Če hitrost \(~\vec \upsilon_0\) ni usmerjena navpično, bo gibanje telesa krivočrtno.
Razmislite o gibanju telesa, vrženega vodoravno z višine h s hitrostjo \(~\vec \upsilon_0\) (slika 1). Zračni upor bomo zanemarili. Za opis gibanja je potrebno izbrati dve koordinatni osi - Ox in Oj. Izhodišče koordinat je združljivo z začetnim položajem telesa. Iz slike 1 je razvidno, da υ 0x = υ 0 , υ 0y = 0, g x = 0, g y = g.
Takrat bo gibanje telesa opisano z enačbami:
\(~\upsilon_x = \upsilon_0,\ x = \upsilon_0 t; \qquad (1)\) \(~\upsilon_y = gt,\ y = \frac(gt^2)(2). \qquad (2) \)
Analiza teh formul pokaže, da v vodoravni smeri hitrost telesa ostane nespremenjena, to pomeni, da se telo giblje enakomerno. V navpični smeri se telo giblje enakomerno pospešeno \(~\vec g\), torej enako kot telo, ki prosto pada brez začetne hitrosti. Poiščimo enačbo trajektorije. Da bi to naredili, iz enačbe (1) poiščemo čas \(~t = \frac(x)(\upsilon_0)\) in, če nadomestimo njegovo vrednost v formulo (2), dobimo \[~y = \frac( g)(2 \ upsilon^2_0) x^2\] .
To je enačba parabole. Posledično se vodoravno vrženo telo premika vzdolž parabole. Hitrost telesa v katerem koli trenutku je usmerjena tangencialno na parabolo (glej sliko 1). Modul hitrosti je mogoče izračunati s pomočjo Pitagorovega izreka:
\(~\upsilon = \sqrt(\upsilon^2_x + \upsilon^2_y) = \sqrt(\upsilon^2_0 + (gt)^2).\)
Poznavanje nadmorske višine h s katerim se telo premetava, je mogoče najti čas t 1, skozi katero bo telo padlo na tla. V tem trenutku koordinata l enaka višini: l 1 = h. Iz enačbe (2) najdemo\[~h = \frac(gt^2_1)(2)\]. Od tukaj
\(~t_1 = \sqrt(\frac(2h)(g)). \qquad (3)\)
Formula (3) določa čas letenja telesa. V tem času bo telo prevozilo razdaljo v vodoravni smeri l, ki se imenuje domet letenja in ga lahko najdemo na podlagi formule (1), pri čemer upoštevamo, da l 1 = x. Zato je \(~l = \upsilon_0 \sqrt(\frac(2h)(g))\) doseg letenja telesa. Modul hitrosti telesa v tem trenutku je \(~\upsilon_1 = \sqrt(\upsilon^2_0 + 2gh).\).
Literatura
Aksenovich L. A. Fizika v srednji šoli: Teorija. Naloge. Testi: Učbenik. dodatek za ustanove, ki izvajajo splošno izobraževanje. okolje, izobraževanje / L. A. Aksenovich, N. N. Rakina, K. S. Farino; Ed. K. S. Farino. - Mn.: Adukatsiya i vyakhavanne, 2004. - Str. 15-16.
Zdaj nam ni težko ugotoviti, kako se bo telo premikalo, če mu damo začetno hitrost, usmerjeno ne pod poljubnim kotom na obzorje, ampak vodoravno. Tako se na primer giblje telo, ko se spusti z vodoravno letečega letala (ali se z njega vrže).
Še vedno verjamemo, da na tako telo deluje samo gravitacija. Ona mu kot vedno daje pospešek navzdol.
V prejšnjem odstavku smo videli, da telo, vrženo pod kotom na obzorje, v določenem trenutku doseže najvišjo točko svoje poti (točka B na sliki 134). V tem trenutku je hitrost telesa usmerjena vodoravno.
Že vemo, kako se telo po tem giblje. Pot njegovega gibanja je desna veja parabole, prikazana na sliki 134. Vsako drugo vodoravno vrženo telo bo imelo podobno tirnico gibanja. Slika 135 prikazuje takšno trajektorijo. Imenuje se tudi parabola, čeprav je le del parabole.
Vodoravno vrženo telo se giblje po veji parabole. Izračunajmo domet letenja za to gibanje telesa.
Če telo vržemo z višine, dobimo iz formule čas, v katerem bo padalo
Ves čas, ko telo pospešeno pada navzdol, se navpična os (slika 133) premika v vodoravni smeri s hitrostjo.
Zato se bo med padcem premaknil na daljavo
torej
Ta formula vam omogoča, da določite obseg letenja telesa, vrženega na višino vodoravno z začetno hitrostjo
Ogledali smo si več primerov gibanja teles pod vplivom gravitacije. Iz njih je razvidno, da se telo v vseh primerih giblje s pospeškom, ki mu ga daje gravitacijska sila. Ta pospešek je popolnoma neodvisen od tega, ali se telo še giblje v vodoravni smeri ali ne. Lahko celo rečemo, da je v vseh teh primerih telo v prostem padu.
Zato bo na primer krogla, ki jo strelec izstreli iz orožja v vodoravni smeri, padla na tla hkrati s kroglo, ki jo je strelec slučajno spustil v trenutku strela. Toda izpuščena krogla bo padla strelcu pred noge, tista, ki bo priletela iz pištolske cevi, pa bo padla nekaj sto metrov stran od njega.
Barvni vložek prikazuje stroboskopsko fotografijo dveh kroglic, od katerih ena pada navpično, druga pa hkrati z začetkom padanja prve dobi hitrost v vodoravni smeri. Na fotografiji je razvidno, da sta v istih časovnih trenutkih (trenutki svetlobnih utrinkov) obe krogli na isti višini in seveda istočasno dosežeta tla.
Pot gibanja teles, vrženih vodoravno ali pod kotom na obzorje, je mogoče jasno videti v preprostem poskusu. Steklenico, napolnjeno z vodo, postavimo na določeno višino nad mizo in jo z gumijasto cevjo povežemo s konico, opremljeno s pipo (slika 136). Izpuščeni curki neposredno prikazujejo trajektorije vodnih delcev. S spreminjanjem kota, pod katerim je curek izpuščen, lahko zagotovite, da je največji doseg dosežen pri kotu 45°.
Pri obravnavanju gibanja telesa, vrženega vodoravno ali pod kotom na obzorje, smo predpostavili, da je le pod vplivom gravitacije. V resnici temu ni tako. Poleg sile težnosti na telo vedno deluje tudi sila upora (trenja) iz zraka. In vodi do zmanjšanja hitrosti.
Zato je obseg letenja telesa, vrženega vodoravno ali pod kotom na obzorje, vedno manjši od tistega, kar izhaja iz formul,
ki smo jih prejeli v tem odstavku in § 55; višina dviga telesa, vrženega navpično, je vedno manjša od tiste, izračunane po formuli iz § 21 itd.
Delovanje sile upora vodi tudi do dejstva, da se pot telesa, vrženega vodoravno ali pod kotom na obzorje, ne izkaže za parabolo, temveč za bolj zapleteno krivuljo.
vaja 33
Pri odgovarjanju na vprašanja v tej vaji ne upoštevajte trenja.
1. Kaj je skupno pri gibanju teles, vrženih navpično, vodoravno in pod kotom na obzorje?
3. Ali je pospešek vodoravno vrženega telesa na vseh točkah njegove poti enak?
4. Ali je telo med gibanjem vodoravno vrženo v breztežnostnem stanju? Kaj pa telo, vrženo pod kotom na vodoravno ravnino?
5. Telo vržemo vodoravno z višine 2 m nad tlemi s hitrostjo 11 m/s. Koliko časa bo trajalo, da bo padel? Koliko bo telo potovalo v vodoravni smeri?
6. Telo vržemo z začetno hitrostjo 20 m/s v vodoravni smeri na višino 20 m nad zemeljsko površino. Na kakšni razdalji od točke metanja bo udaril ob tla? S katere višine ga je treba vreči z enako hitrostjo, da se njegov doseg leta podvoji?
7. Letalo leti v vodoravni smeri na višini 10 km s hitrostjo 720 km/h. Na kateri razdalji od tarče (vodoravno) mora pilot odvreči bombo, da zadene tarčo?
Teorija
Če telo vržemo pod kotom na obzorje, potem med letom nanj delujeta sila težnosti in sila zračnega upora. Če zanemarimo silo upora, je edina preostala sila gravitacija. Zato se zaradi 2. Newtonovega zakona telo giblje s pospeškom, ki je enak težnemu pospešku; projekcije pospeška na koordinatne osi enake a x = 0, in y= -g.
Vsako kompleksno gibanje materialne točke je mogoče predstaviti kot superpozicijo neodvisnih gibanj vzdolž koordinatnih osi, v smeri različnih osi pa se lahko vrsta gibanja razlikuje. V našem primeru lahko gibanje letečega telesa predstavimo kot superpozicijo dveh neodvisnih gibanj: enakomernega gibanja vzdolž vodoravne osi (os X) in enakomerno pospešenega gibanja vzdolž navpične osi (os Y) (slika 1). .
Projekcije hitrosti telesa se torej spreminjajo s časom na naslednji način:
,
kjer je začetna hitrost, α je vrzni kot.
Telesne koordinate se torej spreminjajo takole:
Z našo izbiro izhodišča koordinat, začetnih koordinat (slika 1) Potem
Druga časovna vrednost, pri kateri je višina enaka nič, je nič, kar ustreza trenutku metanja, tj. ta vrednost ima tudi fizični pomen.
Domet letenja dobimo iz prve formule (1). Domet letenja je koordinatna vrednost X na koncu leta, tj. v času, ki je enak t 0. Če nadomestimo vrednost (2) v prvo formulo (1), dobimo:
| . | (3) |
Iz te formule je razvidno, da je največji doseg letenja dosežen pri vržnem kotu 45 stopinj.
Največjo višino dviga vrženega telesa lahko dobimo iz druge formule (1). Če želite to narediti, morate v to formulo nadomestiti časovno vrednost, ki je enaka polovici časa letenja (2), ker Največja višina leta je na sredini poti. Izvajanje izračunov, dobimo
Oglejmo si gibanje vodoravno vrženega telesa, ki se giblje zgolj pod vplivom gravitacije (zračni upor zanemarimo). Na primer, predstavljajte si, da žogico, ki leži na mizi, potisnemo, se odkotali do roba mize in začne prosto padati z začetno hitrostjo, usmerjeno vodoravno (slika 174).
Projicirajmo gibanje žogice na navpično os in na vodoravno os. Gibanje projekcije žogice na os je gibanje brez pospeška s hitrostjo ; gibanje projekcije žogice na os je prosti pad s pospeškom večjim od začetne hitrosti pod vplivom gravitacije. Poznamo zakonitosti obeh gibanj. Komponenta hitrosti ostane konstantna in enaka . Komponenta raste sorazmerno s časom: . Nastalo hitrost je mogoče enostavno najti s pravilom paralelograma, kot je prikazano na sl. 175. Nagnjen bo navzdol in njegov naklon se bo sčasoma povečal.
riž. 174. Gibanje žoge, ki se kotali z mize
riž. 175. Žoga, vržena vodoravno s hitrostjo, ima trenutno hitrost
Poiščimo tirnico vodoravno vrženega telesa. Koordinate telesa v trenutku imajo pomen
Da bi našli enačbo trajektorije, izrazimo čas iz (112.1) skozi in ta izraz nadomestimo v (112.2). Kot rezultat dobimo
Graf te funkcije je prikazan na sl. 176. Izkaže se, da so ordinate točk trajektorije sorazmerne s kvadratoma abscise. Vemo, da takšne krivulje imenujemo parabole. Graf poti enakomerno pospešenega gibanja smo upodobili kot parabolo (§ 22). Tako se prosto padajoče telo, katerega začetna hitrost je vodoravna, giblje po paraboli.
Prevožena pot v navpični smeri ni odvisna od začetne hitrosti. Toda prevožena pot v vodoravni smeri je sorazmerna z začetno hitrostjo. Zato je pri veliki vodoravni začetni hitrosti parabola, po kateri pada telo, bolj raztegnjena v vodoravni smeri. Če tok vode spustimo iz vodoravne cevi (slika 177), se bodo posamezni delci vode, tako kot krogla, gibali po paraboli. Bolj kot je odprta pipa, skozi katero pride voda v cev, večja je začetna hitrost vode in dlje od pipe tok doseže dno kivete. Če za curek postavite zaslon z vnaprej narisanimi paraboli, se lahko prepričate, da ima vodni curek res obliko parabole.
riž. 176. Trajektorija telesa, vrženega vodoravno
Oglejmo si gibanje vodoravno vrženega telesa, ki se giblje zgolj pod vplivom gravitacije (zračni upor zanemarimo). Na primer, predstavljajte si, da žogico, ki leži na mizi, potisnemo, se zakotali do roba mize in začne prosto padati z začetno hitrostjo, usmerjeno vodoravno (slika 174).
Projicirajmo gibanje žogice na navpično os in na vodoravno os. Gibanje projekcije žogice na os je gibanje brez pospeška s hitrostjo ; gibanje projekcije žogice na os je prosti pad s pospeškom večjim od začetne hitrosti pod vplivom gravitacije. Poznamo zakonitosti obeh gibanj. Komponenta hitrosti ostane konstantna in enaka . Komponenta raste sorazmerno s časom: . Nastalo hitrost je mogoče enostavno najti s pravilom paralelograma, kot je prikazano na sl. 175. Nagnjen bo navzdol in njegov naklon se bo sčasoma povečal.
riž. 174. Gibanje žoge, ki se kotali z mize
riž. 175. Žoga, vržena vodoravno s hitrostjo, ima trenutno hitrost
Poiščimo tirnico vodoravno vrženega telesa. Koordinate telesa v trenutku imajo pomen
Da bi našli enačbo trajektorije, izrazimo čas iz (112.1) skozi in ta izraz nadomestimo v (112.2). Kot rezultat dobimo
Graf te funkcije je prikazan na sl. 176. Izkaže se, da so ordinate točk trajektorije sorazmerne s kvadratoma abscise. Vemo, da takšne krivulje imenujemo parabole. Graf poti enakomerno pospešenega gibanja smo upodobili kot parabolo (§ 22). Tako se prosto padajoče telo, katerega začetna hitrost je vodoravna, giblje po paraboli.
Prevožena pot v navpični smeri ni odvisna od začetne hitrosti. Toda prevožena pot v vodoravni smeri je sorazmerna z začetno hitrostjo. Zato je pri veliki vodoravni začetni hitrosti parabola, po kateri pada telo, bolj raztegnjena v vodoravni smeri. Če tok vode spustimo iz vodoravne cevi (slika 177), se bodo posamezni delci vode, tako kot krogla, gibali po paraboli. Bolj kot je odprta pipa, skozi katero pride voda v cev, večja je začetna hitrost vode in dlje od pipe tok doseže dno kivete. Če za curek postavite zaslon z vnaprej narisanimi paraboli, se lahko prepričate, da ima vodni curek res obliko parabole.
112.1. Kolikšna bo po 2 sekundah leta hitrost telesa, vrženega vodoravno s hitrostjo 15 m/s? V katerem trenutku bo hitrost usmerjena pod kotom 45° na vodoravno ravnino? Zračni upor zanemarite.
112.2. Žoga se je odkotalila z mize, visoke 1 m, in padla 2 m od roba mize. Kakšna je bila vodoravna hitrost žogice? Zračni upor zanemarite.
