V tej temi bomo podrobno govorili o lastnostih nedoločenega integrala in o iskanju samih integralov s pomočjo omenjenih lastnosti. Delali bomo tudi s tabelo nedoločenih integralov. Tukaj predstavljeno gradivo je nadaljevanje teme "Nedoločen integral. Začetek". Iskreno povedano, v testi Redko obstajajo integrali, ki jih je mogoče vzeti z uporabo tipičnih tabel in/ali preprostih lastnosti. Te lastnosti lahko primerjamo z abecedo, katere poznavanje in razumevanje je potrebno za razumevanje mehanizma za reševanje integralov v drugih temah. Pogosto se imenuje integracija z uporabo tabel integralov in lastnosti nedoločenega integrala neposredna integracija.

Kaj hočem doseči: funkcije se spremenijo, vendar formula za iskanje odvoda ostane nespremenjena, za razliko od integrala, za katerega smo že morali navesti dve metodi.

Gremo dalje. Če želite najti odvod $y=x^(-\frac(1)(2))\cdot(1+x^(\frac(1)(4)))^\frac(1)(3)$ vse enako velja za isto formulo $(u\cdot v)"=u"\cdot v+u\cdot v"$, v katero boste morali nadomestiti $u=x^(-\frac(1)(2)) $, $v=( 1+x^(\frac(1)(4)))^\frac(1)(3)$ Toda da bi našli integral $\int x^(-\frac(1)(. 2))\cdot( 1+x^(\frac(1)(4)))^\frac(1)(3) dx$ bo zahtevala uporabo nove metode - Čebiševljevih substitucij.

In končno: za iskanje odvoda funkcije $y=\sin x\cdot\frac(1)(x)$, formula $(u\cdot v)"=u"\cdot v+u\cdot v" $ je spet uporaben, v katerega namesto $\sin x$ in $\frac(1)(x)$ nadomestimo $\int \sin x\cdot\frac(1 )(x) dx$ Natančneje, ni izražena skozi končna številka elementarne funkcije.

Povzemimo: kjer je bila za iskanje odvoda potrebna ena formula, so bile za integral potrebne štiri (in to ni omejitev), - in v zadnji primer integral sploh ni hotel biti lociran. Spremenil funkcijo - potreboval jo je nova metoda integracija. Tukaj imamo večstranske tabele v referenčnih knjigah. Odsotnost splošna metoda(primeren za “ročno” reševanje) vodi do obilice zasebnih metod, ki so uporabne samo za integracijo lastnega, izjemno omejenega razreda funkcij (v nadaljnjih temah bomo te metode podrobneje obravnavali). Čeprav ne morem mimo prisotnosti Rischevega algoritma (svetujem vam, da preberete opis na Wikipediji), je primeren le za programsko obdelavo nedoločenih integralov.

Vprašanje #3

Če pa je teh lastnosti toliko, kako naj se naučim jemati integrale? Z izpeljankami je bilo lažje!

Za človeka je doslej samo ena pot: odločiti se, kako več primerov uporabiti različne tehnike integracije, tako da lahko ob pojavu novega nedoločenega integrala na podlagi svojih izkušenj izberete metodo rešitve zanj. Razumem, da odgovor ni preveč pomirjujoč, a druge poti ni.

Lastnosti nedoločenega integrala

Lastnina št. 1

Odvod nedoločenega integrala je enak integrandu, tj. $\levo(\int f(x) dx\desno)"=f(x)$.

Ta lastnost je povsem naravna, saj sta integral in odvod medsebojno povezana obratne operacije. Na primer, $\left(\int \sin 3x dx\right)"=\sin 3x$, $\left(\int \left(3x^2+\frac(4)(\arccos x)\right) dx \ desno)"=3x^2+\frac(4)(\arccos x)$ in tako naprej.

Nepremičnina št. 2

ne določen integral diferenciala neke funkcije enaka tej funkciji, tj. $\int \mathrm d F(x) =F(x)+C$.

Običajno to lastnino je nekoliko težko zaznati, saj se zdi, da pod integralom ni »nič«. Da bi se temu izognili, lahko navedeno lastnost zapišete takole: $\int 1\mathrm d F(x) =F(x)+C$. Primer uporabe te lastnosti: $\int \mathrm d(3x^2+e^x+4)=3x^2+e^x+4+C$ ali, če želite, v tej obliki: $\int 1\; \mathrm d(3x^2+e^x+4) =3x^2+e^x+4+C$.

Nepremičnina št. 3

Konstantni faktor lahko vzamemo iz integralnega predznaka, tj. $\int a\cdot f(x) dx=a\cdot\int f(x) dx$ (predpostavljamo, da je $a\neq 0$).

Lastnina je precej preprosta in morda ne zahteva komentarjev. Primeri: $\int 3x^5 dx=3\cdot \int x^5 dx$, $\int (2x+4e^(7x)) dx=2\cdot\int(x+2e^(7x))dx $, $\int kx^2dx=k\cdot\int x^2dx$ ($k\neq 0$).

Nepremičnina št. 4

Integral vsote (razlike) dveh funkcij enaka vsoti(razlike) integralov teh funkcij:

$$\int(f_1(x)\pm f_2(x))dx=\int f_1(x)dx\pm\int f_2(x)dx$$

Primeri: $\int(\cos x+x^2)dx=\int \cos xdx+\int x^2 dx$, $\int(e^x - \sin x)dx=\int e^xdx -\ int \sin x dx$.

V standardnih testih se običajno uporabljajo lastnosti št. 3 in št. 4, zato se bomo o njih podrobneje posvetili.

Primer št. 3

Poiščite $\int 3 e^x dx$.

Uporabimo lastnost št. 3 in izločimo konstanto, tj. število $3$, za integralni znak: $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx$. Sedaj pa odprimo tabelo integralov in s substitucijo $u=x$ v formulo št. 4 dobimo: $\int e^x dx=e^x+C$. Iz tega sledi, da je $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx=3e^x+C$. Predvidevam, da bo bralec takoj imel vprašanje, zato bom to vprašanje oblikoval ločeno:

Vprašanje #4

Če je $\int e^x dx=e^x+C$, potem $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx=3\cdot\left(e^x+C\right) =3e^x+3C$! Zakaj so napisali $3e^x+C$ namesto $3e^x+3C$?

Vprašanje je povsem razumno. Bistvo je, da je integralno konstanto (tj. to isto število $C$) mogoče predstaviti v obliki poljubnega izraza: glavno je, da ta izraz "teče skozi" celotno množico realnih števil, tj. spreminjal od $-\infty$ do $+\infty$. Na primer, če $-\infty≤ C ≤ +\infty$, potem je $-\infty≤ \frac(C)(3) ≤ +\infty$, tako da lahko konstanto $C$ predstavimo v obliki $\ frac(C)( 3)$. Zapišemo lahko, da je $\int e^x dx=e^x+\frac(C)(3)$ in nato $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx=3\cdot\left (e^x+\frac(C)(3)\desno)=3e^x+C$. Kot lahko vidite, tukaj ni protislovja, vendar morate biti previdni pri spreminjanju oblike integralne konstante. Na primer, predstavljanje konstante $C$ kot $C^2$ bi bila napaka. Gre za to, da je $C^2 ≥ 0$, tj. $C^2$ se ne spremeni iz $-\infty$ v $+\infty$, ne »teče skozi« vse realna števila. Podobno bi bilo napačno predstaviti konstanto kot $\sin C$, ker $-1≤ \sin C ≤ 1$, tj. $\sin C$ ne "teče" skozi vse vrednosti prava os. V nadaljevanju ne bomo podrobneje razpravljali o tem vprašanju, ampak bomo preprosto zapisali konstanto $C$ za vsak nedoločen integral.

Primer št. 4

Poiščite $\int\left(4\sin x-\frac(17)(x^2+9)-8x^3 \desno)dx$.

Uporabimo lastnost št. 4:

$$\int\left(4\sin x-\frac(17)(x^2+9)-8x^3 \desno) dx=\int 4\sin x dx-\int\frac(17)(x ^2+9)dx-\int8x^3dx$$

Zdaj pa vzemimo konstante (števila) zunaj integralnih predznakov:

$$\int 4\sin x dx-\int\frac(17)(x^2+9)dx-\int8x^3dx=4\int \sin x dx-17\int\frac(dx)(x^ 2+9)-8\int x^3dx$$

V nadaljevanju bomo delali z vsakim dobljenim integralom posebej. Prvi integral, tj. $\int \sin x dx$, zlahka najdete v tabeli integralov pod št. 5. Če nadomestimo $u=x$ v formulo št. 5, dobimo: $\int \sin x dx=-\cos x+C$.

Za iskanje drugega integrala $\int\frac(dx)(x^2+9)$ morate uporabiti formulo št. 11 iz tabele integralov. Če vanj nadomestimo $u=x$ in $a=3$, dobimo: $\int\frac(dx)(x^2+9)=\frac(1)(3)\cdot \arctg\frac(x) (3)+C$.

In končno, da bi našli $\int x^3dx$, uporabimo formulo št. 1 iz tabele in vanjo nadomestimo $u=x$ in $\alpha=3$: $\int x^3dx=\frac(x^ (3 +1))(3+1)+C=\frac(x^4)(4)+C$.

Najdeni so bili vsi integrali, vključeni v izraz $4\int \sin x dx-17\int\frac(dx)(x^2+9)-8\int x^3dx$. Vse kar ostane je, da jih zamenjamo:

$$4\int \sin x dx-17\int\frac(dx)(x^2+9)-8\int x^3dx=4\cdot(-\cos x)-17\cdot\frac(1) (3)\cdot\arctg\frac(x)(3)-8\cdot\frac(x^4)(4)+C=\\ =-4\cdot\cos x-\frac(17)(3) )\cdot\arctg\frac(x)(3)-2\cdot x^4+C.$$

Problem je rešen, odgovor je: $\int\left(4\sin x-\frac(17)(x^2+9)-8x^3 \right)dx=-4\cdot\cos x-\ frac(17 )(3)\cdot\arctg\frac(x)(3)-2\cdot x^4+C$. K tej težavi bom dodal eno majhno opombo:

Samo majhna opomba

Morda nihče ne bo potreboval tega vložka, vendar bom vseeno omenil, da $\frac(1)(x^2+9)\cdot dx=\frac(dx)(x^2+9)$. Tisti. $\int\frac(17)(x^2+9)dx=17\cdot\int\frac(1)(x^2+9)dx=17\cdot\int\frac(dx)(x^2) +9)$.

Poglejmo primer, v katerem s formulo št. 1 iz tabele integralov vstavimo iracionalnosti (z drugimi besedami korenine).

Primer št. 5

Poiščite $\int\left(5\cdot\sqrt(x^4)-\frac(14)(\sqrt(x^6))\right)dx$.

Za začetek bomo naredili enaka dejanja kot v primeru št. 3, in sicer: integral bomo razstavili na dva in premaknili konstante čez znake integralov:

$$\int\left(5\cdot\sqrt(x^4)-\frac(14)(\sqrt(x^6)) \desno)dx=\int\left(5\cdot\sqrt(x^ 4) \desno)dx-\int\frac(14)(\sqrt(x^6)) dx=\\ =5\cdot\int\sqrt(x^4) dx-14\cdot\int\frac( dx)(\sqrt(x^6)) $$

Ker je $\sqrt(x^4)=x^(\frac(4)(7))$, potem $\int\sqrt(x^4) dx=\int x^(\frac(4)(7 ) )dx$. Da bi našli ta integral, uporabimo formulo št. 1 in vanjo nadomestimo $u=x$ in $\alpha=\frac(4)(7)$: $\int x^(\frac(4)(7)) dx=\frac(x^(\frac(4)(7)+1))(\frac(4)(7)+1)+C=\frac(x^(\frac(11)(7)) )(\ frac(11)(7))+C=\frac(7\cdot\sqrt(x^(11)))(11)+C$. Če želite, lahko $\sqrt(x^(11))$ predstavite kot $x\cdot\sqrt(x^(4))$, vendar to ni potrebno.

Pojdimo zdaj k drugemu integralu, tj. $\int\frac(dx)(\sqrt(x^6))$. Ker $\frac(1)(\sqrt(x^6))=\frac(1)(x^(\frac(6)(11)))=x^(-\frac(6)(11) ) $, potem lahko obravnavani integral predstavimo v naslednji obliki: $\int\frac(dx)(\sqrt(x^6))=\int x^(-\frac(6)(11))dx$ . Za iskanje dobljenega integrala uporabimo formulo št. 1 iz tabele integralov in vanjo nadomestimo $u=x$ in $\alpha=-\frac(6)(11)$: $\int x^(-\ frac(6)(11) ))dx=\frac(x^(-\frac(6)(11)+1))(-\frac(6)(11)+1)+C=\frac(x ^(\frac(5) (11)))(\frac(5)(11))+C=\frac(11\cdot\sqrt(x^(5)))(5)+C$.

Če nadomestimo dobljene rezultate, dobimo odgovor:

$$5\cdot\int\sqrt(x^4) dx-14\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(x^6))= 5\cdot\frac(7\cdot\sqrt(x^( 11)))(11)-14\cdot\frac(11\cdot\sqrt(x^(5)))(5)+C= \frac(35\cdot\sqrt(x^(11)))( 11)-\frac(154\cdot\sqrt(x^(5)))(5)+C. $$

Odgovori: $\int\left(5\cdot\sqrt(x^4)-\frac(14)(\sqrt(x^6))\desno)dx=\frac(35\cdot\sqrt(x^(11) )))(11)-\frac(154\cdot\sqrt(x^(5)))(5)+C$.

In končno, vzemimo integral, ki spada pod formulo št. 9 tabele integralov. Primer št. 6, na katerega bomo zdaj prešli, bi lahko rešili tudi drugače, vendar bomo o tem razpravljali v naslednjih temah. Zaenkrat bomo ostali v okvirih uporabe tabele.

Primer št. 6

Poiščite $\int\frac(12)(\sqrt(15-7x^2))dx$.

Najprej naredimo isto operacijo kot prej: premik konstante (število $12$) izven predznaka za integral:

$$ \int\frac(12)(\sqrt(15-7x^2))dx=12\cdot\int\frac(1)(\sqrt(15-7x^2))dx=12\cdot\int \frac(dx)(\sqrt(15-7x^2)) $$

Nastali integral $\int\frac(dx)(\sqrt(15-7x^2))$ je že blizu tabelarnemu $\int\frac(du)(\sqrt(a^2-u^2) )$ (formula št. 9 tabela integralov). Razlika v našem integralu je v tem, da je pred $x^2$ pod korenom koeficient $7$, česar integral tabele ne dovoljuje. Zato se moramo te sedmice znebiti tako, da jo premaknemo čez korenski znak:

$$ 12\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(15-7x^2))=12\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(7\cdot\left(\frac(15)( ) 7)-x^2\desno)))= 12\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(7)\cdot\sqrt(\frac(15)(7)-x^2))=\ frac (12)(\sqrt(7))\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)-x^2)) $$

Če primerjamo integral tabele $\int\frac(du)(\sqrt(a^2-u^2))$ in $\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)- x^ 2))$ postane jasno, da imata enako strukturo. Samo v integralu $\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)-x^2))$ je namesto $u$ $x$ in namesto $a^2$ obstaja $\frac (15)(7)$. No, če $a^2=\frac(15)(7)$, potem $a=\sqrt(\frac(15)(7))$. Zamenjava $u=x$ in $a=\sqrt(\frac(15)(7))$ v formulo $\int\frac(du)(\sqrt(a^2-u^2))=\arcsin \ frac(u)(a)+C$, dobimo naslednji rezultat:

$$ \frac(12)(\sqrt(7))\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)-x^2))= \frac(12)(\sqrt (7))\cdot\arcsin\frac(x)(\sqrt(\frac(15)(7)))+C $$

Če upoštevamo, da $\sqrt(\frac(15)(7))=\frac(\sqrt(15))(\sqrt(7))$, potem lahko rezultat prepišemo brez »trinadstropne ” ulomki:

$$ \frac(12)(\sqrt(7))\cdot\arcsin\frac(x)(\sqrt(\frac(15)(7)))+C=\frac(12)(\sqrt(7) ))\cdot\arcsin\frac(x)(\frac(\sqrt(15))(\sqrt(7)))+C= \frac(12)(\sqrt(7))\cdot\arcsin\frac (\sqrt(7)\;x)(\sqrt(15))+C $$

Problem je rešen, odgovor prejet.

Odgovori: $\int\frac(12)(\sqrt(15-7x^2))dx=\frac(12)(\sqrt(7))\cdot\arcsin\frac(\sqrt(7)\;x) (\sqrt(15))+C$.

Primer št. 7

Poiščite $\int\tg^2xdx$.

Za integracijo trigonometrične funkcije Imamo svoje metode. Vendar pa v v tem primeru Lahko se rešite s poznavanjem preprostih trigonometričnih formul. Ker je $\tg x=\frac(\sin x)(\cos x)$, potem $\left(\tg x\right)^2=\left(\frac(\sin x)(\cos x) \ desno)^2=\frac(\sin^2x)(\cos^2x)$. Če upoštevamo $\sin^2x=1-\cos^2x$, dobimo:

$$ \frac(\sin^2x)(\cos^2x)=\frac(1-\cos^2x)(\cos^2x)=\frac(1)(\cos^2x)-\frac(\ cos^2x)(\cos^2x)=\frac(1)(\cos^2x)-1 $$

Tako je $\int\tg^2xdx=\int\left(\frac(1)(\cos^2x)-1\right)dx$. Če dobljeni integral razširimo na vsoto integralov in uporabimo tabelarične formule, bomo imeli:

$$ \int\left(\frac(1)(\cos^2x)-1\desno)dx=\int\frac(dx)(\cos^2x)-\int 1dx=\tg x-x+C . $$

Odgovori: $\int\tg^2xdx=\tg x-x+C$.

Oprema za pouk: zapiski predavanj.

Kriteriji ocenjevanja

Delovni nalog

1. vaja

Preberite predavanje št. 9

Naloga 2.

Predavanje 9.

nedoločen integral iz te funkcije:

10 .

( dx)" = d ( dx) =f(x) dx

20. Nedoločeni integral diferenciala funkcije je enak tej funkciji in poljubni konstanti:

30. Konstantni faktor lahko vzamemo iz predznaka nedoločenega integrala.

40. Nedoločeni integral algebraične vsote funkcij je enak algebraični vsoti nedoločenih integralov členov funkcij:

50. Če je a konstanta, potem je formula veljavna

Oglejte si vsebino dokumenta
“Tehnika integracije neposredne integracije”

Praktično delo№ 7

Tema: Tehnika integracije. Neposredna integracija

Cilji:

preučiti formule in pravila za izračun nedoločenega integrala

naučite se reševati primere v neposredna integracija

Oprema za pouk: zapiski predavanj.

Kriteriji ocenjevanja

Pravilno opravljene vse delovne naloge se ocenijo z oceno »5«.

ocena »4« je podana za dokončanje naloge 1 in prava odločitev poljubnih deset primerov iz naloge 2.

Ocena »3« je opravljena naloga 1 in pravilno rešenih poljubnih sedem primerov iz naloge 2.

Delovni nalog

1. vaja

Preberite predavanje št. 9

S pomočjo predavanj odgovori na vprašanja in si odgovore zapiši v zvezek:

1. Katere lastnosti nedoločenega integrala poznate?

2. Vpišite osnovne integracijske formule

3. Kateri primeri so možni pri neposredni integraciji?

Naloga 2.

Rešite primere za neodvisna odločitev

Predavanje 9.

Tema: “Nedoločen integral. Neposredna integracija"

Funkcijo F(x) imenujemo antiodpeljava funkcije f(x), če je F "(x) = f(x).

Kaj neprekinjena funkcija f(x) ima neskončen niz antiderivati, ki se med seboj razlikujejo po konstantnem členu.

Splošni izraz F(x) +C imenujemo množico vseh protiodvodov za funkcijo f(x). nedoločen integral iz te funkcije:

dx = F(x) +С, če je d(F(x) +С) = dx

Osnovne lastnosti nedoločenega integrala

1 0 .Odvod nedoločenega integrala je enak integrandu, njegov diferencial pa integrandu:

( dx)" = d ( dx) =f(x) dx

2 0 . Nedoločeni integral diferenciala funkcije je enak tej funkciji in poljubni konstanti:

3 0 . Konstantni faktor lahko vzamemo iz predznaka nedoločenega integrala.

4 0 .Nedoločeni integral algebraične vsote funkcij je enak algebraični vsoti nedoločenih integralov členov funkcij:

+dx

5 0 . Če je a konstanta, potem je formula veljavna

Osnovne formule integracije (tabelarni integrali)

4.

5.

7.

9. = - ctgx + C

12. = arcsin + C

Pri uporabi formul (3), (10). (11) znak absolutna vrednost pišemo samo v primerih, ko ima lahko izraz pod znakom logaritem negativen pomen.

Vsako od formul je enostavno preveriti. Kot rezultat razlikovanja desne strani dobimo integrand.

Neposredna integracija.

Neposredna integracija temelji na neposredno uporabo tabele integralov. Tu se lahko pojavijo naslednji primeri:

1) ta integral je mogoče najti neposredno iz ustreznega integrala tabele;

2) ta integral se po uporabi lastnosti 3 0 in 4 0 reducira na enega ali več tabelarnih integralov;

3) ta integral po elementarni transformacije identitete nad integrandom in uporabo lastnosti 3 0 in 4 0 zmanjšamo na enega ali več tabelarnih integralov.

Primeri.

Na podlagi lastnosti 3 0 stalni faktor 5 vzamemo iz znaka integrala in z uporabo formule 1 dobimo

rešitev. Z uporabo lastnosti 3 0 in formule 2 dobimo

6

rešitev. Z uporabo lastnosti 3 0 in 4 0 ter formul 1 in 2 imamo

X + 3) = 4 + 12 = 4 - 4 + 12x + C = + 12x + C

Integracijska konstanta C je enaka algebraični vsoti treh integracijskih konstant, saj ima vsak integral svojo poljubno konstanto (C 1 – C 2 + C 3 = C)

rešitev. Kvadriranje in integracija vsakega izraza, imamo

Uporaba trigonometrična formula 1 + ctg 2 x =

= = - ctgx – x + C

rešitev. Če odštejemo in dodamo številko 9 števcu integranda, dobimo

= = + = - =

X + 9 + C = - x +

Primeri za samoreševanje

Ocenite integrale z neposredno integracijo:

Spremljanje znanja učencev:

preverjanje praktičnega dela;

Zahteve za registracijo praktično delo:

Naloga mora biti izpolnjena v zvezku za praktično delo

Oddajte delo po pouku

Ker bomo zdaj govorili samo o nedoločenem integralu, bomo zaradi jedrnatosti izraz "nedoločen" izpustili.

Da bi se naučili izračunati integrale (ali, kot pravijo, integrirati funkcije), se morate najprej naučiti tabele integralov:

Tabela 1. Tabela integralov

Poleg tega boste potrebovali sposobnost izračunavanja derivata dano funkcijo, kar pomeni, da si morate zapomniti pravila diferenciacije in tabelo odvodov osnovnih elementarnih funkcij:

Tabela 2. Tabela izpeljank in pravil razlikovanja:

6.a .

(greh in) = cos in  in (ker u) = – greh in in

Potrebujemo tudi sposobnost iskanja diferenciala funkcije. Spomnimo se, da je diferencial funkcije
najdi po formuli
, tj. diferencial funkcije je enak zmnožku odvoda te funkcije in diferenciala njenega argumenta. Koristno je upoštevati naslednja znana razmerja:

Tabela 3. Diferencialna tabela

Poleg tega lahko te formule uporabljate tako, da jih berete od leve proti desni ali od desne proti levi.

Zaporedoma razmislimo o treh glavnih metodah izračuna integrala. Prvi izmed njih se imenuje z metodo neposredne integracije. Temelji na uporabi lastnosti nedoločenega integrala in vključuje dve glavni tehniki: razširitev integrala v algebraična vsota preprostejši in pripisovanje diferencialnemu predznaku, te tehnike pa se lahko uporabljajo samostojno in v kombinaciji.

A) Razmislimo algebraično razširjanje vsote– ta tehnika vključuje uporabo identičnih transformacij integranda in lastnosti linearnosti nedoločenega integrala:
in.

Primer 1. Poišči integrale:

A)
; b)
;

V)
G)

d)
.

rešitev.

A)Pretvorimo integrand tako, da števec delimo z imenovalcem člen za členom:

Tukaj se uporablja lastnost potenc:
.

b) Najprej preoblikujte števec ulomka, nato pa števec člen za členom delite z imenovalcem:

Tukaj se uporablja tudi lastnost stopinj:
.

Tukaj uporabljena lastnina je:
,
.

.

Tu sta uporabljeni formuli 2 in 5 iz tabele 1.

Primer 2. Poišči integrale:

A)
; b)
;

V)
G)

d)
.

rešitev.

A)Pretvorimo integrand z uporabo trigonometrične identitete:

.

Tukaj ponovno uporabimo počlensko deljenje števca z imenovalcem ter formuli 8 in 9 tabele 1.

b) Podobno preoblikujemo z uporabo identitete
:

.

c) Najprej delite števec člen za členom z imenovalcem in odvzemite konstante iz integralnega predznaka, nato uporabite trigonometrično istovetnost
:

d) Uporabite formulo za zmanjšanje stopnje:

,

e) S trigonometričnimi identitetami transformiramo:

B) Oglejmo si integracijsko tehniko, ki se imenuje p tako da ga postavimo pod diferencialni znak. Ta tehnika temelji na lastnosti invariantnosti nedoločenega integrala:

če
, potem za katero koli diferenciabilno funkcijo in=in(X) se pojavi:
.

Ta lastnost nam omogoča znatno razširitev tabele preprostih integralov, saj zaradi te lastnosti formule v tabeli 1 ne veljajo le za neodvisno spremenljivko in, temveč tudi v primeru, ko in je diferenciacijska funkcija neke druge spremenljivke.

na primer
, ampak tudi
, In
, In
.

oz
in
, In
.

Bistvo metode je izolirati diferencial določene funkcije v danem integrandu tako, da ta izolirani diferencial skupaj s preostalim delom izraza tvori tabelarično formulo za to funkcijo. Po potrebi lahko med takšno pretvorbo ustrezno dodamo konstante. Na primer:

(v zadnjem primeru zapisano ln(3 + x 2) namesto ln|3 + x 2 | , ker je izraz 3 + x 2 je vedno pozitiven).

Primer 3. Poišči integrale:

A)
; b)
; V)
;

G)
; d)
; e)
;

in)
; h)
.

rešitev.

A).

Tukaj so uporabljene formule 2a, 5a in 7a iz tabele 1, od katerih sta zadnji dve dobljeni natančno z vključitvijo diferencialnega predznaka:

Integrirajte funkcije pogleda
se zelo pogosto pojavlja v okviru računanja integralov kompleksnejših funkcij. Da ne boste vsakič ponavljali zgoraj opisanih korakov, vam priporočamo, da si zapomnite ustrezne formule v tabeli 1.

.

Tukaj je uporabljena formula 3 iz tabele 1.

c) Podobno, ob upoštevanju, da transformiramo:

.

Tukaj je uporabljena formula 2c v tabeli 1.

G)

.

d) ;

e)

.

in) ;

h)

.

Primer 4. Poišči integrale:

A)
b)

V)
.

rešitev.

a) Pretvorba:

Tukaj se uporablja tudi formula 3 iz tabele 1.

b) Uporabimo formulo za redukcijo stopnje
:

Tukaj sta uporabljeni formuli 2a in 7a tabele 1.

Tukaj se poleg formula 2 in 8 tabele 1 uporabljajo tudi formule tabele 3:
,
.

Primer 5. Poišči integrale:

A)
; b)

V)
; G)
.

rešitev.

a) Delo
se lahko dopolni (glej formuli 4 in 5 v tabeli 3) na diferencial funkcije
, Kje A in b– vse konstante,
. Res, od kje
.

Potem imamo:

.

b) Z uporabo formule 6 iz tabele 3 imamo
, in
, kar pomeni prisotnost v integrandu produkta
pomeni namig: pod diferencialno oznako morate vnesti izraz
. Zato dobimo

c) Enako kot v točki b), produkt
se lahko razširi na diferencialne funkcije
. Potem dobimo:

.

d) Najprej uporabimo lastnosti linearnosti integrala:

Primer 6. Poišči integrale:

A)
; b)
;

V)
; G)
.

rešitev.

A)Glede na to
(formula 9 tabele 3), transformiramo:

b) Z uporabo formule 12 iz tabele 3 dobimo

c) Ob upoštevanju formule 11 tabele 3 transformiramo

d) Z uporabo formule 16 tabele 3 dobimo:

.

Primer 7. Poišči integrale:

A)
; b)
;

V)
; G)
.

rešitev.

A)Vsi integrali, predstavljeni v tem primeru, imajo skupno lastnost: Integrand vsebuje kvadratni trinom. Zato bo metoda izračuna teh integralov temeljila na enaki transformaciji - poudarjanju polni kvadrat v tem kvadratnem trinomu.

.

b)

.

V)

G)

Metoda zamenjave diferencialnega predznaka je ustna izvedba bolj splošne metode izračuna integrala, imenovane metoda zamenjave ali spremembe spremenljivke. Dejansko smo vsakič, ko smo izbrali primerno formulo v tabeli 1 za tisto, ki smo jo dobili kot rezultat subsumiranja diferencialnega znaka funkcije, miselno zamenjali črko in funkcija, uvedena pod diferencialnim znakom. Torej, če integracija z vključitvijo diferencialnega predznaka ne deluje dobro, lahko spremenljivko neposredno spremenite. Več podrobnosti o tem v naslednjem odstavku.

Metoda neposredne integracije temelji na transformaciji funkcije integranda, uporabi lastnosti nedoločenega integrala in redukciji izraza integranda v tabelarično obliko.

Na primer:

Pregled

Pregled

2. Metoda zamenjave (zamenjava spremenljivke)

Ta metoda temelji na uvedbi nove spremenljivke. Naredimo zamenjavo v integralu:

;

Zato dobimo:

Na primer:

1)

Pregled:

2)

Pregled(na podlagi lastnosti št. 2 nedoločenega integrala):

Integriran kos za kosom

Pustiti u in v - diferenciabilne funkcije. Razkrijmo razliko produkta teh funkcij:

,

kje

Integrirajmo nastali izraz:

Na primer:

Pregled(na podlagi lastnosti št. 1 nedoločenega integrala):

2)

Odločimo se

Pregled(na podlagi lastnosti št. 1 nedoločenega integrala):

PRAKTIČNI DEL

Težave za reševanje doma

Poišči integral:

A) ; e) ;

V) ; h)

G) ; in)

d) ; Za)

A) ; e) ;

V) ; h) ;

d) ; Za) .

A) ; V) ; d)

b) ; G) ; e)

Težave, ki jih je treba rešiti na praktične vaje:

I. Metoda neposredne integracije

A) ; in) ;

b) ; h) ;

V) ; in)

G) ; Za)

e) ; m)

II. Metoda zamenjave (zamenjava spremenljivke)

G) ; Za) ;

d) ; l) ;

III. Metoda integracije po delih

TEMA št. 4

DOLOČEN INTEGRAL

Pri matematičnih izračunih je pogosto treba najti prirastek antiderivativna funkcija ko se njegov argument spremeni v določenih mejah. Ta problem je treba rešiti pri izračunu površin in prostornin različnih figur, pri določanju povprečne vrednosti funkcije, pri izračunu dela. spremenljiva sila. Te težave je mogoče rešiti z izračunom ustreznih določenih integralov.

Namen lekcije:

1. Naučite se izračunati določen integral z uporabo Newton-Leibnizove formule.

2. Znati uporabiti koncept določenega integrala za reševanje uporabnih problemov.

TEORETIČNI DEL

POJEM DOLOČENEGA INTEGRALA IN NJEGOV GEOMETRIJSKI POMEN

Razmislite o problemu iskanja območja ukrivljen trapez.

Naj bo podana neka funkcija y=f(x), katerega graf je prikazan na sliki.

Slika 1. Geometrijski pomen določen integral.

Na osi 0x izberite točke “a" in "V" in obnovite pravokotnice od njih, dokler se ne presekajo s krivuljo. Lik, omejen s krivuljo, navpičnicami in osjo 0x imenujemo ukrivljeni trapez. Interval razdelimo na več majhnih segmentov. Izberimo poljuben segment. Zgradimo ukrivljeni trapez, ki ustreza temu segmentu v pravokotnik. Območje takšnega pravokotnika je določeno kot:

Potem bo površina vseh zaključenih pravokotnikov v intervalu enaka:

;

Če je vsak od segmentov dovolj majhen in se nagiba k ničli, se bo skupna površina pravokotnikov nagibala k površini ukrivljenega trapeza:

;

Torej se problem izračuna površine krivolinijskega trapeza zmanjša na določitev meje vsote.

Integralna vsota je vsota produktov prirastka argumenta in vrednosti funkcije f(x) , vzeto na neki točki v intervalu, znotraj katerega meja se spreminja argument. Matematično gledano problem iskanja meje integralne vsote, če se prirastek neodvisne spremenljivke nagiba k ničli, vodi do koncepta določenega integrala.

funkcija f(x ) v nekem intervalu od x=a prej x=b integrabilno, če obstaja število, h kateremu teži integralna vsota Dх®0 . V tem primeru številka J klical določen integral funkcije f(x) v intervalu:

;

Kje ] a, c[ – področje integracije,

A-nižje meja integracije,

V– zgornja meja integracije.

Tako je z vidika geometrije določen integral območje figure, omejeno z urnikom deluje v določenem intervalu] a, c [ in x-os.