Izračunavanje volumnov prostorskih likov je eden izmed pomembne naloge stereometrija. V tem članku bomo obravnavali vprašanje določanja prostornine takšnega poliedra, kot je piramida, in podali tudi šestkotno pravilno.
Šesterokotna piramida
Najprej poglejmo, kakšna je številka, o kateri bomo razpravljali v članku.
Imejmo poljuben šestkotnik, katerega stranice niso nujno enake. Predpostavimo tudi, da smo izbrali točko v prostoru, ki ni v ravnini šesterokotnika. Če vse vogale slednje povežemo z izbrano točko, dobimo piramido. Dve različni piramidi šesterokotna osnova, so prikazani na spodnji sliki.
Vidimo, da je lik poleg šesterokotnika sestavljen iz šestih trikotnikov, katerih povezovalna točka se imenuje vrh. Razlika med upodobljenima piramidama je v tem, da višina h desne ne seka šesterokotne osnove v njenem geometrijsko središče, višina leve figure pa pade točno v to sredino. Zahvaljujoč temu kriteriju je bila leva piramida imenovana ravna, desna piramida pa nagnjena.
Ker je osnova leve figure na sliki sestavljena iz šesterokotnika z enakimi stranicami in koti, se imenuje pravilna. Nadalje v članku bomo govorili samo o tej piramidi.
Za izračun prostornine poljubne piramide imamo naslednjo formulo:
Tukaj je h dolžina višine figure, S o je površina njene osnove. Uporabimo ta izraz za določitev prostornine pravilne šesterokotne piramide.
Ker je osnova zadevne figure enakostranični šestkotnik, lahko za izračun njegove ploščine uporabite naslednje splošni izraz za n-gon:
S n = n/4 * a 2 * ctg (pi/n)
Tukaj je n celo število, ki je enako številu stranic (kotov) mnogokotnika, a je dolžina njegove stranice, kotangens se izračuna z uporabo ustreznih tabel.
Z uporabo izraza za n = 6 dobimo:
S 6 = 6/4 * a 2 * ctg(pi/6) = √3/2 * a 2
Zdaj ostane le, da ta izraz nadomestimo z splošna formula za zvezek V:
V 6 = S 6 * h = √3/2 * h * a 2
Tako je za izračun prostornine zadevne piramide potrebno poznati njeni dve linearni parameter: dolžina stranice podstavka in višina figure.
Primer rešitve problema
Pokažimo, kako lahko dobljeni izraz za V 6 uporabimo za rešitev naslednjega problema.
Znano je, da je pravilna prostornina 100 cm 3 . Treba je določiti stranico osnove in višino figure, če je znano, da sta med seboj povezani z naslednjo enakostjo:
Ker formula za prostornino vključuje samo a in h, lahko vanjo nadomestite katerega koli od teh parametrov, izraženega z drugim. Če na primer zamenjamo a, dobimo:
V 6 = √3/2*h*(2*h) 2 =>
h = ∛(V 6 /(2*√3))
Če želite najti višino figure, morate vzeti tretji koren prostornine, ki ustreza dimenziji dolžine. Nadomestimo vrednost prostornine V 6 piramide iz pogojev problema, dobimo višino:
h = ∛(100/(2*√3)) ≈ 3,0676 cm
Ker je stranica baze v skladu s pogojem problema dvakrat večja od najdene vrednosti, dobimo zanjo vrednost:
a = 2*h = 2*3,0676 = 6,1352 cm
Glasnost šesterokotna piramida je mogoče najti ne samo z višino figure in vrednostjo strani njene osnove. Za izračun dovolj je poznati dva različna linearna parametra piramide, na primer apotem in dolžino stranskega roba.
Datum: 2015-01-19
Če potrebujete navodila po korakih Kako zgraditi skeniranje piramide, potem vas prosim, da se pridružite naši lekciji. Najprej ocenite, ali je vaša piramida razporejena na podoben način kot na sliki 1.
Če ste ga zasukali za 90 stopinj, potem je rob, označen na sliki kot "znane realne vrednosti" v vašem primeru, mogoče najti na projekciji profila, ki jo boste morali izdelati. V mojem primeru to ni potrebno, vse potrebne količine za gradnjo že imamo. Pomembno je, da ne pozabite, da sta na tej risbi samo robovi SA in SD v sprednji projekciji prikazani v polni velikosti. Vsi drugi so projicirani s popačenjem dolžine. Poleg tega so v pogledu od zgoraj vse stranice šesterokotnika projicirane v polni velikosti. Na podlagi tega nadaljujemo.
1. Za večjo lepoto narišimo prvo črto vodoravno (slika 1). Nato narišimo širok lok s polmerom R=a, tj. polmer enaka dolžini stranski rob piramide. Dobimo točko A. S šestilom iz nje naredimo zarezo na loku s polmerom r=b (dolžina stranice baze piramide). Gremo na točko B. Prvo stran piramide že imamo!
2. Iz točke B naredimo še eno zarezo z enakim radijem - dobimo točko C in jo povežemo s točkama B in S dobimo drugo stransko ploskev piramide (slika 2).
3. Ponavljanje teh korakov zahtevana količina enkrat (vse je odvisno od tega, koliko ploskev ima vaša piramida) bomo dobili takšno pahljačo (slika 3). Če je konstruirano pravilno, bi morali dobiti vse osnovne točke, skrajne pa je treba ponoviti.
4. To ni vedno potrebno, vendar je še vedno potrebno: dodajte osnovo piramide razvoju stranske površine. Verjamem, da vsi, ki so prebrali do tukaj, vedo, kako narisati peterokotnik (kako narisati peterokotnik je podrobno opisano v lekciji). in pod pravim kotom. Skozi sredino poljubne ploskve narišemo os. Od presečišča s premico baze narišemo razdaljo m, kot je prikazano na sliki 4. 
Z risanjem pravokotnice skozi to točko dobimo osi bodočega šesterokotnika. Iz nastalega središča narišemo krog, kot ste to storili pri gradnji pogleda od zgoraj. Upoštevajte, da mora krog potekati skozi dve točki na stranski strani (v mojem primeru sta to F in A)
5. Slika 5 prikazuje končni pogled na razvitje šesterokotne prizme. 
S tem je gradnja piramide končana. Gradite svoj razvoj, naučite se iskati rešitve, bodite natančni in nikoli ne obupajte. Hvala, da ste se ustavili. Ne pozabite nas priporočiti svojim prijateljem :) Vse najboljše!
oz zapišite našo telefonsko številko in povejte svojim prijateljem o nas - verjetno kdo išče način za dokončanje risb
oz Ustvarite opombo na svoji strani ali blogu o naših lekcijah - in nekdo drug bo lahko obvladal risanje.
Piramide so: trikotne, štirikotne itd., odvisno od tega, kaj je osnova - trikotnik, štirikotnik itd.
Piramida se imenuje pravilna (slika 286, b), če je, prvič, njena osnova pravilen mnogokotnik, in drugič, njena višina poteka skozi središče tega mnogokotnika.
V nasprotnem primeru se piramida imenuje nepravilna (slika 286, c). Vse je v pravi piramidi stranska rebra enaki drug drugemu (kot nagnjeni z enake projekcije). Zato vse stranski obrazi redna piramida obstajajo enaki enakokraki trikotniki.
Analiza elementov pravilne šesterokotne piramide in njihova upodobitev v kompleksni risbi (slika 287).
A) Kompleksna risba pravilna šesterokotna piramida. Osnova piramide se nahaja na ravnini P 1; dve stranici baze piramide sta vzporedni s projekcijsko ravnino P 2.
b) Osnovica ABCDEF je šesterokotnik, ki leži v projekcijski ravnini P 1.
c) Stranska stran ASF je trikotnik, ki se nahaja v splošni ravnini.
d) Stranska ploskev FSE je trikotnik, ki se nahaja v ravnini projekcije profila.
e) Edge SE je segment v splošnem položaju.
f) Rebro SA - čelni segment.
g) Vrh S piramide je točka v prostoru.
Sliki 288 in 289 prikazujeta primere zaporednih grafičnih operacij pri izvajanju kompleksne risbe in vizualnih slik (aksonometrije) piramid.
podano:
1. Osnova se nahaja na ravnini P 1.
2. Ena od stranic baze je vzporedna z osjo x 12.
I. Kompleksna risba.
jaz, a. Oblikujemo osnovo piramide - poligon, glede na ta pogoj
ki leži v ravnini P1.
Oblikujemo oglišče - točko, ki se nahaja v prostoru. Višina točke S je enaka višini piramide. Vodoravna projekcija S 1 točke S bo v središču projekcije baze piramide (po pogoju).
jaz, b. Oblikujemo robove piramide - segmente; Za to povežemo projekcije oglišč osnove ABCDE z ustreznimi projekcijami oglišča piramide S z ravnimi črtami. Čelne projekcije S 2 C 2 in S 2 D 2 robov piramide prikazujemo s črtkanimi črtami, kot nevidne, zaprte z robovi piramide (SА in SAE). jaz, c. Glede na vodoravno projekcijo K 1 točke K na stranski ploskvi SBA, morate najti njeno čelno projekcijo. Če želite to narediti, narišite pomožno črto S 1 F 1 skozi točki S 1 in K 1, poiščite njeno čelno projekcijo in uporabite
navpična črta povezavo, določimo lokacijo želene čelne projekcije K 2 točke K. II. Razvoj površine piramide - ravna figura
, sestavljen iz stranskih ploskev - enakih enakokrakih trikotnikov, katerih ena stran je enaka strani osnove, druga dva pa sta enaka stranskim robom in od
pravilni mnogokotnik 1
- razlogi. Naravne dimenzije stranic podnožja se razkrijejo na njegovi vodoravni projekciji. Naravne dimenzije reber na projekcijah niso bile razkrite. Hipotenuza S 2 ¯A 2 (slika 288, , b) pravokotni trikotnik
S 2 O 2 ¯A 2, ki ima veliko nogo enaka višini S 2 O 2 piramide, mala pa vodoravna projekcija roba S 1 A 1 je naravna velikost roba piramide. Konstrukcijo pometanja je treba izvesti v naslednjem vrstnem redu: a) od poljubna točka
S (oglišča) nariše lok s polmerom R, enaka robu piramide;
b) na narisan lok narišemo pet tetiv velikosti R 1 enaka strani razlogi;
d) na poljubno ploskev z metodo triangulacije pritrdimo osnovo piramide - peterokotnik, na primer na ploskev DSE.
Prenos točke K na skeniranje se izvede s pomožno ravno črto z uporabo dimenzije B 1 F 1, vzete na vodoravni projekciji, in dimenzije A 2 K 2, vzete na naravni velikosti rebra.
III.
Vizualna predstavitev piramide v izometriji. 1
III, a.
Osnovo piramide upodabljamo s koordinatami po (sl. 288, 1
III, a.
, A).
Upodabljamo vrh piramide s koordinatami po (sl. 288,
III, b.
podano:
Upodabljamo stranske robove piramide, ki povezujejo vrh z oglišči baze. Rob S"D" in stranice baze C"D" in D"E" so upodobljene s črtkanimi črtami, kot nevidne, zaprte z robovi piramide C"S"B", B"S"A" in A"S"E".
III, e.
Točko K na površini piramide določimo z dimenzijama y F in x K. Za dimetrično sliko piramide je treba upoštevati isto zaporedje.
Slika nepravilne trikotne piramide. 1. Osnova se nahaja na ravnini P 1. 2. Stranica BC osnove je pravokotna na X os.
I. Kompleksna risba
jaz, a.
Oblikovanje osnove piramide -
enakokraki trikotnik , ki leži v ravnini P 1, in vrh S je točka v prostoru, katere višina je enaka višini piramide. jaz, b.
Oblikujemo robove piramide - segmente, za katere povežemo premice istoimenskih projekcij osnovnih oglišč z istoimenskimi projekcijami vrha piramide. Vodoravno projekcijo stranice baze letala prikazujemo s črtkano črto, kot nevidno, prekrito z dvema obrazoma piramide ABS, ACS.
a) narišite enakokraki trikotnik s ploskvijo CSB, katerega osnova je enaka stranici baze piramide CB, in straneh- naravna velikost rebra SC;
b) pritrdimo dva trikotnika na stranice SC in SB zgrajenega trikotnika - ploskve piramide CSA in BSA ter na osnovo CB zgrajenega trikotnika - osnovo CBA piramide, kot rezultat dobimo popolno razvoj površine te piramide.
Prenos točke D na skeniranje se izvede v naslednjem vrstnem redu: najprej na skeniranju stranske ploskve ASC narišite vodoravno črto z velikostjo R 1 in nato določite lokacijo točke D na vodoravni črti z velikostjo R 2.
III. Vizualna predstavitev piramide in čelne dimetrične projekcije
III, a. Upodobimo osnovo A"B"C in vrh S" piramide z uporabo koordinat glede na (
Risba je prvi in zelo pomemben korak pri reševanju geometrijski problem. Kakšna naj bi bila risba pravilne piramide?
Najprej se spomnimo lastnosti vzporedne zasnove:
- upodobljeni so vzporedni segmenti figure vzporedni segmenti;
— razmerje dolžin odsekov vzporednih črt in odsekov ene premice se ohrani.
Risba pravilne trikotne piramide
Najprej narišemo osnovo. Od kdaj vzporedno oblikovanje koti in razmerja dolžin niso vzporedni segmenti niso shranjeni, je pravilni trikotnik na dnu piramide upodobljen kot poljuben trikotnik.
Center navaden trikotnik je točka presečišča median trikotnika. Ker sta mediani v presečni točki razdeljeni v razmerju 2:1, šteto od oglišča, miselno povežemo oglišče baze s sredino nasprotne stranice, jo približno razdelimo na tri dele in postavimo točko na oddaljenost 2 delov od vrha. Od te točke potegnemo navpično navzgor. To je višina piramide. Narišemo navpičnico takšne dolžine, da stranski rob ne prekriva podobe višine.
Risba pravilna štirikotna piramida
Prav tako začnemo risati pravilno štirikotno piramido iz baze. Ker je vzporednost segmentov ohranjena, velikosti kotov pa ne, je kvadrat na dnu upodobljen kot paralelogram. Po možnosti oster kot naredite ta paralelogram manjši, potem bodo stranske ploskve večje. Središče kvadrata je točka presečišča njegovih diagonal. Narišemo diagonale in obnovimo pravokotnico iz presečišča. Ta navpičnica je višina piramide. Dolžino pravokotnice izberemo tako, da se stranska rebra med seboj ne spajajo.
Risba pravilne šesterokotne piramide
Ker se pri vzporednem načrtovanju ohrani vzporednost segmentov, je osnova pravilne šesterokotne piramide - pravilni šestkotnik - prikazana kot šesterokotnik, katerega nasprotne stranice so vzporedne in enake. Središče pravilnega šesterokotnika je točka presečišča njegovih diagonal. Da ne bi risali nereda, ne rišemo diagonal, ampak približno poiščemo to točko. Iz nje obnovimo pravokotnico - višino piramide - tako, da se stranska rebra med seboj ne spajajo.
