Nxënësit gjithmonë pyesin: “Pse nuk mund të përdor një makinë llogaritëse në provimin e matematikës? Si të nxjerrim rrënjën katrore të një numri pa kalkulator? Le të përpiqemi t'i përgjigjemi kësaj pyetjeje.
Si të nxjerrim rrënjën katrore të një numri pa ndihmën e një kalkulatori?
Veprimi rrënjë katrore anasjelltas me veprimin e katrorit.
√81= 9 9 2 =81
Nëse merrni rrënjën katrore të një numri pozitiv dhe katrorin e rezultatit, merrni të njëjtin numër.
E numrave të vegjël që janë katrorë të përsosur numrat natyrorë, për shembull 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100 rrënjë katrore mund të nxirren me gojë. Zakonisht në shkollë ata mësojnë një tabelë me katrorë të numrave natyrorë deri në njëzet. Duke ditur këtë tabelë, është e lehtë të nxirrni rrënjë katrore nga numrat 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Nga numrat më të mëdhenj se 400 mund t'i nxirrni duke përdorur metodën e përzgjedhjes duke përdorur disa këshilla. Le të përpiqemi ta shikojmë këtë metodë me një shembull.
Shembull: Nxjerr rrënjën e numrit 676.
Vëmë re se 20 2 = 400, dhe 30 2 = 900, që do të thotë 20< √676 < 900.
katrorët e saktë të numrave natyrorë përfundojnë me 0; 1; 4; 5; 6; 9.
Numri 6 jepet nga 4 2 dhe 6 2.
Kjo do të thotë që nëse rrënja merret nga 676, atëherë është ose 24 ose 26.
Mbetet për të kontrolluar: 24 2 = 576, 26 2 = 676.
Përgjigje: √676 = 26 .
Më shumë shembull: √6889 .
Meqenëse 80 2 = 6400, dhe 90 2 = 8100, atëherë 80< √6889 < 90.
Numri 9 jepet nga 3 2 dhe 7 2, atëherë √6889 është i barabartë me 83 ose 87.
Le të kontrollojmë: 83 2 = 6889.
Përgjigje: √6889 = 83 .
Nëse e keni të vështirë ta zgjidhni duke përdorur metodën e përzgjedhjes, mund të faktorizoni shprehjen radikale.
Për shembull, gjeni √893025.
Le të faktorizojmë numrin 893025, mbani mend, ju e keni bërë këtë në klasën e gjashtë.
Ne marrim: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.
Më shumë shembull: √20736. Le të faktorizojmë numrin 20736:
Ne marrim √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.
Natyrisht, faktorizimi kërkon njohuri për shenjat e pjesëtueshmërisë dhe aftësitë e faktorizimit.
Dhe së fundi, ka Rregulli për nxjerrjen e rrënjëve katrore. Le të njihemi me këtë rregull me shembuj.
Llogaritni √279841.
Për të nxjerrë rrënjën e një numri të plotë shumëshifror, ne e ndajmë atë nga e djathta në të majtë në faqe që përmbajnë 2 shifra (skaji më i majtë mund të përmbajë një shifër). E shkruajmë kështu: 27’98’41
Për të marrë shifrën e parë të rrënjës (5), marrim rrënjën katrore të katrorit më të madh të përsosur që gjendet në faqen e parë në të majtë (27).
Pastaj katrori i shifrës së parë të rrënjës (25) i zbritet faqes së parë dhe faqes tjetër (98) i shtohet diferencës (i zbritet).
Në të majtë të numrit që rezulton 298, shkruani dyshifrorët e rrënjës (10), pjesëtoni me të numrin e të gjitha dhjetërave të numrit të marrë më parë (29/2 ≈ 2), provoni herësin (102 ∙ 2 = 204 duhet të jetë jo më shumë se 298) dhe shkruani (2) pas shifrës së parë të rrënjës.
Pastaj herësi që rezulton 204 zbritet nga 298 dhe skaji tjetër (41) i shtohet diferencës (94).
Në të majtë të numrit që rezulton 9441, shkruani produktin e dyfishtë të shifrave të rrënjës (52 ∙2 = 104), pjesëtoni numrin e të gjitha dhjetësheve të numrit 9441 (944/104 ≈ 9) me këtë produkt, provoni herësi (1049 ∙9 = 9441) duhet të jetë 9441 dhe shënojeni atë (9) pas shifrës së dytë të rrënjës.
Morëm përgjigjen √279841 = 529.
Ekstraktoni në mënyrë të ngjashme rrënjët e thyesave dhjetore. Vetëm numër radikalështë e nevojshme të thyhet në skajet në mënyrë që presja të jetë midis skajeve.
Shembull. Gjeni vlerën √0.00956484.
Thjesht duhet të mbani mend se nëse dhjetore ka numër tek numra dhjetore, rrënja katrore nuk mund të nxirret prej saj saktësisht.
Pra, tani keni parë tre mënyra për të nxjerrë rrënjën. Zgjidhni atë që ju përshtatet më shumë dhe praktikoni. Për të mësuar të zgjidhni problemet, duhet t'i zgjidhni ato. Dhe nëse keni ndonjë pyetje, regjistrohu për mësimet e mia.
faqe interneti, kur kopjoni materialin plotësisht ose pjesërisht, kërkohet një lidhje me burimin.
Sheshi truall katror toka eshte 81 dm². Gjeni anën e tij. Supozoni se gjatësia e anës së katrorit është X decimetra. Atëherë sipërfaqja e parcelës është X² decimetra katrore. Meqenëse, sipas gjendjes, kjo sipërfaqe është e barabartë me 81 dm², atëherë X² = 81. Gjatësia e brinjës së katrorit është një numër pozitiv. Një numër pozitiv katrori i të cilit është 81 është numri 9. Gjatë zgjidhjes së problemit, ishte e nevojshme të gjendej numri x katrori i të cilit është 81, d.m.th. të zgjidhej ekuacioni X² = 81. Ky ekuacion ka dy rrënjë: x 1 = 9 dhe x 2 = - 9, pasi 9² = 81 dhe (- 9)² = 81. Të dy numrat 9 dhe - 9 quhen rrënjë katrore të 81.
Vini re se një nga rrënjë katrore X= 9 është numër pozitiv. Ajo quhet rrënja katrore aritmetike e 81 dhe shënohet √81, pra √81 = 9.
Rrënja katrore aritmetike e një numri Aështë një numër jo negativ katrori i të cilit është i barabartë me A.
Për shembull, numrat 6 dhe - 6 janë rrënjë katrore të numrit 36. Megjithatë, numri 6 është një rrënjë katrore aritmetike prej 36, pasi 6 është një numër jo negativ dhe 6² = 36. Numri - 6 nuk është një rrënjë aritmetike.
Rrënja katrore aritmetike e një numri A shënohet si më poshtë: √ A.
Shenja quhet shenja aritmetike e rrënjës katrore; A- quhet shprehje radikale. Shprehja √ A lexoni si kjo: rrënja katrore aritmetike e një numri A. Për shembull, √36 = 6, √0 = 0, √0.49 = 0.7. Në rastet kur është e qartë se po flasim për për një rrënjë aritmetike thonë shkurt: “rrënja katrore e A«.
Akti i gjetjes së rrënjës katrore të një numri quhet rrënjosje katrore. Ky veprim është e kundërta e katrorit.
Mund të katrorësh çdo numër, por nuk mund të nxjerrësh rrënjë katrore nga asnjë numër. Për shembull, është e pamundur të nxjerrësh rrënjën katrore të numrit - 4. Nëse një rrënjë e tillë ekzistonte, atëherë, duke e treguar atë me shkronjën X, do të merrnim barazinë e gabuar x² = - 4, pasi ka një numër jo negativ në të majtë dhe një numër negativ në të djathtë.
Shprehja √ A ka kuptim vetëm kur a ≥ 0. Përkufizimi i rrënjës katrore mund të shkruhet shkurt si: √ a ≥ 0, (√A)² = A. Barazia (√ A)² = A e vlefshme për a ≥ 0. Kështu, për të siguruar që rrënja katrore e një numri jo negativ A barazohet b, pra në faktin se √ A =b, duhet të kontrolloni nëse plotësohen dy kushtet e mëposhtme: b ≥ 0, b² = A.
Rrënja katrore e një thyese
Le të llogarisim. Vini re se √25 = 5, √36 = 6, dhe le të kontrollojmë nëse barazia vlen.
Sepse 
dhe , atëherë barazia është e vërtetë. Pra, 
.
Teorema: Nëse A≥ 0 dhe b> 0, pra rrënja e thyesës e barabartë me rrënjën nga numëruesi i pjesëtuar me rrënjën e emëruesit. Kërkohet të vërtetohet se: dhe 
.
Që nga √ A≥0 dhe √ b> 0, pastaj.
Mbi vetinë e ngritjes së një thyese në një fuqi dhe përkufizimin e një rrënjë katrore 
vërtetohet teorema. Le të shohim disa shembuj.
Llogaritni duke përdorur teoremën e provuar 
.
Shembulli i dytë: Vërtetoni këtë 
, Nëse A ≤ 0, b < 0. 
.
Një shembull tjetër: Llogarit .
.
Konvertimi i rrënjës katrore
Heqja e shumëzuesit nën shenjën e rrënjës. Le të jepet shprehja. Nëse A≥ 0 dhe b≥ 0, atëherë duke përdorur teoremën e rrënjës së produktit mund të shkruajmë:
Ky transformim quhet heqja e faktorit nga shenja rrënjësore. Le të shohim një shembull;
Llogaritni në X= 2. Zëvendësim i drejtpërdrejtë X= 2 në shprehjen radikale çon në llogaritjet komplekse. Këto llogaritje mund të thjeshtohen nëse së pari hiqni faktorët nga nën shenjën e rrënjës: . Duke zëvendësuar tani x = 2, marrim:.
Pra, kur hiqni një faktor nga nën shenjën e rrënjës, përfaqësoni shprehjen radikale në formën e një produkti në të cilin një ose më shumë faktorë janë katrorë. numrat jonegativë. Më pas aplikoni teoremën e rrënjës së produktit dhe merrni rrënjën e secilit faktor. Le të shqyrtojmë një shembull: Thjeshtoni shprehjen A = √8 + √18 - 4√2 duke i hequr faktorët në dy termat e parë nga nën shenjën e rrënjës, marrim:. Le të theksojmë atë barazi 
e vlefshme vetëm për A≥ 0 dhe b≥ 0. nëse A < 0, то .
Ngritja e një numri në një fuqi është një formë e shkurtuar e shkrimit të veprimit të shumëzimit të shumëfishtë, në të cilin të gjithë faktorët janë të barabartë me numrin origjinal. Dhe nxjerrja e rrënjës do të thotë operacion i kundërt- përcaktimi i shumëzuesit që duhet të përfshihet në operacionin e shumëzimit të shumëfishtë në mënyrë që rezultati të jetë një numër radikal. Si eksponenti ashtu edhe eksponenti rrënjë tregojnë të njëjtën gjë - sa faktorë duhet të ketë në një operacion të tillë shumëzimi.
Do t'ju duhet
- Qasje në internet.
Udhëzimet
- Nëse keni nevojë të aplikoni si veprimin e nxjerrjes së rrënjës ashtu edhe ngritjen e saj në një fuqi të një numri ose shprehjeje, zvogëloni të dy operacionet në një - ngritjen në një fuqi me një eksponent thyesor. Numëruesi i thyesës duhet të përmbajë një eksponent, dhe emëruesi duhet të përmbajë një rrënjë. Për shembull, nëse keni nevojë për katrorë një kub rrënjë, atëherë këto dy operacione do të jenë ekuivalente me një duke ngritur një numër në fuqinë ⅔.
- Nëse kushtet kërkojnë katror rrënjë me një eksponent të barabartë me dy, kjo nuk është një detyrë llogaritëse, por një test i njohurive tuaja. Përdorni metodën nga hapi i parë dhe do të merrni thyesën 2/2, d.m.th. 1. Kjo do të thotë se rezultati i katrorit të rrënjës katrore të çdo numri do të jetë vetë ai numër.
- Sheshi nëse është e nevojshme rrënjë me një eksponent çift, ekziston gjithmonë mundësia e thjeshtimit të operacionit. Që nga dy (numëruesi) tregues i pjesshëm gradë) dhe çdo numër çift (emëruesi) është pjesëtues i përbashkët, atëherë pas thjeshtimit të thyesës, një do të mbetet në numërues, që do të thotë se nuk është e nevojshme të ngrihet në një fuqi në llogaritje, mjafton të nxirret rrënjë me gjysmën e eksponentit. Për shembull, kuadrimi i rrënjës së gjashtë të tetës mund të reduktohet në nxjerrje rrënjë kubike, sepse 2/6=1/3.
- Për të llogaritur rezultatin për çdo eksponent të rrënjës, përdorni, për shembull, kalkulatorin e integruar motor kërkimi Google. Kjo është ndoshta më mënyrë e lehtë llogaritjet nëse keni akses në internet nga kompjuteri juaj. Një zëvendësues i pranuar përgjithësisht për shenjën e veprimit të fuqisë është ky "kapak": ^. Përdoreni atë kur futni një pyetje kërkimi në Google. Për shembull, nëse doni të vini në shesh rrënjë fuqia e pestë nga numri 750, formuloni pyetjen si më poshtë: 750^(2/5). Pas futjes së tij, motori i kërkimit, edhe pa shtypur butonin dërgoni në server, do të tregojë rezultatin e llogaritjes me saktësi në shtatë shifra dhjetore: 750^(2 / 5) = 14.1261725.
Formulat rrënjësore. Vetitë e rrënjëve katrore.
Kujdes!
Ka shtesë
materialet në Seksionin Special 555.
Për ata që janë shumë "jo shumë..."
Dhe për ata që "shumë ...")
Në mësimin e mëparshëm kuptuam se çfarë është rrënja katrore. Është koha për të kuptuar se cilat ekzistojnë formula për rrënjëtçfarë janë vetitë e rrënjëve, dhe çfarë mund të bëhet me gjithë këtë.
Formulat e rrënjëve, vetitë e rrënjëve dhe rregullat për të punuar me rrënjët- kjo është në thelb e njëjta gjë. Ka çuditërisht pak formula për rrënjët katrore. E cila sigurisht më bën të lumtur! Ose më mirë, mund të shkruani shumë formula të ndryshme, por për punë praktike dhe të sigurt me rrënjët, mjaftojnë vetëm tre. Gjithçka tjetër rrjedh nga këto të treja. Edhe pse shumë njerëz ngatërrohen në tre formulat rrënjësore, po...
Le të fillojmë me më të thjeshtën. Këtu është:
Nëse ju pëlqen kjo faqe...
Nga rruga, unë kam disa faqe më interesante për ju.)
Ju mund të praktikoni zgjidhjen e shembujve dhe të zbuloni nivelin tuaj. Testimi me verifikim të menjëhershëm. Le të mësojmë - me interes!)
Mund të njiheni me funksionet dhe derivatet.
