Navodila
Za kvadratno osnovo piramide z znano dolžino stranice (a) in dano prostornino (V) zamenjajte površino v formuli za izračun iz prejšnjega koraka s kvadratom dolžine stranice: H = 3*V/a².
Formulo iz prvega koraka je mogoče preoblikovati za izračun višine (H) pravilne piramide z osnovo poljubne oblike. Začetni podatki, ki jih je treba vključiti, so prostornina (V) poliedra, dolžina roba na dnu (a) in število oglišč na dnu (n). kvadrat pravilni mnogokotnik je določen s četrtino zmnožka števila oglišč s kvadratom dolžine stranice in kotangensom kota, ki je enak razmerju 180° in številom oglišč: ¼*n*a²*ctg(180° /n). Zamenjajte ta izraz v formulo iz prvega koraka: H = 3*V/(¼*n*a²*ctg(180°/n)) = 12*V/(n*a²*ctg(180°/n)) .
Če površina baze ni znana iz pogojev problema in sta podana samo prostornina (V) in dolžina roba (a), potem lahko manjkajočo spremenljivko v formuli iz prejšnjega koraka nadomestite s svojim ekvivalentom, izraženim z dolžino roba. Območje (kot se spomnite, leži na dnu piramide zadevne vrste) je enako eni četrtini izdelka kvadratni koren od tri do kvadrata dolžine stranice. Zamenjajte ta izraz namesto ploščine osnove v formulo iz prejšnjega koraka in dobite naslednji rezultat: H = 3*V*4/(a²*√3) = 12*V/(a²*√3 ).
Ker lahko prostornino tetraedra izrazimo tudi z dolžino roba, lahko iz formule za izračun višine figure odstranimo vse spremenljivke in pustimo samo stransko stran. Prostornina te piramide se izračuna tako, da se zmnožek kvadratnega korena iz dveh deli s kubično dolžino obraza z 12. Zamenjajte ta izraz v formulo iz prejšnjega koraka in dobite rezultat: H = 12*(a³*√2/12)/(a²*√3) = (a³*√2)/(a²*√3) = a* √⅔ = ⅓*a*√6.
Pravilna prizma lahko vpišemo v kroglo in če poznamo le njen polmer (R), lahko izračunamo tetraeder. Dolžina roba je enaka štirikratnemu razmerju med polmerom in kvadratnim korenom iz šest. Zamenjajte spremenljivko a v formuli iz prejšnjega koraka s tem izrazom in dobite enakost: H = ⅓*√6*4*R/√6 = 4*r/3.
Podobno formulo lahko dobimo, če poznamo polmer (r) kroga, včrtanega tetraedru. V tem primeru bo dolžina roba enaka dvanajstim razmerjem med polmerom in kvadratom šestih. Zamenjajte ta izraz v formulo iz tretjega koraka: H = ⅓*a*√6 = ⅓*√6*12*R/√6 = 4*R.
Piramida je ena najbolj mističnih figur v geometriji. Tokovi so povezani z njim kozmična energija, so številna starodavna ljudstva izbrala prav to obliko za gradnjo svojih verskih objektov. Z matematičnega vidika pa je piramida le polieder s poligonom na dnu, ploskve pa so trikotniki s skupni vrh. Poglejmo, kako najti kvadrat robovi V piramida.
Potrebovali boste
- kalkulator.
Navodila
Vrste piramid: navadne (na dnu je pravilen mnogokotnik, oglišča pa v njegovem središču), poljubne (na dnu je poljuben mnogokotnik in projekcija oglišča ne sovpada nujno z njegovim središčem), pravokotna (eden od stranski robovi tvorijo pravi kot z osnovo) in . Glede na strani mnogokotnika na dnu piramide se imenuje tri-, štiri-, pet- ali na primer deseterokoten.
Za vse vrste piramid, razen prisekanih: pomnožite dolžine osnove trikotnika in višino, spuščeno nanj od vrha piramide. Dobljeni produkt razdelite na 2 - to bo želeno kvadrat strani robovi piramide.
Prisekana piramida Zložite obe osnovi trapeza, ki je obraz takšne piramide. Dobljeno količino razdelite na dva. Dobljeno vrednost pomnožite z višino robovi-trapez. Dobljena vrednost je kvadrat strani robovi piramide te vrste.
Video na temo
Območje stranske površine in osnove, obod osnove piramide in njen volumen so med seboj povezani določene formule. To včasih omogoča izračun vrednosti manjkajočih podatkov, potrebnih za določitev površine obraza v piramidi.
Prostornina katere koli neobrezane piramide je enaka eni tretjini zmnožka višine piramide in površine baze. Za navadno piramido velja: površina stranske površine je enaka polovici oboda osnove, pomnoženi z višino ene od ploskev. Pri izračunu prostornine prisekane piramide namesto površine osnove nadomestite vrednost enaka vsoti ploščini zgornje in spodnje baze ter kvadratni koren njunega produkta.
Viri:
- Stereometrija
- kako najti stransko stran piramide
Piramida se imenuje pravokotna, če je eden od njenih robov pravokoten na njeno osnovo, to pomeni, da stoji pod kotom 90˚. Ta rob je tudi višina pravokotna piramida. Formulo za prostornino piramide je prvi izpeljal Arhimed.
Potrebovali boste
- - pero;
- - papir;
- - kalkulator.
Navodila
IN pravokotna višina tam bo njegov rob, ki stoji pod kotom 90˚ glede na podlago. Kot je območje pravokotne osnove označeno s S, višina pa je tudi piramide, − h. Potem, da bi našli prostornino tega piramide, je treba površino njegove osnove pomnožiti z višino in deliti s 3. Tako je prostornina pravokotnika piramide izračunano po formuli: V=(S*h)/3.
Zgradite naslednje danih parametrov. Njegovo osnovo označite z latinskim ABCDE, vrh pa piramide- S. Ker bo risba na ravnini v projekciji, da ne bi prišlo do zmede, navedite podatke, ki jih že poznate: SE = 30cm; S(ABCDE)=45 cm².
Izračunaj prostornino pravokotnika piramide, z uporabo formule. Z zamenjavo podatkov in izračuni se izkaže, da je prostornina pravokotnika piramide bo enako: V=(45*30)/3=cm³.
Če navedba problema ne vsebuje podatkov o in višini piramide, potem morate za pridobitev teh vrednosti izvesti dodatne izračune. Površina baze bo izračunana glede na to, ali mnogokotnik leži na svoji podlagi.
Višina piramide ugotovite, ali poznate hipotenuzo katerega koli pravokotnika EDS ali EAS in kot, pod katerim je stranska ploskev SD ali SA nagnjena na njegovo osnovo. Izračunajte SE krak z uporabo sinusnega izreka. To bo višina pravokotnika piramide.
Prosimo, upoštevajte
Pri izračunu količin, kot so višina, prostornina, površina, ne pozabite, da ima vsaka od njih svojo mersko enoto. Torej se površina meri v cm², višina v cm in prostornina v cm³.
Kubični centimeter je enota za prostornino, ki je enaka prostornini kocke z dolžino roba 1 cm. Če podatke nadomestimo v našo formulo, dobimo: cm³= (cm²*cm)/3.
Koristen nasvet
Praviloma, če problem zahteva iskanje prostornine pravokotne piramide, so znani vsi potrebni podatki - vsaj za iskanje površine osnove in višine figure.
Risba je prvi in zelo pomemben korak pri reševanju geometrijski problem. Kakšna naj bi bila risba pravilne piramide?
Najprej se spomnimo lastnosti vzporedne zasnove:
- upodobljeni so vzporedni segmenti figure vzporedni segmenti;
— razmerje dolžin odsekov vzporednih črt in odsekov ene premice se ohrani.
Risba pravilna trikotna piramida
Najprej narišemo osnovo. Od kdaj vzporedno oblikovanje koti in razmerja dolžin niso vzporedni segmenti niso shranjeni, je pravilni trikotnik na dnu piramide upodobljen kot poljuben trikotnik.
Središče pravilnega trikotnika je točka presečišča sredin trikotnika. Ker sta mediani v presečni točki razdeljeni v razmerju 2:1, šteto od oglišča, miselno povežemo oglišče baze s sredino nasprotne stranice, jo približno razdelimo na tri dele in postavimo točko na oddaljenost 2 delov od vrha. Od te točke potegnemo navpično navzgor. To je višina piramide. Narišite navpičnico tako dolgo, da stransko rebro ni prekril višinske slike.
Risba pravilna štirikotna piramida
Prav tako začnemo risati pravilno štirikotno piramido iz baze. Ker je vzporednost segmentov ohranjena, velikosti kotov pa ne, je kvadrat na dnu upodobljen kot paralelogram. Po možnosti oster kot naredite ta paralelogram manjši, potem bodo stranske ploskve večje. Središče kvadrata je točka presečišča njegovih diagonal. Narišemo diagonale in obnovimo pravokotnico iz presečišča. Ta navpičnica je višina piramide. Dolžino pravokotnice izberemo tako, da se stranska rebra med seboj ne spajajo.
Risba pravilna šesterokotna piramida
Ker se pri vzporednem načrtovanju ohrani vzporednost segmentov, je osnova pravilne šesterokotne piramide - pravilni šestkotnik - prikazana kot šesterokotnik, katerega nasprotne stranice so vzporedne in enake. Središče pravilnega šesterokotnika je točka presečišča njegovih diagonal. Da ne bi risali nereda, ne rišemo diagonal, ampak približno poiščemo to točko. Iz nje obnovimo pravokotnico - višino piramide - tako, da se stranska rebra med seboj ne spajajo.
Piramide so: trikotne, štirikotne itd., odvisno od tega, kaj je osnova - trikotnik, štirikotnik itd.
Piramida se imenuje pravilna (slika 286, b), če je, prvič, njena osnova pravilen mnogokotnik, in drugič, njena višina poteka skozi središče tega mnogokotnika.
V nasprotnem primeru se piramida imenuje nepravilna (slika 286, c). IN pravilna piramida vsa stranska rebra so med seboj enaka (kot nagnjena z enake projekcije). Zato so vse stranske ploskve pravilne piramide enaki enakokraki trikotniki.
Analiza elementov pravilne šesterokotne piramide in njihova upodobitev v kompleksni risbi (slika 287).
A) Kompleksna risba pravilna šesterokotna piramida. Osnova piramide se nahaja na ravnini P 1; dve stranici baze piramide sta vzporedni s projekcijsko ravnino P 2.
b) Osnovica ABCDEF je šesterokotnik, ki leži v projekcijski ravnini P 1.
V) Stranski rob ASF je trikotnik, ki se nahaja v splošni ravnini.
d) Stranska ploskev FSE je trikotnik, ki se nahaja v ravnini projekcije profila.
e) Edge SE je segment v splošnem položaju.
f) Rebro SA - čelni segment.
g) Vrh S piramide je točka v prostoru.
Sliki 288 in 289 prikazujeta primere zaporednih grafičnih operacij pri izvajanju kompleksne risbe in vizualnih slik (aksonometrije) piramid.
podano:
1. Osnova se nahaja na ravnini P 1.
2. Ena od stranic baze je vzporedna z osjo x 12.
I. Kompleksna risba.
jaz, a. Oblikujemo osnovo piramide - poligon, glede na ta pogoj
ki leži v ravnini P1.
Oblikujemo oglišče - točko, ki se nahaja v prostoru. Višina točke S je enaka višini piramide. Vodoravna projekcija S 1 točke S bo v središču projekcije baze piramide (po pogoju).
jaz, b. Oblikujemo robove piramide - segmente; Za to povežemo projekcije oglišč osnove ABCDE z ustreznimi projekcijami oglišča piramide S z ravnimi črtami. Čelne projekcije S 2 C 2 in S 2 D 2 robov piramide prikazujemo s črtkanimi črtami, kot nevidne, zaprte z robovi piramide (SА in SAE). jaz, c. Glede na vodoravno projekcijo K 1 točke K na stranski ploskvi SBA, morate najti njeno čelno projekcijo. Če želite to narediti, narišite pomožno črto S 1 F 1 skozi točki S 1 in K 1, poiščite njeno čelno projekcijo in uporabite
navpična črta povezavo, določimo lokacijo želene čelne projekcije K 2 točke K. II.
Razvoj površine piramide -
ravna figura 1
, sestavljen iz stranskih ploskev - enakih enakokrakih trikotnikov, katerih ena stran je enaka strani osnove, druga dva pa stranskim robom in iz pravilnega mnogokotnika - osnove. Naravne dimenzije stranic podnožja se razkrijejo na njegovi vodoravni projekciji. Naravne dimenzije reber na projekcijah niso bile razkrite. Hipotenuza S 2 ¯A 2 (slika 288, , b) pravokotni trikotnik
S 2 O 2 ¯A 2, ki ima veliko nogo enaka višini S 2 O 2 piramide, mala pa vodoravna projekcija roba S 1 A 1 je naravna velikost roba piramide. Konstrukcijo pometanja je treba izvesti v naslednjem vrstnem redu: a) od poljubna točka
S (oglišča) nariše lok s polmerom R,
enaka robu piramide;, ki predstavlja razvoj stranske površine te piramide, razrezan vzdolž roba SD;
d) na poljubno ploskev z metodo triangulacije pritrdimo osnovo piramide - peterokotnik, na primer na ploskev DSE.
Prenos točke K na skeniranje se izvede s pomožno ravno črto z uporabo dimenzije B 1 F 1, vzete na vodoravni projekciji, in dimenzije A 2 K 2, vzete na naravni velikosti rebra.
III.
Vizualna predstavitev piramide v izometriji. 1
III, a.
Osnovo piramide upodabljamo s koordinatami po (sl. 288, 1
III, a.
, A).
Upodabljamo vrh piramide s koordinatami po (sl. 288,
III, b.
podano:
Upodabljamo stranske robove piramide, ki povezujejo vrh z oglišči baze. Rob S"D" in stranice baze C"D" in D"E" so upodobljene s črtkanimi črtami, kot nevidne, zaprte z robovi piramide C"S"B", B"S"A" in A"S"E".
III, e.
Točko K na površini piramide določimo z dimenzijama y F in x K. Za dimetrično sliko piramide je treba upoštevati isto zaporedje.
Slika nepravilne trikotne piramide. 1. Osnova se nahaja na ravnini P 1. 2. Stranica BC osnove je pravokotna na X os.
I. Kompleksna risba
jaz, a.
Oblikovanje osnove piramide -
enakokraki trikotnik , ki leži v ravnini P 1, in vrh S je točka v prostoru, katere višina je enaka višini piramide. jaz, b.
Zaporedje gradnje razvoja površine piramide:
a) narišite enakokraki trikotnik s ploskvijo CSB, katerega osnova je enaka stranici baze piramide CB, in straneh- naravna velikost rebra SC;
b) pritrdimo dva trikotnika na stranice SC in SB zgrajenega trikotnika - ploskve piramide CSA in BSA ter na osnovo CB zgrajenega trikotnika - osnovo CBA piramide, kot rezultat dobimo popolno razvoj površine te piramide.
Prenos točke D na skeniranje se izvede v naslednjem vrstnem redu: najprej na skeniranju stranske ploskve ASC narišite vodoravno črto z velikostjo R 1 in nato določite lokacijo točke D na vodoravni črti z velikostjo R 2.
III. Vizualna predstavitev piramide in čelne dimetrične projekcije
III, a. Upodobimo osnovo A"B"C in vrh S" piramide z uporabo koordinat glede na (
Izračunavanje volumnov prostorskih likov je eden izmed pomembne naloge stereometrija. V tem članku bomo obravnavali vprašanje določanja prostornine takšnega poliedra, kot je piramida, in podali tudi šestkotno pravilno.
Šesterokotna piramida
Najprej poglejmo, kakšna je številka, o kateri bomo razpravljali v članku.
Imejmo poljuben šestkotnik, katerega stranice niso nujno enake. Predpostavimo tudi, da smo izbrali točko v prostoru, ki ni v ravnini šesterokotnika. Če vse vogale slednje povežemo z izbrano točko, dobimo piramido. Dve različni piramidi šesterokotna osnova, so prikazani na spodnji sliki.
Vidimo, da je lik poleg šesterokotnika sestavljen iz šestih trikotnikov, katerih povezovalna točka se imenuje vrh. Razlika med upodobljenima piramidama je v tem, da višina h desne ne seka šesterokotne osnove v njenem geometrijsko središče, višina leve figure pa pade točno v to sredino. Zahvaljujoč temu kriteriju je bila leva piramida imenovana ravna, desna piramida pa nagnjena.
Ker je osnova leve figure na sliki sestavljena iz šesterokotnika z enakimi stranicami in koti, se imenuje pravilna. Nadalje v članku bomo govorili samo o tej piramidi.
Za izračun prostornine poljubne piramide imamo naslednjo formulo:
Tukaj je h dolžina višine figure, S o je površina njene osnove. Uporabimo ta izraz za določitev prostornine pravilne šesterokotne piramide.
Ker je osnova zadevne figure enakostranični šestkotnik, lahko za izračun njegove ploščine uporabite naslednje splošni izraz za n-gon:
S n = n/4 * a 2 * ctg (pi/n)
Tukaj je n celo število, ki je enako številu stranic (kotov) mnogokotnika, a je dolžina njegove stranice, kotangens se izračuna z uporabo ustreznih tabel.
Z uporabo izraza za n = 6 dobimo:
S 6 = 6/4 * a 2 * ctg(pi/6) = √3/2 * a 2
Zdaj ostane le, da ta izraz nadomestimo z splošna formula za zvezek V:
V 6 = S 6 * h = √3/2 * h * a 2
Tako je za izračun prostornine zadevne piramide potrebno poznati njeni dve linearni parameter: dolžina stranice podstavka in višina figure.
Primer rešitve problema
Pokažimo, kako lahko dobljeni izraz za V 6 uporabimo za rešitev naslednjega problema.
Znano je, da je pravilna prostornina 100 cm 3 . Treba je določiti stranico osnove in višino figure, če je znano, da sta med seboj povezani z naslednjo enakostjo:
Ker formula za prostornino vključuje samo a in h, lahko vanjo nadomestite katerega koli od teh parametrov, izraženega z drugim. Če na primer zamenjamo a, dobimo:
V 6 = √3/2*h*(2*h) 2 =>
h = ∛(V 6 /(2*√3))
Če želite najti višino figure, morate vzeti tretji koren prostornine, ki ustreza dimenziji dolžine. Nadomestimo vrednost prostornine V 6 piramide iz pogojev problema, dobimo višino:
h = ∛(100/(2*√3)) ≈ 3,0676 cm
Ker je stranica baze v skladu s pogojem problema dvakrat večja od najdene vrednosti, dobimo zanjo vrednost:
a = 2*h = 2*3,0676 = 6,1352 cm
Prostornino šesterokotne piramide je mogoče najti ne le z višino figure in vrednostjo strani njene osnove. Za izračun dovolj je poznati dva različna linearna parametra piramide, na primer apotem in dolžino stranskega roba.
Težave s piramidami. V tem članku bomo nadaljevali z obravnavanjem težav s piramidami. Ne moremo jih pripisati nobenemu razredu ali tipu nalog in ni mogoče dati splošnih (algoritemskih) priporočil za rešitev. Samo preostale naloge, ki prej niso bile obravnavane, so zbrane tukaj.
Naštel bom teorijo, ki si jo morate pred reševanjem osvežiti v spominu: piramide, lastnosti podobnosti likov in teles, lastnosti pravilnih piramid, Pitagorov izrek, formula za ploščino trikotnika (to je druga). Razmislimo o nalogah:
Od trikotne piramide, katere prostornina je 80, je trikotna piramida odrezana z ravnino, ki poteka skozi vrh piramide in srednjo črto baze. Poiščite prostornino odrezane trikotne piramide.
Prostornina piramide je enaka tretjini zmnožka površine njene osnove in njene višine:
Te piramide (prvotna in odrezana) imajo skupno višino, zato so njihove prostornine povezane kot ploščine njihovih baz. Srednja linija iz prvotnega trikotnika odreže trikotnik, katerega ploščina je štirikrat manjša, to je:
Več informacij o tem lahko najdete tukaj.
To pomeni, da bo prostornina odrezane piramide štirikrat manjša.
Torej bo enako 20.
Odgovor: 20
* podoben problem, uporablja se formula za površino trikotnika.
Prostornina trikotne piramide je 15. Ravnina poteka skozi stranico baze te piramide in seka nasprotni stranski rob v točki, ki jo deli v razmerju 1:2, šteto od vrha piramide. Poiščite največjo prostornino piramid, na katere ravnina deli prvotno piramido.
Zgradimo piramido in označimo oglišča.Označimo točko E na robu AS, tako da je AE dvakrat večja od ES (pogoj pravi, da se ES nanaša na AE kot 1 proti 2) in sestavimo navedeno ravnino, ki poteka skozi rob AC in točko E:
Analizirajmo obseg katere piramide bo večji: EABC ali SEBC?
* Prostornina piramide je enaka tretjini zmnožka ploščine njene osnove in njene višine:
Če upoštevamo obe nastali piramidi in vzamemo obraz EBC kot osnovo v obeh, postane očitno, da bo prostornina piramide AEBS večja od prostornine piramide SEBC. Zakaj?
Razdalja od točke A do ravnine EBC je večja od razdalje od točke S. In ta razdalja igra za nas vlogo višine.
Torej, poiščimo prostornino piramide EABC.
Podana nam je prostornina prvotne piramide; piramidi SABC in EABC imata skupno osnovo. Če ugotovimo razmerje višin, zlahka določimo prostornino.
Iz razmerja odsekov ES in AE sledi, da je AE enaka dvema tretjinama ES. Višini piramid SABC in EABC sta v enakem razmerju -višina piramide EABC bo enaka 2/3 višine piramide SABC.
Torej, če
to
Odgovor: 10
Prostornina pravilne šesterokotne piramide je 6. Stranica osnove je 1. Poiščite stranski rob.
V pravilni piramidi je vrh projiciran v sredino baze.Izvedemo dodatne konstrukcije:
Stranski rob lahko najdemo iz pravokotnega trikotnika SOC. Če želite to narediti, morate poznati SO in OS.
SO je višina piramide, izračunamo jo lahko po formuli prostornine:
Izračunajmo površino baze. je pravilen šesterokotnik s stranico enako 1. Površina pravilnega šesterokotnika je enaka površini šest enakostranični trikotniki z iste strani več o tem (točka 6), torej:
Pomeni
OS = BC = 1, saj je v pravilnem šesterokotniku segment, ki povezuje njegovo središče z vrhom enaka strani ta šesterokotnik.
Tako je po Pitagorejskem izreku:
Odgovor: 7
GlasnostProstornina tetraedra je 200. Poiščite prostornino poliedra, katerega oglišča so razpolovišča robov danega tetraedra.
Prostornina navedenega poliedra enako razliki prostornine prvotnega tetraedra V 0 in štirih enakih tetraedrov, od katerih je vsak dobljen z odsekanjem ravnine, ki poteka skozi središča robov, ki imajo skupno oglišče:
Ugotovimo, kaj enako glasnosti rezan tetraeder.
Upoštevajte, da sta izvirni tetraeder in "odrezani" tetraeder podobni telesi. Znano je, da razmerje volumnov podobna telesa je enako k 3, kjer je k koeficient podobnosti. IN v tem primeru enaka je 2 (ker so vse linearne mere prvotnega tetraedra dvakrat večje od ustreznih dimenzij izrezanega):
Izračunajmo prostornino izrezanega tetraedra:
Tako bo zahtevana prostornina enaka:
Odgovor: 100
Površina tetraedra je 120. Poiščite površino poliedra, katerega oglišča so razpolovišča robov danega tetraedra.
Prvi način:
Zahtevana površina je sestavljena iz 8 enakostraničnih trikotnikov s stranico, ki je polovica velikosti roba prvotnega tetraedra. Površina prvotnega tetraedra je sestavljena iz 16 takih trikotnikov (na vsaki od 4 ploskev tetraedra so 4 trikotniki), zato je zahtevana površina enaka polovici površine danega tetraedra in je enaka 60.
Drugi način:
Ker je površina tetraedra znana, lahko poiščemo njegov rob, nato določimo dolžino roba poliedra in nato izračunamo njegovo površino.
Površina tetraedra je sestavljena iz štirih enakih površin pravilni trikotniki. Naj bo stranica takega trikotnika (rob tetraedra) enaka a, potem lahko zapišemo:
To je vse. Vso srečo!
S spoštovanjem, Alexander Krutitskikh.
P.S: Hvaležen bi bil, če bi mi povedali o spletnem mestu na družbenih omrežjih.
