Lastnosti funkcije y ax2 bx c. Kvadratna funkcija

Predstavitev in lekcija na temo:
"Graf funkcije $y=ax^2+bx+c$. Lastnosti"

Dodatni materiali
Dragi uporabniki, ne pozabite pustiti svojih komentarjev, mnenj, želja! Vsa gradiva so bila preverjena s protivirusnim programom.

Učni pripomočki in simulatorji v spletni trgovini Integral za 8. razred
Priročnik za učbenik Dorofeeva G.V. Priročnik za učbenik Nikolsky S.M.

Fantje, v zadnjih lekcijah smo zgradili veliko število grafi, vključno s številnimi parabolami. Danes bomo povzeli pridobljeno znanje in se naučili narisati to funkcijo v najsplošnejši obliki.
Poglejmo kvadratni trinom $a*x^2+b*x+c$. $a, b, c$ imenujemo koeficienti. Lahko so poljubne številke, vendar $a≠0$. $a*x^2$ se imenuje vodilni člen, $a$ je vodilni koeficient. Omeniti velja, da sta lahko koeficienta $b$ in $c$ enako nič, to pomeni, da bo trinom sestavljen iz dveh členov, tretji pa je enak nič.

Poglejmo si funkcijo $y=a*x^2+b*x+c$. Ta funkcija se imenuje "kvadratna", ker je največja potenca sekunda, to je kvadrat. Koeficienti so enaki kot so definirani zgoraj.

V zadnji lekciji v zadnji primer, smo analizirali konstrukcijo grafa podobne funkcije.
Dokažimo, da je vsako tako kvadratno funkcijo mogoče reducirati na obliko: $y=a(x+l)^2+m$.

Graf takšne funkcije je zgrajen z uporabo dodatni sistem koordinate V veliki matematiki so številke precej redke. Skoraj vsak problem je treba dokazati v najbolj splošni primer. Danes si bomo ogledali enega takih dokazov. Fantje, lahko vidite vso moč matematičnega aparata, pa tudi njegovo kompleksnost.

Naj izpostavimo popoln kvadrat iz kvadratnega trinoma:
$a*x^2+b*x+c=(a*x^2+b*x)+c=a(x^2+\frac(b)(a)*x)+c=$ $= a(x^2+2\frac(b)(2a)*x+\frac(b^2)(4a))-\frac(b^2)(4a)+c=a(x+\frac(b) (2a))^2+\frac(4ac-b^2)(4a)$.
Dobili smo, kar smo želeli.
Vsako kvadratno funkcijo lahko predstavimo kot:
$y=a(x+l)^2+m$, kjer je $l=\frac(b)(2a)$, $m=\frac(4ac-b^2)(4a)$.

Če želite narisati graf $y=a(x+l)^2+m$, morate narisati funkcijo $y=ax^2$. Poleg tega se bo vrh parabole nahajal v točki s koordinatami $(-l;m)$.
Torej je naša funkcija $y=a*x^2+b*x+c$ parabola.
Os parabole bo premica $x=-\frac(b)(2a)$, koordinate vrha parabole vzdolž osi abscise pa, kot lahko vidimo, izračunamo po formuli: $ x_(c)=-\frac(b)(2a) $.
Če želite izračunati koordinato osi y vrha parabole, lahko:

• uporabite formulo: $y_(в)=\frac(4ac-b^2)(4a)$,
• neposredno nadomestite koordinato oglišča vzdolž $x$ v izvirno funkcijo: $y_(в)=ax_(в)^2+b*x_(в)+c$.

Primer 1.
Odgovorite brez grafa funkcije $y=4x^2-6x-3$ naslednja vprašanja:

rešitev.
a) Os parabole je premica $x=-\frac(b)(2a)=-\frac(-6)(2*4)=\frac(6)(8)=\frac(3 )(4)$ .
b) Našli smo absciso oglišča nad $x_(c)=\frac(3)(4)$.
Ordinato oglišča najdemo z neposredno zamenjavo v izvirno funkcijo:
$y_(в)=4*(\frac(3)(4))^2-6*\frac(3)(4)-3=\frac(9)(4)-\frac(18)(4 )-\frac(12)(4)=-\frac(21)(4)$.
c) Dobili bomo graf iskane funkcije vzporedni prenos grafika $y=4x^2$. Njene veje gledajo navzgor, kar pomeni, da bodo tudi veje parabole prvotne funkcije gledale navzgor.
Na splošno, če je koeficient $a>0$, potem veje gledajo navzgor, če je koeficient $a
Primer 2.
Graf funkcije: $y=2x^2+4x-6$.

rešitev.
Poiščimo koordinate vrha parabole:
$x_(c)=-\frac(b)(2a)=-\frac(4)(4)=-1$.
$y_(в)=2*(-1)^2+4(-1)-6=2-4-6=-8$.
Označimo koordinato oglišča na koordinatni osi. Na tej točki, kot da bi pri nov sistem koordinate bomo zgradili parabolo $y=2x^2$.

Obstaja veliko načinov za poenostavitev konstrukcije parabolnih grafov.

• Lahko najdemo dva simetrične točke, izračunajte vrednost funkcije v teh točkah, jih označite koordinatna ravnina in jih poveži z vrhom krivulje, ki opisuje parabolo.
• Konstruiramo lahko vejo parabole desno ali levo od oglišča in jo nato odbijemo.
• Gradimo lahko točko za točko.

Primer 3.
Poiščite največje in najmanjša vrednost funkcije: $y=-x^2+6x+4$ na intervalu $[-1;6]$.

rešitev.
Zgradimo graf te funkcije, izberemo zahtevani interval in poiščemo najnižjo in najvišjo točko našega grafa.
Poiščimo koordinate vrha parabole:
$x_(c)=-\frac(b)(2a)=-\frac(6)(-2)=3$.
$y_(в)=-1*(3)^2+6*3+4=-9+18+4=13$.
V točki s koordinatami $(3;13)$ sestavimo parabolo $y=-x^2$. Izberemo zahtevani interval. Najnižja točka ima koordinato -3, največ visoka točka- koordinata 13.
$y_(ime)=-3$; $y_(največ)=13$.

Težave, ki jih je treba rešiti neodvisno

Kot kaže praksa, naloge o lastnostih in grafih kvadratne funkcije povzročajo resne težave. To je precej nenavadno, saj kvadratno funkcijo preučujejo v 8. razredu, nato pa v prvi četrtini 9. razreda "mučijo" lastnosti parabole in gradijo njene grafe za različne parametre.

To je posledica dejstva, da ko učence silijo v konstrukcijo parabol, praktično ne posvečajo časa "branju" grafov, torej ne vadijo razumevanja informacij, prejetih s slike. Očitno se domneva, da bo po izdelavi ducata grafov pameten študent sam odkril in oblikoval razmerje med koeficienti v formuli in videz grafične umetnosti. V praksi to ne deluje. Za takšno posploševanje so potrebne resne izkušnje z matematičnimi mini raziskavami, ki jih večina devetošolcev seveda nima. Državni inšpektorat medtem predlaga določitev predznakov koeficientov z urnikom.

Od šolarjev ne bomo zahtevali nemogočega in bomo preprosto ponudili enega od algoritmov za reševanje takšnih problemov.

Torej funkcija oblike y = ax 2 + bx + c imenujemo kvadratna, njen graf pa je parabola. Kot že ime pove, je glavni izraz sekira 2. To je A ne sme biti enak nič, preostali koeficienti ( b in z) je lahko enako nič.

Poglejmo, kako predznaki njenih koeficientov vplivajo na videz parabole.

Najenostavnejša odvisnost za koeficient A. Večina šolarjev samozavestno odgovori: »če A> 0, potem so veje parabole usmerjene navzgor in če A < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой A > 0.

y = 0,5x 2 - 3x + 1

IN v tem primeru A = 0,5

In zdaj za A < 0:

y = - 0,5x2 - 3x + 1

V tem primeru A = - 0,5

Vpliv koeficienta z Prav tako je precej enostavno slediti. Predstavljajmo si, da želimo najti vrednost funkcije v točki X= 0. Nadomestite ničlo v formulo:

l = a 0 2 + b 0 + c = c. Izkazalo se je, da y = c. To je z je ordinata presečišča parabole z osjo y. Običajno je to točko enostavno najti na grafu. In ugotovite, ali leži nad ničlo ali pod. To je z> 0 oz z < 0.

z > 0:

y = x 2 + 4x + 3

z < 0

y = x 2 + 4x - 3

V skladu s tem, če z= 0, potem bo parabola nujno potekala skozi izvor:

y = x 2 + 4x

Težje s parametrom b. Točka, na kateri jo bomo našli, ni odvisna samo od b ampak tudi iz A. To je vrh parabole. Njegova abscisa (koordinata osi X) najdemo s formulo x in = - b/(2a). torej b = - 2 ax in. To pomeni, da nadaljujemo na naslednji način: na grafu najdemo vrh parabole, določimo znak njene abscise, torej pogledamo desno od ničle ( x v> 0) ali v levo ( x v < 0) она лежит.

Vendar to še ni vse. Pozorni moramo biti tudi na predznak koeficienta A. To pomeni, poglejte, kam so usmerjene veje parabole. In šele po tem, po formuli b = - 2 ax in določi znak b.

Poglejmo primer:

Veje so usmerjene navzgor, kar pomeni A> 0, parabola seka os pri pod ničlo pomeni z < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x v> 0. Torej b = - 2 ax in = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: A > 0, b < 0, z < 0.

Slab učitelj predstavlja resnico, dober učitelj uči, kako jo pridobiti.

A.Disterweg

učiteljica: Netikova Margarita Anatolyevna, učiteljica matematike, šola GBOU št. 471 okrožje Vyborg St. Petersburg.

Tema lekcije: "Graf funkcijel= sekira 2 »

Vrsta lekcije: pouk učenja novega znanja.

Cilj: nauči študente prikazati graf funkcije l= sekira 2 .

Naloge:

Izobraževalni: razvijati sposobnost konstruiranja parabole l= sekira 2 in vzpostavi vzorec med grafom funkcije l= sekira 2

in koeficient A.

Izobraževalni: razvoj kognitivne sposobnosti, analitično in primerjalno mišljenje, matematično pismenost, sposobnost posploševanja in sklepanja.

Vzgojitelji: negovanje zanimanja za predmet, natančnosti, odgovornosti, zahtevnosti do sebe in drugih.

Načrtovani rezultati:

Zadeva: znati uporabiti formulo za določitev smeri vej parabole in jo sestaviti s pomočjo tabele.

Osebno: biti sposoben zagovarjati svoje stališče ter delati v parih in timu.

Metapredmet: znati načrtovati in vrednotiti proces in rezultat svojih dejavnosti, obdelovati informacije.

Pedagoške tehnologije: elementi problemskega in naprednega učenja.

Oprema: interaktivna tabla, računalnik, izročki.

1.Formula korenin kvadratna enačba in razkroj kvadratni trinom z množitelji.

2. Redukcija algebraičnih ulomkov.

3.Lastnosti in graf funkcije l= sekira 2 , odvisnost smeri vej parabole, njeno "raztezanje" in "stiskanje" vzdolž ordinatne osi na koeficient a.

Struktura lekcije.

1.Organizacijski del.

2. Posodabljanje znanja:

Pregled Domača naloga

Ustno delo po izdelanih risbah

3.Samostojno delo

4.Razlaga nove snovi

Priprava na študij novega materiala (ustvarjanje problemske situacije)

Primarna asimilacija novega znanja

5. Pritrjevanje

Uporaba znanja in veščin v novi situaciji.

6. Povzetek lekcije.

7.Domača naloga.

8. Refleksija lekcije.

Tehnološki zemljevid lekcije algebre v 9. razredu na temo: »Graf funkcijel= sekira 2 »

Koraki lekcije	Odrske naloge	Dejavnosti učitelja	Študentske dejavnosti	UUD
1.Organizacijski del 1 minuta	Ustvarjanje delovnega razpoloženja na začetku lekcije	Pozdravlja študente preveri njihovo pripravo na pouk, zabeleži odsotne, zapiše datum na tablo.	Priprava na delo v razredu, pozdrav učitelja	Regulativno: organizacija izobraževalnih dejavnosti.
2.Posodobitev znanja 4 minute	Preverjanje domačih nalog, ponavljanje in povzemanje naučenega pri prejšnjih učnih urah in ustvarjanje pogojev za uspešno samostojno delo.	Zbere zvezke šestih učencev (izbirno dva iz vsake vrstice), da preveri domače naloge za oceno (Priloga 1), nato dela z razredom naprej interaktivno tablo (priloga 2).	Šest učencev odda svoje zvezke za domače naloge v pregled, nato odgovorijo na vprašanja ankete na sprednji strani. (priloga 2).	Kognitivni: vnašanje znanja v sistem. Komunikativen: sposobnost poslušanja mnenj drugih. Regulativno: ocenjevanje rezultatov vaših dejavnosti. Osebno: ocenjevanje stopnje obvladovanja snovi.
3.Samostojno delo 10 minut	Preizkusite svojo sposobnost faktoriziranja kvadratnega trinoma in zmanjševanja algebrski ulomki in opišite nekatere lastnosti funkcij na podlagi njenega grafa.	Učencem razdeli kartončke s posameznimi diferencirana naloga (priloga 3). in liste z raztopinami.	Izvedi samostojno delo, samostojno izbiro težavnostne stopnje vaj glede na točke.	Kognitivni: Osebno: ocenjevanje stopnje obvladovanja snovi in ​​svojih zmožnosti.
4.Razlaga nove snovi Priprava na študij novega gradiva Primarna asimilacija novega znanja	Ustvarjanje ugodnega okolja za izhod iz problematične situacije, zaznavanje in razumevanje nove snovi, neodvisen priti do pravega zaključka	Torej veste, kako narisati graf funkcije l= x 2 (grafi so vnaprej zgrajeni na treh ploščah). Poimenujte glavne lastnosti te funkcije: 3. Koordinate vrhov 5. Obdobja monotonije Čemu služi koeficient v tem primeru? x 2 ? Na primeru kvadratnega trinoma ste videli, da to sploh ni potrebno. Kakšno znamenje bi lahko bil? Navedite primere. Kako bodo izgledale parabole z drugimi koeficienti, boste morali ugotoviti sami. Najboljši način za študij nekaj morate odkriti sami. D.Poya Razdelimo se v tri ekipe (v vrstah), izberemo kapitane, ki pridejo na tablo. Naloga za ekipe je zapisana na treh tablah, tekmovanje se začne! Izdelajte grafe funkcij v enem koordinatnem sistemu 1 ekipa: a)y=x 2 b)y= 2x 2 c)y= x 2 Ekipa 2: a)y= - x 2 b)y=-2x 2 c)y= - x 2 Ekipa 3: a)y=x 2 b)y=4x 2 c)y=-x 2 Naloga opravljena! (Priloga 4). Poiščite funkcije, ki imajo enake lastnosti. Kapetani se posvetujejo s svojimi ekipami. Od česa je to odvisno? Kako pa se te parabole razlikujejo in zakaj? Kaj določa "debelino" parabole? Kaj določa smer vej parabole? Graf a) običajno imenujemo "začetni". Predstavljajte si gumico: če jo raztegnete, postane tanjša. To pomeni, da je bil graf b) dobljen z raztezanjem prvotnega grafa po ordinati. Kako je bil pridobljen graf c)? Torej, kdaj x 2 lahko obstaja kateri koli koeficient, ki vpliva na konfiguracijo parabole. To je tema naše lekcije: "Graf funkcijel= sekira 2 »	1. R 4. Veje navzgor 5. Zmanjša se za (- Poveča se za ) Vam je bil članek všeč? Delite s prijatelji! Delite naprej Facebook Preberite tudi O rešitvi degeneriranih in slabo pogojenih sistemov linearnih algebrskih enačb Rešitev nelinearnih enačb in sistemov nelinearnih enačb Kako otroku na preprost način razložiti seštevanje in odštevanje dvomestnih števil? Kakšne so lastnosti in ime snovi NH3? Predstavitev okoljskih problemov Krima Projekt o vodni ekologiji na Krimu Analiza Lovilec v rži Salingerja "Mahabharata", ki jo je uredil B Lekcija pismenosti "Branje besed s črko y" Kitajska vojska: velikost, sestava, orožje Noak Kitajske Vrh