Stranici pravokotnega trikotnika, ki tvorita pravi kot, se imenujeta kraka. Nasproti pravi kot Najdaljša stranica trikotnika se imenuje hipotenuza. Če želite zaznati hipotenuzo, morate poznati dolžino nog.
Navodila
1. Dolžine katet in hipotenuze so povezane z razmerjem, ki ga opisuje Pitagorov izrek. Algebraična formulacija: »In pravokotni trikotnik kvadrat dolžine hipotenuze enaka vsoti kvadrati dolžin katet.« Pitagorova formula je videti takole: c2 = a2 + b2, kjer je c dolžina hipotenuze, a in b pa dolžini katet.
2. Če poznamo dolžine nog, je po Pitagorejskem izreku mogoče najti hipotenuzo pravokotnega trikotnika: c = ?(a2 + b2).
3. Primer. Dolžina enega od krakov je 3 cm, dolžina drugega pa 4 cm. Vsota njunih kvadratov je 25 cm?: 9 cm? + 16 cm? = 25 cm?.Dolžina hipotenuze je v našem primeru enaka kvadratnemu korenu iz 25 cm? – 5 cm. Zato je dolžina hipotenuze 5 cm.
Hipotenuza je stranica v pravokotnem trikotniku, ki je nasproti kota 90 stopinj. Za izračun njegove dolžine je dovolj, da poznate dolžino ene od nog in velikost enega od akutnih kotov trikotnika.
Navodila
1. S slavno nogo in ostrim kotom pravokotnega trikotnika je lahko velikost hipotenuze enako razmerju krak na kosinus/sinus tega kota, če podani kot je nasproti/sosednji: h = C1 (ali C2)/sin?. Primer: Naj bo pravokotnik trikotnik ABC s hipotenuzo AB in pravim kotom C. Naj bo kot B 30 stopinj, dolžina BC pa mora biti dolžina hipotenuze AB. Če želite to narediti, lahko uporabite katero koli od zgoraj predlaganih metod: AB = BC/cos60 = 8 cm AB = BC/sin30 = 8 cm.
Hipotenuza je najdaljša stranica pravokotnika trikotnik. Nahaja se nasproti pravega kota. Metoda za iskanje hipotenuze pravokotnika trikotnik odvisno kakšne začetne podatke imaš.
Navodila
1. Če imamo pravokotne noge trikotnik, potem dolžina hipotenuze pravokotnika trikotnik ugotovimo s pomočjo Pitagorovega izreka - kvadrat dolžine hipotenuze je enak vsoti kvadratov dolžin katet: c2 = a2 + b2, kjer sta a in b dolžini katet pravokotnega trikotnik .
2. Če narišemo eno od nog in oster kot, bo formula za iskanje hipotenuze odvisna od tega, kateri kot glede na gnano nogo - sosednji (ki se nahaja blizu noge) ali nasprotni (ki se nahaja nasproti nje. V primeru sosednji kot, hipotenuza je enaka razmerju kraka s kosinusom tega kota: c = a/cos?; E je nasprotni kot, hipotenuza je enaka razmerju kraka in sinusa kota: c = a/greh?.
Video na temo
Hipotenuza je stranica pravokotnega trikotnika, ki leži nasproti pravega kota. Ona je največja stran pravokotni trikotnik. Lahko se izračuna s pomočjo Pitagorovega izreka ali s pomočjo formul trigonometričnih funkcij.
Navodila
1. Stranice pravokotnega trikotnika, ki mejijo na pravi kot, se imenujejo kraki. Na sliki sta kraka označena z AB in BC. Naj sta podani dolžini obeh krakov. Označimo jih z |AB| in |BC|. Da bi našli dolžino hipotenuze |AC|, uporabimo Pitagorov izrek. Po tem izreku je vsota kvadratov katet enaka kvadratu hipotenuze, tj. v zapisu naše slike |AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2. Iz formule ugotovimo, da je dolžina hipotenuze AC določena kot |AC| = ?(|AB|^2 + |BC|^2) .
2. Poglejmo si primer. Podane naj bodo dolžine krakov |AB|. = 13, |BC| = 21. Po Pitagorovem izreku ugotovimo, da je |AC|^2 = 13^2 + 21^2 = 169 + 441 = 610. Da bi dobili dolžino hipotenuze, moramo izluščiti kvadratni koren iz vsote kvadratov nog, tj. iz številke 610: |AC| =?610. S pomočjo tabele kvadratov celih števil ugotovimo, da število 610 ni popoln kvadrat nobenega celega števila. Da bi dobili končno vrednost dolžine hipotenuze, bomo poskusili prenesti popoln kvadrat izpod korenskega znaka. Če želite to narediti, faktorizirajmo število 610. 610 = 2 * 5 * 61. Če pogledamo tabelo primitivnih števil, vidimo, da je 61 primitivno število. Posledično je kasnejše zmanjšanje števila?610 nerealno. Dobimo končni rezultat |AC| = ?610. Če je bil kvadrat hipotenuze enak na primer 675, potem je ?675 = ?(3 * 25 * 9) = 5 * 3 * ?3 = 15 * ?3. Če je podobna zasedba dovoljena, naredite obratno preverjanje– kvadrirajte vsoto in primerjajte z začetno vrednostjo.
3. Spoznajmo enega od krakov in nanj priležni kot. Če smo natančni, naj bo to stranica |AB| in kot?. Nato lahko uporabimo formulo za kosinus trigonometrične funkcije - kosinus kota je enak razmerju med sosednjim krakom in hipotenuzo. Tisti. v našem zapisu cos ? = |AB| / |AC|. Od tam dobimo dolžino hipotenuze |AC| = |AB| / cos ?.Če poznamo stranico |BC| in kot?, potem bomo uporabili formulo za izračun sinusa kota - sinus kota je enak razmerju nasprotna stran na hipotenuzo: sin ? = |BC| / |AC|. Ugotovimo, da je dolžina hipotenuze |AC| = |BC| /cos?.
4. Za jasnost si poglejmo primer. Naj bo podana dolžina kraka |AB|. = 15. In kot? = 60°. Dobimo |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0,5 = 30. Poglejmo, kako lahko preverite svoj rezultat z uporabo Pitagorovega izreka. Za to moramo izračunati dolžino drugega kraka |BC|. Uporaba formule za tangens kota tg? = |BC| / |AC|, dobimo |BC| = |AB| *tg? = 15 * tan 60° = 15 * ?3. Nato uporabimo Pitagorov izrek in dobimo 15^2 + (15 * ?3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. Preverjanje je zaključeno.
Koristen nasvet
Po izračunu hipotenuze preverite, ali dobljena vrednost ustreza Pitagorovemu izreku.
Prevedeno iz grški jezik, hipotenuza pomeni "tesen". Za pravilno razumevanje predstavljajte si tetivo loka, ki povezuje oba konca gibljive palice. Prav tako je v pravokotnem trikotniku najdaljša stranica hipotenuza, ki leži nasproti pravega kota. Deluje kot priključek na drugi dve strani, imenovani nogi. Če želite izvedeti, kako dolga je ta "vrvica", morate imeti dolžine krakov ali velikost dveh ostrih kotov. Če združite te podatke, lahko izračunate želeno vrednost s pomočjo formul.
Kako najti hipotenuzo po nogah
Najlažje izračunaš, če poznaš velikost dveh nog (eno označimo z A, drugo z B). Pitagora sam priskoči na pomoč in njegov svet slavni izrek. Pove nam, da če kvadriramo dolžino katet in seštejemo izračunane vrednosti, potem bomo kot rezultat izvedeli kvadratno vrednost dolžine hipotenuze. Iz zgoraj navedenega sklepamo: da bi našli vrednost hipotenuze, je treba izvleči kvadratni koren skupne vsote kvadratov nog C = √ (A² + B²). Primer: stranica A=20 cm je enaka 22,36 cm.
Kako najti hipotenuzo skozi kot
Nekoliko težje je izračunati dolžino hipotenuze določen kot. Če poznate velikost enega od dveh krakov (označenega z A) in velikost kota (označenega z α), ki leži nasproti njega, potem velikost hipotenuze najdete s pomočjo trigonometrije in natančneje sinusa. Vse kar morate storiti je, da vrednost znanega kraka delite s sinusom kota. C=A/sin(α). Primer: dolžina kraka A = 30 cm, nasprotni kot je 45°, hipotenuza bo 42,25 cm. Izračun je naslednji: 30/sin(45°) = 30/0,71 = 42,25.
Drug način je iskanje velikosti hipotenuze s pomočjo kosinusa. Uporablja se, če poznate velikost noge (označeno z B) in oster kot(označeno z α), ki je poleg njega. Vse kar morate storiti je, da vrednost noge delite s sinusom kota. С=В/ cos(α). Primer: dolžina kraka B = 30 cm, nasprotni kot je 45°, hipotenuza bo 42,25 cm. Izračun je naslednji: 30/cos(45°) = 30/0,71 = 42,25.
Kako najti hipotenuzo enakokrakega pravokotnega trikotnika
Vsak šolar, ki se spoštuje, ve, da je trikotnik enakokrak, če sta dve od treh strani med seboj enaki. Te stranice se imenujejo stranske, tista, ki ostane, pa se imenuje osnova. Če je eden od kotov 90°, potem imate enakokraki pravokotni trikotnik.
Iskanje hipotenuze v takem trikotniku je preprosto, saj ima več lastnosti, ki vam bodo pomagale. Premog, ki meji na podlago, je enake vrednosti, skupni znesek vrednosti kota so 180°. To pomeni, da pravi kot leži nasproti osnove, kar pomeni, da je osnova hipotenuza, stranice pa noge.
Po študiju teme o pravokotnih trikotnikih učenci pogosto pozabijo vse informacije o njih. Vključno s tem, kako najti hipotenuzo, da ne omenjam, kaj je.
In zaman. Ker se bo v prihodnosti diagonala pravokotnika izkazala za prav to hipotenuzo in jo je treba najti. Ali pa premer kroga sovpada z največjo stranico trikotnika, katerega eden od kotov je pravi. In brez tega znanja je nemogoče najti.
Obstaja več možnosti za iskanje hipotenuze trikotnika. Izbira metode je odvisna od začetnega niza podatkov v problemu količin.
Metoda številka 1: podani sta obe strani
Ta metoda je najbolj nepozabna, saj uporablja Pitagorov izrek. Samo včasih učenci pozabijo, da se ta formula uporablja za iskanje kvadrata hipotenuze. To pomeni, da boste morali za iskanje strani vzeti kvadratni koren. Zato bo formula za hipotenuzo, ki je običajno označena s črko "c", videti tako:
c = √ (a 2 + b 2), kjer črki “a” in “b” predstavljata oba kraka pravokotnega trikotnika.
Metoda številka 2: noga in kot ob njej sta znana
Če želite izvedeti, kako najti hipotenuzo, se morate spomniti trigonometrične funkcije. Kosinus namreč. Za udobje bomo predpostavili, da sta podana krak "a" in kot α, ki meji nanj.
Zdaj se moramo spomniti, da je kosinus kota pravokotnega trikotnika enak razmerju obeh stranic. Števec bo vseboval vrednost noge, imenovalec pa hipotenuzo. Iz tega sledi, da je slednje mogoče izračunati po formuli:
c = a / cos α.
Metoda številka 3: glede na nogo in kot, ki leži nasproti nje
Da se ne bi zmedli v formulah, uvedemo oznako za ta kot - β in pustimo stran enako "a". V tem primeru boste potrebovali še eno trigonometrično funkcijo - sinus.
Kot v prejšnjem primeru je sinus enak razmerju med nogo in hipotenuzo. Formula za to metodo izgleda takole:
c = a / sin β.
Da se ne boste zamenjali s trigonometričnimi funkcijami, se lahko spomnite preprostega mnemonika: če imate problem govorimo o o pr O nasprotnega kota, potem ga morate uporabiti z in no, če - oh pr in leže, nato do O sinusov. Bodite pozorni na prve samoglasnike v ključne besede. Tvorijo pare o-i oz in-o.
Metoda številka 4: vzdolž polmera opisanega kroga
Zdaj, da bi izvedeli, kako najti hipotenuzo, se boste morali spomniti lastnosti kroga, ki je obkrožen okoli pravokotnega trikotnika. Glasi se takole. Središče kroga sovpada s sredino hipotenuze. Povedano drugače, najdaljša stranica pravokotnega trikotnika je enaka diagonali kroga. Se pravi dvojni polmer. Formula za to težavo bo videti takole:
c = 2 * r, kjer črka r označuje znani polmer.
To je vse možne načine kako najti hipotenuzo pravokotnega trikotnika. Uporabite v vsakem določeno nalogo potrebujete metodo, ki je najprimernejša za nabor podatkov.
Primer naloge št. 1
Pogoj: v pravokotnem trikotniku so mediane narisane na obe strani. Dolžina tistega, ki je narisan večja stran, je enako √52. Druga mediana ima dolžino √73. Izračunati morate hipotenuzo.
Ker so mediane narisane v trikotniku, delijo krake na dvoje enako segmentu. Za udobje razmišljanja in iskanja, kako najti hipotenuzo, morate uvesti več zapisov. Naj bosta obe polovici večje noge označeni s črko "x", druga pa z "y".
Zdaj moramo razmisliti o dveh pravokotnih trikotnikih, katerih hipotenuzi sta znani mediani. Za njih morate dvakrat napisati formulo Pitagorovega izreka:
(2y) 2 + x 2 = (√52) 2
(y) 2 + (2x) 2 = (√73) 2.
Ti dve enačbi tvorita sistem z dvema neznankama. Ko jih rešite, bo enostavno najti noge prvotnega trikotnika in iz njih njegovo hipotenuzo.
Najprej morate vse dvigniti na drugo potenco. Izkazalo se je:
4y 2 + x 2 = 52
y 2 + 4x 2 = 73.
Iz druge enačbe je razvidno, da je y 2 = 73 - 4x 2. Ta izraz je treba nadomestiti s prvim in izračunati "x":
4(73 - 4x 2) + x 2 = 52.
Po pretvorbi:
292 - 16 x 2 + x 2 = 52 ali 15 x 2 = 240.
Iz zadnjega izraza x = √16 = 4.
Zdaj lahko izračunate "y":
y 2 = 73 - 4(4) 2 = 73 - 64 = 9.
Glede na pogoje se izkaže, da so noge prvotnega trikotnika enake 6 in 8. To pomeni, da lahko uporabite formulo iz prve metode in najdete hipotenuzo:
√(6 2 + 8 2) = √(36 + 64) = √100 = 10.
Odgovori: hipotenuza je enaka 10.
Primer naloge št. 2
Pogoj: izračunaj diagonalo, narisano v pravokotniku s krajšo stranico, ki je enaka 41. Če je znano, da deli kot na tiste, ki so v razmerju 2 proti 1.
V tej nalogi je diagonala pravokotnika najdaljša stranica v 90º trikotniku. Torej je vse odvisno od tega, kako najti hipotenuzo.
Težava je v kotih. To pomeni, da boste morali uporabiti eno od formul, ki vsebuje trigonometrične funkcije. Najprej morate določiti velikost enega od ostrih kotov.
Naj bo manjši od obravnavanih kotov v pogoju označen z α. Potem bo pravi kot, deljen z diagonalo, enak 3α. Matematični zapis izgleda takole:
Iz te enačbe je enostavno določiti α. To bo enako 30º. Poleg tega bo ležal nasproti manjši stranici pravokotnika. Zato boste potrebovali formulo, opisano v metodi št. 3.
Hipotenuza je enaka razmerju med nogo in sinusom nasprotnega kota, to je:
41 / sin 30º = 41 / (0,5) = 82.
Odgovor: hipotenuza je 82.
"In pravijo nam, da je noga krajša od hipotenuze ..." Te vrstice so iz znane pesmi, ki je zvenela v igrani film Pustolovščine elektronike so resnično zveste Evklidovi geometriji. Navsezadnje sta nogi dve strani, ki tvorita kot, stopenjska mera kar je enako 90 stopinjam. In hipotenuza je najdaljša "raztegnjena" stranica, ki povezuje dva kraka pravokotno drug na drugega in leži nasproti pravega kota. Zato je mogoče najti hipotenuzo po katetah samo v pravokotnem trikotniku in če bi bila noga daljša od hipotenuze, potem takega trikotnika ne bi bilo.
Kako najti hipotenuzo s pomočjo Pitagorovega izreka, če sta znani obe strani
Izrek pravi, da kvadrat hipotenuze ni nič drugega kot vsota kvadratov katet: x^2+y^2=z^2, kjer:
- x – prva noga;
- y – druga noga;
- z – hipotenuza.
Toda najti morate le hipotenuzo in ne njenega kvadrata. Če želite to narediti, izvlecite korenino.
Algoritem za iskanje hipotenuze z dvema znane strani:
- Sami označite, kje so noge in kje hipotenuza.
- Kvadratirajte prvo nogo.
- Kvadratirajte drugo nogo.
- Seštejte dobljene vrednosti.
- Izvlecite koren števila, pridobljenega v 4. koraku.
Kako najti hipotenuzo skozi sinus, če sta znana noga in ostri kot nasproti nje
Razmerje med znano nogo in ostrim kotom, ki leži nasproti nje, je enako vrednosti hipotenuze: a/sin A = c. To je posledica definicije sinusa:
Razmerje med nasprotno stranjo in hipotenuzo: sin A = a/c, kjer je:
- a – prva noga;
- A – ostri kot nasproti noge;
- c- hipotenuza.
Algoritem za iskanje hipotenuze z uporabo sinusnega izreka:
- Označite sami poznan krak in kot, ki je nasproti njega.
- Nogo razdelite v nasprotni kot.
- Dobi hipotenuzo.
Kako najti hipotenuzo skozi kosinus, če sta znana noga in ostri kot, ki meji nanjo
Razmerje med znano stranjo in akutnim sosednji vogal enaka vrednosti hipotenuze a/cos B = c. To je posledica definicije kosinusa: razmerje med sosednjim krakom in hipotenuzo: cos B= a/c, kjer je:
- a – druga noga;
- B – ostri kot ob drugem kraku;
- c- hipotenuza.
Algoritem za iskanje hipotenuze z uporabo kosinusnega izreka:
- Sami označite znani krak in priležni kot.
- Razdeli krak s sosednjim kotom.
- Dobi hipotenuzo.
Kako najti hipotenuzo z uporabo egipčanskega trikotnika
"Egiptovski trikotnik" je trio števil, če veste, da lahko prihranite čas pri iskanju hipotenuze ali celo druge neznane noge. Trikotnik ima to ime, ker so v Egiptu nekatere številke simbolizirale bogove in so bile osnova za gradnjo piramid in drugih različnih struktur.
- Prve tri številke: 3-4-5. Kateta sta tukaj enaka 3 in 4. Potem bo hipotenuza zagotovo enaka 5. Preverite: (9+16=25).
- Druga trojka števil: 5-12-13. Tudi tukaj sta kateta enaka 5 in 12. Zato bo hipotenuza enaka 13. Preverite: (25+144=169).
Takšna števila pomagajo tudi, če so deljena ali pomnožena s poljubnim številom. Če sta nogi 3 in 4, bo hipotenuza enaka 5. Če te številke pomnožite z 2, bo tudi hipotenuza pomnožena z 2. Primerna bo tudi trojka števil 6-8-10 Pitagorov izrek in ni ti treba računati hipotenuze, če si zapomniš te trojčke števil. 
Tako obstajajo 4 načini za iskanje hipotenuze z uporabo znanih nog. Najboljša možnost je Pitagorov izrek, vendar tudi ne bi škodilo, če bi se spomnili trojčkov števil, ki sestavljajo " Egiptovski trikotnik«, ker lahko prihranite veliko časa, če naletite na takšne vrednosti.
Geometrija - št preprosta znanost. Zahteva do sebe posebna pozornost in poznavanje natančnih formul. Ta vrsta matematike je prišla k nam iz Stara Grčija in tudi po več tisoč letih ne izgubi svoje pomembnosti. Ne mislite zaman, da je to neuporaben predmet, ki polni glave dijakom in dijakom. Pravzaprav je geometrija uporabna na številnih področjih življenja. Brez tega znanja o geometriji ni mogoče zgraditi arhitekturna struktura, avtomobili niso ustvarjeni, vesoljske ladje in letala. Zapletena in manj zapletena cestna križišča in kolesnice - vse to zahteva geometrijske izračune. Da, celo včasih ne morete popraviti v svoji sobi brez znanja elementarne formule. Zato ne podcenjujte pomena te teme. Preučujemo najpogostejše formule, ki jih moramo uporabiti v številnih rešitvah v šoli. Eden od njih je iskanje hipotenuze v pravokotnem trikotniku. Če želite to razumeti, preberite spodaj.
Preden začnemo vaditi, začnimo z osnovami in določimo, kaj je hipotenuza v pravokotnem trikotniku.
Hipotenuza je ena od stranic v pravokotnem trikotniku, ki je nasproti kota 90 stopinj (pravi kot) in je vedno najdaljša.
Obstaja več načinov za iskanje dolžine želene hipotenuze v danem pravokotnem trikotniku.
V primeru, ko so nam katete že znane, uporabimo Pitagorov izrek, kjer seštejemo vsoto kvadratov dveh katet, ki bo enaka kvadratu hipotenuze.
a in b sta kateta, c je hipotenuza.
V našem primeru bo za pravokotni trikotnik formula naslednja:
Če zamenjamo znane številke kraka a in b, naj bo a=3 in b=4, potem c=√32+42, potem dobimo c=√25, c=5
Ko poznamo dolžino samo enega kraka, lahko formulo preoblikujemo, da dobimo dolžino drugega. Videti je takole:
V primeru, ko glede na pogoje naloge poznamo krak A in hipotenuzo C, potem lahko izračunamo pravi kot trikotnika, imenujemo ga α.
Za to uporabimo formulo:
Naj bo drugi kot, ki ga moramo izračunati, β. Če poznamo vsoto kotov trikotnika, ki je 180°, potem je: β= 180°-90°-α
V primeru, da poznamo vrednosti krakov, lahko uporabimo formulo za iskanje vrednosti ostrega kota trikotnika:
Glede na znane splošno sprejete vrednosti lahko stranice pravokotnika najdemo iz različnih različne formule. Tukaj je nekaj izmed njih:
Pri reševanju problemov z iskanjem neznank v pravokotnem trikotniku je zelo pomembno, da se osredotočite na vrednosti, ki jih že poznate, in jih na podlagi tega nadomestite v zahtevano formulo. Težko si jih boste zapomnili takoj, zato vam svetujemo, da naredite majhen ročno napisan namig in ga prilepite v svoj zvezek.
Kot lahko vidite, če se poglobite v vse zapletenosti te formule, jo zlahka ugotovite. Priporočamo, da poskusite rešiti več problemov na podlagi te formule. Ko boste videli svoj rezultat, vam bo postalo jasno, ali ste to temo razumeli ali ne. Poskusite se ne učiti na pamet, ampak se poglobiti v gradivo, bo veliko bolj uporabno. Naučeno gradivo se po prvem preizkusu pozabi, s to formulo pa se boste srečali precej pogosto, zato jo najprej razumejte in si jo nato zapomnite. Če ta priporočila niso dana pozitiven učinek, torej pomen v dodatnega pouka ta tema. In ne pozabite: poučevanje je svetloba, ne poučevanje je tema!
