Razredi, množice, skupine, sistemi. Isti objekt ima lahko več modelov, različne objekte pa lahko opišemo z enim modelom

Matematična analiza je veja matematike, ki se ukvarja s preučevanjem funkcij na podlagi ideje o neskončno majhni funkciji.

Osnovni pojmi matematična analiza so velikost, množica, funkcija, neskončno majhna funkcija, meja, odvod, integral.

Velikost Vse, kar je mogoče izmeriti in izraziti s številom, imenujemo.

Mnogi je zbirka nekaterih elementov, ki jih združuje nekaj skupna lastnost. Elementi množice so lahko številke, figure, predmeti, pojmi itd.

Množice so označene z velikimi tiskanimi črkami, in obstaja veliko elementov male črke. Elementi množic so v zavitih oklepajih.

Če element x pripada mnogim X, nato napiši x∈X (∈ - pripada).
Če je množica A del množice B, potem zapiši A ⊂ B (⊂ - vsebovano).

Nabor je mogoče definirati na enega od dveh načinov: z oštevilčenjem in z uporabo definirajoče lastnosti.

• A=(1,2,3,5,7) - niz števil
• Х=(x 1 ,x 2 ,...,x n ) — množica nekaterih elementov x 1 ,x 2 ,...,x n
• N=(1,2,...,n) — množica naravnih števil
• Z=(0,±1,±2,...,±n) — množica celih števil

Množica (-∞;+∞) se imenuje številska premica, poljubno število pa je točka na tej premici. Naj - poljubna točkaštevilska premica in δ - pozitivno število. Interval (a-δ; a+δ) se imenuje δ-okolica točke a.

Množica X je omejena od zgoraj (od spodaj), če obstaja število c takšno, da za vsak x ∈ X velja neenakost x≤с (x≥c). Število c se v tem primeru imenuje zgornji (spodnji) rob množica X. Množica, ki je omejena zgoraj in spodaj, se imenuje omejeno. Najmanjša (največja) od zgornjih (spodnjih) ploskev niza se imenuje natančen zgornji (spodnji) rob te množice.

Osnovni številski nizi

Če množica ne vsebuje niti enega elementa, se pokliče prazen niz in je zabeležena Ø .

Elementi logične simbolike

Zapis ∀x: |x|<2 → x 2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x 2 < 4.

Kvantifikatorji se pogosto uporabljajo pri pisanju matematičnih izrazov.

Kvantifikator se imenuje logični simbol, ki kvantitativno označuje elemente, ki mu sledijo.

• ∀- splošni kvantifikator, se uporablja namesto besed »za vsakogar«, »za vsakogar«.
• ∃- kvantifikator obstoja, se uporablja namesto besed "obstaja", "je na voljo". Uporablja se tudi kombinacija simbolov ∃, ki se bere, kot da je samo ena.

Set Operations

Dva množici A in B sta enaki(A=B), če so sestavljeni iz istih elementov.
Na primer, če je A=(1,2,3,4), B=(3,1,4,2), potem je A=B.

Z zvezo (vsota) množici A in B je množica A ∪ B, katere elementi pripadajo vsaj eni od teh množic.
Na primer, če je A=(1,2,4), B=(3,4,5,6), potem je A ∪ B = (1,2,3,4,5,6)

Po križišču (produkt) množici A in B imenujemo množica A ∩ B, katere elementi pripadajo tako množici A kot množici B.
Na primer, če je A=(1,2,4), B=(3,4,5,2), potem je A ∩ B = (2,4)

Z razliko množici A in B imenujemo množica AB, katere elementi pripadajo množici A, ne pripadajo pa množici B.
Na primer, če je A=(1,2,3,4), B=(3,4,5), potem je AB = (1,2)

Simetrična razlika množici A in B imenujemo množica A Δ B, ki je unija razlik množic AB in BA, to je A Δ B = (AB) ∪ (BA).
Na primer, če je A=(1,2,3,4), B=(3,4,5,6), potem je A Δ B = (1,2) ∪ (5,6) = (1,2, 5 ,6)

Lastnosti množičnih operacij

A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Števne in neštete množice

Za primerjavo dveh množic A in B se med njunima elementoma vzpostavi ujemanje.

Če je ta korespondenca ena proti ena, se nizi imenujejo enakovredni ali enako močni, A B ali B A.

Množica točk na kraku BC in hipotenuzi AC trikotnika ABC sta enako potenčni.

Učni elementi odstavkov:

Historicizem v razvoju koncepta modela.

Sistem

Lastnosti

Razmerje med elementi.

Opredelitev konceptnega modela.

Pojem modela je v razvoju znanosti doživel pomembne spremembe.

Sprva se je model imenoval neka pomožna naprava, predmet, ki je v določeni situaciji nadomestil drug predmet. Hkrati pa univerzalnost naravnih zakonov in univerzalnost modeliranja, tj. ne le priložnost, ampak tudi nujnost, da svoje znanje predstavimo v obliki modelov.

Na primer, stari filozofi so menili, da je nemogoče modelirati naravne procese, saj so po njihovih zamislih naravni in umetni procesi podrejeni različnim zakonom. Menili so, da je naravo mogoče upodobiti le s pomočjo logike, debate, sklepanja, t.j. po sodobni terminologiji jezikovni modeli.

Nekaj ​​stoletij pozneje je moto Angleškega kraljevega znanstvenega društva postal slogan »nič v besedah«. Sprejeti so bili samo sklepi, podprti z eksperimentalnimi ali matematičnimi izračuni. Posledično se je koncept "modela" zelo dolgo uporabljal samo za materialne predmete.

Šele kasneje so bile uresničene modelne lastnosti risb, risb, zemljevidov - resničnih predmetov umetnega izvora, ki vključujejo abstrakcije dokaj visoke ravni. Naslednji korak je bil ugotoviti, da lahko kot modeli služijo ne samo realni predmeti, ampak tudi idealne, abstraktne strukture, na primer matematični modeli.

Ne smemo pozabiti, da je vsak predmet (izvirnik) SISTEM. Formalno lahko sistem predstavimo z naslednjo relacijo:

S= (E, P, R)→ C

Sistem je sestavljen iz VELIKIH elementov E, z določenimi LASTNOSTMI R in povezani z določenimi RELACIJAMI R. Sistem uresničuje določen cilj Z.

V določenem smislu je model tudi sistem:

s=(e , p , r )→ s

Z odnosom R bomo razumeli soodvisnost ali interakcijo dveh ali več materialnih ali abstraktnih predmetov ali pojavov. Interakcijski odnosi so lahko materialni, energijski ali informacijski. Ločimo naslednja razmerja soodvisnosti: podobnost, istovetnost, analogija, homomorfizem, izomorfizem, vzrok - posledica, cilj - sredstvo, povezava (zaporedna, vzporedna, obratna, kombinirana). Soodvisnost je lahko tudi funkcionalna, logična, prostorska in časovna. Poleg tega lahko obstajajo razmerja med objekti A, B, C:

refleksivnost – A=A

simetrija – A=B in B=A

prehodnost – A=B, B=C, A=C

enakovrednost – če so izpolnjene prve tri relacije.

Lastnost P je strnjena (enomestna) relacija.

Tako kot pri pojmu "sistem" obstaja veliko definicij pojma "model". Držali se bomo naslednjega:

Model v splošnem smislu obstaja določen predmet, ustvarjen z namenom pridobivanja in (ali) shranjevanja informacij v obliki miselne podobe, opisa s simbolnimi sredstvi (formule, grafike itd.) ali materialni predmet, ki odraža lastnosti, značilnosti in povezave prvotnega predmeta poljubne narave, bistvenega pomena za problem, ki ga oseba rešuje.

Iz te definicije izhaja, da pojma modela ni mogoče omejiti samo na tisto, kar se neposredno imenuje model.

Diagram na sliki 1.1 prikazuje model kot večmestno razmerje med "subjektom" - pobudnikom modeliranja in (ali) uporabnikom njegovih rezultatov; »izvirni objekt« je predmet modeliranja; "model" - prikaz predmeta; »okolje«, v katerem se nahajajo in medsebojno delujejo vsi elementi tega sklopa. Na kratko lahko rečemo, da je model sistemska refleksija originala.

Vsak materialni objekt ustreza neštetim različnim modelom, ki so povezani z različnimi nalogami. Zato obstaja več meril za razvrščanje modelov.

Vprašanja za samokontrolo in pripravo na MK:

Kako se je koncept modela spreminjal z razvojem znanosti?

Kakšno je razmerje med elementi v sistemu?

Kako je trenutno opredeljen koncept modela?

Ali ima lahko izvirni predmet veliko modelov?

V enciklopediji poišči definicije pojmov za tipe in vrste soodvisnostnih razmerij.

Katera razmerja so bila obravnavana v sistemih, ki so jih proučevali v fiziki, matematiki in računalništvu?

Pri nekaterih odprtih sklopih (tj. tistih, ki ne vsebujejo svojih mejnih točk) lahko opazimo resno odstopanje v dimenzijah.

Niz končnih točk treh Cantorjevih prahov je sam sebi podoben in ga označujejo enake vrednosti kot ves Cantorjev prah, tj. njegova dimenzija podobnosti sovpada z dimenzijo podobnosti Cantorjevega prahu. Vendar pa je števen, kar pomeni, da je njegova Hausdorff–Besicovitcheva razsežnost enaka nič. Če sem dodamo mejne točke prahu, potem dobimo sam Cantorjev prah in neskladje bo izginilo "v korist" dimenzije podobnosti, ki je za ta niz pomembnejša lastnost.

Drug preprost primer, ki ga imenujem Besicovicheva množica, je obravnavan v razdelku o nelakunarnih fraktalih, 3.

Fourierjeva dimenzija in hevristika

Naj bo nekaj nepadajoče funkcije . Če maksimalni odprti intervali, v katerih je vrednost konstantna, seštejejo komplement zaprte množice, pravimo, da je množica nosilec za . Fourier–Stieltjesova transformacija funkcije ima obliko

Najbolj gladke funkcije zagotavljajo najvišjo možno stopnjo zmanjšanja. Označimo z največjim realnim številom, za katerega vsaj ena funkcija z nosilcem izpolnjuje enakost

za vsakogar,

vendar nobeden od njih ne zadovolji

pri za nekatere.

Izraz "pri" tukaj pomeni to . Ko niz zapolni celoten interval, je velikost neskončna. In obratno, ko je ena - edina točka, . Zanimivo je, da kadar predstavlja niz z ničelno Lebesguevo mero, je količina končna in ne presega Hausdorff–Besicovicheve dimenzije tega niza. Neenakost kaže, da so fraktalne in harmonične lastnosti fraktalne množice med seboj povezane, ni pa nujno, da sovpadajo.

Da bi dokazali, da se te dimenzije lahko razlikujejo, predpostavimo, da je niz na premici in je njegova dimenzija enaka . Če ga obravnavamo kot niz na ravnini, se dimenzija ne bo spremenila, ampak bo postala nič.

Opredelitev. Kot priročen način za posplošitev nekaterih harmoničnih lastnosti predlagam, da količino imenujemo Fourierjeva dimenzija množice.

Kompleti Salem. Enakost opisuje celotno kategorijo množic, imenovanih množice edinstvenosti ali Salemove množice (glej).

Praktično pravilo in hevristika. Fraktali, ki nas zanimajo v precedenčnih študijah, se praviloma izkažejo za Salemove množice. Ker je vrednost v mnogih primerih enostavno določiti iz eksperimentalnih podatkov, jo je mogoče uporabiti za oceno.

Nenaključni nizi Salema. Nenaključni Cantorjev prah je Salemov niz le, če koeficient izpolnjuje določene teoretične lastnosti števil.

Salem naključni nizi. Naključni Cantorjev prah je Salemov niz, kadar je njegova naključnost dovolj velika, da krši kakršno koli aritmetično pravilnost.

Izvirni primer, ki ga je predlagal sam R. Salem, je zelo zapleten. Kot alternativni primer lahko navedemo Levyjev prah: prikazano je, da spekter (tukaj - Levyjeva lestev, glej sliko 399) v povprečju skoraj sovpada s spektrom frakcijske Brownove funkcije od ravne črte do ravne črte in je zglajena različica spektra Gauss–Weierstrassove funkcije.

Monografija (1. izrek, str. 165 in 5, str. 173) kaže, da je podoba kompaktne množice z dimenzijo glede na frakcijsko Brownovo funkcijo od vrstice do vrstice z eksponentom Salemova množica z dimenzijo .

Cantorjev prah ni komplet Salem. Prah Trinity Cantor se je nekoč rodil kot rezultat iskanja Georga Cantorja za nizom edinstvenosti (glej I, str. 196), iskanja, ki ni bilo okronano z uspehom. (Cantor je nato opustil harmonično analizo in - zaradi pomanjkanja česa boljšega - ustvaril teorijo množic.) Označimo Cantorjevo lestev z . Spekter ima enako splošno obliko kot spekter, vendar za razliko od slednjega vsebuje številne naključno nameščene ostre vrhove nepadajoče velikosti, iz česar lahko sklepamo, da. Cm.

Za teorijo množic edinstvenosti ima prisotnost teh vrhov odločilno vlogo, v praksi pa sploh niso tako pomembni. V večini primerov se pri ocenjevanju spektralne gostote vrhovi ne upoštevajo in se upošteva samo celotna oblika spektra, ki jo določa dimenzija.

Srednji in prekinjeni poligoni

Gradivo o tej temi (povezano s Peanovimi krivuljami) lahko najdete v poglavju XII Fraktalov 1977.

Statistična analiza z uporabo normaliziranega obsega

Do nedavnega je uporabna statistika vzela za samoumevno naslednji dve predpostavki o časovni vrsti: predpostavljalo se je, da in da je naključna spremenljivka kratkoročno odvisna. Pokazal pa sem (glej 37. poglavje), da je empirična podatkovna zaporedja z dolgim ​​repom pogosto bolje razlagati v luči predpostavke. Prvič smo se srečali z vprašanjem, ali je to ali ono zaporedje podatkov šibko (kratkoročno) ali močno (dolgoročno) odvisno, ko sem uvedel dolgoročno odvisnost za razlago Hurstovega fenomena (glej 27. poglavje).

Ta mešanica dolgih repov in zelo dolgoročne odvisnosti bi lahko statistike pripeljala v slepo ulico, saj standardne metode drugega reda, oblikovane za stalno odvisnost (korelacija, spektri), vodi predpostavka . Jejte. Vendar pa obstaja alternativa.

Lahko zanemarite porazdelitev količine in analizirate njeno dolgoročno odvisnost z uporabo normaliziranega območja; V nasprotnem primeru se ta postopek imenuje analiza. Ta statistična metoda, predlagana v in matematično utemeljena v , temelji na razlikovanju med kratkoročnimi in zelo dolgoročnimi odvisnostmi. Pri tej metodi je uvedena konstanta, ki se imenuje Hurstov koeficient ali - eksponent in ima lahko poljubno vrednost v območju od 0 do 1.

Pomen konstante je mogoče opisati, še preden je definirana. Posebno pomembna je značilnost neodvisnih, Markovljevih in drugih naključnih funkcij s kratkoročno odvisnostjo. Da bi torej vedeli, ali je v empiričnih podatkih ali v vzorčnih funkcijah prisotna zelo dolgoročna neperiodična statistična odvisnost, zadostuje preveriti, ali je predpostavka statistično sprejemljiva. Če ni, potem je taka odvisnost prisotna, mero njene intenzivnosti pa določa razlika, katere vrednost je mogoče oceniti na podlagi razpoložljivih podatkov.

Glavna prednost tega pristopa je, da je kazalnik stabilen glede na mejno porazdelitev. To pomeni, da je učinkovit ne samo v primerih, ko so zaporedja podatkov ali naključne funkcije skoraj Gaussove, ampak tudi, ko je porazdelitev tako daleč od Gaussove, da se razlikuje, v tem primeru pa nobena od metod drugega reda ne deluje.

Opredelitev statistike - Obseg. V kontinuiranem času definiramo , in . V diskretnem času definiramo in ; tukaj je celoten del. Za vsako (recimo zakasnitev vrednosti) določimo prilagojeno območje vsote na časovnem intervalu od 0 do v obliki

Magnituda se imenuje statistični obseg ali samonormalizirani samopopravljeni obseg vsote.

Opredelitev - indikator Recimo, da obstaja neko realno število tako, da ko je vrednost konvergira v porazdelitvi k neki nedegenerirani mejni naključni spremenljivki. Kot je dokazano v , iz te predpostavke sledi, da . V tem primeru pravijo, da ima funkcija eksponent in konstantni predfaktor.

Postavimo bolj splošno predpostavko: naj razmerje , kjer je neka funkcija, ki se počasi spreminja v neskončnosti, tj. funkcija, ki izpolnjuje pogoj pri za vse. Najenostavnejši primer takšne funkcije je. V tem primeru rečemo, da ima funkcija - eksponent in - predfaktor.

Glavni rezultati. Ko - beli Gaussov šum, imamo tudi konstanten predfaktor. Natančneje, odnos je stacionarna naključna funkcija od .

Na splošno je enakost resnična v vseh primerih, ko , normalizirana vsota pri šibko konvergira k .

Ko je diskretni frakcijski Gaussov šum (tj. zaporedje funkcijskih prirastkov, glejte str. 488), imamo , kjer je .

Na splošno je za pridobitev konstantnega predfaktorja dovolj, da in tako, da se vsota približa funkciji tako, da .

Na splošno prevladata pomen in predfaktor če , in se približa funkciji ter zadosti razmerju .

In končno, če , vendar se z eksponentom približa neki ne-Gaussovi naključni funkciji, ki ni spremenljiva na lestvici. Primere lahko najdete v.

Po drugi strani pa, če je beli Levy-stabilen šum (tj.), potem .

Ko funkcija zaradi diferenciacije postane stacionarna, potem .

Stacionarnost. Stopnje stacionarnosti

Pri uporabi »navadnih« besed v znanstvenih besedilih bodisi mislimo na njihove splošno uporabljene, »svetovne« pomene (katerih izbira je odvisna od avtorja), ali pa jim dajemo status formalnih definicij (za katere izpostavimo nekaj posebnih pomenov in vnesite na – v tem primeru – matematične »tablice«). Izraza stacionarni in ergodičen sta posrečena, saj so se matematiki strinjali o njunem pomenu. Imel pa sem priložnost iz lastnih izkušenj videti, da se mnogi inženirji, fiziki in statistiki praktiki, čeprav sprejemajo matematično definicijo v besedah, v resnici držijo ožjih pogledov. Nasprotno, rad bi razširil matematično definicijo. Spodaj bom navedel glavne nesporazume, ki nastanejo pri uporabi teh izrazov, in poskušal pojasniti, zakaj je treba matematično definicijo razširiti.

Matematična definicija. Proces je stacionaren, če porazdelitev količine ni odvisna od , skupna porazdelitev pa ni odvisna od ; in enako velja za skupne distribucije pred vsemi.

Prvi nesporazum (filozofija). Po splošnem prepričanju lahko znanstveno dejavnost štejemo za tisto dejavnost, katere predmet so pojavi, ki se podrejajo nespremenljivim pravilom. Napačno razumevanje stacionarnosti je najpogosteje posledica prav tega pogleda na stvari: mnogi verjamejo, da stacionarnost preprosto pomeni časovno invariantnost pravil, ki urejajo proces. To je daleč od resnice. Na primer, prirast Brownovega gibanja je Gaussova naključna spremenljivka, katere povprečje in varianca nista odvisni od . Pravilo za konstrukcijo niza ničel Brownovega gibanja ni odvisno od nobenega. Vendar pa so za stacionarnost pomembna le tista pravila, ki urejajo vrednosti samega procesa. V primeru Brownovega gibanja ta pravila niso časovno nespremenljiva.

Drugi nesporazum (uporabna statistika). Statistiki nam ponujajo številne metode (včasih celo v obliki računalniške programske opreme) »analize časovnih vrst«; v resnici se izkaže, da je obseg zmogljivosti teh metod precej ožji, kot bi pričakovali, sodeč po oznaki. To je neizogibno, saj je matematična stacionarnost preveč splošen koncept, da bi bila posamezna metoda uporabna za vse možne primere. Vendar pa s tem statistiki svojim strankam nehote vcepljajo prepričanje, da je koncept »stacionarne časovne vrste« identičen drugim, ožjim konceptom, ki jih pokriva ena ali druga metoda. Tudi v tistih primerih, ko se avtorji metod trudijo preveriti "stabilnost" svojih stvaritev, upoštevajo le minimalna odstopanja od najpreprostejšega stanja, ne da bi upoštevali zelo radikalna odstopanja, ki niti najmanj niso v nasprotju s stacionarnostjo.

Tretji nesporazum (inženirji in fiziki). Mnogi raziskovalci (deloma zaradi prejšnjih nesporazumov) verjamejo, da če je proces vzorčenja stacionaren, to pomeni, da se "lahko premika gor in dol, vendar ostaja na nek način statistično enak." Ta razlaga je bila povsem primerna v zgodnji, »neformalni« fazi, trenutno pa je nesprejemljiva. Matematična definicija opisuje le pravila generiranja, vendar na noben način ne vpliva na generirane objekte. Ko so se matematiki prvič srečali s stacionarnimi procesi z izjemno naključnimi vzorci, so bili presenečeni, da lahko koncept stacionarnosti vključuje tako bogastvo zelo različnih in nepričakovanih oblik vedenja. Na žalost ravno te oblike vedenja mnogi praktiki odločno nočejo prepoznati kot stacionarne.

Sivo območje. Nobenega dvoma ni, da je meja med stacionarnimi in nestacionarnimi procesi nekje med belim Gaussovim šumom in Brownovim gibanjem; Sporna je le njegova natančna lokacija.

Prečiščevanje meje z uporabo hrupa, nespremenljivega na lestvici. Gaussov šum, nespremenljiv na lestvici (glej poglavje 27), lahko služi kot zelo priročno sredstvo za prečiščevanje sporne meje, saj ima njihova spektralna gostota obliko , kjer je . Za beli šum, za Brownovo gibanje, meja med stacionarnimi in nestacionarnimi procesi pade na različne vrednosti, odvisno od tega, po katerih premislekih se vodijo "geodeti". Potreben je izključno nestacionarni model.

Sam pa sem ugotovil, da z izključitvijo vrednosti iz obravnave definicija stacionarnosti ni dovolj splošna za številne študije primerov.

Pogojno stacionarni sporadični procesi. Na primer, teorija fraktalnega hrupa (glej 9. poglavje) nakazuje, da je proces, sestavljen iz Brownovih ničel, stacionaren v oslabljeni obliki. Pravzaprav predpostavimo, da je nekje med in vsaj ena ničla. Rezultat takšne predpostavke bo naključen proces, odvisen od dodatnega zunanjega parametra. Opazil sem, da skupna porazdelitev vrednosti ni odvisna od. Renyi je pisal tudi o neskončni meri za naključne spremenljivke. Da ukrep ne bi privedel do katastrofe, se v teoriji posplošenih naključnih spremenljivk predpostavlja, da se te količine opazujejo le, če so pogojene z nekim dogodkom, tako da .

Čeprav je uporabnost Renyijevih naključnih spremenljivk zelo omejena, se občasne funkcije včasih izkažejo za zelo uporabne: zlasti z njihovo pomočjo sem se v več primerih uspel izogniti infrardeči katastrofi in s tem razložiti obstoj šuma, nespremenljivega merilu, s .

Ergodičnost. Mešanje. Tudi koncept ergodičnosti je podvržen različnim interpretacijam. V matematični literaturi koncept ergodičnosti vključuje različne oblike mešanja. Obstajajo postopki z močnim mešanjem in postopki s šibkim mešanjem. Razlika med temi oblikami (sodeč po matematičnih delih) se morda zdi zelo nepomembna in daleč od resničnih naravnih pojavov. Naj vas ne zavede – to ni res. Na primer hrup c, nespremenljiv na lestvici, ali Josephov učinek (neskončna odvisnost, kot pri - šum c). Vendar je treba povedati, da je skoraj vse moje precedenčne študije na neki stopnji vnaprej kritiziral nek »strokovnjak«, ki je trdil, da so preučevani pojavi očitno nestacionarni in da so bili zato moji stacionarni modeli obsojeni na neuspeh od samega začetka. Utemeljitev je zmotna, a psihološko zelo pomembna.

Zaključek. Okoli meje med matematično stacionarnimi in nestacionarnimi procesi se nadaljujejo burni semantični spori. V praksi mejo zasedajo procesi, ki so, čeprav ne ustrezajo našim intuitivnim predstavam o stacionarnih procesih, še vedno sposobni delovati kot objekti znanstvenega raziskovanja. Ti postopki so mi bili zelo koristni, tako pri tem eseju kot pri mojem preostalem raziskovalnem delu.

Leksikalne težave. In spet so potrebni novi izrazi. Dovolil si bom priporočati izraz, ki je bil uveljavljen kot sinonim za to, kar matematiki imenujejo "stacionarno in tako, da vsota konvergira k", in izraz za tisti intuitivni koncept, ki ga praktični raziskovalci ponavadi imenujejo "stacionarnost". Nasprotni koncept lahko označimo z izrazoma nestabilno ali tavajoče.

V enem svojih zgodnjih del (in sicer: v) sem predlagal, da bi enakomerne procese imenovali Laplacian in soft. Zadnja beseda je uporabljena v pomenu "varno, enostavno nadzorovano"; ta vrednost se mi je zdela povsem ustrezna, saj se pri obravnavanju tako naključnega procesa ni treba bati presenečenj z njegove strani - od njega ne smemo pričakovati tistih ostrih odstopanj in različnih konfiguracij, zaradi katerih analiza tavajočega naključnega procesov je bolj zapletena, a tudi veliko bolj zanimiva dejavnost.

Matematični niz

Kup- eden ključnih predmetov matematike, zlasti teorije množic. "Z množico mislimo na združitev v eno celoto določenih, precej razločljivih predmetov naše intuicije ali naše misli" (G. Kantor). To ni v polnem smislu logična definicija pojmovne množice, temveč le razlaga (kajti definirati koncept pomeni najti generični koncept, v katerega je ta koncept vključen kot vrsta, množica pa je morda najširši pojem matematike in logike).

Teorije

Obstajata dva glavna pristopa k konceptu niza - naiven in aksiomatično teorija množic.

Aksiomatska teorija množic

Danes je množica definirana kot model, ki zadošča ZFC aksiomom (Zermelo-Frenklovim aksiomom z aksiomom izbire). S tem pristopom v nekaterih matematičnih teorijah nastanejo zbirke predmetov, ki niso množice. Take zbirke imenujemo razredi (različnih vrst).

Set element

Predmeti, ki sestavljajo množico, se imenujejo elementov kompleta ali točke nabora. Množice so najpogosteje označene z velikimi črkami latinske abecede, njeni elementi - z majhnimi. Če je a element množice A, potem zapišimo a ∈ A (a pripada A). Če a ni element množice A, potem zapišimo a∉A (a ne pripada A).

Nekatere vrste kompletov

• Urejena množica je množica, na kateri je podana relacija reda.
• Komplet (natančneje urejen par). Za razliko od preprostega nabora je zapisan v oklepaju: ( x 1, x 2, x 3, …), elementi pa se lahko ponavljajo.

Po hierarhiji:

Množica množic Podmnožica Nadmnožica

Z omejitvijo:

Set Operations

Literatura

• Stoll R.R. Množice. Logike. Aksiomatske teorije. - M .: Izobraževanje, 1968. - 232 str.

Poglej tudi

Fundacija Wikimedia. 2010.

Oglejte si, kaj je "matematični niz" v drugih slovarjih:

Vitalijeva množica je prvi primer množice realnih števil, ki nima Lebesgueove mere. Ta primer, ki je postal klasičen, je leta 1905 objavil italijanski matematik G. Vitali v svojem članku »Sul problema della misura dei gruppi di punti... ... Wikipedia

- (povprečna vrednost) naključne spremenljivke je numerična značilnost naključne spremenljivke. Če je naključna spremenljivka definirana na verjetnostnem prostoru (glej Teorija verjetnosti), potem je njen M. o. MX (ali EX) je definiran kot Lebesgueov integral: kjer ... Fizična enciklopedija

Naključna spremenljivka je njena numerična značilnost. Če ima naključna spremenljivka X porazdelitveno funkcijo F(x), potem je njen M. o. volja: . Če je porazdelitev X diskretna, potem M.o.: , kjer x1, x2, ... možne vrednosti diskretne naključne spremenljivke X; p1... Geološka enciklopedija

programska oprema ACS- , enako kot programska oprema, programska oprema, kompleks matematičnih programov in algoritmov, eden od podpornih podsistemov. Običajno vključuje veliko programov za reševanje določenih problemov v računalniku, ki jih združuje glavni program ... ... Ekonomsko-matematični slovar

programska oprema ACS- enako kot programska oprema, programska oprema, kompleks matematičnih programov in algoritmov, eden od podpornih podsistemov. Običajno vključuje veliko programov za reševanje določenih težav na računalniku, ki jih združuje glavni program dispečerja.... ... Priročnik za tehnične prevajalce

- (matematično) glej teorijo množic ...

Matematični model je matematična predstavitev realnosti. Matematično modeliranje je proces konstruiranja in proučevanja matematičnih modelov. Vse naravoslovne in družboslovne vede, ki uporabljajo matematični aparat, v bistvu... ... Wikipedia

Matematična disciplina, posvečena teoriji in metodam reševanja problemov iskanja ekstremov funkcij na množicah končnodimenzionalnega vektorskega prostora, definiranega z linearnimi in nelinearnimi omejitvami (enačbami in neenačbami). M. p....... Matematična enciklopedija

Matematična disciplina, posvečena teoriji in metodam reševanja problemov iskanja ekstremov funkcij na množicah, definiranih z linearnimi in nelinearnimi omejitvami (enačbami in neenačbami). M.p. oddelek znanosti o... ... Velika sovjetska enciklopedija

Ta izraz ima druge pomene, glej Dokaz. V matematiki je dokaz veriga logičnih zaključkov, ki kažejo, da je glede na določen niz aksiomov in pravil sklepanja določena izjava resnična. Odvisno od... Wikipedije

knjige

• Matematično modeliranje gospodarstva, Malykhin V.I.. Knjiga obravnava glavne matematične modele gospodarstva: model posameznega potrošnika (na podlagi funkcije koristnosti), model proizvodnega podjetja (na podlagi proizvodne funkcije), .. .

Opis predmetnega področja (ustvarjanje njegove ontologije) se začne z izbiro predmetov in njihovo klasifikacijo, ki je tradicionalno sestavljena iz sestavljanja drevesa razredov-podrazredov in dodeljevanja posameznikov njim. V tem primeru se izraz "razred" v bistvu uporablja v pomenu "množica": dodeljevanje predmeta razredu se šteje kot vključitev predmeta kot elementa v ustrezno množico. Namen tega besedila je pokazati, da je tako enoten pristop k opisu strukture predmetnega področja močno poenostavljanje in nam ne omogoča zajeti raznolikosti pomenskih odnosov predmetov.

Oglejmo si tri možnosti za razvrstitev posameznika Bug:

1. Žival - pes - haski - hrošč.
2. Storitev - jahanje - Bug.
3. Psarna - vprega psov - Zhuchka.

Prvo zaporedje podrejenih entitet je nedvoumno opisano skozi definicijo razredov in podrazredov: hrošč je osebek razreda »Lika«, razred »Lika« je podrazred psov, to pa je podrazred »žival« razred. V tem primeru se razred »živali« interpretira kot množica vseh živali, razred »všeč mi je« pa kot podmnožica množice »psi«. Vendar je tak opis, kljub temu da je precej vizualen, pomensko tavtološki, samoreferenčen: posameznega hrošča imenujemo sulec, če je vključen v množico sulcev, samo množico sulcev pa definiramo kot celota vseh posameznikov haskijev - to pomeni, da je vključitev v niz smiselna dvojnik imena. Poleg tega je opis niza razredov popolnoma izčrpan z opisom posameznika, ki spada pod koncept, ki definira razred. Opozoriti je treba tudi na to, da delovanje takih nizov ni odvisno od števila elementov v njih: haski Bug bo haski tudi takrat, ko bo ostal edini, zadnji haski na Zemlji. Še več, s takšnimi nizi razredov lahko operiramo tudi v odsotnosti posameznikov v njih: zgradimo lahko ontologijo že izumrlih dinozavrov, zamislimo si razred, ki bo vključeval samo edinstveno napravo, ki bo zasnovana v prihodnosti, ali zgradimo model predmetno področje mitskih živali, junakov pravljic, čeprav bo hkrati kardinalnost vseh razredov-naborov enaka nič.

Če torej govorimo o vsebinski plati analizirane klasifikacije (žival – pes – haski – hrošč), potem se le-ta (vsebinska plat) nikakor ne more izraziti skozi odnos množic in podmnožic. V tem primeru imamo opravka s konceptualizacijo – izolacijo pojmov in vzpostavljanje rodovno-vrstnih razmerij med njimi. Še več, dejansko število elementov pojmovnega razreda, torej obseg pojma, se ne pojavi v njegovi definiciji in je omenjen (pa še to nesmiselno) le, ko en koncept (»kot«) spada pod drugega ( "pes"), torej ko nastopa kot vrsta rodu. Da, lahko trdimo, da je obseg koncepta "pes" večji od obsega koncepta "kot", vendar realno numerično razmerje teh nizov nima nobenega ontološkega pomena. Kadar obseg razreda presega obseg podrazreda v rodovnospecifičnih razmerjih, to le odraža dejstvo, da mora po definiciji rod vključevati več vrst – sicer ta klasifikacija postane nesmiselna. Se pravi, da nas pri rodovno-vrstni pojmovni klasifikaciji zanima prav vsebina pojmov - kako se vrsta "pes" razlikuje od vrste "mačka" (ki zanje prav tako spada pod generični pojem "žival"), in ne, kako se povezujejo obsegi nizov rodu in vrste in še bolj obsegi konceptov vrste (»pes« in »mačka«). In da bi razlikovali konceptualne razrede od resnično preštevnih množic, bi bilo pravilneje govoriti o ali posameznik spada pod koncept, ne o vklopiti v razred/niz. Jasno je, da sta lahko v formalnem zapisu trditvi "spada pod koncept X" in "je element razreda X" videti enaki, vendar lahko nerazumevanje bistvene razlike med tema dvema opisoma povzroči resne napake pri konstrukciji ontologijo.

Pri drugi možnosti (storitev - jahanje - Zhuchka) nas prav tako ne zanima primerjava pojma "jahanje" katerega koli niza: pomenska vsebina izjave "Zhuchka - jahanje" ni odvisna od tega, ali je edina ali obstaja veliko jih je. Zdi se, da imamo tukaj opravka z generično-specifičnimi odnosi: koncept "jahanje" lahko obravnavamo kot specifičen glede na generični koncept "storitve". Toda povezava individualnega »Hrošča« s konceptom »jahanja« je bistveno drugačna od povezave s konceptom »kot«: drugi, konceptualni, koncept je imanenten in nespremenljivo inherenten posamezniku, prvi pa odraža lokalno v času specializacijo. Žuželka se ni rodila kot vlečni pes in morda s starostjo to ne bo več in bo prešla v kategorijo psa čuvaja, v starosti pa lahko popolnoma izgubi ves "poklic". Se pravi, ko govorimo o specializaciji, lahko vedno izpostavimo dogodke pridobivanja in izgube povezave z določenim pojmom. Na primer, Zhuchka bi lahko bila priznana kot absolutna prvakinja pasme, nato pa ta naslov izgubila, kar je s konceptualnimi koncepti v bistvu nemogoče: Zhuchka od rojstva do smrti, to je skozi celotno časovno obdobje njenega obstoja kot posameznika, je pes in haski. Prav tako človek vse življenje ostaja pojem »oseba«, a situacijsko (od dogodka do dogodka) lahko spada pod specializirane pojme »šolar«, »študent«, »zdravnik«, »mož« itd. In kot že omenjeno, povezava s temi pojmi sploh ne pomeni vključitve v neko množico (čeprav lahko izgleda tako) – pripisovanje specializirajočega pojma je vedno posledica posameznikovega specifičnega odnosa do drugih posameznikov: vstopa v šolo, univerza, pridobitev diplome, registracija zakonske zveze itd. Zato lahko imenujemo tudi specializirane koncepte relacijski. Iz zgornjih primerov izhaja še ena bistvena razlika med pojmovno klasifikacijo in specializacijo: posameznik ima lahko več specializacij (Žučka je lahko vlečni pes in šampion pasme, oseba je študent in mož), vendar ne more biti hkrati vključen v več kot ena konceptualna hierarhija (Žučka ne more biti pes in mačka).

In šele v tretji različici opisa Zhuchke - kot pripadnosti določeni psarni in kot članu določene ekipe, ki vleče sani po tundri - je preprosto treba omeniti množico. Samo v tem primeru imamo pravico reči, da je posameznik element konkretne množice s preštetim številom elementov in ne spada pod koncept, ki bi ga lahko predstavili kot abstraktno množico, ki konvencionalno določa obseg tega koncept. In tu je temeljno, da je posameznik del drugega posameznika, ki je sprva opredeljen kot množica: psarna in ekipa sta nujno neprazna množica psov, število elementov te množice pa je zagotovo vključeno v njune definicije kot posamezniki. Se pravi, v tem primeru bi morali govoriti o razmerju del-celota: Žuželka je del psarne in del ekipe. Poleg tega vključitev ali nevstop hrošča v določeno ekipo spremeni njeno (ekipo) vsebino: če smo imeli dvojno ekipo, se po odstranitvi hrošča ekipa spremeni v eno samo ekipo. V takšnih primerih nimamo opravka zgolj s števno množico (psi v pesjaku), ampak z individuom, katerega bistvo se spremeni, ko se spremeni sestava njegovih elementov in je določena s to sestavo, torej z sistem. Če je psarna preprosto posameznik-skupina, opisana skozi številne elemente, ki so vanjo vključeni, potem je tim sistem, katerega bistvo je odvisno od števila in specifičnosti njegovih delov.

Posledično je pri konstruiranju ontologije predmetnega področja mogoče identificirati realne objekte-množice, opredeljene natančno kot zbirka določenega števila posameznikov. To so: razred v šoli, blago v škatli v skladišču, deli enote elektronske naprave itd. In te množice so lahko podmnožice drugih realnih števnih množic: vsi učenci v šoli, vse blago v skladišču, vse deli naprave. Pri identifikaciji teh sklopov je bistveno, da ti (ti sklopi) delujejo kot samostojni posamezniki (ekipa, serija blaga, sklop delov), katerih glavni atribut je ravno število elementov, ki so v njih vključeni. Poleg tega lahko sprememba tega atributa povzroči spremembo statusa predmeta, recimo s povečanjem števila elementov, spreminjanje kvarteta v kvintet ali polka v brigado. Pomembno je tudi, da opis teh sklopov, kompleksnih objektov, ni reduciran na opis posameznikov, ki so vanje vključeni, čeprav lahko vključuje navedbo dopustne vrste slednjih (godalni kvartet, vprega konj) . In takšna razmerja – ne med abstraktnimi množicami, ampak med množicami, ki so posamezniki, kompleksni objekti – so natančneje opisana kot razmerja del-celota, ne pa razmerja razred-podrazred.

Torej tradicionalne klasifikacije posameznikov z razvrščanjem v eno ali drugo skupino razredov ni mogoče šteti za homogeno. Treba je razlikovati med (1) vključitvijo posameznikov kot delov v kompleksen predmet (celoto), katerega pomenska specifičnost ni omejena na opis njegovih elementov. V tem primeru (1.1.) lahko predmet-celoto obravnavamo le kot poimenovano množico individuumov (delov v paketu, zbirke slik), za katere je pravzaprav pomembno le število delov. Takšne predmete lahko imenujemo skupine (ali zbirke)). Tudi (1.2.) je predmet-celota lahko smiselno (in ne samo kvantitativno) določena s svojimi deli in ima posledično lastnosti, ki jih deli nimajo. Takšna celovitost se tradicionalno imenuje sistemi, in deli sistemov - elementi. Druga možnost opisovanja objektov z razvrščanjem v razrede-podrazrede je (2) subsumiranje individuov pod koncept, ki ga lahko le formalno, tavtološko opišemo kot vključitev individuov v množico, katere moč je enaka moči koncept. Konceptualni opis posameznikov lahko nato razvrstimo v (2.1) konceptualno, ki globalno določa tip posameznika, in (2.2) specializiran (relacijski), ki lokalno v času in prostoru (eventualno) povezuje posameznika z drugimi objekti.

Zgornja razmišljanja najprej odpirajo vprašanje zadostnosti in ustreznosti tradicionalnega pristopa k opisovanju predmetnega področja s klasifikacijo na podlagi teorije množic. In sklep je predlagan: da bi zajeli celotno raznolikost objektnih povezav v ontologijah, so potrebna bolj diferencirana klasifikacijska orodja (skupine, sistemi, konceptualni in specializirani koncepti). Formalizem teorije množic se lahko uporablja le kot lokalna poenostavitev za potrebe logičnega sklepanja in ne kot glavna metoda opisovanja.