Največja celoštevilska vrednost funkcije. Kako najti največjo vrednost funkcije? Metodološka priporočila za praktične vaje Tema: Uvod

Na številnih področjih življenja se lahko soočite s potrebo po reševanju nečesa s pomočjo številk, na primer v ekonomiji in računovodstvu lahko z optimizacijo ugotovite samo najmanjše in največje vrednosti nekaterih kazalnikov. danih parametrov. In to ni nič drugega kot iskanje največjih in najmanjših vrednosti na danem segmentu funkcije. Zdaj pa poglejmo, kako najti najvišjo vrednost funkcije.

Iskanje največje vrednosti: navodila

1. Ugotovite, na katerem segmentu funkcije morate izračunati vrednost, označite ga s pikami. Ta interval je lahko odprt (ko je funkcija enaka segmentu), zaprt (ko je funkcija na segmentu) in neskončen (ko se funkcija ne konča).
2. Poiščite odvod funkcije.
3. Poiščite točke na segmentu funkcije, kjer je odvod enak nič, in to je to kritične točke. Nato izračunajte vrednosti funkcije na teh točkah in rešite enačbo. Med dobljenimi vrednostmi poiščite največjo.
4. Razkrij vrednosti funkcij vklopljeno končne točke, določite večjega od njih
5. Primerjajte podatke z največjo vrednostjo in izberite največjo. To bo največja vrednost funkcije.

Kako najti največjo celoštevilsko vrednost funkcije? Izračunati morate, ali je funkcija soda ali liha, in nato rešiti konkreten primer. Če je število pridobljeno z ulomkom, ga ne upoštevajte; rezultat največje cele vrednosti funkcije bo samo celo število.

Preučevanje takega predmeta matematične analize, kot je funkcija, je zelo pomembno pomen in na drugih področjih znanosti. Na primer, v ekonomske analize vedenje je treba nenehno ocenjevati funkcije dobička, namreč določiti njegovo največjo pomen in razviti strategijo za dosego tega.

Navodila

Preučevanje kakršnega koli vedenja se mora vedno začeti z iskanjem domene definicije. Običajno glede na stanje določeno nalogo je treba določiti največjo pomen funkcije bodisi nad tem celotnim območjem bodisi nad določenim njegovim odsekom z odprtimi ali zaprtimi mejami.

Na podlagi , največji je pomen funkcije y(x0), v kateri za poljubno točko v definicijskem področju velja neenakost y(x0) ≥ y(x) (x ≠ x0). Grafično bo ta točka najvišja, če so vrednosti argumentov postavljene vzdolž abscisne osi, sama funkcija pa vzdolž ordinatne osi.

Za določitev največjega pomen funkcije, sledite algoritmu v treh korakih. Upoštevajte, da morate znati delati z enostranskimi in ter izračunati izpeljanko. Torej, naj bo dana neka funkcija y(x) in najti morate njeno največjo vrednost pomen na določenem intervalu z mejnimi vrednostmi A in B.

Ugotovite, ali je ta interval v obsegu definicije funkcije. Če želite to narediti, ga morate najti z upoštevanjem vseh možnih omejitev: prisotnost ulomka v izrazu, kvadratni koren itd. Domena definicije je niz vrednosti argumentov, za katere je funkcija smiselna. Ugotovite, ali je dani interval njegova podmnožica. Če da, potem nadaljujte z naslednjim korakom.

Poiščite izpeljanko funkcije in rešite nastalo enačbo tako, da izenačite odvod na nič. Tako boste dobili vrednosti tako imenovanih stacionarnih točk. Oceni, ali vsaj eden izmed njih spada v interval A, B.

Na tretji stopnji upoštevajte te točke in njihove vrednosti nadomestite s funkcijo. Glede na vrsto intervala izvedite naslednje dodatne korake. Če obstaja segment oblike [A, B], so mejne točke vključene v interval, to je označeno z oklepaji. Izračunajte vrednosti funkcije za x = A in x = B. Če je interval odprt (A, B), so mejne vrednosti preluknjane, tj. niso vključeni vanj. Rešite enostranske meje za x→A in x→B. Kombinirani interval oblike [A, B) ali (A, B), katerega ena meja mu pripada, druga pa ne. Poiščite enostransko mejo, ko x teži k preluknjani vrednosti, in drugo nadomestite Neskončni dvostranski interval (-∞, +∞) ali enostranski neskončni intervali oblike: , (-∞, B) ravnajte po že opisanih principih neskončne, poiščite meje za x→-∞ oziroma x→+∞.

Naloga na tej stopnji

Metodološka priporočila za preučevanje teme "Več vrednosti funkcije. Največja in najmanjša vrednost funkcije.”

V sami matematiki glavno sredstvo

doseči resnico – indukcija in analogija.

Podano: - funkcija. Označimo
- domena definicije funkcije.

Množica (domena) vrednosti funkcije je množica vseh tistih vrednosti, ki jih funkcija lahko sprejme.
.Geometrijsko to pomeni projekcijo grafa funkcije na os
.

Če je smisel tako, da za vsakogar množice obstaja neenakost
, potem pravijo, da funkcija na setu prevzame svojo nai nižjo vrednost

Če obstaja točka, za katero koli množico velja neenakost
, potem pravijo, da funkcija na setu prevzame svojo najvišjo vrednost .

Funkcija se imenuje omejeno spodaj na snemanju, če taka številka obstaja
. Geometrijsko to pomeni, da graf funkcije ni nižji od premice
.

Funkcija se imenuje omejeno zgoraj na snemanju, če taka številka obstaja , da za katero koli množico neenakost velja
. Geometrijsko to pomeni, da graf funkcije ni višji od ravne črte

Funkcija se imenuje omejeno na množici, če je na tej množici omejena od spodaj in zgoraj. Omejenost funkcije pomeni, da je njen graf znotraj določenega vodoravnega pasu.

Cauchyjeva neenakost glede aritmetične in geometrične sredine
:

>,>0) Primer:

Največja in najmanjša vrednost funkcije na intervalu

(odsek, interval, žarek)

Lastnosti funkcij, zveznih na intervalu.

1. Če je funkcija zvezna na segmentu, potem na njem doseže največjo in najmanjšo vrednost.

2. Zvezna funkcija lahko doseže največjo in najmanjšo vrednost tako na koncu segmenta kot znotraj njega

3. Če je največja (ali najmanjša) vrednost dosežena znotraj segmenta, potem samo na stacionarni ali kritični točki.

Algoritem za iskanje največje in najmanjše vrednosti zvezna funkcija na segmentu

1. Poiščite izpeljanko
.

2. Poiščite stacionarne in kritične točke, ki ležijo znotraj segmenta .

3. Poiščite vrednosti funkcije na izbranih stacionarnih in kritičnih točkah ter na koncih segmenta, tj.
in
.

4.Med najdenimi vrednostmi izberite najmanjšo (to bo
) in največji (to bo
)

Lastnosti zveznih funkcij, ki so monotone na intervalu:

Nenehno naraščanje na segmentu funkcija doseže največjo vrednost pri
, najmanjši – pri
.

Nenehno padanje na segmentu funkcija doseže največjo vrednost pri , najmanjšo pa pri .

Če vrednost funkcije
nenegativna na nekem intervalu, potem ta funkcija in funkcija
, kjer je n naravno število, zavzame največjo (najmanjšo) vrednost na isti točki.

Iskanje največje in najmanjše vrednosti neprekinjena funkcija na intervalu
ali na žarku

(težave pri optimizaciji).

Če ima zvezna funkcija eno samo točko ekstrema na intervalu ali žarku in je ta ekstrem maksimum ali minimum, potem je na tej točki maksimum oz. najmanjša vrednost funkcije ( ali )

Uporaba lastnosti monotonosti funkcij.

1. Kompleksna funkcija, sestavljena iz dveh naraščajočih funkcij, narašča.

2.Če se funkcija poveča in funkcija
zmanjša, nato funkcija
- zmanjševanje.

3. Vsota dveh naraščajočih (padajočih) funkcij, naraščajoča (padajoča) funkcija.

4. Če je v enačbi
leva stran je naraščajoča (ali padajoča) funkcija, potem ima enačba največ en koren.

5.Če funkcija narašča (pada) in funkcija pada (narašča), potem enačba
ima največ eno rešitev.

6. Enačba
ima vsaj en koren, če in samo če

pripada večpomenom
funkcije .

Uporaba lastnosti omejenih funkcij.

1. Če je leva stran enačbe (neenakost) (
manjše ali enako nekemu številu (
), A desni del večje ali enako temu številu (), potem sistem velja
katere rešitev je rešitev same enačbe (neenačbe).

Naloge za samokontrolo

Uporaba:

3. Poiščite vse vrednosti, za katere velja enačba
ima rešitev.

Domača naloga

1. Poiščite največjo vrednost funkcije:

, Če
.

2. Poiščite najmanjšo vrednost funkcije:

.

3. Poiščite največjo celoštevilsko vrednost funkcije:

. tiste, ki ustrezajo največji. Idealno-...

S praktičnega vidika je največje zanimanje uporaba odvoda za iskanje največje in najmanjše vrednosti funkcije. S čim je to povezano? Maksimiziranje dobička, minimiziranje stroškov, določanje optimalne obremenitve opreme ... Z drugimi besedami, na številnih področjih življenja moramo reševati probleme optimizacije nekaterih parametrov. In to so naloge iskanja največje in najmanjše vrednosti funkcije.

Upoštevati je treba, da največjo in najmanjšo vrednost funkcije običajno iščemo na določenem intervalu X, ki je bodisi celotna domena funkcije bodisi del domene definicije. Sam interval X je lahko segment, odprt interval , neskončen interval.

V tem članku bomo eksplicitno govorili o iskanju največjih in najmanjših vrednosti dano funkcijo ena spremenljivka y=f(x) .

Navigacija po straneh.

Največja in najmanjša vrednost funkcije – definicije, ilustracije.

Oglejmo si na kratko glavne definicije.

Največja vrednost funkcije to za kogarkoli neenakost je res.

Najmanjša vrednost funkcije y=f(x) na intervalu X imenujemo taka vrednost to za kogarkoli neenakost je res.

Te definicije so intuitivne: največja (najmanjša) vrednost funkcije je največja (najmanjša) sprejemljiva vrednost na obravnavanem intervalu na abscisi.

Stacionarne točke– to so vrednosti argumenta, pri katerih odvod funkcije postane nič.

Zakaj potrebujemo stacionarne točke pri iskanju največjih in najmanjših vrednosti? Odgovor na to vprašanje daje Fermatov izrek. Iz tega izreka sledi, da če ima diferenciabilna funkcija ekstrem ( lokalni minimum ali lokalni maksimum) na določeni točki, potem ta točka miruje. Tako funkcija pogosto zavzame največjo (najmanjšo) vrednost na intervalu X na eni od stacionarnih točk iz tega intervala.

Prav tako lahko funkcija pogosto prevzame svoje največje in najmanjše vrednosti v točkah, kjer prvi odvod te funkcije ne obstaja in je funkcija sama definirana.

Takoj odgovorimo na eno najpogostejših vprašanj na to temo: "Ali je vedno mogoče določiti največjo (najmanjšo) vrednost funkcije"? Ne ne vedno. Včasih meje intervala X sovpadajo z mejami domene definicije funkcije ali pa je interval X neskončen. In nekatere funkcije v neskončnosti in na mejah domene definicije lahko zavzamejo neskončno velike in neskončno majhne vrednosti. V teh primerih ni mogoče reči ničesar o največji in najmanjši vrednosti funkcije.

Za jasnost bomo podali grafično ilustracijo. Poglejte slike in marsikaj vam bo bolj jasno.

Na segmentu

Na prvi sliki funkcija zavzame največje (max y) in najmanjše (min y) vrednosti na stacionarnih točkah znotraj segmenta [-6;6].

Razmislite o primeru, prikazanem na drugi sliki. Spremenimo segment v . V tem primeru je najmanjša vrednost funkcije dosežena pri stacionarna točka, in največji - v točki z absciso, ki ustreza desni meji intervala.

Na sliki 3 so mejne točke segmenta [-3;2] abscise točk, ki ustrezata največji in najmanjši vrednosti funkcije.

Na odprtem intervalu

Na četrti sliki funkcija zavzame največje (max y) in najmanjše (min y) vrednosti na stacionarnih točkah, ki se nahajajo znotraj odprtega intervala (-6;6).

Na intervalu ni mogoče sklepati o največji vrednosti.

V neskončnost

V primeru, predstavljenem na sedmi sliki, funkcija zavzame največjo vrednost (max y) v stacionarni točki z absciso x=1, najmanjšo vrednost (min y) pa doseže na desni meji intervala. Pri minus neskončnosti se vrednosti funkcije asimptotično približajo y=3.

V intervalu funkcija ne doseže niti najmanjše niti največje vrednosti. Ko se x=2 približuje z desne, se vrednosti funkcije nagibajo k minus neskončnosti (ravna črta x=2 je navpična asimptota), in ko se abscisa nagiba k plus neskončnosti, se vrednosti funkcije asimptotično približujejo y=3. Grafična ilustracija tega primera je prikazana na sliki 8.

Algoritem za iskanje največje in najmanjše vrednosti zvezne funkcije na segmentu.

Napišimo algoritem, ki nam omogoča iskanje največje in najmanjše vrednosti funkcije na segmentu.

1. Poiščemo domeno definicije funkcije in preverimo, ali vsebuje celoten segment.
2. Poiščemo vse točke, v katerih prvi odvod ne obstaja in so vsebovane v segmentu (običajno so takšne točke v funkcijah z argumentom pod znakom modula in v močnostne funkcije z ulomkom-racionalnim eksponentom). Če teh točk ni, pojdite na naslednjo točko.
3. Določimo vse stacionarne točke, ki spadajo znotraj segmenta. Da bi to naredili, ga izenačimo z nič, rešimo nastalo enačbo in izberemo ustrezne korenine. Če ni stacionarnih točk ali nobena od njih ne spada v segment, pojdite na naslednjo točko.
4. Vrednosti funkcije izračunamo na izbranih stacionarnih točkah (če obstajajo), na točkah, kjer prvi odvod ne obstaja (če obstaja), kot tudi na x=a in x=b.
5. Iz dobljenih vrednosti funkcije izberemo največjo in najmanjšo - to bo zahtevana največja oziroma najmanjša vrednost funkcije.

Analizirajmo algoritem za reševanje primera za iskanje največje in najmanjše vrednosti funkcije na segmentu.

Primer.

Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije

• na segmentu;
• na segmentu [-4;-1] .

rešitev.

Domena funkcije je celotna množica realna števila, razen ničle, to je . Oba segmenta spadata v domeno definicije.

Poiščite odvod funkcije glede na:

Očitno je, da odvod funkcije obstaja na vseh točkah odsekov in [-4;-1].

Iz enačbe določimo stacionarne točke. Edini pravi koren je x=2. Ta stacionarna točka spada v prvi segment.

V prvem primeru izračunamo vrednosti funkcije na koncih segmenta in v stacionarni točki, to je za x=1, x=2 in x=4:

Zato je največja vrednost funkcije se doseže pri x=1 in najmanjši vrednosti – pri x=2.

V drugem primeru izračunamo vrednosti funkcije le na koncih segmenta [-4;-1] (ker ne vsebuje niti ene stacionarne točke):

V tem članku bom govoril o tem, kako uporabiti veščino iskanja pri preučevanju funkcije: najti njeno največjo ali najmanjšo vrednost. Nato bomo rešili več nalog iz naloge B15 iz Odprta banka naloge za.

Kot ponavadi se najprej spomnimo teorije.

Na začetku kakršnega koli preučevanja funkcije jo najdemo

Da bi našli največjo ali najmanjšo vrednost funkcije, morate preveriti, v katerih intervalih funkcija narašča in v katerih pada.

Da bi to naredili, moramo poiskati odvod funkcije in preučiti njene intervale s konstantnim predznakom, to je intervale, v katerih odvod ohrani svoj predznak.

Intervali, v katerih je odvod funkcije pozitiven, so intervali naraščajoče funkcije.

Intervali, na katerih je odvod funkcije negativen, so intervali padajoče funkcije.

1. Rešimo nalogo B15 (št. 245184)

Za rešitev bomo sledili naslednjemu algoritmu:

a) Poišči domeno definicije funkcije

b) Poiščimo odvod funkcije.

c) Izenačimo ga z nič.

d) Poiščimo intervale konstantnega predznaka funkcije.

e) Poiščite točko, v kateri funkcija prevzame največjo vrednost.

f) Poiščite vrednost funkcije na tej točki.

Podrobno rešitev te naloge razložim v VIDEO VODNICI:

Vaš brskalnik verjetno ni podprt. Za uporabo trenerja " Enotna ura državnega izpita", poskusite prenesti
Firefox

2. Rešimo nalogo B15 (št. 282862)

Poiščite največjo vrednost funkcije na segmentu

Očitno je, da ima funkcija največjo vrednost na segmentu v največji točki, pri x=2. Poiščimo vrednost funkcije na tej točki:

Odgovor: 5

3. Rešimo nalogo B15 (št. 245180):

Poiščite največjo vrednost funkcije

1. title="ln5>0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}

2. Ker glede na domeno definicije izvirne funkcije title="4-2x-x^2>0">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}

3. Števnik enako nič ob . Preverimo, če sodi ODZ funkcije. Če želite to narediti, preverimo, ali je pogoj title="4-2x-x^2>0"> при .!}

Title="4-2(-1)-((-1))^2>0">,

to pomeni, da točka pripada funkciji ODZ

Oglejmo si predznak odvoda desno in levo od točke:

Vidimo, da funkcija dobi največjo vrednost v točki . Zdaj pa poiščimo vrednost funkcije na:

Opomba 1. Upoštevajte, da v tej nalogi nismo našli domene definicije funkcije: le popravili smo omejitve in preverili, ali točka, v kateri je odvod enak nič, spada v domeno definicije funkcije. To se je izkazalo za dovolj za to nalogo. Vendar ni vedno tako. Odvisno od naloge.

Opomba 2. Pri preučevanju vedenja kompleksna funkcija lahko uporabite to pravilo:

• če zunanja funkcija kompleksne funkcije narašča, potem funkcija dobi največjo vrednost na isti točki, kjer notranja funkcija ima največjo vrednost. To izhaja iz definicije naraščajoče funkcije: funkcija narašča na intervalu I if višja vrednost argument iz tega intervala ustreza večji vrednosti funkcije.
• če zunanja funkcija kompleksne funkcije pada, potem funkcija prevzame največjo vrednost na isti točki, kjer notranja funkcija prevzame najmanjšo vrednost . To izhaja iz definicije padajoče funkcije: funkcija pada na intervalu I, če večja vrednost argumenta iz tega intervala ustreza manjši vrednosti funkcije

V našem primeru se zunanja funkcija povečuje skozi celotno domeno definicije. Pod znakom logaritma je izraz - kvadratni trinom, ki ima ob negativnem vodilnem koeficientu največjo vrednost v točki . Nato to vrednost x nadomestimo v enačbo funkcije in najti njegovo največjo vrednost.