Glede na graf protiizpeljave poiščite število rešitev.

Premica y=3x+2 je tangenta na graf funkcije y=-12x^2+bx-10. Poiščite b, glede na to, da je abscisa tangentne točke manj kot nič.

rešitev

Naj bo x_0 abscisa točke na grafu funkcije y=-12x^2+bx-10, skozi katero poteka tangenta na ta graf.

Vrednost odvoda v točki x_0 je naklon tangenta, to je y"(x_0)=-24x_0+b=3. Po drugi strani pa točka dotika hkrati pripada grafu funkcije in tangenti, to je -12x_0^2+bx_0- 10=3x_0+2 Dobimo sistem enačb \begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \konec(primeri)

Če rešimo ta sistem, dobimo x_0^2=1, kar pomeni ali x_0=-1 ali x_0=1. Glede na pogoj abscise so tangentne točke manjše od nič, torej x_0=-1, potem b=3+24x_0=-21.

Odgovori

Pogoj

Slika prikazuje graf funkcije y=f(x) (ki je lomljena črta, sestavljena iz treh ravnih odsekov). S pomočjo slike izračunajte F(9)-F(5), kjer je F(x) eden od antiderivativne funkcije f(x).

rešitev

Po Newton-Leibnizovi formuli je razlika F(9)-F(5), kjer je F(x) eden od antiderivatov funkcije f(x), enaka površini krivuljnega trapeza, omejeno z urnikom funkcije y=f(x), premice y=0, x=9 in x=5. Iz grafa ugotovimo, da je označeni ukrivljeni trapez trapez z osnovama enakima 4 in 3 ter višino 3.

Njegova površina je enaka \frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Odgovori

Vir: “Matematika. Priprava na enotni državni izpit 2017. Raven profila" Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Pogoj

Slika prikazuje graf y=f"(x) - odvoda funkcije f(x), definiranega na intervalu (-4; 10). Poiščite intervale padajoče funkcije f(x). V odgovoru navedite dolžino največjega med njimi.

rešitev

Kot je znano, funkcija f(x) pada na tistih intervalih, v vsaki točki katerih je odvod f"(x) manjši od nič. Glede na to, da je treba najti dolžino največjega od njih, so trije takšni intervali naravno ločeno od slike: (-4; -2) ; (0; 3);

Dolžina največjega od njih - (5; 9) je 4.

Odgovori

Vir: “Matematika. Priprava na enotni državni izpit 2017. Raven profila." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Pogoj

Slika prikazuje graf y=f"(x) - odvoda funkcije f(x), definiranega na intervalu (-8; 7). Poiščite število največjih točk funkcije f(x), ki pripadajo intervalu [-6; -2].

rešitev

Graf kaže, da odvod f"(x) funkcije f(x) spremeni predznak iz plusa v minus (v takšnih točkah bo maksimum) točno v eni točki (med -5 in -4) iz intervala [ -6 ] Torej obstaja natanko ena maksimalna točka v intervalu [-6].

Odgovori

Vir: “Matematika. Priprava na enotni državni izpit 2017. Raven profila." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Pogoj

Slika prikazuje graf funkcije y=f(x), definirane na intervalu (-2; 8). Določite število točk, v katerih je odvod funkcije f(x) enak 0.

rešitev

Enakost odvoda v točki na nič pomeni, da je tangenta na graf funkcije, narisan v tej točki, vzporedna z osjo Ox. Zato poiščemo točke, v katerih je tangenta na graf funkcije vzporedna z osjo Ox. Vklopljeno ta grafikon take točke so točke ekstrema (točke maksimuma ali minimuma). Kot lahko vidite, obstaja 5 ekstremnih točk.

Odgovori

Vir: “Matematika. Priprava na enotni državni izpit 2017. Raven profila." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Pogoj

Premica y=-3x+4 je vzporedna s tangento na graf funkcije y=-x^2+5x-7. Poiščite absciso tangentne točke.

rešitev

Naklon premice na graf funkcije y=-x^2+5x-7 v poljubna točka x_0 je enako y"(x_0). Toda y"=-2x+5, kar pomeni y"(x_0)=-2x_0+5. Naklon premice y=-3x+4, podane v pogoju, je enak -3. Vzporedne premice imajo enake kotne koeficiente. Zato najdemo vrednost x_0, tako da je =-2x_0 +5=-3.

Dobimo: x_0 = 4.

Odgovori

Vir: “Matematika. Priprava na enotni državni izpit 2017. Raven profila." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Pogoj

Slika prikazuje graf funkcije y=f(x), na abscisi pa so označene točke -6, -1, 1, 4. V kateri od teh točk je odvod najmanjši? Prosimo, navedite to točko v svojem odgovoru.

\(\DeclareMathOperator(\tg)(tg)\)\(\DeclareMathOperator(\ctg)(ctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arctg)(arctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arcctg)(arcctg) \)

Vsebinski elementi

Odvod, tangens, protiodvod, grafi funkcij in odvodi.

Izpeljanka Naj bo funkcija \(f(x)\) definirana v neki okolici točke \(x_0\).

Odvod funkcije \(f\) v točki \(x_0\) imenovana meja

\(f"(x_0)=\lim_(x\desna puščica x_0)\dfrac(f(x)-f(x_0))(x-x_0),\)

če ta meja obstaja.

Odvod funkcije v točki označuje hitrost spremembe te funkcije v dani točki.

Tabela izvedenih finančnih instrumentov

Pravila razlikovanja\(f\) in \(g\) sta funkciji, odvisni od spremenljivke \(x\); \(c\) je število.

2) \((c\cdot f)"=c\cdot f"\)

3) \((f+g)"= f"+g"\)

4) \((f\cdot g)"=f"g+g"f\)

5) \(\levo(\dfrac(f)(g)\desno)"=\dfrac(f"g-g"f)(g^2)\)

6) \(\left(f\left(g(x)\right)\right)"=f"\left(g(x)\right)\cdot g"(x)\) - odvod kompleksne funkcije

Geometrijski pomen izpeljanke Enačba premice- ni vzporedno z osjo \(Oy\) lahko zapišemo v obliki \(y=kx+b\). Koeficient \(k\) v tej enačbi se imenuje naklon ravne črte. On enaka tangenti naklonski kot ta ravna črta.

Ravni kot- kot med pozitivno smerjo osi \(Ox\) in to ravno črto, merjeno v smeri pozitivni koti(to je v smeri najmanjše rotacije od osi \(Ox\) do osi \(Oy\).

Odvod funkcije \(f(x)\) v točki \(x_0\) je enak naklonu tangente na graf funkcije v tej točki: \(f"(x_0)=\tg\ alfa.\)

Če je \(f"(x_0)=0\), potem je tangenta na graf funkcije \(f(x)\) v točki \(x_0\) vzporedna z osjo \(Ox\).

Tangentna enačba

Enačba tangente na graf funkcije \(f(x)\) v točki \(x_0\):

\(y=f(x_0)+f"(x_0)(x-x_0)\)

Monotonost funkcijeČe je odvod funkcije pozitiven v vseh točkah intervala, potem funkcija na tem intervalu narašča.

Če je odvod funkcije negativen v vseh točkah intervala, potem funkcija pada na tem intervalu.

Minimum, maksimum in prevojne točke pozitivno na negativno na tej točki je \(x_0\) največja točka funkcije \(f\).

Če je funkcija \(f\) zvezna v točki \(x_0\) in se vrednost odvoda te funkcije \(f"\) spreminja z negativno na pozitivno na tej točki je \(x_0\) najmanjša točka funkcije \(f\).

Imenujemo točke, v katerih je odvod \(f"\) enak nič ali ne obstaja kritične točke funkcije \(f\).

Notranje točke domene definicije funkcije \(f(x)\), v kateri so \(f"(x)=0\) lahko minimalne, maksimalne ali prevojne točke.

Fizični pomen izpeljankeČe se materialna točka giblje premočrtno in se njena koordinata spreminja glede na čas po zakonu \(x=x(t)\), potem je hitrost te točke enaka odvodu koordinate glede na čas:

Pospešek materialne točke je enak odvodu hitrosti te točke glede na čas:

\(a(t)=v"(t).\)

Vrsta dela: 7
Tema: Protiizpeljava funkcije

Pogoj

Slika prikazuje graf funkcije y=f(x) (ki je lomljena črta, sestavljena iz treh ravnih odsekov). S pomočjo slike izračunajte F(9)-F(5), kjer je F(x) eden od antiodvodov funkcije f(x).

rešitev

Po Newton-Leibnizovi formuli je razlika F(9)-F(5), kjer je F(x) eden od antiderivatov funkcije f(x), enaka površini omejenega trapeza krivulje. z grafom funkcije y=f(x), premice y=0 , x=9 in x=5. Iz grafa ugotovimo, da je označeni ukrivljeni trapez trapez z osnovama enakima 4 in 3 ter višino 3.

Njegova površina je enaka \frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Odgovori

Vrsta dela: 7
Tema: Protiizpeljava funkcije

Pogoj

Slika prikazuje graf funkcije y=F(x) - enega od antiodvodov neke funkcije f(x), definirane na intervalu (-5; 5). S pomočjo slike določite število rešitev enačbe f(x)=0 na odseku [-3; 4].

rešitev

Glede na definicijo antiizpeljave velja enakost: F"(x)=f(x). Zato lahko enačbo f(x)=0 zapišemo kot F"(x)=0. Ker slika prikazuje graf funkcije y=F(x), moramo te točke najti v intervalu [-3; 4], kjer je odvod funkcije F(x) enak nič. Iz slike je razvidno, da bodo to abscise skrajnih točk (maksimuma ali minimuma) grafa F(x). V navedenem intervalu jih je natanko 7 (štiri minimalne točke in tri maksimalne točke).

Odgovori

Vir: “Matematika. Priprava na enotni državni izpit 2017. Raven profila." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Vrsta dela: 7
Tema: Protiizpeljava funkcije

Pogoj

Slika prikazuje graf funkcije y=f(x) (ki je lomljena črta, sestavljena iz treh ravnih odsekov). S pomočjo slike izračunajte F(5)-F(0), kjer je F(x) eden od antiodvodov funkcije f(x).

rešitev

Glede na Newton-Leibnizovo formulo je razlika F(5)-F(0), kjer je F(x) eden od antiderivatov funkcije f(x), enaka površini omejenega krivuljnega trapeza z grafom funkcije y=f(x), premice y=0 , x=5 in x=0. Iz grafa ugotovimo, da je označeni ukrivljeni trapez trapez z osnovama enakima 5 in 3 ter višino 3.

Njegova površina je enaka \frac(5+3)(2)\cdot 3=12.

Odgovori

Vir: “Matematika. Priprava na enotni državni izpit 2017. Raven profila." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Vrsta dela: 7
Tema: Protiizpeljava funkcije

Pogoj

Slika prikazuje graf funkcije y=F(x) - enega od antiodvodov neke funkcije f(x), definirane na intervalu (-5; 4). S pomočjo slike določite število rešitev enačbe f (x) = 0 na odseku (-3; 3].

rešitev

Glede na definicijo antiizpeljave velja enakost: F"(x)=f(x). Zato lahko enačbo f(x)=0 zapišemo kot F"(x)=0. Ker slika prikazuje graf funkcije y=F(x), moramo te točke najti v intervalu [-3; 3], kjer je odvod funkcije F(x) enak nič.

Iz slike je razvidno, da bodo to abscise skrajnih točk (maksimuma ali minimuma) grafa F(x). V navedenem intervalu jih je natanko 5 (dve minimalni točki in tri maksimalne točke).

Odgovori

Vir: “Matematika. Priprava na enotni državni izpit 2017. Raven profila." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Vrsta dela: 7
Tema: Protiizpeljava funkcije

Pogoj

Slika prikazuje graf neke funkcije y=f(x). Funkcija F(x)=-x^3+4,5x^2-7 je eden od antiizvodov funkcije f(x).

Poiščite območje zasenčene figure.

rešitev

Osenčena figura je ukrivljen trapez, ki je od zgoraj omejena z grafom funkcije y=f(x), z ravnimi črtami y=0, x=1 in x=3. Po Newton-Leibnizovi formuli je njegova ploščina S enaka razliki F(3)-F(1), kjer je F(x) antiodvod funkcije f(x), podane v pogoju. Zato S= F(3)-F(1)= -3^3 +(4,5)\cdot 3^2 -7-(-1^3 +(4,5)\cdot 1^2 -7)= 6,5-(-3,5)= 10.

Odgovori

Vir: “Matematika. Priprava na enotni državni izpit 2017. Raven profila." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Vrsta dela: 7
Tema: Protiizpeljava funkcije

Pogoj

Slika prikazuje graf neke funkcije y=f(x). Funkcija F(x)=x^3+6x^2+13x-5 je eden od antiodvodov funkcije f(x). Poiščite območje zasenčene figure.

51. Slika prikazuje graf y=f "(x)- odvod funkcije f(x), definirana na intervalu (− 4; 6). Poiščite absciso točke, v kateri je tangenta na graf funkcije y=f(x) vzporedno s premico y=3x ali sovpada z njim.

Odgovor: 5

52. Slika prikazuje graf y=F(x) f(x) f(x) pozitivno?

Odgovor: 7

53. Slika prikazuje graf y=F(x) eden od antiizpeljank neke funkcije f(x) in osem točk je označenih na osi x: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8. Na koliko od teh točk je funkcija f(x) negativno?

Odgovor: 3

54. Slika prikazuje graf y=F(x) eden od antiizpeljank neke funkcije f(x) in deset točk je označenih na osi x: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10. Na koliko od teh točk je funkcija f(x) pozitivno?

Odgovor: 6

55. Slika prikazuje graf y=F(x f(x), definirana na intervalu (− 7; 5). S pomočjo slike določite število rešitev enačbe f(x)=0 na segmentu [− 5;  2].

Odgovor: 3

56. Slika prikazuje graf y=F(x) eden od antiizpeljank neke funkcije f (x), definirana na intervalu (− 8; 7). S pomočjo slike določite število rešitev enačbe f(x)= 0 na intervalu [− 5;  5].

Odgovor: 4

57. Slika prikazuje graf y=F(x) eden od antiizpeljank neke funkcije f(x), definirana na intervalu (1;13). S pomočjo slike določite število rešitev enačbe f (x)=0 na segmentu .

Odgovor: 4

58. Slika prikazuje graf določene funkcije y=f(x)(dva nosilca s skupnim Izhodišče). S pomočjo slike izračunaj F(−1)−F(−8), Kje F(x) f(x).

Odgovor: 20

59. Slika prikazuje graf določene funkcije y=f(x) (dva žarka s skupnim izhodiščem). S pomočjo slike izračunaj F(−1)−F(−9), Kje F(x)- ena od primitivnih funkcij f(x).

Odgovor: 24

60. Slika prikazuje graf določene funkcije y=f(x). funkcija

-ena izmed primitivnih funkcij f(x). Poiščite območje zasenčene figure.

Odgovor: 6

61. Slika prikazuje graf določene funkcije y=f(x). funkcija

Ena izmed primitivnih funkcij f(x). Poiščite območje zasenčene figure.

Odgovor: 14.5

vzporedna s tangento na graf funkcije

Odgovor: 0,5

Poiščite absciso tangentne točke.

Odgovor: -1

je tangenta na graf funkcije

Najti c.

Odgovor: 20

je tangenta na graf funkcije

Najti a.

Odgovor: 0,125

je tangenta na graf funkcije

Najti b, ob upoštevanju, da je abscisa tangentne točke večja od 0.

Odgovor: -33

67. Materialna točka premika v ravni črti v skladu z zakonom

Kje x t- čas v sekundah, merjen od trenutka, ko se je gibanje začelo. V katerem trenutku (v sekundah) je bila njegova hitrost enaka 96 m/s?

Odgovor: 18

68. Materialna točka se giblje premočrtno po zakonu

Kje x- oddaljenost od referenčne točke v metrih, t- čas v sekundah, merjen od trenutka, ko se je gibanje začelo. V katerem trenutku (v sekundah) je bila njegova hitrost enaka 48 m/s?

Odgovor: 9

69. Materialna točka se giblje premočrtno po zakonu

Kje x t t=6 z.

Odgovor: 20

70. Materialna točka se giblje premočrtno po zakonu

Kje x- oddaljenost od referenčne točke v metrih, t- čas v sekundah, merjen od začetka gibanja. Poiščite njegovo hitrost (v m/s) v trenutku t=3 z.

Odgovor: 59