Izračunajte sinus kota med premico in ravnino. Kot med ravno črto in ravnino: definicija, primeri iskanja

To pomeni najti kot med to premico in njeno projekcijo na dano ravnino.

Na sliki je prikazan prostorski model, ki ponazarja nalogo.

Načrt rešitve problema:
1. Iz poljubne točke A∈a spustite navpičnico na ravnino α ;
2. Določite stičišče te navpičnice z ravnino α . Pika A α - ortografska projekcija A do letala α ;
3. Poiščite presečišče črte a z letalom α . Pika a α- ravna pot a na površini α ;
4. Izvajamo ( A α a α) - projekcija ravne črte a do letala α ;
5. Določite dejanska vrednost ∠Aa α A α, tj. ∠ φ .

Rešitev problema poiščite kot med premico in ravnino lahko močno poenostavimo, če ne definiramo ∠ φ med premico in ravnino ter komplementarna 90° ∠ γ . V tem primeru ni treba določiti projekcije točke A in ravne projekcije a do letala α . Poznavanje velikosti γ , izračunano po formuli:

$ φ = 90° - γ $

a in letalo α , določen z vzporednimi črtami m in n.

a α
Vrtenje okoli vodoravnice podan s točkami 5 in 6 določimo dejansko velikost ∠ γ . Poznavanje velikosti γ , izračunano po formuli:

$ φ = 90° - γ $

Določanje kota med premico a in letalo α , ki ga določa trikotnik BCD.

Iz poljubne točke na premici a spustite navpičnico na ravnino α
Z rotacijo okoli vodoravnice, ki jo določata točki 3 in 4, določimo naravno velikost ∠ γ . Poznavanje velikosti γ , izračunamo po formuli.

Koncept kota med ravno črto in ravnino lahko uvedemo za katero koli relativni položaj ravna in ravna.

Če je premica l pravokotna na ravnino, se šteje, da je kot med l in enak 90.

Če je ravna črta l vzporedna z ravnino ali leži v tej ravnini, potem velja, da je kot med l in enak nič.

Če je premica l nagnjena na ravnino, potem je kot med l in to kot "med premico l in njeno projekcijo p na ravnino (slika 39).

riž. 39. Kot med premico in ravnino

Torej, spomnimo se definicije za ta netrivialni primer: če je ravna črta nagnjena, potem je kot med ravno črto in ravnino kot med to ravno črto

in njegovo projekcijo na določeno ravnino.

7.1 Primeri reševanja problemov

Oglejmo si tri naloge, razvrščene po težavnosti. Tretja naloga stopnje C2 na enotnem državnem izpitu iz matematike.

Naloga 1. V pravilnem tetraedru poiščite kot med stranskim robom in ravnino osnove.

Naloga 2. V pravilnem trikotna prizma ABCA1 B1 C1 stranski rob je enak stranici podnožja. Poiščite kot med premico AA1 in ravnino ABC1.

rešitev. Kot med premico in ravnino se ne spremeni, če premico premaknemo vzporedno druga z drugo. Ker je CC1 vzporedna z AA1, je zahtevani kot kot med premico CC1 in ravnino ABC1 (slika 41).

B 1"

riž. 41. K nalogi 2

Naj bo M razpolovišče AB. V trikotnik CC1 M narišimo višino CH. Pokažimo, da je CH pravokotna na ravnino ABC1. Če želite to narediti, morate predstaviti dve sekajoči se črti te ravnine, pravokotni na CH.

Prva ravna črta je očitna: C1 M. Res, CH? C1 M po konstrukciji.

Druga vrstica je AB. Dejansko je projekcija nagnjene CH na ravnino ABC premica CM; medtem ko AB? CM. Iz izreka o treh navpičnicah potem sledi AB ? CH.

Torej CH? ABC1. Zato je kot med CC1 in ABC1 " = \CC1 H. Vrednost CH najdemo iz relacije

C1 M CH = CC1 CM

(obe strani tega razmerja sta enaki dvakratni površini trikotnika CC1 M). Imamo:

CM = a 2 3 ;

Še vedno je treba najti kot ":

Odgovor: arcsin 3 7 .

sin " = CH =3 : CC1 7

Naloga 3. Točka K je vzeta na robu A1 B1 kocke ABCDA1 B1 C1 D1 tako, da je A1 K: KB1 = 3: 1. Poiščite kot med premico AK in ravnino BC1 D1.

rešitev. Po izdelavi risbe (slika 42, levo) razumemo, da so potrebne dodatne konstrukcije.

Najprej opazimo, da premica AB leži v ravnini BC1 D1 (ker AB k C1 D1 ). Drugič, narišimo B1 M vzporedno z AK (slika 42, desno). Narišimo tudi B1 C in naj bo N presečišče B1 C in BC1.

Pokažimo, da je premica B1 C pravokotna na ravnino BC1 D1. Prav zares:

1) B 1 C ? BC1 (kot diagonale kvadrata);

2) B 1 C ? AB po izreku treh navpičnic (navsezadnje je AB pravokotna na premico BC projekcije nagnjene B1 C na ravnino ABC).

Tako je B1 C pravokotna na dve sekajoči se premici ravnine BC1 D1; torej B1 C ? BC1 D1. Zato je projekcija premice MB

sin " = B 1 N =2 2 :B 1 M 5

Kot a med premico l in ravnino 6 lahko določimo z dodatnim kotom p med dano premico l in navpičnico p na dano letalo narisana iz katere koli točke na premici (slika 144). Kot P dopolnjuje želeni kot a do 90°. Po določitvi prave vrednosti kota P z vrtenjem ravni ravnine kota, ki ga tvorita ravna črta l in navpičnica ter okoli ravne črte, jo je treba dopolniti do pravi kot. Ta dodatni kot bo dal pravo vrednost kota a med premico l in ravnino 0.

27. Določanje kota med dvema ravninama.

Prava vrednost diedrski kot- med dvema ravninama Q in l. - se lahko določi bodisi z zamenjavo projekcijske ravnine, da se rob diedričnega kota pretvori v projekcijsko premico (problema 1 in 2), ali, če rob ni določen, kot kot med dvema pravokotnicama n1 in n2, narisanima na teh ravnin iz poljubne točke M prostora B ravnine teh navpičnic v točki M dobimo dva ravninska kota a in P, ki sta enaka linearnima kotoma dveh sosednji vogali(diedra), ki ga tvorita ravnini q in l. Ko določimo pravo vrednost kotov med navpičnicama n1 in n2 z vrtenjem okoli premice nivelete, bomo s tem določili linearni kot diedrskega kota, ki ga tvorita ravnini q in l.

Ukrivljene črte. Posebne točke krivih črt.

V kompleksni risbi krivulje so njene posebne točke, ki vključujejo točke prevoja, povratka, preloma in vozlišča, tudi posebne točke na njeni projekciji. To pojasnjuje singularne točke krivulje so v teh točkah povezane s tangentami.

Če ravnina krivulje zavzame štrleči položaj (sl. A), potem ima ena projekcija te krivulje obliko ravne črte.

Za prostorsko krivuljo so vse njene projekcije ukrivljene črte (sl. b).

Da bi iz risbe ugotovili, katera krivulja je podana (ravninska ali prostorska), je treba ugotoviti, ali vse točke krivulje pripadajo isti ravnini. Določeno na sl. b krivulja je prostorska, saj točka D krivulja ne pripada ravnini, ki jo določajo tri druge točke A, B in E ta krivulja.

Krog - ravninska krivulja drugega reda, katere pravokotna projekcija je lahko krog in elipsa

Cilindrična vijačnica (vijačnica) je prostorska krivulja, ki predstavlja trajektorijo točke, ki izvaja vijačno gibanje.

29.Ravne in prostorske krivulje.

Glej vprašanje 28

30. Kompleksna površinska risba. Temeljne določbe.

Površina je niz zaporednih položajev črt, ki se premikajo v prostoru. Ta črta je lahko ravna ali ukrivljena in se imenuje generatrisa površine. Če je generatrisa krivulja, ima lahko konstanto oz spremenljiv pogled. Generatris se giblje vzdolž vodniki, ki predstavljajo črte drugačne smeri kot generatorji. Vodilne črte določajo zakon gibanja generatorjev. Pri premikanju generatrise vzdolž vodil je a okvir površina (slika 84), ki je niz več zaporednih položajev generatorjev in vodil. Ob pregledu okvirja se lahko prepričamo, da so generatorji l in vodniki T lahko zamenjamo, vendar površina ostane enaka.

Vsako površino lahko pridobimo na različne načine.

Glede na obliko generatrise lahko vse ploskve razdelimo na vladal, ki imajo generativno premico in brez vladanja, ki imajo oblikovano ukrivljeno črto.

Med razvite ploskve uvrščamo ploskve vseh poliedrov, cilindrične, stožčaste in trupne ploskve. Vse ostale površine so nerazvojne. Površine brez linij imajo lahko generatriko konstantne oblike (vrtilne ploskve in cevaste ploskve) in generatriko spremenljive oblike (površine kanalov in okvirjev).

Površina v kompleksni risbi je določena s projekcijami geometrijskega dela njene determinante, kar kaže na način konstruiranja njenih generatorjev. V risbi ploskve je za vsako točko v prostoru nedvoumno rešeno vprašanje, ali pripada dani ploskvi. Grafično določanje elementov površinske determinante zagotavlja reverzibilnost risbe, vendar je ne naredi vizualno. Za jasnost se zatečejo k izdelavi projekcij precej gostega okvirja generatric in izdelavi obrisnih linij površine (slika 86). Pri projiciranju površine Q na projekcijsko ravnino se projicirani žarki dotikajo te površine v točkah, ki na njej tvorijo določeno črto l, ki se imenuje kontura linija. Projekcija konturne črte se imenuje esej površine. V kompleksni risbi ima katera koli površina: p 1 - horizontalni obris, na P 2 - čelni obris, na P 3 - profilni obris površine. Skica vsebuje poleg projekcij konturne črte tudi projekcije reznih linij.

Koncept projekcije figure na ravnino

Če želite predstaviti pojem kota med premico in ravnino, morate najprej razumeti tak pojem, kot je projekcija poljubne figure na ravnino.

Definicija 1

Naj nam bo dana poljubna točka $A$. Točka $A_1$ se imenuje projekcija točke $A$ na ravnino $\alpha $, če je osnova navpičnice, narisane iz točke $A$ na ravnino $\alpha $ (slika 1).

Slika 1. Projekcija točke na ravnino

Definicija 2

Naj nam bo dana poljubna figura $F$. Lik $F_1$ se imenuje projekcija lika $F$ na ravnino $\alpha $, sestavljena iz projekcij vseh točk lika $F$ na ravnino $\alpha $ (slika 2).

Slika 2. Projekcija figure na ravnino

1. izrek

Projekcija, ki ni pravokotna na ravnino premice, je premica.

Dokaz.

Naj nam bo podana ravnina $\alpha $ in premica $d$, ki jo seka, ni pravokotna nanjo. Izberimo točko $M$ na premici $d$ in narišimo njeno projekcijo $H$ na ravnino $\alpha $. Skozi premico $(MH)$ narišemo ravnino $\beta $. Očitno bo ta ravnina pravokotna na ravnino $\alpha $. Naj se sekata vzdolž ravne črte $m$. Razmislimo poljubna točka$M_1$ premice $d$ in skozi njo narišite premico $(M_1H_1$), ki je vzporedna s premico $(MH)$ (slika 3).

Slika 3.

Ker je ravnina $\beta $ pravokotna na ravnino $\alpha $, potem je $M_1H_1$ pravokotna na premico $m$, to pomeni, da je točka $H_1$ projekcija točke $M_1$ na ravnino. ravnina $\alpha $. Zaradi poljubnosti izbire točke $M_1$ se vse točke premice $d$ projicirajo na premico $m$.

Razmišljanje na podoben način. IN obratni vrstni red, bomo dobili, da je vsaka točka na premici $m$ projekcija neke točke na premici $d$.

To pomeni, da je premica $d$ projicirana na premico $m$.

Izrek je dokazan.

Pojem kota med premico in ravnino

Definicija 3

Kot med premico, ki seka ravnino, in njeno projekcijo na to ravnino se imenuje kot med premico in ravnino (slika 4).

Slika 4. Kot med premico in ravnino

Tukaj naredimo nekaj opomb.

Opomba 1

Če je premica pravokotna na ravnino. Potem je kot med premico in ravnino $90^\circ$.

Opomba 2

Če je premica vzporedna ali leži v ravnini. Potem je kot med premico in ravnino $0^\circ$.

Vzorčne težave

Primer 1

Naj nam bo dan paralelogram $ABCD$ in točka $M$, ki ne leži v ravnini paralelograma. Dokažite, da sta trikotnika $AMB$ in $MBC$ pravokotna, če je točka $B$ projekcija točke $M$ na ravnino paralelograma.

Dokaz.

Upodobimo stanje problema na sliki (slika 5).

Slika 5.

Ker je točka $B$ projekcija točke $M$ na ravnino $(ABC)$, je premica $(MB)$ pravokotna na ravnino $(ABC)$. S pripombo 1 ugotovimo, da je kot med premico $(MB)$ in ravnino $(ABC)$ enak $90^\circ$. Zato

\[\kot MBC=MBA=(90)^0\]

To pomeni, da sta trikotnika $AMB$ in $MBC$ pravokotna trikotnika.

Primer 2

Dana je ravnina $\alpha $. Na to ravnino je pod kotom $\varphi $ narisan segment, katerega začetek leži v tej ravnini. Projekcija tega segmenta je polovica velikosti samega segmenta. Poiščite vrednost $\varphi$.

rešitev.

Razmislite o sliki 6.

Slika 6.

Po pogojih imamo

Ker je trikotnik $BCD$ pravokoten, torej po definiciji kosinusa

\ \[\varphi =arccos\frac(1)(2)=(60)^0\]