Lastnosti lastnih vrednosti. Lastne vrednosti (števila) in lastni vektorji. Primeri rešitev

Opredelitev 9.3. Vektor X klical lastni vektor matrice A, če obstaja taka številka λ, da velja enakost: A X= λ X, torej rezultat prijave na X linearna transformacija, ki jo določa matrika A, je množenje tega vektorja s številom λ . Sama številka λ klical lastna vrednost matrice A.

Zamenjava v formule (9.3) x` j = λx j, dobimo sistem enačb za določanje koordinat lastnega vektorja:

. (9.5)

Ta linearna homogeni sistem bo imel netrivialna rešitev samo, če je njegova glavna determinanta 0 (Cramerjevo pravilo). Tako, da ta pogoj zapišete v obliki:

dobimo enačbo za določanje lastnih vrednosti λ , poklical karakteristična enačba. Na kratko se lahko predstavi na naslednji način:

| A - λE | = 0, (9.6)

saj njegova leva stran vsebuje determinanto matrike A-λE. Polinomski relativni λ | A - λE| klical karakteristični polinom matrike A.

Lastnosti karakterističnega polinoma:

1) Karakteristični polinom linearne transformacije ni odvisen od izbire baze. Dokaz. (glej (9.4)), vendar torej,. Tako ni odvisno od izbire podlage. To pomeni, da | A-λE| se ob prehodu na novo podlago ne spremeni.

2) Če je matrika A linearna transformacija je simetrično(tiste. in ij =a ji), nato vse korenine karakteristična enačba(9.6) so realna števila.

Lastnosti lastnih vrednosti in lastnih vektorjev:

1) Če izberete osnovo izmed lastnih vektorjev x 1, x 2, x 3 , ki ustrezajo lastnim vrednostim λ 1, λ 2, λ 3 matrice A, potem v tej podlagi linearna transformacija A ima diagonalno matriko:

(9.7) Dokaz te lastnosti izhaja iz definicije lastnih vektorjev.

2) Če so lastne vrednosti transformacije A različni, potem so njihovi ustrezni lastni vektorji linearno neodvisni.

3) Če karakteristični polinom matrice A ima tri različne korene, potem v neki osnovi matriko A ima diagonalni videz.

Poiščimo lastne vrednosti in lastne vektorje matrike. Ustvarimo značilno enačbo: (1- λ )(5 - λ )(1 - λ ) + 6 - 9(5 - λ ) - (1 - λ ) - (1 - λ ) = 0, λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2, λ 2 = 3, λ 3 = 6.

Poiščimo koordinate lastnih vektorjev, ki ustrezajo vsaki najdeni vrednosti λ. Iz (9.5) sledi, da če X (1) ={x 1, x 2, x 3) – ustrezen lastni vektor λ 1 =-2, torej

- kooperativen, vendar negotov sistem. Njegovo rešitev lahko zapišemo v obliki X (1) ={a,0,-a), kjer je a poljubno število. Še posebej, če zahtevamo, da | x (1) |=1, X (1) =

Zamenjava v sistem (9.5) λ 2 =3, dobimo sistem za določanje koordinat drugega lastnega vektorja - x (2) ={y 1, y 2, y 3}:

, kje X (2) ={b,-b,b) ali pod pogojem | x (2) |=1, x (2) =

Za λ 3 = 6 poiščite lastni vektor x (3) ={z 1, z 2, z 3}:

, x (3) ={c,2c,c) ali v normalizirani različici

x (3) = Opaziti je mogoče, da X (1) X (2) = ab–ab= 0, x (1) x (3) = ac-ac= 0, x (2) x (3) = pr- 2BC + BC= 0. Torej sta lastna vektorja te matrike po paru pravokotna.

Predavanje 10.

Kvadratne oblike in njihova povezava s simetričnimi matrikami. Lastnosti lastnih vektorjev in lastnih vrednosti simetrične matrike. Redukcija kvadratne oblike na kanonično obliko.

Opredelitev 10.1.Kvadratna oblika realne spremenljivke x 1, x 2,…, x n je polinom druge stopnje v teh spremenljivkah, ki ne vsebuje brezplačen član in člani I. stopnje.

Primeri kvadratne oblike:

(n = 2),

(n = 3). (10.1)

Spomnimo se definicije simetrične matrike, podane v zadnjem predavanju:

Opredelitev 10.2. Kvadratna matrika se imenuje simetrično, če , to je, če so elementi matrike, ki so simetrični glede na glavno diagonalo, enaki.

Lastnosti lastnih vrednosti in lastnih vektorjev simetrične matrike:

1) Vse lastne vrednosti simetrične matrike so realne.

Dokaz (za n = 2).

Naj matriko A ima obliko: . Ustvarimo značilno enačbo:

(10.2) Poiščimo diskriminanco:

Zato ima enačba samo prave korenine.

2) Lastni vektorji simetrične matrike so pravokotni.

Dokaz (za n= 2).

Koordinate lastnih vektorjev in morajo zadostiti enačbam.

Diagonalne matrike imajo najpreprostejšo strukturo. Postavlja se vprašanje, ali je mogoče najti osnovo, v kateri bi imela matrika linearnega operatorja diagonalno obliko. Takšna osnova obstaja.
Naj bo dano linearni prostor R n in linearni operator A, ki deluje v njem; v tem primeru operator A vzame R n vase, to je A:R n → R n .

Opredelitev. Neničelni vektor x imenujemo lastni vektor operatorja A, če operator A transformira x v kolinearni vektor, tj. Število λ imenujemo lastna vrednost ali lastna vrednost operatorja A, ki ustreza lastnemu vektorju x.
Opozorimo na nekatere lastnosti lastnih vrednosti in lastnih vektorjev.
1. Katera koli linearna kombinacija lastnih vektorjev operator A, ki ustreza isti lastni vrednosti λ, je lastni vektor z enako lastno vrednostjo.
2. Lastni vektorji operator A s parno različnimi lastnimi vrednostmi λ 1 , λ 2 , …, λ m so linearno neodvisni.
3. Če lastne vrednosti λ 1 = λ 2 = λ m = λ, potem lastna vrednost λ ustreza največ m linearno neodvisnim lastnim vektorjem.

Torej, če obstaja n linearno neodvisnih lastnih vektorjev , ki ustrezajo različnim lastnim vrednostim λ 1, λ 2, ..., λ n, potem so linearno neodvisni, zato jih je mogoče vzeti kot osnovo prostora R n. Poiščimo obliko matrike linearnega operatorja A v bazi njegovih lastnih vektorjev, za katere bomo delovali z operatorjem A na bazičnih vektorjih: Potem .
Tako ima matrika linearnega operaterja A v osnovi svojih lastnih vektorjev diagonalno obliko, lastne vrednosti operatorja A pa so vzdolž diagonale.
Ali obstaja še kakšna baza, v kateri ima matrika diagonalno obliko? Odgovor na to vprašanje daje naslednji izrek.

Izrek. Matrika linearnega operatorja A v bazi (i = 1..n) ima diagonalno obliko, če in samo če so vsi vektorji baze lastni vektorji operatorja A.

Pravilo za iskanje lastnih vrednosti in lastnih vektorjev

. (*)

(1)
Kje - linearna operatorska matrika.

Sistem (1) ima različno rešitev, če je njegova determinanta D enaka nič

Primer 12. Linearni operator A deluje v R 3 po zakonu, kjer so x 1, x 2, .., x n koordinate vektorja v bazi , , . Poiščite lastne vrednosti in lastne vektorje tega operatorja.
rešitev. Sestavimo matriko tega operatorja:
.
Izdelamo sistem za določanje koordinat lastnih vektorjev:

Sestavimo karakteristično enačbo in jo rešimo:

.
λ 1,2 = -1, λ 3 = 3.
Če nadomestimo λ = -1 v sistem, imamo:
oz
Ker , potem sta dve odvisni spremenljivki in ena prosta spremenljivka.
Naj bo torej x 1 prosta neznanka Ta sistem rešimo na kakršen koli način in najdemo skupna odločitev ta sistem: Temeljni sistem rešitve sestoji iz ene rešitve, saj je n - r = 3 - 2 = 1.
Množica lastnih vektorjev, ki ustrezajo lastni vrednosti λ = -1, ima obliko: , kjer je x 1 poljubno število, ki ni nič. Izberimo en vektor iz tega niza, na primer tako, da x 1 = 1: .
S podobnim sklepanjem najdemo lastni vektor, ki ustreza lastni vrednosti λ = 3: .
V prostoru R3 osnovo sestavljajo tri linearne neodvisni vektorji, smo prejeli samo dva linearno neodvisna lastna vektorja, iz katerih ni mogoče sestaviti baze v R 3. Posledično ne moremo reducirati matrike A linearnega operatorja na diagonalno obliko.

Primer 13. Glede na matriko .
1. Dokaži, da je vektor je lastni vektor matrike A. Poiščite lastno vrednost, ki ustreza temu lastnemu vektorju.
2. Poiščite osnovo, v kateri ima matrika A diagonalno obliko.
rešitev.
1. Če je , potem je x lastni vektor

.
Vektor (1, 8, -1) je lastni vektor. Lastna vrednost λ = -1.
Matrika ima diagonalno obliko v bazi, sestavljeni iz lastnih vektorjev. Eden od njih je znan. Poiščimo ostalo.
Iščemo lastne vektorje iz sistema:

Karakteristična enačba: ;
(3 + λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ 2 - 1) = 0
λ 1 = -3, λ 2 = 1, λ 3 = -1.
Poiščimo lastni vektor, ki ustreza lastni vrednosti λ = -3:

Rang matrike tega sistema je dva in enako številu neznanke, zato ima ta sistem samo ničelno rešitev x 1 = x 3 = 0. x 2 je tukaj lahko karkoli drugega kot nič, na primer x 2 = 1. Tako je vektor (0,1,0) lastni vektor , kar ustreza λ = -3. Preverimo:
.
Če je λ = 1, dobimo sistem
Rang matrike je dva. Zadnjo enačbo prečrtamo.
Naj bo x 3 prosta neznanka. Potem je x 1 = -3x 3, 4x 2 = 10x 1 - 6x 3 = -30x 3 - 6x 3, x 2 = -9x 3.
Ob predpostavki, da je x 3 = 1, imamo (-3,-9,1) – lastni vektor, ki ustreza lastni vrednosti λ = 1. Preverite:

.
Ker so lastne vrednosti realne in različne, so vektorji, ki jim ustrezajo, linearno neodvisni, zato jih je mogoče vzeti kot osnovo v R 3 . Tako v osnovi , , matrika A ima obliko:
.
Vsake matrike linearnega operatorja A:R n → R n ni mogoče reducirati na diagonalno obliko, saj za nekatere linearni operatorji Linearno neodvisnih lastnih vektorjev je lahko manj kot n. Če pa je matrika simetrična, potem koren karakteristične enačbe množice m ustreza točno m linearno neodvisnim vektorjem.

Opredelitev. Imenuje se simetrična matrika kvadratna matrika, v kateri so elementi simetrični glede glavne diagonale enaki, to je v kateri .
Opombe. 1. Vse lastne vrednosti simetrične matrike so resnične.
2. Lastni vektorji simetrične matrike, ki ustrezajo parno različnim lastnim vrednostim, so pravokotni.
Kot eno izmed mnogih aplikacij proučevanega aparata obravnavamo problem določanja vrste krivulje drugega reda.

Predavanje 9.

Linearne transformacije koordinat. Lastni vektorji in lastne vrednosti matrike, njihove lastnosti. Karakteristični polinom matrike, njegove lastnosti.

To bomo rekli na množici vektorjevRdano transformacija A , če je vsak vektor X R po nekem pravilu vektor A X R.

Opredelitev 9.1.Pretvorba A klical linearni, če za katere koli vektorje X in pri in za poljubno realno število λ veljajo naslednje enakosti:

A( X + pri )=A X+ A pri ,A(λ X ) = λ A X. (9.1)

Opredelitev 9.2.Linearna transformacija se imenuje enaka, če transformira katerikoli vektor X vase.

Označena je transformacija identitete NJENA X= X .

Razmislite o tridimenzionalnem prostoru z osnovo e 1 , e 2, e 3 , v katerem je določena linearna transformacija A. Če ga uporabimo za osnovne vektorje, dobimo vektorje A e 1, A e 2, A e 3 , ki pripadajo temu tridimenzionalnemu prostoru. Posledično se lahko vsak od njih edinstveno razširi v bazne vektorje:

A e 1 = a 11 e 1+ a 21 e 2+a 31 e 3,

A e 2 = 12 e 1+ a 22 e 2+ a 32 e 3 ,(9.2)

A e 3= 13 e 1+ a 23 e 2+ a 33 e 3 .

Matrix klical linearna transformacijska matrika A v osnovi e 1 , e 2, e 3 . Stolpci te matrike so sestavljeni iz koeficientov v formulah za bazno transformacijo (9.2).

Komentiraj. Očitno je matrika transformacije identitete matrika identitete E.

Za poljuben vektor X =x 1 e 1+ x 2 e 2+ x 3 e 3 rezultat uporabe linearne transformacije nanj A bo vektor A X, ki se lahko razširijo v vektorje iste baze: A X =x` 1 e 1+ x` 2 e 2+ x` 3 e 3 , kjer so koordinatex` jazlahko najdete z uporabo formul:

X` 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 ,

x` 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3,(9.3)

x` 3 = a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 .

Koeficienti v formulah te linearne transformacije so elementi matričnih vrstic A.

Linearna transformacija matrična transformacija

ob prehodu na novo podlago.

Razmislite o linearni transformaciji A in dveh bazah v tridimenzionalni prostor: e 1, e 2, e 3 in e 1 , e 2 , e 3 . Naj matrika C določa formule za prehod iz baze (e k) na osnovo ( e k). Če je v prvi od teh baz izbrana linearna transformacija podana z matriko A, v drugi pa z matriko A, potem lahko najdemo povezavo med temi matricami, in sicer:

A = C -1 A C(9,4)

Res, torej A . Po drugi strani pa rezultati uporabe iste linearne transformacije A v osnovi (e k), tj. , in v osnovi (e k ): oziroma - povezana z matriko Z: , iz česar izhaja, da CA= A Z. Pomnožimo obe strani te enakosti z leve Z-1, dobimo Z -1 CA= = C -1 A Z, kar dokazuje veljavnost formule (9.4).

Lastne vrednosti in lastni vektorji matrike.

Opredelitev 9.3.Vektor X klical lastni vektor matrice A, če obstaja taka številka λ, da velja enakost: A X= λ X, torej rezultat prijave na X linearna transformacija, ki jo določa matrika A, je množenje tega vektorja s številom λ . Sama številka λ klical lastna vrednost matrice A.

Zamenjava v formule (9.3)x` j = λ x j, dobimo sistem enačb za določanje koordinat lastnega vektorja:

.

Od tod

.(9.5)

to linearno homogena sistem bo imel netrivialno rešitev samo, če je njegova glavna determinanta 0 (Cramerjevo pravilo). Tako, da ta pogoj zapišete v obliki:

dobimo enačbo za določanje lastnih vrednosti λ , poklical karakteristična enačba. Na kratko se lahko predstavi na naslednji način:

| A -λ E | = 0,(9.6)

saj njegova leva stran vsebuje determinanto matrike A- λE. Polinomski relativni λ| A -λ E| klical karakteristični polinom matrike A.

Lastnosti karakterističnega polinoma:

1) Karakteristični polinom linearne transformacije ni odvisen od izbire baze. (glej (9.4)), vendar torej,. Tako ni odvisno od izbire podlage. To pomeni, da |A-λ E| se ob prehodu na novo podlago ne spremeni.

2) Če matriko A linearna transformacija je simetrično(tiste. A ij= a ji), potem so vsi koreni karakteristične enačbe (9.6) realna števila.

Lastnosti lastnih vrednosti in lastnih vektorjev:

1) Če izberemo osnovo izmed lastnih vektorjev x 1, x 2, x 3 , ki ustrezajo lastnim vrednostim λ 1, λ 2, λ 3 matrice A, potem ima v tej bazi linearna transformacija A matriko diagonalne oblike:

(9.7) Dokaz te lastnosti izhaja iz definicije lastnih vektorjev.

2) Če transformacija lastnih vrednosti A različni, potem so njihovi ustrezni lastni vektorji linearno neodvisni.

3) Če je značilni polinom matrike A ima tri različne korene, potem v neki osnovi matriko A ima diagonalni videz.

Primer.

Poiščimo lastne vrednosti in lastne vektorje matrike C in pustimo značilno enačbo: (1- λ )(5 - λ )(1 - λ ) + 6 - 9(5 - λ ) - (1 - λ ) - (1 - λ ) = 0, λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2, λ 2 = 3, λ 3 = 6.

Poiščimo koordinate lastnih vektorjev, ki ustrezajo vsaki najdeni vrednosti λ. Iz (9.5) sledi, da če X (1) ={ x 1 , x 2 , x 3 ) – ustrezen lastni vektor λ 1 =-2, torej

- kooperativen, vendar negotov sistem. Njegovo rešitev lahko zapišemo v obliki X (1) ={ a,0,- a), kjer je a poljubno število. Še posebej, če zahtevamo, da |x (1) |=1, X (1) =

Zamenjava v sistem (9.5) λ 2 =3, dobimo sistem za določanje koordinat drugega lastnega vektorja -x (2) ={ l 1 , l 2 , l 3

Linearne transformacije koordinat. Lastni vektorji in lastne vrednosti matrike, njihove lastnosti. Karakteristični polinom matrike, njegove lastnosti.

To bomo rekli na množici vektorjev R dano transformacijaA , če je vsak vektor X R po nekem pravilu vektor AX R.

Opredelitev 9.1. Pretvorba A klical linearni, če za katere koli vektorje X in pri in za poljubno realno število λ veljajo naslednje enakosti:

A(X + pri )=AX + Apri ,A(λX ) =λ AX . (9.1)

Opredelitev 9.2. Linearna transformacija se imenuje enaka, če transformira katerikoli vektor X vase.

Označena je transformacija identitete NJENAX = X .

Razmislite o tridimenzionalnem prostoru z osnovo e 1 , e 2 , e 3 , v katerem je določena linearna transformacija A. Če ga uporabimo za osnovne vektorje, dobimo vektorje Ae 1 , Ae 2 , Ae 3 , ki pripadajo temu tridimenzionalnemu prostoru. Posledično se lahko vsak od njih edinstveno razširi v bazne vektorje:

Ae 1 = a 11 e 1 + a 21 e 2 +a 31 e 3 ,

Ae 2 = a 12 e 1 + a 22 e 2 + a 32 e 3 , (9.2)

Ae 3 = a 13 e 1 + a 23 e 2 + a 33 e 3 .

Matrix
klical linearna transformacijska matrikaA v osnovi e 1 , e 2 , e 3 . Stolpci te matrike so sestavljeni iz koeficientov v formulah za bazno transformacijo (9.2).

Komentiraj. Očitno je matrika transformacije identitete matrika identitete E.

Za poljuben vektor X =x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 rezultat uporabe linearne transformacije nanj A bo vektor AX , ki se lahko razširijo v vektorje iste baze: AX =x` 1 e 1 + x` 2 e 2 + x` 3 e 3 , kjer so koordinate x` jaz lahko najdete z uporabo formul:

X` 1 = a 11 x 1 +a 12 x 2 +a 13 x 3 ,

x` 2 = a 21 x 1 +a 22 x 2 +a 23 x 3 , (9.3)

x` 3 = a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 .

Koeficienti v formulah te linearne transformacije so elementi matričnih vrstic A.

Linearna transformacija matrična transformacija

ob prehodu na novo podlago.

Razmislite o linearni transformaciji A in dveh bazah v tridimenzionalnem prostoru: e 1 e 2 , e 3 in e 1 , e 2 , e 3 . Naj matrika C določa formule za prehod iz baze ( e k) na osnovo ( e k). Če je v prvi od teh baz izbrana linearna transformacija podana z matriko A, v drugi pa z matriko A, potem lahko najdemo povezavo med temi matricami, in sicer:

A = C -1 A C (9,4)

res,
, Potem A
. Po drugi strani pa rezultati uporabe enake linearne transformacije A v osnovi ( e k), tj. , in v osnovi ( e k ): oz - povezana z matriko Z:
, iz česar izhaja, da CA=A Z. Pomnožimo obe strani te enakosti z leve Z-1, dobimo Z - 1 CA = = C -1 A Z, kar dokazuje veljavnost formule (9.4).

Lastne vrednosti in lastni vektorji matrike.

Opredelitev 9.3. Vektor X klical lastni vektor matrice A, če obstaja taka številka λ, da velja enakost: AX = λ X , to je rezultat prijave na X linearna transformacija, ki jo določa matrika A, je množenje tega vektorja s številom λ . Sama številka λ klical lastna vrednost matrice A.

Zamenjava v formule (9.3) x` j = λ x j , dobimo sistem enačb za določanje koordinat lastnega vektorja:

.

. (9.5)

Ta linearni homogeni sistem bo imel netrivialno rešitev le, če je njegova glavna determinanta 0 (Cramerjevo pravilo). Tako, da ta pogoj zapišete v obliki:

dobimo enačbo za določanje lastnih vrednosti λ , poklical karakteristična enačba. Na kratko se lahko predstavi na naslednji način:

| A - λ E| = 0, (9.6)

saj njegova leva stran vsebuje determinanto matrike A-λE. Polinomski relativni λ | A - λ E| klical karakteristični polinom matrike A.

Lastnosti karakterističnega polinoma:

Lastnosti lastnih vrednosti in lastnih vektorjev:

Če izberemo osnovo izmed lastnih vektorjev X 1 , X 2 , X 3 , ki ustrezajo lastnim vrednostim λ 1 , λ 2 , λ 3 matrice A, potem ima v tej bazi linearna transformacija A matriko diagonalne oblike:

(9.7) Dokaz te lastnosti izhaja iz definicije lastnih vektorjev.

Če transformacija lastnih vrednosti A različni, potem so njihovi ustrezni lastni vektorji linearno neodvisni.

Če je značilni polinom matrike A ima tri različne korene, potem v neki osnovi matriko A ima diagonalni videz.

Poiščimo lastne vrednosti in lastne vektorje matrike Ustvarimo značilno enačbo:
(1-λ )(5 -λ )(1 -λ ) + 6 - 9(5 -λ ) - (1 -λ ) - (1 -λ ) = 0,λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2,λ 2 = 3,λ 3 = 6.

Poiščimo koordinate lastnih vektorjev, ki ustrezajo vsaki najdeni vrednosti λ. Iz (9.5) sledi, da če X (1) ={x 1 , x 2 , x 3 ) – ustrezen lastni vektor λ 1 =-2, torej

- kooperativen, vendar negotov sistem. Njegovo rešitev lahko zapišemo v obliki X (1) ={a,0,-a), kjer je a poljubno število. Še posebej, če zahtevamo, da | x (1) |=1,X (1) =

Zamenjava v sistem (9.5) λ 2 =3, dobimo sistem za določanje koordinat drugega lastnega vektorja - x (2) ={l 1 , l 2 , l 3 }:

, kje X (2) ={b,- b, b) ali pod pogojem | x (2) |=1,x (2) =

Za λ 3 = 6 poiščite lastni vektor x (3) ={z 1 , z 2 , z 3 }:

,x (3) ={c,2 c, c) ali v normalizirani različici

X (3) =
Opaziti je mogoče, da X (1) X (2) =ab – ab = 0,x (1) x (3) =ac – ac = 0,x (2) x (3) =pr - 2pr + pr = 0. Torej sta lastna vektorja te matrike po paru pravokotna.