Premica y = f(x) bo tangentna na graf, prikazan na sliki, v točki x0, pod pogojem, da poteka skozi to točko s koordinatami (x0; f(x0)) in ima naklon f"(x0). Iskanje tega koeficienta ob upoštevanju značilnosti tangente ni težko.
Boste potrebovali
- - matematični priročnik;
- - zvezek;
- - preprost svinčnik;
- - pero;
- - kotomer;
- - kompas.
Navodila
- Upoštevajte, da se graf diferenciabilne funkcije f(x) v točki x0 ne razlikuje od tangentnega segmenta. Zato je precej blizu segmentu l, ki poteka skozi točki (x0; f(x0)) in (x0+Δx; f(x0 + Δx)). Če želite določiti premico, ki poteka skozi točko A s koeficienti (x0; f(x0)), določite njen naklon. Poleg tega je enak tangensu sekanse Δy/Δx (Δх→0), teži pa tudi k številu f‘(x0).
- Če ni vrednosti za f‘(x0), potem morda ni tangente ali pa morda teče navpično. Na podlagi tega je prisotnost odvoda funkcije v točki x0 pojasnjena z obstojem nenavpične tangente, ki je v stiku z grafom funkcije v točki (x0, f(x0)). IN v tem primeru kotni koeficient tangente je enak f"(x0). Postane jasno geometrijski pomen odvod, to je izračun naklona tangente.
- To pomeni, da bi našli naklon tangente, morate najti vrednost odvoda funkcije v točki tangente. Primer: poiščite kotni koeficient tangente na graf funkcije y = x³ v točki z absciso X0 = 1. Rešitev: Poiščite odvod te funkcije y΄(x) = 3x²; poiščite vrednost odvoda v točki X0 = 1. у΄(1) = 3 × 1² = 3. Kotni koeficient tangente v točki X0 = 1 je 3.
- Na sliki nariši dodatne tangente, tako da se bodo dotikale grafa funkcije v točkah: x1, x2 in x3. Kote, ki jih te tangente tvorijo, označimo z abscisno osjo (kot se šteje v pozitivni smeri - od osi do tangente). Na primer, prvi kot α1 bo oster, drugi (α2) bo top, tretji (α3) pa bo enak nič, saj je narisana tangenta vzporedna z osjo OX. V tem primeru tangenta tupi kot Tukaj je negativen pomen, in tangenta ostri kot– pozitivno, pri tg0 in rezultat je nič.
Pojem tangente na graf funkcije že poznate. Graf funkcije f, ki jo je mogoče diferenciirati v točki x 0 blizu x 0, se praktično ne razlikuje od tangentnega segmenta, kar pomeni, da je blizu sekante l, ki poteka skozi točke (x 0 ; f (x 0)) in ( x 0 +Δx; f ( x 0 + Δx)). Katera koli od teh sekant poteka skozi točko A (x 0 ; f (x 0)) grafa (slika 1). Da bi enolično določili črto, ki poteka skozi dano točko A, je dovolj, da navedemo njen naklon. Kotni koeficient Δy/Δx sekante pri Δх→0 teži k številu f ‘(x 0) (vzeli ga bomo kot kotni koeficient tangente) Pravijo, da tangenta je mejni položaj sekante pri Δх→0.
Če f'(x 0) ne obstaja, potem tangenta ne obstaja (kot funkcija y = |x| v točki (0; 0), glej sliko) ali pa je navpična (kot graf funkcije pri točka (0 ; 0), slika 2).
Torej je obstoj odvoda funkcije f v točki xo enakovreden obstoju (nenavpične) tangente v točki (x 0, f (x 0)) grafa, medtem ko tangentni naklon je enako f" (x 0). To je geometrijski pomen izpeljanke
Tangenta na graf funkcije f, diferencibilne v točki xo, je premica, ki poteka skozi točko (x 0 ; f (x 0)) in ima kotni koeficient f ‘(x 0).
Na graf funkcije f narišimo tangente v točkah x 1, x 2, x 3 (slika 3) in zabeležimo kote, ki jih tvorijo z abscisno osjo. (To je kot, merjen v pozitivni smeri od pozitivne smeri osi do premice.) Vidimo, da je kot α 1 oster, kot α 3 top in kot α 2 enak nič, saj je premica l vzporedno z osjo Ox. Tangens ostrega kota je pozitiven, tangens topega kota je negativen, tan 0 = 0. Torej
F"(x 1)>0, f'(x 2)=0, f'(x 3)
Konstruiranje tangent na posameznih točkah vam omogoča natančnejše skiciranje grafov. Torej, na primer, da bi zgradili skico grafa sinusne funkcije, najprej ugotovimo, da v točkah 0; π/2 in π odvod sinusa je enak 1; 0 oziroma -1. Konstruirajmo ravne črte, ki potekajo skozi točke (0; 0), (π/2,1) in (π, 0) s kotnimi koeficienti 1, 0 oziroma -1 (slika 4). nastali trapez, ki ga tvorijo te premice in premica Ox, graf sinusa, tako da se za x enak 0, π/2 in π dotika ustreznih premic.
Upoštevajte, da se graf sinusa v bližini ničle praktično ne razlikuje od ravne črte y = x. Naj bodo na primer lestvice vzdolž osi izbrane tako, da enota ustreza segmentu 1 cm. Imamo sin 0,5 ≈ 0,479425, tj. |sin 0,5 - 0,5| ≈ 0,02, kar na izbranem merilu ustreza segmentu dolžine 0,2 mm. Zato bo graf funkcije y = sin x v intervalu (-0,5; 0,5) odstopal (v navpični smeri) od premice y = x za največ 0,2 mm, kar približno ustreza debelini potegnjena črta.
Tangenta je ravna črta , ki se dotika grafa funkcije v eni točki in katere vse točke so od grafa funkcije najmanj oddaljene. Zato tangenta prehaja tangentno na graf funkcije pod določenim kotom in več tangent ne more potekati skozi točko dotika pri različne kote. Tangentne enačbe in normalne enačbe na graf funkcije so sestavljene z uporabo odvoda.
Tangentna enačba izhaja iz enačbe premice .
Izpeljimo enačbo tangente, nato pa še enačbo normale na graf funkcije.
l = kx + b .
V njem k- kotni koeficient.
Od tu dobimo naslednji vnos:
l - l 0 = k(x - x 0 ) .
Izpeljana vrednost f "(x 0 ) funkcije l = f(x) na točki x0 enaka naklonu k= tg φ tangenta na graf funkcije, narisan skozi točko M0 (x 0 , l 0 ) , Kje l0 = f(x 0 ) . To je geometrijski pomen izpeljanke .
Tako lahko zamenjamo k na f "(x 0 ) in dobite naslednje enačba tangente na graf funkcije :
l - l 0 = f "(x 0 )(x - x 0 ) .
Pri težavah, ki vključujejo sestavljanje enačbe tangente na graf funkcije (kmalu bomo prešli nanje), je treba enačbo, dobljeno iz zgornje formule, zmanjšati na enačba premice v splošni obliki. Če želite to narediti, morate vse črke in številke prenesti na leva stran enačbo in pustite ničlo na desni strani.
Zdaj o normalni enačbi. normalno - to je ravna črta, ki poteka skozi točko tangente na graf funkcije, pravokotno na tangento. Normalna enačba :
(x - x 0 ) + f "(x 0 )(l - l 0 ) = 0
Za ogrevanje vas prosimo, da sami rešite prvi primer in nato pogledate rešitev. Z vsemi razlogi lahko upamo, da ta naloga za naše bralce ne bo "hladen tuš".
Primer 0. Sestavite tangentno enačbo in normalno enačbo za graf funkcije v točki M (1, 1) .
Primer 1. Zapišite enačbo tangente in enačbo normale na graf funkcije 
, če je abscisa tangenta .
Poiščimo odvod funkcije:
Zdaj imamo vse, kar je treba nadomestiti z vnosom v teoretični pomoči, da dobimo enačbo tangente. Dobimo
V tem primeru smo imeli srečo: naklon se je izkazal za enako nič, zato enačbe ni bilo treba ločeno spraviti v splošno obliko. Zdaj lahko ustvarimo normalno enačbo:
Na spodnji sliki: graf funkcije v bordo barvi, tangenta Zelena barva, oranžna normalna.
Naslednji primer prav tako ni zapleten: funkcija je, tako kot v prejšnjem, tudi polinom, vendar naklon ne bo enak nič, zato bo dodan še en korak - enačba se spravi v splošno obliko.
Primer 2.
rešitev. Poiščimo ordinato tangentne točke:
Poiščimo odvod funkcije:
.
Poiščimo vrednost odvoda v točki tangente, to je naklon tangente:
Vse dobljene podatke nadomestimo v "prazno formulo" in dobimo tangentno enačbo:
Enačbo spravimo v splošno obliko (na levi strani zberemo vse črke in številke, razen nič, na desni pa pustimo nič):
Sestavimo normalno enačbo:
Primer 3. Zapišite enačbo tangente in enačbo normale na graf funkcije, če je abscisa tangentna točka.
rešitev. Poiščimo ordinato tangentne točke:
Poiščimo odvod funkcije:
.
Poiščimo vrednost odvoda v točki tangente, to je naklon tangente:
.
Najdemo tangentno enačbo:
Preden enačbo spravite v splošno obliko, jo morate malo "prečesati": člen za členom pomnožite s 4. To naredimo in enačbo spravimo v splošno obliko:
Sestavimo normalno enačbo:
Primer 4. Zapišite enačbo tangente in enačbo normale na graf funkcije, če je abscisa tangentna točka.
rešitev. Poiščimo ordinato tangentne točke:
.
Poiščimo odvod funkcije:
Poiščimo vrednost odvoda v točki tangente, to je naklon tangente:
.
Dobimo tangentno enačbo:
Enačbo pripeljemo v splošno obliko:
Sestavimo normalno enačbo:
Pogosta napaka pri pisanju tangentnih in normalnih enačb je, da ne opazimo, da je funkcija, podana v primeru, kompleksna, in izračunamo njen odvod kot odvod preproste funkcije. Naslednji primeri- že od takrat kompleksne funkcije(ustrezna lekcija se odpre v novem oknu).
Primer 5. Zapišite enačbo tangente in enačbo normale na graf funkcije, če je abscisa tangentna točka.
rešitev. Poiščimo ordinato tangentne točke:
Pozor! Ta funkcija- zapleteno, saj argument tangente (2 x) je sama funkcija. Zato najdemo odvod funkcije kot odvod kompleksne funkcije.
V matematiki je eden od parametrov, ki opisuje položaj premice na kartezična ravnina koordinate je naklon te črte. Ta parameter označuje naklon ravne črte do osi abscise. Da bi razumeli, kako najti naklon, se najprej spomnite splošne oblike enačbe ravne črte v koordinatnem sistemu XY.
IN splošni pogled vsako ravno črto lahko predstavimo z izrazom ax+by=c, kjer so a, b in c poljubni realna števila, vendar je nujno a 2 + b 2 ≠ 0.
S preprostimi transformacijami lahko tako enačbo privedemo do oblike y=kx+d, v kateri sta k in d realni števili. Število k je naklon in enačba premice te vrste se imenuje enačba z naklonom. Izkazalo se je, da morate za iskanje kotnega koeficienta samo prinesti izvirna enačba na zgornjo vrsto. Za popolnejše razumevanje razmislite o konkretnem primeru:
Težava: Poiščite naklon premice, podane z enačbo 36x - 18y = 108
Rešitev: Transformirajmo prvotno enačbo.
Odgovor: zahtevani naklon te premice je 2.
Če smo med transformacijo enačbe dobili izraz kot je x = const in posledično ne moremo predstaviti y kot funkcije x, potem imamo opravka z ravno črto, vzporedno z osjo X. Kotni koeficient takega ravna črta je enaka neskončnosti.
Za črte, izražene z enačbo, kot je y = const, je naklon enak nič. To je značilno za ravne črte, vzporedne z osjo abscise. Na primer:
Težava: Poiščite naklon premice, podane z enačbo 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4
Rešitev: Pripravimo prvotno enačbo v splošno obliko
24x + 12y - 12y + 28 = 4
Iz dobljenega izraza ni mogoče izraziti y, zato je kotni koeficient te črte enak neskončnosti, sama črta pa bo vzporedna z osjo Y.
Geometrijski pomen
Za boljše razumevanje poglejmo sliko:
Na sliki vidimo graf funkcije, kot je y = kx. Za poenostavitev vzemimo koeficient c = 0. V trikotniku OAB bo razmerje stranice BA proti AO enako kotnemu koeficientu k. Hkrati je razmerje VA/AO tangens ostrega kota α in pravokotni trikotnik OAV. Izkaže se, da je kotni koeficient premice enak tangensu kota, ki ga ta premica sklepa z abscisno osjo koordinatne mreže.
Pri reševanju problema, kako najti kotni koeficient ravne črte, najdemo tangens kota med njim in osjo X koordinatne mreže. Mejni primeri, ko je obravnavana premica vzporedna s koordinatnimi osemi, potrjujejo navedeno. Za premico, ki jo opisuje enačba y=const, je kot med njo in abscisno osjo enak nič. Tangens ničelnega kota je prav tako enak nič in tudi naklon je enak nič.
Za premice, ki so pravokotne na abscisno os in so opisane z enačbo x=const, je kot med njimi in X osjo 90 stopinj. Tangenta pravi kot enaka neskončnosti, kotni koeficient podobnih premic pa je prav tako enak neskončnosti, kar potrjuje zgoraj napisano.
Tangentni nagib
Pogosta naloga, ki jo pogosto srečamo v praksi, je tudi iskanje naklona tangente na graf funkcije v določeni točki. Tangenta je ravna črta, zato je koncept naklona uporaben tudi zanjo.
Da bi ugotovili, kako najti naklon tangente, se bomo morali spomniti koncepta odvoda. Odvod katere koli funkcije na neki točki je numerično konstanta enaka tangenti kot med tangento v določeni točki na graf te funkcije in abscisno osjo. Izkazalo se je, da moramo za določitev kotnega koeficienta tangente v točki x 0 izračunati vrednost odvoda prvotne funkcije v tej točki k = f"(x 0). Poglejmo primer:
Naloga: Poiščite naklon premice, tangente na funkcijo y = 12x 2 + 2xe x pri x = 0,1.
Rešitev: Poiščite odvod prvotne funkcije v splošni obliki
y"(0,1) = 24. 0,1 + 2. 0,1. e 0,1 + 2. e 0,1
Odgovor: Zahtevani naklon v točki x = 0,1 je 4,831
Naj bo podana funkcija f, ki ima v neki točki x 0 končni odvod f (x 0). Potem se ravna črta, ki poteka skozi točko (x 0 ; f (x 0)) in ima kotni koeficient f ’(x 0), imenuje tangenta.
Kaj se zgodi, če odvod ne obstaja v točki x 0? Obstajata dve možnosti:
- Tudi tangente na graf ni. Klasičen primer- funkcija y = |x | v točki (0; 0).
- Tangenta postane navpična. To velja na primer za funkcijo y = arcsin x v točki (1; π /2).
Tangentna enačba
Vsaka nenavpična ravna črta je podana z enačbo v obliki y = kx + b, kjer je k naklon. Tangenta ni nobena izjema in da bi sestavili njeno enačbo v neki točki x 0, je dovolj poznati vrednost funkcije in odvod v tej točki.
Torej, naj bo dana funkcija y = f (x), ki ima odvod y = f ’(x) na segmentu. Potem lahko v kateri koli točki x 0 ∈ (a; b) na graf te funkcije potegnemo tangento, ki je podana z enačbo:
y = f ’(x 0) (x − x 0) + f (x 0)
Tu je f ’(x 0) vrednost odvoda v točki x 0, f (x 0) pa vrednost same funkcije.
Naloga. Dana je funkcija y = x 3 . Zapišite enačbo za tangento na graf te funkcije v točki x 0 = 2.
Tangentna enačba: y = f ’(x 0) · (x − x 0) + f (x 0). Točka x 0 = 2 nam je dana, vendar bo treba izračunati vrednosti f (x 0) in f ’(x 0).
Najprej poiščimo vrednost funkcije. Tukaj je vse enostavno: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Zdaj pa poiščimo odvod: f ’(x) = (x 3)’ = 3x 2;
V odvod zamenjamo x 0 = 2: f ’(x 0) = f ’(2) = 3 2 2 = 12;
Skupaj dobimo: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
To je tangentna enačba.
Naloga. Zapišite enačbo za tangento na graf funkcije f (x) = 2sin x + 5 v točki x 0 = π /2.
Tokrat ne bomo podrobno opisovali vsakega dejanja - navedli bomo le ključne korake. Imamo:
f (x 0) = f (π /2) = 2sin (π /2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f ’(x) = (2sin x + 5)’ = 2cos x;
f '(x 0) = f '(π /2) = 2cos (π /2) = 0;
Tangentna enačba:
y = 0 · (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7
IN zadnji primer ravna črta se je izkazala za vodoravno, ker njegov kotni koeficient k = 0. S tem ni nič narobe - le naleteli smo na ekstremno točko.
