in 3 = - 1/8 itd.
Obstaja celo zaporedje, sestavljeno iz iste številke. Torej je n = 6 sestavljeno iz neskončnega števila šestic.
Določanje meje zaporedja
Omejitve zaporedja že dolgo obstajajo v matematiki. Seveda si zaslužijo svoj kompetenten dizajn. Torej, čas je, da se naučite definicije omejitev zaporedja. Najprej si podrobno oglejmo mejo za linearno funkcijo:
- Vse omejitve so okrajšane kot lim.
- Zapis limite je sestavljen iz okrajšave lim, vsake spremenljivke, ki teži k določenemu številu, ničli ali neskončnosti, pa tudi same funkcije.
Lahko je razumeti, da je definicijo meje zaporedja mogoče formulirati na naslednji način: to je določeno število, ki se mu vsi člani zaporedja neskončno približujejo. Preprost primer: a x = 4x+1. Potem bo samo zaporedje videti takole.
5, 9, 13, 17, 21…x…
Tako bo to zaporedje naraščalo v nedogled, kar pomeni, da je njegova meja enaka neskončnosti pri x→∞, zapisati pa ga je treba takole:
Če vzamemo podobno zaporedje, vendar se x nagiba k 1, dobimo:
In niz številk bo takšen: 1,4, 1,8, 4,6, 4,944 itd. Vsakič, ko morate številko zamenjati bližje eni (0,1, 0,2, 0,9, 0,986). Iz te serije je razvidno, da je limita funkcije pet.
Iz tega dela si velja zapomniti, kaj je meja številskega zaporedja, definicijo in način reševanja preprostih problemov.
Splošna oznaka za mejo zaporedij
Ko ste preučili mejo številskega zaporedja, njegovo definicijo in primere, lahko nadaljujete na bolj zapleteno temo. Absolutno vse meje zaporedij je mogoče oblikovati z eno formulo, ki se običajno analizira v prvem semestru.
Torej, kaj pomeni ta niz črk, modulov in znakov neenakosti?
∀ je univerzalni kvantifikator, ki nadomešča fraze »za vse«, »za vse« itd.
∃ je eksistencialni kvantifikator, v tem primeru pomeni, da obstaja neka vrednost N, ki pripada množici naravnih števil.
Dolga navpična palica za N pomeni, da je dana množica N "takšna, da." V praksi lahko pomeni "tako to", "tako to" itd.
Za utrjevanje snovi preberite formulo na glas.
Negotovost in gotovost meje
Metoda iskanja meje zaporedij, o kateri smo govorili zgoraj, čeprav je enostavna za uporabo, v praksi ni tako racionalna. Poskusite najti omejitev za to funkcijo:
Če nadomestimo različne vrednosti "x" (vsakič povečamo: 10, 100, 1000 itd.), potem dobimo ∞ v števcu, a tudi ∞ v imenovalcu. Posledica tega je precej nenavaden ulomek:
Toda ali je res tako? Izračun meje številskega zaporedja se v tem primeru zdi precej enostaven. Vse bi bilo mogoče pustiti tako, kot je, ker je odgovor pripravljen in je bil prejet pod razumnimi pogoji, vendar obstaja še en način posebej za takšne primere.
Najprej poiščimo najvišjo stopnjo v števcu ulomka - to je 1, saj lahko x predstavimo kot x 1.
Zdaj pa poiščimo najvišjo stopnjo v imenovalcu. Tudi 1.
Tako števec kot imenovalec delimo s spremenljivko na najvišjo stopnjo. V tem primeru delite ulomek z x 1.
Nato bomo ugotovili, h kateri vrednosti teži vsak izraz, ki vsebuje spremenljivko. V tem primeru se upoštevajo ulomki. Ko je x→∞, se vrednost vsakega ulomka nagiba k ničli. Ko pisno oddate svoje delo, naredite naslednje opombe:
Posledica tega je naslednji izraz:
Seveda ulomki, ki vsebujejo x, niso postali ničle! Toda njihova vrednost je tako majhna, da je povsem dopustno, da je ne upoštevamo pri izračunih. Pravzaprav x v tem primeru nikoli ne bo enak 0, ker ne morete deliti z nič.
Kaj je soseska?
Recimo, da ima profesor na razpolago kompleksno zaporedje, ki je očitno podano s prav tako kompleksno formulo. Profesor je našel odgovor, ampak ali je pravilen? Navsezadnje vsi ljudje delamo napake.
Auguste Cauchy se je nekoč domislil odličnega načina za dokazovanje meja zaporedij. Njegova metoda se je imenovala sosedska manipulacija.
Recimo, da obstaja določena točka a, njena soseska v obeh smereh na številski premici je enaka ε ("epsilon"). Ker je zadnja spremenljivka razdalja, je njena vrednost vedno pozitivna.
Sedaj pa definirajmo neko zaporedje x n in predpostavimo, da je deseti člen zaporedja (x 10) vključen v okolico a. Kako lahko to dejstvo zapišemo v matematični jezik?
Recimo, da je x 10 desno od točke a, potem je razdalja x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε.
Zdaj je čas, da v praksi razložimo zgoraj omenjeno formulo. Pravično je, da določeno število imenujemo končna točka zaporedja, če je za katero koli njegovo mejo izpolnjena neenakost ε>0 in ima celotna soseska svoje naravno število N, tako da so vsi člani zaporedja z višjimi številkami bo znotraj zaporedja |x n - a|< ε.
S takim znanjem je enostavno rešiti meje zaporedja, dokazati ali ovreči že pripravljen odgovor.
Izreki
Izreki o limitih zaporedij so pomembna sestavina teorije, brez katere praksa ni mogoča. Obstajajo le štirje glavni izreki, če si jih zapomnite, lahko olajšate rešitev ali dokaz:
- Edinstvenost limita zaporedja. Vsako zaporedje ima lahko samo eno omejitev ali pa nobene. Isti primer s čakalno vrsto, ki ima lahko samo en konec.
- Če ima niz števil omejitev, je zaporedje teh števil omejeno.
- Limita vsote (razlike, produkta) zaporedij je enaka vsoti (razliki, produktu) njihovih limitov.
- Limita kvocienta deljenja dveh zaporedij je enaka kvocientu limitov takrat in samo, če imenovalec ne izniči.
Dokaz zaporedij
Včasih morate rešiti obratni problem, da dokažete dano mejo številskega zaporedja. Poglejmo si primer.
Dokažite, da je limita zaporedja, podanega s formulo, nič.
V skladu z zgoraj obravnavanim pravilom za vsako zaporedje velja neenakost |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:
Izrazimo n skozi "epsilon", da pokažemo obstoj določenega števila in dokažemo prisotnost meje zaporedja.
Na tej točki si je pomembno zapomniti, da sta "epsilon" in "en" pozitivni števili in nista enaki nič. Sedaj je mogoče nadaljevati z nadaljnjimi transformacijami z uporabo znanja o neenakostih, pridobljenega v srednji šoli.
Kako se izkaže, da je n > -3 + 1/ε. Ker velja spomniti, da govorimo o naravnih številih, lahko rezultat zaokrožimo tako, da ga damo v oglate oklepaje. Tako je bilo dokazano, da je za vsako vrednost »epsilon« okolice točke a = 0 najdena taka vrednost, da je začetna neenakost izpolnjena. Od tod lahko mirno rečemo, da je število a meja danega zaporedja. Q.E.D.
To priročno metodo je mogoče uporabiti za dokazovanje meje številskega zaporedja, ne glede na to, kako zapleteno je na prvi pogled. Glavna stvar je, da ne paničite, ko vidite nalogo.
Ali pa ga morda ni?
Obstoj meje skladnosti v praksi ni potreben. Z lahkoto lahko naletite na nize številk, ki jim res ni konca. Na primer, ista "utripajoča luč" x n = (-1) n. očitno je, da zaporedje, sestavljeno samo iz dveh števk, ki se ciklično ponavljata, ne more imeti omejitve.
Ista zgodba se ponavlja z zaporedji, sestavljenimi iz enega števila, ulomkov, ki imajo med izračuni negotovost poljubnega reda (0/0, ∞/∞, ∞/0 itd.). Vendar ne smemo pozabiti, da pride tudi do napačnih izračunov. Včasih vam bo dvakratno preverjanje lastne rešitve pomagalo najti mejo zaporedja.
Monotono zaporedje
Zgoraj je bilo obravnavanih več primerov zaporedij in metod za njihovo reševanje, zdaj pa poskusimo vzeti bolj specifičen primer in ga poimenovati "monotono zaporedje".
Definicija: vsako zaporedje lahko upravičeno imenujemo monotono naraščajoče, če zanj velja stroga neenakost x n< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1.
Poleg teh dveh pogojev obstajajo tudi podobne nestroge neenakosti. V skladu s tem je x n ≤ x n +1 (nepadajoče zaporedje) in x n ≥ x n +1 (nenaraščujoče zaporedje).
Vendar je to lažje razumeti s primeri.
Zaporedje, podano s formulo x n = 2+n, tvori naslednjo vrsto števil: 4, 5, 6 itd. To je monotono naraščajoče zaporedje.
In če vzamemo x n =1/n, dobimo vrsto: 1/3, ¼, 1/5 itd. To je monotono padajoče zaporedje.
Limita konvergentnega in omejenega zaporedja
Omejeno zaporedje je zaporedje, ki ima mejo. Konvergentno zaporedje je niz števil, ki ima infinitezimalno mejo.
Tako je meja omejenega zaporedja vsako realno ali kompleksno število. Ne pozabite, da je lahko samo ena omejitev.
Limita konvergentnega zaporedja je infinitezimalna (realna ali kompleksna) količina. Če narišete diagram zaporedja, se bo na določeni točki zdelo, da konvergira, teži k temu, da se spremeni v določeno vrednost. Od tod tudi ime - konvergentno zaporedje.
Meja monotonega zaporedja
Za takšno zaporedje lahko obstaja omejitev ali pa ne. Prvič, koristno je razumeti, kdaj obstaja; tukaj lahko začnete pri dokazovanju odsotnosti meje.
Med monotonimi zaporedji ločimo konvergentna in divergentna. Konvergentno je zaporedje, ki ga tvori množica x in ima v tej množici realno ali kompleksno mejo. Divergentno je zaporedje, ki nima omejitve v svojem nizu (niti realnega niti kompleksnega).
Poleg tega zaporedje konvergira, če se v geometrijski predstavitvi konvergirata njegova zgornja in spodnja meja.
Meja konvergentnega zaporedja je lahko v mnogih primerih enaka nič, saj ima vsako infinitezimalno zaporedje znano mejo (nič).
Ne glede na to, katero konvergentno zaporedje vzamete, so vsa omejena, vendar vsa omejena zaporedja ne konvergirajo.
Vsota, razlika, produkt dveh konvergentnih zaporedij je tudi konvergentno zaporedje. Kvocient pa je lahko tudi konvergenten, če je definiran!
Različne akcije z omejitvami
Omejitve zaporedja so tako pomembne (v večini primerov) kot števke in številke: 1, 2, 15, 24, 362 itd. Izkazalo se je, da je mogoče nekatere operacije izvajati z omejitvami.
Prvič, tako kot števke in številke je mogoče meje katerega koli zaporedja seštevati in odštevati. Na podlagi tretjega izreka o limitih zaporedij velja enakost: limita vsote zaporedij je enaka vsoti njihovih limitov.
Drugič, na podlagi četrtega izreka o limitih zaporedij velja naslednja enakost: limita produkta n-tega števila zaporedij je enaka produktu njihovih limitov. Enako velja za deljenje: limita količnika dveh zaporedij je enaka kvocientu njunih limitov, če limita ni nič. Konec koncev, če je meja zaporedij enaka nič, bo rezultat deljenje z nič, kar je nemogoče.
Lastnosti zaporednih količin
Zdi se, da je bila meja številskega zaporedja že podrobno obravnavana, vendar so fraze, kot so "neskončno majhna" in "neskončno velika" števila, omenjene večkrat. Očitno je, da če obstaja zaporedje 1/x, kjer je x→∞, potem je tak ulomek neskončno majhen, in če isto zaporedje, vendar meja teži k nič (x→0), potem ulomek postane neskončno velika vrednost. In takšne količine imajo svoje značilnosti. Lastnosti meje zaporedja, ki ima poljubne majhne ali velike vrednosti, so naslednje:
- Tudi vsota poljubnega števila poljubnega števila majhnih količin bo majhna količina.
- Vsota poljubnega števila velikih količin bo neskončno velika količina.
- Produkt poljubno majhnih količin je neskončno majhen.
- Produkt poljubnega števila velikih števil je neskončno velik.
- Če izvirno zaporedje teži k neskončno velikemu številu, bo njegov inverz neskončno majhen in teži k ničli.
Pravzaprav izračun meje zaporedja ni tako težka naloga, če poznate preprost algoritem. Toda meje doslednosti so tema, ki zahteva maksimalno pozornost in vztrajnost. Seveda je dovolj, da preprosto dojamemo bistvo rešitve takih izrazov. Če začnete z majhnimi, lahko sčasoma dosežete velike višine.
Za marsikoga je matematična analiza le skupek nerazumljivih številk, simbolov in definicij, daleč od resničnega življenja. Vendar pa je svet, v katerem obstajamo, zgrajen na numeričnih vzorcih, katerih prepoznavanje pomaga ne le pri razumevanju sveta okoli nas in reševanju njegovih zapletenih problemov, temveč tudi pri poenostavitvi vsakdanjih praktičnih problemov. Kaj misli matematik, ko pravi, da številsko zaporedje konvergira? O tem bi morali govoriti podrobneje.
majhen?
Predstavljajmo si gnezdeče lutke, ki se prilegajo ena v drugo. Njihove velikosti, zapisane v obliki številk, ki se začnejo z največjimi in končajo z najmanjšimi, tvorijo zaporedje. Če si zamislite neskončno število takšnih svetlih številk, se bo nastala vrsta izkazala za fantastično dolgo. To je konvergentno številsko zaporedje. In teži k ničli, saj se velikost vsake naslednje lutke za gnezdenje, ki se katastrofalno zmanjšuje, postopoma spremeni v nič. Tako je enostavno razložiti, kaj je infinitezimalno.
Podoben primer bi bila cesta, ki gre v daljavo. In vizualne dimenzije avtomobila, ki se odpelje stran od opazovalca vzdolž njega, se postopoma krčijo in se spremenijo v brezoblično piko, ki spominja na konico. Tako postane avto kot nek predmet, ki se oddaljuje v neznano smer, neskončno majhen. Parametri določenega telesa nikoli ne bodo enaki nič v dobesednem pomenu besede, ampak se v končni meji vedno nagibajo k tej vrednosti. Zato to zaporedje spet konvergira k ničli.
Preračunajmo vse po kapljicah
Predstavljajmo si zdaj vsakodnevno situacijo. Zdravnik je bolniku predpisal jemanje mešanice, začenši z desetimi kapljicami na dan in vsak naslednji dan dodal dve kapljici. In zato je zdravnik predlagal nadaljevanje, dokler vsebina stekleničke zdravila, katere prostornina je 190 kapljic, ne izgine. Iz zgoraj navedenega sledi, da bo število takšnih, navedenih po dnevih, naslednja številska serija: 10, 12, 14 itd.
Kako ugotoviti čas za dokončanje celotnega tečaja in število članov zaporedja? Tukaj seveda lahko štejete kapljice na primitiven način. Toda ob upoštevanju vzorca je veliko lažje uporabiti formulo s korakom d = 2. In s to metodo ugotovite, da je število članov številske serije 10. Poleg tega je 10 = 28. Številka člana označuje število dni jemanja zdravila, 28 pa število kapljic, ki naj bi jih bolnik vzel zadnji dan. Ali to zaporedje konvergira? Ne, ker kljub dejstvu, da je na dnu omejena s številko 10 in na vrhu - 28, takšna serija številk nima omejitev, za razliko od prejšnjih primerov.
Kakšna je razlika?
Poskusimo zdaj razjasniti: kdaj se številska vrsta izkaže za konvergentno zaporedje. Takšna definicija, kot je mogoče sklepati iz zgoraj navedenega, je neposredno povezana s konceptom končne meje, katere prisotnost razkriva bistvo vprašanja. Kakšna je torej temeljna razlika med prej navedenima primeroma? In zakaj v zadnjem izmed njih števila 28 ne moremo šteti za mejo številske serije X n = 10 + 2(n-1)?
Da bi razjasnili to vprašanje, razmislite o drugem zaporedju, podanem s spodnjo formulo, kjer n pripada množici naravnih števil.
Ta skupnost članov je množica navadnih ulomkov, katerih števec je 1, imenovalec pa nenehno narašča: 1, ½ ...
Poleg tega je vsak nadaljnji predstavnik tega niza vedno bližje 0 na številski premici. To pomeni, da se pojavi soseska, kjer se točke združujejo okoli ničle, kar je meja. In bližje kot so ji, gostejša postaja njihova koncentracija na številski premici. In razdalja med njimi se katastrofalno zmanjša in postane neskončno majhna. To je znak, da je zaporedje konvergentno.
Na enak način so raznobarvni pravokotniki, upodobljeni na sliki, ko so odstranjeni v prostoru, vizualno urejeni tesneje skupaj, v hipotetični meji pa se spremenijo v zanemarljive.
Neskončno velika zaporedja
Ko smo preučili definicijo konvergentnega zaporedja, pojdimo zdaj k protiprimerom. Mnogi od njih so bili človeku znani že od antičnih časov. Najenostavnejše različice divergentnih zaporedij so vrste naravnih in sodih števil. Imenujejo jih sicer neskončno veliki, saj se njihovi člani, ki se nenehno povečujejo, vse bolj približujejo pozitivni neskončnosti.
Primeri tega so lahko tudi katera koli aritmetična in geometrijska progresija s korakom oziroma imenovalcem, ki je večji od nič. Divergentna zaporedja se štejejo tudi za numerične serije, ki sploh nimajo omejitev. Na primer, X n = (-2) n -1 .
Fibonaccijevo zaporedje
Praktične koristi prej omenjenih številskih nizov za človeštvo so nesporne. Obstaja pa še veliko drugih čudovitih primerov. Eden od njih je Fibonaccijevo zaporedje. Vsak njen člen, ki se začne z ena, je vsota prejšnjih. Njena prva dva predstavnika sta 1 in 1. Tretji je 1+1=2, četrti je 1+2=3, peti je 2+3=5. Nadalje po isti logiki sledite številkam 8, 13, 21 in tako naprej.
Ta niz števil neomejeno narašča in nima končne omejitve. Ima pa še eno čudovito lastnost. Razmerje med vsakim predhodnim številom in naslednjim se v svoji vrednosti vse bolj približuje 0,618 Tukaj lahko razumete razliko med konvergentnim in divergentnim zaporedjem, saj bo imel navedeni numerični sistem, če sestavite niz količnikov, dobljenih iz deljenja. končna meja je enaka 0,618.
Zaporedje Fibonaccijevih razmerij
Zgornja numerična serija se pogosto uporablja v praktične namene za tehnično analizo trgov. A to ne omejuje njegovih zmožnosti, ki so jih Egipčani in Grki poznali in znali udejanjiti že v starih časih. To dokazujejo piramide in Partenon, ki so jih zgradili. Navsezadnje je število 0,618 konstanten koeficient zlatega reza, dobro znan v starih časih. V skladu s tem pravilom lahko poljuben poljuben segment razdelimo tako, da bo razmerje med njegovimi deli sovpadalo z razmerjem med največjim od segmentov in celotno dolžino.
Zgradimo niz teh odnosov in poskusimo analizirati to zaporedje. Številčne serije bodo naslednje: 1; 0,5; 0,67; 0,6; 0,625; 0,615; 0,619 in tako naprej. Če nadaljujemo na ta način, lahko preverimo, da bo meja konvergentnega zaporedja res 0,618. Vendar je treba opozoriti na druge lastnosti tega vzorca. Tukaj se zdi, da številke niso v vrstnem redu in sploh niso v naraščajočem ali padajočem vrstnem redu. To pomeni, da to konvergentno zaporedje ni monotono. Zakaj je tako, bomo razpravljali še naprej.
Monotonost in omejenost
Člani številskega niza z naraščajočimi številkami se lahko jasno zmanjšajo (če je x 1 >x 2 >x 3 >…>x n >…) ali povečajo (če je x 1 
Ko zapišete številke te serije, lahko vidite, da noben njen član, ki se neomejeno približuje 1, ne bo nikoli presegel te vrednosti. V tem primeru pravimo, da je konvergentno zaporedje omejeno. To se zgodi vedno, ko obstaja pozitivno število M, ki se vedno izkaže za večje od katerega koli člena serije v modulu. Če ima številska serija znake monotonosti in ima mejo ter zato konvergira, potem je nujno obdarjena s to lastnostjo. Poleg tega ni nujno, da je ravno nasprotno. To dokazuje izrek o omejenosti konvergentnega zaporedja.
Uporaba takih opazovanj v praksi se je izkazala za zelo koristno. Navedimo konkreten primer, preučimo lastnosti zaporedja X n = n/n+1 in dokažimo njegovo konvergenco. Enostavno je pokazati, da je monotono, saj je (x n +1 - x n) pozitivno število za katero koli vrednost n. Limita zaporedja je enaka številu 1, kar pomeni, da so izpolnjeni vsi pogoji zgornjega izreka, imenovanega tudi Weierstrassov izrek. Izrek o omejenosti za konvergentno zaporedje pravi, da če ima mejo, je v vsakem primeru omejeno. Vendar pa navedimo naslednji primer. Številska vrsta X n = (-1) n je spodaj omejena s številom -1, zgoraj pa z 1. Vendar to zaporedje ni monotono, nima meje in zato ne konvergira. To pomeni, da omejenost ne pomeni vedno prisotnosti meje in konvergence. Da se to zgodi, morata spodnja in zgornja meja sovpadati, kot v primeru Fibonaccijevih razmerij.
Številke in zakoni vesolja
Najenostavnejši različici konvergentnega in divergentnega zaporedja sta morda številski seriji X n = n in X n = 1/n. Prvi med njimi je naravni niz števil. Je, kot že rečeno, neskončno velik. Drugo konvergentno zaporedje je omejeno in njegovi členi se približujejo infinitezimalni velikosti. Vsaka od teh formul pooseblja eno od strani večplastnega vesolja, ki človeku v jeziku številk in znakov pomaga predstavljati in izračunati nekaj nespoznavnega, nedostopnega omejenemu zaznavanju.
Zakoni vesolja, od nepomembnih do neverjetno velikih, so izraženi tudi z zlatim koeficientom 0,618. Znanstveniki verjamejo, da leži v jedru bistva stvari in da ga narava uporablja za oblikovanje svojih delov. Prej omenjena razmerja med naslednjimi in prejšnjimi člani Fibonaccijeve serije ne dopolnjujejo prikaza neverjetnih lastnosti te edinstvene serije. Če upoštevamo količnik deljenja prejšnjega člena z naslednjim ena za eno, dobimo vrsto 0,5; 0,33; 0,4; 0,375; 0,384; 0,380; 0,382 in tako naprej. Zanimivo je, da to omejeno zaporedje konvergira, ni monotono, ampak se razmerje sosednjih števil, skrajnih iz določenega člena, vedno izkaže približno enako 0,382, kar se lahko uporablja tudi v arhitekturi, tehnični analizi in drugih panogah.
Obstajajo še drugi zanimivi koeficienti Fibonaccijeve serije, vsi imajo posebno vlogo v naravi in jih ljudje uporabljajo tudi v praktične namene. Matematiki so prepričani, da se vesolje razvija po nekakšni "zlati spirali", ki je oblikovana iz navedenih koeficientov. Z njihovo pomočjo je mogoče izračunati številne pojave, ki se dogajajo na Zemlji in v vesolju, od rasti števila nekaterih bakterij do gibanja oddaljenih kometov. Kot se je izkazalo, je koda DNK podvržena podobnim zakonom.
Padajoča geometrijska progresija
Obstaja izrek, ki navaja edinstvenost limite konvergentnega zaporedja. To pomeni, da ne more imeti dveh ali več limitov, kar je nedvomno pomembno za iskanje njegovih matematičnih značilnosti.
Poglejmo nekaj primerov. Vsak niz števil, sestavljen iz članov aritmetične progresije, je divergenten, razen v primeru z ničelnim korakom. Enako velja za geometrijsko napredovanje, katerega imenovalec je večji od 1. Meje takih številskih nizov so »plus« ali »minus« neskončnosti. Če je imenovalec manjši od -1, potem omejitev sploh ni. Možne so tudi druge možnosti.
Oglejmo si številsko vrsto, podano s formulo X n = (1/4) n -1. Na prvi pogled je lahko razumeti, da je to konvergentno zaporedje omejeno, ker je strogo padajoče in nikakor ne more prevzeti negativnih vrednosti.
Zapišimo določeno število njenih članov v vrsto.
Dobiš: 1; 0,25; 0,0625; 0,015625; 0,00390625 in tako naprej. Povsem preprosti izračuni so dovolj, da razumemo, kako hitro se ta geometrijska progresija začne od imenovalcev 0 
Temeljna zaporedja
Augustin Louis Cauchy, francoski znanstvenik, je svetu pokazal številna dela, povezana z matematično analizo. Podal je definicije pojmov, kot so diferencial, integral, meja in kontinuiteta. Raziskoval je tudi osnovne lastnosti konvergentnih zaporedij. Da bi razumeli bistvo njegovih idej, je treba povzeti nekaj pomembnih podrobnosti.
Na samem začetku članka je bilo pokazano, da obstajajo taka zaporedja, za katera obstaja soseska, kjer se točke, ki predstavljajo člane določene serije na številski premici, začnejo zgrinjati in nizati vedno bolj na gosto. Hkrati se razdalja med njimi zmanjšuje, ko se število naslednjega predstavnika povečuje in se spremeni v neskončno majhno. Tako se izkaže, da je v dani soseščini združenih neskončno število predstavnikov dane serije, zunaj nje pa jih je končno število. Takšna zaporedja imenujemo temeljna.
Slavni Cauchyjev kriterij, ki ga je ustvaril francoski matematik, jasno kaže, da je prisotnost takšne lastnosti zadostna za dokaz, da zaporedje konvergira. Velja tudi obratno.
Opozoriti je treba, da je ta zaključek francoskega matematika večinoma povsem teoretičnega pomena. Njegova uporaba v praksi velja za precej težavno, zato je za določitev konvergence nizov veliko bolj pomembno dokazati obstoj končne meje zaporedja. V nasprotnem primeru se šteje za divergentno.
Pri reševanju nalog je treba upoštevati tudi osnovne lastnosti konvergentnih zaporedij. Predstavljeni so spodaj.
Neskončne količine
Znani starodavni znanstveniki, kot so Arhimed, Evklid, Evdoks, so uporabljali vsote neskončnih številskih nizov za izračun dolžin krivulj, volumnov teles in površin figur. Zlasti tako je bilo mogoče ugotoviti območje paraboličnega segmenta. V ta namen je bila uporabljena vsota številskih nizov geometrijske progresije s q = 1/4. Na podoben način so bile ugotovljene prostornine in ploščine drugih poljubnih likov. Ta možnost se je imenovala metoda "izčrpanja". Ideja je bila, da se preučevano telo kompleksne oblike razdeli na dele, ki predstavljajo figure z lahko merljivimi parametri. Zaradi tega ni bilo težko izračunati njihovih površin in prostornin, nato pa so se sešteli.
Mimogrede, podobni problemi so zelo znani sodobnim šolarjem in jih najdemo v nalogah enotnega državnega izpita. Edinstvena metoda, ki so jo našli že daljni predniki, je še danes najenostavnejša rešitev. Tudi če sta samo dva ali trije deli, na katere je številski lik razdeljen, seštevek njihovih površin še vedno predstavlja vsoto številskega niza.
Veliko pozneje sta starogrška znanstvenika Leibniz in Newton na podlagi izkušenj svojih modrih predhodnikov spoznala zakone integralnega računanja. Poznavanje lastnosti zaporedij jim je pomagalo pri reševanju diferencialnih in algebrskih enačb. Trenutno teorija serij, ustvarjena s prizadevanji številnih generacij nadarjenih znanstvenikov, ponuja priložnost za reševanje velikega števila matematičnih in praktičnih problemov. In preučevanje numeričnih zaporedij je glavni problem, ki ga rešuje matematična analiza od svojega nastanka.
Zaporedje je eden od osnovnih konceptov matematike. Zaporedje je lahko sestavljeno iz števil, točk, funkcij, vektorjev itd. Šteje se, da je zaporedje dano, če je določen zakon, po katerem je vsako naravno število povezano z elementom določene množice. Zaporedje je zapisano v obrazcu ali na kratko. Elemente imenujemo členi zaporedja, - prvi, - drugi, - skupni (th) člen zaporedja.
Najpogosteje se obravnavajo številska zaporedja, tj. zaporedja, katerih člani so števila. Analitična metoda je najenostavnejši način za določanje številskega zaporedja. To naredimo s formulo, ki izraža th-ega člana zaporedja prek njegove številke. Na primer, če
Druga metoda je ponavljajoča se (iz latinske besede recurrens - "vračanje"), ko je določenih prvih nekaj členov zaporedja in pravilo, ki vam omogoča izračun vsakega naslednjega izraza prek prejšnjih. Na primer:
Primera številskih zaporedij sta aritmetična progresija in geometrijska progresija.
Zanimivo je spremljati obnašanje členov zaporedja, ko število narašča v nedogled (kar raste v nedogled, je zapisano v obrazcu in se glasi: "stremi k neskončnosti").
Razmislite o zaporedju s skupnim izrazom: , , , …, , …. Vsi členi tega zaporedja so različni od nič, vendar bolj kot je , manj se razlikujejo od nič. Členi tega zaporedja se nagibajo k ničli, ko naraščajo za nedoločen čas. Pravijo, da je številka nič meja tega zaporedja.
Drug primer: - definira zaporedje
Tudi členi tega zaporedja težijo k nič, vendar so včasih večji od nič, včasih manjši od nič – njihova meja.
Poglejmo še en primer: 
. Če je predstavljen v obliki
potem bo postalo jasno, da to zaporedje teži k enotnosti.
Določimo limito zaporedja. Število se imenuje limita zaporedja, če je za katero koli pozitivno število mogoče določiti tako število, da neenakost velja za vse.
Če obstaja omejitev zaporedja, potem pišejo ali (prve tri črke latinske besede limes - "meja").
Ta definicija bo postala jasnejša, če ji damo geometrijski pomen. Številko zapičimo v interval (slika 1). Število je limita zaporedja, če bodo ne glede na majhnost intervala vsi členi zaporedja s številkami, večjimi od nekaj, ležali v tem intervalu. Z drugimi besedami, le končno število členov zaporedja je lahko zunaj katerega koli intervala.
Za obravnavano zaporedje -okolica točke nič pri vključuje vse člene zaporedja razen prvih deset in pri - vse člene zaporedja razen prvih sto.
Zaporedje, ki ima limit, imenujemo konvergentno, zaporedje, ki nima limita, pa divergentno. Tukaj je primer divergentnega zaporedja: . Njeni člani so izmenično enakopravni in ne težijo k nobeni meji.
Če zaporedje konvergira, potem je omejeno, tj. obstajajo števila in takšna, da vsi členi zaporedja izpolnjujejo pogoj. Iz tega sledi, da so vsa neomejena zaporedja divergentna. To so zaporedja:
"Natančno, poglobljeno preučevanje narave je vir najbolj plodnih odkritij v matematiki." J. Fourier
Zaporedje, ki teži k ničli, se imenuje infinitezimalno. Koncept neskončno malega lahko uporabimo kot osnovo za splošno definicijo meje zaporedja, saj je meja zaporedja enaka, če in samo če jo lahko predstavimo kot vsoto , kjer je infinitezimalno.
Obravnavana zaporedja so neskončno majhna. Zaporedje , kot sledi iz (2), se razlikuje od 1 za infinitezimalno , zato je limita tega zaporedja 1.
Koncept neskončno velikega zaporedja je zelo pomemben tudi v matematični analizi. Za zaporedje pravimo, da je neskončno veliko, če je zaporedje neskončno majhno. Neskončno veliko zaporedje je zapisano v obliki , ali , in pravimo, da »stremi k neskončnosti«. Tu so primeri neskončno velikih zaporedij:
Poudarjamo, da neskončno veliko zaporedje nima omejitev.
Oglejmo si zaporedja in . Možno je definirati zaporedja s skupnimi izrazi , , in (če). Velja naslednji izrek, ki ga pogosto imenujemo izrek o aritmetičnih operacijah z limiti: če so zaporedja konvergentna, veljajo tudi zaporedja , , , in enakosti:
V slednjem primeru je treba poleg tega, da so vsi členi zaporedja različni od nič, zahtevati, da je pogoj izpolnjen.
Z uporabo tega izreka je mogoče najti številne omejitve. Poiščimo na primer limit zaporedja s skupnim členom in nenaraščajočimi. Povsem očitno je, da se to zaporedje nagiba k nekemu številu, ki je manjše ali enako . V okviru matematične analize je dokazan izrek, da ima nepadajoče in omejeno zaporedje mejo (podobna izjava velja za nenaraščujoče in omejeno zaporedje spodaj). Ta izjemen izrek zagotavlja zadostne pogoje za obstoj meje. Iz tega na primer sledi, da ima zaporedje ploščin pravilnih trikotnikov, včrtanih v krog enotskega polmera, mejo, saj je monotono naraščajoče in omejeno od zgoraj. Meja tega zaporedja je označena z .
S pomočjo meje monotonega omejenega zaporedja se določi število, ki ima v matematični analizi veliko vlogo - osnova naravnih logaritmov:
.
Zaporedje (1), kot smo že omenili, je monotono in poleg tega omejeno od zgoraj. Ima mejo. To mejo zlahka najdemo. Če je enako, mora število zadostiti enakosti. Če rešimo to enačbo, dobimo .
Razmislite o vrsti naravnih števil: 1, 2, 3, , n
– 1, n,
.
Če zamenjamo vsako naravno število n v tej seriji za določeno število a n, po nekem zakonu dobimo novo vrsto števil:
a 1 ,
a 2 ,
a 3 , , a n –1 ,
a n ,
,
na kratko označen in imenovan številčno zaporedje. Magnituda a n imenujemo skupni člen številskega zaporedja. Običajno je številsko zaporedje podano z neko formulo a n
= f(n), kar vam omogoča, da poiščete katerega koli člana zaporedja po njegovi številki n; ta formula se imenuje splošna terminska formula. Upoštevajte, da ni vedno mogoče definirati številskega zaporedja z uporabo splošne izrazne formule; včasih je zaporedje določeno z opisom njegovih članov.
Po definiciji zaporedje vedno vsebuje neskončno število elementov: katera koli dva različna elementa se razlikujeta vsaj po številu, ki jih je neskončno veliko.
Številsko zaporedje je poseben primer funkcije. Zaporedje je funkcija, definirana na množici naravnih števil in zavzema vrednosti v množici realnih števil, tj. funkcija oblike f
: n
R.
Naknadno zaporedje
klical povečevanje(zmanjševanje), če sploh n n
Takšna zaporedja imenujemo strogo monotono.
Včasih je priročno, da kot števila ne uporabimo vseh naravnih števil, ampak le nekatera od njih (na primer naravna števila, ki se začnejo z nekim naravnim številom n 0). Za oštevilčevanje je možno uporabiti ne samo naravna števila, temveč tudi druga števila, npr. n= 0, 1, 2, (tu je ničla dodana kot drugo število množici naravnih števil). V takih primerih pri določanju zaporedja navedite, katere vrednosti imajo številke n.
Če v nekem zaporedju za katero koli n n
potem se zaporedje pokliče nepadajoča(nenaraščajoča). Takšna zaporedja imenujemo monotono.
Primer 1
.
Številsko zaporedje 1, 2, 3, 4, 5, ... je vrsta naravnih števil in ima skupen člen a n
= n.
Primer 2
.
Številsko zaporedje 2, 4, 6, 8, 10, ... je niz sodih števil in ima skupni člen a n
= 2n.
Primer 3
.
1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, … – številčno zaporedje približnih vrednosti z naraščajočo natančnostjo.
V zadnjem primeru je nemogoče podati formulo za splošni člen zaporedja.
Primer 4
.
Zapišite prvih 5 členov številskega zaporedja z uporabo njegovega skupnega člena
. Za izračun a 1 je potreben v formuli za splošni izraz a n namesto n nadomestite 1 za izračun a 2 − 2 itd. Potem imamo:
Test 6
.
Skupni člen zaporedja 1, 2, 6, 24, 120, je:
1)
2)
3)
4)
Test 7
.
je:
1)
2)
3)
4)
Test 8
.
Skupni član zaporedja
je:
1)
2)
3)
4)
Omejitev zaporedja številk
Razmislite o številskem zaporedju, katerega skupni člen se približuje nekemu številu A ko se serijska številka poveča n. V tem primeru naj bi imelo številsko zaporedje mejo. Ta koncept ima strožjo definicijo.
številka A imenovana meja številskega zaporedja
:
(1)
če za katerokoli > 0 obstaja takšno število n 0
= n 0 (), odvisno od , ki
pri n
> n 0 .
Ta definicija pomeni, da A obstaja omejitev številskega zaporedja, če se njegov skupni člen neomejeno približuje A z naraščanjem n. Geometrično to pomeni, da je za vsako > 0 mogoče najti takšno število n 0 , ki od n
> n 0 se vsi členi zaporedja nahajajo znotraj intervala ( A
– ,
A+ ). Zaporedje z limitom se imenuje konvergenten; drugače - divergenten.
Številsko zaporedje ima lahko samo eno mejo (končno ali neskončno) določenega predznaka.
Primer 5
.
Harmonično zaporedje 
ima mejno število 0. Dejansko za vsak interval (–; +) kot število n 0 je lahko katero koli celo število, večje od . Potem za vse n
> n 0 >imamo
Primer 6
.
Zaporedje 2, 5, 2, 5, je divergentno. Dejansko noben interval, ki je krajši od na primer ena, ne more vsebovati vseh členov zaporedja, začenši z določeno številko.
Zaporedje se imenuje omejeno, če taka številka obstaja M, Kaj
za vse n. Vsako konvergentno zaporedje je omejeno. Vsako monotono in omejeno zaporedje ima mejo. Vsako konvergentno zaporedje ima edinstveno mejo.
Primer 7
.
Naknadno zaporedje
se povečuje in omejuje. Ima mejo
=e.
številka e klical Eulerjevo število in približno enako 2,718 28.
Test 9
.
Zaporedje 1, 4, 9, 16, je:
1) konvergentni;
2) divergenten;
3) omejeno;
Test 10
.
Naknadno zaporedje
je:
1) konvergentni;
2) divergenten;
3) omejeno;
4) aritmetična progresija;
5) geometrijsko napredovanje.
Test 11
.
Naknadno zaporedje 
ni:
1) konvergentni;
2) divergenten;
3) omejeno;
4) harmonično.
Test
12
.
Meja zaporedja, podana s skupnim členom
enaka.
