Seštevanje in odštevanje monomov. Video lekcija »Aritmetične operacije z monomi

Diapozitiv 3

Diapozitiv 4

1. stopnja: »Ponavljanje je mati učenja« Dešifrirajte besedo: ALGEBRA iz arabske besede »Al« - jebra« (v prevodu »obnova«)

Diapozitiv 5

Diapozitiv 6

1. Monom je vsota številskih in abecednih faktorjev. 2. Vsa števila, poljubne spremenljivke, potence spremenljivk se prav tako štejejo za monome. 3. Dobesedni faktor monoma, zapisan v standardni obliki, se imenuje koeficient monoma. 4. Algebrski izraz, ki je produkt števil in spremenljivk, dvignjenih na potenco z naravni indikator, imenujemo monom

Diapozitiv 7

5. Vsoto eksponentov vseh črk, vključenih v monom, imenujemo stopnja monoma. 6. Enaki ali različni le v koeficientih se imenujejo podobni izrazi. 7. Dva monoma, sestavljena iz enakih spremenljivk, imenujemo podobna monoma. 8. Kot rezultat seštevanja monomov dobimo monom.

Diapozitiv 8

9. Monom, v katerem so vsi numerični faktorji pomnoženi in njihov produkt postavljen na prvo mesto, vse razpoložljive potence z isto črkovno osnovo pomnožene in vse potence z različno črkovno osnovo pomnožene, imenujemo monom standardne oblike. 10. Če želite odpreti oklepaje, pred katerimi je znak "+", je treba oklepaje izpustiti, pri čemer se ohrani znak vsakega izraza, ki je bil v oklepaju. 11. Ko odpiramo oklepaje, pred katerimi je znak »-«, oklepaje izpustimo in znaki členov, ki so bili v oklepaju, se obrnejo.

Diapozitiv 9

Diapozitiv 10

Poiščite napako:

Diapozitiv 11

Iz zapisanih monomov izberi podobne in poišči njihovo vsoto:

Diapozitiv 12

A D U G S I

Diapozitiv 13

Prva faza je risanje matematični model. (SMM) Naj bo celotna razdalja x km, potem smo prvi dan hodili Drugi dan smo hodili

Diapozitiv 14

Ker nam tretji dan ostane še 25 km, dobimo matematični model: Druga stopnja je delo s sestavljenim modelom. RMM

Diapozitiv 15

2. RMM 3. stopnja: Odgovor na vprašanje naloge: (OVZ) Za x smo vzeli dolžino poti, kar pomeni, da je enaka 55 km. Odgovor: dolžina poti je 55 km.

Diapozitiv 16

A Z D U G S I

Diapozitiv 17

“Knjiga je knjiga, a razgibaj svoje možgane” št. 292 št. 293

V tej lekciji se bomo spomnili, kaj je monom, standardne oblike monoma in podali definicijo podobnih monomov. Naučimo se razlikovati podobne monome od neenakih. Oblikujmo pravila za seštevanje in odštevanje podobnih monomov. Naučimo se reševati tipične naloge z uporabo seštevanja in odštevanja.

Zadeva:Monomi. Aritmetične operacije nad monomi

Lekcija:Seštevanje in odštevanje monomov

Spomnimo se, kaj imenujemo monom in katere operacije lahko izvajamo z monomi. Monom je produkt števil in potenc. Poglejmo dva primera:

Oba izraza sta monoma in preden nadaljujete s seštevanjem ali odštevanjem, ju je treba prenesti v standardno obliko:

Spomnimo se, da morate za zmanjšanje monoma na standardno obliko najprej pridobiti numerični koeficient, množenje vseh numeričnih faktorjev in nato množenje ustreznih potenc.

Ugotovimo, ali je možno sešteti naša dva monoma – ne, ni mogoče, saj lahko seštejemo le tiste monome, ki imajo enak črkovni del, torej samo podobne monome. To pomeni, da se moramo naučiti razlikovati med podobnimi in nepodobnimi monomi.

Poglejmo si primere podobnih monomov:

Monomi in so si podobni, ker imajo enak črkovni del -

Še en primer. Zapišimo monom in monom. Drugemu monomu lahko pripišemo popolnoma katerikoli numerični koeficient in dobimo monom, podoben prvemu. Izberimo na primer koeficient in dobimo dva podobna monoma: in

Razmislite o naslednjem primeru. Prvi monom, njegov koeficient enako ena. Zapišimo zdaj njegov črkovni del in mu prištejmo poljuben številski koeficient, npr. Imamo dva podobna monoma: in .

Naredimo to sklep: Podobni monomi imajo enak črkovni del in takšne monome je mogoče seštevati in odštevati.

Zdaj podajamo primere nepodobnih monomov:

IN ; ti monomi imajo različne črkovne dele, spremenljivka a v njih je predstavljena v različne stopnje, torej si monomi niso podobni

Drug primer: tudi monoma in si nista podobna črkovna dela po potencah spremenljivke a.

Razmislimo o tretjem paru monomov: in prav tako nista podobna.

Zdaj pa poglejmo seštevanje podobnih monomov, naredimo primer:

Dodajte dva monoma:

Očitno je, da so ti monomi podobni, saj je zlahka opaziti, da so njihovi črkovni deli enaki, toda matematično se lahko podobnost monomov dokaže z zamenjavo črkovnega dela z drugo črko, in če se za oba monoma ta črka obrne enaki, potem so monomi podobni. Če preidemo na primer, zamenjajmo prvi monom z ? Nato v drugem monomu zamenjamo isti črkovni del z

Če seštejemo ta dva izraza, dobimo. Zdaj pa se vrnimo k prvotnim spremenljivkam – zamenjamo spremenljivko t v odgovoru z , dobimo končni odgovor:

Zdaj pa oblikujmo pravilo za seštevanje monomov:

Da bi dobili vsoto podobnih monomov, je potrebno sešteti njihove koeficiente in dodati črkovni del enako kot pri prvotnih členih.

Poglejmo si primere:

2)

Komentar primera št. 1: v rezultat najprej zapišemo vsoto koeficientov monomov, torej nato brez sprememb prepišemo dobesedni del, tj.

Komentar primera št. 2: podobno kot v prvem primeru najprej zapišemo vsoto koeficientov, torej črkovni del prepišemo brez sprememb - .

Pojdimo naprej pravilo za odštevanje monomov. Razmislite o primerih:

Pravilo za odštevanje takšnih monomov je podobno pravilu za seštevanje: črkovni del prepišemo brez sprememb, koeficiente pa odštejemo in jih odštejemo v pravilnem vrstnem redu. Za naš primer:

Naredimo to sklep: Seštevate in odštevate lahko poljubne monome, vendar morate dodati ali odšteti njihove koeficiente, tako da črkovni del prepišete v izvirni obliki. Nepodobnih monomov ni mogoče seštevati ali odštevati.

Zdaj, ko poznamo algoritem za seštevanje in odštevanje podobnih monomov, lahko rešimo nekaj tipičnih problemov.

Naloge za poenostavljanje:

Poenostavite izraz:

Prvi monom je zapisan v standardni obliki, ni ga več mogoče poenostavljati, drugi in tretji nista v standardni obliki, kar pomeni, da je prvo dejanje pri poenostavljanju izrazov z monomi redukcija monomov, ki jih je mogoče reducirati nanj, na standardni obrazec.

Torej, pripeljimo drugi in nato tretji monom v standardno obliko:

Prepišimo izvirni izraz ob upoštevanju izvedenih transformacij:

Za vse tri monome vidimo enak črkovni del, kar pomeni, da so si podobni, to pomeni, da jih imamo pravico seštevati in odštevati. Po pravilu bomo izpolnili potrebna dejanja s koeficienti in prepišite dobesedni del brez sprememb:

obstaja inverzni problem . Podan je monom. Predstavi monom kot vsoto monomov.

Vsi monomi, v obliki vsote katerih predstavljamo danega, bodo imeli enak črkovni del, ki je enak tudi danemu monomu - . Predstavljajmo si naš monom, na primer, kot vsoto dveh členov. Za to si predstavljajmo koeficient kot vsoto.

Nadaljevali bomo spoznavanje monomov z materialom spodnjega članka: analizirali bomo izvedbo osnovna dejanja z monomi, kot sta seštevanje in odštevanje. Razmislimo, v katerih primerih je treba ta dejanja izvesti in kaj bodo na koncu dala; Oblikujmo pravilo seštevanja in odštevanja in ga uporabimo pri reševanju standardnih nalog.

Rezultat seštevanja in odštevanja monomov

Seštevanje in odštevanje monomov bomo preučevali na podlagi operacij s polinomi, saj je v splošnem rezultat seštevanja ali odštevanja monomov polinom, le v posebnih situacijah pa monom.

Z drugimi besedami, seštevanje in odštevanje na množici monomov lahko uvedemo le z omejitvami. Razjasnimo, kaj to pomeni, tako da potegnemo analogijo z odštevanjem naravnih števil. Na množici naravnih števil upoštevamo tudi dejanje odštevanja z omejitvijo: da bi rezultat postal naravno število, je treba odštevanje izvesti samo po shemi: od večjega naravno število manj.

Druga stvar je, če govorimo o o množici celih števil, vključno z naravnimi števili: tukaj se odštevanje izvaja brez omejitev.

Enako lahko uporabimo, ko gre za seštevanje ali odštevanje dveh monomov. Da bi končno dobili monom, lahko seštevanje ali odštevanje na nizu monomov izvedemo z omejitvijo: izvirni seštevani ali odšteti monomi morajo biti podobni členi (takrat se imenujejo podobni monomi) ali pa mora biti eden od njih nič . V drugih primerih rezultat dejanj ni več monom.

Toda na množici polinomov, ki vsebuje vse monome, preučujemo seštevanje in odštevanje monomov kot poseben primer seštevanja in odštevanja polinomov. V tem primeru se dejanja obravnavajo brez zgornjih omejitev, saj je rezultat njihove izvedbe polinom (ali monom kot poseben primer polinom).

Pravilo za seštevanje in odštevanje monomov

Oblikujmo pravilo za seštevanje in odštevanje monomov v obliki zaporedja dejanj:

Definicija 1

Če želite izvesti dejanje seštevanja ali odštevanja dveh monomov, morate:

• zapiši vsoto ali razliko monomov glede na nalogo: monome zapiši v oklepaj, med njimi pa znak plus oziroma minus;
• če so monomi v oklepaju prisotni v nestandardna oblika, jih prinesite v standardno obliko;
• odprti oklepaji;
• Podajte podobne člene, če obstajajo, in izločite člene, ki so enaki nič.

Zdaj pa uporabimo navedeno pravilo za reševanje problemov.

Primeri seštevanja in odštevanja monomov

Podani monomi 8 x in − 3 x. Potrebno je izvesti njihovo seštevanje in odštevanje.

rešitev

1. Izvedimo dejanje dodajanja. Vsoto zapišimo tako, da prvotne monome zapremo v oklepaje in mednje postavimo znak plus: (8 x) + (− 3 x). Monomi v oklepajih imajo standardno obliko, kar pomeni, da lahko drugi korak algoritma pravila preskočimo. Naslednji korak je odpiranje oklepajev: 8 x − 3 x, nato pa predstavljamo podobne izraze: 8 x − 3 x = (8 − 3) x = 5 x.

Naj na kratko zapišemo rešitev takole: (8 x) + (− 3 x) = 8 x − 3 x = 5 x.

1. Izvedimo operacijo odštevanja na enak način: (8 x) − (− 3 x) = 8 x + 3 x = 11 x.

odgovor: (8 x) + (− 3 x) = 5 x in (8 x) − (− 3 x) = 11 x.

Oglejmo si primer, kjer je eden od monomov enak nič.

Primer 2

Najti je treba razliko med monomom - 5 · x 3 · 2 3 · 0 · x · z 2 in monomom x · 2 3 · y 5 · z · - 3 8 · x · y.

rešitev

Delujemo po algoritmu po pravilu. Zapišimo razliko: - 5 · x 3 · 2 3 · 0 · x · z 2 - x · 2 3 · y 5 · z · - 3 8 · x · y. Monome v oklepaju spravimo v standardno obliko in dobimo: 0 - - 1 4 · x 2 · y 6 · z. Odprimo oklepaje, kar nam bo dalo naslednjo obliko izraza: 0 + 1 4 · x 2 · y 6 · z, bo zaradi lastnosti dodajanja ničle identično enako 1 4 · x 2 · y 6 · z.

torej kratka opomba rešitev bo takšna:

5 x 3 2 3 0 x z 2 - x 2 3 y 5 z - 3 8 x y = = 0 - - 1 4 x 2 y 6 z = 1 4 · x 2 · y 6 · z

odgovor:- 5 x 3 2 3 0 x z 2 - x 2 3 y 5 z - 3 8 x y = 1 4 x 2 y 6 z

Obravnavani primeri so dali monome kot rezultat seštevanja in odštevanja. Vendar, kot že omenjeno, v splošni primer rezultat seštevanja in odštevanja je polinom.

Primer 3

Podani monomi − 9 x z 3 in − 13 x y z. Treba je najti njihovo vsoto.

rešitev

Zapišemo znesek: (− 9 x z 3) + (− 13 x y z). Monomi imajo standardno obliko, zato razširimo oklepaje: (− 9 · x · z 3) + (− 13 · x · y · z) = − 9 · x · z 3 − 13 · x · y · z . V dobljenem izrazu ni podobnih izrazov, nimamo česa dati, kar pomeni, da bo dobljeni izraz rezultat izračuna: − 9 · x · z 3 − 13 · x · y · z.

odgovor: (− 9 · x · z 3) + (− 13 · x · y · z) = − 9 · x · z 3 − 13 · x · y · z.

Ista shema velja za seštevanje ali odštevanje treh ali več monomov.

Primer 4

Treba je rešiti primer: 0 , 2 · a 3 · b 2 + 7 · a 3 · b 2 − 3 · a 3 · b 2 − 2 , 7 · a 3 · b 2.

rešitev

Vsi dani monomi imajo standardno obliko in so si podobni. Dajmo podobni člani z izvajanjem seštevanja in odštevanja številčni koeficienti, del pisma pa pustimo kot izvirnik: 0 , 2 · a 3 · b 2 + 7 · a 3 · b 2 − 3 · a 3 · b 2 − 2 , 7 · a 3 · b 2 = = (0 , 2 + 7 − 3 − 2 , 7) · a 3 · b 2 = 1, 5 · a 3 · b 2

odgovor: 0, 2 · a 3 · b 2 + 7 · a 3 · b 2 − 3 · a 3 · b 2 − 2, 7 · a 3 · b 2 = 1, 5 · a 3 · b 2.

Primer 5

Podani so monomi: 5, − 3 a, 15 a, − 0, 5 x z 4, − 12 a, − 2 in 0,5 x z 4. Treba je najti njihovo vsoto.

rešitev

Zapišimo znesek: (5) + (− 3 a) + (15 a) + (− 0,5 x z 4) + (− 12 a) + (− 2) + (0,5 x z 4 ). Kot rezultat razširitve oklepajev dobimo: 5 − 3 · a + 15 · a − 0 , 5 · x · z 4 − 12 · a − 2 + 0 , 5 · x · z 4. Združimo podobne izraze: (5 − 2) + (− 3 a + 15 a − 12 a) + (− 0,5 x z 4 + 0,5 x z 4) in jih naštejmo: 3 + 0 + 0 = 3

odgovor: (5) + (− 3 a) + (15 a) + (− 0,5 x z 4) + (− 12 a) + (− 2) + (0,5 x z 4 ) = 3.

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Seštevanje monomov ali odštevanje enega monoma od drugega je možno le, če sta si monoma podobna. Če si monoma nista podobna, lahko v tem primeru seštevek monomov zapišemo kot vsoto, odštevanje pa kot razliko.

Podobni monomi

Podobni monomi- monomi, ki so sestavljeni iz istih črk, vendar imajo lahko različne ali enake koeficiente (številske faktorje). Enake črke v podobnih monomih morajo imeti enaki indikatorji stopnje. Če stopnje iste črke v različnih monomih ne sovpadajo, potem takšnih monomov ni mogoče imenovati podobnih:

5ab 2 in -7 ab 2 - podobni monomi

5a 2 b in 5 ab - niso podobni monomi

Upoštevajte, da zaporedje črk v podobnih monomih morda ni enako. Prav tako so monomi lahko predstavljeni v obliki izraza, ki ga je mogoče poenostaviti, zato je vredno, preden začnete ugotavljati, ali so ti monomi podobni ali ne, monome prenesti v standardno obliko. Na primer, vzemimo dva monoma:

5abb in -7 b 2 a

Oba monoma sta v nestandardni obliki, zato ne bo lahko ugotoviti, ali sta si podobna. Če želite izvedeti, zmanjšajmo monome na standardno obliko:

5ab 2 in -7 ab 2

Zdaj je takoj jasno, da so ti monomi podobni.

Imenujemo dva podobna monoma, ki se razlikujeta le po predznaku nasprotje. Na primer:

5a 2 pr in -5 a 2 pr- nasprotni monomi.

Redukcija podobnih monomov je poenostavitev izraza, ki vsebuje podobne monome z njihovim seštevanjem. Seštevanje podobnih monomov se izvaja v skladu s pravili za zmanjševanje podobnih členov.

Seštevanje monomov

Če želite dodati monome, potrebujete:

1. Sestavite vsoto tako, da zapišete vse člene enega za drugim
2. Če želite prinesti podobne pogoje, za to potrebujete:

Primer 1. Dodajanje monomov 12 ab, -4a 2 b in -5 ab.

rešitev: Sestavimo vsoto monomov:

12ab + (-4a 2 b) + (-5ab)

12ab - 4a 2 b - 5ab

Zdaj moramo ugotoviti, ali so med členi podobni monomi in, če so, narediti redukcijo:

12ab - 4a 2 b - 5ab = (12 + (-5))ab - 4a 2 b = 7ab - 4a 2 b

Primer 2. Dodajte monome 5 a 2 pr in -5 a 2 pr.

rešitev: Sestavimo vsoto monomov:

5a 2 pr + (-5a 2 pr)

Razširimo oklepaje:

5a 2 pr - 5a 2 pr

Ta dva monoma sta nasprotna, to pomeni, da se razlikujeta samo v predznaku. To pomeni, da če seštejemo njihove numerične faktorje, dobimo nič:

5a 2 pr - 5a 2 pr = (5 - 5)a 2 pr = 0a 2 pr = 0

torej pri seštevanju nasprotnih monomov je rezultat enak nič.

Splošno pravilo seštevanje monomov:

Če želite dodati več monomov, zapišite vse člene enega za drugim, pri čemer ohranite njihove predznake, negativne monome postavite v oklepaje in naredite redukcijo. podobni pogoji(podobni monomi).

Odštevanje monomov

Za odštevanje monomov morate:

1. Sestavi razliko tako, da zapišeš vse monome enega za drugim in jih ločiš z znakom – (minus).
2. Pripravite vse monome v standardno obliko
3. Razširite oklepaje, če so v izrazu
4. Naredite redukcijo podobnih monomov, to je:
   1. seštejte svoje številčne faktorje
   2. Po dobljenem koeficientu dodajte črkovne faktorje brez sprememb

Primer. Poiščite razliko monomov 8 ab 2 , -5a 2 b in - ab 2 .

rešitev: Sestavimo razliko monomov:

8ab 2 - (-5a 2 b) - (-ab 2)

Vsi monomi so v standardni obliki. Tako lahko začnete odpirati oklepaje. Oglejte si pravila za odpiranje oklepajev.

8ab 2 + 5a 2 b + ab 2

Zdaj moramo ugotoviti, ali med monomi obstajajo podobni, in če so, naredimo redukcijo:

8ab 2 + 5a 2 b + ab 2 = (8 + 1)ab 2 + 5a 2 b = 9ab 2 + 5a 2 b

Splošno pravilo za odštevanje monomov:

Če želite odšteti en monom od drugega, dodajte odštevani monom z manjšemu nasprotno znamenje in naredi redukcijo podobnih monomov.