Равномерная сходимость интеграла зависящего от параметра. Несобственные интегралы, зависящие от параметра

F(y) =

для области вида

Где f определена в области D (замкнутая), x 1 (y ), x 2 (y ) непрерывные функции, определенные на [ c , d ].

Теорема. Если f непрерывна на D , x 1 (y), x 2 (y) непрерывны на , то F(y) непрерывна на .

Доказательство . Функция f доопределим на прямоугольнике [ a , b ]  [ c , d ] содержащем область D , как показано на рисунке, следующим образом: положим f (x , y ) = f (x 1 (y ), y ) при фиксированном y  [ c , d ] и  x  [ a , x 1 (y )], аналогично в правой части области f (x , y ) = f (x 2 (y ), y ) при y  [ c , d ] и  x  [ x 2 (y ), b ]. Доопределенную функцию по прежнему будем обозначать f (x , y ) . Эта функция будет непрерывна на [ a , b ]  [ c , d ].

Далее | F (y +  y ) - F (y )| =
= 
+
+
 M |  x 1 |+(b - a )  + M |  x 2 |.

Здесь используется ограниченность функции f и ее равномерная непрерывность.

Определение. Пусть функция f (x , y ) определена на [ a , b ] для любого y  Y . Говорят, что f (x , y ) равномерно сходится к g (x ) на [ a , b ] при y  y 0 если

 >0 >0xyU  (y 0): |f(x,y) - g(x)|

Можно доказать, что если f (x , y ) непрерывна и равномерно сходится к g (x ) на [ a , b ] при y  y 0 , то функция g (x ) непрерывна на [ a , b ].

Доказательство. Выпишем неравенства

| g (x )- g (x 0 )|=| g (x )- f (x , y ) + f (x , y )- f (x 0 , y )- g (x 0 )+ f (x 0 , y )|  | g (x )- f (x , y )|+ | f (x , y )- f (x 0 , y )|+ | g (x 0 )- f (x 0 , y )|. Для заданного  сначала выбираем  окрестность точки x 0 так, чтобы в этой окрестности | f (x , y )- f (x 0 , y )| для любых y из некоторой окрестности точки y 0 . Это можно сделать в силу равномерной непрерывности функции f (x , y ). Величины | g (x )- f (x , y )|, | g (x 0 )- f (x 0 , y )| можно сделать также  выбором ещё меньшей окрестности точки y 0 для всех x в силу равномерной сходимости f (x , y ) к g (x ) .

Теорема. Если f (x , y ) непрерывна и равномерно сходится к g (x ) на [ a , b ] при y  y 0 , то

.

Доказательство.
| b - a |  .

1. 
   Интегрирование интегралов зависящих от параметра

F(y) =

Теорема (Лейбниц). Если f и непрерывны в  , то F(y) =

дифференцируема на и
.

Доказательство.

=
=
, 0 Тогда


.

Из этого неравенства и равномерной непрерывности функции следует требуемое утверждение.

Рассмотрим область типа В , указанную на рисунке и функцию f , определенную на прямоугольнике [ a , b ]  [ c , d ] , содержащем область D .

Теорема. Если f и ее производная непрерывны на  , x 1 (y), x 2 (y) имеют непрерывные на производные, то F(y) = также имеет производную

+
-
.

Доказательство. Рассмотрим функцию Ф(y , u , v ) =
. Для нее существуют непрерывные частные производные
(не очевидным является непрерывность функции ). Дифференцируя сложную функцию F (y ) = = Ф(y , x 1 (y ), x 2 (y )) получим требуемое равенство. Непрерывность функции =
следует из равномерной непрерывности функции
.

§2. Нес обственные интегралы, зависящие от параметра

1. 
   Равномерная сходимость несобственного интеграла от параметра

(1)

, yY.

Предположим, что при некоторых y интеграл (1) является несобственным. Так, если и при некотором y интеграл (1) имеет единственную особенность в b , то условием сходимости интеграла (1) будет существование конечного предела

.

Если при заданном y интеграл сходится, то для любого  [ a , b ) интеграл
(называемый остатком) будет существовать и условие сходимости можно записать в виде
. В случае расходимости этого интеграла, естественно считать, что условие
не выполнено. Таким образом, условие сходимости будет в дальнейшем записываться в виде

.

Определение. Сходящийся на Y интеграл называется равномерно сходящимся на Y, если

 >0 >0(b-,b)yY:
(для интеграла 2-го рода)

 >0M(M,+)yY:
(для интеграла 1-го рода)

Признак Вейерштрасса равномерной сходимости (для интеграла 2-го рода)

Если g(x) на при y  y 0 , интеграл
равномерно сходится на Y ,
сходится. Тогда

.

Доказательство.

=
.

можно сделать сколь угодно малым в силу равномерной сходимости функции f (x , y ) к g (x ). Интеграл
можно сделать сколь угодно малым в силу равномерной сходимости интеграла
. Интеграл
можно сделать сколь угодно малым в силу сходимости интеграла
.

Критерий Коши равномерной сходимости. Для равномерной сходимости интеграла
необходимо и достаточно, чтобы

 >0>0 y  Y,(b-,b):
.

Достаточность. При выполнении условия
для  y  Y   ,  (b -  , b ) можно перейти к пределу при   b . Тогда для  y  Y    (b -  , b ) :
, что означает равномерную сходимость интеграла
.

Необходимость. Имеем  >0  >0  y  Y  (b -  , b ):
. Тогда при   ,  (b -  , b ) будет выполнено .

1. 
   Непрерывность интеграла от параметра

Теорема 2. Если f(x,y) определена и непрерывна на , интеграл (y) =
сходится равномерно на , то этот интеграл является непрерывной функцией.

Доказательство.

|(y+y) - (y)| =

+
+
.

Второй и третий интегралы могут быть сделаны меньше заданного  выбором  в силу равномерной сходимости интеграла
. После выбора  первый интеграл может быть сделан меньше заданного  выбором достаточно мелкого разбиения в силу равномерной непрерывности функции.

1. 
   Интегрирование интегралов зависящих от параметра

Теорема. Если функция f(x,y) определена и непрерывна на , интеграл (y) =
сходится равномерно на , то

=
=
.

Доказательство. Для любого  в разумных пределах

=
. Отсюда следует требуемое утверждение, если учесть, что
сходится равномерно на [ c , d ] к
при  b .

Эту теорему можно обобщить

Теорема. Если функция f(x,y) определена и непрерывна на , интеграл
сходится равномерно на  и существует один из повторных интегралов

,

, то существует и другой и выполняется равенство

=
.

Без доказательства.

1. 
   Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра

сходится ряд
.

Аналогично для равномерной сходимости.

Теорема. Пусть функции f(x,y) и непрерывны на . Если
сходится для всех y а
сходится равномерно на , то функция (y) =
непрерывна дифференцируема на этом отрезке и

.

Доказательство . Пусть  n  b . Согласно лемме

(y) =
=
, .

Пример. Гамма функция Эйлера Г(p ) =
, p > 0.

Непрерывность на (0,  ).

Рассмотрим два интеграла
,
.

1)

, p  [  , 1) . Признак Вейерштрасса.

- собственный для p  . Признак Вейерштрасса.


, p(0 , 1] .

Докажем формулу

(1)

Для этого сделаем замену x  xy .  (p ) =
=
=
.

2. Бета функция Эйлера В(p,q) =
, p > 0 , q >0 .

Сделаем замену
, dx =
.

В(p,q) =
=
.

В(p,q) =
(2)

3 . Некоторые свойства функций Эйлера

Из формулы (1) следует, что

,
. Интегрируя, получим . Откуда, используя (2)

Г
В(p , q ) = Г
Г
.

В(p ,1- p ) = Г
Г
=
=
.

Г(1) = 1, Г(p+1) = p Г(p).

Отметим, что из этой формулы следует, что Гамма функцию достаточно знать на интервале (0, 1/2).

Интеграл
сходится равномерно на любом [  , A ], 0  A . Поэтому интеграл можно дифференцировать по параметру. Рассмотрим интеграл
.

В окрестности нуля | ln x | 
для  > 0 существует C 1 ( ). .
=
=
=

F(a,b) =
+C(b)=
+C(b).

 ln b = F(b,b)= ln 2 + C(b), C(b) = 
.

математический анализ. 3 семестр. Логинов А.С. 2005 г. [email protected]

Собственные интегралы, зависящие от параметра 1.1. Понятие интеграла, зависящего от параметра, и его непрерывность Пусть в прямоугольнике определена функция двух переменных f(x, у) (рис. 1). Предположим, что при любом фиксированном значении у е [с, d] существует интеграл ь Ясно, что этот интеграл является функцией переменного у, Интеграл (1) называется интегралом, зависящим от параметра у. Имеет место следующая теорема о непрерывности интеграла, зависящего от параметра. Теорема 1. Если функция /(х, у) непрерывна в прямоугольнике П, то функция /(у), определенная соотношением (1), непрерывна на отрезке [с, d\. Из формулы (1) вытекает, что приращение) функции /(у), соответствующее приращению аргумента Ду, можно оценить так: По условию теоремы функция f{x} у) непрерывна в замкнутом прямоугольнике П, а значит, f{x}y) равномерно непрерывна в этом прямоугольнике. Следовательно, для любого е > 0 можно указать такое 6 > 0, что при всех х из и всех уиу + Ду из [с, d] таких, что |Ду| , будет выполняться неравенство Отсюда и из оценки (2) получаем, что Это означает, что функция /(у) непрерывна в каждой точке отрезка Следствие (переход к пределу под знаком интеграла). Если функция f(x} у) непрерывна в прямоугольнике П, то где уо - любое фиксированное число, принадлежащее отрезку [с, d). Так как функция /(у) непрерывна на [с, d], то имеют место равенства Собственные интегралы зависящие от параметра Дифференцирование интеграла no параметру Интегрирование интеграла по параметру Понятие несобственного интеграла первого рода, зависящего от параметра Равномерная сходимость несобственного интеграла Критерий Коши Свойства равномерно сходящихся несобственных интегралов, зависящих от параметра равносильные равенствам Пример 1. Вычислить предел непрерывна в любом прямоугольнике где. Отсюда по формуле (3) получаем 1.2. Дифференцирование интеграла no параметру Теорема 2. Если функция f(x} у) и ее частная производная непрерывны в прямо- угольнике, то для любого справедлива формула Лейбница дифференцирования по параметру под знаком интеграла Предполагая, что ], составим разностное отношение Переходя в этом равенстве к пределу при Ду -> 0 и пользуясь непрерывностью частной производной и формулой (3), получим Замечание. Пусть пределы интегрирования зависят от параметра у. Тогда где и функции а(у) и 6(у) дифференцируемы на отрезке При условии, что функции /) непрерывны в области (рис. 2), получаем, тто функция F(y) дифференцируема на (с, d\, причем (5) (6) Формула (6) доказывается с помощью дифференцирования сложной функции. Так как, то полная производная где Подставляя выражения доя производных в формулу (7), получим требуемую формулу (6). Пример 2. Применяя дифференцирование по параметру, вычислить интеграл а также ее производная по параметру непрерывны в прямоугольнике Поэтому применима теорема 2 о дифференцировании интеграла по параметру при Имеем Положим Интегрируя no t от 0 до, получим Отсюда. Устремляя а к нулю и замечая что /(0) = 0, имеем С = 0. Следовательно, Пример 3. Найти производную для функции Применяя формулу (б), получим: 1.3. Интегрирование интеграла по параметру Теорема 3. Если функций f(x, у) непрерывна в прямоугмьнике, то функция интегрируема на отрезке [с, d\, причем справедливы равенства Согласно теореме 1, функция /(у) непрерывна на отрезке [с, d) и поэтому интегрируема на нем. Справедливость формулы (8) следует из равенства повторных интегралов, Пример 4. Проинтегрировать по параметру у интеграл в пределах от 0 до 1. Так как функция непрерывна в прямоугольнике, то применима теорема 3 об интегрировании интеграла по параметру. Имеем §2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра 2.1. Понятие несобственного интеграла первого рода, зависящего от параметра Пусть функция двух переменных /(ж, у) определена в полуполосе (рис.3) и при каждом фиксированном су шествует несобствен- ный интеграл являющийся функцией от у. Тогда функция называется несобственным интегралом первого рода, зависящим от параметра у. Интервал (с, d) может быть и бесконечным. Определение 1. Несобственный интеграл (1) называется сходящимся в точке, если существует конечный предел т.е. если для любого е > О существует число Во такое, что для всех В ^ В0 выполняется неравенство Если несобственный интеграл (1) сходится в каждой точке у отрезка [с, d), то он называется сходящимся на этом отрезке. Интеграл (1) называется абсолютно сходящимся на отрезке [с, d\, если сходится интеграл Собственные интегралы зависящие от параметра Дифференцирование интеграла no параметру Интегрирование интеграла по параметру Понятие несобственного интеграла первого рода, зависящего от параметра Равномерная сходимость несобственного интеграла Критерий Коши Свойства равномерно сходящихся несобственных интегралов, зависящих от параметра 2.2. Равномерная сходимость несобственного интеграла. Критерий Коши Определение 2. Несобственный интеграл (1) называется равномерно сходящимся по параметру у наотрезке [с, d), если он сходится наэтомотрезкеи для любого е > 0 можно указать такое А ^ а, зависящее только от е, что для всех В > А и для всех у из отрезка [с, d\ выполняется неравенство Имеетместоследующий критерий Коши равномерной сходимости несобстве нных интегралов, зависящих от параметра. Теорема 4. Для того, чтобы несобственный интеграл (1) равномерно сходился по параметру у на отрезке [с, d\, необходимо и достаточно, чтобы для любого е > 0 можно было указать число А ^ а, зависящее только от е и такое, что для любых В и С, больших А, и для всех у из отрезка [с, d] выполнялось неравенство Справедливость этого критерия вытекает непосредственно из определения равномерной сходимости. Сформулируем достаточный признак равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра. Теорема 5 (признак Вейерштрасса). Пусть функция /(х, у) определена в пыупыосе Поо и для каждого у € | с, d] интегрируема по х на любом отрезке [а, Л]. Пусть, кроме того, для всех точек полуполосы П^ выполняется неравенство Тогда из сходимости интеграла f g(x) dx вытекает равномерная сходимость по у наот- резке [с, d] несобственного интегрша В силу критерия Коши сходимости интеграла от функции для любого е > О можно указать число А ^ а такое, что при всех С > В ^ А выполняется неравенство Используя неравенство (4), отсюда получим, что для всех у из отрезка Тем самым, критерий Коши равномерной сходимости интеграла выполнен. Цитр 1. Иссладова тъ на равномерную сходимость несобственный иктграл где я - параметр, Так как при любом произвольные вещественные числа, выполняется неравенство и интеграл сходится, то по признаку Вейерштрасса интеграл (5) равномерно сходится для всех 2.3. Свойства равномерно сходящихся несобственных интегралов, зависящих от параметра Свойство 1. Непрерывность несобственного интеграла по параметру. Если функция непрерывна в области Поо и интеграл сходится равномернопо у наотрезкс (с, dj,то функция 1(у) непрерывна на Свойство 2. Интегрируемость несобственно го интеграла по параметру. Если функция непрерывна в области И» и интеграл (6) сходится равномерно по у на, то Свойство 3. Дифференцируемое™ несобственного интеграла по параметру. Пусть функция f(x,y) и сс частная производная непрерывны в области Псо, несобственный интеграл (6) сходится, а интеграл сходится равномерно по у на. Тогда Пример 2. Вычислить интеграл, зависящий от параметра $, В примере 1 мы доказали равномерную сходимость интеграла по параметру s на любом отрезке. Покажем, что интеграл (9) также равномерно сходится по параметру s на любом отрезке В самом деле, при любом в, и откуда по признаку Вейерштрасса следует равномерная сходимость интеграла (9). Обозначая подынтегральную функцию интеграла (5) через замечаем, что - подынтегральная функция равномерно сходящегося интеграла (9). Используя свойство дифференцируемое™ несобственного интеграла по параметру, получим Так как 1($) = (в этом легко убедиться путем интегрирования по частям), то Отсюда Пример 3. Интегрируя равенство по. найти интеграл Покажем сначала, что несобственный интеграл Собственные интегралы зависящие от параметра Дифференцирование интеграла no параметру Интегрирование интеграла по параметру Понятие несобственного интеграла первого рода, зависящего от параметра Равномерная сходимость несобственного интеграла Критерий Коши Свойства равномерно сходящихся несобственных интегралов, зависящих от параметра зависящий от параметра у, сходится равномерно на отрезке (а, 6). Это вытекает из признака Вейер-игтрасса, так как Проинтегрируем по параметру у в пределах от а до 6. Имеем так что Замечание. До сих пор мы рассматривали н собственные интегралы вида чос Это несобственные интегралы первого рода, зависящие от параметра у. Несобственным интегралом второго рода, зависящим от параметра у, называется интеграл вида Теория несобственных интегралов второго рода, зависящих от параметра, аналогична рассмотренной нами теории для несобственных интегралов первого рода, зависящих от параметра.

Транскрипт

1 Тема курса лекций: НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. Лекция 7. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость несобственного интеграла -го рода. Критерий Коши. Признаки Вейерштрасса, Дирихле и Абеля. Связь теорий несобственных интегралов -го рода, зависящих от параметра и функциональных рядов. Равномерная сходимость несобственного интеграла 2-го рода. Признак Вейерштрасса. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Определение. Пусть для любого Y для функции f, существует при любом интеграл I = зависящим от параметра, будем называть f, d. Несобственным интегралом -го рода, I = f, d=lim f, d. Фактически, как и ранее, это параметрическое семейство несобственных интегралов. Множество параметров, при которых интеграл сходится, называется областью сходимости. Равномерная сходимость интеграла -го рода. Здесь и далее пусть множество Y включено в области сходимости. Определение. Интеграл если B B, Y f, d сходится равномерно на множестве Y, f, d. В дальнейшем для частных интегралов примем обозначение F, = f, d. Критерий Коши. Для сходимости семейства частных интегралов F, I при равномерно относительно параметров Y, необходима и достаточна равномерная сходимость в себе: B B, Y f, d. Признак Вейерштрасса. Пусть f, g при Y и достаточно больших х, и при некотором интеграл g d сходится, тогда интеграл I сходится абсолютно и равномерно.

2 Доказательство. Согласно первому признаку сравнения для несобственных интегралов, указанный интеграл сходится абсолютно. Поскольку при, Y имеет место оценка f, d g d, то, по критерию Коши, интеграл сходится равномерно. Пример. Рассмотрим f, d, интеграл в виде суммы: f,. Поскольку p равномерно всюду. = I sin f, =, p, p. Представим. Для функции f, справедлива оценка, что d p, то исходный интеграл сходится абсолютно и Пример. Рассмотрим I = f, d, f, =e sin,. Поскольку f, e и интеграл e d, то интеграл сходится абсолютно и равномерно на луче [,). Следовательно, он абсолютно сходится на полуоси,. Дважды интегрируя по частям, получим, что sin os e I = 2 = = = 2. Пример. Исследовать на равномерную сходимость интеграл M = e ln d. Поскольку при, ln, то для подынтегральной функции справедлива оценка f, =e ln e =g. Поскольку интеграл g d сходится, то исходный интеграл сходится абсолютно и равномерно по признаку Вейерштрасса. Признак Дирихле. Будем рассматривать интеграл I = f, g, d, Y. Будем обозначать частные интегралы для функции f как F, = f t, dt. Равномерная ограниченность семейства функций F, означает существование константы K f, Y, д.б. Теорема. Пусть функции f, g, определены при, Y и выполняются следующие условия:. Функция f, непрерывна по, семейство функций F, равномерно ограничено; 2. Существует частная производная g, непрерывная по и знакопостоянная при д.б.. Семейство функций g, при равномерно относительно параметров Y. Тогда интеграл I сходится равномерно на множестве Y.

3 Доказательство. Пусть при g. Поскольку функция f t, непрерывна по t, то F, = f,. Наконец, из условия g, следует, что для произвольного, при д.б. и Y выполняется неравенство g, 4 K. Проверим выполнение условий критерия Коши равномерной сходимости для интеграла I. Итак, пусть, Y. Тогда, применяя формулу интегрирования по частям, получим, что fgd= g F d = gf Fg d. Оценим модуль gf. gf = g f t, dt g K 4, тогда gf gf, gf, 2. Fg d F g d K g d= Kg K g, g, 2. Итак, окончательно имеем, что fgd, по критерию Коши, интеграл I сходится равномерно. Замечание. Ясно, что признак Дирихле может быть применен к интегралам вида f, g d, f g, d. В первом случае потребуется непрерывность и знакопостоянство производной g и условие g, а во втором ограниченность множества частных интегралов от непрерывной функции F = f t dt. sin Пример. Рассмотрим интеграл I = d, 2. Пусть f, =sin, g =. Оценим частные интегралы от функции 2 f: sin t dt = os t t = t = = os 2 2 функция g, g. По признаку Дирихле, интеграл сходится равномерно. Признак Абеля. Теорема. Пусть функции f, g, определены при, Y и выполняются следующие условия:. Функция f непрерывна по, интеграл f, d сходится равномерно на множестве Y ; 2. Семейство функций g равномерно ограничено, существует непрерывная по частная производная g, и знакопостоянная при Y и д.б.. Тогда интеграл I сходится равномерно на множестве Y. Доказательство. Введем константу K g, обозначение для F, см. выше. Пусть Y. Снова интегрируем по частям отрезок интеграла:, fgd= g F d= gf Fg d ()

4 По теореме о среднем, для определенного интеграла от произведения непрерывных функций, одна из которых знакопостоянна, есть точка, что интеграл Fg d=f, g, d=f, g, g,. Тогда для правой части равенства () можно записать: fgd=g, F, F, g, F, F, Поскольку, по условию теоремы, семейство частных интегралов F, = f t, dt f t, dt при равномерно относительно параметров, то, согласно критерию Коши равномерной сходимости семейства функций, семейство функций F равномерно сходится в себе: F h, F, при д.б.. 2 K Это значит, что для определенного интеграла будет справедлива следующая оценка: fgd g, F, F, g, F, F, K 2 K K 2 K =. Замечание. Ясно, что признак Абеля может быть применен к интегралам вида f, g d, f g, d. В первом случае требуется ограниченность функции g, непрерывность и знакопостоянство ее обыкновенной производной. Во втором непрерывность функции f и сходимость интеграла f d. Пример. Исследовать интеграл на равномерную сходимость при I = e sin sin d. Обозначим f = с непрерывным доопределением единицей в нуле, g, =e. Интеграл от функции f сходится. Из неотрицательности переменных, следует, что g, семейство функций ограничено. Частная производная g = e знакопостоянна и непрерывна. По признаку Абеля, интеграл I сходится равномерно при. Связь теорий несобственных интегралов -го рода, зависящих от параметра, и функциональных рядов. Знание этой связи значительно упрощает доказательство дальнейших утверждений, относящихся к несобственным интегралам, зависящим от параметра, сводя их к известным фактам теории функциональных рядов. Будем обозначать F, = f, d. Тогда интеграл I = lim F,. По определению Гейне, достаточно изучать случаи всех последовательностей Введем обозначение: n, n, = (2) n = n n f, d (3)

5 Теорема. Для сходимости (равномерной сходимости) интеграла I необходима и достаточна сходимость (равномерная сходимость) ряда n= n при всех последовательностях (2), при этом интеграл равен сумме ряда. Если же при всех и д.б. f, то достаточна сходимость (равномерная сходимость) ряда для какой-либо одной последовательности (2). Доказательство утверждения проводится аналогично соответствующим, приведенным в теме «Связь теорий несобственных интегралов -го рода и числовых рядов». Свойства несобственных интегралов -го рода, зависящих от параметра. Пусть f, g при. Если I = f, d g d, то говорят о возможности перехода к пределу под знаком интеграла. Теорема. Пусть функция f, определена и непрерывна по в полуполосе [, ;,d ] ; при любом семейство функций f, g при равномерно относительно на каждом отрезке [,] ; интеграл f, d сходится равномерно относительно параметра [, d ]. Тогда интеграл g d сходится и можно переходить к пределу под знаком интеграла. Доказательство. Введем последовательности и величины (2), (3) и n = n Для сходимости интеграла n g d. I = g d (или равномерной сходимости интеграла I = f, d) необходима и достаточна сходимость ряда чисел n равномерная сходимость ряда функций n), причем I = n, I = n. По теореме о предельном переходе для определенного интеграла, зависящего от параметра, lim n = n. По аналогичной теореме для функционального ряда, сходится ряд чисел n и lim n n = n n. Теорема 2. Пусть функция f, определена и непрерывна в полуполосе [, ;, d ] ; интеграл f, d сходится равномерно относительно параметра [, d ]. Тогда интеграл I непрерывен. Доказательство. По теореме 2 для определенного интеграла, функции n непрерывны. По теореме 2 для функционального ряда, его сумма I непрерывна. По определению, можно менять порядок повторного интегрирования, если d d f, d= d d f, d. Теорема 3. При выполнении условий теоремы 2 можно менять порядок повторного интегрирования. Доказательство утверждения основано на теоремах об интегрировании определенного интеграла, зависящего от параметра, и функционального ряда. Возможность дифференцирования под знаком ряда означает, что d d f, d= f, d. (или

6 Теорема 4. Пусть функция f, определена и непрерывна по в полуполосе [, ;, d ] ; частная производная f, непрерывна; интеграл f, d сходится; интеграл f, d сходится равномерно. Тогда интегрирование под знаком интеграла возможно. Доказательство основано на теоремах о дифференцировании определенного интеграла, зависящего от параметра, и функционального ряда. Приведенные теоремы 2-4 используются, в частности, при вычислении определенных и несобственных интегралов, зависящих и не зависящих от параметра. Пример. Найти интеграл I = e sin d,. Решение. Поскольку найти непосредственно интеграл довольно сложно, попробуем найти его производную. Для этого поместим произвольный фиксированный параметр в отрезок [,d ], d. Проверим выполнение условий теоремы 4. Функция f, под знаком интеграла непрерывна (в точке = непрерывно доопределяется f, =. Производная f = e sin непрерывна. Для произвольного значения параметра из соотношения, следует, что f, = f, частная производная непрерывна всюду. Ранее была доказана сходимость интеграла I и равномерная сходимость интеграла e sin d=, 2. Итак, I = 2, тогда I =C rtg,. Устремим. Поскольку для исходного интеграла I, то I, C= 2. Окончательно, I = 2 rtg,. В заключение приведем несколько утверждений о поведении несобственного интеграла 2-го рода, зависящего от параметра. Определение. Интеграл равномерно сходящимся на множестве Y, если f, d с особой точкой а будем называть:, Y f, d. Критерий Коши равномерной сходимости. Интеграл точкой а будет равномерно сходится на множестве Y, если:, 2 2, Y 2 f, d с особой f, d Достаточный признак Вейерштрасса. Если при Y, f, g, интеграл g d, то f, d сходится абсолютно и равномерно на Y. Как и для интегралов -го рода, для указанных интегралов можно сформулировать аналоги теорем Дирихле, Абеля и теорем -4 о свойствах (непрерывность, дифференцируемость, интегрируемость).

16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов 16.1. Рассмотрим произвольное множество X и последовательность функций f, определенных на X. Говорят, что последовательность f сходится поточечно

В.В. Жук, А.М. Камачкин 1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал сходимости. Характер сходимости. Интегрирование и дифференцирование. 1.1 Радиус сходимости и интервал сходимости. Функциональный ряд

5 Глава ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Пространство R n Понятие функции нескольких переменных Определение Множество всех упорядоченных наборов (, n), где, n - действительные числа называется n-мерным

1. Математический анализ, первый семестр Список вопросов к экзамену 1.1. Определения (2006-2007, сем.1 1. Сформулируйте определение ограниченного множества вещественных чисел. 2. Сформулируйте определение

4 Определенный интеграл Римана. Определение, обобщенная теорема о среднем значении, интеграл с переменным верхним пределом, формула замены переменной, интегрирование по частям, некоторые неравенства. 4.1

1. Определение и основные свойства интеграла Римана Определение разбиения Разбиением отрезка [, b] называется набор точек = x 1 < x 2 < < x n+1 = b. Разбиение обозначают буквой P. Разбиение может быть

С А Лавренченко wwwwrckoru Лекция Преобразование Фурье Понятие интегрального преобразования Метод интегральных преобразований один из мощных методов математической физики является мощным средством решения

8 Барроу Исаак (Brrow Is) -77 английский математик, филолог, богослов. Профессор Кембриджского университета. Автор труда лекции по оптике и геометрии (9-7). Из теоремы следует, что определенный интеграл

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА А. Н. Мягкий Интегральные уравнения и вариационное исчисление Лекция Пусть задан функционал V = V , y(x) M E. Зафиксируем функцию y (x) M. Тогда любую другую функцию

Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a(a) a(a) a(a) (), где

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Примеры решения задач 1. Постоянная функция f(x) = C интегрируема на , так как для любых разбиений и любого выбора точек ξ i интегральные

8. Определенный интеграл 8.. Пусть f ограниченная функция, заданная на отрезке [, b] R. Разбиением отрезка [, b] называют такой набор точек τ = {x, x,..., x n, x n } [, b], что = x < x < < x n < x n =

Лекция 8 Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя Аннотация: Доказываются все названные теоремы и приводятся примеры раскрытия неопределенностей по правилу Лопиталя Определение Функция y=f() достигает

ПРЕДИСЛОВИЕ Пособие является продолжением . Оно создано на базе хорошо известных учебных пособий по математическому анализу [ 6]. В его основу положены лекции В. В. Жука, которые неоднократно читались

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского Методические указания к решению задач на интегралы с параметром Учебно-методическое пособие

Двойной интеграл Определение двойного интеграла и его свойства Как задача вычисления площади криволинейной трапеции приводит к определенному интегралу от функции одной переменной, так аналогичная задача

С А Лавренченко wwwlawrecekoru Лекция Представление функций степенными рядами Введение Представление функций степенными рядами оказывается полезным при решении следующих задач: - интегрирование функций

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Определение. Свойства. Признаки сходимости. Примеры с решениями. Определение Пусть функция f() определена для всех а и интегрируема на любом

БИЛЕТ 1 «3» Определение первообразной «3» Теорема 12 (об интегрируемости монотонной функции) «3» Теорема 4 (теорема сравнения для рядов) БИЛЕТ 2 «3» Определение обобщенной первообразной «3» Теорема 16

1 Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы непрерывные на компакте. 1.1 Теорема о промежуточных значениях Теорема 1. (Больцано-Коши) Пусть функция f непрерывна на отрезке , причем f(a) f(b). Тогда для любого числа C, заключенного между f(a) и f(b) найдется точка γ (a, b), что f(γ) = C. Доказательство. Пусть, например, f(a) = A < B = f(b) и A < C < B. Функция g(x) = f(x) C, очевидно, непрерывна на . Кроме того, g(a) < 0, g(b) > 0. Для доказательства теоремы достаточно показать, что существует такая точка γ (a, b), что g(γ) = 0. Разделим отрезок точкой x 0 на два равных по длине отрезка, тогда либо g(x 0) = 0 и, значит, искомая точка γ = x 0 найдена, либо g(x 0) 0 и тогда на концах одного из полученных промежутков функция g принимает значения разных знаков, точнее, на левом конце значение меньше нуля, на правом - больше. Обозначим этот отрезок и разделим его снова на два равных по длине отрезка и т.д. В результате, либо через конечное число шагов придем к искомой точке γ, в которой g(γ) = 0, либо получим последовательность вложенных отрезков по длине стремящихся к нулю и таких, что g(a n) < 0 < g(b n) (1) Пусть γ - общая точка всех отрезков , n = 1, 2,... Тогда γ = lim a n = lim b n. Поэтому, в силу непрерывности функции g Из (1) находим, что g(γ) = lim g(a n) = lim g(b n) (2) Из (2) и (3) следует, что g(γ) = 0. lim g(a n) 0 lim g(b n) (3) Следствие 1. Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то на этом отрезке есть хотя бы одна точка, в которой функция обращается в нуль. 1.2 Первая и вторая теоремы Вейерштрасса Будем говорить, что функция f, определенная на множестве E достигает на нем своей верхней (нижней) границы β = sup E f (α = inf E f), если существует такая точка x 0 E, что f(x 0) = β (f(x 0) = α). 1

Лекция 3 Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения Постановка задачи Основной результат Рассмотрим задачу Коши d f () d =, () = Функция f (,) задана в области G плоскости (,

ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

178 4 Основные свойства определенного интеграла Рассмотрим основные свойства определенного интеграла. 1) Если нижний и верхний пределы интегрирования равны (=), то интеграл равен нулю f () d = 0 Данное

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. Под словом "ряд"в математическом анализе понимают сумму бесконечного числа слагаемых. Рассмотрим произвольную числовую последовательность

ЛЕКЦИИ 8А 9А Пространство D, продолжение 5 Линейная замена переменной Для введения операции линейной (точнее, аффинной замены переменной, как и прежде, воспользуемся принципом продолжения с множества регулярных

ВОПРОСЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ к итоговому экзамену по дисциплине «Математический анализ» Прикладная математика На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи Всего 66 вопросов год

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R(), если, m, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

Лекция 6 Определенный интеграл Римана Аннотация: Отмечается что кроме интеграла Римана существуют и другие интегралы Рассматриваются свойства определенного интеграла Понятие определенного интеграла настолько

Тема курса лекций: ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛОВ, ЗАВИСЯЩИХ ОТ ПАРАМЕТРА, К ВЫЧИСЛЕНИЮ НЕКОТОРЫХ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ Лекция 8 Интеграл Эйлера-Пуассона Интеграл Лапласа Интеграл Френеля

Лекция 7 СЛАБАЯ И СИЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНЫЕ 1. Слабая производная Определение 1. Функция v(x) L p loc () называется слабой производной x α функции u(x) L p loc () и пишем v(x) = α u(x), если для всякой функции

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Тема: Предел и непрерывность функции Лекция 6 Предел числовой последовательности СОДЕРЖАНИЕ: Предельный переход в неравенствах Подпоследовательности Фундаментальные последовательности

58 Определенный интеграл Пусть на промежутке задана функция () Будем считать функцию непрерывной, хотя это не обязательно Выберем на промежутке произвольные числа, 3, n-, удовлетворяющие условию:

СА Лавренченко wwwlwrncnkoru Практическое занятие 9 Несобственные интегралы Типовые расчеты, Несобственные интегралы -го рода Несобственный интеграл -го рода обозначается и определяется следующим образом:

Chir of Mth. Anlysis, SPb. Stte University. A.V.Poteun, Исследование сходимости несобственных интегралов Методические указания для решения задач А. В. Потепун Как известно (см. , глава III, 7), если

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Учебно-методическое пособие для студентов факультета прикладной математики

Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы непрерывные на компакте.. Теорема о промежуточных значениях Теорема. (Больцано-Коши) Пусть функция f непрерывна

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им ВС Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ и ФИЗИКИ ЕФ КАЛИНИЧЕНКО ЛЕКЦИИ ПО ВЫЧИСЛЕНИЮ ОПРЕДЕЛЕННЫХ

ЛЕКЦИЯ Несобственные интегралы и их свойства Условная и абсолютная сходимость Признаки сходимости Определение определенного интеграла, его свойства и методы интегрирования рассматривались в предположении,

Глава 7. РАВНОМЕРНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ Функция f () x называется равномерно непрерывной на множестве X если > δδ () > () () x x X x x

Аннотация рабочей программы дисциплины Б.2.Б.1 математический анализ Направление подготовки: 080100.62 «Экономика» Профиль: «Экономика и информационно-математическое управление» 1. Цели и задачи дисциплины

1. Определенный интеграл 1.1. Пусть f ограниченная функция, заданная на отрезке [, b] R. Разбиением отрезка [, b] называют такой набор точек τ = {x, x 1,..., x n 1, x n } [, b], что = x < x 1 < < x n 1

Оглавление Глава Евклидово пространство Понятие m- мерного евклидова пространства Множества точек m мерного евклидова пространства 4 m Последовательности точек пространства R 5 4 Предел функции m переменных

13. Частные производные высших порядков Пусть = имеет и определенные на D O. Функции и называют также частными производными первого порядка функции или первыми частными производными функции. и в общем

Пензенский государственный педагогический университет имени ВГБелинского РЯДЫ ОГНикитина Учебное пособие Пенза Печатается по решению редакционно-издательского совета Пензенского государственного педагогического

Лекция 7 Комплексные числа их изображение на плоскости Алгебраические операции над комплексными числами Комплексное сопряжение Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА I. О с н о в н ы е п о н я т и я и т е о р е м ы Пусть X множество, -алгебра подмножеств множества X и на задана -аддитивная полная

11. Производная (продолжение); непрерывные функции На прошлой лекции мы вывели правило дифференцирования произведения функций; сейчас мы разберемся и с дифференцированием частного. Заметим для начала,

6 Задачи, приводящие к понятию производной Пусть материальная точка движется по прямой в одном направлении по закону s f (t), где t - время, а s - путь, проходимый точкой за время t Отметим некоторый момент

Семинар 3 Предел функции нескольких переменных О. Пусть D некоторое множество точек пространства R m: D R m. Пусть каждой точке M(x, x, x m) D поставлено в соответствие некоторое число u R. Тогда говорят,

ВВЕДЕНИЕ При изучении стационарных процессов различной физической природы (колебания теплопроводность диффузия и др обычно приходят к уравнениям эллиптического типа Наиболее распространенным уравнением

24-е занятие Эйлеровы интегралы (функции Γ и B) Матем анализ, прикл матем, 3-й семестр Определения гамма-функции и бета-функции: Γ(x) = t x 1 e t dt B(x, y) = t x 1 (1 t) y 1 dt Д 3841 Доказать, что функция

Лекция 19 ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ. Пусть имеем некоторую функцию y=f(x), определенную на некотором промежутке. Для каждого значения аргумента xиз этого промежутка функция y=f(x)

Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Ульяновск УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфиз-матнаук

Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Лекция 6 9 Принцип сжимающих отображений Теоремы о неподвижной точке Пусть D оператор, вообще говоря, нелинейный, действующий из банахова пространства B в себя Определение Оператор D, действующий из банахова

ТЕМА V РЯД ФУРЬЕ ЛЕКЦИЯ 6 Разложение периодической функции в ряд Фурье Многие процессы происходящие в природе и технике обладают свойствами повторяться через определенные промежутки времени Такие процессы

Фонды Фонды оценочных средств по дисциплине Б.2.1 «Математический анализ» для проведения текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации студентов по направлению 080100.62 «Экономика» Тематика

Министерство образования и науки Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ

ЛЕКЦИЯ N Полный дифференциал, частные производные и дифференциалы высших порядков Полный дифференциал Частные дифференциалы Частные производные высших порядков Дифференциалы высших порядков 4Производные

Математический анализ Раздел: Введение в анализ Тема: Предел функции предел функции и его свойства, бесконечно большие функции и их свойства Лектор Янущик ОВ 215 г 3 Предел функции 1 Определение предела

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 6 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ I О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы Определение Преобразованием Фурье функции из L называется функция определяемая равенством d Оператор F: называется

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ УЧЕБНИК В 2 частях Часть 2 2-е издание, переработанное и дополненное Под редакцией

џ. Понятие числового ряда. Пусть задана последовательность чисел a, a 2,..., a,.... Числовым рядом называется выражение a = a + a 2 +... + a +... (.) Числа a, a 2,..., a,... называются членами ряда, a

Список задач с решениями по функциональному анализу Пусть линейное нормированное пространство Доказать, что для любых элементов выполняется неравенство из аксиом нормы:, тогда: Можно ли в пространстве

Для того чтобы дать определение интеграла, зависящего от параметра, введем функцию . Пусть эта функция будет определена на некотором множестве, где и , то есть в результате получится множество . Если функция непрерывна в D , то тогда имеет смысл интеграл , где x принадлежит некоторому конечному или бесконечному промежутку , значит, интеграл может быть несобственным.

На основании этого можно дать определение интеграла, зависящего от параметра.

Определение.

Интеграл называется интегралом, зависящим от параметра, если интегрируема на промежутке при любом фиксированным , где .

Следовательно, представляет собой функцию переменной (параметра) , определенную в промежутке . Возможно также существование интеграла при фиксированном , тогда он будет представлять собой функцию переменной (параметра) , определенную в промежутке . Обозначается она так , так что .

Основная задача будет состоять в том, чтобы, зная свойства функции , получить информацию о свойствах функции . Эти свойства имеют многообразные применения, особенно при вычислении несобственных интегралов.

Пример. Найти интеграл от функции ,

Функция непрерывна на отрезке при любом фиксированном , а значит, она интегрируема. Тогда

.

Пункт 2. Предельный переход под знаком интеграла. Непрерывность интеграла как функции параметра

Определение.

Пусть - это предельная точка множества .Функция называется равномерно сходящейся к функции при по переменной , если выполняются следующие условия:

1. для при существует конечная предельная функция ;

Замечание 1.

В цепочки (1) зависит только от и не зависит от , а неравенство выполняется при любых одновременно.

Замечание 2.

Если , то в цепочке (1) неравенство следует заменить на ().

Теорема 1 (признак сходимости). Если функция определена на множестве , то для того, чтобы она имела предельную функцию и сходилась к ней равномерно необходимо и достаточно, чтобы выполнялась цепочка

Докажем теорема так.

Необходимость . Пусть функция равномерно сходится. Если заменим в определении на и выберем соответственно , а затем возьмем два значения и из так, чтобы выполнялись условия и . В результате получим и откуда следует последнее неравенство в цепочке .

Достаточность . Теперь пусть существует предельная функция . Нужно доказать равномерную сходимость функции к предельной функции. Для этого совершим переход к пределу в неравенстве при , получается . Что и подтверждает равномерную сходимость к функции .

Теорема 2 (о непрерывности предельной функции). Если функция при любом фиксированном непрерывна на и равномерно сходится к предельной функции по переменной при , то функция также непрерывна на .

Легко обобщается теорема Дини: если функция непрерывна для любого фиксированного на и при возрастании функция, монотонно возрастая, стремится к предельной функции , то сходится к равномерно.

Теорема 3 (предельный переход по параметру под знаком интеграла). Если функция непрерывна при постоянном значении на и сходится равномерно по переменной к предельной функции при , то тогда имеет место равенство

(2)

Доказательство.

Непрерывность следует из теоремы 2, значит, она интегрируема на отрезке . В силу равномерной сходимости к выполняется . Тогда при тех же и имеем:

Откуда следует , что доказываетформулу (2).

Замечание 3.

Равенство (2) можно записать и в другом виде

. (2`)

Следствие 1.

Если функция при постоянном непрерывна по и при возрастании стремится, монотонно возрастая, к непрерывной предельной функции , то справедливы формулы (2) и (2`).

В предположении, что область представляет собой конечный промежуток , рассмотрим вопрос о непрерывности функции .

Пример (№3713 (в)). Найти .

1. функция непрерывная функция на . Функции и также непрерывны на .

2. непрерывная функция (т.4 и сл.2) в промежутке , значит

Теорема 4 (о непрерывности интеграла как функции параметра). Пусть функция определена и непрерывна в прямоугольнике , тогда интеграл будет непрерывной функцией от параметра в промежутке .

Доказательство.

Так как непрерывна на замкнутом множестве, то по теореме Кантора она равномерно непрерывна на данном прямоугольнике . Возьмем любое и зафиксируем . Тогда нашему значению будет соответствовать , такое, что для любых двух точек , принадлежащих , из неравенств и , будет следовать . Положим , , где , - любые из , и , где . Тогда получим

Это означает, что функция равномерно стремится к . В таком случае по теореме 3 , а уже отсюда следует равенство , то есть наша функция непрерывна на .

Замечание 4. Совершенно аналогично доказывается теорема для , где .

Следствие 2. Если непрерывна на прямоугольнике , то .

Пример . Найти .

1. непрерывна на

2. тогда по теореме 4. и следствию 2 получаем

Пункт 3. Дифференцирование под знаком интеграла

При изучении свойств функции важное значение имеет вопрос о ее производной по параметру. Вычислить производную можно по формуле , которую вывел Лейбниц 1697. Рассмотрим теорему, устанавливающую простые достаточные условия для применимости этой формулы.

Теорема (о дифференцировании интеграла, зависящего от параметра). Пусть функция определена и непрерывна в прямоугольнике и имеет там непрерывную частную производную . Пусть , . Тогда:

1. функция имеет в промежутке производную ;

2. , то есть , .

Доказательство.

Возьмем любую точку и зафиксируем ее. Придадим приращение и точка . Тогда , ,

(1)

По теореме Лагранжа . Следовательно,

. (2)

Переходя в (2) к пределу при , приняв во внимание теорему о допустимости предельного перехода под знаком интеграла, получим:

Из этого следует, что существует, причем . Так как - любое , то существует для любого , причем .

Пример. Найти производную функции .

1. непрерывна на

2. . Эта функция также непрерывна на .

4.

Пункт 4. Интегрирование по параметру под знаком интеграла

Рассмотрим вопрос об интегрировании по параметру функции . Если она интегрируема, то интеграл будет иметь вид . Достаточное условие для равенства двух повторных интегралов дает следующая теорема.

Теорема. Если непрерывная по обеим переменным функция на прямоугольнике , то интегрируемая на промежутке функция и справедливо равенство , то есть .

Также можно расписать с помощью повторных интегралов следующим образом .

Докажем более общее равенство.

для любого . (1)

В левой и правой частях равенства (1) мы имеем две функции от параметра t . Вычислим их производные по t . Так как , то (т.4 п.2), а следовательно есть интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной функции. Тогда по теореме Барроу:

, . (2)

В правой части стоит интеграл , где . Действительно функция удовлетворяет условиям теоремы п.3, она также непрерывна по в силу теоремы 4 п.2.Мы можем найти производную , которая будет непрерывна как функция двух переменных.

Тогда по теореме о дифференцировании по параметру под знаком интеграла

, . (3)

Видим, что левая и правая части равенства (1) имеют в промежутке совпадающие производные (см. (2) и (3)). А значит они отличаются в этом промежутке только на постоянную величину, т. е. .

. (4)

Положив в (4) t = c , получим . Значит, будем иметь вместо (4) для любого

. (5)

Пусть в (5) t = d , получим

.

Что и требовалось получить.

Глава 2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра

Пункт 1. Равномерная сходимость несобственных интегралов, зависящих от параметра

При рассмотрении теории интегралов, зависящих от параметра, в случае несобственных интегралов особую роль играет понятие равномерной сходимости. Выясним это понятие сначала для несобственных интегралов первого рода (НИЗП-1), затем для интегралов второго рода (НИЗП-2).

Пусть функция определена и непрерывна на некотором прямоугольнике и при любом фиксированном существует несобственный интеграл, зависящий от параметра, этой функции на любом промежутке . Тогда интеграл сходится и равен

.

В этом случае называют несобственным интегралом первого рода (НИЗП-1).

Утверждение о том, что сходится при каждом означает следующее: при каждом фиксированном

.

Следовательно,

или .

Это значит, что для каждого по любому можно указать число такое, что если , то . Важно заметить, что зависит и от ,и от :. Если же для любого можно указать число , зависящее только от , такое, что при выполняется для, то в этом случае называется равномерно сходящимся относительно параметра .

Теперь сформулируем критерий Коши для равномерной сходимости для нашего случая следующим образом:

Теорема 1. (критерий Коши равномерной сходимости для НИЗП-1). Для того чтобы интеграл сходился равномерно по переменной на промежутке , необходимо и достаточно, чтобы выполнялась цепочка

, .

Рассмотрим достаточные признаки равномерной сходимости.

Теорема 2. (признак Вейерштрасса равномерной сходимости НИЗП-1). Пусть функция определена и непрерывна на прямоугольнике и удовлетворяет условиям:

1. непрерывна по переменной ,

2. существует функция , что ,

3. - сходится.

Из этого следует, что сходится равномерно по .

Доказательство.

В соответствии с условием 3) критерия Коши о сходимости несобственных интегралов 1-го рода от функции одной переменной имеем:

(1)

Тогда при тех же , что и в цепочке, получаем

.

А отсюда по теореме 1 следует равномерная сходимость интеграла .

Замечание.

При выполнении условий теоремы 2 говорят, что функция имеет интегрируемую мажоранту или что интеграл мажорируется сходящимся интегралом .

Следствие.

Пусть выполняются следующие условия:

1. функция определена и непрерывна по ;

2. функция ограничена на прямоугольнике ;

3. интеграл сходится, тогда следует, что

сходится равномерно по .

Обозначим через и возьмем в качестве , а в качестве функции . Тогда, исходя из теоремы 2, получим цепочку (1).

Совершенно аналогично вводится понятие равномерной сходимости несобственных интегралов второго рода (НИЗП-2).

Пусть функция определена в области (a,b,c – конечные числа). Пусть при несобственный интеграл сходится. В этом случае будет представлять собой функцию переменной (параметра) , определенную в промежутке . Утверждение, что несобственный интеграл сходится при , означает следующее. При каждом фиксированном интеграл

(здесь ). Это значит, что для каждого из по любому можно указать такое, что при условии выполняется . Важно отметить, что число выбирается по , и для каждого оно будет своим, другими словами, зависит и от , и от : . Если же можно указать такое , зависящее только от , такое, что при выполнении условия будет верно сразу для всех , несобственный интеграл называется равномерно сходящимся относительно параметра. Короче говорят, интеграл называется равномерно сходящимся по переменной на , если он сходится при и выполняется цепочка
.

Для НИЗП-2 справедливы теоремы аналогичные т.1 и т. 2.

Теорема 3. (критерий Коши равномерной сходимости НИЗП-2). Для того чтобы НИЗП-2 равномерно сходился по необходимо и достаточно, чтобы:

, .

Теорема 4. Пусть функция определена в области и удовлетворяет следующим условиям:

1. функция непрерывна по , при ;

2. существует такая функция , что , и .

3. - сходится

НИЗП-2 сходится равномерно по на .

Доказательство проводится аналогично доказательству теоремы 2.

Пример. Исследовать на равномерную сходимость интеграл .

Для определения равномерной сходимости необходимо проверить выполнение всех условий теоремы 2.

1. определена и непрерывна в области ;

2. существует функция , , для любого ;

3. , то есть сходится.

Так как все условия выполнены, то интеграл сходится равномерно относительно на любом промежутке .

Пункт 2. Непрерывность НИЗП, предельный переход под знаком интеграла.

В этом пункте мы рассмотрим предельный переход под знаком интеграла, имеющего бесконечный предел, и непрерывность интеграла как функции параметра. Условия, достаточные для допустимости предельного перехода, даются следующей теоремой:

Теорема 1. Пусть функция , определенная на прямоугольнике , удовлетворяет условиям:

1. функция по на промежутке ;

2. равномерно стремится к при по , где ;

3. интеграл сходится равномерно по на .

В результате справедливо равенство

(1)

Доказательство.

Функция будет непрерывной. По условию равномерной сходимости для любого найдется такое , что , для , но только . Переходя к пределу при под знаком интеграла, получим . Значит интегрируемая на бесконечном промежутке функция. Тогда при , имеем непрерывна и интегрируема на промежутке - это любое фиксированное из, то справедлива формула Чаще всего такую перестановку сложно проделать. , интеграл. Это равенство установлено для , что выполняется формула (*).

Дифференцирование по параметру иногда можно применять для вычисления интегралов.

Пример 5 . Вычислить при a > 1 .

Решение . Найдём производную интеграла по параметру а . Легко проверить, что требования теоремы 4 соблюдены, поэтому

.

Применим подстановку t = tgx . Тогда , , . Если х ® 0 ,то t ® 0 , если , то t ® ¥ . Продолжаем вычисление:

.

Теперь, вычисляя интеграл, получим:

.

Константу С найти легко, так как

.

Отсюда: p ln2 + C = 0 ,т. е. С = –p ln2 . Окончательно получаем:

Научимся теперь вычислять производные в случае, если от параметра зависит не только подинтегральная функция, но и пределы интегрирования.

Теорема 5 . Пусть f(x ,y) , непрерывны в прямоугольнике D = ´ ; пусть функции a (y) , b (y) при y Î дифференцируемы, причём a £a (y) £ b , a £b (y) £b . Тогда

Доказательство . Возьмём произвольную точку y 0 Î и вычислим по определению: . Но прежде запишем, пользуясь аддитивностью интеграла:

Производная 2–го слагаемого вычисляется по теореме 4:

.

Найдём производную 3–го слагаемого:

Мы воспользовались теоремой о среднем для определённого интеграла, а затем – непрерывностью f(x ,y) и дифференцируемостью b (y) . В точности так же вычисляется и производная 1–го слагаемого:

.

Складывая все 3 слагаемые, получим требуемую формулу (в произвольной точке y 0 Î ).

Пример 6 . Найти производную функции

Решение . Здесь требуется дифференцировать интеграл по параметру х . Действуем по формуле теоремы 5:

16 .1 .3 Интегрирование по параметру .

Теорема 6 . Пусть f(x ,y) непрерывна в прямоугольнике D = ´ . Рассмотрим . Тогда

.

Или, что то же самое,

.

Доказательство . Докажем более общее соотношение. Пусть t –произвольная точка отрезка . Докажем, что

. (*)

Найдём производную по t от каждой части этого равенства. Применяя теорему 5 (или давно известную нам теорему об интеграле с переменным верхним пределом), получим:

.

В правой части равенства (*) – интеграл, зависящий от параметра t . Дифференцируем его, применяя теорему 4:

.

Одинаковые результаты говорят о том, что функции в левой и правой частях равенства (*) отличаются лишь на константу: . Это верно " t Î . В частности, при t = c получим: 0 = 0 + С , т.е. С = 0 и равенство доказано. Если применить его при t = d , получим утверждение теоремы.

Пример 7 . Вычислить интеграл .

Решение . Интегрирование в указанном порядке затруднительно:

Пользуясь теоремой 6, изменим порядок интегрирования.

Интеграл вычислен. Попутно получено соотношение:

.

Приведём пример, показывающий, что при нарушении непрерывности подинтегральной функции изменение порядка интегрирования может привести к другому результату.

Пример 8 . Вычислим интеграл:

При вычислении в другом порядке можно заметить, что если сменить знак подинтегральной функции, то получится уже рассмотренный интеграл:

.

Разные ответы – из–за того, что подинтегральная функция в точке (0 , 0) имеет разрыв.

16. 2 Несобственные интегралы с параметром

Перейдём к изучению несобственных интегралов, зависящих от параметра. Наиболее простая запись такого интеграла – это по–прежнему

, но здесь либо b = ¥ , либо функция f(x , y) не ограничена в окрестности точки x = b . Для краткости будем говорить, что интеграл имеет особенность в точке x = b . Переменная y принимает значения на отрезке (или на неограниченном промежутке, например, , если " y Î интеграл сходится, т.е. существует конечный .

Будем говорить, что сходится равномерно на , если