frac) \sqrt (31))(2))c_(2)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t\баруун)\төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)))
     • x ′ (0) = − 1 = − 3 2 c 1 + 31 2 c 2 , c 2 = 1 31 (\displaystyle x"(0)=-1=-(\frac (3)(2))c_( 1)+(\frac (\sqrt (31))(2))c_(2),\quad c_(2)=(\frac (1)(\sqrt (31))))
     • x (t) = e − 3 t / 2 (cos ⁡ 31 2 t + 1 31 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(\cos (\frac) (\sqrt (31))(2))t+(\frac (1)(\sqrt (31)))\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\баруун))
   
   Тогтмол коэффициент бүхий n-р эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх (Intuit - Үндэсний Нээлттэй Их Сургуулийн бүртгэл).

2. Захиалга буурч байна.Нэг шугаман бие даасан шийдэл мэдэгдэж байгаа үед дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга нь эрэмбийн бууралт юм. Энэ арга нь тэгшитгэлийн дарааллыг нэгээр бууруулахаас бүрдэх бөгөөд энэ нь өмнөх хэсэгт тайлбарласан аргуудыг ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх боломжийг олгодог. Шийдэл нь мэдэгдэх болтугай. Захиалга багасгах гол санаа нь функцийг тодорхойлох шаардлагатай доорх хэлбэрээр шийдлийг олох явдал юм. v (x) (\displaystyle v(x)), дифференциал тэгшитгэлд орлуулах, олох v(x). (\displaystyle v(x).)Тогтмол коэффициент ба олон язгууртай дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхийн тулд эрэмбийн бууралтыг хэрхэн ашиглаж болохыг харцгаая.

   
   

   Олон үндэстогтмол коэффициент бүхий нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэл. Хоёрдахь эрэмбийн тэгшитгэл нь хоёр шугаман бие даасан шийдтэй байх ёстой гэдгийг санаарай. Хэрэв шинж чанарын тэгшитгэл олон үндэстэй бол шийдлийн багц ҮгүйЭдгээр шийдлүүд нь шугаман хамааралтай тул орон зай үүсгэдэг. Энэ тохиолдолд хоёр дахь шугаман бие даасан шийдлийг олохын тулд дарааллын бууралтыг ашиглах шаардлагатай.

   • Онцлог тэгшитгэл олон үндэстэй байг r (\displaystyle r). Хоёр дахь шийдлийг хэлбэрээр бичиж болно гэж үзье y (x) = e r x v (x) (\displaystyle y(x)=e^(rx)v(x)), мөн дифференциал тэгшитгэлд орлуулна. Энэ тохиолдолд функцын хоёр дахь дериватив бүхий нэр томъёог эс тооцвол ихэнх нэр томъёо v , (\displaystyle v,)багасна.
     • v ″ (x) e r x = 0 (\displaystyle v""(x)e^(rx)=0)
   • Жишээ 2.2.Олон үндэстэй дараах тэгшитгэлийг өгье r = − 4. (\displaystyle r=-4.)Орлуулах явцад ихэнх нэр томъёо багасдаг.
     • d 2 y d x 2 + 8 d y d x + 16 y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+8( \frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+16y=0)
     • y = v (x) e − 4 x y ′ = v ′ (x) e − 4 x − 4 v (x) e − 4 x y ″ = v ″ (x) e − 4 x − 8 v ′ (x) e − 4 x + 16 v (x) e − 4 x (\displaystyle (\begin(aligned)y&=v(x)e^(-4x)\\y"&=v"(x)e^(-4x) )-4v(x)e^(-4x)\\y""&=v""(x)e^(-4x)-8v"(x)e^(-4x)+16v(x)e^ (-4x)\төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)))
     • v ″ e − 4 x − 8 v ′ e − 4 x + 16 v e − 4 x + 8 v ′ e − 4 x − 32 v e − 4 x + 16 v e − 4 x = 0 (\displaystyle (\эхлэх(зэрэгцүүлэх) )v""e^(-4x)&-(\цуцлах (8v"e^(-4x)))+(\цуцлах (16ve^(-4x)))\\&+(\цуцлах (8v"e ^(-4x)))-(\цуцлах (32ve^(-4x)))+(\цуцлах (16ve^(-4x)))=0\төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)))
   • Тогтмол коэффициент бүхий дифференциал тэгшитгэлийн хувьд манай ансацтай адил, энэ тохиолдолд зөвхөн хоёр дахь дериватив нь тэгтэй тэнцүү байж болно. Бид хоёр удаа нэгтгэж, хүссэн илэрхийлэлийг олж авдаг v (\displaystyle v):
     • v (x) = c 1 + c 2 x (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)x)
   • Дараа нь шинж чанарын тэгшитгэл олон язгууртай тохиолдолд тогтмол коэффициенттэй дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг дараах хэлбэрээр бичиж болно. Тохиромжтой болгохын тулд шугаман бие даасан байдлыг олж авахын тулд хоёр дахь гишүүнийг зүгээр л үржүүлэхэд хангалттай гэдгийг санаж болно. x (\displaystyle x). Энэхүү шийдлийн багц нь шугаман бие даасан тул бид энэ тэгшитгэлийн бүх шийдлийг олсон.
     • y (x) = (c 1 + c 2 x) e r x (\displaystyle y(x)=(c_(1)+c_(2)x)e^(rx))

   D 2 y d x 2 + p (x) d y d x + q (x) y = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^( 2)))+p(x)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+q(x)y=0.)Шийдэл нь мэдэгдэж байгаа тохиолдолд захиалгын бууралт хамаарна y 1 (x) (\displaystyle y_(1)(x)), үүнийг асуудлын мэдэгдлээс олж эсвэл өгч болно.

   • Бид хэлбэрээр шийдэл хайж байна y (x) = v (x) y 1 (x) (\displaystyle y(x)=v(x)y_(1)(x))мөн үүнийг энэ тэгшитгэлд орлуулна уу:
     • v ″ y 1 + 2 v ′ y 1 ′ + p (x) v ′ y 1 + v (y 1 ″ + p (x) y 1 ′ + q (x)) = 0 (\displaystyle v""y_( 1)+2v"y_(1)"+p(x)v"y_(1)+v(y_(1)""+p(x)y_(1)"+q(x))=0)
   • Учир нь y 1 (\displaystyle y_(1))нь бүх гишүүнтэй дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл юм v (\displaystyle v)багасгаж байна. Эцсийн эцэст энэ нь хэвээр байна нэгдүгээр эрэмбийн шугаман тэгшитгэл. Үүнийг илүү тодорхой харахын тулд хувьсагчийн өөрчлөлтийг хийцгээе w (x) = v ′ (x) (\displaystyle w(x)=v"(x)):
     • y 1 w ′ + (2 y 1 ′ + p (x) y 1) w = 0 (\displaystyle y_(1)w"+(2y_(1)"+p(x)y_(1))w=0 )
     • w (x) = exp ⁡ (∫ (2 y 1 ′ (x) y 1 (x) + p (x)) d x) (\displaystyle w(x)=\exp \left(\int \left((\) frac (2y_(1)"(x))(y_(1)(x)))+p(x)\баруун)(\mathrm (d) )x\баруун))
     • v (x) = ∫ w (x) d x (\displaystyle v(x)=\int w(x)(\mathrm (d) )x)
   • Хэрэв интегралыг тооцоолох боломжтой бол бид энгийн функцүүдийн хослол хэлбэрээр ерөнхий шийдлийг олж авна. Үгүй бол уусмалыг салшгүй хэлбэрээр үлдээж болно.

3. Коши-Эйлерийн тэгшитгэл.Коши-Эйлерийн тэгшитгэл нь хоёр дахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн жишээ юм хувьсагчнарийн шийдлүүдтэй коэффициентүүд. Энэ тэгшитгэлийг практикт, жишээлбэл, бөмбөрцөг координат дахь Лапласын тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашигладаг.

   X 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2) ))+ax(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   Онцлогийн тэгшитгэл.Таны харж байгаагаар энэхүү дифференциал тэгшитгэлд нэр томъёо бүр нь чадлын хүчин зүйлийг агуулдаг бөгөөд түүний зэрэг нь харгалзах деривативын дараалалтай тэнцүү байна.

   • Тиймээс та маягтаас шийдлийг хайж олохыг оролдож болно y (x) = x n , (\displaystyle y(x)=x^(n),)хаана тодорхойлох шаардлагатай n (\displaystyle n), яг л бид тогтмол коэффициент бүхий шугаман дифференциал тэгшитгэлийн экспоненциал функц хэлбэрээр шийдлийг хайж байсантай адил. Ялгах, орлуулсны дараа бид авна
     • x n (n 2 + (a − 1) n + b) = 0 (\displaystyle x^(n)(n^(2)+(a-1)n+b)=0)
   • Онцлогийн тэгшитгэлийг ашиглахын тулд бид үүнийг тооцох ёстой x ≠ 0 (\displaystyle x\neq 0). Цэг x = 0 (\displaystyle x=0)дуудсан тогтмол ганц цэгдифференциал тэгшитгэл. Ийм цэгүүд нь чадлын цуваа ашиглан дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд чухал ач холбогдолтой. Энэ тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй бөгөөд тэдгээр нь өөр бөгөөд бодит, олон эсвэл цогц коньюгат байж болно.
     • n ± = 1 − a ± (a − 1) 2 − 4 b 2 (\displaystyle n_(\pm )=(\frac (1-a\pm (\sqrt ((a-1)^(2)-4b) )))(2)))

   Хоёр өөр жинхэнэ үндэс.Хэрэв үндэс бол n ± (\displaystyle n_(\pm ))бодит ба ялгаатай бол дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл дараах хэлбэртэй байна.

   • y (x) = c 1 x n + + c 2 x n − (\displaystyle y(x)=c_(1)x^(n_(+))+c_(2)x^(n_(-)))

   Хоёр нарийн төвөгтэй үндэс.Хэрэв шинж чанарын тэгшитгэл үндэстэй бол n ± = α ± β i (\displaystyle n_(\pm )=\альфа \pm \beta i), шийдэл нь нарийн төвөгтэй функц юм.

   • Уг шийдлийг бодит функц болгон хувиргахын тулд бид хувьсагчийн өөрчлөлтийг хийдэг x = e t , (\displaystyle x=e^(t),)тэр бол t = ln ⁡ x , (\displaystyle t=\ln x,)Эйлерийн томъёог ашиглана. Өмнө нь дурын тогтмолыг тодорхойлохдоо ижил төстэй үйлдлүүдийг хийж байсан.
     • y (t) = e α t (c 1 e β i t + c 2 e − β i t) (\displaystyle y(t)=e^(\alpha t)(c_(1)e^(\beta it)+ c_(2)e^(-\beta it)))
   • Дараа нь ерөнхий шийдлийг ингэж бичиж болно
     • y (x) = x α (c 1 cos ⁡ (β ln ⁡ x) + c 2 sin ⁡ (β ln ⁡ x)) (\displaystyle y(x)=x^(\alpha )(c_(1)\) cos(\beta \ln x)+c_(2)\sin(\beta \ln x)))

   Олон үндэс.Хоёр дахь шугаман бие даасан шийдлийг олж авахын тулд дарааллыг дахин багасгах шаардлагатай.

   • Энэ нь маш их тооцоолол шаарддаг боловч зарчим нь хэвээр байна: бид орлуулдаг y = v (x) y 1 (\displaystyle y=v(x)y_(1))Эхний шийдэл нь тэгшитгэл болгон хувиргана y 1 (\displaystyle y_(1)). Хөнгөлөлт хийсний дараа энэ нь тодорхой болно дараах тэгшитгэл:
     • v ″ + 1 x v ′ = 0 (\displaystyle v""+(\frac (1)(x))v"=0)
   • Энэ бол нэгдүгээр зэрэглэлийн шугаман тэгшитгэл юм v ′ (x) . (\displaystyle v"(x).)Түүний шийдэл v (x) = c 1 + c 2 ln ⁡ x . (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)\ln x.)Тиймээс шийдлийг дараах хэлбэрээр бичиж болно. Үүнийг санахад маш хялбар байдаг - хоёр дахь нь шугаман байдлаар авах бие даасан шийдвэрзүгээр л нэмэлт гишүүн шаарддаг ln ⁡ x (\displaystyle \ln x).
     • y (x) = x n (c 1 + c 2 ln ⁡ x) (\displaystyle y(x)=x^(n)(c_(1)+c_(2)\ln x))

4. Тогтмол коэффициент бүхий нэг төрлийн бус шугаман дифференциал тэгшитгэл.Нэг төрлийн бус тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна L [ y (x) ] = f (x) , (\displaystyle L=f(x),)Хаана f (x) (\displaystyle f(x))- гэж нэрлэгддэг чөлөөт гишүүн. Дифференциал тэгшитгэлийн онолын дагуу энэ тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь суперпозиция юм хувийн шийдэл y p (x) (\displaystyle y_(p)(x))Тэгээд нэмэлт шийдэл y c (x) . (\displaystyle y_(c)(x).)Гэсэн хэдий ч, энэ тохиолдолд тодорхой шийдэл нь эхний нөхцлөөр өгөгдсөн шийдлийг илэрхийлдэггүй, харин нэг төрлийн бус байдал (чөлөөт нэр томъёо) -аар тодорхойлогддог шийдэл юм. Нэмэлт шийдэл нь харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдэл юм f (x) = 0. (\displaystyle f(x)=0.)Ерөнхий шийдэл нь эдгээр хоёр шийдлийн суперпозиция юм L [ y p + y c ] = L [ y p ] + L [ y c ] = f (x) (\displaystyle L=L+L=f(x)), ба түүнээс хойш L [ y c ] = 0 , (\displaystyle L=0,)Ийм суперпозиция нь үнэхээр ерөнхий шийдэл юм.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = f (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=f(x))
   

   Арга тодорхой бус коэффициентүүд. Тогтворгүй коэффициентийн аргыг огтлолцох нэр томъёо нь экспоненциал, тригонометр, гипербол эсвэл чадлын функцүүдийн хослол болсон тохиолдолд ашиглагддаг. Зөвхөн эдгээр функцууд байх нь баталгаатай эцсийн тоошугаман бие даасан дериватив. Энэ хэсэгт бид тэгшитгэлийн тодорхой шийдлийг олох болно.

   • Нэр томъёог харьцуулж үзье f (x) (\displaystyle f(x))тогтмол хүчин зүйлд анхаарал хандуулахгүйгээр нэр томъёогоор. Гурван тохиолдол бий.
     • Хоёр гишүүн байхгүй.Энэ тохиолдолд тодорхой шийдэл y p (\displaystyle y_(p))-аас нэр томъёоны шугаман хослол байх болно y p (\displaystyle y_(p))
     • f (x) (\displaystyle f(x)) гишүүнийг агуулсан x n (\displaystyle x^(n)) болон гишүүн y c , (\displaystyle y_(c),) Хаана n (\displaystyle n) нь тэг буюу эерэг бүхэл тоо бөгөөд энэ нэр томъёо нь шинж чанарын тэгшитгэлийн тусдаа язгууртай тохирч байна.Энэ тохиолдолд y p (\displaystyle y_(p))функцын хослолоос бүрдэнэ x n + 1 h (x) , (\displaystyle x^(n+1)h(x),)түүний шугаман бие даасан дериватив, түүнчлэн бусад нэр томъёо f (x) (\displaystyle f(x))ба тэдгээрийн шугаман бие даасан деривативууд.
     • f (x) (\displaystyle f(x)) гишүүнийг агуулсан h (x) , (\displaystyle h(x),) энэ нь ажил юм x n (\displaystyle x^(n)) болон гишүүн y c , (\displaystyle y_(c),) Хаана n (\displaystyle n) 0 буюу эерэг бүхэл тоотой тэнцүү бөгөөд энэ нэр томъёо нь тохирч байна олоншинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс.Энэ тохиолдолд y p (\displaystyle y_(p))функцийн шугаман хослол юм x n + s h (x) (\displaystyle x^(n+s)h(x))(Хаана s (\displaystyle s)- язгуурын олон талт) ба түүний шугаман бие даасан деривативууд, түүнчлэн функцийн бусад гишүүд f (x) (\displaystyle f(x))ба түүний шугаман бие даасан деривативууд.
   • Үүнийг бичээд үзье y p (\displaystyle y_(p))дээр дурдсан нэр томъёоны шугаман хослол хэлбэрээр. Шугаман хослол дахь эдгээр коэффициентүүдийн ачаар энэ арга"тодорхойгүй коэффициентийн арга" гэж нэрлэдэг. Үүнд агуулагдах үед y c (\displaystyle y_(c))-д дурын тогтмолууд байгаа тул гишүүдийг хасаж болно y c . (\displaystyle y_(c).)Үүний дараа бид орлуулна y p (\displaystyle y_(p))тэгшитгэлд оруулж, ижил төстэй нэр томъёог тэнцүүл.
   • Бид коэффициентийг тодорхойлдог. Энэ үе шатанд алгебрийн тэгшитгэлийн системийг олж авдаг бөгөөд үүнийг ихэвчлэн ямар ч асуудалгүйгээр шийдэж болно. Энэ системийн шийдэл нь бидэнд олж авах боломжийг олгодог y p (\displaystyle y_(p))улмаар тэгшитгэлийг шийднэ.
   • Жишээ 2.3.Чөлөөт гишүүн нь хязгаарлагдмал тооны шугаман бие даасан дериватив агуулсан нэгэн төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийг авч үзье. Ийм тэгшитгэлийн тодорхой шийдлийг тодорхой бус коэффициентийн аргаар олж болно.
     • d 2 y d t 2 + 6 y = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )t^(2) ))+6y=2e^(3t)-\cos 5t)
     • y c (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t (\displaystyle y_(c)(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t)
     • y p (t) = A e 3 t + B cos ⁡ 5 t + C sin ⁡ 5 t (\displaystyle y_(p)(t)=Ae^(3t)+B\cos 5t+C\sin 5t)
     • 9 A e 3 t − 25 B cos ⁡ 5 t − 25 C sin ⁡ 5 t + 6 A e 3 t + 6 B cos ⁡ 5 t + 6 C sin ⁡ 5 t = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t ( \displaystyle (\эхлэх(зэрэгцүүлсэн)9Ae^(3t)-25B\cos 5t&-25C\sin 5t+6Ae^(3t)\\&+6B\cos 5t+6C\sin 5t=2e^(3t)-\ cos 5t\төгсгөл(гацсан)))
     • ( 9 A + 6 A = 2 , A = 2 15 − 25 B + 6 B = − 1 , B = 1 19 − 25 C + 6 C = 0 , C = 0 (\displaystyle (\begin(тохиолдлууд)9A+ 6A) =2,&A=(\dfrac (2)(15))\\-25B+6B=-1,&B=(\dfrac (1)(19))\\-25C+6C=0,&C=0 \ төгсгөл(тохиолдлууд)))
     • y (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t + 2 15 e 3 t + 1 19 cos ⁡ 5 t (\displaystyle y(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6) ))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t+(\frac (2)(15))e^(3t)+(\frac (1)(19))\cos 5t)

   Лагранжийн арга.Лагранжийн арга буюу дурын тогтмолуудын өөрчлөлтийн арга нь нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх ерөнхий арга юм, ялангуяа огтлолцох гишүүн хязгаарлагдмал тооны шугаман бие даасан деривативыг агуулаагүй тохиолдолд. Жишээлбэл, хэзээ чөлөөт гишүүд бор ⁡ x (\displaystyle \tan x)эсвэл x − n (\displaystyle x^(-n))тодорхой шийдлийг олохын тулд Лагранжийн аргыг ашиглах шаардлагатай. Лагранжийн аргыг хувьсах коэффициент бүхий дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ч ашиглаж болно, гэхдээ энэ тохиолдолд Коши-Эйлерийн тэгшитгэлээс бусад тохиолдолд нэмэлт шийдлийг ихэвчлэн томъёогоор илэрхийлдэггүй тул үүнийг бага ашигладаг. үндсэн функцууд.

   • Шийдэл нь дараах хэлбэртэй байна гэж үзье. Түүний деривативыг хоёр дахь мөрөнд өгсөн болно.
     • y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) (\displaystyle y(x)=v_(1)(x)y_(1)(x)+v_ (2)(x)y_(2)(x))
     • y ′ = v 1 ′ y 1 + v 1 y 1 ′ + v 2 ′ y 2 + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)"y_(1)+v_(1)y_(1) "+v_(2)"y_(2)+v_(2)y_(2)")
   • Учир нь санал болгож буй шийдэл нь агуулдаг хоёрүл мэдэгдэх тоо хэмжээ, энэ нь ногдуулах шаардлагатай байна нэмэлтнөхцөл. Энэ нэмэлт нөхцөлийг дараах хэлбэрээр сонгоё.
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 (\displaystyle v_(1)"y_(1)+v_(2)"y_(2)=0)
     • y ′ = v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)y_(1)"+v_(2)y_(2)")
     • y ″ = v 1 ′ y 1 ′ + v 1 y 1 ″ + v 2 ′ y 2 ′ + v 2 y 2 ″ (\displaystyle y""=v_(1)"y_(1)"+v_(1) y_(1)""+v_(2)"y_(2)"+v_(2)y_(2)"")
   • Одоо бид хоёр дахь тэгшитгэлийг авч болно. Гишүүдийг сольж, дахин хуваарилсны дараа та гишүүдийг хамтад нь бүлэглэж болно v 1 (\displaystyle v_(1))болон гишүүдтэй v 2 (\displaystyle v_(2)). Учир нь эдгээр нэр томъёог багасгасан y 1 (\displaystyle y_(1))Тэгээд y 2 (\displaystyle y_(2))нь харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдэл юм. Үүний үр дүнд бид дараах тэгшитгэлийн системийг олж авна
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 v 1 ′ y 1 ′ + v 2 ′ y 2 ′ = f (x) (\displaystyle (\эхлэх(зэрэг)v_(1)"y_(1)+) v_(2)"y_(2)&=0\\v_(1)"y_(1)"+v_(2)"y_(2)"&=f(x)\\\төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)))
   • Энэ системийг хөрвүүлэх боломжтой матрицын тэгшитгэлтөрлийн A x = b , (\displaystyle A(\mathbf (x) )=(\mathbf (b) ))хэний шийдэл вэ x = A − 1 b . (\displaystyle (\mathbf (x) )=A^(-1)(\mathbf (b) ).)Матрицын хувьд 2 × 2 (\displaystyle 2\ дахин 2)Урвуу матрицыг тодорхойлогчдод хувааж, диагональ элементүүдийг дахин байрлуулж, диагональ бус элементүүдийн тэмдгийг өөрчлөх замаар олно. Үнэн хэрэгтээ энэ матрицын тодорхойлогч нь Вронскиан юм.
     • (v 1 ′ v 2 ′) = 1 Вт (y 2 ′ − y 2 − y 1 ′ y 1) (0 f (x)) (\displaystyle (\begin(pmatrix)v_(1)"\\v_( 2)"\end(pmatrix))=(\frac (1)(W))(\begin(pmatrix)y_(2)"&-y_(2)\\-y_(1)"&y_(1)\ end(pmatrix))(\begin(pmatrix)0\\f(x)\end(pmatrix)))
   • -д зориулсан илэрхийлэл v 1 (\displaystyle v_(1))Тэгээд v 2 (\displaystyle v_(2))доор өгөв. Захиалга багасгах аргын нэгэн адил энэ тохиолдолд интегралчлалын явцад дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэлд нэмэлт шийдлийг багтаасан дурын тогтмол гарч ирдэг.
     • v 1 (x) = − ∫ 1 W f (x) y 2 (x) d x (\displaystyle v_(1)(x)=-\int (\frac (1)(W))f(x)y_( 2)(x)(\mathrm (d) )x)
     • v 2 (x) = ∫ 1 W f (x) y 1 (x) d x (\displaystyle v_(2)(x)=\int (\frac (1)(W))f(x)y_(1) (x)(\mathrm (d) )x)
   
   Үндэсний Нээлттэй Их Сургуулийн Intuit-ийн "Тогтмол коэффициент бүхий n-р эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл" гэсэн лекц.

Практик хэрэглээ

Дифференциал тэгшитгэл нь функц болон түүний нэг буюу хэд хэдэн дериватив хоорондын хамаарлыг тогтоодог. Ийм харилцаа нь туйлын нийтлэг байдаг тул дифференциал тэгшитгэл нь янз бүрийн салбарт өргөн хэрэглэгдэх болсон бөгөөд бид дөрвөн хэмжээст амьдардаг тул эдгээр тэгшитгэлүүд нь ихэвчлэн дифференциал тэгшитгэлүүд байдаг. хувийндеривативууд. Энэ хэсэгт энэ төрлийн хамгийн чухал тэгшитгэлүүдийг багтаасан болно.

• Экспоненциал өсөлт ба бууралт.Цацраг идэвхт задрал. Нийлмэл хүү. Хурд химийн урвал. Цусан дахь эмийн концентраци. Хязгааргүй хүн амын өсөлт. Ньютон-Ричманы хууль. IN бодит ертөнцӨсөлт, ялзралын хурд нь тухайн цаг үеийн хэмжээтэй пропорциональ байдаг олон систем байдаг Энэ мөчцаг хугацаа эсвэл загвараар сайн ойртуулж болно. Учир нь энэхүү дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл болох экспоненциал функц нь хамгийн олон шийдлийн нэг юм чухал функцуудматематик болон бусад шинжлэх ухаанд. Илүү их ерөнхий тохиолдолхяналттай хүн амын өсөлттэй үед уг системд өсөлтийг хязгаарлах нэмэлт гишүүд багтаж болно. Доорх тэгшитгэлд тогтмол k (\displaystyle k)тэгээс их эсвэл бага байж болно.
  • d y d x = k x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=kx)
• Гармоник чичиргээ.Сонгодог болон дотор аль алинд нь квант механикгармоник осциллятор нь хамгийн чухал зүйлсийн нэг юм физик системүүдэнгийн дүүжин гэх мэт илүү төвөгтэй системийг ойртуулах энгийн бөгөөд өргөн хэрэглээний улмаас. IN сонгодог механикгармоник чичиргээ нь байрлалтай холбоотой тэгшитгэлээр тодорхойлогддог материаллаг цэгХукийн хуулиар хурдатгалаараа. Энэ тохиолдолд чийгшүүлэх, хөдөлгөх хүчийг мөн харгалзан үзэж болно. Доорх илэрхийлэлд x ˙ (\displaystyle (\цэг (x)))-ийн цаг хугацааны дериватив x , (\displaystyle x,) β (\displaystyle \beta)- Норгосны хүчийг тодорхойлсон параметр; ω 0 (\displaystyle \omega _(0))- системийн өнцгийн давтамж, F (t) (\displaystyle F(t))- цаг хугацаанаас хамааралтай хөдөлгөгч хүч. Гармоник осциллятормөн цахилгаан соронзонд байдаг хэлбэлзлийн хэлхээнүүд, үүнийг механик системээс илүү нарийвчлалтайгаар хэрэгжүүлэх боломжтой.
  • x ¨ + 2 β x ˙ + ω 0 2 x = F (t) (\displaystyle (\ddot (x))+2\бета (\цэг (x))+\omega _(0)^(2)x =F(t))
• Бесселийн тэгшитгэл.Бесселийн дифференциал тэгшитгэлийг долгионы тэгшитгэл, Лапласын тэгшитгэл, Шредингерийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх зэрэг физикийн олон салбарт, ялангуяа цилиндр хэлбэртэй эсвэл бөмбөрцөг тэгш хэм. Хувьсах коэффициент бүхий энэ хоёр дахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл нь Коши-Эйлерийн тэгшитгэл биш тул түүний шийдийг энгийн функцээр бичих боломжгүй. Бесселийн тэгшитгэлийн шийдлүүд нь Бесселийн функцууд бөгөөд олон салбарт хэрэглэгдэх тул сайн судлагдсан байдаг. Доорх илэрхийлэлд α (\displaystyle \alpha)- тохирох тогтмол дарааллаарБесселийн функцууд.
  • x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + (x 2 − α 2) y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) ) )x^(2)))+x(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+(x^(2)-\альфа ^(2)) у=0)
• Максвеллийн тэгшитгэл.Лоренцын хүчний зэрэгцээ Максвеллийн тэгшитгэлүүд суурь болдог сонгодог электродинамик. Эдгээр нь цахилгааны дөрвөн хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэл юм E (r , t) (\displaystyle (\mathbf (E) )((\mathbf (r) ),t))ба соронзон B (r , t) (\displaystyle (\mathbf (B) )((\mathbf (r) ),t))талбайнууд. Доорх илэрхийлэлд ρ = ρ (r , t) (\displaystyle \rho =\rho ((\mathbf (r) ),t))- цэнэгийн нягт, J = J (r , t) (\ displaystyle (\ mathbf (J) ) = (\ mathbf (J) ) ((\ mathbf (r) ), t))- одоогийн нягтрал, ба ϵ 0 (\displaystyle \epsilon _(0))Тэгээд μ 0 (\displaystyle \mu _(0))- цахилгаан ба соронзон тогтмолууд.
  • ∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E = − ∂ B ∂ t ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t (\displaystyle (\begin(bladdo)) (\mathbf (E) )&=(\frac (\rho )(\epsilon _(0)))\\\nabla \cdot (\mathbf (B) )&=0\\\nabla \times (\mathbf (E) )&=-(\frac (\хэсэг (\mathbf (B) ))(\хэсэг t))\\\nabla \times (\mathbf (B) )&=\mu _(0)(\ mathbf (J) )+\mu _(0)\epsilon _(0)(\frac (\хэсэг (\mathbf (E) ))(\хэсэг t))\төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)))
• Шредингерийн тэгшитгэл.Квант механикийн хувьд Шредингерийн тэгшитгэл нь өөрчлөлтийн дагуу бөөмсийн хөдөлгөөнийг тодорхойлдог хөдөлгөөний үндсэн тэгшитгэл юм. долгионы функц Ψ = Ψ (r , t) (\displaystyle \Psi =\Psi ((\mathbf (r) ),t))цаг хугацаа өнгөрөхөд. Хөдөлгөөний тэгшитгэл нь зан төлөвөөр тодорхойлогддог Гамильтон H^(\displaystyle (\малгай (H))) - оператор, энэ нь системийн энергийг тодорхойлдог. Физик дэх Шредингерийн тэгшитгэлийн алдартай жишээнүүдийн нэг бол потенциалд хамаарах харьцангуй бус нэг бөөмийн тэгшитгэл юм. V (r , t) (\displaystyle V((\mathbf (r) ),t)). Олон системийг цаг хугацаанаас хамааралтай Шредингерийн тэгшитгэлээр дүрсэлсэн бөгөөд тэгшитгэлийн зүүн талд байна. E Ψ , (\displaystyle E\Psi,)Хаана E (\displaystyle E)- бөөмийн энерги. Доорх илэрхийлэлд ℏ (\displaystyle \hbar)- багассан Планк тогтмол.
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = H ^ Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\хэсэг \Psi )(\хэсэг t))=(\малгай (H))\Psi )
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = (− ℏ 2 2 м ∇ 2 + V (r , t)) Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=\left(-) (\frac (\hbar ^(2))(2м))\nabla ^(2)+V((\mathbf (r) ),t)\баруун)\Psi )
• Долгионы тэгшитгэл.Физик, технологийг долгионгүйгээр төсөөлөхийн аргагүй; тэдгээр нь бүх төрлийн системд байдаг. Ерөнхийдөө долгионыг доорх тэгшитгэлээр тодорхойлно u = u (r , t) (\displaystyle u=u((\mathbf (r) ),t))нь хүссэн функц бөгөөд c (\displaystyle c)- туршилтаар тодорхойлсон тогтмол. Д'Аламберт нэг хэмжээст тохиолдолд долгионы тэгшитгэлийн шийдэл болохыг анх нээсэн хүн юм. ямар чаргументтай функц x − c t (\displaystyle x-ct)долгионыг дүрсэлсэн чөлөөт хэлбэр, баруун тийш тархсан. Нэг хэмжээст тохиолдлын ерөнхий шийдэл нь энэ функцийг аргументтай хоёр дахь функцтэй шугаман хослол юм. x + c t (\displaystyle x+ct), энэ нь зүүн тийш тархаж буй долгионыг дүрсэлдэг. Энэ шийдлийг хоёр дахь мөрөнд үзүүлэв.
  • ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u (\displaystyle (\frac (\хэсэг ^(2)u)(\хэсэг t^(2))))=c^(2)\nabla ^(2)u )
  • u (x , t) = f (x − c t) + g (x + c t) (\displaystyle u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct))
• Навье-Стоксын тэгшитгэл.Навье-Стоксын тэгшитгэл нь шингэний хөдөлгөөнийг тодорхойлдог. Шингэнүүд нь шинжлэх ухаан, технологийн бараг бүх салбарт байдаг тул эдгээр тэгшитгэл нь цаг агаарыг урьдчилан таамаглах, нисэх онгоц зохион бүтээх, судлахад маш чухал юм. далайн урсгалболон бусад олон шийдэл хэрэглээний асуудлууд. Навье-Стоксын тэгшитгэлүүд нь шугаман бус хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэлүүд бөгөөд ихэнх тохиолдолд шугаман бус байдал нь үймээнт байдалд хүргэдэг тул тэдгээрийг шийдвэрлэхэд маш хэцүү байдаг ба тоон аргаар тогтвортой шийдлийг олж авахын тулд маш жижиг нүднүүдэд хуваах шаардлагатай байдаг бөгөөд энэ нь тооцоолоход ихээхэн хүч шаарддаг. Гидродинамикийн практик зорилгоор турбулент урсгалыг загварчлахад цагийн дундаж зэрэг аргуудыг ашигладаг. Шийдэл байгаа эсэх, өвөрмөц байдал гэх мэт илүү үндсэн асуултууд шугаман бус тэгшитгэлхэсэгчилсэн деривативт, мөн Навиер-Стоксын тэгшитгэлийн шийдэл байгаа эсэх, өвөрмөц байдлын нотолгоог гурван хэмжээст хэсэгт оруулсан болно. математикийн асуудлуудмянган жил. Шахагдахгүй шингэний урсгалын тэгшитгэл ба тасралтгүй байдлын тэгшитгэлийг доор харуулав.
  • ∂ u ∂ t + (u ⋅ ∇) u − ν ∇ 2 u = − ∇ h , ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ (ρ u) = 0 (\ Displaystyle (\ frac (\ хэсэгчилсэн (\ mathb) f) )(\хэсэг t))+((\mathbf (u) )\cdot \nabla)(\mathbf (u) )-\nu \nabla ^(2)(\mathbf (u) )=-\nabla h, \quad (\frac (\partial \rho )(\partial t))+\nabla \cdot (\rho (\mathbf (u) ))=0)

• Олон дифференциал тэгшитгэлийг дээрх аргууд, ялангуяа сүүлийн хэсэгт дурдсан аргуудыг ашиглан шийдэх боломжгүй юм. Энэ нь тэгшитгэлийг агуулсан тохиолдолд хамаарна хувьсах магадлалба Коши-Эйлерийн тэгшитгэл биш, эсвэл тэгшитгэл нь маш ховор тохиолдлуудаас бусад тохиолдолд шугаман бус үед. Гэсэн хэдий ч дээрх аргууд нь ихэвчлэн тулгардаг олон чухал дифференциал тэгшитгэлийг шийдэж чадна янз бүрийн бүс нутагШинжлэх ухаан.
• Аливаа функцийн деривативыг олох боломжийг олгодог дифференциалаас ялгаатай нь олон илэрхийллийн интегралыг энгийн функцээр илэрхийлэх боломжгүй юм. Тиймээс интегралыг тооцоолох боломжгүй газарт цаг алдах хэрэггүй. Интегралын хүснэгтийг харна уу. Хэрэв дифференциал тэгшитгэлийн шийдлийг элементар функцээр илэрхийлэх боломжгүй бол заримдаа интеграл хэлбэрээр дүрслэгдэж болох ба энэ тохиолдолд энэ интегралыг аналитик аргаар тооцоолох эсэх нь хамаагүй.

Анхааруулга

• Гадаад төрхдифференциал тэгшитгэл нь төөрөгдүүлж болно. Жишээлбэл, доор хоёр нэгдүгээр зэрэглэлийн дифференциал тэгшитгэл байна. Эхний тэгшитгэлийг энэ зүйлд тайлбарласан аргуудыг ашиглан хялбархан шийдэж болно. Эхлээд харахад бага зэргийн өөрчлөлт y (\displaystyle y)дээр y 2 (\displaystyle y^(2))Хоёр дахь тэгшитгэлд үүнийг шугаман бус болгож, шийдвэрлэхэд маш хэцүү болдог.
  • d y d x = x 2 + y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y)
  • d y d x = x 2 + y 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y^(2))

Ердийн дифференциал тэгшитгэл Энэ нь бие даасан хувьсагч, энэ хувьсагчийн үл мэдэгдэх функц болон түүний төрөл бүрийн эрэмбийн дериватив (эсвэл дифференциал)-тай холбоотой тэгшитгэл юм.

Дифференциал тэгшитгэлийн дараалал түүнд агуулагдах хамгийн дээд деривативын дараалал гэж нэрлэдэг.

Энгийнээс гадна хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэлийг бас судалдаг. Эдгээр нь бие даасан хувьсагчтай холбоотой тэгшитгэлүүд, эдгээр хувьсагчийн үл мэдэгдэх функц ба ижил хувьсагчидтай холбоотой түүний хэсэгчилсэн деривативууд юм. Гэхдээ бид зөвхөн авч үзэх болно энгийн дифференциал тэгшитгэл Тиймээс товчхон байхын тулд бид "энгийн" гэдэг үгийг орхих болно.

Дифференциал тэгшитгэлийн жишээ:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Тэгшитгэл (1) нь дөрөв дэх, (2) нь гуравдугаар, (3) ба (4) нь хоёр дахь, (5) нь нэгдүгээр зэрэглэлийн байна.

Дифференциал тэгшитгэл n-р дараалал нь тодорхой функцийг агуулсан байх албагүй бөгөөд эхнийхээс бүх уламжлалыг n-р дараалал ба бие даасан хувьсагч. Энэ нь тодорхой дарааллын дериватив, функц эсвэл бие даасан хувьсагчийг агуулаагүй байж болно.

Жишээлбэл, (1) тэгшитгэлд гурав, хоёрдугаар эрэмбийн дериватив, түүнчлэн функц байхгүй байна; (2) тэгшитгэлд - хоёрдугаар эрэмбийн дериватив ба функц; (4) тэгшитгэлд - бие даасан хувьсагч; (5) тэгшитгэлд - функцууд. Зөвхөн тэгшитгэл (3) нь бүх дериватив, функц болон бие даасан хувьсагчийг тодорхой агуулна.

Дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх функц бүрийг дууддаг у = f(x), тэгшитгэлд орлуулснаар таних тэмдэг болж хувирна.

Дифференциал тэгшитгэлийн шийдийг олох үйл явцыг түүний гэнэ интеграци.

Жишээ 1.Дифференциал тэгшитгэлийн шийдийг ол.

Шийдэл. Энэ тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичье. Үүний шийдэл нь түүний уламжлалаас функцийг олох явдал юм. Интеграл тооцооноос мэдэгдэж байгаа анхны функц нь эсрэг дериватив юм, i.e.

Ийм л байна Энэ дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл . Дотор нь өөрчлөгдөж байна C, бид өөр өөр шийдлүүдийг олж авах болно. байгааг бид олж мэдсэн хязгааргүй олонлогНэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн шийдлүүд.

Дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл n th дараалал нь үл мэдэгдэх функцтэй холбоотой тодорхой илэрхийлэгдсэн түүний шийдэл юм nбие даасан дурын тогтмолууд, i.e.

Жишээ 1 дэх дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл нь ерөнхий байна.

Дифференциал тэгшитгэлийн хэсэгчилсэн шийдэл дурын тогтмолуудад тодорхой тоон утгыг өгдөг шийдлийг нэрлэдэг.

Жишээ 2.Дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл ба тодорхой шийдийг ол .

Шийдэл. Тэгшитгэлийн хоёр талыг дифференциал тэгшитгэлийн дараалалтай тэнцүү хэд дахин интегралцъя.

,

.

Үүний үр дүнд бид ерөнхий шийдлийг хүлээн авлаа -

Өгөгдсөн гурав дахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн .

Одоо заасан нөхцөлд тодорхой шийдлийг олцгооё. Үүнийг хийхийн тулд дурын коэффициентүүдийн оронд тэдгээрийн утгыг орлуулж, авна уу

.

Хэрэв дифференциал тэгшитгэлээс гадна анхны нөхцөлийг хэлбэрээр өгвөл ийм бодлогыг нэрлэнэ. Кошигийн асуудал . Тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэлд утгуудыг орлуулж, дурын тогтмолын утгыг ол. C, дараа нь олсон утгын тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл C. Энэ бол Кошигийн асуудлын шийдэл юм.

Жишээ 3. 1-р жишээн дээрх дифференциал тэгшитгэлийн Коши бодлогыг шийд.

Шийдэл. Анхны нөхцлийн утгыг ерөнхий шийдэл болгон орлуулъя y = 3, x= 1. Бид авдаг

Энэ нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн хувьд Кошигийн асуудлын шийдлийг бид бичнэ.

Дифференциал тэгшитгэлийг, тэр ч байтугай хамгийн энгийнийг нь шийдэх нь сайн интеграл, дериватив ур чадвар, түүний дотор нарийн төвөгтэй функцуудыг шаарддаг. Үүнийг дараах жишээнээс харж болно.

Жишээ 4.Дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол.

Шийдэл. Тэгшитгэлийг ийм хэлбэрээр бичсэн бөгөөд та хоёр талыг шууд нэгтгэж болно.

.

Бид хувьсагчийг өөрчлөх замаар интеграцийн аргыг хэрэглэдэг (орлуулах). Тэгээд байг.

авах шаардлагатай dxтэгээд одоо - анхаарал - бид үүнийг нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийн дагуу хийдэг, учир нь xмөн байдаг нарийн төвөгтэй функц("алим" гэдэг нь дөрвөлжин язгуур гаргаж авах, эсвэл "хагас" хүртэл өсгөх, "татсан мах" гэдэг нь үндэс дор байгаа илэрхийлэл юм):

Бид интегралыг олдог:

Хувьсагч руу буцах x, бид авах:

.

Энэ бол нэгдүгээр зэргийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл юм.

Зөвхөн өмнөх хэсгүүдийн ур чадвар биш дээд математикдифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд шаардагдах болно, гэхдээ бага ангийн, өөрөөр хэлбэл сургуулийн математикийн ур чадвар. Өмнө дурьдсанчлан аливаа дарааллын дифференциал тэгшитгэлд бие даасан хувьсагч, өөрөөр хэлбэл хувьсагч байж болохгүй. x. Сургуулиас мартаагүй байсан пропорцын талаархи мэдлэг (гэхдээ хэнээс хамаарч) энэ асуудлыг шийдвэрлэхэд тусална. Энэ бол дараагийн жишээ юм.

Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл. Шийдлийн жишээ.
Салгаж болох хувьсагчтай дифференциал тэгшитгэл

Дифференциал тэгшитгэл (DE). Энэ хоёр үг ихэвчлэн энгийн хүнийг айлгадаг. Дифференциал тэгшитгэл нь олон оюутнуудын хувьд хэцүү бөгөөд эзэмшихэд хэцүү зүйл юм шиг санагддаг. Ууууууу... дифференциал тэгшитгэл, би энэ бүхнийг яаж давах вэ?!

Энэ үзэл бодол, энэ хандлага үндсэндээ буруу, учир нь үнэндээ Дифференциал тэгшитгэлүүд - ЭНГИЙН ЭНГИЙН, БҮР ХӨГЖИЛТЭЙ. Дифференциал тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэж сурахын тулд та юу мэдэж, чадвартай байх ёстой вэ? Учир нь амжилттай суралцахТа нэгтгэх, ялгахдаа сайн байх ёстой. Сэдвүүдийг илүү сайн судалдаг Нэг хувьсагчийн функцийн деривативТэгээд Тодорхой бус интеграл, дифференциал тэгшитгэлийг ойлгоход хялбар байх болно. Би илүү ихийг хэлэх болно, хэрэв та илүү их эсвэл бага хэмжээний интеграцчлах чадвартай бол энэ сэдвийг бараг эзэмшсэн болно! Төрөл бүрийн интегралыг шийдэх тусам илүү сайн. Яагаад? Та маш их нэгтгэх хэрэгтэй болно. Мөн ялгах. Мөн маш их зөвлөж байнаолж сур.

Тохиолдлын 95% -д туршилтуудЭхний эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн 3 төрөл байдаг. салгаж болох тэгшитгэлүүдҮүнийг бид энэ хичээл дээр авч үзэх болно; нэгэн төрлийн тэгшитгэлТэгээд шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэл. Диффузорыг судалж эхэлж буй хүмүүсийн хувьд би хичээлүүдийг яг энэ дарааллаар уншихыг зөвлөж байна, эхний хоёр өгүүллийг судалсны дараа нэмэлт семинарт ур чадвараа нэгтгэх нь гэмтээхгүй. нэгэн төрлийн болгон бууруулж буй тэгшитгэлүүд.

Илүү ховор дифференциал тэгшитгэлүүд байдаг: нийт дифференциал тэгшитгэл, Бернулли тэгшитгэл болон бусад. Сүүлийн хоёр төрлөөс хамгийн чухал нь нийт дифференциал дахь тэгшитгэлүүд юм, учир нь би энэхүү дифференциал тэгшитгэлээс гадна авч үздэг. шинэ материал – хэсэгчилсэн интеграци.

Хэрэв танд ганц хоёр хоног үлдсэн бол, Тэр хэт хурдан бэлтгэх зориулалттайБайна блиц курс pdf форматаар.

Тиймээс, тэмдэглэгээг тогтоосон - явцгаая:

Эхлээд ердийн алгебрийн тэгшитгэлийг санацгаая. Эдгээр нь хувьсагч, тоонуудыг агуулдаг. Хамгийн энгийн жишээ: . Энгийн тэгшитгэлийг шийднэ гэдэг нь юу гэсэн үг вэ? Энэ нь олох гэсэн үг юм тооны багц, энэ тэгшитгэлийг хангадаг. Хүүхдүүдийн тэгшитгэл нь нэг үндэстэй болохыг анзаарахад хялбар байдаг: . Хөгжилтэй байхын тулд олсон үндсийг шалгаад тэгшитгэлдээ орлъё:

– зөв тэгш байдлыг олж авсан нь шийдлийг зөв олсон гэсэн үг.

Диффузорууд нь ижил аргаар хийгдсэн байдаг!

Дифференциал тэгшитгэл эхний захиалгаерөнхийдөө агуулсан:
1) бие даасан хувьсагч;
2) хамааралтай хувьсагч (функц);
3) функцийн эхний дериватив: .

Зарим 1-р эрэмбийн тэгшитгэлд "x" ба/эсвэл "y" байхгүй байж болох ч энэ нь тийм ч чухал биш юм. чухалхяналтын өрөө рүү явах байсананхны дериватив, ба байхгүй байсандээд эрэмбийн дериватив – гэх мэт.

Юу гэж байгаан ?Дифференциал тэгшитгэлийг шийднэ гэдэг нь олно гэсэн үг бүх функцийн багц, энэ тэгшитгэлийг хангадаг. Ийм функцүүдийн багц нь ихэвчлэн хэлбэртэй байдаг (- дурын тогтмол) гэж нэрлэдэг дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл.

Жишээ 1

Дифференциал тэгшитгэлийг шийд

Бүрэн сум. Хаанаас эхлэх вэ шийдэл?

Юуны өмнө та деривативыг арай өөр хэлбэрээр дахин бичих хэрэгтэй. Та нарын ихэнх нь инээдтэй, шаардлагагүй мэт санагдаж байсан нүсэр тэмдэглэгээг бид санаж байна. Диффузоруудад ийм дүрэм журам байдаг!

Хоёр дахь шатанд энэ нь боломжтой эсэхийг харцгаая тусдаа хувьсагч?Хувьсагчдыг салгах нь юу гэсэн үг вэ? Бүдүүлэг хэлэхэд, зүүн талдбид явах хэрэгтэй зөвхөн "Грекүүд", А баруун талдзохион байгуулах зөвхөн "X". Хувьсагчдыг хуваах нь "сургуулийн" заль мэхийг ашиглан хийгддэг: тэдгээрийг хаалтнаас гаргах, тэмдэгтийн өөрчлөлтөөр нэр томьёог хэсгээс хэсэг рүү шилжүүлэх, пропорциональ дүрмийн дагуу хүчин зүйлийг хэсгээс хэсэг рүү шилжүүлэх гэх мэт.

Дифференциалууд нь бүрэн үржүүлэгч, дайны ажиллагаанд идэвхтэй оролцогчид юм. Харж буй жишээн дээр хувьсагчдыг пропорциональ дүрмийн дагуу хүчин зүйлсийг шидэх замаар хялбархан салгаж болно.

Хувьсагчдыг тусгаарласан. Зүүн талд зөвхөн "Y", баруун талд нь зөвхөн "X" байна.

Дараагийн шат - дифференциал тэгшитгэлийн интеграл. Энэ нь энгийн, бид хоёр талдаа интеграл тавьдаг:

Мэдээжийн хэрэг, бид интеграл авах хэрэгтэй. Энэ тохиолдолд тэдгээр нь хүснэгт хэлбэртэй байна:

Бидний санаж байгаагаар аливаа антидеривативт тогтмолыг оноодог. Энд хоёр интеграл байгаа боловч тогтмолыг нэг удаа бичихэд хангалттай (тогтмол + тогтмол нь өөр тогтмолтой тэнцүү хэвээр байгаа тул). Ихэнх тохиолдолд энэ нь баруун талд байрладаг.

Хатуухан хэлэхэд интегралуудыг авсны дараа дифференциал тэгшитгэлийг шийдсэн гэж үзнэ. Ганц зүйл бол бидний "y" нь "x" -ээр илэрхийлэгдээгүй, өөрөөр хэлбэл шийдлийг танилцуулсан явдал юм далд хэлбэрээрхэлбэр. Далд хэлбэрийн дифференциал тэгшитгэлийн шийдийг гэнэ ерөнхий интегралдифференциал тэгшитгэл. Өөрөөр хэлбэл, энэ бол ерөнхий интеграл юм.

Энэ маягтын хариултыг хүлээн зөвшөөрөх боломжтой, гэхдээ илүү сайн сонголт байна уу? Авахыг хичээцгээе нийтлэг шийдвэр.

Гуйя, Эхний техникийг санаарай, энэ нь маш түгээмэл бөгөөд практик даалгаварт ихэвчлэн ашиглагддаг: хэрэв интеграл хийсний дараа баруун талд логарифм гарч ирвэл олон тохиолдолд (гэхдээ үргэлж биш!) тогтмолыг логарифмын доор бичихийг зөвлөж байна..

Тэр бол, ОРОНДоруулгууд нь ихэвчлэн бичигдсэн байдаг .

Энэ яагаад хэрэгтэй вэ? Мөн "тоглоом" -ыг илэрхийлэхэд хялбар болгохын тулд. Логарифмын шинж чанарыг ашиглах . Энэ тохиолдолд:

Одоо логарифм болон модулиудыг устгаж болно:

Функцийг тодорхой харуулсан. Энэ бол ерөнхий шийдэл юм.

Хариулт: нийтлэг шийдвэр: .

Олон дифференциал тэгшитгэлийн хариултыг шалгахад маш хялбар байдаг. Манай тохиолдолд үүнийг маш энгийнээр хийдэг, бид олсон шийдлийг авч, ялгадаг.

Дараа нь бид деривативыг орлуулна анхны тэгшитгэл :

– зөв тэгш байдлыг олж авсан бөгөөд энэ нь ерөнхий шийдэл нь тэгшитгэлийг хангасан гэсэн үг бөгөөд үүнийг шалгах шаардлагатай байна.

Тогтмол өөр утгыг өгснөөр та хязгааргүй тоог авч болно хувийн шийдлүүддифференциал тэгшитгэл. , гэх мэт функцүүдийн аль нэг нь тодорхой байна. дифференциал тэгшитгэлийг хангана.

Заримдаа ерөнхий шийдлийг дууддаг функцүүдийн гэр бүл. Энэ жишээнд ерөнхий шийдэл нь шугаман функцүүдийн гэр бүл, эсвэл илүү нарийвчлалтайгаар шууд пропорциональ гэр бүл юм.

Эхний жишээг сайтар судалсны дараа цөөн хэдэн асуултад хариулах нь зүйтэй юм гэнэн асуултууддифференциал тэгшитгэлийн талаар:

1)Энэ жишээн дээр бид хувьсагчдыг салгаж чадсан. Үүнийг үргэлж хийх боломжтой юу?Үгүй ээ, үргэлж биш. Бүр илүү олон удаа хувьсагчдыг салгах боломжгүй байдаг. Жишээлбэл, in Нэг төрлийн нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлүүд, та эхлээд үүнийг солих хэрэгтэй. Бусад төрлийн тэгшитгэлд, жишээлбэл, нэгдүгээр эрэмбийн шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлд ерөнхий шийдлийг олохын тулд янз бүрийн техник, аргуудыг ашиглах хэрэгтэй. Эхний хичээл дээр авч үзэх салж болох хувьсагчтай тэгшитгэлүүд нь дифференциал тэгшитгэлийн хамгийн энгийн төрөл юм.

2) Дифференциал тэгшитгэлийг үргэлж интегралдах боломжтой юу?Үгүй ээ, үргэлж биш. Интегралдах боломжгүй "сайхан" тэгшитгэлийг гаргахад маш хялбар байдаг, үүнээс гадна авах боломжгүй интегралууд байдаг. Гэхдээ ижил төстэй DE-ийг ашиглан ойролцоогоор шийдэж болно тусгай аргууд. Д’Аламберт, Коши хоёр баталгаатай... ...Өө, lurkmore.Дөнгөж сая их уншихын тулд би бараг л “нөгөө ертөнцөөс” гэж нэмсэн.

3) Энэ жишээн дээр бид ерөнхий интеграл хэлбэрээр шийдлийг олж авсан . Ерөнхий интегралаас ерөнхий шийдийг олох, өөрөөр хэлбэл “y”-г тодорхой илэрхийлэх боломжтой юу?Үгүй ээ, үргэлж биш. Жишээлбэл: . "Грек хэл"-ийг энд яаж илэрхийлж чадаж байна аа?! Ийм тохиолдолд хариултыг ерөнхий интеграл хэлбэрээр бичих хэрэгтэй. Нэмж хэлэхэд, заримдаа ерөнхий шийдлийг олох боломжтой байдаг, гэхдээ энэ нь маш төвөгтэй, болхи бичсэн тул хариултыг ерөнхий интеграл хэлбэрээр үлдээсэн нь дээр.

4) ... магадгүй энэ нь одоохондоо хангалттай байх. Эхний жишээн дээр бид тааралдсан өөр нэг чухал зүйл, гэхдээ "дамми" -ыг шинэ мэдээллээр халхлахгүйн тулд би дараагийн хичээл хүртэл үлдээх болно.

Бид яарахгүй. Өөр нэг энгийн алсын удирдлага ба өөр нэг ердийн шийдэл:

Жишээ 2

Анхны нөхцөлийг хангасан дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг ол

Шийдэл: нөхцөлийн дагуу та олох хэрэгтэй хувийн шийдэлӨгөгдсөн анхны нөхцөлийг хангасан DE. Асуултын ийм томъёоллыг бас нэрлэдэг Кошигийн асуудал.

Эхлээд бид ерөнхий шийдлийг олдог. Тэгшитгэлд "х" хувьсагч байхгүй, гэхдээ энэ нь андуурч болохгүй, гол зүйл бол энэ нь анхны деривативтай байх явдал юм.

Бид деривативыг дахин бичнэ зөв хэлбэрээр:

Мэдээжийн хэрэг, хувьсагчдыг ялгаж болно, хөвгүүд зүүн талд, охид баруун талд:

Тэгшитгэлийг нэгтгэж үзье:

Ерөнхий интегралыг олж авна. Энд би одоор тэмдэглэгдсэн тогтмолыг зурсан бөгөөд энэ нь тун удахгүй өөр тогтмол болж хувирах болно.

Одоо бид ерөнхий интегралыг ерөнхий шийдэл болгон хувиргахыг хичээж байна ("y"-г тодорхой илэрхийлнэ үү). Сургуулийн өмнөх сайхан зүйлсийг санацгаая: . Энэ тохиолдолд:

Индикатор дахь тогтмол нь ямар нэгэн байдлаар тодорхой бус харагддаг тул ихэвчлэн дэлхий рүү буулгадаг. Нарийвчилсан байдлаар, ийм зүйл тохиолддог. Зэрэглэлийн шинж чанарыг ашиглан функцийг дараах байдлаар дахин бичнэ.

Хэрэв тогтмол бол зарим нэг тогтмол бол үүнийг үсгээр дахин тэмдэглэе:

Тогтмолыг "нураах" гэдгийг санаарай хоёр дахь техник, энэ нь дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ихэвчлэн хэрэглэгддэг.

Тэгэхээр ерөнхий шийдэл нь: . Энэ бол экспоненциал функцүүдийн сайхан гэр бүл юм.

Эцсийн шатанд та өгөгдсөн анхны нөхцөлийг хангасан тодорхой шийдлийг олох хэрэгтэй. Энэ бас энгийн.

Даалгавар юу вэ? Татаж авах хэрэгтэй иймнөхцөл хангагдахын тулд тогтмолын утга.

Үүнийг янз бүрийн хэлбэрээр форматлаж болох боловч энэ нь магадгүй хамгийн ойлгомжтой арга байх болно. Ерөнхий шийдэлд "X"-ийн оронд тэгийг, "Y"-ийн оронд хоёрыг орлуулна.



Тэр бол,

Стандарт хувилбардизайн:

Одоо бид тогтмолын олсон утгыг ерөнхий шийдэлд орлуулна.
- Энэ бол бидэнд хэрэгтэй тодорхой шийдэл юм.

Хариулт: хувийн шийдэл:

Шалгацгаая. Хувийн шийдлийг шалгах нь хоёр үе шаттай:

Эхлээд та тодорхой шийдэл нь анхны нөхцөлийг хангаж байгаа эсэхийг шалгах хэрэгтэй. "X"-ийн оронд бид тэгийг орлуулж, юу болохыг харна уу:
- тийм ээ, үнэхээр хоёрыг авсан нь эхний нөхцөл хангагдсан гэсэн үг.

Хоёр дахь шат нь аль хэдийн танил болсон. Бид тодорхой шийдлийг гаргаж, деривативыг олно.

Бид анхны тэгшитгэлд орлуулна:

- зөв тэгш байдлыг олж авсан.

Дүгнэлт: тодорхой шийдлийг зөв олсон.

Илүү утга учиртай жишээнүүд рүү шилжье.

Жишээ 3

Дифференциал тэгшитгэлийг шийд

Шийдэл:Бид деривативыг шаардлагатай хэлбэрээр дахин бичнэ.

Хувьсагчдыг салгах боломжтой эсэхийг бид үнэлдэг үү? Чадах. Бид хоёр дахь нэр томъёог тэмдгийн өөрчлөлтөөр баруун тийш шилжүүлнэ.

Мөн бид үржүүлэгчийг пропорциональ дүрмийн дагуу шилжүүлдэг.

Хувьсагчдыг тусгаарласан тул хоёр хэсгийг нэгтгэж үзье:

Би танд анхааруулах ёстой, шүүлтийн өдөр ойртож байна. Хэрэв та сайн сураагүй бол тодорхойгүй интегралууд, цөөн хэдэн жишээг шийдсэн бол явах газар байхгүй - та одоо тэдгээрийг эзэмших хэрэгтэй болно.

Зүүн талын интегралыг олоход хялбар байдаг; бид хичээл дээр үзсэн стандарт техникийг ашиглан котангентын интегралыг авч үздэг Тригонометрийн функцуудыг нэгтгэхөнгөрсөн жил:

Баруун талд нь логарифм байгаа бөгөөд миний анхны техникийн зөвлөмжийн дагуу тогтмолыг логарифмын доор бичих ёстой.

Одоо бид ерөнхий интегралыг хялбарчлахыг хичээж байна. Бидэнд зөвхөн логарифм байдаг тул тэднээс салах бүрэн боломжтой (мөн шаардлагатай). Ашиглах замаар мэдэгдэж байгаа шинж чанаруудБид логарифмуудыг аль болох "баглаа". Би үүнийг нарийвчлан бичих болно:

Сав баглаа боодол нь харгис хэрцгий урагдаж дууссан:

"Тоглоом"-ыг илэрхийлэх боломжтой юу? Чадах. Энэ нь хоёр хэсгийг дөрвөлжин болгох шаардлагатай.

Гэхдээ та үүнийг хийх шаардлагагүй.

Гурав дахь техникийн зөвлөгөө:Хэрэв ерөнхий шийдлийг олж авахын тулд хүчирхэг болох эсвэл үндэслэх шаардлагатай бол Ихэнх тохиолдолдТа эдгээр үйлдлээс татгалзаж, хариултыг ерөнхий интеграл хэлбэрээр үлдээх хэрэгтэй. Баримт нь ерөнхий шийдэл нь зүгээр л аймшигтай харагдах болно - том үндэс, тэмдэг болон бусад хогийн савтай.

Тиймээс бид хариултыг ерөнхий интеграл хэлбэрээр бичдэг. Үүнийг хэлбэрээр танилцуулах нь сайн туршлага гэж тооцогддог , өөрөөр хэлбэл баруун талд, боломжтой бол зөвхөн тогтмолыг үлдээх хэрэгтэй. Үүнийг хийх шаардлагагүй, гэхдээ профессорыг баярлуулах нь үргэлж ашигтай байдаг ;-)

Хариулт:ерөнхий интеграл:

! Жич: Аливаа тэгшитгэлийн ерөнхий интегралыг нэгээс олон аргаар бичиж болно. Тиймээс, хэрэв таны үр дүн өмнө нь мэдэгдэж байсан хариулттай давхцахгүй бол энэ нь тэгшитгэлийг буруу шийдсэн гэсэн үг биш юм.

Ерөнхий интегралыг шалгахад маш хялбар, гол зүйл бол олох боломжтой байх явдал юм далд хэлбэрээр заасан функцийн дериватив. Хариултыг ялгаж үзье:

Бид хоёр нэр томъёог дараах байдлаар үржүүлнэ.

Тэгээд хуваана:

Анхны дифференциал тэгшитгэлийг яг олж авсан нь ерөнхий интегралыг зөв олсон гэсэн үг.

Жишээ 4

Анхны нөхцөлийг хангасан дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг ол. Шалгалт хийх.

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм.

Алгоритм нь хоёр үе шатаас бүрддэг гэдгийг танд сануулъя.
1) ерөнхий шийдлийг олох;
2) шаардлагатай тодорхой шийдлийг олох.

Шалгалт нь мөн хоёр үе шаттайгаар явагдана (Жишээ № 2-ын жишээг үзнэ үү), та дараахь зүйлийг хийх шаардлагатай.
1) олсон тодорхой шийдэл нь анхны нөхцөлийг хангаж байгаа эсэхийг шалгах;
2) тодорхой шийдэл нь дифференциал тэгшитгэлийг ерөнхийд нь хангаж байгаа эсэхийг шалгана.

Бүрэн шийдэлмөн хичээлийн төгсгөлд хариулт.

Жишээ 5

Дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг ол , анхны нөхцөлийг хангаж байна. Шалгалт хийх.

Шийдэл:Нэгдүгээрт, энэ тэгшитгэл нь аль хэдийн бэлэн дифференциалуудыг агуулдаг бөгөөд энэ нь шийдлийг хялбаршуулсан гэсэн үг юм. Бид хувьсагчдыг ялгадаг:

Тэгшитгэлийг нэгтгэж үзье:

Зүүн талын интеграл нь хүснэгт хэлбэртэй, баруун талын интегралыг авсан функцийг дифференциал тэмдгийн доор оруулах арга:

Ерөнхий интегралыг олж авсан, ерөнхий шийдлийг амжилттай илэрхийлэх боломжтой юу? Чадах. Бид хоёр талдаа логарифмуудыг өлгөдөг. Эдгээр нь эерэг тул модулийн тэмдгүүд шаардлагагүй:

(Хүн бүр өөрчлөлтийг ойлгосон байх гэж найдаж байна, ийм зүйлсийг аль хэдийн мэддэг байх ёстой)

Тиймээс ерөнхий шийдэл нь:

Өгөгдсөн анхны нөхцөлд тохирох тодорхой шийдлийг олъё.
Ерөнхий шийдэлд "X"-ийн оронд бид тэгийг, "Y"-ийн оронд хоёр логарифмыг орлуулна.

Илүү танил дизайн:

Тогтмолын олсон утгыг ерөнхий шийдэлд орлуулна.

Хариулт:хувийн шийдэл:

Шалгах: Эхлээд эхний нөхцөл хангагдсан эсэхийг шалгая:
- бүх зүйл сайн байна.

Одоо олдсон тодорхой шийдэл нь дифференциал тэгшитгэлийг хангаж байгаа эсэхийг шалгацгаая. Деривативыг олох нь:

Анхны тэгшитгэлийг харцгаая: - энэ нь дифференциал хэлбэрээр харагдаж байна. Шалгах хоёр арга бий. Олдсон деривативаас ялгахыг дараах байдлаар илэрхийлж болно.

Олдсон тодорхой шийдэл ба үр дүнгийн дифференциалыг анхны тэгшитгэлд орлуулъя :

Бид үндсэн логарифмын таних тэмдгийг ашигладаг:

Зөв тэгш байдлыг олж авсан бөгөөд энэ нь тодорхой шийдлийг зөв олсон гэсэн үг юм.

Шалгалтын хоёр дахь арга нь толин тусгал бөгөөд илүү танил юм: тэгшитгэлээс Деривативыг илэрхийлье, үүний тулд бид бүх хэсгүүдийг дараахь байдлаар хуваана.

Мөн хувиргасан DE-д бид олж авсан хэсэгчилсэн уусмал ба олсон деривативыг орлуулна. Хялбаршуулсаны үр дүнд зөв тэгш байдлыг олж авах ёстой.

Жишээ 6

Дифференциал тэгшитгэлийг шийд. Хариултыг ерөнхий интеграл хэлбэрээр үзүүл.

Энэ бол та өөрөө шийдэх, бүрэн шийдэл, хичээлийн төгсгөлд хариулах жишээ юм.

Салгаж болох хувьсагчтай дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ямар бэрхшээл тулгардаг вэ?

1) Хувьсагчдыг салгах боломжтой гэдэг нь үргэлж тодорхой байдаггүй (ялангуяа "цайны" хувьд). Ингээд авч үзье нөхцөлт жишээ: . Энд та хүчин зүйлсийг хаалтнаас гаргаж, үндсийг нь салгах хэрэгтэй: . Цаашид юу хийх нь тодорхой.

2) Интеграцчлалын хүндрэлүүд. Интеграл нь ихэвчлэн хамгийн энгийн зүйл биш бөгөөд хэрэв олох ур чадварт дутагдалтай байвал тодорхойгүй интеграл, дараа нь олон диффузортой бол хэцүү байх болно. Нэмж дурдахад, "дифференциал тэгшитгэл нь энгийн тул ядаж интегралуудыг илүү төвөгтэй болго" гэсэн логик нь цуглуулга, сургалтын гарын авлагыг эмхэтгэгчдийн дунд түгээмэл байдаг.

3) Тогтмол тоо бүхий хувиргалтууд. Хүн бүр анзаарсанчлан дифференциал тэгшитгэлийн тогтмолыг маш чөлөөтэй зохицуулж болох бөгөөд зарим хувиргалтыг эхлэгчдэд тэр бүр ойлгодоггүй. Өөр нэг нөхцөлт жишээг харцгаая: . Энд байгаа бүх нэр томъёог 2-оор үржүүлэхийг зөвлөж байна. . Үүссэн тогтмол нь мөн нэг төрлийн тогтмол бөгөөд үүнийг дараах байдлаар тэмдэглэж болно. . Тийм ээ, баруун талд логарифм байгаа тул тогтмолыг өөр тогтмол хэлбэрээр дахин бичихийг зөвлөж байна. .

Асуудал нь тэд ихэвчлэн индекст санаа зовдоггүй бөгөөд ижил үсгийг ашигладаг. Үүний үр дүнд шийдвэрийн тэмдэглэл дараах хэлбэртэй байна.

Ямар гаж урсгал? Энд алдаа байна! Хатуухан хэлэхэд тийм ээ. Гэсэн хэдий ч бодит байдлын үүднээс авч үзвэл алдаа байхгүй, учир нь хувьсагчийн тогтмолыг хувиргасны үр дүнд хувьсах тогтмолыг олж авсан хэвээр байна.

Эсвэл өөр нэг жишээ, тэгшитгэлийг шийдвэрлэх явцад ерөнхий интеграл олдлоо гэж бодъё. Энэ хариулт нь муухай харагдаж байгаа тул нэр томъёо бүрийн тэмдгийг өөрчлөхийг зөвлөж байна. . Албан ёсоор энд өөр нэг алдаа байна - үүнийг баруун талд бичих ёстой. Гэхдээ албан бусаар "хасах ce" нь тогтмол хэвээр байна гэсэн үг юм. Энэ нь ямар ч утгыг хялбархан ойлгож чадна!), тиймээс "хасах" гэдэг нь утгагүй бөгөөд та ижил үсгийг ашиглаж болно.

Би хайхрамжгүй хандлагаас зайлсхийхийг хичээх болно, мөн тэдгээрийг хөрвүүлэхдээ тогтмол үзүүлэлтүүдэд өөр өөр индекс оноох болно.

Жишээ 7

Дифференциал тэгшитгэлийг шийд. Шалгалт хийх.

Шийдэл:Энэ тэгшитгэл нь хувьсагчдыг салгах боломжийг олгодог. Бид хувьсагчдыг ялгадаг:

Нэгтгэцгээе:

Энд тогтмолыг логарифм гэж тодорхойлох шаардлагагүй, учир нь үүнээс ашигтай зүйл гарахгүй.

Хариулт:ерөнхий интеграл:

Шалгах: Хариултыг ялгах ( далд функц):

Хоёр гишүүнийг дараах байдлаар үржүүлснээр бид бутархайг арилгадаг.

Анхны дифференциал тэгшитгэлийг авсан нь ерөнхий интегралыг зөв олсон гэсэн үг.

Жишээ 8

DE-ийн тодорхой шийдлийг ол.
,

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Цорын ганц зүйл бол эндээс та ерөнхий интегралыг олж авах болно, илүү зөвөөр хэлбэл, та тодорхой шийдлийг олохын тулд хичээх хэрэгтэй, гэхдээ хэсэгчилсэн интеграл. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт.

Тодорхой интеграл олоход тулгарч байсан даалгаврыг эргэн санацгаая.

эсвэл dy = f(x)dx. Түүний шийдэл:

мөн тодорхойгүй интегралыг тооцоолоход хүрдэг. Практикт илүү олон удаа тохиолддог хэцүү даалгавар: функцийг олох y, хэрэв энэ нь хэлбэрийн харьцааг хангаж байгаа нь мэдэгдэж байгаа бол

Энэ хамаарал нь бие даасан хувьсагчтай холбоотой x, үл мэдэгдэх функц yба түүний уламжлал хүртэл nбагтаасан гэж нэрлэдэг .

Дифференциал тэгшитгэл нь нэг эсвэл өөр дарааллын дериватив (эсвэл дифференциал) тэмдгийн доорх функцийг агуулдаг. Хамгийн дээд эрэмбийг дараалал гэж нэрлэдэг (9.1) .

Дифференциал тэгшитгэлүүд:

- эхний захиалга,

Хоёр дахь захиалга

- тав дахь дараалал гэх мэт.

Өгөгдсөн дифференциал тэгшитгэлийг хангах функцийг түүний шийдэл гэнэ , эсвэл интеграл . Үүнийг шийднэ гэдэг бүх шийдлийг нь олно гэсэн үг. Шаардлагатай функцийн хувьд yбүх шийдлийг өгдөг томьёог олж чадсан бол бид түүний ерөнхий шийдлийг олсон гэж хэлдэг , эсвэл ерөнхий интеграл .

Нийтлэг шийдвэр агуулсан nдурын тогтмолууд мөн шиг харагдаж байна

Хэрэв хамааралтай харилцааг олж авбал x, yТэгээд nхувьд зөвшөөрөгдөөгүй хэлбэрээр дурын тогтмолууд y -

тэгвэл ийм хамаарлыг (9.1) тэгшитгэлийн ерөнхий интеграл гэнэ.

Кошигийн асуудал

Тодорхой шийдэл бүрийг, өөрөөр хэлбэл өгөгдсөн дифференциал тэгшитгэлийг хангадаг, дурын тогтмолуудаас хамаардаггүй тодорхой функц бүрийг тодорхой шийдэл гэж нэрлэдэг. , эсвэл хэсэгчилсэн интеграл. Ерөнхий шийдлүүдээс тодорхой шийдэл (интеграл) авахын тулд тогтмол тоон утгыг өгөх ёстой.

Тодорхой шийдлийн графикийг интеграл муруй гэнэ. Бүх хэсэгчилсэн шийдлүүдийг агуулсан ерөнхий шийдэл нь интеграл муруйн гэр бүл юм. Нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлийн хувьд энэ гэр бүл нь тэгшитгэлийн хувьд нэг дурын тогтмолоос хамаарна n--р захиалга - эхлэн nдурын тогтмолууд.

Кошигийн асуудал бол тэгшитгэлийн тодорхой шийдлийг олох явдал юм n-р захиалга, сэтгэл ханамжтай nЭхний нөхцөл:

үүгээр n тогтмол c 1, c 2,..., c n тодорхойлогдоно.

1-р эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл

Деривативын хувьд шийдэгдээгүй 1-р эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн хувьд энэ нь дараах хэлбэртэй байна.

эсвэл харьцангуй зөвшөөрөгдсөн

Жишээ 3.46. Тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол

Шийдэл.Интеграцчилснаар бид олж авдаг

Энд C нь дурын тогтмол юм. Хэрэв бид C-д тодорхой тоон утгыг оноох юм бол бид тодорхой шийдлүүдийг олж авдаг, жишээлбэл,

Жишээ 3.47. 100 r-ийн хуримтлалыг харгалзан банкинд байршуулсан мөнгөний хэмжээг нэмэгдүүлэхийг анхаарч үзээрэй жилийн нийлмэл хүү. Yo нь анхны мөнгөний хэмжээ, төгсгөлд нь Yx байх болтугай xжил. Жилд нэг удаа хүү тооцдог бол бид авдаг

Энд x = 0, 1, 2, 3,.... Жилд хоёр удаа хүү тооцоход бид

Энд x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... Хүү тооцохдоо nжилд нэг удаа ба хэрэв x 0, 1/n, 2/n, 3/n,... дараалсан утгуудыг авна

1/n = h гэж тэмдэглэвэл өмнөх тэгшитгэл дараах байдалтай болно.

Хязгааргүй томруулдаг n(цагт ) хязгаарт бид хүүгийн тасралтгүй хуримтлалаар мөнгөний хэмжээг нэмэгдүүлэх үйл явцад ирдэг.

Тиймээс тасралтгүй өөрчлөлттэй байх нь тодорхой байна xмөнгөний нийлүүлэлтийн өөрчлөлтийн хуулийг 1-р эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлээр илэрхийлнэ. Энд Y x нь үл мэдэгдэх функц, x- бие даасан хувьсагч; r- тогтмол. Энэ тэгшитгэлийг шийдье, үүнийг хийхийн тулд бид үүнийг дараах байдлаар дахин бичнэ.

хаана , эсвэл , энд P нь e C гэсэн утгатай.

Y(0) = Yo эхний нөхцлөөс бид P: Yo = Pe o, эндээс Yo = P-г олно. Иймд шийдэл нь дараах хэлбэртэй байна.

Хоёрдахь зүйлийг авч үзье эдийн засгийн асуудал. Макро эдийн засгийн загваруудыг мөн 1-р эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэлээр тайлбарлаж, орлого эсвэл гарцын Y-ийн өөрчлөлтийг цаг хугацааны функц гэж тодорхойлдог.

Жишээ 3.48. Үндэсний орлогыг Y нь түүний утгатай пропорциональ хэмжээгээр нэмэгдүүлье.

засгийн газрын зардлын алдагдал нь орлого Y-тэй шууд пропорциональ коэффициенттэй байна q. Зардлын алдагдал нь улсын өрийг нэмэгдүүлэхэд хүргэдэг D:

Анхны нөхцөл Y = Yo ба D = t = 0-д Do. Эхний тэгшитгэлээс Y= Yoe kt. Y-г орлуулснаар бид dD/dt = qYoe kt болно. Ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна
D = (q/ k) Yoe kt +С, энд С = const, энэ нь эхний нөхцлөөс тодорхойлогдоно. Анхны нөхцлүүдийг орлуулснаар бид Do = (q/ k)Yo + C болно. Тиймээс, эцэст нь,

D = Do +(q/ k)Yo (e kt -1),

Энэ нь улсын өр харьцангуй хурдацтай нэмэгдэж байгааг харуулж байна к, үндэсний орлоготой адил.

Хамгийн энгийн дифференциал тэгшитгэлийг авч үзье n 1-р дарааллаар эдгээр нь хэлбэрийн тэгшитгэл юм

Түүний ерөнхий шийдлийг ашиглан олж авч болно nхугацааны интеграци.

Жишээ 3.49. y """ = cos x жишээг авч үзье.

Шийдэл.Интеграцид бид олдог

Ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна

Шугаман дифференциал тэгшитгэл

Эдгээрийг эдийн засагт өргөн ашигладаг. Хэрэв (9.1) дараах хэлбэртэй байвал:

тэгвэл шугаман гэж нэрлэгдэх ба энд рo(x), р1(x),..., рn(x), f(x) - заасан функцууд. Хэрэв f(x) = 0 бол (9.2)-ыг нэгэн төрлийн, эс бөгөөс нэгэн төрлийн бус гэнэ. (9.2) тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь түүний тодорхой шийдүүдийн нийлбэртэй тэнцүү байна у(х)ба түүнд харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл:

Хэрэв р o (x), р 1 (x),..., р n (x) коэффициентүүд тогтмол байвал (9.2)

(9.4)-ийг эрэмбийн тогтмол коэффициент бүхий шугаман дифференциал тэгшитгэл гэнэ n .

(9.4) нь дараах хэлбэртэй байна.

Ерөнхий шинж чанараа алдалгүйгээр бид p o = 1 гэж тохируулж (9.5) хэлбэрээр бичиж болно

Бид (9.6) -ын шийдлийг y = e kx хэлбэрээр хайх болно, k нь тогтмол байна. Бидэнд байгаа: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx . Үүссэн илэрхийллүүдийг (9.6)-д орлуулснаар бид дараах байдалтай болно:

(9.7) нь алгебрийн тэгшитгэл бөгөөд үл мэдэгдэх нь к, үүнийг шинж чанар гэж нэрлэдэг. Онцлог тэгшитгэл нь зэрэгтэй nТэгээд nүндэс, тэдгээрийн дунд олон ба нарийн төвөгтэй аль аль нь байж болно. Тэгвэл k 1 , k 2 ,..., k n нь бодит бөгөөд тодорхой байг - тусгай шийдэл (9.7), ерөнхий

Тогтмол коэффициент бүхий шугаман нэгэн төрлийн хоёр дахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг авч үзье.

Түүний онцлог тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна

(9.9)

түүний ялгах D = p 2 - 4q, D тэмдэгээс хамааран гурван тохиолдол боломжтой.

1. Хэрэв D>0 бол k 1 ба k 2 (9.9) үндэс нь бодит бөгөөд өөр бөгөөд ерөнхий шийдэл нь дараах хэлбэртэй байна.

Шийдэл.Онцлог тэгшитгэл: k 2 + 9 = 0, үүнээс k = ± 3i, a = 0, b = 3, ерөнхий шийдэл нь дараах хэлбэртэй байна.

y = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x.

Судалгаанд 2-р дарааллын шугаман дифференциал тэгшитгэлийг ашигласан болно эдийн засгийн загвар P үнийн өөрчлөлтийн хувь хэмжээ нь хувьцааны хэмжээнээс хамаардаг барааны нөөц бүхий аалзны тор төрөл (10-р зүйлийг үз). Хэрэв эрэлт нийлүүлэлт нь үнийн шугаман функц юм бол, тэр нь

a нь урвалын хурдыг тодорхойлдог тогтмол бөгөөд үнийн өөрчлөлтийн үйл явцыг дифференциал тэгшитгэлээр тодорхойлно.

Тодорхой шийдлийн хувьд бид тогтмолыг авч болно

утга учиртай тэнцвэрт үнэ. Хазайлт хангадаг нэгэн төрлийн тэгшитгэл

(9.10)

Онцлогийн тэгшитгэл нь дараах байдалтай байна.

Хэрэв нэр томъёо эерэг байвал. гэж тэмдэглэе . Онцлог тэгшитгэлийн үндэс нь k 1,2 = ± i w тул ерөнхий шийдэл (9.10) дараах хэлбэртэй байна.

Энд C нь дурын тогтмолууд бөгөөд тэдгээр нь эхний нөхцлөөс тодорхойлогдоно. Бид үнийн өөрчлөлтийн хуулийг цаг хугацааны явцад олж авсан: