Prva stopnja

Pretvarjanje izrazov. Podrobna teorija (2019)

Pretvarjanje izrazov

Pogosto slišimo ta neprijeten stavek: "poenostavite izraz." Običajno vidimo takšno pošast:

"Veliko bolj preprosto je," rečemo, a tak odgovor običajno ne deluje.

Zdaj te bom naučil, da se ne boš takih nalog. Poleg tega boste na koncu lekcije sami poenostavili ta primer na (samo!) navadno številko (ja, k vragu s temi črkami).

Toda preden začnete s to lekcijo, morate znati obravnavati ulomke in faktorske polinome. Zato najprej, če tega še niste storili, obvezno obvladajte teme "" in "".

Ste ga prebrali? Če da, potem ste zdaj pripravljeni.

Osnovne operacije poenostavljanja

Zdaj pa si poglejmo osnovne tehnike, ki se uporabljajo za poenostavitev izrazov.

Najenostavnejši je

1. Prinašanje podobnih

Kaj so podobni? To ste vzeli v 7. razredu, ko so se v matematiki prvič pojavile črke namesto številk. Podobni so členi (monomi) z enakim črkovnim delom. Na primer, skupaj podobni pogoji- to sem jaz.

Ali se spomniš?

Prinesti podobno pomeni dodati več podobnih izrazov drug drugemu in dobiti en izraz.

Kako lahko sestavimo črke skupaj? - vprašate.

To je zelo enostavno razumeti, če si predstavljate, da so črke nekakšni predmeti. Na primer, pismo je stol. Čemu je potem enak izraz? Dva stola in trije stoli, koliko jih bo? Tako je, stoli: .

Zdaj poskusite ta izraz: .

Da ne bi prišlo do zmede, naj različne črke predstavljajo različne predmete. Na primer, - je (kot običajno) stol in - je miza. Nato:

stoli mize stol mize stoli stoli mize

Številke, s katerimi se pomnožijo črke v takih izrazih, se imenujejo koeficientov. Na primer, v monomu je koeficient enak. In v njem je enakovreden.

Torej, pravilo za prinašanje podobnih je:

Primeri:

Daj podobne:

odgovori:

2. (in podobno, saj imata torej ti izrazi isti črkovni del).

2. Faktorizacija

To je običajno najpomembnejši del pri poenostavljanju izrazov. Potem ko ste dali podobne, je treba najpogosteje nastali izraz faktorizirati, to je predstaviti kot produkt. To je še posebej pomembno pri ulomkih: da bi lahko ulomek skrčili, morata biti števec in imenovalec predstavljena kot produkt.

Metode faktoriziranja izrazov ste podrobno pregledali v temi “”, zato si morate tukaj samo zapomniti, kaj ste se naučili. Če želite to narediti, se odločite za nekaj primeri(treba je faktorizirati):

rešitve:

3. Zmanjšanje ulomka.

No, kaj je lahko bolj prijetnega kot prečrtati del števca in imenovalca in ju vreči iz svojega življenja?

To je lepota zmanjševanja.

Preprosto je:

Če sta v števcu in imenovalcu enaka faktorja, ju je mogoče zmanjšati, torej odstraniti iz ulomka.

To pravilo izhaja iz osnovne lastnosti ulomka:

To pomeni, da je bistvo redukcijske operacije to Števec in imenovalec ulomka delimo z istim številom (ali z enakim izrazom).

Če želite zmanjšati ulomek, potrebujete:

1) števec in imenovalec faktorizirati

2) če števec in imenovalec vsebujeta skupni dejavniki, jih je mogoče prečrtati.

Mislim, da je načelo jasno?

Opozoril bi vas na eno tipično napako pri krajšanju. Čeprav je ta tema preprosta, veliko ljudi počne vse narobe, ne da bi tega razumeli zmanjšati- to pomeni razdelitištevec in imenovalec sta enako število.

Brez okrajšav, če je števec ali imenovalec vsota.

Na primer: moramo poenostaviti.

Nekateri ljudje to počnejo: kar je popolnoma narobe.

Drug primer: zmanjšaj.

"Najpametnejši" bodo naredili tole: .

Povej mi, kaj je tukaj narobe? Zdi se: - to je multiplikator, kar pomeni, da ga je mogoče zmanjšati.

Ampak ne: - to je faktor samo enega člena v števcu, sam števec kot celota pa ni faktoriziran.

Tu je še en primer: .

Ta izraz je faktoriziran, kar pomeni, da ga lahko zmanjšate, to je, da števec in imenovalec delite z in nato z:

Takoj ga lahko razdelite na:

Da bi se izognili takim napakam, si zapomnite enostaven način kako ugotoviti, ali je izraz faktoriziran:

Aritmetična operacija, ki se izvede zadnja pri izračunu vrednosti izraza, je »glavna« operacija. Se pravi, če zamenjate nekaj (poljubnih) številk namesto črk in poskušate izračunati vrednost izraza, potem, če je zadnje dejanje množenje, potem imamo produkt (izraz je faktoriziran). Če je zadnje dejanje seštevanje ali odštevanje, to pomeni, da izraz ni faktoriziran (in ga zato ni mogoče zmanjšati).

Za utrjevanje jih nekaj rešite sami primeri:

odgovori:

1. Upam, da niste takoj pohiteli rezati in? Še vedno ni bilo dovolj, da bi tako "zmanjšali" enote:

Prvi korak bi morala biti faktorizacija:

4. Seštevanje in odštevanje ulomkov. Zmanjšanje ulomkov na skupni imenovalec.

Seštevanje in odštevanje navadni ulomki- operacija je znana: poiščemo skupni imenovalec, vsak ulomek pomnožimo z manjkajočim faktorjem in števce seštejemo/odštejemo. Spomnimo se:

odgovori:

1. Imenovalca in sta relativno praštevilna, to pomeni, da nimata skupnih faktorjev. Zato je LCM teh števil enak njihovemu produktu. To bo skupni imenovalec:

2. Tukaj je skupni imenovalec:

3. Prva stvar tukaj mešane frakcije jih spremenimo v nepravilne in nato sledimo običajnemu vzorcu:

Povsem druga stvar je, če ulomki vsebujejo črke, na primer:

Začnimo z nečim preprostim:

a) Imenovalci ne vsebujejo črk

Tukaj je vse enako kot pri navadnem številčni ulomki: poiščite skupni imenovalec, pomnožite vsak ulomek z manjkajočim faktorjem in seštejte/odštejte števce:

Zdaj lahko v števcu navedete podobne, če obstajajo, in jih faktorizirate:

Poskusite sami:

b) Imenovalci vsebujejo črke

Spomnimo se načela iskanja skupnega imenovalca brez črk:

· najprej določimo skupne faktorje;

· nato enega za drugim izpišemo vse skupne faktorje;

· in jih pomnožite z vsemi drugimi neobičajnimi faktorji.

Da določimo skupne faktorje imenovalcev, jih najprej faktoriziramo v prafaktorje:

Poudarimo skupne dejavnike:

Zdaj pa zapišimo skupne faktorje enega za drugim in jim dodamo vse neobičajne (nepodčrtane) dejavnike:

To je skupni imenovalec.

Vrnimo se k črkam. Imenovalci so podani na povsem enak način:

· razčlenimo imenovalce;

· ugotavljanje skupnih (enakih) dejavnikov;

· enkrat izpiši vse skupne faktorje;

· pomnožite jih z vsemi drugimi neobičajnimi faktorji.

Torej po vrsti:

1) faktoriziraj imenovalce:

2) določite skupne (enake) dejavnike:

3) enkrat izpiši vse skupne faktorje in jih pomnoži z vsemi drugimi (nepoudarjenimi) faktorji:

Tukaj je torej skupni imenovalec. Prvi ulomek je treba pomnožiti z, drugi z:

Mimogrede, obstaja en trik:

Na primer: .

V imenovalcih vidimo iste dejavnike, le da so vsi z različnimi kazalci. Skupni imenovalec bo:

do stopnje

do stopnje

do stopnje

do stopnje.

Zapletimo nalogo:

Kako doseči, da imajo ulomki enak imenovalec?

Spomnimo se osnovne lastnosti ulomka:

Nikjer ne piše, da je mogoče isto število odšteti (ali prišteti) od števca in imenovalca ulomka. Ker ni res!

Prepričajte se sami: vzemite na primer kateri koli ulomek in števcu in imenovalcu prištejte neko število, na primer . Kaj si se naučil?

Torej, še eno neomajno pravilo:

Ko zmanjšate ulomke na skupni imenovalec, uporabljajte samo operacijo množenja!

Toda s čim morate pomnožiti, da dobite?

Torej pomnožite s. In pomnožite z:

Izraze, ki jih ni mogoče faktorizirati, bomo imenovali "elementarni faktorji". Na primer, - to je osnovni dejavnik. - Enako. Ampak ne: lahko se faktorizira.

Kaj pa izraz? Je osnovno?

Ne, ker se lahko faktorizira:

(o faktorizaciji ste že prebrali v temi “”).

Torej, osnovni dejavniki, v katere razširite izraz s črkami, so analogni glavni dejavniki, na katerega razčlenite števila. In z njimi bomo ravnali na enak način.

Vidimo, da imata oba imenovalca množitelja. Šlo bo na skupni imenovalec do stopnje (se spomnite, zakaj?).

Faktor je elementaren in nimata skupnega faktorja, kar pomeni, da bo treba prvi ulomek preprosto pomnožiti z njim:

Še en primer:

rešitev:

Preden panično pomnožite te imenovalce, morate razmisliti, kako jih faktorizirati? Oba predstavljata:

Super! Nato:

Še en primer:

rešitev:

Kot običajno razložimo imenovalce na faktorje. V prvi imenovalec preprosto damo iz oklepaja; v drugem - razlika kvadratov:

Zdi se, da skupnih dejavnikov ni. A če dobro pogledaš, sta si podobna ... In res je:

Torej zapišimo:

Se pravi, izkazalo se je tako: znotraj oklepaja smo zamenjali izraze, hkrati pa se je znak pred ulomkom spremenil v nasprotno. Upoštevajte, to boste morali pogosto početi.

Zdaj pa ga spravimo na skupni imenovalec:

Razumem? Preverimo zdaj.

Naloge za neodvisna odločitev:

odgovori:

Tu se moramo spomniti še ene stvari - razlike med kockami:

Upoštevajte, da imenovalec drugega ulomka ne vsebuje formule "kvadrat vsote"! Kvadrat vsote bi izgledal takole: .

A je tako imenovani nepopolni kvadrat vsote: drugi člen v njem je produkt prvega in zadnjega in ne njun dvojni produkt. Delni kvadrat vsote je eden od dejavnikov pri razširitvi razlike kock:

Kaj storiti, če so že trije ulomki?

Ja, isto! Najprej se prepričajmo o tem največji znesek faktorji v imenovalcih so bili enaki:

Upoštevajte: če spremenite znake znotraj enega oklepaja, se znak pred ulomkom spremeni v nasprotnega. Ko zamenjamo predznake v drugem oklepaju, se predznak pred ulomkom spet spremeni v nasprotnega. Zaradi tega se (znak pred ulomkom) ni spremenil.

Celoten prvi imenovalec izpišemo v skupni imenovalec, nato pa mu prištejemo vse še nezapisane faktorje iz drugega, nato iz tretjega (in tako naprej, če je ulomkov več). Se pravi, izkaže se takole:

Hmm ... Jasno je, kaj storiti z ulomki. Kaj pa oba?

Preprosto je: veste, kako seštevati ulomke, kajne? Torej, dva moramo narediti kot ulomek! Spomnimo se: ulomek je operacija deljenja (števec delimo z imenovalcem, če ste pozabili). In ni nič lažjega kot število deliti s. V tem primeru se sama številka ne bo spremenila, ampak se bo spremenila v ulomek:

Točno to, kar je potrebno!

5. Množenje in deljenje ulomkov.

No, najtežjega dela je zdaj konec. In pred nami je najpreprostejše, a hkrati najpomembnejše:

Postopek

Kakšen je postopek za izračun številskega izraza? Z izračunom si zapomnite pomen tega izraza:

Ste šteli?

Moralo bi delovati.

Torej, naj vas spomnim.

Prvi korak je izračun stopnje.

Drugi je množenje in deljenje. Če je več množenj in deljenj hkrati, jih lahko izvajamo v poljubnem vrstnem redu.

In na koncu izvedemo seštevanje in odštevanje. Spet v poljubnem vrstnem redu.

Toda: izraz v oklepaju je ovrednoten izven reda!

Če med seboj pomnožimo ali delimo več oklepajev, najprej izračunamo izraz v vsakem od oklepajev, nato pa jih pomnožimo ali delimo.

Kaj pa, če je znotraj oklepajev več oklepajev? No, pomislimo: v oklepaju je zapisan neki izraz. Kaj morate najprej narediti pri računanju izraza? Tako je, izračunajte oklepaje. Pa smo ugotovili: najprej izračunamo notranje oklepaje, potem pa vse ostalo.

Torej, postopek za zgornji izraz je naslednji (trenutno dejanje je označeno z rdečo, to je dejanje, ki ga trenutno izvajam):

V redu, vse je preprosto.

Ampak to ni isto kot izraz s črkami?

Ne, isto je! Samo namesto aritmetične operacije narediti morate algebraično, to je dejanja, opisana v prejšnjem razdelku: prinašanje podobnih, seštevanje ulomkov, zmanjševanje ulomkov itd. Edina razlika bo dejanje faktoriziranja polinomov (to pogosto uporabljamo pri delu z ulomki). Najpogosteje morate za faktoriziranje uporabiti I ali preprosto dati skupni faktor iz oklepaja.

Običajno je naš cilj predstaviti izraz kot produkt ali količnik.

Na primer:

Poenostavimo izraz.

1) Najprej poenostavimo izraz v oklepajih. Tam imamo razliko ulomkov, naš cilj pa je, da jo predstavimo kot produkt ali količnik. Torej, ulomke spravimo na skupni imenovalec in dodamo:

Tega izraza je nemogoče še bolj poenostaviti; vsi dejavniki so elementarni (se še spomnite, kaj to pomeni?).

2) Dobimo:

Množenje ulomkov: kaj je lahko preprostejšega.

3) Zdaj lahko skrajšate:

OK, zdaj je vsega konec. Nič zapletenega, kajne?

Še en primer:

Poenostavite izraz.

Najprej poskusite rešiti sami in šele nato poglejte rešitev.

Najprej določimo vrstni red dejanj. Najprej seštejmo ulomke v oklepajih, da namesto dveh ulomkov dobimo enega. Nato bomo delili ulomke. No, seštejmo rezultat z zadnjim ulomkom. Korake bom shematično oštevilčil:

Zdaj vam bom pokazal postopek in trenutno dejanje obarval rdeče:

Na koncu vam bom dal dva koristna nasveta:

1. Če obstajajo podobni, jih je treba takoj prinesti. Kjerkoli že se pri nas pojavijo podobni, jih je priporočljivo nemudoma izpostaviti.

2. Enako velja za zmanjševanje ulomkov: takoj ko se pojavi priložnost za zmanjševanje, jo je treba izkoristiti. Izjema so ulomki, ki jih seštevate ali odštevate: če imajo zdaj enake imenovalce, potem zmanjševanje pustite za pozneje.

Tukaj je nekaj nalog, ki jih lahko rešite sami:

In kar je bilo obljubljeno na samem začetku:

Rešitve (na kratko):

Če ste se spopadli z vsaj prvimi tremi primeri, menite, da ste temo obvladali.

Zdaj pa na učenje!

PRETVORBA IZRAZOV. POVZETEK IN OSNOVNE FORMULE

Osnovne operacije poenostavljanja:

• Prinašanje podobnih: če želite dodati (zmanjšati) podobne izraze, morate sešteti njihove koeficiente in dodeliti črkovni del.
• Faktorizacija: upodabljanje skupni množitelj zunaj oklepajev, uporaba itd.
• Zmanjšanje ulomka: Števec in imenovalec ulomka lahko pomnožimo ali delimo z istim številom, ki ni nič, kar ne spremeni vrednosti ulomka.
  1) števec in imenovalec faktorizirati
  2) če imata števec in imenovalec skupne faktorje, ju lahko prečrtamo.

  POMEMBNO: zmanjšati je mogoče le množitelje!

• Seštevanje in odštevanje ulomkov:
  ;
• Množenje in deljenje ulomkov:
  ;

Ministrstvo za izobraževanje Republike Belorusije

Izobraževalna ustanova

"Gomel Državna univerza njim. F. Skorina"

Fakulteta za matematiko

Oddelek za MPM

Preobrazbe identitete izrazi in metode poučevanja učencev, kako jih izvajati

Izvajalec:

Študent Starodubova A.Yu.

Znanstveni direktor:

Kand. fizika in matematika znanosti, izredna profesorica Lebedeva M.T.

Gomel 2007

Uvod

1 Glavne vrste transformacij in stopnje njihovega preučevanja. Stopnje osvajanja uporabe transformacij

Zaključek

Literatura

Uvod

Najenostavnejše transformacije izrazov in formul, ki temeljijo na lastnostih aritmetičnih operacij, se izvajajo v osnovna šola ter 5. in 6. razred. Oblikovanje spretnosti in sposobnosti za izvajanje transformacij poteka pri tečaju algebre. To je posledica tako močnega povečanja števila in raznolikosti transformacij, ki se izvajajo, kot zapletov dejavnosti za njihovo utemeljitev in razjasnitev pogojev uporabnosti, prepoznavanja in preučevanja posplošenih konceptov identitete, identične transformacije, ekvivalentna transformacija.

1. Glavne vrste transformacij in stopnje njihovega preučevanja. Stopnje osvajanja uporabe transformacij

1. Začetki algebre

Uporablja se nerazdeljen sistem transformacij, ki ga predstavljajo pravila za izvajanje dejanj na enem ali obeh delih formule. Cilj je doseči tekoče reševanje nalog za reševanje enostavnih enačb, poenostavitev formul, ki definirajo funkcije, in racionalno izvajanje izračunov na podlagi lastnosti dejanj.

Tipični primeri:

Reši enačbe:

A) ; b) ; V) .

Identična transformacija (a); enakovreden in enak (b).

2. Oblikovanje veščin uporabe specifičnih vrst transformacij

Sklepi: formule za skrajšano množenje; transformacije, povezane s potenciranjem; transformacije, povezane z različnimi razredi elementarnih funkcij.

Organizacija celoten sistem transformacije (sinteza)

Cilj je ustvariti prilagodljivo in zmogljivo napravo, primerno za uporabo pri reševanju različnih izobraževalne naloge . Prehod na to stopnjo se izvede pri končnem ponavljanju tečaja pri razumevanju že znane snovi, naučene po delih, z določene vrste transformacije dodajajo transformacije trigonometričnih izrazov k predhodno obravnavanim vrstam. Vse te transformacije lahko imenujemo "algebraične"; med "analitične" transformacije spadajo tiste, ki temeljijo na pravilih diferenciacije in integracije ter transformacije izrazov, ki vsebujejo prehode do limitov. Razlika tega tipa je v naravi niza, skozi katerega tečejo spremenljivke v identitetah (določeni nizi funkcij).

Identitete, ki se preučujejo, so razdeljene v dva razreda:

I – identitete skrajšanega množenja, veljavne v komutativnem obroču in identitete

pošteno na terenu.

II – identitete, ki povezujejo aritmetične operacije in osnovne elementarne funkcije.

2 Značilnosti organizacije sistema nalog pri preučevanju transformacij identitete

Glavno načelo organizacije sistema nalog je, da jih predstavimo od enostavnega do zapletenega.

Cikel vadbe– združevanje v zaporedje vaj več vidikov učenja in tehnik urejanja snovi. Pri preučevanju transformacij identitet je cikel vaj povezan s preučevanjem ene identitete, okoli katere se združujejo druge identitete, ki so z njo v naravni povezavi. Ciklus poleg izvršilnih vključuje naloge, ki zahtevajo priznanje uporabnosti zadevne identitete. Preučevana identiteta se uporablja za izvajanje izračunov na različnih numeričnih področjih. Naloge v posameznem ciklu so razdeljene v dve skupini. TO prvi Sem sodijo naloge, ki se izvajajo med začetnim seznanjanjem z identiteto. Služijo kot izobraževalno gradivo za več zaporednih lekcij, ki jih združuje ena tema.

Druga skupina vaje povezuje preučevano identiteto z različnimi aplikacijami. Ta skupina ne tvori kompozicijske enote - vaje so tukaj razpršene na različne teme.

Opisane strukture cikla se nanašajo na stopnjo razvoja veščin za uporabo specifičnih transformacij.

Na stopnji sinteze se cikli spreminjajo, skupine nalog se združujejo v smeri zapletanja in združevanja ciklov, povezanih z različnimi identitetami, kar pripomore k večji vlogi dejanj za prepoznavanje uporabnosti posamezne identitete.

Primer.

Cikel nalog za identiteto:

I skupina nalog:

a) prisoten v obliki izdelka:

b) Preverite enakost:

c) Razširite oklepaje v izrazu:

.

d) Izračunaj:

e) Faktoriziraj:

f) poenostavite izraz:

.

Dijaki so se pravkar seznanili s formulacijo identitete, njenim zapisom v obliki identitete in njenim dokazom.

Naloga a) je povezana s fiksiranjem strukture preučevane identitete, z vzpostavljanjem povezave z številčni nizi(primerjava znakovnih struktur identitete in transformiranega izraza; zamenjava črke s številko v identiteti). IN zadnji primerše vedno ga je treba zmanjšati na preučevano vrsto. V naslednjih primerih (e in g) gre za zaplet zaradi aplicirane vloge identitete in zapleta strukture znaka.

Naloge tipa b) so namenjene razvijanju nadomestnih veščin na . Podobna je vloga naloge c).

Primeri tipa d), v katerih je treba izbrati eno od smeri preoblikovanja, zaključijo razvoj te ideje.

Naloge I. skupine so usmerjene v obvladovanje strukture identitete, operacije substitucije v najenostavnejših, temeljno najpomembnejših primerih in ideje o reverzibilnosti transformacij, ki jih izvaja identiteta. Zelo pomembno ima tudi obogatitev jezikovna sredstva prikazuje različne vidike identitete. Besedila nalog dajejo idejo o teh vidikih.

II skupina nalog.

g) Z uporabo identitete za faktoriziramo polinom.

h) Odpravite neracionalnost v imenovalcu ulomka.

i) Dokaži, da če - liho število, potem deljivo s 4.

j) Funkcija je podana analitično izražanje

.

Znebite se znaka modula tako, da upoštevate dva primera: , .

k) Reši enačbo .

Te naloge so usmerjene v čim večjo popolna uporaba in ob upoštevanju posebnosti te posebne identitete predpostavljajo oblikovanje veščin uporabe preučevane identitete za razliko kvadratov. Cilj je poglobiti razumevanje identitete z upoštevanjem njenih različnih aplikacij v različne situacije, v kombinaciji z uporabo gradiva, povezanega z drugimi temami v tečaju matematike.

oz .

Značilnosti ciklov opravil, povezanih z identitetami za osnovne funkcije:

1) preučujejo se na podlagi funkcionalnega materiala;

2) Identitete prve skupine se pojavijo pozneje in se proučujejo z že razvitimi veščinami za izvajanje identitetnih transformacij.

V prvi skupini nalog v ciklu naj bodo naloge za vzpostavljanje povezav med temi novimi numerične domene z izvirno domeno racionalnih števil.

Primer.

Izračunaj:

;

.

Namen takšnih nalog je obvladati značilnosti zapisov, vključno s simboli novih operacij in funkcij, ter razvijati matematične govorne sposobnosti.

Velik del uporabe transformacij identitete, povezanih z elementarne funkcije, pade na rešitev iracionalnih in transcendentnih enačb. Zaporedje korakov:

a) poiščite funkcijo φ, za katero podana enačba f(x)=0 lahko predstavimo kot:

b) nadomestimo y=φ(x) in rešimo enačbo

c) reši vsako od enačb φ(x)=y k, kjer je y k množica korenov enačbe F(y)=0.

Pri uporabi opisane metode se korak b) pogosto izvaja implicitno, brez uvedbe zapisa za φ(x). Poleg tega študentje pogosto raje različne poti ki vodi k iskanju odgovora, izberite tisto, ki hitreje in lažje pripelje do algebraične enačbe.

Primer. Rešite enačbo 4 x -3*2=0.

2)(2 2) x -3*2 x =0 (korak a)

(2 x) 2 -3*2 x =0; 2 x (2 x -3)=0; 2 x -3=0. (korak b)

Primer. Reši enačbo:

a) 2 2x -3*2 x +2=0;

b) 2 2x -3*2 x -4=0;

c) 2 2x -3*2 x +1=0.

(Predlagajte neodvisno rešitev.)

Razvrstitev nalog v ciklih, povezanih z rešitvijo transcendentnih enačb, vključno z eksponentna funkcija:

1) enačbe, ki se reducirajo na enačbe oblike a x =y 0 in imajo preprost, splošen odgovor:

2) enačbe, ki se reducirajo na enačbe oblike a x = a k, kjer je k celo število, ali a x = b, kjer je b≤0.

3) enačbe, ki se reducirajo na enačbe oblike a x =y 0 in zahtevajo eksplicitno analizo oblike, v kateri je eksplicitno zapisano število y 0.

Naloge, pri katerih se transformacije identitete uporabljajo za izdelavo grafov, hkrati pa poenostavijo formule, ki definirajo funkcije, so zelo koristne.

a) Narišite graf funkcije y=;

b) Rešite enačbo lgx+lg(x-3)=1

c) na kateri množici je formula log(x-5)+ log(x+5)= log(x 2 -25) identiteta?

Uporaba identitetnih transformacij v izračunih (Šolska matematika, št. 4, 1983, str. 45).

Naloga št. 1. Funkcija je podana s formulo y=0,3x 2 +4,64x-6. Poiščite vrednosti funkcije pri x=1,2

y(1,2)=0,3*1,2 2 +4,64*1,2-6=1,2(0,3*1,2+4,64)-6=1,2(0 ,36+4,64)-6=1,2*5-6=0.

Naloga št. 2. Izračunajte dolžino noge pravokotni trikotnik, če je dolžina njegove hipotenuze 3,6 cm, drugi krak pa 2,16 cm.

Naloga št. 3. Kakšna je površina pravokotne ploskve z dimenzijami a) 0,64 m in 6,25 m; b) 99,8 m in 2,6 m?

a)0,64*6,25=0,8 2 *2,5 2 =(0,8*2,5) 2;

b) 99,8*2,6=(100-0,2)2,6=100*2,6-0,2*2,6=260-0,52.

Ti primeri omogočajo identifikacijo praktične uporabe transformacij identitete. Študent mora biti seznanjen s pogoji za izvedljivost transformacije (glej diagrame).

slika polinoma, kjer se poljuben polinom prilega okroglim konturam (diagram 1).

-

podan je pogoj za izvedljivost transformacije zmnožka monoma in izraza, ki omogoča transformacijo v razliko kvadratov. (shema 2)

-

tukaj senčenja pomenijo enake monome in podan je izraz, ki ga je mogoče pretvoriti v razliko kvadratov (shema 3).

izraz, ki omogoča skupni faktor.

Veščine učencev pri prepoznavanju pogojev je mogoče razviti z uporabo naslednje primere:

Katere od naslednjih izrazov je mogoče preoblikovati tako, da skupni faktor vzamemo iz oklepaja:

2)

3) 0,7a 2 +0,2b 2 ;

5) 6,3*0,4+3,4*6,3;

6) 2x 2 +3x 2 +5y 2 ;

7) 0,21+0,22+0,23.

Večina izračunov v praksi ne zadošča pogojem izpolnitve, zato učenci potrebujejo veščine, da jih reducirajo na obliko, ki omogoča izračun transformacij. V tem primeru so primerne naslednje naloge:

pri preučevanju jemanje skupnega faktorja iz oklepajev:

ta izraz, če je mogoče, pretvorite v izraz, ki je prikazan na diagramu 4:

4) 2a*a 2 *a 2;

5) 2n 4 +3n 6 +n 9 ;

8) 15ab 2 +5a 2 b;

10) 12,4*-1,24*0,7;

11) 4,9*3,5+1,7*10,5;

12) 10,8 2 -108;

13)

14) 5*2 2 +7*2 3 -11*2 4 ;

15) 2*3 4 -3*2 4 +6;

18) 3,2/0,7-1,8*

Pri oblikovanju koncepta "identične transformacije" se je treba spomniti, da to ne pomeni le, da dani in nastali izraz kot rezultat transformacije sprejme enake vrednosti za vse vrednosti črk, vključenih v njem, ampak tudi, da se med enako transformacijo premaknemo iz izraza, ki definira eno metodo izračuna, na izraz, ki definira drugo metodo izračuna iste vrednosti.

Shemo 5 (pravilo za pretvorbo produkta monoma in polinoma) lahko ponazorimo s primeri

0,5a(b+c) ali 3,8(0,7+).

Vaje, da se naučite vzeti skupni faktor iz oklepaja:

Izračunajte vrednost izraza:

a) 4,59*0,25+1,27*0,25+2,3-0,25;

b) a+bc pri a=0,96; b=4,8; c=9,8.

c) a(a+c)-c(a+b) z a=1,4; b=2,8; c=5,2.

Naj s primeri ponazorimo oblikovanje veščin računanja in preoblikovanja identitete (Šolska matematika, št. 5, 1984, str. 30).

1) spretnosti in zmožnosti se pridobijo hitreje in dlje ohranijo, če se oblikujejo na zavestni osnovi (didaktično načelo zavesti).

1) Pravilo za seštevanje ulomkov lahko oblikujete z enaki imenovalci ali najprej na konkretnih primerih razmislite o bistvu dodajanja enakih deležev.

2) Pri faktoriziranju tako, da skupni faktor vzamemo iz oklepajev, je pomembno videti ta skupni faktor in nato uporabiti distribucijski zakon. Pri izvajanju prvih vaj je koristno vsak člen polinoma zapisati kot produkt, enega od faktorjev kar je običajno za vse termine:

3a 3 -15a 2 b+5ab 2 = a3a 2 -a15ab+a5b 2 .

To je še posebej uporabno, če enega od monomov polinoma vzamemo iz oklepaja:

II. Prva stopnja oblikovanje veščine - obvladovanje veščine (vaje se izvajajo z podrobna pojasnila in zapisi)

(najprej se reši vprašanje znaka)

Druga faza– stopnja avtomatizacije veščine z odpravo nekaterih vmesnih operacij

III. Trdnost spretnosti dosežemo z reševanjem primerov, ki so vsebinsko in oblikovno raznoliki.

Tema: “Dajanje skupnega faktorja iz oklepaja.”

1. Namesto polinoma zapiši manjkajoči faktor:

2. Faktoriziraj tako, da bo pred oklepaji monom z negativnim koeficientom:

3. Razdeli tako, da ima polinom v oklepajih cele koeficiente:

4. Reši enačbo:

IV. Razvoj spretnosti je najbolj učinkovit, če se nekateri vmesni izračuni ali transformacije izvajajo ustno.

(ustno);

V. Spretnosti in zmožnosti, ki se razvijajo, morajo biti del predhodno oblikovanega sistema znanja, spretnosti in zmožnosti učencev.

Na primer, pri poučevanju faktoriziranja polinomov z uporabo skrajšanih formul za množenje so na voljo naslednje vaje:

Faktoriziraj:

VI. Potreba po racionalnem izvajanju izračunov in transformacij.

V) poenostavite izraz:

Racionalnost je v odpiranju oklepajev, saj

VII. Pretvarjanje izrazov, ki vsebujejo eksponente.

Št. 1011 (Alg.9) Poenostavite izraz:

Št. 1012 (Alg.9) Odstranite množitelj izpod znaka korena:

Št. 1013 (Alg.9) Vnesite faktor pod znak korena:

Št. 1014 (Alg.9) Poenostavite izraz:

V vseh primerih najprej izvedite faktorizacijo ali odštevanje skupnega faktorja ali "glej" ustrezno formulo okrajšave.

Št. 1015 (Alg.9) Zmanjšaj ulomek:

Mnogi učenci imajo težave pri preoblikovanju izrazov, ki vsebujejo korene, zlasti pri preučevanju enakosti:

Zato bodisi podrobno opišite izraze oblike oz ali pojdite na stopnjo z racionalnim eksponentom.

Št. 1018 (Alg.9) Poiščite vrednost izraza:

Št. 1019 (Alg.9) Poenostavite izraz:

2.285 (Skanavi) Poenostavite izraz

in nato narišite funkcijo l Za

št. 2.299 (Skanavi) Preverite veljavnost enakosti:

Transformacija izrazov, ki vsebujejo stopnjo, je posplošitev pridobljenih veščin in sposobnosti pri študiju identičnih transformacij polinomov.

št. 2.320 (Skanavi) Poenostavite izraz:

Tečaj Algebra 7 ponuja naslednje definicije.

Def. Za dva izraza, katerih ustrezne vrednosti so enake za vrednosti spremenljivk, pravimo, da sta identično enaka.

Def. Enakost velja za vse vrednosti klicanih spremenljivk. identiteta.

Št. 94 (Alg.7) Je enakost:

a)

c)

d)

Definicija opisa: Zamenjava enega izraza z drugim enako enakim izrazom se imenuje identična transformacija ali preprosto transformacija izraza. Identične transformacije izrazov s spremenljivkami se izvajajo na podlagi lastnosti operacij nad števili.

št. (Alg.7) Med izrazi

poišči tiste, ki so identično enake.

Tema: "Identične transformacije izrazov" (tehnika vprašanj)

Prva tema "Algebra-7" - "Izrazi in njihove transformacije" pomaga utrditi računalniške spretnosti, pridobljene v 5.-6. razredu, sistematizirati in posplošiti informacije o transformacijah izrazov in rešitvah enačb.

Iskanje vrednosti številskih in dobesedni izrazi omogoča ponavljanje z učenci pravil delovanja z racionalna števila. Sposobnost izvajanja aritmetičnih operacij z racionalnimi števili je temeljna za celoten tečaj algebre.

Pri preoblikovanju izrazov ostajajo formalne in operativne spretnosti na ravni, ki je bila dosežena v 5.–6.

Tu pa se učenci dvignejo na novo raven v obvladovanju teorije. Uvedeni so pojmi "identično enaki izrazi", "identiteta", "identične transformacije izrazov", katerih vsebina se bo nenehno razkrivala in poglabljala pri preučevanju transformacij različnih algebrskih izrazov. Poudarjeno je, da so osnova identitetnih transformacij lastnosti operacij nad števili.

Pri preučevanju teme "Polinomi" se oblikujejo formalne operativne veščine identičnih transformacij algebrskih izrazov. Formule za skrajšano množenje prispevajo k nadaljnjemu razvoju sposobnosti izvajanja enakih transformacij celih izrazov; sposobnost uporabe formul za skrajšano množenje in faktorizacijo polinomov se uporablja ne le pri transformaciji celih izrazov, ampak tudi pri operacijah z ulomki, koreni. , potence z racionalnim eksponentom .

V 8. razredu se pridobljene veščine transformacij identitete vadijo v akcijah s algebrski ulomki, kvadratni koren in izrazi, ki vsebujejo potence s celim eksponentom.

V prihodnosti se bodo tehnike transformacije identitete odražale v izrazih, ki vsebujejo stopnjo z racionalnim eksponentom.

Posebna skupina identične transformacije so trigonometrični izrazi in logaritemski izrazi.

TO obvezni rezultati Pouk za tečaje algebre v 7.–9. razredu vključuje:

1) identitetne transformacije celih izrazov

a) odprti in zaključni oklepaj;

b) zmanjšanje podobni člani;

c) seštevanje, odštevanje in množenje polinomov;

d) faktoriziranje polinomov z dajanjem skupnega faktorja iz oklepaja in s skrajšanimi formulami za množenje;

e) faktorizacija kvadratnega trinoma.

“Matematika v šoli” (B.U.M.) str.110

2) transformacije identitete racionalni izrazi: seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje ulomkov ter uporaba naštetih veščin pri izvajanju enostavnih kombiniranih transformacij [str. 111]

3) učenci naj bodo sposobni izvajati transformacije preprostih izrazov, ki vsebujejo stopnje in korene. (str. 111-112)

Upoštevane so bile glavne vrste problemov, katerih sposobnost reševanja omogoča študentu, da prejme pozitivno oceno.

Eden najpomembnejših vidikov metodologije preučevanja transformacij identitete je študentov razvoj ciljev za izvajanje transformacij identitete.

1) - poenostavitev številčna vrednost izrazi

2) katero od transformacij je treba izvesti: (1) ali (2) Analiza teh možnosti je motivacija (zaželeno (1), saj je v (2) obseg definicije zožen)

3) Rešite enačbo:

Faktoring pri reševanju enačb.

4) Izračunaj:

Uporabimo skrajšano formulo množenja:

(101-1) (101+1)=100102=102000

5) Poiščite vrednost izraza:

Če želite najti vrednost, pomnožite vsak ulomek z njegovim konjugatom:

6) Graf funkcije:

Izberimo cel del: .

Preprečevanje napak pri izvajanju transformacij identitete lahko dosežemo z različnimi primeri njihove izvedbe. V tem primeru se izvajajo »majhne« tehnike, ki so kot komponente vključene v večji proces transformacije.

Na primer:

Glede na smeri enačbe lahko obravnavamo več problemov: množenje polinomov od desne proti levi; od leve proti desni - faktorizacija. Leva stran je večkratnik enega od faktorjev na desni strani itd.

Poleg spreminjanja primerov lahko uporabite apologija med identitetami in številskimi enakostmi.

Naslednja tehnika je razlaga identitet.

Za povečanje zanimanja učencev lahko vključimo iskanje na različne načine reševanje problema.

Lekcije o preučevanju transformacij identitete bodo postale bolj zanimive, če se jim posvetite iskanje rešitve problema .

Na primer: 1) zmanjšajte ulomek:

3) dokažite formulo " kompleksen radikal»

Razmislite:

Preobrazimo se desna stran enakost:

-

vsota konjugiranih izrazov. Lahko bi jih pomnožili in delili z njihovim konjugatom, vendar bi nas taka operacija pripeljala do ulomka, katerega imenovalec je razlika radikalov.

Upoštevajte, da je prvi člen v prvem delu identitete večje število od drugega, tako da lahko kvadriramo oba dela:

Praktična lekcija №3.

Tema: Identične pretvorbe izrazov (tehnika vprašanj).

Literatura: “Delavnica MPM”, str. 87-93.

Podpis visoka kultura izračuni in identitetne transformacije, dijaki dobro poznajo lastnosti in algoritme operacij nad točnimi in približnimi količinami ter njihovo spretno uporabo; racionalne tehnike izračuni in transformacije ter njihovo preverjanje; sposobnost utemeljitve uporabe metod in pravil izračunov in transformacij, avtomatičnost spretnosti izvedba brez napak računalniške operacije.

V katerem razredu naj se učenci začnejo ukvarjati z razvijanjem navedenih veščin?

Linija identičnih transformacij izrazov se začne z uporabo tehnik racionalno računanje se začne z uporabo tehnik za racionalno računanje vrednosti številskih izrazov. (5. razred)

Pri preučevanju takšnih tem šolski tečaj matematiko jim je treba dati Posebna pozornost!

Študentom olajša zavestno izvajanje transformacij identitete razumevanje dejstva, da algebraični izrazi ne obstajajo sami po sebi, ampak v nezlomljiva povezava z nekim številskim nizom, so posplošeni zapisi številskih izrazov. Analogije med algebrskimi in numeričnimi izrazi (in njihovimi transformacijami) so logične; njihova uporaba pri poučevanju pomaga preprečiti učencem napake.

Preobrazbe identitete niso nobene ločena temašolski tečaj matematike, se jih preučuje skozi tečaj algebre in začetkov matematične analize.

Program matematike od 1. do 5. razreda je propedevtično gradivo za učenje enakih transformacij izrazov s spremenljivko.

Pri predmetu algebra v 7. razredu. uvedena je definicija identitete in identitetnih transformacij.

Def. Kličeta se dva izraza, katerih ustrezne vrednosti so enake za poljubne vrednosti spremenljivk. identično enaka.

URP. Enakost, ki velja za vse vrednosti spremenljivk, se imenuje identiteta.

Vrednost identitete je v tem, da omogoča, da se dani izraz nadomesti z drugim, ki mu je identično enak.

Def. Zamenjava enega izraza z drugim enako enakim izrazom se imenuje identična transformacija ali preprosto transformacija izrazi.

Identične transformacije izrazov s spremenljivkami se izvajajo na podlagi lastnosti operacij nad števili.

Osnovo transformacij identitete lahko štejemo za ekvivalentne transformacije.

URP. Imenujeta se dva stavka, od katerih je vsak logična posledica drugega. enakovreden.

URP. Pokličemo stavek s spremenljivkami A. posledica stavka s spremenljivkami B, če je domena resnice B podmnožica domene resnice A.

Lahko podamo še eno definicijo enakovrednih stavkov: dva stavka s spremenljivkami sta enakovredna, če njuni resničnostni domeni sovpadata.

a) B: x-1=0 nad R; A: (x-1) 2 nad R => A~B, ker področja resnice (rešitev) sovpadajo (x=1)

b) A: x=2 nad R; B: x 2 =4 nad R => domena resnice A: x = 2; domena resnice B: x=-2, x=2; Ker domena resnice A je vsebovana v B, potem: x 2 =4 je posledica predloga x = 2.

Osnova transformacij identitete je sposobnost predstavljanja istega števila v različne oblike. na primer

-

Ta predstavitev bo v pomoč pri preučevanju teme "osnovne lastnosti ulomkov."

Spretnosti izvajanja transformacij identitete se začnejo razvijati pri reševanju primerov, podobnih naslednjemu: »Poišči številsko vrednost izraza 2a 3 +3ab+b 2 z a = 0,5, b = 2/3«, ki so ponujeni učencem v razredu. 5 in omogočajo propedevtični koncept funkcije.

Pri preučevanju skrajšanih formul množenja bodite pozorni na njihovo globoko razumevanje in močno asimilacijo. Če želite to narediti, lahko uporabite naslednjo grafično ilustracijo:

(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 a 2 -b 2 =(a-b)(a+b)

Vprašanje: Kako razložiti učencem bistvo danih formul na podlagi teh risb?

Pogosta napaka je zamenjevanje izrazov "kvadrat vsote" in "vsota kvadratov". Učiteljeva navedba, da se ti izrazi razlikujejo v vrstnem redu operacij, se ne zdi pomembna, saj učenci menijo, da se ta dejanja izvajajo na istih številih in se zato rezultat ne spremeni s spremembo vrstnega reda dejanj.

Naloga: Ustvarite ustne vaje za razvijanje spretnosti učencev pri uporabi zgornjih formul brez napak. Kako naj razložimo, v čem sta si ta izraza podobna in v čem se razlikujeta?

Zaradi velike raznolikosti identičnih transformacij se učenci težko orientirajo glede namena, za katerega se izvajajo. Mehko poznavanje namena izvajanja transformacij (v vsakem konkretnem primeru) negativno vpliva na njihovo zavedanje in služi kot vir ogromne napakeštudenti. To nakazuje, da je razlaga študentom ciljev izvajanja različnih transformacij identitete pomembna. sestavni del metode za njihovo preučevanje.

Primeri motivacije za transformacijo identitete:

1. poenostavitev lokacije številčna vrednost izrazi;

2. izbira transformacije enačbe, ki ne vodi do izgube korena;

3. Pri izvajanju transformacije lahko označite njeno območje izračuna;

4. uporaba transformacij v izračunih, na primer 99 2 -1=(99-1)(99+1);

Za obvladovanje odločitvenega procesa je pomembno, da je učitelj sposoben natančno opisati bistvo napake, ki jo naredi učenec. Natančna opredelitev napak je ključnega pomena prava izbira kasnejših dejanj učitelja.

Primeri študentskih napak:

1. izvajanje množenja: učenec je prejel -54abx 6 (7 celic);

2. Z dvigom na potenco (3x 2) 3 je učenec dobil 3x 6 (7 ocen);

3. pretvorba (m+n) 2 v polinom je učenec prejel m 2 +n 2 (7. razred);

4. Z zmanjšanjem ulomka, ki ga je učenec prejel (8 ocen);

5. izvajanje odštevanja: , učenec zapiše (8. razred)

6. Predstavitev ulomka v obliki ulomkov je študent prejel: (8 razredov);

7. Odstranjevanje aritmetični koren učenec je prejel x-1 (ocena 9);

8. reševanje enačbe (9. razred);

9. preoblikovanje izraza učenec prejme: (9. razred).

Zaključek

Študija transformacij identitete poteka v tesna povezava s številskimi množicami, ki jih preučujemo v posameznem razredu.

Najprej bi morali učenca prositi, da pojasni vsak korak transformacije, da oblikuje pravila in zakone, ki veljajo.

Pri enakih transformacijah algebrskih izrazov se uporabljata dve pravili: zamenjava in zamenjava z enakimi. Najpogosteje se uporablja zamenjava, saj Temelji na formulah za izračun, tj. poiščite vrednost izraza a*b z a=5 in b=-3. Učenci pri izvajanju operacij množenja pogosto zanemarjajo oklepaje, saj menijo, da je znak za množenje impliciran. Na primer, možen je naslednji vnos: 5*-3.

Literatura

1. A.I. Azarov, S.A. Barvenov "Funkcionalno in grafične metode reševanje izpitnih nalog”, Mn..Aversev, 2004

2. O.N. Pirjutko" Pogoste napake na centralizirano testiranje«, Mn..Aversev, 2006

3. A.I. Azarov, S.A. Barvenov "Naloge pasti pri centraliziranem testiranju", Mn..Aversev, 2006

4. A.I. Azarov, S.A. Barvenov "Metode rešitve trigonometrične težave«, Mn..Aversev, 2005

Vrsta lekcije: lekcija posploševanja in sistematizacije znanja.

Cilji lekcije:

• Izboljšati sposobnost uporabe predhodno pridobljenega znanja za pripravo na državni izpit v 9. razredu.
• Naučite se sposobnosti analiziranja in ustvarjalnega pristopa k nalogi.
• Vzgojiti kulturo in učinkovitost mišljenja, kognitivni interes k matematiki.
• Pomagajte učencem pri pripravi na državni izpit.

• Sistematiziraj teoretično znanještudenti.
• Okrepiti praktično naravnanost te teme pri pripravi na državni izpit.
• Razvijte miselne sposobnosti – iskanje racionalne načine rešitve.

Oprema: multimedijski projektor, delovni list, ura.

Načrt lekcije: 1. Organizacijski trenutek.

1. Posodabljanje znanja.
2. Razvoj teoretičnega gradiva.
3. Povzetek lekcije.
4. Domača naloga.

1) Pozdrav učitelja.

Kriptografija je veda o načinih preoblikovanja (šifriranja) informacij, da bi jih zaščitili pred nezakonitimi uporabniki. Ena od teh metod se imenuje "mreža". Je ena relativno preprostih in je tesno povezana z aritmetiko, vendar se je v šoli ne učijo. Vzorec rešetke je pred vami. Nekdo bo ugotovil, kako to uporabiti.

- rešitev sporočila.

"Vse, kar preneha delovati, preneha privlačiti."

Francois Larachefoucauld.

2) Sporočila o temi lekcije, ciljih lekcije, načrtu lekcije.

– prosojnice v predstavitvi.

II. Posodabljanje znanja.

1) Ustno delo.

1. Številke. Katere številke poznate?

– naravna števila so števila 1,2,3,4..., ki jih uporabljamo pri štetju

– cela števila so števila…-4,-3,-2,-1,0,1, 2… naravna števila, njihova nasprotja in število 0.

– racionalna števila so cela in ulomka

– iracionalni – to so neskončni decimalni neperiodični ulomki

– realne – te so racionalne in iracionalne.

2. Izrazi. Katere izraze poznate?

– številski so izrazi, sestavljeni iz števil, povezanih z aritmetičnimi znaki.

– abeceda – to je izraz, ki vsebuje nekaj spremenljivk, števil in akcijskih znakov.

– Cela števila so izrazi, sestavljeni iz števil in spremenljivk, ki uporabljajo operacije seštevanja, odštevanja, množenja in deljenja s številom.

– ulomki so celi izrazi, ki uporabljajo deljenje z izrazom s spremenljivko.

3. Preobrazbe. Katere so glavne lastnosti, ki se uporabljajo pri izvajanju transformacij?

– komutativno – za poljubni števili a in b velja: a+b=b+a, ab=va

– asociativno – za poljubna števila a, b, c velja (a+b)+c=a+(b+c), (ab)c=a(c)

– distributivna – za poljubna števila a, b, c velja: a(b+c)=av+ac

4. Naredite:

– razporedi števila v naraščajočem vrstnem redu: 0,0157; 0,105; 0,07

– razporedi števila v padajočem vrstnem redu: 0,0216; 0,12; 0,016

– ena od označenih točk na koordinatni premici ustreza številu v68. Kaj je to?

– kateri točki ustrezajo številke?

– na koordinatni premici sta označeni števili a in b. Kateri naslednje izjave je pravilen?

III. Razvoj teoretičnega gradiva.

1. Delo v zvezkih, na tabli.

Vsak učitelj ima delovni list, kjer so zapisane naloge za delo v zvezkih med poukom. V desnem stolpcu tega lista so naloge za delo pri pouku, v levem pa domače naloge.

Učenci pridejo ven, da delajo za tablo.

Naloga št. 1. V katerem primeru se izraz pretvori v identično enako.

Naloga št. 3. Odštejte:

a 3 – av – a 2 c + a 2; x 2 y – x 2 -y + x 3.

2x+ y + y 2 – 4x 2; a – 3c +9c 2 -a 2 .

2. Samostojno delo.

Na delovnih listih imate samostojno delo, spodaj za besedilom je tabela, v katero vpišete številko pod pravilnim odgovorom. Za dokončanje dela potrebujete 7 minut.

Test "Številke in pretvorbe"

1. Zapišite 0,00019 v standardni obliki.

1)0,019*10 -2 ; 2)0,19*10 -3 ; 3)1,9*10 -4 ; 4)19*10 -5

2. Ena od točk, označenih na koordinatni premici, ustreza številki

3. O številih a in b znano je, da a>0, b>0, a>4b. Kateri naslednje neenakosti narobe?

1) a-2a>-3b; 2) 2a>8b; 3) a/4>b-2; 4) a+3>b+1.

4. Poiščite vrednost izraza: (6x – 5y): (3x+y), če je x=1,5 in y=0,5.

1) 1,5; 2) 1,3; 3) 1,33; 4) 2,5.

5.Katerega od naslednjih izrazov je mogoče pretvoriti v (7 – x)(x – 4)?

1)– (7 – x)(4 – x); 2) (7 – x)(4 – x);

3) – (x – 7)(4 – x); 4) (x – 7) (x-4).

6. Povzetek lekcije.

Danes ste pri pouku reševali naloge, izbrane iz zbirk za pripravo na državni izpit. To je majhen del tega, kar morate ponoviti, da boste izpit opravili odlično.

- Lekcije je konec. Kaj se vam je zdelo koristnega pri lekciji?

"Strokovnjak je oseba, ki ne misli več, ampak ve." Frank Hubbard.

7. Domača naloga

Na listih papirja so naloge, ki jih morate opraviti doma.

Numerični in algebraični izrazi. Pretvarjanje izrazov.

Kaj je izraz v matematiki? Zakaj potrebujemo pretvorbe izrazov?

Vprašanje je, kot pravijo, zanimivo ... Dejstvo je, da so ti pojmi osnova vse matematike. Vsa matematika je sestavljena iz izrazov in njihovih transformacij. Ni zelo jasno? Naj razložim.

Recimo, da imate pred seboj zloben primer. Zelo velik in zelo zapleten. Recimo, da ste dobri v matematiki in se ničesar ne bojite! Lahko odgovorite takoj?

Moral boš odločiti se ta primer. Dosledno, korak za korakom, ta primer poenostaviti. Avtor: določena pravila, naravno. Tisti. narediti pretvorba izrazov. Bolj kot uspešno izvajaš te transformacije, močnejši si v matematiki. Če ne znate narediti pravih transformacij, jih pri matematiki ne boste mogli narediti. nič...

Da bi se izognili tako neprijetni prihodnosti (ali sedanjosti ...), ne škodi razumeti to temo.)

Najprej ugotovimo kaj je izraz v matematiki. Kaj se je zgodilo številski izraz in kaj je algebrski izraz.

Kaj je izraz v matematiki?

Izražanje v matematiki- to je zelo širok koncept. Skoraj vse, s čimer se ukvarjamo v matematiki, je niz matematičnih izrazov. Vsi primeri, formule, ulomki, enačbe in tako naprej - vse je sestavljeno iz matematične izraze.

3+2 je matematični izraz. c 2 - d 2- tudi to je matematični izraz. In zdrav ulomek in celo ena številka - to je vse matematične izraze. Na primer, enačba je:

5x + 2 = 12

je sestavljen iz dveh matematičnih izrazov, povezanih z enakim znakom. En izraz je na levi, drugi na desni.

IN splošni pogled izraz " matematični izraz"se najpogosteje uporablja, da se izognete brenčanju. Vprašali vas bodo, kaj je na primer navadni ulomek? In kako odgovoriti?!

Prvi odgovor: "To je ... mmmmmm... taka stvar... v kateri... Lahko bolje napišem ulomek? Katerega želite?"

Drugi odgovor: " Navadni ulomek- to je (veselo in veselo!) matematični izraz , ki je sestavljen iz števca in imenovalca!"

Druga možnost bo nekako bolj impresivna, kajne?)

To je namen besedne zveze " matematični izraz "zelo dobro. Tako korektno kot solidno. Ampak za praktična uporaba je treba dobro poznati posebne vrste izrazi v matematiki .

Posebna vrsta je druga stvar. to čisto druga zadeva! Vsaka vrsta matematičnega izraza ima moj nabor pravil in tehnik, ki jih je treba uporabiti pri odločanju. Za delo z ulomki - en komplet. Za delo s trigonometričnimi izrazi - drugi. Za delo z logaritmi - tretji. In tako naprej. Nekje se ta pravila ujemajo, nekje se močno razlikujejo. Vendar naj vas to ne prestraši strašne besede. Logaritme, trigonometrijo in druge skrivnostne stvari bomo osvojili v ustreznih rubrikah.

Tu bomo osvojili (ali - ponovili, odvisno od koga ...) dve glavni vrsti matematičnih izrazov. Numerični izrazi in algebrski izrazi.

Številski izrazi.

Kaj se je zgodilo številski izraz? To je zelo preprost koncept. Že samo ime namiguje, da gre za izraz s številkami. Tako pač je. Matematični izraz, sestavljen iz številk, oklepajev in aritmetičnih simbolov, se imenuje numerični izraz.

7-3 je številski izraz.

(8+3,2) 5,4 je tudi številski izraz.

In ta pošast:

tudi številski izraz, ja...

Redna številka, ulomek, katerikoli primer izračuna brez X-ov in drugih črk – vse to so številski izrazi.

Glavni znak številčno izrazov – v njem brez črk. Noben. Samo številke in matematični simboli (če je potrebno). Preprosto je, kajne?

In kaj lahko storite s številskimi izrazi? Številske izraze je običajno mogoče prešteti. Če želite to narediti, se zgodi, da morate odpreti oklepaje, spremeniti znake, skrajšati, zamenjati izraze - tj. narediti pretvorbe izrazov. A več o tem v nadaljevanju.

Tukaj se bomo ukvarjali s tako smešnim primerom pri številskem izrazu ni ti treba storiti ničesar. Pa čisto nič! Ta prijetna operacija - Narediti nič)- se izvede, ko izraz nima smisla.

Kdaj številski izraz nima smisla?

Jasno je, da če pred seboj vidimo nekakšno abrakadabro, npr

potem ne bomo storili ničesar. Ker ni jasno, kaj storiti glede tega. Nekakšna neumnost. Mogoče preštej pluse...

Toda navzven so precej spodobni izrazi. Na primer to:

(2+3) : (16 - 2 8)

Vendar pa tudi ta izraz nima smisla! Iz preprostega razloga, ker v drugem oklepaju - če šteješ - dobiš ničlo. Ampak ne moreš deliti z nič! To je v matematiki prepovedana operacija. Zato tudi s tem izrazom ni treba storiti ničesar. Za vsako nalogo s takim izrazom bo odgovor vedno enak: "Izraz nima pomena!"

Za takšen odgovor sem seveda moral izračunati, kaj bo v oklepaju. In včasih je v oklepajih veliko stvari ... No, glede tega ne morete storiti ničesar.

V matematiki ni toliko prepovedanih operacij. V tej temi je samo ena. Deljenje z ničlo. Dodatne omejitve, ki izhajajo iz korenov in logaritmov, so obravnavane v ustreznih temah.

Torej, ideja o tem, kaj je številski izraz- dobil. Koncept številski izraz nima smisla- spoznal. Gremo naprej.

Algebraični izrazi.

Če se v številskem izrazu pojavijo črke, ta izraz postane ... Izraz postane ... Da! Postane algebrski izraz. Na primer:

5a 2; 3x-2y; 3(z-2); 3,4m/n; x 2 +4x-4; (a+b) 2; ...

Takšni izrazi se imenujejo tudi dobesedni izrazi. oz izrazi s spremenljivkami. To je praktično ista stvar. Izraz 5a +c, na primer dobesedno in algebraično ter izraz s spremenljivkami.

Koncept algebrski izraz -širši od numeričnih. To vključuje in vse številske izraze. Tisti. številski izraz je tudi algebrski izraz, le brez črk. Vsak slanik je riba, vendar ni vsaka riba slanik ...)

zakaj abecedno- To je jasno. No, saj obstajajo črke... Fraza izraz s spremenljivkami Prav tako ni zelo zagonetno. Če razumete, da se številke skrivajo pod črkami. Pod črkami se lahko skrijejo najrazličnejše številke ... Pa 5, pa -18 in kar hočete. Se pravi, pismo je lahko zamenjati na različne številke. Zato se imenujejo črke spremenljivke.

V izrazu y+5, na primer pri - spremenljiva količina. Ali pa samo rečejo " spremenljivka", brez besede "magnituda". Za razliko od petice, ki je stalna vrednost. Ali preprosto - konstantna.

Izraz algebrski izraz pomeni, da morate za delo s tem izrazom uporabljati zakone in pravila algebra. če aritmetika deluje z določenimi številkami, torej algebra- z vsemi številkami hkrati. Preprost primer za pojasnilo.

V aritmetiki lahko to zapišemo

Če pa takšno enakost zapišemo skozi algebraične izraze:

a + b = b + a

se bomo takoj odločili Vse vprašanja. Za vse številke kap. Za vse neskončno število. Ker pod slov A in b implicitno Vseštevilke. Pa ne samo številke, tudi drugi matematični izrazi. Tako deluje algebra.

Kdaj algebraični izraz ni smiseln?

Pri številskem izrazu je vse jasno. Tam ne moreš deliti z ničlo. In pri črkah se da ugotoviti, po čem delimo?!

Vzemimo za primer ta izraz s spremenljivkami:

2: (A - 5)

Je smiselno? Kdo ve? A- poljubno število...

Kakršenkoli, kakršen koli ... Ampak en pomen je A, za katerega ta izraz točno nima smisla! In kakšna je ta številka? ja! To je 5! Če spremenljivka A zamenjajte (pravijo »nadomestek«) s številko 5, v oklepaju dobite ničlo. Ki se ne da deliti. Tako se izkaže, da naš izraz nima smisla, Če a = 5. Ampak za druge vrednosti A ali je to smiselno? Ali lahko zamenjate druge številke?

Vsekakor. V takih primerih preprosto rečejo, da izraz

2: (A - 5)

smiselna za vse vrednote A, razen a = 5 .

Celoten niz številk, ki Lahko zamenjava v danem izrazu se imenuje regiji sprejemljive vrednosti ta izraz.

Kot lahko vidite, ni nič zapletenega. Poglejmo izraz s spremenljivkami in ugotovimo: pri kateri vrednosti spremenljivke dobimo prepovedano operacijo (deljenje z ničlo)?

In potem si oglejte vprašanje naloge. Kaj sprašujejo?

nima smisla, naš prepovedani pomen bo odgovor.

Če vprašate po kakšni vrednosti spremenljiv izraz ima pomen(občutite razliko!), bo odgovor vse druge številke razen prepovedanega.

Zakaj potrebujemo pomen izraza? Je tam, ni... Kakšna je razlika?! Bistvo je, da postane ta koncept v srednji šoli zelo pomemben. Izredno pomembno! To je osnova za tako trdne koncepte, kot je domena sprejemljivih vrednosti ali domena funkcije. Brez tega resnih enačb ali neenačb sploh ne boste mogli reševati. Všečkaj to.

Pretvarjanje izrazov. Preobrazbe identitete.

Seznanili smo se s številskimi in algebrskimi izrazi. Razumeli smo, kaj pomeni izraz "izraz nima pomena". Zdaj moramo ugotoviti, kaj je pretvorba izrazov. Odgovor je preprost, do sramote.) To je vsako dejanje z izrazom. To je vse. S temi preobrazbami se ukvarjate že od prvega razreda.

Vzemimo kul numerični izraz 3+5. Kako se lahko pretvori? Da, zelo preprosto! Izračunaj:

Ta izračun bo transformacija izraza. Isti izraz lahko zapišete drugače:

Tukaj sploh nismo nič šteli. Samo zapisal izraz v drugačni obliki. To bo tudi preobrazba izraza. Lahko zapišete takole:

In tudi to je transformacija izraza. Takšnih transformacij lahko naredite kolikor želite.

Kaj delovanje na izražanje kaj pisanje v drugi obliki se imenuje preoblikovanje izraza. In to je vse. Vse je zelo preprosto. Ampak tukaj je ena stvar zelo pomembno pravilo. Tako pomemben, da ga lahko varno imenujemo glavno pravilo vsa matematika. Kršitev tega pravila neizogibno vodi do napak. Se spuščamo v to?)

Recimo, da smo svoj izraz preoblikovali naključno, takole:

Pretvorba? Vsekakor. Izraz smo zapisali v drugačni obliki, kaj je tukaj narobe?

Ni tako.) Gre za to, da transformacije "naključno" jih matematika sploh ne zanima.) Vsa matematika je zgrajena na transformacijah, v katerih videz, vendar se bistvo izraza ne spremeni. Tri plus pet lahko zapišemo v poljubni obliki, vendar mora biti osem.

preobrazbe, izrazi, ki ne spreminjajo bistva se imenujejo enaka.

točno tako transformacije identitete in nam dovolite, da se korak za korakom preobrazimo zapleten primer v preprost izraz, ohranjanje bistvo primera.Če se v verigi transformacij zmotimo, naredimo NEidentično transformacijo, potem se bomo odločili drugo primer. Z drugimi odgovori, ki niso povezani s pravilnimi.)

To je glavno pravilo za reševanje vseh nalog: ohranjanje identitete transformacij.

Primer z številski izraz Zaradi jasnosti sem prinesel 3+5. V algebrskih izrazih so transformacije identitet podane s formulami in pravili. Recimo, da v algebri obstaja formula:

a(b+c) = ab + ac

To pomeni, da lahko v katerem koli primeru namesto izraza a(b+c) napišite izraz ab + ac. In obratno. to identična transformacija. Matematika nam omogoča izbiro med tema dvema izrazoma. In iz katerega pisati – iz konkreten primer odvisno.

Še en primer. Ena najpomembnejših in potrebnih transformacij je osnovna lastnost ulomka. Za več podrobnosti si lahko ogledate povezavo, tukaj pa vas bom samo spomnil na pravilo: Če števec in imenovalec ulomka pomnožimo (delimo) z istim številom ali izrazom, ki ni enak nič, se ulomek ne spremeni. Tukaj je primer transformacij identitete z uporabo te lastnosti:

Kot ste verjetno uganili, se lahko ta veriga nadaljuje v nedogled ...) Zelo pomembna lastnina. To je tisto, kar vam omogoča, da vse vrste primerov pošasti spremenite v bele in puhaste.)

Obstaja veliko formul, ki definirajo enake transformacije. Toda najpomembnejših je precej razumno število. Ena od osnovnih transformacij je faktorizacija. Uporablja se pri vseh matematikah – od osnovne do višje. Začnimo z njim. V naslednji lekciji.)

Če vam je všeč ta stran ...

Mimogrede, za vas imam še nekaj zanimivih spletnih mest.)

Lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Učimo se - z zanimanjem!)

Lahko se seznanite s funkcijami in izpeljankami.

Moto lekcije: m

Vrsta lekcije:

Cilji:

Naloge:

Med poukom

1. Organiziranje časa.

Ki ničesar ne opazi

Ničesar ne študira

Ki nič ne študira

Vedno joka in se dolgočasi.

2.

(številčno in abecedno)

3. .Posodabljanje znanja.

1)Pravila za odpiranje oklepajev.

2)1. Pravilo za množenje monoma s polinomom.

Poiščite in odpravite napako:

( )

Poiščite in odpravite napako:

( )

3)

Naloge Odgovori

4) Faktorizacija.

B) način združevanja v skupine;

TELESNA MINUTA!!!

a) Zmanjšanje ulomka

b) Vsota in razlika ulomkov.

4. Pritrjevanje materiala.

telovadba.

5. Rezultati.

6. Domača naloga.

Oglejte si vsebino dokumenta
"Ponavljanje: izrazi in njihove transformacije"

Tema: "Ponavljanje: izrazi in njihove transformacije"

Moto lekcije: m Matematike se ne moreš učiti tako, da gledaš soseda, kako to počne.

Vrsta lekcije: utrjevanje in posploševanje preučenega gradiva.

Cilji: a) sistematizirati znanje učencev za tečaj algebre 7-9 razred, posplošiti njihovo znanje in spretnosti o tej temi, spomniti in utrditi metode dela z algebrskimi izrazi: pravila za odpiranje oklepajev, pravila za množenje monoma s polinomom in polinom za polinomom, skrajšane formule množenja, razgradnja polinoma na faktorje, dejanja na racionalni ulomki;

b) vzgoja učnih motivov, Pozitiven odnos k znanju, disciplini;

c) razvoj analitičnega in sintetizirajočega mišljenja, veščin uporabe znanja v praksi, natančnosti, natančnosti pri izvajanju dejanj, neodvisnosti.

Naloge: zapomni in uporabi pri reševanju vadbene vaje zgornja pravila za delo z algebrskimi izrazi.

Med poukom

Organiziranje časa.

Pesnik Roman Sef je v šali zapisal:

Ki ničesar ne opazi

Ničesar ne študira

Ki nič ne študira

Vedno joka in se dolgočasi.

Danes nam ne bo dolgčas. Ali se strinjaš? Zapišite si datum v zvezke, Razred in tema lekcije "Izrazi in njihove transformacije."

Določanje ciljev in ciljev lekcije.

Pozorno si oglejte temo lekcije.

Katere vrste izrazov poznate? (številčno in abecedno)

Katere transformacije poznate? (pravila za odpiranje oklepajev, pravila za množenje monoma s polinomom in polinoma s polinomom, formule za skrajšano množenje, faktoriziranje polinoma, operacije z racionalnimi ulomki)

Kaj je torej namen našega današnjega dela? ( spomnite se in utrdite metode dela z algebrskimi izrazi)

Tako bomo sistematizirali in posplošili znanje in spretnosti o tej temi za celoten tečaj algebre 7-9 razreda.

Ponavljanje izobraževalno gradivo .Posodabljanje znanja.

1) Pravila za odpiranje oklepajev.

Ena vrsta transformacije izraza je razširitev oklepajev. Lahko je priročno preiti z izraza z oklepaji na identično enako izrazu, ki ne vsebuje več teh oklepajev.

Prosimo, oblikujte pravilo za odpiranje oklepajev, pred katerimi je znak "+": Če je pred oklepajem znak “+”, potem lahko oklepaje in ta znak “+” izpustite, pri čemer ohranite znake izrazov v oklepajih.

Sedaj oblikujte pravilo za odpiranje oklepajev, pred katerimi je znak "−": če je pred oklepajem znak "−", potem so oklepaji izpuščeni, izrazi v oklepajih pa spremenijo svoj predznak v nasprotnega.

2) 1. Pravilo za množenje monoma s polinomom.

Spomnimo se pravila množenja monoma s polinomom: Če želite pomnožiti monom s polinomom, morate ta monom pomnožiti z vsakim členom polinoma in sešteti nastale produkte.

Poiščite in odpravite napako:

()

2. Pravilo za množenje polinoma s polinomom.

Prosimo, spomnite nas na pravilo množenja polinoma s polinomom: Če želite pomnožiti polinom s polinomom, morate vsak člen enega polinoma pomnožiti z vsakim členom drugega polinoma in sešteti nastale produkte.

Poiščite in odpravite napako:

()

3) Formule za skrajšano množenje.

Čas je, da se spomnimo formul za skrajšano množenje. Izpolnite prazna mesta v formulah.

Zdaj pa dokončajmo naslednjo nalogo. Naloge in odgovore poveži s črtami.

Naloge Odgovori

4) 4)

6) 6)

7) 7)

Ključ: 1-2; 2-4; 3-3; 4-6; 5-7; 6-5; 7-1.

Če ste naredili pravilno, potem postavite "+", če ste se zmotili, potem postavite "-" in popravite napako.

Dvignite roko, če ste vse naredili pravilno. Kje so bile storjene napake?

4) Faktorizacija.

Pozorno si oglejte primere, napisane na tabli. Odgovorite na vprašanje: kaj imajo skupnega spodnji primeri?

Odgovor: rezultati odgovorov so dela.

Kaj je torej faktorizacija?

Odgovor: Predstavitev polinoma kot produkta dveh ali več polinomov imenujemo faktorizacija.

Na podlagi teh primerov ime metode faktoriziranja polinoma:

A) umestitev skupnega faktorja iz oklepaja;

B) način združevanja v skupine;

C) z uporabo formul za skrajšano množenje;

D) formula za faktorizacijo kvadratni trinom.

TELESNA MINUTA!!!

5) Dejanja na racionalnih ulomkih.

In zdaj predlagam, da igramo matematični loto. Delamo v parih. Izbrati in združiti morate pravilo in primer, ki mu ustreza.

a) Zmanjšanje ulomka

b) Vsota in razlika ulomkov.

c) Zmnožek in količnik ulomkov.

Preverimo na naslednji način. Pokažem primer, vi pa izgovorite ustrezno pravilo.

Pa smo ponovili teoretično gradivo in preidimo na praktični del.

Pritrjevanje materiala.

telovadba. Na mesto vrzeli vstavite naslednje monome ali znake, tako da bo nastala enakost identiteta:

Rezultati.

Kot pravi Evgeniy Domansky: "Tisti, ki jim je uspelo razmisliti o realnosti, prejmejo prednosti pri napredovanju." Zato bomo izvedli tudi refleksijo.

Vrnimo se na začetek naše lekcije. Poglejte si namen lekcije. Smo ga dosegli? To nam je uspelo, ker...

Domača naloga.

Odprite svoje dnevnike in jih zapišite Domača naloga:

B 69, 70 (9) (zbirka izpitne naloge)

telovadba. Razmislite o rešitvi primera in poiščite napake:

Pravilna rešitev zapiši na tablo: