Reševanje modularnih enačb. Obšolski pouk - Vietov izrek

Takoj preidimo na obravnavo sistema stav, ko bodo edina pravilna možnost za izid igre namesto dveh trije, kot so:
X - žrebanje;
W1 - zmaga prve ekipe;
W2 - zmaga druge ekipe.

Kot ste morda uganili, so glavna uporaba te strategije stave na nogomet. Tu je nekaj primerov stavnega sistema 1-X-2, s katerim se lahko izognete izgubi stav, če ne uganete izidov dvobojev.

Primer ena. Recimo, da je več dobrih tekem, z dobrimi kvotami od 1,75 do 2,1, v večini izidov vseh tekem, za katere boste prepričani. S stavami na več takšnih tekem obstaja tveganje, da bo vsaj ena izmed nogometnih ekip remizirala, na koncu pa lahko izgubite vse.

A da bi se temu izognili, morate le uporabiti stavni sistem 1-X-2, dobitek bo seveda manjši, a tudi če ena od izbranih ekip ne odigra vaše stave, boste lahko dobili nazaj denar, ki ga stavite. A to praviloma ni zelo zanimivo, saj lahko na tekmah upoštevaš vse možne remije in si v zelo dobri prednosti.

Recimo, da so trije nogometne tekme, s kvotami od 1,8 do 2,0, kjer menite, da bi morala zmagati prva ekipa. Nato boste morali staviti na 4 hitre stave (slika 1):

Slika 1 – Primer stave

Recimo za vse stave, skupaj smo porabili le 400 $, približno 10 za vsako ekspresno stavo. Ko zmagajo vse ekipe, dobiček izračunamo po naslednjem načelu: 1,8 * 1,8 * 1,8 * 100 USD. = 580,30 $, vendar v primeru, da se ena od iger konča z remijem, potem izračunamo po shemi 1,8*1,8*2,7*100 c.u. = 870 USD Ni slaba zmaga, se strinjate?

Toda vedno obstajajo tveganja in ne smete pozabiti, da boste izgubili denar, če se vaše stave ne obnesejo ali če je več kot eno izenačenje. Upoštevati je treba tudi, da lahko ta sistem spremenite, kar bo posledično povečalo možnosti za dobitek vaših stav. Oglejmo si majhen primer, ki je podan nekoliko nižje, ob upoštevanju možnosti zmage za drugo ekipo, vendar le za en nogometni par. V tem primeru bo zelo pomemben naslednji niz (slika 2):

Slika 2 – Primer stave

Zato mora biti pri vseh petih ekspresnih stavah, ki smo jih zagotovili, kvota preprosto vsaj 5.

Stavni sistem je 1-X-2, možnost dve. Deloma je podoben prvemu sistemu; številne značilnosti te možnosti so naslednje ta sistem vam bo omogočil zelo učinkovito razdelitev vseh stav, in sicer na ekipe, ki igrajo bolje na gostovanjih. Recimo, da so skupaj tri ekipe, ki na gostovanjih igrajo bolje od ostalih, to pomeni, da bomo stavili na ta način (slika 3):

Slika 3 – Primer stave

žrebanje - "X"
zmaga gostujoče ekipe - "2"

Če upoštevamo, da so vsi koeficienti za ekipe praviloma zelo visoki, potem doseganje donosnosti sistema za vsako ekspresno stavo ne bo težko.

Prav tako je treba opozoriti, da se v praksi ta sistem zelo pogosto uporablja posebej za tekme z velike kvote, saj nam prvi opisani sistem omogoča doseganje dobrih rezultatov.

Vendar je treba omeniti, da je učinkovitost samega sistema zelo pogosto vprašljiva, saj s tremi tekmami posameznih stav lahko dobite ne slabo, ampak morda zelo dober rezultat kot hitre stave z uporabo prvega od zgornjih sistemov.

Toda drugi sistem je tako rekoč bolj učinkovit pri polaganju stav neposredno na ekipe, ki redkeje izgubijo na gostovanjih kot druge. A praviloma bo tako kot v prvem sistemu, pogosto bodo primeri, ko se vam bo veliko bolj splačalo staviti celoten znesek na eno ekspresno stavo, namesto da bi igrali po drugem sistemu.

Zato je treba učinkovitost te stavne strategije 1-X-2 izračunati za vsako posamezno stavo, ki jo imate.

Vsota korenov danega kvadratna enačba enak drugemu koeficientu c nasprotno znamenje, produkt korenin pa je enak brezplačen član.

(Spomnimo se: zmanjšana kvadratna enačba je enačba, kjer je prvi koeficient 1).

Pojasnilo:

Naj kvadratna enačba sekira 2 +bx +c= 0 ima korenine X 1 in X 2. Nato po Vietovem izreku:

Primer 1:

Dana enačba x 2 – 7x + 10 = 0 ima korena 2 in 5.

Vsota korenin je 7, produkt pa 10.

In v naši enačbi je drugi koeficient -7, prosti člen pa 10.

Tako je vsota korenin enaka drugemu koeficientu z nasprotnim predznakom, produkt korenin pa je enak prostemu členu.

Precej pogosto obstajajo kvadratne enačbe, ki jih je mogoče enostavno izračunati z uporabo Vietovega izreka - Nadalje, z njeno pomočjo jih je lažje izračunati. To je enostavno preveriti tako v prejšnjem primeru kot v naslednjem.

Primer 2. Reši kvadratno enačbo X 2 – 2X – 24 = 0.

rešitev

Uporabimo Vietov izrek in zapišemo dve identiteti:

X 1 · X 2 = –24

X 1 + X 2 = 2

Faktorje za –24 izberemo tako, da je njihova vsota enaka 2. Po premisleku najdemo: 6 in –4. Preverimo:

6 · (– 4) = –24.

6 + (– 4) = 6 – 4 = 2.

Kot ste opazili, je v praksi bistvo Vietovega izreka razstaviti prosti člen v dani kvadratni enačbi na faktorje, katerih vsota je enaka drugemu koeficientu z nasprotnim predznakom. Ti dejavniki bodo korenine.

To pomeni, da sta korena naše kvadratne enačbe 6 in –4.

odgovor: X 1 = 6, X 2 = –4.

Primer 3. Rešimo kvadratno enačbo 3x 2 + 2x – 5 = 0.

Tu nimamo opravka z zmanjšano kvadratno enačbo. Toda takšne enačbe je mogoče rešiti tudi z uporabo Vietovega izreka, če so njihovi koeficienti uravnoteženi - na primer, če je vsota prvega in tretjega koeficienta enaka drugemu z nasprotnim predznakom.

rešitev

Koeficienti enačbe so uravnoteženi: vsota prvega in tretjega člena je enaka drugemu z nasprotnim predznakom:

3 + (–5) = –2.

V skladu z Vietovim izrekom

x 1 + x 2 = –2/3
x 1 x 2 = –5/3.

Poiskati moramo dve števili, katerih vsota je –2/3 in produkt –5/3. Te številke bodo korenine enačbe.

Prvo številko ugibamo takoj: to je 1. Konec koncev, ko je x = 1, se enačba spremeni v najpreprostejše seštevanje in odštevanje:
3 + 2 – 5 = 0. Kako najti drugi koren?
Predstavimo 1 kot 3/3, tako da imajo vsa števila isti imenovalec: lažje je. In takoj vprašajo nadaljnje ukrepe. Če je x 1 = 3/3, potem:

3/3 + x 2 = –2/3.

Rešimo preprosto enačbo:

x 2 = –2/3 – 3/3.

Odgovor: x 1 = 1; x 2 = –5/3

Primer 4: Rešite kvadratno enačbo 7 x 2 – 6x – 1 = 0.

rešitev:

Ena korenina se takoj pokaže - pade v oči: X 1 = 1 (ker se s preprosto aritmetiko izkaže: 7 – 6 – 1 = 0).

Koeficienti enačbe so uravnoteženi: vsota prvega in tretjega je enaka drugemu z nasprotnim predznakom:
7 + (– 1) = 6.

V skladu z Vietovim izrekom tvorimo dve identiteti (čeprav v v tem primeru eden od njih je dovolj):

X 1 · X 2 = –1/7
X 1 + X 2 = 6/7

Zamenjajte vrednost x 1 v katerega koli od teh dveh izrazov in poiščite x 2:

X 2 = –1/7: 1 = –1/7

odgovor: X 1 = 1; X 2 = –1/7

Diskriminanta reducirane kvadratne enačbe.

Diskriminanco reducirane kvadratne enačbe lahko izračunamo kot splošna formula, in poenostavljeno:

priD = 0, se koreni zgornje enačbe lahko izračunajo po formuli:

Če D< 0, то уравнение не имеет корней.

Če je D = 0, ima enačba en koren.

Če je D > 0, ima enačba dva korena.

Stavi 1x2 (stavite na izidglavo-do-glava, trosmerna stava) je ena izmed osnovnih stav v stavnicah. Ni treba računati pričakovanih točk, šteti kotov, kdo bo prvi zadel itd. Dovolj je samo prepričanje, ali bo zmagala prva ekipa, druga ali bo neodločeno.

To stavo je mogoče skleniti v načinu v živo in v času pred tekmo. Najpogosteje je to pomembno za nogomet in hokej, možno pa je tudi pri drugih športih. Vredno je povedati, da je stava ena na ena v svoji tipični interpretaciji ni značilno za tenis, odbojko, baseball in druge športe, kjer lahko zmaga le ena oseba/ekipa (navsezadnje ni X-a). V tem primeru se uporabi ena stava.

Prav tako je možno skleniti tovrstne stave na končni izid tekme (zmaga ekipe ob koncu tekme) ali na izid tekme v prvem polčasu (na primer zmaga Liverpoola po točkah po 45 minutah igrati).

Pravzaprav stava na izid napove končni izid tekme. In 1X2 se včasih imenuje zaradi okrajšave: 1 je v tem primeru zmaga za gostitelje, X je remi in 2 je zmaga za goste (nekateri ljudje imajo radi okrajšavo Domov-Neodločeno-Gostje).

Ena od slabosti te vrste stav je, da je včasih med kvotami velik razpon. Tako je lahko kvota za favorita tekme 1,0, medtem ko nasprotna stran 12 in več.

Dobitki pri stavah ena na ena se izračunajo tako, da se znesek stave pomnoži s kvoto v času, ko je bila stava sklenjena. V skladu s tem, če gostje zmagajo s kvoto 10 in je znesek stave 1000 rubljev. vaš dobiček bo 10.000 rubljev.

Še vedno ni jasno, kaj pomeni 1x2 pri stavah? Dajmo primer. Vzemimo tekmo Rusija-Nemčija. Označimo Rusijo s številko 1, Nemčijo s številko 2. Vzemimo remi kot pogojni X. Kvota stavnice za zmago Rusije (5,3), Nemčija (1,9), za remi (2,4). Vaša stava na zmago Rusije je 500 rubljev. Če stava (1) zmaga, boste prejeli 500x5,3=2650 rubljev nazaj na svoj račun. Če zmagate (2) ali X, ne boste prejeli ničesar in izgubili znesek stave.

Zgoraj je primer prikaza stave pri stavnici.

Ena od modifikacij trojne stave so stave "Dvojna priložnost", ki zmanjšujejo stopnjo tveganja in povečujejo odstotek zmage. Obstajajo možnosti 1X, 2X in 12. Kaj pomenijo te oznake? Vzemimo isto tekmo Rusija – Nemčija. Stava 1X pomeni, da stavite na zmago prve ekipe (Rusija) ali na remi na tekmi (X).

V skladu s tem, če je rezultat 1:1, boste stavo zmagali. 2X pomeni vašo prednost za Nemčijo ali žreb. No, stava 12 pomeni zmago za Rusijo ali Nemčijo; če je neodločeno, bo stava izgubljena. Slabosti stav na to vrsto stav so očitne: ker dejansko ne napovedujete 1 dogodka, ampak 2 možna dogodka, stavnice znižajo kvote. Torej, na primer, če je kvota za zmago Rusije 5,3, če se odločite dodati 1X remi, bo kvota verjetno padla na 3,2 ali nižje.

Upam, da smo vam pomagali razumeti vprašanje vrednosti stave 1X2. Drznite si in bodite zmagovalci.

Algoritem za rešitev enačbe akh 3 +bx 2 +cx+d=0:

1. Poiščite z izbiro koren enačbe (med delitelji prostega člena);

2. Razdeli polinom ah 3 + bx 2 + cx + d na x-x 1 , kjer je x 1 - koren enačbe ah 3 + bx 2 + cx + d =0;

3. Kvocient izenači z nič in reši dobljeno enačbo;

4. Zapišite odgovor.

Rešite enačbo -6x 3 -x 2 +5x+2=0

1. Poiščite delitelje prostega člena: ±1,±2,±3,±6.

2. x=1 je koren enačbe.

3. Polinom -6x 3 -x 2 +5x+2 delite z binomom

x-1 (posledica 1 Bezoutovega izreka).

3. Reši enačbo: -6x 2 -7x-2=0,

6x 2 -7x-2+0, x 1 = -, x 2 = -.

4. Odgovori. x=1, x = -, x = -.

Ta metoda reševanja enačb je univerzalna. Uporablja se lahko za reševanje enačb štiri, pet itd. stopnje, ki jih postopoma znižujejo na drugo stopnjo.

Primer 1.

Rešite enačbo x 4 +3x 3 -13x 2 -9x+30=0.

1. Med delitelji prostega člena poiščemo korenine enačbe. To sta 2 in -5.

2. Na podlagi posledice 1 iz Bezoutovega izreka je polinom x 4 +3x 3 -13x 2 -9x+30 deljiv z x-2 in x+5, zato je deljiv z (x-2)(x+5)= x 2 + 3x-10.

3. Razdelimo polinome: x 4 +3x 3 -13x 2 -9x+30 z x 2 +3x-10.

4. Reši enačbo x 2 -3=0, x 1,2 =
.

Odgovori. x =
, x = -, x = -5, x = 2.

Rešite enačbo 3x 5 +x 4 -15x 3 -5x 2 +12x+4=0.

1. Med delitelji prostega člena poiščemo korenine enačbe. To so 1, -1, 2 in -2

2. Na podlagi posledice 1 iz Bezoutovega izreka je polinom 3x 5 +x 4 -15x 3 -5x 2 +12x+4 deljiv z x-1, x+1, x-2 in x+2, zato je deljiv z (x- 1)(x+1)(x-2)(x+2)=

(x 2 -1)(x 2 -4) = x 4 -5x 2 +4.

3. Razdelimo polinome: 3x 5 +x 4 -15x 3 -5x 2 +12x+4 z x 4 -5x 2 +4.

4. Reši enačbo 3x+1 =0, x=-.

5. Odgovori. x=-2, x=-1, x=-, x=1, x=2.

Reši enačbo

(2x 2 -1) 2 +x(2x-1) 2 =(x+1) 2 +16x 2 -6

Prestavimo vse člane na leva stran, odprite oklepaje in predstavite podobne izraze.

4x 4 -4x 2 +1+4x 3 -4x 2 +x-x 2 -2x-1-16x 2 +6+0, 4x 4 +4x 3 -25x 2 –x+6=0.(1)

Delitelji prostega člena: ±1;±2;±3;±6. Če ima enačba cele korenine, potem je to eden od deliteljev. Zamenjava je pokazala, da je to 2. Po Bezoutovem izreku je polinom 4x 4 +4x 3 -25x 2 –x+6 deljiv z x-2 brez ostanka. V količniku dobimo: 4x 3 +12x 2 –x – 3.

Enačbo (1) prepišemo v obliki: (x-2)(4x 3 +12x 2 –x – 3)=0.

Rešimo enačbo 4x 3 +12x 2 –x – 3=0. -3 je koren te enačbe, saj se, ko ga nadomestimo z x, enačba spremeni v pravo numerično enakost. Polinom 4x 3 +12x 2 –x – 3 delimo z x+3, dobimo 4x 2 -1. Kvadratna enačba 4x 2 -1=0 ima korenine x= ±.

Odgovori. x = 2, x = -3, x = ±.

Če med delitelji prostega člena ni korenov enačbe, potem uporabimo razmerje med koeficienti in koreni enačbe.

če koren enačbe a 0 X n + a 1 x n -1 + a 2 x n -2 ...+ a n -1 x+ a n =0, torejmje delitelj prostega člena, c pa je delitelj vodilnega koeficienta.

Algoritem za reševanje takih enačb:

1. Poiščite delitelje prostega člena in vodilnega koeficienta;

2. Sestavi različne ulomke, kjermso delitelji prostega člena in c so delitelji vodilnega koeficienta;

3. S substitucijo določi, kateri ulomek je koren enačbe;

4. Deljenje polinoma s polinomom;

5.Enačbo rešite tako, da količnik enačite na nič;

6. Zapiši odgovor.

Rešite enačbo 6x 3 -3x 2 -5x - 1=0.

1. Delitelji prostega člena: ±1. Te številke niso korenine enačbe. Poiščemo delilnike vodilnega koeficienta: ±1, ±2, ±3, ±6.

2. Sestavimo različne ulomke:

3. - je koren enačbe.

2. Po posledici 1 iz Bezoutovega izreka je polinom 6x 3 -3x 2 -5x – 1 deljiv z x+.

3. Razdelimo polinome:

4. Rešite enačbo 6x 2 -6x-2=0, 3x 2 -3x-1=0, D = 21, x 1,2 =
,

5. Odgovori. x 1,2 =, x = -.

Deljenje polinoma s polinomom
se lahko naredi na drug način.

Naj =
∙(x- a)+ R . Pustiti

Iskanje koeficientov polinoma in števila , odpremo oklepaje na desni strani enačb: in izenačimo koeficiente na enakih stopinjah na levi in ​​desni. Dobimo
. Iz tega sledi, da ko
.[ 4]

Koeficienti polinoma in ostanka se izračunajo s pomočjo naslednje tabele:

Ta tabela se imenuje Hornerjeva shema.

Primer 1.

Deli 2x 3 -3x+5 z x-4.

Za izračun količnika in preostalih koeficientov uporabimo Hornerjevo shemo.

torej

Hornerjeva shema daje splošna metoda faktorizacija poljubnega polinoma.

3.2 Za enačbe s celimi koeficienti, ki nimajo racionalnih korenin, je učinkovita metoda nedoločenih koeficientov.

3.3 Metoda negotovih koeficientov.

Polinom na levi strani enačbe je predstavljen kot produkt dveh polinomov z neznanimi koeficienti:

1.Za kubična enačba: x 3 +bx 2 +cx+d=0, a≠0, x 3 +bx 2 +cx+d=(x 2 +рх+g)(x+t)=x 3 +x 2 t+px 2 +ptx+gx+gt=x 3 +(t+p)x 2 +(pt+g)x+gt.

Ker sta polinoma enaka, potem koeficienti za enake stopinje so enaki. Dobimo sistem enačb:

2. Za enačbo četrte stopnje: x 4 +ax 3 +bx 2 +cx+d=0, a≠0

x 4 +ax 3 +bx 2 +cх+d =(x 2 +mx+n)(x 2 +kx+t)=x 4 +(k+m)x 3 +(m+mk+n)x 2 +(mt+nk)x+nt.

Ker sta polinoma enaka, sta tudi koeficienta pri enakih potencah enaka. Dobimo sistem enačb:
Z rešitvijo sistema poiščemo neznane koeficiente.

Rešite enačbo x 4 -2x 2 - 8x - 3=0.

Predstavljajmo si polinom x 4 -2x 2 - 8x -3 kot produkt dveh trinomov z neznanimi koeficienti: x 4 -2x 2 - 8x -3=

(x 2 +mx+n)(x 2 +kx+t)=x 4 +(k+m)x 3 +(n+mk+t)x 2 +(mt+nk)x+nt.

Dobimo sistem enačb:
Iz enačbe nt=-3 sledi, da moramo upoštevati naslednje primere: 1 .n=3,t=-1; 2. n=-3,t=1; 3. n=1,t=-3; 4 . n=-1,t=3.

Če te pare nadomestimo v preostale enačbe sistema, dobimo, da je z n=3,t=-1 x 4 -2x 2 - 8x -3= (x 2 +2x+3)(x 2 -2x-1) =0. Rešimo enačbi x 2 +2x+3=0 in x 2 -2x-1=0. Diskriminanta prve enačbe je negativna, kar pomeni, da nima pravih korenin. Diskriminanta druge enačbe je 8, x 1,2 =1±
.

Odgovori. x 1,2 =1±.

3.4. Za rešitve bikvadratne enačbe in enačb, ki se reducirajo na kvadratne enačbe, se pogosto uporablja metoda uvajanja novih spremenljivk. Lahko se uporablja tudi za enačbe višje stopnje.

Rešite enačbo x 4 +2x 3 – 22x 2 +2x+1=0.

Ker x=0 ni koren enačbe, lahko obe strani enačbe delimo z x2, ne da bi izgubili korenine. Dobimo enačbo

x 2 +2x-22++ =0, združimo izraze

(x 2 +)+2(x+)-22=0.

Naredimo spremembo x +=t, potem (x +) 2 =t 2. x 2 +2+= t 2, x 2 += t 2 -2 Izhodiščna enačba se zmanjša na enačbo t 2 -2 +2t-22= 0, t 2 +2t -24= 0,t 1 =-. 6, t 2 =4 Vrnimo se k prvotni spremenljivki: 1). x +=-6, 2). x +=4.

Rešimo vsako enačbo. 1). x +=-6, x 2 +6x+1=0, D=32, x 1,2 =
, x 1 = -3+2, x 2 = -3-2.

Odgovori. x 1 = -3+2, x 2 = -3-2.

Enačba oblike:

(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = E;

Primer 1.

Rešite enačbo (x+1)(x+2)(x+4)(x+5)=40.

Združimo faktorje ((x+1)(x+5))∙((x+4)(x+2))=40, izvedemo množenje v oklepaju (x 2 +6x+5)(x 2 +6x +8) =40, Uporabite zamenjavo: x 2 +6x=t, potem (t 2 +5)(t 2 +8)=40, t 4 +13t 2 +40=40, t 4 +13t 2 =0 , t 2 ( t 2 +13)=0, t=0, t 2 +13=0 nima pravih korenin.

Vrnimo se k prvotni spremenljivki x 2 +6x=0, x(x+6)=0, x=0, x= -6.

Odgovori. x=0, x= -6.

Primer 1.

Reši enačbo

(x 2 -3x+ 1)(x 2 +3x+2)(x 2 -9x+20)=-30.

Naredimo to na faktorje drugega in tretjega trinoma, poiščimo korenine polinomov z reševanjem treh enačb:

x 2 +3x+2=0, x 1 = -1, x 2 = -2.

x 2 -9x+20=0, x 1 = 4, x 2 = 5. Dobimo enačbo

(x 2 -3x+ 1)(x+1)(x+2)(x-4)(x-5)=-30,

(x 2 -3x+ 1)((x+1)∙(x-4))((x+2)∙(x -_5))=-30,

(x 2 -3x+ 1)(x 2 -3x-4)(x 2 -3x-10)=-30, Predstavimo novo spremenljivko. Pustiti

x 2 -3x+ 1=t, potem je t(t-5)(t-11)=-30, t=6 je koren te enačbe. Odprimo oklepaje in dobimo t 3 -16t 2 +55t+30=0,

Polinom t 3 -16t 2 +55t+30 delimo s t-6 in v količniku dobimo t 2 -10t-5.

Rešimo enačbo t 2 -10t-5=0, t 1 =5+
, t 2 =5-.

Vrnimo se k prvotni spremenljivki, za to rešimo tri enačbe:

Odgovori. x 1,2 =, x 3,4 =
, x 5,6 =
.

Enačba oblike (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = Eх 2 ;

Reši enačbo:

(x – 4)(x 2 + 15 + 50)(x – 2) = 18x 2

Razložimo x 2 + 15 + 50.

x 2 + 15 + 50 = 0, x 1 = -5, x 2 = -10, potem x 2 + 15x + 50 = (x + 5)(x + 10). Enačba bo imela obliko:

(x – 4)(x + 5)(x + 10)(x – 2) = 18x 2,

(x 2 + x – 20)(x 2 + 8x – 20) = 18x 2. Ker x = 0 ni koren enačbe, potem če obe strani enačbe delimo z x 2, dobimo

(x+1- )(x+8-)=18.

Predstavimo novo spremenljivko. Naj bo t= x-, potem (t+1)(t+8)=18,

t 2 +9t-10=0, t 1 =10, t 2 =-1 Vrnimo se k prvotni spremenljivki:

Odgovori. x=-5, x = 4, x= -5 -3
, x= -5 +3.

Enačba oblike ax 4 +bx 3 +cx 2 +bx+a=0, ax 6 +bx 5 +cx 4 +dx 3 +cx 2 +bx+a=0 itd. Take enačbe imenujemo povratno Imajo nekakšno "simetrijo": koeficient pri x 6 je enak prostemu členu, koeficient pri x 5 in x, pri x 4 in x 2 sta enaka. Recipročne enačbe se rešujejo z zamenjavo x +=t.

Enačba x 4 +2x 3 – 22x 2 +2x+1=0 nima celih korenov (delitelji prostega člena ±1 niso koreni enačbe).

Ker x = 0 ni koren enačbe, potem če obe strani enačbe delimo z x 2, dobimo (x 2 + ) -2(x+)-22=0.

Predstavimo novo spremenljivko. Naj bo t= x+, potem je x 2 +2+ =t 2, dobimo enačbo t 2 -2-2t-22=0, t 2 -2t-24=0 t 1 =6, t 2 =-4. Vrnimo se k prvotni spremenljivki:

Odgovori. x 1,2 = 3 ±2, x 3,4 = -2 ±.

3.5.. Za reševanje kvadratnih enačb se uporablja metoda izolacije celotnega kvadrata. Za reševanje enačb tretje in četrte stopnje lahko uporabite tudi binomske formule.

Formule za skrajšano množenje, ki jih poznate:

(x±a) 2 =x 2 ±2x+a 2;

(x±a) 3 =x 3 ±3x 2 a+3xa 2 ±a 3;

(x+a)(x-a)=x 2 -a 2;

(x+a)(x 2 -x+a 2)= x 3 +a 3;

(x-a)(x 2 +x+a 2)= x 3 -a 3;

(x+y+z) 2 =x 2 +y 2 +z 2 +2xy+2xz+2yz/

Formulo (x+a) 4 lahko dobimo na naslednji način: (x+a) 4 = (x+a) 3 (x+3)= (x 3 +3x 2 a+3xa 2 +a 3) (x+ a) = x 4 +4x 3 a+6x 2 a 2 +4x 3 +a 4.

Razširitvene koeficiente je mogoče najti s pomočjo Pascalovega trikotnika

(po imenu francoski matematik Blaise Pascal):

V vsaki vrstici tega trikotnika so stopenjski koeficienti, razen prvega in zadnjega, pridobljeni s poparnim seštevanjem najbližjih koeficientov prejšnje vrstice.

Primer.1.

Za (x+a) 7: eksponent enako številu 7, kar pomeni, da so njegovi koeficienti v osmi vrstici, to so 1,7,21,35,35,21,7,1, ki jih dobimo iz prejšnje vrstice takole:

7=1+6, 21=6+15, 35=15+20, 35= 20+15, 21=15+20, 7=6+1.

Dobimo: (x+a) 7 =x 7 +7x 6 a+21x 5 a 2 +35x 4 a 3 +35x 3 a 4 +21x 2 a 5 +7x 6 +a 7.

Pri pisanju formul za skrajšano množenje višjih potenc obstajajo naslednja načela:

Število členov dobljenega polinoma na enoto več kot indikator stopnje;

Eksponent X vsak naslednji člen ima enega manj in eksponent a− še eno;

Vsota eksponentov x in a je konstantna in enaka eksponentu polinoma;

Koeficienti polinoma, ki je enako oddaljen od začetka in konca, so enaki.

Rešite enačbo x 3 +6x 2 +12x-16=0.

Rešitev: uporabite formulo (x+a) 3 = 1∙x 3 +3x 2 a+3xa 2 +1∙a 3.

x 3 +6x 2 +12x+16=0, (x 3 +3∙2x 2 +3∙2 2 x+2 3) +8=0, (x+2) 3 +2 3 =0, (x+ 2 +2)((x+2) 2 -2 (x+2)+4)=0, 1. x=-4, 2. (x+2) 2 -2 (x+2)+ 4=0,

x 2 +2x +4=0, D=-12, brez pravih korenin.

Odgovori. x = -4.

Rešite enačbo x 4 -12x 3 +54x 2 -108x+48=0, x 4 -12x 3 +54x 2 -108x+48= (x 4 -4x 3 ∙3+6x 2 3 2 -4x3 3 + 4 4 ) -4 4 +48= (x-3) 4 -64+48=0, (x-3) 4 - 16=0. Uporabimo razliko kvadratov (x-3-4)(x-3+4)=0, (x-7)(x+1)=0, x=7, x=-1.

odgovor: x=-1, x=7.

3.6. Uporaba Vietovega izreka.

1.Vietov izrek za kubično enačbo:

če je x 1, x 2, x 3 ─ korenine enačbe x 3 +bx 2 +cx+d=0, a≠0, to

X 1 + x 2 + x 3 =- b,

x 1 X 2 + x 2 X 3 + x 1 x 3 = c,

X 1 X 2 X 3 = - d.

2.Vietov izrek za enačbe četrte stopnje:

če so x 1, x 2, x 3, x 4 koreni enačbe x 4 + b x 3 +cx 2 +x+dx+e=0, to

X 1 + x 2 + x 3 +x 4 =- b,

x 1 X 2 + x 1 X 3 + x 1 X 4 + x 2 X 3 + x 2 x 4 +x 3 X 4 = c,

X 1 X 2 X 3 X 4 = e,

x 1 X 2 X 3 + x 1 X 2 X 4 + x 1 X 3 X 4 + x 2 X 3 x 4 = - d.

Rešite enačbo x 3 -4 x 2 +x+6=0.

naj bodo x 1, x 2, x 3, x 4 ─ korenine enačbe, potem je x 1 + x 2 + x 3 =4, x 1 x 2 +x 2 x 3 +x 1 x 3 =1, x 1 x 2 x 3 = -6. Preverimo, katera od števil ±1, ±2, ±3, ±6 izpolnjujejo pogoje: x 1 + x 2 + x 3 =4, x 1 x 2 +x 2 x 3 +x 1 x 3 =1, x 1 x 2 x 3 = -6. To so x=-1, x=2 in x=3.

Uporaba formul za skrajšano množenje.

Literatura

1. Vygodsky M.Ya. Priročnik za osnovno matematiko. – M. Državna založba fizične in matematične literature, 1970.

2. Galitsky M.L., Goldman M., Zvavič L.I. Zbirka problemov iz algebre za 8-9 razred: učbenik za učence v šolah in razredih s poglobljenim študijem matematike: 4. izd. - M.: Prosveshchenie, 1997.

3. Yu.M. Koljagin. Algebra in začetki analize: učbenik (profil in osnovna raven) za 10. razred splošnoizobraževalnih ustanov - M.: Mnemosyna 2006.

4. Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G. Dodatna poglavja k šolskemu učbeniku. 8. razred M., Izobraževanje, 1996.

5. K.S. Muravin. Algebra 8: učbenik za izobraževalne ustanove - M: Drofa, 2008

6. Enciklopedični slovar mladega matematika. – M.: Pedagogika, 2007.

7. /spr/algebra/ferrary.htm

KONTAKTI:

347611, regija Rostov, okrožje Salsky, x. Mayak, st. Centralna, 4

Z eno neznanko, tj enačbe oblike (*) Pn(x)= ...