Značilne vrednosti matrike. Karakteristični polinom matrike

Razmislite o kvadratni matriki

Kot je bilo prikazano (6.1.), so vse matrike podobne matriki A, tj. vse matrike oblike A*= T -1 AT, Kje T– vsaka nesingularna matrika (kvadrat) ima enako determinanto | A|=| A*|.

Take matrice imajo še eno lastnost, ki je vsem skupna.

Skupaj z matrico A upoštevajte matriko

,

ki nastane iz A zamenjava diagonalnih elementov a ij elementi
, Kje – poljubno število. Determinanta te matrike

predstavlja polinom stopnje n relativno (koeficient pri enako (-1) n). Polinom
imenujemo karakteristični polinom matrike A.

Pokažimo, da imajo vse takšne matrike enak karakteristični polinom, tj. Kaj je kje A*=T -1 AT.

Za to uporabimo identiteto E*= T -1 ET. Nato zamenjava v matrici
matrice A* in E v skladu s tem T -1 AT in T -1 ET, dobimo:

Tako imajo vse podobne matrike enak karakteristični polinom
.

Algebraična enačba n th stopnjo
klical karakteristična enačba matrice A, njegove korenine pa so značilna števila.

Karakteristična enačba ima obliko

Kje – sled k matriko reda A.

Naslednji k-th red se imenuje vsota možnih
večji mladoletniki k-th red:

Karakteristična enačba ima n ne nujno različnih korenin
. Vsak karakteristični koren ustreza lastnemu vektorju do konstantnega faktorja.

vsota značilne korenine enaka sledi matrice A:

produkt karakterističnih korenin pa je enak determinanti matrike A:

Število neničelnih korenin sovpada z rangom matrike linearnega operatorja.

Ena od metod za iskanje koeficientov
značilna enačba je metoda Faddeeva. Pustiti linearni operatorpodana z matriko A. Nato koeficienti se izračunajo po naslednji shemi:

Primer. Poiščite lastne vrednosti linearnega operaterja , podana z matriko

.

rešitev. Karakteristična enačba ima obliko

Kot rezultat dobimo naslednjo značilno enačbo:

ali od kje – lastne vrednosti linearnega operaterja .

Hamilton-Cayleyev izrek. Vsak kvadratna matrika je koren njegovega karakterističnega polinoma.

Dokaz. Razmislite o polinomu

Matrični elementi IN so polinomi v stopnja ni višja ( n-1 ). Zato matrica IN lahko predstavimo v naslednji obliki:

Enačenje koeficientov pri enakih stopinjah na obeh straneh enakosti (6.2.4), dobimo

Enakosti (6.2.5) pomnožimo z oz
in seštejte rezultate:

od koder sledi, da
. Izrek je dokazan.

Primer. Linearni operator podana z matriko

.

Najti
in pokaži to
.

rešitev. Ustvarimo matrico

Polinom
izgleda kot

.

6.3. Lastni vektor in lastna vrednost linearnega operatorja

Pusti v vesolje linearni operator je podan .

Opredelitev. Neničelni vektor
, ki zadovolji razmerje
, imenujemo lastni vektor, ustrezno število pa – lastna vrednost operatorja .

Od ta definicija sledi, da je slika lastnega vektorja je njen kolinearni vektor
.

Omenimo nekaj lastnosti lastnih vektorjev operatorja .

1. Vsak lastni vektor ustreza eni lastni vrednosti. Predpostavimo nasprotno: pustite lastni vektor operater ustrezajo dvema lastnima vrednostima
. To pomeni, da

,

.

Toda iz tega sledi, da

Ker po pogoju je torej vektor različen od nič
.

2. Če in – lastni vektorji operater z enako lastno vrednostjo , potem njihova vsota
je tudi lastni vektor operatorja z lastno vrednostjo . Dejansko, saj
in
, To

3. Če – lastni vektor operatorja z lastno vrednostjo , nato poljuben vektor
, kolinearna vektorju , je tudi lastni vektor operatorja z enako lastno vrednostjo .

res,

Tako za vsako pravo številko ustreza neskončnemu številu kolinearnih lastnih vektorjev. Iz lastnosti 2 in 3 sledi, da je množica lastnih vektorjev operatorja , ki ustreza isti lastni vrednosti, tvori prostor, ki je podprostor prostora .

Dokažimo izrek o obstoju lastnega vektorja.

Izrek. V kompleksnem linearnem prostoru vsakega linijskega operaterja ima vsaj en lastni vektor.

Dokaz. Pustiti – linearni operator definiran v prostoru , A –lastni vektor tega operatorja z lastno vrednostjo , tj.
. Izberimo poljubno osnovo
in označujemo koordinate vektorja v tej osnovi skozi
. Potem, če
– operatorska matrika v osnovi
, potem, ko relacijo zapišemo v matrično obliko, dobimo

IN koordinatna oblika matrična enačba (6.3.1) ima obliko

Za iskanje lastnega vektorja je potrebno najti neničelne rešitve sistema (6.3.2), ki obstajajo, če in samo če je determinanta sistema enako nič, tj. Kdaj
. Iz tega sledi, da je lastna vrednost linearnega operatorja je njegovo značilno število, ki vedno obstaja. Če to število nadomestimo v sistem (6.3.2), dobimo neničelno rešitev tega sistema, ki določa želeni lastni vektor. Izrek je dokazan.

Iz tega izreka sledi, da je iskanje lastne vrednosti linearnega operatorja in njegov ustrezen lastni vektor zmanjša na reševanje karakteristične enačbe
. Pustiti
– različne korenine karakteristične enačbe. Zamenjava nekega korena v sistem (6.3.2) najdemo vse njegove linearno neodvisne rešitve, ki določajo lastne vektorje, ki ustrezajo lastni vrednosti . Če matrični rang
enako r in r< n, potem obstaja k= n- r linearno neodvisni lastni vektorji, ki ustrezajo korenu.

Primer. Poiščite lastne vektorje linearnega operatorja , podana z matriko

.

rešitev. Ustvarimo značilno enačbo

,

oz
kje
.

Zamenjava korenin
v sistem (6.3.1). Poiščimo lastne vektorje operatorja .

pri
imamo

.

Dobimo homogeni sistem tri linearne enačbe, od katerih je samo ena (katera koli) linearno neodvisna. Splošna rešitev sistema ima obliko
. Poiščimo dve linearno neodvisni rešitvi:

Nato lastni vektorji, ki ustrezajo lastnim vrednostim
, imajo obliko

,

Kje z– poljubno realno število, različno od nič.

pri
imamo

.

Splošna rešitev tega sistema ima obliko

Lastni vektor, ki ustreza lastni vrednosti
, je enako

.

Izrek. Naj lastne vrednosti
operater po paru različni. Nato ustrezni lastni vektorji
linearno neodvisen.

Dokaz. Uporabimo metodo indukcije števila spremenljivk. Ker je vektor različen od nič, potem ko str=1 trditev izreka drži.

Naj izrek velja za m< str vektorji
. Tem vektorjem dodajmo vektor
in predpostavimo, da enakost velja

Ker
, -lastni vektorji, torej
in zato lahko enakost (6.3.4) prepišemo takole:

Glede na stanje vse
, so torej različni
. Vektorski sistem
– linearno neodvisen. Zato iz (6.3.6) sledi, da. Potem iz (6.3.3) in iz pogoja, da
– lastni vektor (
), dobimo
. To pomeni, da
– sistem linearno neodvisnih vektorjev. Indukcija končana. Izrek je dokazan.

Posledica:če vse lastne vrednosti
so parno različni, potem ustrezni lastni vektorji
tvorijo osnovo prostora .

Izrek.Če kot osnova prostora sprejeti n linearno neodvisne lastne vektorje, nato pa operator tej osnovi ustreza diagonalna matrika

.

Dokaz. Razmislite o poljubnem vektorju
in baza, sestavljena iz lastnih vektorjev
ta prostor. Kam pa potem
– vektorske koordinate v osnovi
.

Uporaba na vektorju operater , dobimo
oz
.

Ker
, je torej lastni vektor
.

Iz (6.3.7) imamo

Enačbe (6.3.8) pomenijo, da je matrika linearnega operatorja v osnovi
izgleda kot

.

Izrek je dokazan.

Opredelitev. Linearni operator v vesolju R n se imenuje operator preproste strukture, če ima n linearno neodvisni lastni vektorji.

Očitno je, da imajo operatorji preproste strukture in samo oni diagonalne matrike v neki bazi. Ta baza je lahko sestavljena le iz lastnih vektorjev operatorja . Delovanje katerega koli operaterja preproste strukture se vedno zmanjša na "raztezanje" koordinat vektorja v dani osnovi.

Nadaljujmo s preučevanjem linearnih operatorjev. Vemo že, da je vsak operator A povezan s kvadratno matriko, ta pa s svojo determinanto. Vrednost determinante je skalar (število). Torej je funkcija, ki operatorju A dodeli skalar. Zato lahko preučevanje lastnosti determinante poenostavi preučevanje lastnosti operatorja.

Opredelitev.Skalar l se imenuje lastna vrednost (eigenvalue) in neničelni vektor x– lastni vektor linearnega operatorja A, ki deluje v n- dimenzionalni vektorski prostor L, Če

Če ga obravnavamo kot vektor, je vsak vektor, , kolinearen x, bo lastni vektor z lastno vrednostjo l. Če je lastna vrednost l ustreza dvema vektorjema, x in l, potem bo lastni vektor vsak neničelni vektor oblike . Ker 0-vektor ni lastni vektor, potem množica M vseh lastnih vektorjev operatorja A ni podprostor. če M dopolni z 0-vektorjem, torej M bo postal podprostor. Večkratnost lastna vrednost l imenujemo dimenzija podprostora M; lastna vrednost l klical preprosto , če je njegova množina 1.

telovadba. Poiščite vse lastne vrednosti in vektorje operaterjev nič - O in identično - E. Določite njihovo množino, če linearni operater deluje v n- dimenzionalni linearni prostor.

Izrek VI.1. Družina lastnih vektorjev operatorja A, ki ustreza podobni družini lastnih vrednosti, je linearno neodvisna.

Dokaz. Uporabimo metodo matematična indukcija. Ko je izrek resničen z definiranjem lastnega vektorja, ki je različen od nič.

Naj za katero koli , Na primer za , je izrek resničen, vendar napačen za . Potem, če je sistem vektorjev , , ..., , linearno odvisen, to pomeni, da obstajajo števila , , ki niso vsa enaka 0, na primer velja

Če nanj uporabimo linearni operator A ob upoštevanju (VI.5), dobimo

Če pomnožimo (VI.6) z in odštejemo od (VI.7), imamo

Nastala linearna kombinacija je na podlagi induktivne predpostavke linearno neodvisna, to pomeni, da so vsi koeficienti za enaki 0, vključno z , toda po predpostavki potem , toda potem , kar je nemogoče glede na pogoje izreka . ▼

Posledica. Linearni operator, ki deluje v n-dimenzionalni linearni prostor, ne more imeti več kot n parno različne lastne vrednosti.

Iz definicije lastnega vektorja linearnega operatorja sledi slika in inverzna slika x– kolinearni. To pomeni, da ne deluje vsak linearni operator v linearnem prostoru nad poljem realna števila, ima vsaj en lastni vektor. Na primer, s katero koli rotacijo osi za kot, ki ni večkratnik str, ne bomo dobili kolinearnih vektorjev.

Nadaljujmo z izpeljavo enačbe, ki ji zadoščajo vsi lastni vektorji.

Naj deluje linearni operator n-dimenzionalni realni linearni prostor L in naj bo , , neka baza in končno matrika operatorja A v tej bazi. Linearni operator je degeneriran, če in samo če je njegova matrika degenerirana, tj. Iz tega sklepamo, da mnogoterost l sovpada z napako linearnega operatorja.

Upoštevajte, da če je B kateri koli inverzibilni operator, potem je mogoče pokazati, da

to je, če in samo če , Kje . To pomeni, da so vsi spektralni koncepti (spekter, lastne vrednosti, množica, dimenzija itd.) invariantni glede na zamenjavo A s podobnim operatorjem. Če upoštevamo, da je determinanta po definiciji polinom svojih elementov, dobimo

,

kjer so koeficienti funkcije elementov determinante (ali matrike) in niso odvisni od l. Najvišja stopnja l je vključen le v en člen determinante, sestavljen iz produkta njegovih elementov, ki se nahajajo na glavni diagonali, torej . Tako dobimo polinom

Če razširimo determinanto, imamo

ki se imenuje karakteristični polinom operater A v realnem linearnem prostoru L.

Da bi bilo število lastna vrednost operatorja A Nujno in zadostno je, da zadošča enačbi, to je, da bi bil koren karakterističnega polinoma.

Primer VI.6. Ali je sovpadanje karakterističnih polinomov znak operatorske enakosti?

Lastni vektorji in lastne vrednosti linearnega operaterja

Naj bo A linearni operator iz . Številka je poklicana lastna vrednost operatorja A, če obstaja neničelni vektor, tako da A . V tem primeru se imenuje vektor lastni vektor operatorja A, ki ustreza lastni vrednosti. Množica vseh lastnih vrednosti linearnega operatorja A se imenuje njegova spekter.

Determinanta linearnega operatorja In detA se imenuje det A, kjer je A matrika linearnega operatorja A v poljubni bazi. Polinomski relativni l klical karakteristični polinom operatorja A. Ni odvisno od izbire podlage.

Enačba

klical značilnost(oz stoletja staro) operatorska enačba A.

Po številu l je bila lastna vrednost operatorja A, je nujno in zadostno, da je to število koren karakteristične enačbe (7.7) operatorja A.

Za enaka operater Vse neničelni vektorji prostora so lastni vektorji (z lastno vrednostjo enako ena). Za nič operater Vse neničelni vektorji prostora so lastni vektorji (z lastno vrednostjo enako nič). Najenostavnejšo obliko ima matrika linearnega operatorja, ki ima n linearno neodvisni vektorji.

Izrek 7.2. Za matricoAlinearni operator A je bil v bazi diagonalen, je nujno in zadostno, da so bazni vektorji lastni vektorji tega operatorja.

Vendar ni vsak linearni operator v n-dimenzionalni vektorski prostor ima n linearno neodvisni lastni vektorji. Osnova lastnih vektorjev se običajno imenuje "lastna baza". Naj lastne vrednosti linearni operator A sta različna. Potem so ustrezni lastni vektorji linearno neodvisni. Posledično v tem primeru obstaja "lastna podlaga".

Torej, če ima karakteristični polinom linearnega operatorja A n različne korenine, potem v neki bazi matriko A operator A ima diagonalno obliko.

Pri iskanju lastnih vektorjev linearna transformacija Upoštevati je treba, da so določene do poljubnega faktorja, tj. če je nek vektor lastni vektor, potem je tudi vektor lastni vektor. Tako je dejansko določena prava smer oziroma prava premica, ki ostane nespremenjena pri dani linearni transformaciji.

Karakteristični polinom

je za poljubno kvadratno matriko definiran kot 1) , kjer je identitetna matrika istega reda.

Primer. Za:

Izrek.

Figurativno povedano, koeficient pri dobimo s seštevanjem vseh manjših vrst matrike, zgrajenih na elementih njene glavne diagonale.

Pustiti A- kvadratna realna ali kompleksna matrika n-tega reda. Matrix

s spremenljivko A, ki sprejme katerikoli številčne vrednosti, poklical značilna matrika matrice A. Njegova determinanta

predstavlja polinom v spremenljivki stopnje A p. Ta polinom se imenuje karakteristični polinom matrice A.

Dejstvo, da je karakteristični polinom pravzaprav polinom v spremenljivki A, izhaja neposredno iz definicije determinante. Najvišja stopnja, enaka n, med vsemi členi determinante A - E ima izdelek

Preostali členi determinante ne vsebujejo vsaj dveh matričnih elementov A- A E s spremenljivko A in zato nimajo višje stopnje P - 2. Zato je stopnja polinoma enaka p. Upoštevajte, da produkt (5.9) ne določa le stopnje karakterističnega polinoma, temveč tudi njegova dva člena z višjimi potencami

Prosti člen karakterističnega polinoma sovpada z njegovo vrednostjo pri A = 0 in je enak |A - A E= |L|, tj. determinanta matrike A.

Torej karakteristični polinom matrike A naročilo p ima obliko (glej str.83 in str.55):

Kje Pk- vsota glavnih pomorov A>-tega reda matrike A,še posebej, Pi= ac + «22 + - - +ftnn - vsota elementov glavne diagonale matrike A, imenujemo sled te matrike in jo označujemo s Sp A, str str- determinanta |L| matrice A.

Korenine karakterističnega polinoma |A - ON klical značilne korenine oz značilne številke matrice A. Večkratnost do g karakteristični koren A* v karakterističnem polinomu imenujemo algebrska mnogoterost ta koren. Množica vseh značilnih korenov matrike, v kateri se vsak značilni koren ponovi tolikokrat, kolikor je njegova množina, se imenuje spekter matrike A.Če so vse značilne korenine matrike enostavne (tj. Imajo enotsko mnogokratnost), potem se spekter matrike imenuje. preprosto.

V skladu s formulami Vieta so koeficienti karakterističnega polinoma povezani z značilnimi koreninami na naslednji način:

Iz teh formul sledijo zlasti pogosto uporabljene relacije

Glede na zadnjo enakost ima značilni polinom matrike nič karakterističnih korenin, če in samo če je determinanta te matrike enaka nič, tj. ko je matrica singularna.

Primer 5.5. Izračunajte karakteristični polinom matrike

rešitev. V skladu z definicijo karakterističnega polinoma dobimo:

Če uporabimo formulo (5.10), najprej najdemo

in potem napiši

Metode za izračun karakterističnega polinoma najdete v dodatku na koncu knjige.

Izrek 5.7.Karakteristični polinomi takih matrik sovpadajo.

> Če matrice A in IN podobno, potem za neko nesingularno matriko Q enakost velja IN = Q~ l AQ. torej

Na poljuben polinom

namesto spremenljivke L lahko nadomestite kvadratno matriko A naročilo p. Kot rezultat dobimo matrico P(A) = v A p + a A p ~ 1 --

N----+ a n _ 1 A + a p E, ki se imenuje vrednost polinoma R( L)

pri L = A.Če za dano matriko A enakost je res P(A)= O (vrednost polinoma R( A) z L = A je ničelna matrika), potem A klical matrika, koren polinoma P( A), sam polinom P(A) pa je polinom, ki ga izniči matrika A.

Izrek 5.8. Vsaka kvadratna matrika je koren nekega neničelnega polinoma.

> Množica vseh kvadratnih matrik reda p z elementi s področja Rčez je linearni prostor R dimenzije n 2. V tem linearnem prostoru je vsak sistem, v katerem je vsaj n 2+1 element je linearno odvisen. Zato sistem A str , A str -1 , ..., A, E od p 2 + 1 matrike so linearno odvisne, tj. obstaja tak niz številk ao, od, ..., a str 2 , ki hkrati ne izginejo, tako da enakost

Ta enakost pomeni, da matrika A je koren polinoma

Dokazani izrek dejansko izhaja iz naslednje izjave.

Izrek 5.9 (Hamiltonov izrek - Kaley).

Vsaka kvadratna matrika je koren njenega karakterističnega polinoma.

Preden dokažemo ta izrek, predstavimo koncept X-matrice- matriko, katere elementi so polinomi v spremenljivki A. Vsako A-matriko lahko predstavimo kot polinom v spremenljivki A, katerega koeficienti so kvadratne matrike ustreznega reda. na primer

> Naj A- kvadratna matrika n-tega reda. Razmislite o adjungirani matriki Z na matrico A - E. Njegovi elementi so algebrski dodatki elementi determinante | A - E|, ki so polinomi stopnje, ki ni višja od P- 1. Kot je navedeno zgoraj, matrika Z lahko predstavimo v obliki

kjer je Ci, C2, ..., C p - nekaj numeričnih matrik. Z glavno lastnostjo adjungirane matrike (glej razdelek 3.S, posledica 3.2) imamo:

V tej enačbi zamenjamo matriko C z vsoto (5.11), karakteristični polinom pa z vsoto (5.10). Potem dobimo enakost

Odpiranje oklepajev na obeh straneh enakosti in enačenje koeficientov enake stopinje L, dobimo sistem iz p+ 1 enakosti:

Prvo enakost sistema pomnožimo s A p, drugi - na L p_1 itd., n-e enakost - naprej A, (str+ 1)th enakost - na A° = E:

Pri seštevanju teh enačb na levi strani dobimo ničelno matriko, na desni strani pa izraz

Zato f(A) = 0. ?

5.6. Karakteristični in minimalni polinom

Polinom 92(A) minimalna stopnja, ki ima vodilni koeficient, enako ena, in ga izniči matrika A, klical minimalni polinom ta matrika.

Izrek 5 . 10 . Vsak polinom, ki ga prekliče matrika A, je popolnoma deljiv z minimalnim polinomom te matrike. Zlasti je značilni polinom matrike deljen z njegovim minimalnim polinomom.

O Razdeli polinom R( A) na minimalni polinom 9?(A) z ostankom: R( A) = 99(A) g(A) + g(A), kjer ima polinom g(A) stopnjo manjšo od stopnje 92(A). Zamenjava spremenljivke A z matriko A, dobimo:

Ker P(A)= p(A) = 0 , potem G (A) = 0 . Toda ta enakost je mogoča le, če je polinom g (A) nič. V nasprotnem primeru pride do protislovja pri definiciji minimalnega polinoma. Enakopravnost G = 0 pomeni, da polinom R( A) je popolnoma deljiv z 92(A). ?

Posledica 5 .1 . Vsak koren minimalnega polinoma matrike je koren njegovega karakterističnega polinoma.

O Kot je bilo ugotovljeno v dokazu izreka, je karakteristični polinom /(A) povezan z minimalnim polinomom 92(A) z enakostjo /(A) = 99(A) q(). Iz te enakosti izhaja trditev posledice. ?

Omenimo še nekaj uporabna dejstva(cm. [ 7 ], z. 100 ).

Karakteristični polinom | A - ON matrika A in njen minimalni polinom 92(A) sta povezana z razmerjem

Kje Dn- 1 - največji skupni delilnik vsi minori matrike A - A E, imeti (n - 1 )th red.

Korenine minimalnega polinoma 92(A) so vse različne korenine karakterističnega polinoma | A- A E in če

kjer je 1^ p do ^ t k: k = 1,2

Formula (5.12) vam omogoča, da najdete najmanjši polinom matrike. Spodaj je obravnavan drug način za konstruiranje minimalnega matričnega polinoma (glejte razdelek 6.5).

Primer 5.6. Poiščite najmanjši polinom matrike

rešitev. V prejšnjih primerih za matriko A najden karakteristični polinom A - E= - A 3 + 2 L 2 + L - 2. Splošno največji delilec D2 vsi minori drugega reda matrike

je enako ena, saj so njegovi manjše osebe

medsebojno preprosta. Zato

Primer 5.7. Poiščite karakteristične in minimalne polinome matrik

Rešitev: Za matriko A neposredni izračun determinante najdemo karakteristični polinom

Zapišimo vse minore drugega reda matrike A - A E:

Skupni največji delitelj D2 vseh teh manjših je A - 4. Zato je minimalni polinom matrike A ima obliko:

obvestilo, to D2 mogoče najti drugače. Dejansko, če v matriki A - E nadomestimo A = 4, dobimo matriko

rang G - 1. Posledično so vsi minori drugega reda te matrike enaki nič. To pomeni, da so vsi minori drugega reda matrike A - L E so deljivi z A - 4 in vsi ti minori ne morejo biti deljivi z večjo stopnjo binom A - 4, saj je npr. minor

je deljiva samo s prvo potenco tega binoma. Posledično ?>2 vključuje faktor A -4 na prvo potenco. Drugi množitelji iz | A - A?^1 niso vključeni v?>2, ker na primer pravkar izpisani manjše število drugega reda ni deljivo z njimi. Zato je Dg = A - 4.

Za matrico A2 Tudi z neposrednim izračunom determinante najdemo karakteristični polinom

mladoletniki drugega reda

medsebojno preprosta. Zato D2 = 1 in

Obravnavani primer to dokazuje različne matrice imajo lahko enake značilnosti, vendar različne minimalne polinome.

Glede na to, da so matrike danega linearnega operatorja v različnih bazah podobne in imajo enak karakteristični polinom, je logično, da ta polinom imenujemo karakteristični polinom linearnega operatorja, in njene korenine so karakteristične korenine linearnega operatorja.

Upoštevajte tudi, da je transponirana matrika A T ima enako kot matrika A karakteristični polinomi in karakteristična števila.

Vsak linearni operator nima vsaj enega lastnega vektorja.

Primeri:

1. Kot linearni prostor X vzemite množico vseh polinomov stopnje, manjše ali enake n. Operator diferenciacije je operator, ki deluje od X do X. razen če je konstanta, če, potem. Ta operator nima lastnih vektorjev razen polinomov ničelne stopnje.

2. Operator A, ki deluje v prostoru V 2 - radij vektorjev in vrti vsakega od vektorjev za nek kot, ki je drugačen od p, nima svojih vektorjev v nasprotni smeri urnega kazalca.

Preučimo vprašanje obstoja lastnih vektorjev operatorja.

Najprej izpeljemo enačbo, ki jo izpolnjujejo vse lastne vrednosti l linearnega operaterja, .

Naj bo l lastna vrednost, ki ustreza lastnemu vektorju.

Po definiciji je lastni vektor drugačen od, potem iz enačbe (1) sledi, da je operator degeneriran. to. Lastne vrednosti operatorja A so tisti in samo tisti elementi l polja P, za katere je operator degeneriran.

Naj bo neka baza linearnega prostora X. Naj bo matrika operatorja v tej bazi. Operator je degeneriran, če in samo če je matrika degenerirana, tj. takrat, ko (2).

Pravzaprav je znan naslednji kriterij za nedegeneriranost. Operator A, ki deluje v nekem linearnem prostoru, bo nedegeneriran, če je determinanta matrike tega operatorja drugačna od 0.

Izrek 10: Številke l , ki izpolnjuje enačbo(2),niso odvisne od izbire baze v linearnem prostoru X .

Dokaz: Naj bo v X izbrana druga baza in naj bo matrika linearnega operatorja v bazi f.

Naj bo Q matrika transformacije koordinat iz baze e v bazo f.

Potem, kot je znano, sta matriki istega operatorja povezani z relacijo: , Q je nesingularna matrika, potem:

to. števila l, ki ustrezajo enačbi (2), niso odvisna od izbire baze v linearnem prostoru X.

Vzemimo operator in X dobi osnovo, v kateri je matrika operatorja A videti takole: .

je polinom stopnje m glede na l, tj. lahko zapišemo: .

To je enostavno videti najvišja stopnja l dosežemo le z množenjem elementov glavne diagonale, kar pokaže, da je koeficient pri enak 1.

definicija: Funkcijo (3) imenujemo karakteristični polinom operatorja. Tako je značilen polinom povezan z vsakim linearnim operatorjem A. Velja tudi obratno, da je vsak polinom oblike (3) karakterističen polinom nekega operatorja.

Razmislite - ta matrika definira linearni operator. Naredimo matematiko.

Da bi bil element l polja P lastna vrednost operatorja A, je nujno in dovolj, da je koren karakterističnega polinoma, tj. izpolnjevala enačbo: (4). Enačba (4) se imenuje karakteristična enačba. V nobenem polju P noben polinom s koeficienti iz P nima vsaj 1 korena.

primer: nima korenin v polju R.

definicija: Polje P imenujemo algebraično zaprto, če ima vsak polinom s koeficienti iz polja P vsaj en koren, ki pripada temu polju. Torej, če linearni operator deluje v X nad algebraično zaprtim poljem P, potem ima vsaj en lastni vektor.