Kolikšna je prostornina pravokotnika? Formule za iskanje volumna paralelopipeda

Preden preidemo na praktični del članka, kjer bomo iskali prostornino paralelepipeda, se spomnimo, kakšna številka je to, in ugotovimo, zakaj morda potrebujemo te izračune.

Obstajajo tri definicije in vse so enakovredne. Torej, paralelepiped je:

1. Polieder s šestimi ploskvami, od katerih je vsaka paralelogram.

2. Šesterokotnik, ki ima tri pare med seboj vzporednih ploskev.

3. Prizma s paralelogramom na svoji osnovi.

Morda najpogostejši pri nas resnično življenje Obravnavani vrsti geometrijske figure sta pravokotni paralelepiped in kocka. Poleg tega se razlikuje med nagnjenim in ravnim paralelopipedom.

Pravokotni paralelopiped: volumen

Pravokotni paralelepiped se odlikuje po tem, da je vsaka ploskev pravokotnik. Kot vsakdanji primer To figuro lahko uporabite v običajni škatli (škatla za čevlje, darilna škatla, poštni nabiralnik).

Najprej morate najti vrednosti obeh stranic osnove paralelopipeda, ki se nahajata pravokotno drug na drugega (na ravnini bi se imenovala širina in dolžina).

P = A*B, kjer je A dolžina, B širina.

Zdaj naredimo še eno meritev - višino dane figure, ki jo bomo imenovali H.

No, zahtevano prostornino ugotovimo, če višino pomnožimo s površino baze, to je:

Prostornina pravilnega paralelepipeda

Ravni paralelepiped se odlikuje po tem, da so njegove stranske ploskve pravokotne, ker so pravokotne na osnove figure.

Prostornina se izračuna na podoben način, razlika je le v tem, da višina tukaj ni rob paralelopipeda. IN v tem primeru predstavlja črto, ki povezuje dva nasprotni obrazi lik in pravokotno na njegovo osnovo.

Ker je osnova vašega paralelopipeda paralelogram in ne pravokotnik, postane formula za izračun površine osnove nekoliko bolj zapletena. Zdaj bo videti takole:

P = A * B * sin(a), kjer sta A, B dolžina in s tem širina osnove, "a" pa je kot, ki ga tvorita, ko se sekata.

Kako najti prostornino nagnjenega paralelopipeda?

Vsak paralelepiped, ki ni raven, se šteje za nagnjenega.

Ker robovi te figure niso pravokotni na podlago, morate najprej najti višino. Če ga pomnožite s površino baze (glejte zgornjo formulo), dobite glasnost:

V = P*H, kjer je P osnovna površina, H je višina.

Prostornina paralelepipeda z kvadratni robovi

Kocka je pravokoten paralelepiped, katerega vsaka od šestih ploskev je kvadrat. To pomeni lastnost te figure - vsi njeni robovi so enaki drug drugemu. Za primer si predstavljajmo otroško igračo kot so kocke.

No, iskanje prostornine kocke je na splošno izjemno preprosto. Če želite to narediti, morate opraviti le eno meritev (robovi) in dvigniti dobljeno vrednost na tretjo potenco. Všečkaj to:

V = A³.

Kako nam lahko prostornina paralelepipeda koristi v življenju?

Recimo, da ste zmedeni nad takim problemom, kot je število škatel, ki se lahko prilegajo v prtljažnik vašega avtomobila. Če želite to narediti, se morate oborožiti z ravnilom ali merilnim trakom, peresom, listom papirja in zgornjimi formulami pravokotni paralelopiped.

Če izmerite prostornino ene škatle in vrednost pomnožite s številom škatel, ki jih imate, boste vedeli, koliko kubičnih centimetrov bo potrebnih, da jih spravite v prtljažnik vašega avtomobila.

In ja, ne pozabite, da bo v nekaterih primerih priporočljivo kubične centimetre pretvoriti v metre. Torej, če ste kot rezultat prejeli prostornino škatle, ki je enaka 50 cm kubičnim, potem za pretvorbo to številko preprosto pomnožite z 0,001. Tako boste dobili kubične metre. In če želite izvedeti prostornino v litrih, potem rezultat v kubičnih metrih pomnožite s 1000.

Recimo, da Ahil teče desetkrat hitreje od želve in je tisoč korakov za njo. V času, ki ga potrebuje Ahil, da preteče to razdaljo, bo želva odplazila sto korakov v isto smer. Ko Ahil preteče sto korakov, se želva plazi še deset korakov in tako naprej. Proces se bo nadaljeval ad infinitum, Ahil ne bo nikoli dohitel želve.

To razmišljanje je postalo logični šok za vse naslednje generacije. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Hilbert ... Vsi so tako ali drugače obravnavali Zenonove aporije. Šok je bil tako močan, da " ... razprave se nadaljujejo še danes; znanstvena skupnost še ni uspela priti do skupnega mnenja o bistvu paradoksov ... so bili vključeni v preučevanje problematike. matematična analiza, teorija množic, nova fizikalna in filozofski pristopi; nobeden od njih ni postal splošno sprejeta rešitev problema ..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Vsi razumejo, da so preslepljeni, vendar nihče ne razume, v čem je prevara.

Z matematičnega vidika je Zenon v svoji aporiji jasno prikazal prehod od kvantitete k . Ta prehod pomeni uporabo namesto stalnih. Kolikor razumem, matematični aparat za uporabo spremenljivih merskih enot še ni bil razvit ali pa ni bil uporabljen pri Zenonovi aporiji. Uporaba naše običajne logike nas pripelje v past. Mi pa zaradi vztrajnosti mišljenja na recipročno vrednost dodajamo stalne časovne enote. Z fizična točka Iz perspektive je videti, kot da se čas upočasnjuje, dokler se popolnoma ne ustavi v trenutku, ko Ahil dohiti želvo. Če se čas ustavi, Ahil ne more več prehiteti želve.

Če obrnemo našo običajno logiko, se vse postavi na svoje mesto. Achilles teče z konstantna hitrost. Vsak naslednji segment njegove poti je desetkrat krajši od prejšnjega. Skladno s tem je čas, porabljen za njegovo premagovanje, desetkrat manjši od prejšnjega. Če v tej situaciji uporabimo koncept "neskončnosti", potem bi bilo pravilno reči, da bo Ahil dohitel želvo neskončno hitro."

Kako se izogniti tej logični pasti? Ostani notri stalne enote meritve časa in ne gredo na vzajemnosti. V Zenonovem jeziku je to videti takole:

V času, ki ga potrebuje Ahil, da preteče tisoč korakov, bo želva odplazila sto korakov v isto smer. V naslednjem časovnem intervalu, ki je enak prvemu, bo Ahil pretekel še tisoč korakov, želva pa se bo plazila sto korakov. Zdaj je Ahil osemsto korakov pred želvo.

Ta pristop ustrezno opisuje realnost brez logičnih paradoksov. Ampak ni popolna rešitev Težave. Einsteinova izjava o neustavljivosti svetlobne hitrosti je zelo podobna Zenonovi aporiji "Ahil in želva". Ta problem moramo še preučiti, premisliti in rešiti. In rešitev je treba iskati ne v neskončno velikem številu, ampak v merskih enotah.

Druga zanimiva Zenonova aporija govori o leteči puščici:

Leteča puščica je negibna, saj v vsakem trenutku miruje, in ker v vsakem trenutku miruje, vedno miruje.

V tej aporiji logični paradoks premagati ga je mogoče zelo preprosto - dovolj je pojasniti, da v vsakem trenutku leteča puščica miruje na različnih točkah v prostoru, kar je pravzaprav gibanje. Tukaj je treba opozoriti na drugo točko. Iz ene fotografije avtomobila na cesti ni mogoče ugotoviti niti dejstva njegovega gibanja niti razdalje do njega. Če želite ugotoviti, ali se avto premika, potrebujete dve fotografiji, posneti z iste točke v različnih časovnih točkah, vendar ne morete določiti razdalje od njiju. Za določitev razdalje do avtomobila potrebujete dve fotografiji različne točke prostora v eni točki časa, vendar je iz njih nemogoče ugotoviti dejstvo gibanja (seveda so za izračune še vedno potrebni dodatni podatki, trigonometrija vam bo pomagala). Kaj želim poudariti Posebna pozornost, je, da sta dve točki v času in dve točki v prostoru različni stvari, ki ju ne smemo zamenjevati, saj ponujata različne možnosti za raziskovanje.

Sreda, 4. julij 2018

Razlike med množico in množico so zelo dobro opisane na Wikipediji. Pa poglejmo.

Kot lahko vidite, »v nizu ne moreta biti dva enaka elementa«, če pa so v nizu enaki elementi, se tak niz imenuje »multiset«. Tako absurdna logika čuteča bitja nikoli ne razumem. To je raven govorečih papig in dresiranih opic, ki nimajo pameti od besede "popolnoma". Matematiki delujejo kot navadni trenerji in nam pridigajo svoje absurdne ideje.

Nekoč so bili inženirji, ki so gradili most, v čolnu pod mostom med testiranjem mostu. Če se je most zrušil, je povprečen inženir umrl pod ruševinami svoje stvaritve. Če je most zdržal obremenitev, je nadarjeni inženir zgradil druge mostove.

Ne glede na to, kako se matematiki skrivajo za besedno zvezo »jebi me, doma sem« ali bolje rečeno »matematika študira abstraktni pojmi", obstaja ena popkovina, ki jih neločljivo povezuje z resničnostjo. Ta popkovina je denar. Prijavite se matematična teorija postavlja samim matematikom.

Zelo dobro smo se učili matematiko in zdaj sedimo za blagajno in delimo plače. Matematik torej pride k nam po svoj denar. Celoten znesek mu preštejemo in ga razporedimo po svoji mizi v različne kupčke, v katere damo bankovce enakih vrednosti. Nato iz vsakega kupa vzamemo po en račun in damo matematiku njegov »matematični nabor plače«. Matematiku razložimo, da bo preostale račune prejel šele, ko bo dokazal, da množica brez enakih elementov ni enaka množici z enaki elementi. Tu se začne zabava.

Najprej bo delovala logika poslancev: "To lahko velja za druge, zame pa ne!" Potem nas bodo začeli prepričevati, da imajo bankovci istega apoena različne številke bankovcev, kar pomeni, da jih ni mogoče šteti za iste elemente. V redu, preštejmo plače v kovancih - na kovancih ni številk. Tu se bo matematik začel mrzlično spominjati fizike: na različnih kovancih obstaja različne količine blato, kristalna struktura in razporeditev atomov v vsakem kovancu je edinstvena ...

In zdaj imam največ zanimanje Vprašaj: kje je črta, za katero se elementi multimnožice spremenijo v elemente množice in obratno? Takšna linija ne obstaja – o vsem odločajo šamani, znanost tu niti približno ne laže.

Poglej tukaj. Izberemo nogometne stadione z enako površino igrišča. Območja polj so enaka – kar pomeni, da imamo multimnožico. Če pa pogledamo imena teh istih stadionov, jih dobimo veliko, saj so imena različna. Kot lahko vidite, je ista množica elementov hkrati množica in multimnožica. Kaj je pravilno? In tu matematik-šaman-oštar potegne iz rokava asa adutov in nam začne pripovedovati ali o množici ali multimnožici. V vsakem primeru nas bo prepričal, da ima prav.

Da bi razumeli, kako sodobni šamani operirajo s teorijo množic in jo povezujejo z realnostjo, je dovolj odgovoriti na eno vprašanje: kako se elementi enega sklopa razlikujejo od elementov drugega? Pokazal vam bom, brez kakršnih koli "predstavljivo kot enotna celota" ali "ni predstavljivo kot ena sama celota."

Nedelja, 18. marec 2018

Vsota števk števila je ples šamanov s tamburinom, ki nima nobene zveze z matematiko. Da, pri pouku matematike nas učijo najti vsoto števk števila in jo uporabiti, a zato so šamani, da svoje potomce učijo svojih veščin in modrosti, sicer bodo šamani preprosto izumrli.

Potrebujete dokaz? Odprite Wikipedijo in poskusite najti stran "Vsota števk števila." Ona ne obstaja. V matematiki ni formule, s katero bi lahko našli vsoto števk katerega koli števila. Navsezadnje so številke grafični znaki, s katerimi pišemo števila, v matematičnem jeziku pa naloga zveni takole: »Poišči vsoto grafičnih znakov, ki predstavljajo poljubno število.« Matematiki tega problema ne morejo rešiti, šamani pa to z lahkoto.

Ugotovimo, kaj in kako naredimo, da bi našli vsoto števil dano številko. In tako imamo številko 12345. Kaj je treba storiti, da bi našli vsoto števk tega števila? Razmislimo o vseh korakih po vrstnem redu.

1. Zapišite številko na list papirja. Kaj smo storili? Število smo pretvorili v grafični številski simbol. To ni matematična operacija.

2. Eno nastalo sliko razrežemo na več slik, ki vsebujejo posamezne številke. Rezanje slike ni matematična operacija.

3. Posamezne grafične znake pretvorite v številke. To ni matematična operacija.

4. Seštejte dobljena števila. Zdaj je to matematika.

Vsota števk števila 12345 je 15. To so »tečaji krojenja in šivanja«, ki jih poučujejo šamani, uporabljajo pa jih matematiki. A to še ni vse.

Z matematičnega vidika ni vseeno, v katerem številskem sistemu zapišemo število. Torej, v različne sisteme V računstvu bo vsota števk istega števila drugačna. V matematiki je številski sistem označen kot indeks na desni strani števila. Z veliko število 12345 Nočem si delati glave, poglejmo številko 26 iz članka o . Zapišimo to število v dvojiškem, osmiškem, decimalnem in šestnajstiškem številskem sistemu. Ne bomo pogledali vsakega koraka pod mikroskopom; Poglejmo rezultat.

Kot lahko vidite, je v različnih številskih sistemih vsota števk istega števila različna. Ta rezultat nima nobene zveze z matematiko. To je enako, kot če bi določili površino pravokotnika v metrih in centimetrih, dobili bi popolnoma drugačne rezultate.

Ničla je videti enako v vseh številskih sistemih in nima vsote števk. To je še en argument v prid dejstvu, da. Vprašanje za matematike: kako se v matematiki označi nekaj, kar ni številka? Kaj, za matematike ne obstaja nič razen številk? Šamanom to lahko dovolim, znanstvenikom pa ne. Realnost niso samo številke.

Dobljeni rezultat je treba obravnavati kot dokaz, da so številski sistemi merske enote za števila. Navsezadnje ne moremo primerjati števil z različnimi merskimi enotami. Če enaka dejanja z različnimi merskimi enotami iste količine po primerjavi privedejo do različnih rezultatov, potem to nima nobene zveze z matematiko.

Kaj je prava matematika? To je takrat, ko rezultat matematične operacije ni odvisen od velikosti števila, uporabljene merske enote in od tega, kdo to dejanje izvaja.

Oh! Ali ni to žensko stranišče?
- Mlada ženska! To je laboratorij za preučevanje nedefilske svetosti duš med njihovim vnebovzetjem v nebesa! Halo na vrhu in puščica navzgor. Kakšno drugo stranišče?

Ženska... Avreol na vrhu in puščica navzdol sta moški.

Če se vam takšno umetniško delo večkrat na dan zasveti pred očmi,

Potem ni presenetljivo, da nenadoma najdete čudno ikono v svojem avtomobilu:

Osebno se trudim, da pri kakajočem človeku vidim minus štiri stopinje (ena slika) (kompozicija večih slik: znak minus, številka štiri, oznaka stopinj). In mislim, da to dekle ni neumno, ne poznavalec fizike. Ona ima preprosto stereotip dojemanja grafične podobe. In tega nas matematiki ves čas učijo. Tukaj je primer.

1A ni "minus štiri stopinje" ali "en a". To je "človek, ki se pokaka" ali številka "šestindvajset" v šestnajstiškem zapisu. Tisti ljudje, ki nenehno delajo v tem sistemu številk, samodejno zaznajo številko in črko kot en grafični simbol.

Prostornina paralelepipeda

Velikost prostornine nam daje predstavo o tem, kakšen del prostora zaseda predmet, ki nas zanima, in da bi našli prostornino pravokotnega paralelepipeda, moramo njegovo osnovno površino pomnožiti z njegovo višino.

IN Vsakdanje življenje, najpogosteje za merjenje prostornine tekočine praviloma uporabljajo naslednje merska enota, kot liter = 1dm3.

Poleg te merske enote se za določanje prostornine uporablja še:

Paralelepiped je ena najpreprostejših tridimenzionalnih figur, zato iskanje njegove prostornine ni težko.

Prostornina paralelepipeda enako zmnožku njegovo dolžino, širino in višino. Tisti. Da bi našli prostornino pravokotnega paralelopipeda, je dovolj, da pomnožite vse tri njegove dimenzije.

Če želite najti prostornino kocke, morate vzeti njeno dolžino in jo dvigniti na tretjo potenco.

Opredelitev paralelepipeda

Zdaj pa se spomnimo, kaj je paralelepiped in kako se razlikuje od kocke.

Paralelepiped se imenuje tak tridimenzionalni lik, ki ima na svoji osnovi mnogokotnik. Površina pravokotnega paralelepipeda je sestavljena iz šestih pravokotnikov, ki so ploskve tega paralelepipeda. Zato je logično, da ima paralelopiped šest ploskev, ki so sestavljene iz paralelogramov. Vse ploskve tega mnogokotnika, ki se nahajajo ena nasproti druge, imajo enake dimenzije.

Vsi robovi paralelepipeda so stranice ploskev. Toda stične točke obrazov so oglišča te figure.

Vaja:

1. Pozorno poglej risbo in mi povej, na kaj te spominja?
2. Pomisli in odgovori, kje v vsakdanjem življenju lahko srečaš takšno postavo?
3. Koliko robov ima paralelepiped?

Vrste paralelopipedov

Paralelepipede delimo na več vrst, kot so:

Pravokoten;
Nagnjen;
Kocka

Pravokotni paralelepipedi vključujejo tiste figure, katerih obrazi so sestavljeni iz pravokotnikov.

če stranski obrazi niso pravokotne na njegovo podlago, potem je pred vami nagnjen paralelepiped.

Figura, kot je kocka, je tudi paralelepiped. Vse njene ploskve brez izjeme imajo obliko kvadratov.

Lastnosti paralelepipeda

Številka, ki jo preučujemo, ima številne lastnosti, o katerih bomo zdaj izvedeli:

Prvič, nasprotni obrazi te figure so enake in vzporedne med seboj;

Drugič, simetrična je le glede na sredino katere koli in vseh svojih diagonal;

Tretjič, če vzamete in narišete diagonale med vsemi nasprotna oglišča paralelogram, potem bosta imela samo eno presečišče.

Četrtič, kvadrat je dolžina njegove diagonale, enaka vsoti kvadratov svojih 3 dimenzij.

Zgodovinska referenca

V obdobju različnih zgodovinske dobe V različne države rabljeno različne sisteme meritve mase, dolžine in drugih količin. Ampak saj je bilo težko trgovinski odnosi med državami, ovirala pa je tudi razvoj znanosti, se je pojavila potreba po enotnem mednarodni sistem ukrepov, ki bi bili primerni za vse države.

Metrični sistem mer SI, ki je ustrezal večini držav, je bil razvit v Franciji. Zahvaljujoč Mendelejevu je bil v Rusiji uveden metrični sistem mer.

Toda mnogi poklici do danes uporabljajo svoje posebne meritve, včasih je to poklon tradiciji, včasih stvar udobja. Na primer, mornarji še vedno raje merijo hitrost v vozlih in razdaljo v miljah - to je zanje tradicija. Toda draguljarji po vsem svetu dajejo prednost takšni merski enoti, kot je karat - in v njihovem primeru je to hkrati tradicija in udobje.

vprašanja:

1. Kdo ve, koliko metrov je v eni milji? Kaj je eno vozlišče?
2. Zakaj se merska enota za diamante imenuje karat? Zakaj je bilo draguljarjem v preteklosti primerno meriti maso v takih enotah?
3. Kdo se spomni v katerih enotah se meri olje?

>> Lekcija 31. Formula za prostornino pravokotnega paralelopipeda

Pravokotni paralelepiped je prostorsko omejena figura pravokotniki.

Mnogi predmeti iz okolja imajo obliko paralelepipeda: škatla, kocke, TV, omara itd..

Pouk matematike v 5. razredu. (Vilenkin)

Zadeva: Zvezki. Prostornina pravokotnega paralelepipeda.

Cilj: 1. Pri reševanju nalog utrdite znanje o tej temi. Pripraviti se testno delo. Podajte razmerje prostorninskih enot.

2. Ponovi lastnosti množenja, poenostavljanja izrazov, delov paralelopipeda.

3. Izobraževati okoljski vidik, pozornost.

Oprema: na tabli: tema, naloga za ustno štetje; Izroček: modeli paralelepipeda, kocke, škatlice za vžigalice; za otroke: goljufije, ravnila, dvobarvni signalni krogi,

Med poukom.

Organiziranje časa.

Dober dan, srečna ura, matematika je tu. Na mizi: ravnila, goljufije, zvezki, učbeniki.

Ustno štetje (ogrevanje)št. 806 – v vrstah “v verigi”,

- prijaviti se razdelitvena lastnina množenje:

(x + 8) 20 na tabli

247 123 – 147 123

- poenostavite:

20a – 19a 4x + x – 2x

13v - 27 + 13v - 10v

Sporočite temo in namen.

— S katerimi geometrijskimi liki ste se seznanili? Danes bomo ponovili, kako najti prostornino pravokotnega paralelepipeda in enote za prostornino. Priprava na test.

IV. Ponavljanje naučenega. kockasti modeli,

— Pokaži zgornji, zadnji, spodnji in sprednji rob. paralelopiped

— Pokažite dve ploskvi, ki imata skupen rob,

— Pokaži navpične robove.

(pokaži 2 ali 3 študente hkrati)

Igra "Da - ne"

— Vsaka kocka je pravokotni paralelopiped (+) signal

— Pravokotni paralelepiped ima 10 oglišč (-, 8) krogov

– 6 robov (+) – 12 robov (+)

— Vsaka stran kocke je kvadrat (+)

— Če dolžina pravokotnega paralelepipeda ni enaka njegovi višini, potem ne more biti kocka (+)

— Prostornina pravokotnega paralelopipeda je enaka zmnožku njegovih treh dimenzij (+)

Poiščite formulo.

- izračunajte prostornino škatlica za vžigalice, kocka, paralelepiped. vidnost

— dodatni material"Koliko zraka potrebuje človek za vdihavanje?"

Z vsakim vdihom človek vnese v pljuča 9 litrov zraka v 1 minuti. To znese 9 * 60 na uro, torej 540 litrov. Zaokrožimo na 500 litrov ali pol kubičnega metra in ugotovimo, da človek vdihne 12 m³ zraka na dan. Ta prostornina je 14 kg.

Človek v enem dnevu preide skozi svoje telo več zraka kot hrane: nihče ga ne poje niti 3 kg na dan, vdihnemo pa 14 kg. Če upoštevamo, da je vdihani zrak sestavljen iz 4/5 dušika, ki je neuporaben za dihanje, potem se zdi, da naše telo porabi le 3 kg, torej približno toliko kot hrana (trdna in tekoča).

Ali potrebujem še kakšno dokazilo o potrebi po prenovi zraka v dnevni sobi?

- št. 804, 801 - na tabli,

— Kako izračunati prostornino paralelepipeda ali kocke?

— V katerih enotah se meri prostornina?

VI. Razmerje prostorninskih enot.“goljufali” Pišite v “goljufali”. flyleaf

— Igra »Najšibkejši člen« — št. 802,

— Naloga na kartah.

— Izraženo v kubičnih cm:

6 dm³, 287 dm³

5 dm³ 23 cm³ 16000 mm³

5 dm³ 635 cm³ 2 dm³ 80 cm³

— Izraženo v kubičnih dm:

6m³ 580cm³ 7m³ 15dm³

VII. Ponavljanje naučenega. № 808

VIII. rezultat:— Česa se spomnite iz lekcije?

— Kdo je delal za 5? s 4?

IX. Domača naloga : § 21, št. 822 (a, b), št. 823.

Matematika
5. razred

21. Zvezki.

Če kalup napolnite z mokrim peskom, ga nato obrnete in odstranite, dobite like, ki imajo enako prostornino (slika 83). Če je kalup napolnjen z vodo, bo prostornina vode enako glasnosti vsaka peščena figura.

riž. 83

Če želite primerjati prostornini dveh posod, lahko eno od njiju napolnite z vodo in jo natočite v drugo posodo. Če je druga posoda napolnjena in v prvi ni več vode, sta prostornini posod enaki. Če voda ostane v prvi posodi, je njena prostornina večja od prostornine druge posode. In če druge posode ni mogoče napolniti z vodo, potem je prostornina prve posode manjša od prostornine druge.

Za merjenje prostornin se uporabljajo naslednje enote: kubični milimeter (mm3), kubični centimeter (cm3), kubični decimeter (dm3), kubični meter (m3), kubični kilometer (km3).

Na primer: kubični centimeter je prostornina kocke z robom 1 cm (slika 84).

riž. 84

Kubični decimeter se imenuje tudi liter.

Slika na sliki 85 je sestavljena iz 4 kock z robom 1 cm. To pomeni, da je njena prostornina 4 cm3.

riž. 85

Izpeljimo pravilo za izračun prostornine pravokotnega paralelopipeda.

Formule za prostornine paralelopipedov in kock

Naj ima pravokotni paralelepiped dolžino 4 cm, širino 3 cm in višino 2 cm (slika 86, a). Razdelimo ga na dve plasti debeline 1 cm (slika 86, b). Vsaka od teh plasti je sestavljena iz 3 stolpcev, dolgih 4 cm (slika 86, c), vsak stolpec pa je sestavljen iz 4 kock z robom 1 cm (slika 86, d). To pomeni, da je prostornina vsakega stolpca 4 cm3, vsaka plast 4 3 (cm3), celoten pravokotni paralelepiped pa (4 3) 2, to je 24 cm3.

riž. 86

Če želite najti prostornino pravokotnega paralelepipeda, morate njegovo dolžino pomnožiti s širino in višino.

Formula za prostornino pravokotnega paralelepipeda je

kjer je V prostornina; a, b, c - meritve.

Če je rob kocke 4 cm, potem je prostornina kocke 4 4 ​​4 = 43 (cm3), to je 64 cm3.

Če je rob kocke enak a, potem je prostornina V kocke enaka a a a = a3.

To pomeni, da ima formula za prostornino kocke obliko

Zato se vnos a3 imenuje kocka a.

Prostornina kocke z robom 1 m je enaka 1 m3. In ker je 1 m = 10 dm, potem je 1 m3 = 103 dm3, to je 1 m3 = 1000 dm3 = 1000 l.

Na enak način ugotovimo, da

1 l = 1 dm3 = 1000 cm3; 1 cm3 = 1000 mm3;

1 km3 = 1.000.000.000 m3 (glej sliko).

Vprašanja za samotestiranje

• Slika je sestavljena iz 19 kock s stranico 1 cm; kolikšna je prostornina te figure?
• Kaj je kubični centimeter; kubični meter?
• Kakšno je drugo ime za kubični decimeter?
• Koliko kubičnih centimetrov je 1 liter?
• Koliko litrov je enak kubični meter?
• Koliko kubičnih metrov v kubičnih kilometrih?
• Napišite formulo za prostornino pravokotnega paralelopipeda.
• Kaj pomeni črka V v tej formuli; črke a, b, c?
• Napišite formulo za prostornino kocke.

Delajte vaje

819. Figure so narejene iz kock z robom 1 cm (slika 87). Poiščite prostornine in površine teh likov.

riž. 87

820. Poiščite prostornino pravokotnega paralelopipeda, če:

• a) a = 6 cm, b = 10 cm, c = 5 cm;
• b) a = 30 dm, b = 20 dm, c = 30 dm;
• c) a = 8 dm, b = 6 m, c = 12 m;
• d) a = 2 dm 1 cm, b = 1 dm 7 cm, c = 8 cm;
• e) a = 3 m, b = 2 dm, c = 15 cm.

821. kvadrat spodnji rob pravokotnega paralelepipeda je 24 cm2. Določi višino tega paralelepipeda, če je njegova prostornina 96 cm3.

822. Prostornina prostora je 60 m3. Višina sobe je 3 m, širina 4 m. Poiščite dolžino sobe in površino tal, stropa in sten.

823. Poišči prostornino kocke, katere rob je 8 dm; 3 dm 6 cm.

824. Poišči prostornino kocke, če je njena površina 96 cm2.

825. Express:

• a) v kubičnih centimetrov: 5 dm3 635 cm3; 2 dm3 80 cm3;
• b) v kubičnih decimetrih: 6 m3 580 dm3; 7 m3 15 dm3;
• c) v kubičnih metrih in decimetrih: 3270 dm3; 12.540.000 cm3.

826. Višina sobe je 3 m, širina 5 m in dolžina 6 m. Koliko kubičnih metrov zraka je v sobi?

827. Dolžina akvarija je 80 cm, širina 45 cm in višina 55 cm. Koliko litrov vode je treba natočiti v ta akvarij, da bo nivo vode 10 cm pod zgornjim robom akvarija?

828. Pravokotni paralelepiped (slika 88) je razdeljen na dva dela. Poiščite prostornino in površino celotnega paralelepipeda in obeh njegovih delov. Ali je prostornina paralelepipeda enaka vsoti prostornin njegovih delov? Ali lahko to rečemo za njihove površine? Razloži zakaj.

riž. 88

829. Izračunajte ustno:

830. Obnovite verigo izračunov:

831. Poiščite pomen izraza:

• a) 23 + Z2;
• b) 33 + 52;
• c) 43 + 6;
• d) 103 - 10.

832. Koliko desetic je v količniku:

• a) 1652: 7;
• b) 774:6;
• c) 1632: 12;
• d) 2105: 5?

833. Ali se strinjate s trditvijo:

• a) vsaka kocka je tudi pravokoten paralelepiped;
• b) če dolžina pravokotnega paralelepipeda ni enaka njegovi višini, potem ne more biti kocka;
• c) vsaka ploskev kocke je kvadrat?

834. Štirje enaki sodi držijo 26 veder vode. Koliko veder vode lahko sprejme 10 teh sodov?

835. Na koliko načinov iz 7 kroglic različne barve lahko narediš ogrlico (z zaponko)?

836. Ime v pravokotnem paralelopipedu (slika 89):

• a) dve ploskvi s skupnim robom;
• b) zgornji, zadnji, sprednji in spodnji robovi;
• c) navpična rebra.

riž. 89

837. Rešiti problem:

1. Poiščite površino vsake ploskve, če je površina prve ploskve 5-krat večja več območja drugi, površina drugega pa 252 hektarjev manjša površina prvi.
2. Poiščite površino vsake parcele, če je površina druge parcele za 324 ha večja od površine prve parcele, površina prve parcele pa je 7-krat manjša od površine drugi.

838. Sledite tem korakom:

1. 668 (3076 + 5081);
2. 783 (66 161 — 65 752);
3. 2 111 022: (5960 — 5646);
4. 2 045 639: (6700 — 6279).

839. V Rusiji so v starih časih kot enote za merjenje prostornine uporabljali vedro (približno 12 litrov), shtof (desetina vedra), v ZDA, Angliji in drugih državah sod (približno 159 litrov); galona (približno 4 litre), grm (približno 36 l), pinta (od 470 do 568 kubičnih centimetrov). Primerjajte te enote. Kateri so večji od 1 m3?

840. Poišči prostornine likov, prikazanih na sliki 90. Prostornina vsake kocke je 1 cm3.

riž. 90

841. Poiščite prostornino pravokotnega paralelopipeda (slika 91).

riž. 91

842. Poišči prostornino pravokotnega paralelepipeda, če so njegove mere 48 dm, 16 dm in 12 dm.

843. Skedenj v obliki pravokotnega paralelepipeda je napolnjen s senom. Dolžina hleva je 10 m, širina 6 m, višina 4 m. Poišči maso sena v hlevu, če je masa 10 m3 sena 6 kvintalov.

844. Izrazite v kubičnih decimetrih:

• 2 m3 350 dm3;
• 3 m3 7 dm3;
• 4 m3 30 dm3;
• 18.000 cm3;
• 210.000 cm3.

845. Prostornina pravokotnega paralelepipeda je 1248 cm3. Njegova dolžina je 13 cm, njegova širina pa 8 cm. Poiščite višino tega paralelepipeda.

846. Z uporabo formule V = abc izračunajte:

• a) V, če je a - 3 dm, b = 4 dm, c = 5 dm;
• b) a, če je V = 2184 cm3, b = 12 cm, c = 13 cm;
• c) b, če je V = 9200 cm3, a = 23 cm, c = 25 cm;
• d) ab, če je V = 1088 dm3, c = 17 cm.

Kaj pomeni ab?

847. Oče starejši od mojega sinaže 21 let. Zapišite formulo, ki izraža - starost očeta - skozi b - starost sina. Poiščite s to formulo:

• a) a, če je b = 10;
• b) a, če je b = 18;
• c) b, če je a = 48.

848. Poiščite pomen izraza:

• a) 700.700 - 6054 (47.923 - 47.884) - 65.548;
• b) 66.509 + 141.400: (39.839 - 39.739) + 1985;
• c) (851 + 2331) : 74 - 34;
• d) (14.084: 28 - 23) 27 - 12.060;
• e) (102 + 112 + 122) : 73 + 895;
• f) 2555: (132 + 142) + 35.

849. Iz tabele (slika 92) izračunajte:

• a) kolikokrat se pojavi število 9;
• b) kolikokrat se v tabeli pojavita števili 6 in 7 (ne šteti posebej);
• c) kolikokrat se pojavijo številke 5, 6 in 8 (brez štetja posamezno).

riž. 92

Zgodbe o zgodovini nastanka in razvoja matematike

Pred 200 leti so v različnih državah, vključno z Rusijo, uporabljali različne sisteme enot za merjenje dolžine, mase in drugih količin. Razmerja med ukrepi so bila kompleksna, obstajala so različne definicije za merske enote.

Na primer, do danes v Veliki Britaniji obstajata dve različni »toni« (2000 in 2940 funtov), ​​več kot 50 različnih »bušelov« itd. To je zaviralo razvoj znanosti in trgovine med državami, zato je treba uvesti enoten sistem ukrepov, primeren za vse države, z enostavnimi razmerji med enotami.

Takšen sistem - imenovali so ga metrični sistem mer - so razvili v Franciji. Osnovna dolžinska enota, 1 meter (od grška beseda“metron” - mera), opredeljena kot štiridesetmilijonski del obsega Zemlje, osnovna enota mase, 1 kilogram - kot masa 1 dm3 čisto vodo. Preostale enote so bile določene preko teh dveh, razmerja med enotami iste vrednosti so bila enaka 10, 100, 1000 itd.

Metrični sistem mer je sprejela večina držav sveta, v Rusiji se je začelo uvajati leta 1899. Velik prispevek k uvajanju in širjenju metrični sistem ukrepi v naši državi pripadajo Dmitriju Ivanoviču Mendelejevu, velikemu ruskemu kemiku.

Vendar pa se po izročilu še danes včasih uporabljajo stare enote. mornarji merijo razdalje v miljah (1852 m) in kablih (desetina milje, to je približno 185 m), hitrost - v vozlih (1 milja na uro). Masa diamantov se meri v karatih (200 mg, to je petina grama, je masa pšeničnega zrna). Prostornina nafte se meri v sodih (159 l) itd.

To se lahko naredi različne poti, vse je odvisno od tega, kakšne količine in predmete imamo.

Torej, prva metoda, ki je primerna izključno za pravokotni paralelepiped.

Če želite določiti prostornino paralelepipeda, potrebujete njegovo višino, širino in dolžino.

Ker pravokotniki tvorijo paralelepiped, označimo njihovo dolžino in širino s črkama a oziroma b. Potem bo površina pravokotnika izračunana kot a*b.

Višina paralelepipeda je višina stransko rebro, in ker je višina konstantna vrednost, morate za iskanje prostornine pomnožiti osnovno površino paralelopipeda z višino. To je izraženo z naslednjo formulo: V = a*b*c = S*c, kjer je c višina.

Poglejmo si primer. Recimo, da imamo paralelepiped z dolžino in širino osnove 5 in 8 cm, njegova višina pa je 11 cm. Treba je izračunati prostornino.

Poiščite ploščino osnove: 5*8=40 kvadratnih metrov. cm Sedaj pomnožimo dobljeno vrednost z višino 40*11=440 kubičnih metrov. cm je prostornina figure.

Drugi način.

Ker je osnova paralelepipeda geometrijski lik paralelogramu, morate določiti njegovo ploščino. Če želite poiskati površino paralelograma glede na znane podatke, lahko uporabite naslednje formule:

• S = a*h, kjer je a stranica paralelograma, h je višina, potegnjena na a.
• S = a*b*sinα, kjer sta a in b stranici figure, α je kot med tema stranicama.

Potem. Kako si to ugotovil? Kako najti površino paralelograma, lahko začnete iskati prostornino našega paralelopipeda. Za to uporabimo formulo:

V = S*h, kjer je S prej pridobljena osnovna površina, h je višina našega paralelepipeda.

Poglejmo si primer.

Podan nam je paralelepiped z višino 50 cm, katerega osnova (paralelogram) ima stranico enako 23 cm in na to stran narisano višino 8 cm. Nadomestimo zgornjo formulo:

S = 23*8 = 184 kvadratnih metrov. cm.

Zdaj nadomestimo formulo, da bi našli prostornino paralelepipeda:

V = 184*50 = 9.200 kubičnih metrov

Učna ura matematike "Obseg pravokotnega paralelopipeda" (5. razred)

Odgovor: prostornina tega paralelopipeda je 9200 kubičnih centimetrov.

Tretji način.

Ta možnost je primerna samo za pravokotni tip paralelepiped, stranice, katerih osnove bodo enake. Če želite to narediti, morate te stranice le narezati na kocke.

V = a3, tj. na kocke

Podan je paralelepiped z osnovno stranico 12. To pomeni, da je prostornina te figure izračunana z naslednjo formulo V = 123 = 1728 cc cm.

Katera koli metoda je zelo preprosta. Glavna stvar je, da se oborožite s kalkulatorjem in pravilno izvedete vse izračune. Vso srečo!

prostornina pravokotnega paralelepipeda

S1*2 + S2*2 + S3*2 = S

Osnova paralelopipeda

Kalkulator bo natančno izračunal in izpisal rešitev s komentarji. Vse kar morate storiti je, da premico rešitve paralelopipeda prepišete v svoj zvezek. Podrobna besedilna rešitev z razlagami vam bo omogočila razumevanje metodologije za reševanje takšnih problemov in po potrebi odgovorila na vprašanja s podrobnim in kompetentnim odgovorom.

Izračun prostornine in ploščine paralelograma je osnovna osnova za številne tehnične in vsakdanje izračune!

Zvezki. Prostornina pravokotnega paralelepipeda

Na primer, če želite izračunati popravila v sobi, izračunajte podatke za ogrevanje ali klimatsko napravo.

pravokotni paralelogram

Formula, uporabljena v našem kalkulatorju, bo našla prostornina pravokotnega paralelepipeda. In če ima vaš paralelepiped poševne robove, morate namesto dolžine ustreznega poševnega roba vnesti vrednost višine tega dela figure.

Formula za prostornino pravokotnega paralelopipeda

Če ga želite najti, morate poznati dimenzije reber: višino, širino in dolžino. Po formuli je treba dimenzije ploskev paralelepipeda pomnožiti v poljubnem vrstnem redu.

Prostornina je lahko izražena v litrih ali kubičnih cm, kubičnih milimetrih.

Formula za površino paralelopipeda

S1*2 + S2*2 + S3*2 = S

S formulo za površino paralelepipeda morate najti površine vseh strani paralelepipeda in jih nato sešteti. Nasprotne strani, ploskve in robovi paralelepipeda so med seboj enaki, zato lahko pri izračunu površin uporabite množenje z dva.

Osnova paralelopipeda

V nekaterih primerih je osnovna površina paralelepipeda znana, nato pa je za iskanje prostornine dovolj, da osnovno površino pomnožimo z višino. ! POMEMBNO! - to velja samo za pravokotni paralelepiped.

Kako najti prostornino paralelepipeda?

Glasnost najlažje poiščete tako, da vnesete tri znane vrednosti v stolpce spletni kalkulator obseg! Potem - pritisnite gumb - dobili boste rezultat)!

Kalkulator bo izračunal prostornina paralelepipeda abcda1b1c1d1 in bo odločitev podrobno opisal s pripombami.

Prostornina pravokotnega paralelepipeda

Vse kar morate storiti je, da premico rešitve paralelopipeda prepišete v svoj zvezek. Podrobna besedilna rešitev z razlagami vam bo omogočila razumevanje metodologije za reševanje takšnih problemov in po potrebi odgovorila na vprašanja s podrobnim in kompetentnim odgovorom.

Izračun prostornine in ploščine paralelograma je osnovna osnova za številne tehnične in vsakdanje izračune! Na primer, če želite izračunati popravila v sobi, izračunajte podatke za ogrevanje ali klimatsko napravo.

Paralelogram je tridimenzionalni geometrijski lik, ki ima šest stranic, pri čemer je vsaka stranica paralelogram. Stranice paralelograma običajno imenujemo ploskve. Če imajo vse ploskve paralelepipeda obliko pravokotnika, potem je to že pravokotni paralelogram! Ta številka je označena s črkama abcda1b1c1d1.