Izvedite popolno študijo teh funkcij in sestavite njihove grafe. Popoln pregled funkcije in izris grafa

Ravnanje popoln študij in narišite funkcijo

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.

1) Obseg funkcije. Ker je funkcija ulomek, moramo poiskati ničle imenovalca.

1−x=0,⇒x=1,1−x=0,⇒x=1.

Iz domene definicije funkcije izločimo edino točko x=1x=1 in dobimo:

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).

2) Preučimo obnašanje funkcije v bližini diskontinuitetne točke. Poiščimo enostranske meje:

Ker so meje enake neskončnosti, je točka x=1x=1 diskontinuiteta druge vrste, premica x=1x=1 je navpična asimptota.

3) Določimo presečišča grafa funkcije s koordinatnimi osemi.

Poiščemo presečišča z ordinatno osjo OyOy, za katere enačimo x=0x=0:

Tako ima točka presečišča z osjo OyOy koordinate (0;8)(0;8).

Poiščemo presečišča z abscisno osjo OxOx, za katere postavimo y=0y=0:

Enačba je brez korenin, zato ni presečišč z osjo OxOx.

Upoštevajte, da x2+8>0x2+8>0 za vsak xx. Zato za x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) funkcija y>0y>0(vzame pozitivne vrednosti, je graf nad osjo x), za x∈(1;+∞)x∈(1;+∞) funkcijo y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) Funkcija ni niti soda niti liha, ker:

5) Preglejmo funkcijo za periodičnost. Funkcija ni periodična, saj je delno racionalna funkcija.

6) Preglejmo funkcijo za ekstreme in monotonost. Da bi to naredili, najdemo prvi derivat funkcije:

Izenačimo prvi odvod na nič in poiščemo stacionarne točke(kjer je y′=0y′=0):

Dobili smo tri kritične točke: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. Razdelimo celotno domeno definicije funkcije na intervale s temi točkami in v vsakem intervalu določimo predznake odvoda:

Za x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) je odvod y′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

Za x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) odvod y′>0y′>0, funkcija narašča na teh intervalih.

V tem primeru je x=−2x=−2 točka lokalnega minimuma (funkcija pada in nato narašča), x=4x=4 je lokalna točka maksimuma (funkcija narašča in nato pada).

Poiščimo vrednosti funkcije na teh točkah:

Tako je najmanjša točka (−2;4)(−2;4), največja točka (4;−8)(4;−8).

7) Preglejmo funkcijo za pregibe in konveksnost. Poiščimo drugi odvod funkcije:

Izenačimo drugi odvod na nič:

Nastala enačba je brez korenin, zato ni prevojnih točk. Poleg tega, ko je x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0 izpolnjeno, kar pomeni, da je funkcija konkavna, ko je x∈(1;+∞)x∈( 1;+ ∞) izpolnjuje y′′<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) Oglejmo si obnašanje funkcije v neskončnosti, to je pri .

Ker so meje neskončne, ni horizontalnih asimptot.

Poskusimo določiti poševne asimptote oblike y=kx+by=kx+b. Vrednosti k,bk,b izračunamo po znanih formulah:

Ugotovili smo, da ima funkcija eno poševno asimptoto y=−x−1y=−x−1.

9) Dodatne točke. Izračunajmo vrednost funkcije na nekaterih drugih točkah, da lahko natančneje sestavimo graf.

y(−5)=5,5;y(2)=−12;y(7)=−9,5.y(−5)=5,5;y(2)=−12;y(7)=−9,5.

10) Na podlagi pridobljenih podatkov bomo zgradili graf, ga dopolnili z asimptotami x=1x=1 (modra), y=−x−1y=−x−1 (zelena) in označili karakteristične točke (vijolično presečišče z ordinato os, oranžni ekstremi, črne dodatne točke):

4. naloga: Geometrijski, Ekonomski problemi (ne vem kaj, tukaj je približen izbor problemov z rešitvami in formulami)

Primer 3.23. a

rešitev. x in l l
y = a - 2×a/4 =a/2. Ker je x = a/4 edina kritična točka, preverimo, ali se pri prehodu skozi to točko spremeni predznak odvoda. Za xa/4 S " > 0 in za x > a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Primer 3.24.

rešitev.
R = 2, H = 16/4 = 4.

Primer 3.22. Poiščite ekstreme funkcije f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

rešitev. Ker je f "(x) = 6x 2 - 30x +36 = 6 (x ​​-2) (x - 3), potem so kritične točke funkcije x 1 = 2 in x 2 = 3. Ekstremumi so lahko le pri Tako kot pri prehodu skozi točko x 1 = 2 odvod spremeni predznak iz plusa v minus, potem ima funkcija pri prehodu skozi točko x 2 = 3 svoj predznak iz minusa na plus, zato ima funkcija v točki x 2 = 3 minimum, potem ko je izračunala vrednosti funkcije v točkah
x 1 = 2 in x 2 = 3, najdemo ekstreme funkcije: največji f(2) = 14 in najmanjši f(3) = 13.

Primer 3.23. V bližini kamnitega zidu je treba zgraditi pravokotno površino, tako da je na treh straneh ograjena z žično mrežo, četrta stran pa meji na zid. Za to obstaja a linearni metri mreže. Pri kakšnem razmerju stranic bo imelo spletno mesto največjo površino?

rešitev. Označimo stranice ploščadi z x in l. Območje mesta je S = xy. Pustiti l- to je dolžina stranice, ki meji na steno. Potem mora po pogoju veljati enakost 2x + y = a. Zato je y = a - 2x in S = x(a - 2x), kjer je
0 ≤ x ≤ a/2 (dolžina in širina blazinice ne moreta biti negativni). S " = a - 4x, a - 4x = 0 pri x = a/4, od koder je
y = a - 2×a/4 =a/2. Ker je x = a/4 edina kritična točka, preverimo, ali se pri prehodu skozi to točko spremeni predznak odvoda. Za xa/4 S " > 0 in za x > a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Primer 3.24. Potrebno je izdelati zaprt cilindrični rezervoar s prostornino V=16p ≈ 50 m 3 . Kakšne naj bodo mere rezervoarja (polmer R in višina H), da bo za njegovo izdelavo porabljeno najmanj materiala?

rešitev. Celotna površina valja je S = 2pR(R+H). Poznamo prostornino valja V = pR 2 N Þ N = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . To pomeni S(R) = 2p(R 2 +16/R). Najdemo izpeljanko te funkcije:
S " (R) = 2p(2R- 16/R 2) = 4p (R- 8/R 2). S " (R) = 0 za R 3 = 8, torej,
R = 2, H = 16/4 = 4.

Povezane informacije.

Referenčne točke pri preučevanju funkcij in gradnji njihovih grafov so značilne točke - točke diskontinuitete, ekstrema, prevoja, presečišča s koordinatnimi osmi. Z uporabo diferencialni račun mogoče je ugotoviti značilne značilnosti sprememb funkcij: povečanje in zmanjšanje, maksimumi in minimumi, smer konveksnosti in konkavnosti grafa, prisotnost asimptot.

Skico grafa funkcije lahko (in je treba) narisati po iskanju asimptot in ekstremnih točk, priročno pa je izpolniti zbirno tabelo študije funkcije, ko študija napreduje.

Običajno se uporablja naslednja shema študije funkcij.

1.Poiščite domeno definicije, intervale zveznosti in prelomne točke funkcije.

2.Preglejte funkcijo glede enakosti ali lihosti (osna ali centralna simetrija grafa.

3.Poiščite asimptote (navpične, vodoravne ali poševne).

4.Poiščite in preučite intervale naraščanja in padanja funkcije, njene ekstremne točke.

5.Poiščite intervale konveksnosti in konkavnosti krivulje, njene prevojne točke.

6.Poiščite presečišča krivulje s koordinatnimi osemi, če obstajajo.

7.Sestavite zbirno tabelo študije.

8.Graf je sestavljen ob upoštevanju študije funkcije, izvedene v skladu z zgoraj opisanimi točkami.

Primer. Funkcija raziskovanja

in sestavi njen graf.

7. Sestavimo zbirno tabelo za študij funkcije, kamor bomo vnesli vse karakteristične točke in intervale med njimi. Ob upoštevanju paritete funkcije dobimo naslednjo tabelo:

Če problem zahteva popolno študijo funkcije f (x) = x 2 4 x 2 - 1 s konstrukcijo njenega grafa, bomo to načelo podrobno preučili.

Če želite rešiti problem te vrste, morate uporabiti lastnosti in grafe glavnega elementarne funkcije. Raziskovalni algoritem vključuje naslednje korake:

Yandex.RTB R-A-339285-1

Iskanje domene definicije

Ker raziskave potekajo na področju definicije funkcije, je treba začeti s tem korakom.

Primer 1

zadaj ta primer vključuje iskanje ničel imenovalca, da jih izločimo iz ODZ.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

Kot rezultat lahko dobite korenine, logaritme itd. Nato lahko ODZ iščemo za koren sode stopnje tipa g (x) 4 z neenačbo g (x) ≥ 0, za logaritem log a g (x) z neenačbo g (x) > 0.

Preučevanje meja ODZ in iskanje navpičnih asimptot

Na mejah funkcije so navpične asimptote, ko so enostranske meje na takih točkah neskončne.

Primer 2

Na primer, upoštevajte mejne točke, ki so enake x = ± 1 2.

Potem je treba preučiti funkcijo, da najdemo enostransko mejo. Potem dobimo, da: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0 ) 2 = + ∞

To kaže, da so enostranske meje neskončne, kar pomeni, da so ravne črte x = ± 1 2 navpične asimptote grafa.

Preučevanje funkcije in ali je soda ali liha

Ko je pogoj y (- x) = y (x) izpolnjen, se funkcija šteje za sodo. To nakazuje, da se graf nahaja simetrično glede na Oy. Ko je pogoj y (- x) = - y (x) izpolnjen, se funkcija šteje za liho. To pomeni, da je simetrija relativna glede na izvor koordinat. Če vsaj ena neenakost ni izpolnjena, dobimo funkcijo splošne oblike.

Enakost y (- x) = y (x) pomeni, da je funkcija soda. Pri gradnji je treba upoštevati, da bo glede na Oy obstajala simetrija.

Za rešitev neenačbe se uporabljajo intervali naraščanja in padanja s pogoji f " (x) ≥ 0 oziroma f " (x) ≤ 0.

Definicija 1

Stacionarne točke- to so točke, ki spremenijo izpeljanko na nič.

Kritične točke- To notranje točke iz domene definicije, kjer je odvod funkcije enak nič ali ne obstaja.

Pri odločanju je treba upoštevati naslednje opombe:

• za obstoječe intervale naraščajočih in padajočih neenačb oblike f " (x) > 0 kritične točke niso vključene v rešitev;
• točke, v katerih je funkcija definirana brez končnega odvoda, morajo biti vključene v intervale naraščanja in padanja (npr. y = x 3, kjer točka x = 0 naredi funkcijo definirano, odvod ima pri tem neskončno vrednost točka, y " = 1 3 x 2 3, y "(0) = 1 0 = ∞, x = 0 je vključen v naraščajoči interval);
• Da bi se izognili nesoglasjem, je priporočljivo uporabljati matematično literaturo, ki jo priporoča ministrstvo za šolstvo.

Vključitev kritičnih točk v intervale naraščanja in padanja, če zadoščajo domeni definicije funkcije.

Definicija 2

Za določanje intervalov naraščanja in padanja funkcije, je treba najti:

• derivat;
• kritične točke;
• razdeli definicijsko domeno na intervale s pomočjo kritičnih točk;
• določite predznak odvoda na vsakem od intervalov, kjer je + povečanje in - zmanjšanje.

Primer 3

Poiščite odvod na področju definicije f " (x) = x 2 " (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 " (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2.

rešitev

Za rešitev potrebujete:

• poiščite stacionarne točke, ta primer ima x = 0;
• poiščite ničle imenovalca, primer vzame vrednost nič pri x = ± 1 2.

Na številsko premico postavimo točke, da določimo odvod na vsakem intervalu. Če želite to narediti, je dovolj, da vzamete katero koli točko iz intervala in izvedete izračun. pri pozitiven rezultat Na grafu upodobimo +, kar pomeni, da funkcija narašča, in -, da pada.

Na primer, f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0, kar pomeni, da ima prvi interval na levi predznak +. Razmislite na številski premici.

odgovor:

• funkcija narašča na intervalu - ∞; - 1 2 in (- 1 2 ; 0 ] ;
• na intervalu [ 0 ; 1 2) in 1 2 ; + ∞ .

V diagramu sta s + in - prikazani pozitivnost in negativnost funkcije, puščice pa kažejo zmanjšanje in povečanje.

Ekstremne točke funkcije so točke, kjer je funkcija definirana in skozi katere odvod spremeni predznak.

Primer 4

Če upoštevamo primer, kjer je x = 0, potem je vrednost funkcije v njem enaka f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0. Ko se predznak odvoda spremeni iz + v - in gre skozi točko x = 0, se točka s koordinatami (0; 0) šteje za največjo točko. Ko se predznak spremeni iz - v +, dobimo minimalno točko.

Konveksnost in konkavnost določimo z reševanjem neenačb oblike f "" (x) ≥ 0 in f "" (x) ≤ 0. Manj pogosto se uporablja ime konveksnost navzdol namesto konkavnost in konveksnost navzgor namesto konveksnost.

Definicija 3

Za določanje intervalov konkavnosti in konveksnosti potrebno:

• poiščite drugo izpeljanko;
• poiščite ničle funkcije drugega odvoda;
• razdelite definicijsko območje na intervale s pojavnimi točkami;
• določi predznak intervala.

Primer 5

Poiščite drugi odvod iz domene definicije.

rešitev

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Poiščemo ničle števca in imenovalca, pri čemer imamo v našem primeru, da so ničle imenovalca x = ± 1 2

Zdaj morate postaviti točke številska os in določi predznak drugega odvoda iz vsakega intervala. To razumemo

odgovor:

• funkcija je konveksna iz intervala - 1 2 ; 12 ;
• funkcija je konkavna iz intervalov - ∞ ; - 1 2 in 1 2; + ∞ .

Definicija 4

Prevojna točka– to je točka oblike x 0 ; f (x 0) . Ko ima tangento na graf funkcije, ko gre skozi x 0, funkcija spremeni predznak v nasprotni.

Z drugimi besedami, to je točka, skozi katero poteka drugi odvod in spreminja predznak, v samih točkah pa je enak nič ali pa ne obstaja. Vse točke veljajo za domeno funkcije.

V primeru je bilo razvidno, da prevojnih točk ni, saj drugi odvod spremeni predznak pri prehodu skozi točke x = ± 1 2. Ti pa niso vključeni v obseg opredelitve.

Iskanje vodoravnih in poševnih asimptot

Ko definirate funkcijo v neskončnosti, morate iskati vodoravne in poševne asimptote.

Definicija 5

Poševne asimptote so prikazani z ravnimi črtami, podana z enačbo y = k x + b, kjer je k = lim x → ∞ f (x) x in b = lim x → ∞ f (x) - k x.

Za k = 0 in b, ki ni enak neskončnosti, ugotovimo, da postane poševna asimptota vodoravno.

Z drugimi besedami, asimptote se štejejo za črte, ki se jim graf funkcije približuje v neskončnosti. To olajša hitro gradnjo funkcijskega grafa.

Če asimptot ni, je pa funkcija definirana na obeh neskončnostih, je treba izračunati limit funkcije na teh neskončnostih, da bi razumeli, kako se bo obnašal graf funkcije.

Primer 6

Vzemimo za primer to

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

je horizontalna asimptota. Ko preučite funkcijo, jo lahko začnete sestavljati.

Računanje vrednosti funkcije na vmesnih točkah

Da bi bil graf natančnejši, je priporočljivo najti več funkcijskih vrednosti na vmesnih točkah.

Primer 7

Iz primera, ki smo ga obravnavali, je treba najti vrednosti funkcije v točkah x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = - 1 4. Ker je funkcija soda, dobimo, da vrednosti sovpadajo z vrednostmi na teh točkah, to pomeni, da dobimo x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4.

Zapišimo in rešimo:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

Za določitev maksimumov in minimumov funkcije, prevojnih točk in vmesnih točk je potrebno zgraditi asimptote. Za priročno označevanje so zabeleženi intervali naraščanja, padanja, konveksnosti in konkavnosti. Poglejmo spodnjo sliko.

Skozi označene točke je treba narisati črte grafa, ki vam bodo omogočile približevanje asimptotam s sledenjem puščicam.

S tem se konča celotno raziskovanje funkcije. Obstajajo primeri konstruiranja nekaterih elementarnih funkcij, za katere se uporabljajo geometrijske transformacije.

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Eden od najpomembnejše naloge diferencialni račun je razvoj pogosti primerištudije obnašanja funkcij.

Če je funkcija y=f(x) zvezna na intervalu in je njen odvod pozitiven ali enak 0 na intervalu (a,b), potem y=f(x) naraste za (f"(x)0) . Če je funkcija y=f (x) zvezna na segmentu in je njen odvod negativen ali enak 0 na intervalu (a,b), potem se y=f(x) zmanjša za (f"(x)0 )

Intervale, v katerih funkcija ne pada ali narašča, imenujemo intervali monotonosti funkcije. Monotonost funkcije se lahko spremeni samo na tistih točkah njene definicijske domene, kjer se spremeni predznak prvega odvoda. Točke, v katerih prvi odvod funkcije izgine ali ima diskontinuiteto, imenujemo kritične.

Izrek 1 (1 zadosten pogoj obstoj ekstrema).

Naj bo funkcija y=f(x) definirana v točki x 0 in naj obstaja soseska δ>0 taka, da je funkcija zvezna na intervalu in diferencibilna na intervalu (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , njegov odvod pa ohranja konstanten predznak na vsakem od teh intervalov. Če sta torej na x 0 -δ,x 0) in (x 0 , x 0 +δ) predznaka odvoda različna, potem je x 0 točka ekstrema, če pa sovpadata, potem x 0 ni točka ekstrema . Poleg tega, če pri prehodu skozi točko x0 odvod spremeni predznak iz plusa v minus (levo od x 0 je izpolnjen f"(x)>0, potem je x 0 največja točka; če odvod spremeni predznak iz minus v plus (desno od x 0 izveden f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Točki maksimuma in minimuma se imenujeta točki ekstrema funkcije, maksimumu in minimumu funkcije pa njeni ekstremni vrednosti.

Izrek 2 (nujen znak lokalnega ekstrema).

Če ima funkcija y=f(x) ekstrem pri trenutnem x=x 0, potem bodisi f’(x 0)=0 bodisi f’(x 0) ne obstaja.
V ekstremnih točkah diferenciabilne funkcije je tangenta na njen graf vzporedna z osjo Ox.

Algoritem za preučevanje funkcije za ekstrem:

1) Poiščite odvod funkcije.
2) Poiščite kritične točke, tj. točke, v katerih je funkcija zvezna in je odvod enak nič ali ne obstaja.
3) Razmislite o okolici vsake točke in preverite predznak odvoda levo in desno od te točke.
4) Določite koordinate skrajnih točk; za to nadomestite vrednosti kritičnih točk v to funkcijo. Z zadostnimi pogoji za ekstrem naredite ustrezne zaključke.

Primer 18. Preglejte funkcijo y=x 3 -9x 2 +24x za ekstrem

rešitev.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Če izenačimo odvod na nič, dobimo x 1 =2, x 2 =4. V tem primeru je izpeljanka definirana povsod; To pomeni, da razen dveh najdenih točk ni drugih kritičnih točk.
3) Predznak odvoda y"=3(x-2)(x-4) se spremeni glede na interval, kot je prikazano na sliki 1. Pri prehodu skozi točko x=2 odvod spremeni predznak iz plusa v minus, in pri prehodu skozi točko x=4 - od minusa do plusa.
4) V točki x=2 ima funkcija največ y max =20, v točki x=4 pa najmanj y min =16.

Izrek 3. (2. zadosten pogoj za obstoj ekstrema).

Naj je f"(x 0) in v točki x 0 obstaja f""(x 0). Če je f""(x 0)>0, potem je x 0 najmanjša točka in če je f""(x 0)<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Na segmentu lahko funkcija y=f(x) doseže najmanjšo (y najmanj) ali največjo (y največjo) vrednost bodisi na kritičnih točkah funkcije, ki ležijo v intervalu (a;b), bodisi na konci segmenta.

Algoritem za iskanje največje in najmanjše vrednosti zvezne funkcije y=f(x) na segmentu:

1) Poiščite f"(x).
2) Poiščite točke, v katerih f"(x)=0 ali f"(x) ne obstaja, in med njimi izberite tiste, ki ležijo znotraj segmenta.
3) Izračunajte vrednost funkcije y=f(x) na točkah, dobljenih v 2. koraku), kot tudi na koncih segmenta in med njimi izberite največjo in najmanjšo: sta največji (y največja) in najmanjša (y najmanjša) vrednost funkcije na intervalu.

Primer 19. Poiščite največjo vrednost zvezne funkcije y=x 3 -3x 2 -45+225 na odseku.

1) Na odseku imamo y"=3x 2 -6x-45
2) Odvod y" obstaja za vse x. Poiščimo točke, v katerih je y"=0; dobimo:
3x 2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 =-3; x 2 =5
3) Izračunajte vrednost funkcije v točkah x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Odsek vsebuje samo točko x=5. Največja od najdenih vrednosti funkcije je 225, najmanjša pa je številka 50. Torej, y max = 225, y min = 50.

Študij funkcije na konveksnosti

Slika prikazuje grafa dveh funkcij. Prvi od njih je konveksen navzgor, drugi je konveksen navzdol.

Funkcija y=f(x) je zvezna na intervalu in diferencibilna v intervalu (a;b), se imenuje konveksna navzgor (navzdol) na tem intervalu, če za axb njen graf ne leži višje (ne nižje) od tangenta, narisana v kateri koli točki M 0 (x 0 ;f(x 0)), kjer je axb.

Izrek 4. Naj ima funkcija y=f(x) drugi odvod v kateri koli notranji točki x odseka in je zvezna na koncih tega odseka. Če torej na intervalu (a;b) velja neenakost f""(x)0, potem je funkcija na intervalu konveksna navzdol; če na intervalu (a;b) velja neenakost f""(x)0, potem je funkcija konveksna navzgor na .

Izrek 5. Če ima funkcija y=f(x) drugi odvod na intervalu (a;b) in če pri prehodu skozi točko x 0 spremeni predznak, potem je M(x 0 ;f(x 0)) prelomna točka.

Pravilo za iskanje prevojnih točk:

1) Poiščite točke, v katerih f""(x) ne obstaja ali izgine.
2) Preglejte znak f""(x) levo in desno od vsake točke, ki ste jo našli v prvem koraku.
3) Na podlagi izreka 4 potegnite sklep.

Primer 20. Poiščite točke ekstrema in prevojne točke grafa funkcije y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.

Imamo f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Očitno je f"(x)=0, ko je x 1 =0, x 2 =1. Pri prehodu skozi točko x=0 odvod spremeni predznak iz minusa v plus, pri prehodu skozi točko x=1 pa ne spremeni predznaka. To pomeni, da je x=0 najmanjša točka (y min =12), v točki x=1 pa ni ekstrema. Naprej najdemo . Drugi odvod izniči v točkah x 1 =1, x 2 =1/3. Predznaki drugega odvoda se spremenijo takole: Na žarku (-∞;) imamo f""(x)>0, na intervalu (;1) pa f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Zato je x= prevojna točka grafa funkcije (prehod iz konveksnosti navzdol v konveksnost navzgor) in x=1 je tudi prevojna točka (prehod iz konveksnosti navzgor v konveksnost navzdol). Če je x=, potem je y=; če, potem je x=1, y=13.

Algoritem za iskanje asimptote grafa

I. Če je y=f(x) pri x → a, potem je x=a navpična asimptota.
II. Če je y=f(x) pri x → ∞ ali x → -∞, potem je y=A horizontalna asimptota.
III. Najti poševna asimptota uporabljamo naslednji algoritem:
1) Izračunaj. Če meja obstaja in je enaka b, potem je y=b horizontalna asimptota; če , pojdite na drugi korak.
2) Izračunaj. Če ta meja ne obstaja, potem ni asimptote; če obstaja in je enak k, pojdite na tretji korak.
3) Izračunaj. Če ta meja ne obstaja, potem ni asimptote; če obstaja in je enak b, pojdite na četrti korak.
4) Zapišite enačbo poševne asimptote y=kx+b.

Primer 21: Poiščite asimptoto za funkcijo

1)
2)
3)
4) Enačba poševne asimptote ima obliko

Shema za preučevanje funkcije in gradnjo njenega grafa

I. Poišči domeno definicije funkcije.
II. Poiščite točke presečišča grafa funkcije s koordinatnimi osemi.
III. Poiščite asimptote.
IV. Poiščite možne ekstremne točke.
V. Poiščite kritične točke.
VI. S pomočjo pomožne slike raziščite znak prvega in drugega odvoda. Določite področja naraščajoče in padajoče funkcije, poiščite smer konveksnosti grafa, točke ekstremov in prevojne točke.
VII. Sestavite graf ob upoštevanju raziskave, izvedene v odstavkih 1–6.

Primer 22: Zgradite graf funkcije po zgornjem diagramu

rešitev.
I. Domena funkcije je množica vseh realnih števil razen x=1.
II. Ker enačba x 2 +1=0 nima realnih korenin, graf funkcije nima presečišč z osjo Ox, ampak seka os Oy v točki (0;-1).
III. Razjasnimo vprašanje obstoja asimptot. Preučimo obnašanje funkcije v bližini diskontinuitetne točke x=1. Ker je y → ∞ pri x → -∞, y → +∞ pri x → 1+, je premica x=1 navpična asimptota grafa funkcije.
Če x → +∞(x → -∞), potem je y → +∞(y → -∞); zato graf nima horizontalne asimptote. Nadalje, iz obstoja omejitev

Z reševanjem enačbe x 2 -2x-1=0 dobimo dve možni ekstremni točki:
x 1 =1-√2 in x 2 =1+√2

V. Za iskanje kritičnih točk izračunamo drugi odvod:

Ker f""(x) ne izniči, ni kritičnih točk.
VI. Oglejmo si predznak prvega in drugega odvoda. Možne ekstremne točke, ki jih je treba upoštevati: x 1 =1-√2 in x 2 =1+√2, razdelite področje obstoja funkcije na intervale (-∞;1-√2),(1-√2;1 +√2) in (1+√2;+∞).

V vsakem od teh intervalov izpeljanka ohrani svoj znak: v prvem - plus, v drugem - minus, v tretjem - plus. Zaporedje predznakov prve izpeljanke bo zapisano takole: +,-,+.
Ugotovimo, da funkcija narašča pri (-∞;1-√2), pada pri (1-√2;1+√2) in ponovno narašča pri (1+√2;+∞). Ekstremne točke: maksimum pri x=1-√2 in f(1-√2)=2-2√2 minimum pri x=1+√2 in f(1+√2)=2+2√2. Pri (-∞;1) je graf konveksen navzgor, pri (1;+∞) pa je konveksen navzdol.
VII Izdelajmo tabelo dobljenih vrednosti

VIII Na podlagi dobljenih podatkov sestavimo skico grafa funkcije

Preučimo funkcijo \(y= \frac(x^3)(1-x) \) in zgradimo njen graf.

1. Obseg opredelitve.
Področje definicije racionalne funkcije (ulomka) bo: imenovalec ni enak nič, tj. \(1 -x \ne 0 => x \ne 1\). Domena $$D_f= (-\infty; 1) \cup (1;+\infty)$$

2. Prelomne točke funkcij in njihova klasifikacija.
Funkcija ima eno prelomno točko x = 1
Oglejmo si točko x= 1. Poiščimo limito funkcije desno in levo od diskontinuitetne točke, desno $$ \lim_(x \to 1+0) (\frac(x^3)(1 -x)) = -\infty $$ in levo od točke $$ \lim_(x \to 1-0)(\frac(x^3)(1-x)) = +\infty $$ To je točka diskontinuitete druge vrste, ker enostranske omejitve so enake \(\infty\).

Premica \(x = 1\) je navpična asimptota.

3. Funkcijska pariteta.
Preverimo pariteto \(f(-x) = \frac((-x)^3)(1+x) \) funkcija ni niti soda niti liha.

4. Ničle funkcije (presečišča z osjo Ox). Intervali konstantnega predznaka funkcije.
Funkcijske ničle ( točka presečišča z osjo Ox): enačimo \(y=0\), dobimo \(\frac(x^3)(1-x) = 0 => x=0 \). Krivulja ima eno presečišče z osjo Ox s koordinatami \((0;0)\).

Intervali konstantnega predznaka funkcije.
Na obravnavanih intervalih \((-\infty; 1) \cup (1;+\infty)\) ima krivulja eno presečišče z osjo Ox, zato bomo področje definicije obravnavali na treh intervalih.

Določimo predznak funkcije na intervalih definicijskega področja:
interval \((-\infty; 0) \) poiščite vrednost funkcije v kateri koli točki \(f(-4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox
interval \((0; 1) \) najdemo vrednost funkcije v kateri koli točki \(f(0,5) = \frac(x^3)(1-x) > 0 \), na tem intervalu je funkcija pozitivno \(f(x ) > 0 \), tj. se nahaja nad osjo Ox.
interval \((1;+\infty) \) poiščite vrednost funkcije v kateri koli točki \(f(4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox

5. Presečišča z osjo Oy: enačimo \(x=0\), dobimo \(f(0) = \frac(x^3)(1-x) = 0\). Koordinate presečišča z osjo Oy \((0; 0)\)

6. Intervali monotonije. Ekstremi funkcije.
Poiščimo kritične (stacionarne) točke, za to poiščemo prvi odvod in ga enačimo na nič $$ y" = (\frac(x^3)(1-x))" = \frac(3x^2(1 -x) + x^3)( (1-x)^2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) $$ enako 0 $$ \frac(x ^2(3 -2x))( (1-x)^2) = 0 => x_1 = 0 \quad x_2= \frac(3)(2)$$ Poiščimo vrednost funkcije na tej točki \( f(0) = 0\) in \(f(\frac(3)(2)) = -6,75\). Dobili smo dve kritični točki s koordinatama \((0;0)\) in \((1,5;-6,75)\)

Intervali monotonije.
Funkcija ima dve kritični točki (možni ekstremni točki), zato bomo obravnavali monotonost na štirih intervalih:
interval \((-\infty; 0) \) poiščite vrednost prvega odvoda na kateri koli točki v intervalu \(f(-4) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x )^2) >
interval \((0;1)\) najdemo vrednost prvega odvoda na kateri koli točki v intervalu \(f(0,5) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^ 2) > 0\) , funkcija narašča v tem intervalu.
interval \((1;1,5)\) najdemo vrednost prvega odvoda na kateri koli točki v intervalu \(f(1,2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^ 2) > 0\) , funkcija narašča v tem intervalu.
interval \((1,5; +\infty)\) poiščite vrednost prvega odvoda na kateri koli točki v intervalu \(f(4) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x) ^2)< 0\), на этом интервале функция убывает.

Ekstremi funkcije.

Pri proučevanju funkcije smo dobili dve kritični (stacionarni) točki na intervalu definicijskega področja. Ugotovimo, ali so skrajnosti. Oglejmo si spremembo predznaka odvoda pri prehodu skozi kritične točke:

točka \(x = 0\) izpeljanka spremeni predznak z \(\quad +\quad 0 \quad + \quad\) - točka ni ekstrem.
točka \(x = 1,5\) izpeljanka spremeni predznak z \(\quad +\quad 0 \quad - \quad\) - točka je največja točka.

7. Intervali konveksnosti in konkavnosti. Prevojne točke.

Za iskanje intervalov konveksnosti in konkavnosti poiščemo drugi odvod funkcije in ga enačimo z nič $$y"" = (\frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) )"= \frac(2x (x^2-3x+3))((1-x)^3) $$Enako na nič $$ \frac(2x(x^2-3x+3))((1 -x)^3)= 0 => 2x(x^2-3x+3) =0 => x=0$$ Funkcija ima eno kritična točka druge vrste s koordinatami \((0;0)\).
Definirajmo konveksnost na intervalih definicijskega področja, pri čemer upoštevamo kritično točko druge vrste (točko možnega prevoja).

interval \((-\infty; 0)\) poiščite vrednost drugega odvoda v kateri koli točki \(f""(-4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1- x)^ 3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
interval \((0; 1)\) najdemo vrednost drugega odvoda v kateri koli točki \(f""(0,5) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x) ^3) > 0 \), na tem intervalu je drugi odvod funkcije pozitiven \(f""(x) > 0 \) funkcija je konveksna navzdol (konveksna).
interval \((1; \infty)\) poiščite vrednost drugega odvoda v kateri koli točki \(f""(4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x) ^3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).

Prevojne točke.

Oglejmo si spremembo predznaka drugega odvoda pri prehodu skozi kritično točko druge vrste:
V točki \(x =0\) drugi odvod spremeni predznak z \(\quad - \quad 0 \quad + \quad\), graf funkcije spremeni konveksnost, tj. to je prevojna točka s koordinatami \((0;0)\).

8. Asimptote.

Navpična asimptota. Graf funkcije ima eno navpično asimptoto \(x =1\) (glej odstavek 2).
Poševna asimptota.
Da bi imel graf funkcije \(y= \frac(x^3)(1-x) \) pri \(x \to \infty\) poševno asimptoto \(y = kx+b\) , je nujno in zadostno , tako da obstajata dve meji $$\lim_(x \to +\infty)=\frac(f(x))(x) =k $$najdemo $$ \lim_(x \to \infty) (\frac( x^3)(x(1-x))) = \infty => k= \infty $$ in druga meja $$ \lim_(x \to +\infty)( f(x) - kx) = b$ $, ker \(k = \infty\) - ni poševne asimptote.

Horizontalna asimptota: da bi horizontalna asimptota obstajala, je nujno, da obstaja meja $$\lim_(x \to \infty)f(x) = b$$ poiščimo jo $$ \lim_(x \to +\infty )(\frac( x^3)(1-x))= -\infty$$$$ \lim_(x \to -\infty)(\frac(x^3)(1-x))= -\ infty$$
Horizontalna asimptotašt.

9. Funkcijski graf.