Në klasën e 7-të kemi studiuar funksionet y = C, y = kx, y = kx + m, y = x 2 dhe përfundimisht arriti në përfundimin se ekuacioni me dy variablat e formës y = f(x) (funksioni) ka një model matematikor të përshtatshëm për vendosje kuptim specifik ndryshorja e pavarur x (argumenti), njehso atë përkatëse

vlerën përkatëse të ndryshores së varur y. Për shembull, nëse është dhënë funksioni y = x 2, d.m.th. f(x) = x 2, pastaj për x = 1 marrim y = 1 2 = 1; Shkurt, shkruhet kështu: f(1) = 1. Për x = 2 marrim f(2) = 2 2 = 4, pra y = 4; për x = - 3 marrim f(- 3) = (- 3) 2 = 9, d.m.th. y = 9, etj.

Tashmë në klasën e 7-të, ju dhe unë filluam të kuptojmë se në barazinë y = f(x) anën e djathtë, d.m.th. shprehja f(x) nuk kufizohet në katër rastet e listuara më sipër (C, kx, kx + m, x 2).
Për shembull, ne jemi takuar tashmë funksionet pjesë-pjesë, pra funksionet e specifikuara formula të ndryshme në intervale të ndryshme. Këtu është një funksion i tillë:

y = f(x), ku

A ju kujtohet se si të grafikoni funksione të tilla? Së pari ju duhet të ndërtoni një parabolë y = x 2 dhe të merrni pjesën e saj në x< 0 (левая ветвь параболы, рис. 1), затем надо построить прямую у = 2х и взять ее часть при х >0 (Fig. 2). Dhe së fundi, ju duhet të kombinoni të dy pjesët e zgjedhura në një vizatim, d.m.th. të ndërtoni mbi një rrafshi koordinativ(shih Fig. 3).

Tani detyra jonë është si vijon: të plotësojmë stokun e funksioneve të studiuara. NË jeta reale ka procese të përshkruara nga të ndryshme modele matematikore të formës y = f(x), jo vetëm ato që renditëm më sipër. Në këtë seksion do të shqyrtojmë funksionin y = kx 2, ku koeficienti k është çdo numër jozero.

Në fakt, funksioni y = kx 2 në një rast është pak i njohur për ju. Shikoni: nëse k = 1, atëherë marrim y = x 2; Ju e keni studiuar këtë funksion në klasën e 7-të dhe ndoshta mbani mend se grafiku i tij është një parabolë (Fig. 1). Le të diskutojmë se çfarë ndodh me vlerat e tjera të koeficientit k.
Konsideroni dy funksione: y = 2x 2 dhe y = 0,5x 2. Le të bëjmë një tabelë vlerash për funksionin e parë y = 2x 2:

Le të ndërtojmë pikat (0; 0), (1; 2), (-1; 2), (2; 8), (-2; 8), (1.5; 4.5), (-1.5; 4,5) në planin koordinativ (Fig. 4); ata përvijojnë një vijë të caktuar, le ta vizatojmë atë

(Fig. 5).
Le të bëjmë një tabelë vlerash për funksionin e dytë y = 0.5x 2:

Le të ndërtojmë pikat (0; 0), (1; 0.5), (-1; 0.5), (2; 2), (-2; 2), C; 4.5), (-3; 4.5) në planin koordinativ (Fig. 6); ata përshkruajnë një vijë të caktuar, le ta vizatojmë atë (Fig. 7)

.

Pikat e paraqitura në Fig. 4 dhe 6 nganjëherë quhen pika kontrolli për grafikun e funksionit përkatës.

Krahasoni figurat 1, 5 dhe 7. A nuk është e vërtetë që vijat e vizatuara janë të ngjashme? Secila prej tyre quhet parabolë; në këtë rast, pika (0; 0) quhet kulm i parabolës, dhe boshti y është boshti i simetrisë së parabolës. "Shpejtësia e lëvizjes lart" e degëve të parabolës varet nga vlera e koeficientit k, ose, siç thonë ata gjithashtu,
"shkalla e pjerrësisë" e një parabole. Kjo është qartë e dukshme në Fig. 8, ku të tre parabolat e ndërtuara më sipër ndodhen në të njëjtin plan koordinativ.

Situata është saktësisht e njëjtë me çdo funksion tjetër të formës y = kx 2, ku k > 0. Grafiku i saj është një parabolë me një kulm në fillim, degët e parabolës janë të drejtuara lart dhe sa më pjerrët koeficient më të lartë k. Boshti y është boshti i simetrisë së parabolës. Nga rruga, për hir të shkurtësisë, matematikanët shpesh thonë "parabola y = kx 2" në vend të frazës së gjatë "parabola që shërben si grafik i funksionit y = kx 2", dhe në vend të termit "boshti i simetrisë së një parabolë” ata përdorin termin “bosht i parabolës”.

A vini re se ka një analogji me funksionin y = kx? Nëse k > 0, atëherë grafiku i funksionit y = kx është një drejtëz që kalon nga origjina e koordinatave (kujtoni, ne thamë shkurt: drejtëz y = kx), dhe këtu, gjithashtu, "shkalla e pjerrësisë" e drejtëza varet nga vlera e koeficientit k. Kjo është qartë e dukshme në
oriz. 9, ku grafikët tregohen në një sistem koordinativ funksionet lineare y = kx për tre vlera koeficienti

Le të kthehemi te funksioni y = kx 2. Le të zbulojmë se si qëndrojnë gjërat në rastin e një koeficienti negativ ft. Le të ndërtojmë, për shembull, një grafik të funksionit

y = - x 2 (këtu k = - 1). Le të krijojmë një tabelë vlerash:

Shënoni pikët (0; 0), (1; -1), (-1; -1), (2; -4), (-2; -4), (3; -9), (- 3; - 9) në planin koordinativ (Fig. 10); ata përvijojnë një vijë të caktuar, le ta vizatojmë atë (Fig. 11). Kjo është një parabolë me kulmin e saj në pikën (0; 0), boshti y është boshti i simetrisë, por ndryshe nga rasti kur k > 0, këtë herë degët e parabolës janë të drejtuara poshtë. Situata është e ngjashme për të tjerët vlerat negative koeficienti k.

Pra, grafiku i një funksioni është një parabolë me kulmin e saj në origjinë; boshti y është boshti i parabolës; degët e parabolës janë të drejtuara lart në k>0 u poshtë në k<0.

Le të vërejmë gjithashtu se parabola y = kx 2 prek boshtin x në pikën (0; 0), domethënë, njëra degë e parabolës kalon pa probleme në tjetrën, sikur të shtypet kundër boshtit x.
Nëse vizatoni grafikët e funksioneve y = x 2 dhe y = - x2 në një sistem koordinativ, atëherë është e lehtë të vërehet se këto parabola janë simetrike me njëra-tjetrën rreth boshtit x, i cili është qartë i dukshëm në Fig. 12. Në të njëjtën mënyrë, parabolat y = 2x 2 dhe y = - 2x 2 janë simetrike me njëra-tjetrën në lidhje me boshtin x (mos u bëni dembel, ndërtoni këto
dy parabola në të njëjtin sistem koordinativ dhe sigurohuni që pohimi të jetë i vërtetë).

Në përgjithësi, grafiku i funksionit y = - f(x) është simetrik me grafikun e funksionit y = f(x) në raport me boshtin x.

Vetitë e funksionit y = kx 2 për k > 0

Duke përshkruar vetitë e këtij funksioni, ne do të mbështetemi në të modeli gjeometrik- parabolë (Fig. 13).

1. Meqenëse për çdo vlerë të x, vlera përkatëse e y mund të llogaritet duke përdorur formulën y = kx 2, funksioni përcaktohet në çdo pikë x (për çdo vlerë të argumentit x). Shkurtimisht, shkruhet kështu: domeni i përcaktimit të funksionit është (-oo, +oo), pra e gjithë linja koordinative.

2. y = 0 në x = 0; y > O në . Kjo mund të shihet edhe nga grafiku i funksionit (është i vendosur tërësisht mbi boshtin x), por mund të justifikohet pa ndihmën e një grafiku: nëse

Pastaj kx 2 > O si prodhim i dy numra pozitiv k dhe x 2.

3. y = kx 2 - funksion të vazhdueshëm. Kujtojmë se tani për tani këtë term e konsiderojmë si sinonim për fjalinë "grafiku i një funksioni është një vijë e fortë që mund të vizatohet pa e hequr lapsin nga letra". Në klasat më të larta, do të jepet një interpretim më i saktë matematikor i konceptit të vazhdimësisë së një funksioni, duke mos u mbështetur në ilustrimin gjeometrik.

4.y/ naim = 0 (e arritur në x = 0); nai6 nuk ekziston.

Ju kujtojmë se (/naim është më vlerë më të ulët funksionet dhe Unaib. — vlera më e madhe e funksionit në një interval të caktuar; nëse intervali nuk është i specifikuar, atëherë unaim- dhe y naib, përkatësisht, më i vogli dhe vlerën më të lartë funksionon në fushën e përkufizimit.

5. Funksioni y = kx 2 rritet me x > O dhe zvogëlohet me x< 0.

Kujtojmë se në kursin e algjebrës së klasës së 7-të ne ramë dakord të thërrasim një funksion, grafiku i të cilit në intervalin në shqyrtim shkon nga e majta në të djathtë sikur "përpjetë", duke u rritur dhe një funksion, grafiku i të cilit në intervalin në shqyrtim shkon nga e majta në drejt si "teposhtë", - në rënie. Më saktësisht, mund të themi këtë: funksioni y = f (x) thuhet se rritet në intervalin X nëse në këtë interval vlerë më të lartë argumentet përputhen
vlerë më e madhe e funksionit; një funksion y = f (x) thuhet se zvogëlohet në një interval X nëse në këtë interval një vlerë më e madhe e argumentit korrespondon me një vlerë më të vogël të funksionit.

Në librin shkollor Algjebra 7, ne e quajtëm procesin e renditjes së vetive të një funksioni që lexon një grafik. Procesi i leximit të një grafiku gradualisht do të bëhet më i pasur dhe më interesant ndërsa mësojmë vetitë e reja të funksioneve. Ne diskutuam pesë pronat e renditura më sipër në klasën e 7-të për funksionet që studiuam atje. Le të shtojmë një pronë të re.

Një funksion y = f(x) quhet i kufizuar më poshtë nëse të gjitha vlerat e funksionit janë më të mëdha se një numër i caktuar. Gjeometrikisht, kjo do të thotë se grafiku i funksionit ndodhet mbi një vijë të caktuar të drejtë paralele me boshtin x.

Tani shikoni: grafiku i funksionit y = kx 2 ndodhet mbi vijën e drejtë y = - 1 (ose y = - 2, nuk ka rëndësi) - tregohet në Fig. 13. Prandaj, y - kx2 (k > 0) është një funksion i kufizuar nga poshtë.

Së bashku me funksionet e kufizuara më poshtë, konsiderohen edhe funksionet e kufizuara më lart. Një funksion y - f(x) thuhet se është i kufizuar nga lart nëse të gjitha vlerat e funksionit janë më të vogla se një numër i caktuar. Gjeometrikisht, kjo do të thotë se grafiku i funksionit ndodhet nën një vijë të drejtë paralele me boshtin x.
A ka një vijë të tillë për parabolën y = kx 2, ku k > 0? Nr. Kjo do të thotë që funksioni nuk është i kufirit të sipërm.

Pra, kemi një pronë më shumë, le ta shtojmë atë në pesë të listuara më sipër.

6. Funksioni y = kx 2 (k > 0) është i kufizuar poshtë dhe jo i kufizuar sipër.

Vetitë e funksionit y = kx 2 për k< 0

Kur përshkruajmë vetitë e këtij funksioni, ne mbështetemi në modelin e tij gjeometrik - një parabolë (Fig. 14).

1. Fusha e përcaktimit të funksionit është (—oo, +oo).

2. y = 0 në x = 0; në< 0 при .

Z.у = kx 2 është një funksion i vazhdueshëm.
4. y nai6 = 0 (e arritur në x = 0), unaim nuk ekziston.

5. Funksioni rritet me x< 0, убывает при х > 0.

6.Funksioni është i kufizuar nga lart dhe jo i kufizuar nga poshtë.

Le të shpjegojmë veçorinë e fundit: ekziston një vijë e drejtë paralele me boshtin x (për shembull, y = 1, është vizatuar në Fig. 14), e tillë që e gjithë parabola shtrihet nën këtë vijë të drejtë; kjo do të thotë që funksioni është i kufizuar më lart. Nga ana tjetër, është e pamundur të vizatohet një vijë e drejtë paralele me boshtin x në mënyrë që e gjithë parabola të jetë e vendosur mbi këtë vijë të drejtë; kjo do të thotë që funksioni nuk është i kufizuar më poshtë.

Rendi i lëvizjeve të përdorura më sipër kur renditen vetitë e një funksioni nuk është një ligj, për sa kohë që është zhvilluar kronologjikisht në këtë mënyrë.

Pak a shumë rendit të caktuar Lëvizjet do t'i zhvillojmë gradualisht dhe do t'i unifikojmë në lëndën e algjebrës së klasës së 9-të.

Shembulli 1. Gjeni vlerat më të vogla dhe më të mëdha të funksionit y = 2x 2 në segmentin: a) ; b) [- 2, - 1]; c) [- 1, 1,5].

Zgjidhje.
a) Të ndërtojmë një grafik të funksionit y = 2x2 dhe të theksojmë pjesën e tij në segment (Fig. 15). Vërejmë se 1/emër. = 0 (e arritur në x = 0), dhe y max = 8 (e arritur në x = 2).

b) Të ndërtojmë një grafik të funksionit y = 2x2 dhe të theksojmë pjesën e tij në segmentin [- 2, - 1] (Fig. 16). Vëmë re se 2/max = 2 (arritur në x = - 1), dhe y max = 8 (arritur në x = - 2).

c) Të ndërtojmë një grafik të funksionit y = 2x2 dhe të theksojmë pjesën e tij në segmentin [- 1, 1.5] (Fig. 17). Vëmë re se unanm = 0 (arritur në x = 0), dhe y arrihet më së shumti në pikën x = 1,5; Le të llogarisim këtë vlerë: (1,5) = 2-1,5 2 = 2-2,25 = 4,5. Pra, y max =4.5.

Shembulli 2. Zgjidheni ekuacionin - x 2 = 2x - 3.

Zgjidhje. Në tekstin shkollor "Algjebra-7" zhvilluam një algoritëm zgjidhje grafike ekuacionet, le ta kujtojmë atë.

Për të zgjidhur grafikisht ekuacionin f(x) = g (x), ju duhet:

1) konsideroni dy funksione y = -x 2 dhe y = 2x -3;
2) të ndërtojë një grafik të funksionit i/ = / (x);
3) ndërtoni një grafik të funksionit y = g (x);
4) gjeni pikat e kryqëzimit të grafikëve të ndërtuar; abscis-
Sys i këtyre pikave janë rrënjët e ekuacionit f(x) = g (x).
Le ta zbatojmë këtë algoritëm në ekuacionin e dhënë.
1) Konsideroni dy funksione: y = - x2 dhe y = 2x - 3.
2) Të ndërtojmë një parabolë - një grafik të funksionit y = - x 2 (Fig. 18).

3) Të ndërtojmë një grafik të funksionit y = 2x - 3. Kjo është një vijë e drejtë për ta ndërtuar atë, mjafton të gjejmë çdo dy pikë në grafik; Nëse x = 0, atëherë y = - 3; nëse x = 1,

atëherë y = -1. Pra, gjetëm dy pika (0; -3) dhe (1; -1). Vija e drejtë që kalon nëpër këto dy pika (grafiku i funksionit y = 2x - 3) është paraqitur në të njëjtën

vizatim (shih Fig. 18).

4) Sipas vizatimit, konstatojmë se drejtëza dhe parabola kryqëzohen në dy pika A(1; -1) dhe B(-3; -9). Do të thotë, ekuacioni i dhënë ka dy rrënjë: 1 dhe - 3 - këto janë abshisat e pikave A dhe B.

Përgjigje: 1,-3.

Koment. Sigurisht, nuk mund t'u besoni verbërisht ilustrimeve grafike. Ndoshta thjesht na duket se pika A ka koordinata (1; - 1) dhe me radhë
A janë në të vërtetë të ndryshëm, për shembull (0.98; - 1.01)?

Prandaj, është gjithmonë e dobishme të kontrolloni veten. Pra, në shembullin e konsideruar, duhet të siguroheni që pika A(1; -1) i përket parabolës y = - x 2 (kjo është e lehtë - thjesht zëvendësoni koordinatat e pikës A në formulën y = - x 2 ne marrim - 1 = - 1 2 - barazinë numerike të saktë) dhe drejtëzën y ​​= 2x - 3 (dhe kjo është e lehtë - thjesht zëvendësoni koordinatat e pikës A në formulën y = 2x - 3; marrim - 1 = ; 2-3 - barazia e saktë numerike). E njëjta gjë duhet bërë edhe për
pikat 8. Ky kontroll tregon se në ekuacionin e marrë në shqyrtim, vëzhgimet grafike çuan në rezultatin e saktë.

Shembulli 3. Zgjidh sistemin e ekuacioneve

Zgjidhje. Le ta transformojmë ekuacionin e parë të sistemit në formën y = - x 2. Grafiku i këtij funksioni është një parabolë e paraqitur në Fig. 18.
Le ta transformojmë ekuacionin e dytë të sistemit në formën y = 2x - 3. Grafiku i këtij funksioni është drejtëza e paraqitur në Fig. 18.

Parabola dhe drejtëza kryqëzohen në pikat A (1; -1) dhe B (- 3; - 9). Koordinatat e këtyre pikave shërbejnë si zgjidhje sistemi i dhënë ekuacionet.

Përgjigje: (1; -1), (-3; -9).

Shembulli 4. Është dhënë një funksion y - f (x), ku

Kërkohet:

a) llogarit f(-4), f(-2), f(0), f(1.5), f(2), f(3);

b) të ndërtojë një grafik të funksionit;

c) përdorni një grafik për të renditur vetitë e funksionit.

Zgjidhje,

a) Vlera x = - 4 plotëson kushtin - prandaj, f(-4) duhet të llogaritet duke përdorur rreshtin e parë të përkufizimit të funksionit Kemi f(x) = - 0.5x2, që do të thotë
f(-4) = -0,5 . (-4) 2 = -8.
Në mënyrë të ngjashme gjejmë:

f(-2) = -0,5 . (-2) 2 =-2;
f(0) = -0,5 . 0 2 = 0.

Vlera plotëson kushtin, kështu që duhet të llogaritet duke përdorur rreshtin e dytë të specifikimit të funksionit. Kemi f(x) = x + 1, që do të thotë

Vlera x = 1.5 plotëson kushtin 1< х < 2, т. е. f(1,5) надо вычислять по третьей строке задания функции. Имеем f (х) = 2х 2 , значит,
f(1,5) = 2-1,5 2 = 4,5.
Në mënyrë të ngjashme marrim
f(2)= 2 . 2 2 =8.
Vlera x = 3 nuk plotëson asnjë nga tre kushtet për specifikimin e funksionit, dhe për këtë arsye f(3) në në këtë rast nuk mund të llogaritet, pika x = 3 nuk i përket fushës së përcaktimit të funksionit. Detyra e llogaritjes së f(3) është e pasaktë.

b) Do të ndërtojmë grafikun “pjesë-pjesë”. Së pari, le të ndërtojmë një parabolë y = -0.5x 2 dhe të zgjedhim pjesën e saj në segmentin [-4, 0] (Fig. 19). Më pas ndërtojmë drejtëzën y ​​= x + 1 u. Le të zgjedhim pjesën e saj në gjysmëintervalin (0, 1] (Fig. 20) Më pas, do të ndërtojmë një parabolë y = 2x2 dhe do të zgjedhim pjesën e saj në gjysmëintervalin

(1, 2] (Fig. 21).

Së fundi, ne do t'i përshkruajmë të tre "pjesët" në një sistem koordinativ; fitojmë një grafik të funksionit y = f(x) (Fig. 22).

c) Le të rendisim vetitë e funksionit ose, siç ramë dakord të themi, të lexojmë grafikun.

1. Fusha e përcaktimit të funksionit është segmenti [—4, 2].

2. y = 0 në x = 0; y > 0 në 0<х<2;у<0 при - 4 < х < 0.

3. Funksioni i nënshtrohet një ndërprerjeje në x = 0.

4. Funksioni rritet në segmentin [-4, 2].

5. Funksioni është i kufizuar si nga poshtë ashtu edhe nga lart.

6. y max = -8 (e arritur në x = -4); y më 6 . = 8 (arritur në x = 2).

Shembulli 5.Është dhënë funksioni y = f(x), ku f(x) = 3x 2. Gjeni:

f(1), f(- 2), f(а), f(2а), f(а + 1), f(-х), f(Зх), f(x - 1),
f(x + a), f(x) + 5, f(x) + b, f(x + a) + b, f(x 2), f(2x 3).

Zgjidhje. Meqenëse f (x) = 3x 2, marrim vazhdimisht:

f(1) =3 .1 2 = 3;
f(a) = Për 2;
f(a+1) = 3(a + 1) 2 ;
f(3x) = 3.(3x) 2 = 27x2;
f(x + a) = 3(x + a) 2 ;

f(x 2) +b = 3x 2 +b
f(x 2) = 3 . (x 2) 2

F(- 2) = Z . (-2) 2 = 12
f(2a) =З . (2a) 2 =12a 2

F(x) =З . (-x) 2 = 3x 2

F(-x)+ 5 =3x 2 +5
f(x + a) + b = 3 (x + a) 2 + b;
f(2x3) = 3 . (2x3)2

Ne vazhdojmë të studiojmë temën " zgjidhjen e ekuacioneve" Tashmë jemi njohur me ekuacionet lineare dhe po kalojmë në njohjen ekuacionet kuadratike.

Së pari, ne do të shohim se çfarë është një ekuacion kuadratik, si shkruhet në formë të përgjithshme dhe do të japim përkufizime të lidhura. Pas kësaj, ne do të përdorim shembuj për të shqyrtuar në detaje se si zgjidhen ekuacionet kuadratike jo të plota. Më pas, do të kalojmë në zgjidhjen e ekuacioneve të plota, do të marrim formulën rrënjësore, do të njihemi me diskriminuesin e një ekuacioni kuadratik dhe do të shqyrtojmë zgjidhjet e shembujve tipikë. Së fundi, le të gjurmojmë lidhjet midis rrënjëve dhe koeficientëve.

Navigimi i faqes.

Çfarë është një ekuacion kuadratik? Llojet e tyre

Së pari ju duhet të kuptoni qartë se çfarë është një ekuacion kuadratik. Prandaj, është logjike të filloni një bisedë për ekuacionet kuadratike me përkufizimin e një ekuacioni kuadratik, si dhe përkufizimet përkatëse. Pas kësaj, ju mund të konsideroni llojet kryesore të ekuacioneve kuadratike: të reduktuara dhe të pareduktuara, si dhe ekuacione të plota dhe jo të plota.

Përkufizimi dhe shembuj të ekuacioneve kuadratike

Përkufizimi.

Ekuacioni kuadratikështë një ekuacion i formës a x 2 +b x+c=0, ku x është një ndryshore, a, b dhe c janë disa numra dhe a është jo zero.

Le të themi menjëherë se ekuacionet kuadratike shpesh quhen ekuacione të shkallës së dytë. Kjo për faktin se ekuacioni kuadratik është ekuacioni algjebrik shkallë e dytë.

Përkufizimi i deklaruar na lejon të japim shembuj të ekuacioneve kuadratike. Pra 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0, etj. Këto janë ekuacione kuadratike.

Përkufizimi.

Numrat a, b dhe c quhen koeficientët e ekuacionit kuadratik a·x 2 +b·x+c=0, dhe koeficienti a quhet i pari, ose më i larti, ose koeficienti i x 2, b është koeficienti i dytë, ose koeficienti i x, dhe c është termi i lirë .

Për shembull, le të marrim një ekuacion kuadratik të formës 5 x 2 −2 x −3=0, këtu koeficienti kryesor është 5, koeficienti i dytë është i barabartë me −2 dhe termi i lirë është i barabartë me −3. Ju lutemi vini re se kur koeficientët b dhe/ose c janë negativ, si në shembullin e sapo dhënë, forma e shkurtër e ekuacionit kuadratik është 5 x 2 −2 x−3=0 , në vend të 5 x 2 +(−2 ) ·x+(−3)=0 .

Vlen të përmendet se kur koeficientët a dhe/ose b janë të barabartë me 1 ose −1, atëherë ata zakonisht nuk janë të pranishëm në mënyrë eksplicite në ekuacionin kuadratik, gjë që është për shkak të veçorive të shkrimit të tillë. Për shembull, në ekuacionin kuadratik y 2 −y+3=0 koeficienti kryesor është një, dhe koeficienti i y është i barabartë me −1.

Ekuacionet kuadratike të reduktuara dhe të pareduktuara

Në varësi të vlerës së koeficientit prijës, dallohen ekuacionet kuadratike të reduktuara dhe të pareduktuara. Le të japim përkufizimet përkatëse.

Përkufizimi.

Quhet një ekuacion kuadratik në të cilin koeficienti kryesor është 1 dhënë ekuacionin kuadratik. Përndryshe ekuacioni kuadratik është i paprekur.

Sipas këtij përkufizimi, ekuacionet kuadratike x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0, etj. – dhënë, në secilën prej tyre koeficienti i parë është i barabartë me një. A 5 x 2 −x−1=0, etj. - ekuacionet kuadratike të pareduktuara, koeficientët kryesorë të tyre janë të ndryshëm nga 1.

Nga çdo ekuacion kuadratik i pareduktuar, duke pjesëtuar të dyja anët me koeficientin kryesor, mund të shkoni te ai i reduktuar. Ky veprim është një transformim ekuivalent, domethënë, ekuacioni kuadratik i reduktuar i marrë në këtë mënyrë ka të njëjtat rrënjë me ekuacionin kuadratik të pareduktuar origjinal, ose, si ai, nuk ka rrënjë.

Le të shohim një shembull se si kryhet kalimi nga një ekuacion kuadratik i pareduktuar në një të reduktuar.

Shembull.

Nga ekuacioni 3 x 2 +12 x−7=0, kalohet në ekuacionin përkatës të reduktuar kuadratik.

Zgjidhje.

Thjesht duhet të ndajmë të dy anët e ekuacionit origjinal me koeficientin kryesor 3, ai është jo zero, kështu që ne mund ta kryejmë këtë veprim. Kemi (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, që është e njëjtë, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, dhe pastaj (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, nga ku . Kështu kemi marrë ekuacionin kuadratik të reduktuar, i cili është i barabartë me atë origjinal.

Përgjigje:

Ekuacionet kuadratike të plota dhe jo të plota

Përkufizimi i një ekuacioni kuadratik përmban kushtin a≠0. Ky kusht është i nevojshëm në mënyrë që ekuacioni a x 2 + b x + c = 0 të jetë kuadratik, pasi kur a = 0 bëhet në të vërtetë një ekuacion linear i formës b x + c = 0.

Për sa u përket koeficientëve b dhe c, ata mund të jenë të barabartë me zero, si individualisht ashtu edhe së bashku. Në këto raste, ekuacioni kuadratik quhet jo i plotë.

Përkufizimi.

Quhet ekuacioni kuadratik a x 2 +b x+c=0 jo të plota, nëse të paktën njëri nga koeficientët b, c është i barabartë me zero.

Nga ana tjetër

Përkufizimi.

Ekuacioni i plotë kuadratikështë një ekuacion në të cilin të gjithë koeficientët janë të ndryshëm nga zero.

Emra të tillë nuk u dhanë rastësisht. Kjo do të bëhet e qartë nga diskutimet në vijim.

Nëse koeficienti b është zero, atëherë ekuacioni kuadratik merr formën a·x 2 +0·x+c=0, dhe është ekuivalent me ekuacionin a·x 2 +c=0. Nëse c=0, pra ekuacioni kuadratik ka formën a·x 2 +b·x+0=0, atëherë ai mund të rishkruhet si a·x 2 +b·x=0. Dhe me b=0 dhe c=0 marrim ekuacionin kuadratik a·x 2 =0. Ekuacionet që rezultojnë ndryshojnë nga ekuacioni i plotë kuadratik në atë që anët e tyre në të majtë nuk përmbajnë as një term me ndryshoren x, as një term të lirë, ose të dyja. Prandaj emri i tyre - ekuacione kuadratike jo të plota.

Pra, ekuacionet x 2 +x+1=0 dhe −2 x 2 −5 x+0.2=0 janë shembuj të ekuacioneve të plota kuadratike, dhe x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 janë ekuacione kuadratike jo të plota.

Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike jo të plota

Nga informacioni në paragrafin e mëparshëm rezulton se ka tre lloje ekuacionesh kuadratike jo të plota:

• a·x 2 =0, me të korrespondojnë koeficientët b=0 dhe c=0;
• a x 2 +c=0 kur b=0 ;
• dhe a·x 2 +b·x=0 kur c=0.

Le të shqyrtojmë me radhë se si zgjidhen ekuacionet kuadratike jo të plota të secilit prej këtyre llojeve.

a x 2 =0

Le të fillojmë me zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike jo të plota në të cilat koeficientët b dhe c janë të barabartë me zero, pra me ekuacione të formës a x 2 =0. Ekuacioni a·x 2 =0 është ekuivalent me ekuacionin x 2 =0, i cili përftohet nga origjinali duke pjesëtuar të dyja pjesët me një numër jo zero a. Natyrisht, rrënja e ekuacionit x 2 =0 është zero, pasi 0 2 =0. Ky ekuacion nuk ka rrënjë të tjera, gjë që shpjegohet me faktin se për çdo numër jo zero p vlen inekuacioni p 2 >0, që do të thotë se për p≠0 barazia p 2 =0 nuk arrihet kurrë.

Pra, ekuacioni kuadratik jo i plotë a·x 2 =0 ka një rrënjë të vetme x=0.

Si shembull, japim zgjidhjen e ekuacionit kuadratik jo të plotë −4 x 2 =0. Është ekuivalente me ekuacionin x 2 =0, rrënja e vetme e tij është x=0, prandaj, ekuacioni origjinal ka një rrënjë të vetme zero.

Një zgjidhje e shkurtër në këtë rast mund të shkruhet si më poshtë:
−4 x 2 =0 ,
x 2 =0,
x=0.

a x 2 +c=0

Tani le të shohim se si zgjidhen ekuacionet kuadratike jo të plota në të cilat koeficienti b është zero dhe c≠0, pra ekuacione të formës a x 2 +c=0. Ne e dimë se lëvizja e një termi nga njëra anë e ekuacionit në tjetrën me shenjën e kundërt, si dhe pjesëtimi i të dy anëve të ekuacionit me një numër jozero, jep një ekuacion të barabartë. Prandaj, ne mund të kryejmë transformimet ekuivalente të mëposhtme të ekuacionit kuadratik jo të plotë a x 2 +c=0:

• lëvizni c në anën e djathtë, që jep ekuacionin a x 2 =−c,
• dhe ndajmë të dyja anët me a, marrim .

Ekuacioni që rezulton na lejon të nxjerrim përfundime rreth rrënjëve të tij. Në varësi të vlerave të a dhe c, vlera e shprehjes mund të jetë negative (për shembull, nëse a=1 dhe c=2, atëherë ) ose pozitive (për shembull, nëse a=−2 dhe c=6, atëherë ), nuk është e barabartë me zero, pasi sipas kushtit c≠0. Veçmas do t'i analizojmë rastet dhe.

Nëse , atëherë ekuacioni nuk ka rrënjë. Ky pohim rrjedh nga fakti se katrori i çdo numri është një numër jo negativ. Nga kjo rrjedh se kur , atëherë për çdo numër p barazia nuk mund të jetë e vërtetë.

Nëse , atëherë situata me rrënjët e ekuacionit është e ndryshme. Në këtë rast, nëse kujtojmë rreth , atëherë rrënja e ekuacionit bëhet menjëherë e dukshme është numri, pasi . Është e lehtë të merret me mend se numri është gjithashtu rrënja e ekuacionit, në të vërtetë, . Ky ekuacion nuk ka rrënjë të tjera, të cilat mund të tregohen, për shembull, me kontradiktë. Le ta bëjmë këtë.

Le të shënojmë rrënjët e ekuacionit të sapo shpallur si x 1 dhe −x 1 . Supozoni se ekuacioni ka një rrënjë më shumë x 2, të ndryshme nga rrënjët e treguara x 1 dhe −x 1. Dihet se zëvendësimi i rrënjëve të tij në një ekuacion në vend të x e kthen ekuacionin në një barazi numerike të saktë. Për x 1 dhe −x 1 kemi , dhe për x 2 kemi . Vetitë e barazive numerike na lejojnë të kryejmë zbritjen term pas termi të barazive të sakta numerike, kështu që zbritja e pjesëve përkatëse të barazive jep x 1 2 −x 2 2 =0. Vetitë e veprimeve me numra na lejojnë të rishkruajmë barazinë që rezulton si (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0. Ne e dimë se prodhimi i dy numrave është i barabartë me zero nëse dhe vetëm nëse të paktën njëri prej tyre është i barabartë me zero. Prandaj, nga barazia që rezulton rrjedh se x 1 −x 2 =0 dhe/ose x 1 +x 2 =0, që është e njëjtë, x 2 =x 1 dhe/ose x 2 =−x 1. Pra, arritëm në një kontradiktë, pasi në fillim thamë se rrënja e ekuacionit x 2 është e ndryshme nga x 1 dhe −x 1. Kjo dëshmon se ekuacioni nuk ka rrënjë të tjera përveç dhe .

Le të përmbledhim informacionin në këtë paragraf. Ekuacioni jo i plotë kuadratik a x 2 +c=0 është ekuivalent me ekuacionin që

• nuk ka rrënjë nëse,
• ka dy rrënjë dhe , nëse .

Le të shqyrtojmë shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike jo të plota të formës a·x 2 +c=0.

Le të fillojmë me ekuacionin kuadratik 9 x 2 +7=0. Pas zhvendosjes së termit të lirë në anën e djathtë të ekuacionit, ai do të marrë formën 9 x 2 =−7. Duke pjesëtuar të dyja anët e ekuacionit që rezulton me 9, arrijmë në . Meqenëse ana e djathtë ka një numër negativ, ky ekuacion nuk ka rrënjë, prandaj, ekuacioni fillestar jo i plotë kuadratik 9 x 2 +7 = 0 nuk ka rrënjë.

Le të zgjidhim një tjetër ekuacion kuadratik jo të plotë −x 2 +9=0. E zhvendosim nëntën në anën e djathtë: −x 2 =−9. Tani i ndajmë të dyja anët me −1, marrim x 2 =9. Në anën e djathtë ka një numër pozitiv, nga i cili konkludojmë se ose . Pastaj shkruajmë përgjigjen përfundimtare: ekuacioni jo i plotë kuadratik −x 2 +9=0 ka dy rrënjë x=3 ose x=−3.

a x 2 +b x=0

Mbetet të merremi me zgjidhjen e llojit të fundit të ekuacioneve kuadratike jo të plota për c=0. Ekuacionet kuadratike jo të plota të formës a x 2 + b x = 0 ju lejon të zgjidhni metoda e faktorizimit. Natyrisht, ne mundemi, të vendosur në anën e majtë të ekuacionit, për të cilin mjafton të nxjerrim faktorin e përbashkët x nga kllapat. Kjo na lejon të kalojmë nga ekuacioni fillestar jo i plotë kuadratik në një ekuacion ekuivalent të formës x·(a·x+b)=0. Dhe ky ekuacion është i barabartë me një grup prej dy ekuacionesh x=0 dhe a·x+b=0, ky i fundit është linear dhe ka një rrënjë x=−b/a.

Pra, ekuacioni jo i plotë kuadratik a·x 2 +b·x=0 ka dy rrënjë x=0 dhe x=−b/a.

Për të konsoliduar materialin, ne do të analizojmë zgjidhjen për një shembull specifik.

Shembull.

Zgjidhe ekuacionin.

Zgjidhje.

Duke marrë x nga kllapat jepet ekuacioni . Është ekuivalente me dy ekuacione x=0 dhe . Zgjidhim ekuacionin linear që rezulton: , dhe duke pjesëtuar numrin e përzier me një thyesë të zakonshme, gjejmë . Prandaj, rrënjët e ekuacionit origjinal janë x=0 dhe .

Pas fitimit të praktikës së nevojshme, zgjidhjet e ekuacioneve të tilla mund të shkruhen shkurtimisht:

Përgjigje:

x=0, .

Diskriminuese, formula për rrënjët e një ekuacioni kuadratik

Për të zgjidhur ekuacionet kuadratike, ekziston një formulë rrënjësore. Le ta shkruajmë formula për rrënjët e një ekuacioni kuadratik: , Ku D=b 2 −4 a c- të ashtuquajturat diskriminues i një ekuacioni kuadratik. Hyrja në thelb do të thotë se.

Është e dobishme të dihet se si është nxjerrë formula e rrënjës dhe si përdoret për gjetjen e rrënjëve të ekuacioneve kuadratike. Le ta kuptojmë këtë.

Nxjerrja e formulës për rrënjët e një ekuacioni kuadratik

Le të na duhet të zgjidhim ekuacionin kuadratik a·x 2 +b·x+c=0. Le të bëjmë disa transformime ekuivalente:

• Ne mund t'i ndajmë të dy anët e këtij ekuacioni me një numër jo zero a, duke rezultuar në ekuacionin kuadratik të mëposhtëm.
• Tani zgjidhni një katror të plotë në anën e majtë të saj: . Pas kësaj, ekuacioni do të marrë formën.
• Në këtë fazë, është e mundur që dy termat e fundit të transferohen në anën e djathtë me shenjën e kundërt, kemi .
• Dhe le të transformojmë edhe shprehjen në anën e djathtë: .

Si rezultat, arrijmë në një ekuacion që është ekuivalent me ekuacionin kuadratik origjinal a·x 2 +b·x+c=0.

Ne kemi zgjidhur tashmë ekuacione të ngjashme në formë në paragrafët e mëparshëm, kur kemi ekzaminuar. Kjo na lejon të nxjerrim përfundimet e mëposhtme në lidhje me rrënjët e ekuacionit:

• nëse , atëherë ekuacioni nuk ka zgjidhje reale;
• nëse , atëherë ekuacioni ka formën , pra, , nga e cila është e dukshme rrënja e vetme e tij;
• nëse , atëherë ose , e cila është e njëjtë me ose , domethënë, ekuacioni ka dy rrënjë.

Pra, prania ose mungesa e rrënjëve të ekuacionit, dhe rrjedhimisht ekuacionit kuadratik origjinal, varet nga shenja e shprehjes në anën e djathtë. Nga ana tjetër, shenja e kësaj shprehjeje përcaktohet nga shenja e numëruesit, pasi emëruesi 4·a 2 është gjithmonë pozitiv, domethënë nga shenja e shprehjes b 2 −4·a·c. Kjo shprehje b 2 −4 a c u quajt diskriminues i një ekuacioni kuadratik dhe të përcaktuara me shkronjë D. Nga këtu thelbi i diskriminuesit është i qartë - bazuar në vlerën dhe shenjën e tij, ata përfundojnë nëse ekuacioni kuadratik ka rrënjë reale, dhe nëse po, cili është numri i tyre - një ose dy.

Le të kthehemi te ekuacioni dhe ta rishkruajmë duke përdorur shënimin diskriminues: . Dhe ne nxjerrim përfundime:

• nëse D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• nëse D=0, atëherë ky ekuacion ka një rrënjë të vetme;
• së fundi, nëse D>0, atëherë ekuacioni ka dy rrënjë ose, të cilat mund të rishkruhen në formën ose, dhe pasi t'i zgjerojmë dhe t'i çojmë thyesat në një emërues të përbashkët fitojmë.

Pra kemi nxjerrë formulat për rrënjët e ekuacionit kuadratik, ato kanë formën , ku diskriminuesi D llogaritet me formulën D=b 2 −4·a·c.

Me ndihmën e tyre, me një diskriminues pozitiv, mund të llogaritni të dy rrënjët reale të një ekuacioni kuadratik. Kur diskriminuesi është i barabartë me zero, të dyja formulat japin të njëjtën vlerë të rrënjës, që korrespondon me një zgjidhje unike të ekuacionit kuadratik. Dhe me një diskriminues negativ, kur përpiqemi të përdorim formulën për rrënjët e një ekuacioni kuadratik, përballemi me nxjerrjen e rrënjës katrore të një numri negativ, gjë që na nxjerr jashtë qëllimit të kurrikulës shkollore. Me një diskriminues negativ, ekuacioni kuadratik nuk ka rrënjë reale, por ka një çift konjuguar kompleks rrënjët, të cilat mund të gjenden duke përdorur të njëjtat formula rrënjë që kemi marrë.

Algoritmi për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike duke përdorur formulat rrënjë

Në praktikë, kur zgjidhni ekuacionet kuadratike, mund të përdorni menjëherë formulën rrënjësore për të llogaritur vlerat e tyre. Por kjo lidhet më shumë me gjetjen e rrënjëve komplekse.

Sidoqoftë, në një kurs shkollor algjebër zakonisht nuk flasim për komplekse, por për rrënjët reale të një ekuacioni kuadratik. Në këtë rast, këshillohet që përpara se të përdorni formulat për rrënjët e një ekuacioni kuadratik, fillimisht të gjeni diskriminuesin, të siguroheni që ai të jetë jo negativ (përndryshe, mund të konkludojmë se ekuacioni nuk ka rrënjë reale). dhe vetëm atëherë llogaritni vlerat e rrënjëve.

Arsyetimi i mësipërm na lejon të shkruajmë algoritmi për zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik. Për të zgjidhur ekuacionin kuadratik a x 2 +b x+c=0, duhet:

• duke përdorur formulën diskriminuese D=b 2 −4·a·c, njehsoni vlerën e saj;
• konkludojmë se një ekuacion kuadratik nuk ka rrënjë reale nëse diskriminuesi është negativ;
• njehsoni rrënjën e vetme të ekuacionit duke përdorur formulën nëse D=0;
• gjeni dy rrënjë reale të një ekuacioni kuadratik duke përdorur formulën e rrënjës nëse diskriminuesi është pozitiv.

Këtu thjesht vërejmë se nëse diskriminuesi është i barabartë me zero, mund të përdorni edhe formulën ajo do të japë të njëjtën vlerë si .

Mund të kaloni në shembuj të përdorimit të algoritmit për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike.

Shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike

Le të shqyrtojmë zgjidhjet e tre ekuacioneve kuadratike me një diskriminues pozitiv, negativ dhe zero. Duke u marrë me zgjidhjen e tyre, për analogji do të jetë e mundur të zgjidhet çdo ekuacion tjetër kuadratik. Le të fillojmë.

Shembull.

Gjeni rrënjët e ekuacionit x 2 +2·x−6=0.

Zgjidhje.

Në këtë rast kemi koeficientët e mëposhtëm të ekuacionit kuadratik: a=1, b=2 dhe c=−6. Sipas algoritmit, së pari duhet të llogarisni diskriminuesin për ta bërë këtë, ne zëvendësojmë a, b dhe c të treguara në formulën diskriminuese, që kemi D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. Meqenëse 28>0, pra, diskriminuesi është më i madh se zero, ekuacioni kuadratik ka dy rrënjë reale. Le t'i gjejmë ato duke përdorur formulën rrënjësore, marrim , këtu mund të thjeshtoni shprehjet që rezultojnë duke bërë duke lëvizur shumëzuesin përtej shenjës së rrënjës e ndjekur nga zvogëlimi i fraksionit:

Përgjigje:

Le të kalojmë në shembullin tjetër tipik.

Shembull.

Zgjidheni ekuacionin kuadratik −4 x 2 +28 x−49=0 .

Zgjidhje.

Fillojmë duke gjetur diskriminuesin: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Prandaj, ky ekuacion kuadratik ka një rrënjë të vetme, të cilën e gjejmë si , domethënë,

Përgjigje:

x=3.5.

Mbetet të shqyrtojmë zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike me një diskriminues negativ.

Shembull.

Zgjidheni ekuacionin 5·y 2 +6·y+2=0.

Zgjidhje.

Këtu janë koeficientët e ekuacionit kuadratik: a=5, b=6 dhe c=2. Ne i zëvendësojmë këto vlera në formulën diskriminuese, që kemi D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. Diskriminuesi është negativ, prandaj ky ekuacion kuadratik nuk ka rrënjë reale.

Nëse keni nevojë të tregoni rrënjë komplekse, atëherë ne zbatojmë formulën e njohur për rrënjët e një ekuacioni kuadratik dhe kryejmë veprimet me numra kompleks:

Përgjigje:

nuk ka rrënjë të vërteta, rrënjët komplekse janë: .

Le të vërejmë edhe një herë se nëse diskriminuesi i një ekuacioni kuadratik është negativ, atëherë në shkollë ata zakonisht shkruajnë menjëherë një përgjigje në të cilën tregojnë se nuk ka rrënjë të vërteta dhe nuk gjenden rrënjë komplekse.

Formula rrënjësore për koeficientët edhe të dytë

Formula për rrënjët e një ekuacioni kuadratik, ku D=b 2 −4·a·c ju lejon të merrni një formulë të një forme më kompakte, duke ju lejuar të zgjidhni ekuacionet kuadratike me një koeficient çift për x (ose thjesht me një koeficienti i formës 2·n, për shembull, ose 14· ln5=2·7·ln5 ). Le ta nxjerrim jashtë.

Le të themi se duhet të zgjidhim një ekuacion kuadratik të formës a x 2 +2 n x+c=0. Le të gjejmë rrënjët e tij duke përdorur formulën që njohim. Për ta bërë këtë, ne llogarisim diskriminuesin D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), dhe më pas përdorim formulën rrënjësore:

Le të shënojmë shprehjen n 2 −a c si D 1 (nganjëherë shënohet D "). Atëherë formula për rrënjët e ekuacionit kuadratik në shqyrtim me koeficientin e dytë 2 n do të marrë formën , ku D 1 =n 2 −a·c.

Është e lehtë të shihet se D=4·D 1, ose D 1 =D/4. Me fjalë të tjera, D 1 është pjesa e katërt e diskriminuesit. Është e qartë se shenja e D 1 është e njëjtë me shenjën e D. Kjo do të thotë, shenja D 1 është gjithashtu një tregues i pranisë ose mungesës së rrënjëve të një ekuacioni kuadratik.

Pra, për të zgjidhur një ekuacion kuadratik me një koeficient të dytë 2·n, ju duhet

• Njehsoni D 1 =n 2 −a·c ;
• Nëse D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Nëse D 1 =0, atëherë llogaritni rrënjën e vetme të ekuacionit duke përdorur formulën;
• Nëse D 1 >0, atëherë gjeni dy rrënjë reale duke përdorur formulën.

Le të shqyrtojmë zgjidhjen e shembullit duke përdorur formulën rrënjësore të marrë në këtë paragraf.

Shembull.

Zgjidheni ekuacionin kuadratik 5 x 2 −6 x −32=0 .

Zgjidhje.

Koeficienti i dytë i këtij ekuacioni mund të paraqitet si 2·(−3) . Kjo do të thotë, ju mund të rishkruani ekuacionin kuadratik origjinal në formën 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, këtu a=5, n=−3 dhe c=−32, dhe të llogarisni pjesën e katërt të diskriminues: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Meqenëse vlera e tij është pozitive, ekuacioni ka dy rrënjë reale. Le t'i gjejmë ato duke përdorur formulën e duhur të rrënjës:

Vini re se ishte e mundur të përdorej formula e zakonshme për rrënjët e një ekuacioni kuadratik, por në këtë rast do të duhej të kryhej më shumë punë llogaritëse.

Përgjigje:

Thjeshtimi i formës së ekuacioneve kuadratike

Ndonjëherë, përpara se të filloni të llogaritni rrënjët e një ekuacioni kuadratik duke përdorur formula, nuk është e dëmshme të bëni pyetjen: "A është e mundur të thjeshtohet forma e këtij ekuacioni?" Pajtohu se në aspektin e llogaritjeve do të jetë më e lehtë të zgjidhet ekuacioni kuadratik 11 x 2 −4 x−6=0 sesa 1100 x 2 −400 x−600=0.

Në mënyrë tipike, thjeshtimi i formës së një ekuacioni kuadratik arrihet duke shumëzuar ose pjesëtuar të dyja anët me një numër të caktuar. Për shembull, në paragrafin e mëparshëm ishte e mundur të thjeshtohej ekuacioni 1100 x 2 −400 x −600=0 duke i ndarë të dyja anët me 100.

Një transformim i ngjashëm kryhet me ekuacione kuadratike, koeficientët e të cilave nuk janë . Në këtë rast, të dy anët e ekuacionit zakonisht ndahen me vlerat absolute të koeficientëve të tij. Për shembull, le të marrim ekuacionin kuadratik 12 x 2 −42 x+48=0. vlerat absolute të koeficientëve të tij: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. Duke pjesëtuar të dyja anët e ekuacionit kuadratik origjinal me 6, arrijmë në ekuacionin kuadratik ekuivalent 2 x 2 −7 x+8=0.

Dhe shumëzimi i të dy anëve të një ekuacioni kuadratik zakonisht bëhet për të hequr qafe koeficientët thyesorë. Në këtë rast, shumëzimi kryhet nga emëruesit e koeficientëve të tij. Për shembull, nëse të dyja anët e ekuacionit kuadratik shumëzohen me LCM(6, 3, 1)=6, atëherë ai do të marrë formën më të thjeshtë x 2 +4·x−18=0.

Në përfundim të kësaj pike, vërejmë se ata pothuajse gjithmonë heqin qafe minusin në koeficientin më të lartë të një ekuacioni kuadratik duke ndryshuar shenjat e të gjithë termave, që korrespondon me shumëzimin (ose pjesëtimin) e të dy anëve me -1. Për shembull, zakonisht lëvizim nga ekuacioni kuadratik −2 x 2 −3 x+7=0 në zgjidhjen 2 x 2 +3 x−7=0 .

Lidhja midis rrënjëve dhe koeficientëve të një ekuacioni kuadratik

Formula për rrënjët e një ekuacioni kuadratik shpreh rrënjët e ekuacionit përmes koeficientëve të tij. Bazuar në formulën e rrënjës, mund të merrni marrëdhënie të tjera midis rrënjëve dhe koeficientëve.

Formulat më të njohura dhe më të zbatueshme nga teorema e Vietës janë të formës dhe . Në veçanti, për ekuacionin e dhënë kuadratik, shuma e rrënjëve është e barabartë me koeficientin e dytë me shenjën e kundërt, dhe prodhimi i rrënjëve është i barabartë me termin e lirë. Për shembull, nga forma e ekuacionit kuadratik 3 x 2 −7 x + 22 = 0 mund të themi menjëherë se shuma e rrënjëve të tij është e barabartë me 7/3, dhe produkti i rrënjëve është i barabartë me 22/3.

Duke përdorur formulat e shkruara tashmë, mund të merrni një sërë lidhjesh të tjera midis rrënjëve dhe koeficientëve të ekuacionit kuadratik. Për shembull, mund të shprehni shumën e katrorëve të rrënjëve të një ekuacioni kuadratik përmes koeficientëve të tij: .

Referencat.

• Algjebra: teksti shkollor për klasën e 8-të. arsimi i përgjithshëm institucionet / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; redaktuar nga S. A. Telyakovsky. - botimi i 16-të. - M.: Arsimi, 2008. - 271 f. : i sëmurë. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Algjebër. klasa e 8-të. Në 2 orë Pjesa 1. Libër shkollor për studentët e institucioneve të arsimit të përgjithshëm / A. G. Mordkovich. - Botimi i 11-të, i fshirë. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 f.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.

Shpresoj që pasi të keni studiuar këtë artikull do të mësoni se si të gjeni rrënjët e një ekuacioni të plotë kuadratik.

Duke përdorur diskriminuesin, zgjidhen vetëm ekuacionet e plota kuadratike për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike jo të plota, përdoren metoda të tjera, të cilat do t'i gjeni në artikullin "Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike jo të plota".

Cilat ekuacione kuadratike quhen të plota? Kjo ekuacionet e formës ax 2 + b x + c = 0, ku koeficientët a, b dhe c nuk janë të barabartë me zero. Pra, për të zgjidhur një ekuacion të plotë kuadratik, duhet të llogarisim diskriminuesin D.

D = b 2 – 4ac.

Në varësi të vlerës së diskriminuesit, do ta shkruajmë përgjigjen.

Nëse diskriminuesi është një numër negativ (D< 0),то корней нет.

Nëse diskriminuesi është zero, atëherë x = (-b)/2a. Kur diskriminuesi është një numër pozitiv (D > 0),

atëherë x 1 = (-b - √D)/2a, dhe x 2 = (-b + √D)/2a.

Për shembull. Zgjidhe ekuacionin x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Përgjigje: 2.

Zgjidh ekuacionin 2 x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Përgjigje: pa rrënjë.

Zgjidh ekuacionin 2 x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Përgjigje: – 3,5; 1.

Pra, le të imagjinojmë zgjidhjen e ekuacioneve të plota kuadratike duke përdorur diagramin në Figurën 1.

Duke përdorur këto formula ju mund të zgjidhni çdo ekuacion të plotë kuadratik. Thjesht duhet të keni kujdes ekuacioni është shkruar si polinom i formës standarde

A x 2 + bx + c, përndryshe mund të bëni një gabim. Për shembull, kur shkruani ekuacionin x + 3 + 2x 2 = 0, mund të vendosni gabimisht se

a = 1, b = 3 dhe c = 2. Pastaj

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 dhe pastaj ekuacioni ka dy rrënjë. Dhe kjo nuk është e vërtetë. (Shih zgjidhjen e shembullit 2 më lart).

Prandaj, nëse ekuacioni nuk shkruhet si polinom i formës standarde, së pari duhet të shkruhet ekuacioni i plotë kuadratik si një polinom i formës standarde (monomi me eksponentin më të madh duhet të jetë i pari, d.m.th. A x 2 , pastaj me më pak – bx dhe më pas një anëtar i lirë Me.

Kur zgjidhni ekuacionin kuadratik të reduktuar dhe një ekuacion kuadratik me një koeficient çift në termin e dytë, mund të përdorni formula të tjera. Le të njihemi me këto formula. Nëse në një ekuacion të plotë kuadratik koeficienti në termin e dytë është çift (b = 2k), atëherë mund ta zgjidhni ekuacionin duke përdorur formulat e dhëna në diagramin në Figurën 2.

Një ekuacion i plotë kuadratik quhet i reduktuar nëse koeficienti është në x 2 është e barabartë me një dhe ekuacioni merr formën x 2 + px + q = 0. Një ekuacion i tillë mund të jepet për zgjidhje, ose mund të merret duke pjesëtuar të gjithë koeficientët e ekuacionit me koeficientin A, duke qëndruar në x 2 .

Figura 3 tregon një diagram për zgjidhjen e katrorit të reduktuar
ekuacionet. Le të shohim një shembull të aplikimit të formulave të diskutuara në këtë artikull.

Shembull. Zgjidhe ekuacionin

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Le ta zgjidhim këtë ekuacion duke përdorur formulat e paraqitura në diagramin në Figurën 1.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Përgjigje: –1 – √3; –1 + √3

Mund të vëreni se koeficienti i x në këtë ekuacion është një numër çift, domethënë b = 6 ose b = 2k, prej nga k = 3. Më pas le të përpiqemi ta zgjidhim ekuacionin duke përdorur formulat e paraqitura në diagramin e figurës D 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = - 1 + √3

Përgjigje: –1 – √3; –1 + √3. Duke vënë re se të gjithë koeficientët në këtë ekuacion kuadratik janë të pjesëtueshëm me 3 dhe duke kryer pjesëtimin, marrim ekuacionin kuadratik të reduktuar x 2 + 2x – 2 = 0 Zgjidheni këtë ekuacion duke përdorur formulat për kuadrin e reduktuar.
ekuacionet figura 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = - 1 + √3

Përgjigje: –1 – √3; –1 + √3.

Siç mund ta shihni, kur zgjidhim këtë ekuacion duke përdorur formula të ndryshme, morëm të njëjtën përgjigje. Prandaj, pasi të keni zotëruar plotësisht formulat e paraqitura në diagramin në Figurën 1, gjithmonë do të jeni në gjendje të zgjidhni çdo ekuacion të plotë kuadratik.

blog.site, kur kopjoni materialin plotësisht ose pjesërisht, kërkohet një lidhje me burimin origjinal.

Ekuacionet kuadratike. Diskriminues. Zgjidhje, shembuj.

Kujdes!
Ka shtesë
materialet në Seksionin Special 555.
Për ata që janë shumë "jo shumë..."
Dhe për ata që "shumë ...")

Llojet e ekuacioneve kuadratike

Çfarë është një ekuacion kuadratik? Si duket? Në terma ekuacioni kuadratik fjala kyçe është "katror". Kjo do të thotë se në ekuacion Domosdoshmërisht duhet të ketë një x në katror. Përveç tij, ekuacioni mund (ose jo!) të përmbajë vetëm X (në fuqinë e parë) dhe vetëm një numër (anëtar i lirë). Dhe nuk duhet të ketë X për një fuqi më të madhe se dy.

Në terma matematikorë, një ekuacion kuadratik është një ekuacion i formës:

Këtu a, b dhe c- disa numra. b dhe c- absolutisht çdo, por A– çdo gjë tjetër përveç zeros. Për shembull:

Këtu A =1; b = 3; c = -4

Këtu A =2; b = -0,5; c = 2,2

Këtu A =-3; b = 6; c = -18

Epo, ju e kuptoni ...

Në këto ekuacione kuadratike në të majtë ka komplet i plotë anëtarët. X në katror me një koeficient A, x në fuqinë e parë me koeficient b Dhe anëtar i lirë s.

Ekuacionet e tilla kuadratike quhen plot.

Po sikur b= 0, çfarë marrim? ne kemi X do të humbet në fuqinë e parë. Kjo ndodh kur shumëzohet me zero.) Rezulton, për shembull:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

etj. Dhe nëse të dy koeficientët b Dhe c janë të barabarta me zero, atëherë është edhe më e thjeshtë:

2x 2 =0,

-0,3x 2 =0

Ekuacione të tilla ku diçka mungon quhen ekuacionet kuadratike jo të plota. E cila është mjaft logjike.) Ju lutemi vini re se x në katror është i pranishëm në të gjitha ekuacionet.

Nga rruga, pse A nuk mund të jetë e barabartë me zero? Dhe ju zëvendësoni në vend të kësaj A zero.) X-ja jonë në katror do të zhduket! Ekuacioni do të bëhet linear. Dhe zgjidhja është krejtësisht e ndryshme ...

Këto janë të gjitha llojet kryesore të ekuacioneve kuadratike. E plotë dhe e paplotë.

Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike.

Zgjidhja e ekuacioneve të plota kuadratike.

Ekuacionet kuadratike janë të lehta për t'u zgjidhur. Sipas formulave dhe rregullave të qarta, të thjeshta. Në fazën e parë, është e nevojshme të sillni ekuacionin e dhënë në një formë standarde, d.m.th. në formën:

Nëse ekuacioni ju është dhënë tashmë në këtë formë, nuk keni nevojë të bëni fazën e parë.) Gjëja kryesore është të përcaktoni saktë të gjithë koeficientët, A, b Dhe c.

Formula për gjetjen e rrënjëve të një ekuacioni kuadratik duket si kjo:

Shprehja nën shenjën e rrënjës quhet diskriminuese. Por më shumë rreth tij më poshtë. Siç mund ta shihni, për të gjetur X, ne përdorim vetëm a, b dhe c. Ato. koeficientët nga një ekuacion kuadratik. Thjesht zëvendësoni me kujdes vlerat a, b dhe c Ne llogarisim në këtë formulë. Le të zëvendësojmë me shenjat tuaja! Për shembull, në ekuacionin:

A =1; b = 3; c= -4. Këtu e shkruajmë atë:

Shembulli është pothuajse i zgjidhur:

Kjo është përgjigja.

Është shumë e thjeshtë. Dhe çfarë, mendoni se është e pamundur të bëni një gabim? Epo, po, si ...

Gabimet më të zakonshme janë konfuzioni me vlerat e shenjave a, b dhe c. Ose më mirë, jo me shenjat e tyre (ku të ngatërrohemi?), por me zëvendësimin e vlerave negative në formulën për llogaritjen e rrënjëve. Ajo që ndihmon këtu është një regjistrim i detajuar i formulës me numra specifikë. Nëse ka probleme me llogaritjet, bëje atë!

Supozoni se duhet të zgjidhim shembullin e mëposhtëm:

Këtu a = -6; b = -5; c = -1

Le të themi se e dini se rrallë merrni përgjigje herën e parë.

Epo, mos u bëj dembel. Do të duhen rreth 30 sekonda për të shkruar një rresht shtesë dhe numrin e gabimeve do të ulet ndjeshëm. Pra, ne shkruajmë në detaje, me të gjitha kllapat dhe shenjat:

Duket tepër e vështirë të shkruash me kaq kujdes. Por vetëm kështu duket. Provojeni. Epo, ose zgjidhni. Çfarë është më mirë, e shpejtë apo e drejtë?

Përveç kësaj, unë do t'ju bëj të lumtur. Pas një kohe, nuk do të ketë nevojë të shkruani gjithçka me kaq kujdes. Do të dalë vetë. Sidomos nëse përdorni teknika praktike që përshkruhen më poshtë. Ky shembull i keq me një mori minusesh mund të zgjidhet lehtësisht dhe pa gabime!

Por, shpesh, ekuacionet kuadratike duken paksa të ndryshme. Për shembull, si kjo: A e keni njohur?) Po! Kjo.

ekuacionet kuadratike jo të plota

Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike jo të plota. a, b dhe c.

Ato gjithashtu mund të zgjidhen duke përdorur një formulë të përgjithshme. Thjesht duhet të kuptoni saktë se me çfarë janë të barabarta këtu. E keni kuptuar? Në shembullin e parë a = 1; b = -4; c A ? Nuk është fare aty! Epo po, ashtu është. Në matematikë kjo do të thotë se c = 0 ! Kjo është ajo. Në vend të kësaj, zero në formulë c, dhe ne do të kemi sukses. E njëjta gjë me shembullin e dytë. Vetëm ne nuk kemi zero këtu Me b !

, A

Por ekuacionet kuadratike jo të plota mund të zgjidhen shumë më thjeshtë. Pa asnjë formulë. Le të shqyrtojmë ekuacionin e parë jo të plotë. Çfarë mund të bëni në anën e majtë? Ju mund të hiqni X nga kllapa! Le ta nxjerrim.
Pra, çfarë nga kjo? Dhe fakti që produkti është i barabartë me zero nëse dhe vetëm nëse ndonjë nga faktorët është i barabartë me zero! Nuk më besoni? Mirë, atëherë dilni me dy numra jo zero që, kur shumëzohen, do të japin zero!
Nuk funksionon? Kjo është ajo ... Prandaj, mund të shkruajmë me besim:, x 1 = 0.

x 2 = 4 Të gjitha. Këto do të jenë rrënjët e ekuacionit tonë. Të dyja janë të përshtatshme. Kur zëvendësojmë ndonjë prej tyre në ekuacionin origjinal, marrim identitetin e saktë 0 = 0. Siç mund ta shihni, zgjidhja është shumë më e thjeshtë sesa përdorimi i formulës së përgjithshme. Më lejoni të vërej, meqë ra fjala, cili X do të jetë i pari dhe cili do të jetë i dyti - absolutisht indiferent. Është i përshtatshëm për të shkruar në mënyrë, x 1 x 2- çfarë është më e vogël dhe

- ajo që është më e madhe.

Ekuacioni i dytë gjithashtu mund të zgjidhet thjesht. Lëvizni 9 në anën e djathtë. Ne marrim:

Gjithçka që mbetet është të nxjerrim rrënjën nga 9, dhe kaq. Do të rezultojë: . Gjithashtu dy rrënjë, x 1 = -3.

x 2 = 3
Kështu zgjidhen të gjitha ekuacionet kuadratike jo të plota. Ose duke vendosur X jashtë kllapave, ose thjesht duke e lëvizur numrin në të djathtë dhe më pas duke nxjerrë rrënjën.

Diskriminues. Formula diskriminuese.

Fjalë magjike diskriminuese ! Rrallëherë një gjimnazist nuk e ka dëgjuar këtë fjalë! Shprehja "ne zgjidhim përmes një diskriminuesi" frymëzon besim dhe siguri. Sepse nga diskriminuesi nuk ka nevojë të presësh marifete! Është i thjeshtë dhe pa probleme në përdorim.) Ju kujtoj formulën më të përgjithshme për zgjidhje ndonjë ekuacionet kuadratike:

Shprehja nën shenjën e rrënjës quhet diskriminuese. Zakonisht diskriminuesi shënohet me shkronjë D. Formula diskriminuese:

D = b 2 - 4ac

Dhe çfarë është kaq e mrekullueshme në këtë shprehje? Pse meritonte një emër të veçantë? Çfarë kuptimi i diskriminuesit? Në fund të fundit -b, ose 2a në këtë formulë nuk e quajnë konkretisht asgjë... Letrat dhe shkronjat.

Këtu është gjëja. Kur zgjidhni një ekuacion kuadratik duke përdorur këtë formulë, është e mundur vetëm tre raste.

1. Diskriminuesi është pozitiv. Kjo do të thotë se rrënja mund të nxirret prej saj. Nëse rrënja nxirret mirë apo keq është një pyetje tjetër. E rëndësishme është ajo që nxirret në parim. Atëherë ekuacioni juaj kuadratik ka dy rrënjë. Dy zgjidhje të ndryshme.

2. Diskriminuesi është zero. Atëherë do të keni një zgjidhje. Meqenëse mbledhja ose zbritja e zeros në numërues nuk ndryshon asgjë. Në mënyrë të rreptë, kjo nuk është një rrënjë, por dy identike. Por, në një version të thjeshtuar, është zakon të flasim një zgjidhje.

3. Diskriminuesi është negativ. Rrënja katrore e një numri negativ nuk mund të merret. Oh mirë. Kjo do të thotë se nuk ka zgjidhje.

Për të qenë i sinqertë, kur thjesht zgjidhen ekuacionet kuadratike, koncepti i një diskriminuesi nuk është vërtet i nevojshëm. Ne zëvendësojmë vlerat e koeficientëve në formulë dhe numërojmë. Gjithçka ndodh atje vetvetiu, dy rrënjë, një dhe asnjë. Sidoqoftë, kur zgjidhni detyra më komplekse, pa njohuri kuptimi dhe formula e diskriminuesit nuk ia del dot. Sidomos në ekuacionet me parametra. Ekuacione të tilla janë aerobatikë për Provimin e Shtetit dhe Provimin e Unifikuar të Shtetit!)

Pra, si të zgjidhim ekuacionet kuadratike përmes diskriminuesit që kujtove. Ose keni mësuar, gjë që gjithashtu nuk është e keqe.) Ju dini të përcaktoni saktë a, b dhe c. A e dini se si? me vëmendje zëvendësojini ato në formulën rrënjësore dhe me vëmendje numëroni rezultatin. Ju e kuptoni se fjala kyçe këtu është me vëmendje?

Tani merrni parasysh teknikat praktike që reduktojnë në mënyrë dramatike numrin e gabimeve. Të njëjtat që janë për shkak të pavëmendjes... Për të cilat më vonë bëhet e dhimbshme dhe fyese...

Takimi i parë . Mos u bëni dembel përpara se të zgjidhni një ekuacion kuadratik dhe ta sillni atë në formën standarde. Çfarë do të thotë kjo?
Le të themi se pas të gjitha transformimeve ju merrni ekuacionin e mëposhtëm:

Mos nxitoni të shkruani formulën rrënjësore! Ju pothuajse me siguri do t'i ngatërroni shanset a, b dhe c. Ndërtoni saktë shembullin. Së pari, X në katror, ​​pastaj pa katror, ​​pastaj termi i lirë. Si kjo:

Dhe përsëri, mos nxitoni! Një minus para një X në katror mund t'ju shqetësojë vërtet. Është e lehtë të harrosh... Hiqni qafe minusin. Si? Po, siç u mësua në temën e mëparshme! Duhet të shumëzojmë të gjithë ekuacionin me -1. Ne marrim:

Por tani mund të shkruani me siguri formulën për rrënjët, të llogarisni diskriminuesin dhe të përfundoni zgjidhjen e shembullit. Vendosni vetë.

Tani duhet të keni rrënjët 2 dhe -1. Pritja e dyta. Kontrolloni rrënjët! Sipas teoremës së Vietës. Mos kini frikë, unë do t'ju shpjegoj gjithçka! Duke kontrolluar e fundit ekuacioni. Ato. ai që përdorëm për të shkruar formulën rrënjësore. Nëse (si në këtë shembull) koeficienti a = 1 , kontrollimi i rrënjëve është i lehtë. Mjafton t'i shumohen ato. Rezultati duhet të jetë një anëtar i lirë, d.m.th. në rastin tonë -2. Ju lutemi vini re, jo 2, por -2! Anëtar i lirë me shenjën tuaj

. Nëse nuk funksionon, kjo do të thotë që tashmë keni dështuar diku. Kërkoni për gabimin. b Nëse funksionon, duhet të shtoni rrënjët. Kontrolli i fundit dhe i fundit. Koeficienti duhet të jetë Me përballë b i njohur. Në rastin tonë -1+2 = +1. Një koeficient
, e cila është para X, është e barabartë me -1. Pra, gjithçka është e saktë! Është për të ardhur keq që kjo është kaq e thjeshtë vetëm për shembujt ku x në katror është i pastër, me një koeficient a = 1.

Por të paktën kontrolloni në ekuacione të tilla! Do të ketë gjithnjë e më pak gabime. Pritja e treta

. Nëse ekuacioni juaj ka koeficientë thyesorë, hiqni qafe thyesat! Shumëzoni ekuacionin me një emërues të përbashkët siç përshkruhet në mësimin "Si të zgjidhim ekuacionet? Transformimet e identitetit". Kur punoni me thyesa, gabimet vazhdojnë të zvarriten për disa arsye ...

Nga rruga, unë premtova të thjeshtoja shembullin e keq me një mori minusesh. Ju lutem! Këtu është ai.

Për të mos u ngatërruar nga minuset, e shumëzojmë ekuacionin me -1. Ne marrim:

Kjo është ajo! Zgjidhja është një kënaqësi!

Pra, le të përmbledhim temën.

Këshilla praktike: 1. Para se ta zgjidhim, e sjellim ekuacionin kuadratik në formë standarde dhe e ndërtojmë.

E drejta

2. Nëse ka një koeficient negativ përballë katrorit X, e eliminojmë duke shumëzuar të gjithë ekuacionin me -1.

3. Nëse koeficientët janë thyesorë, i eliminojmë thyesat duke shumëzuar të gjithë ekuacionin me faktorin përkatës. 4. Nëse x në katror është i pastër, koeficienti i tij është i barabartë me një, zgjidhja mund të verifikohet lehtësisht duke përdorur teoremën e Vietës.

Bëje atë!

Tani mund të vendosim.)

Zgjidh ekuacionet:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Prandaj, mund të shkruajmë me besim:
Përgjigjet (në rrëmujë):

x 2 = 52

x 1,2 =
x 1 = 2

x 2 = -0,5

Gjithashtu dy rrënjë
x 1 = -3

x - çdo numër

asnjë zgjidhje
x 1 = 0,25

A përshtatet gjithçka? E shkëlqyeshme! Ekuacionet kuadratike nuk janë dhimbja juaj e kokës. Tre të parat funksionuan, por pjesa tjetër jo? Atëherë problemi nuk është me ekuacionet kuadratike. Problemi është në transformimet identike të ekuacioneve. Hidhini një sy lidhjes, është e dobishme.

Nuk funksionon fare? Apo nuk funksionon fare? Më pas, Seksioni 555 do t'ju ndihmojë të gjithë këta shembuj. Treguar kryesore gabimet në zgjidhje. Natyrisht, flasim edhe për përdorimin e transformimeve identike në zgjidhjen e ekuacioneve të ndryshme. Ndihmon shumë!

Nëse ju pëlqen kjo faqe...

Nga rruga, unë kam disa faqe më interesante për ju.)

Ju mund të praktikoni zgjidhjen e shembujve dhe të zbuloni nivelin tuaj. Testimi me verifikim të menjëhershëm. Le të mësojmë - me interes!)

Mund të njiheni me funksionet dhe derivatet.

Niveli i hyrjes

Ekuacionet kuadratike. Udhëzuesi Gjithëpërfshirës (2019)

Në termin "ekuacion kuadratik", fjala kyçe është "kuadratike". Kjo do të thotë që ekuacioni duhet të përmbajë domosdoshmërisht një ndryshore (të njëjtin x) në katror, ​​dhe nuk duhet të ketë xes për fuqinë e tretë (ose më të madhe).

Zgjidhja e shumë ekuacioneve zbret në zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike.

Le të mësojmë të përcaktojmë se ky është një ekuacion kuadratik dhe jo ndonjë ekuacion tjetër.

Shembulli 1.

Le të heqim qafe emëruesin dhe të shumëzojmë çdo term të ekuacionit me

Le të lëvizim gjithçka në anën e majtë dhe të rregullojmë termat në rendin zbritës të fuqive të X

Tani mund të themi me besim se ky ekuacion është kuadratik!

Shembulli 2.

Shumëzoni anët e majta dhe të djathta me:

Ky ekuacion, megjithëse ishte fillimisht në të, nuk është kuadratik!

Shembulli 3.

Le të shumëzojmë gjithçka me:

E frikshme? Shkalla e katërt dhe e dytë... Megjithatë, nëse bëjmë një zëvendësim, do të shohim se kemi një ekuacion të thjeshtë kuadratik:

Shembulli 4.

Duket se është atje, por le të hedhim një vështrim më të afërt. Le të lëvizim gjithçka në anën e majtë:

Shihni, është reduktuar - dhe tani është një ekuacion i thjeshtë linear!

Tani përpiquni të përcaktoni vetë se cilat nga ekuacionet e mëposhtme janë kuadratike dhe cilat jo:

Shembuj:

Përgjigjet:

1. katror;
2. katror;
3. jo katror;
4. jo katror;
5. jo katror;
6. katror;
7. jo katror;
8. katrore.

Matematikanët në mënyrë konvencionale i ndajnë të gjitha ekuacionet kuadratike në llojet e mëposhtme:

• Ekuacionet e plota kuadratike- ekuacionet në të cilat koeficientët dhe, si dhe termi i lirë c, nuk janë të barabartë me zero (si në shembull). Përveç kësaj, midis ekuacioneve të plota kuadratike ekzistojnë dhënë- këto janë ekuacione në të cilat koeficienti (ekuacioni nga shembulli i parë nuk është vetëm i plotë, por edhe i reduktuar!)

• Ekuacionet kuadratike jo të plota- ekuacionet në të cilat koeficienti dhe ose termi i lirë c janë të barabartë me zero:

  Ato janë të paplota sepse u mungon një element. Por ekuacioni duhet të përmbajë gjithmonë x në katror!!! Përndryshe, nuk do të jetë më një ekuacion kuadratik, por një ekuacion tjetër.

Pse dolën me një ndarje të tillë? Duket se ka një X në katror, ​​dhe në rregull. Kjo ndarje përcaktohet nga metodat e zgjidhjes. Le të shohim secilën prej tyre në më shumë detaje.

Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike jo të plota

Së pari, le të përqendrohemi në zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike jo të plota - ato janë shumë më të thjeshta!

Ekzistojnë lloje të ekuacioneve kuadratike jo të plota:

1. , në këtë ekuacion koeficienti është i barabartë.
2. , në këtë ekuacion termi i lirë është i barabartë me.
3. , në këtë ekuacion koeficienti dhe termi i lirë janë të barabartë.

1. i. Meqenëse dimë të marrim rrënjën katrore, le të përdorim këtë ekuacion për t'u shprehur

Shprehja mund të jetë ose negative ose pozitive. Një numër në katror nuk mund të jetë negativ, sepse kur shumëzohen dy numra negativë ose dy numra pozitivë, rezultati do të jetë gjithmonë një numër pozitiv, pra: nëse, atëherë ekuacioni nuk ka zgjidhje.

Dhe nëse, atëherë marrim dy rrënjë. Nuk ka nevojë të mësoni përmendësh këto formula. Gjëja kryesore është që ju duhet të dini dhe të mbani mend gjithmonë se nuk mund të jetë më pak.

Le të përpiqemi të zgjidhim disa shembuj.

Shembulli 5:

Zgjidhe ekuacionin

Tani mbetet vetëm nxjerrja e rrënjës nga anët e majta dhe të djathta. Në fund të fundit, ju kujtohet se si të nxirrni rrënjët?

Përgjigje:

Mos harroni kurrë për rrënjët me një shenjë negative!!!

Shembulli 6:

Zgjidhe ekuacionin

Përgjigje:

Shembulli 7:

Zgjidhe ekuacionin

Oh! Katrori i një numri nuk mund të jetë negativ, që do të thotë se ekuacioni

pa rrënjë!

Për ekuacione të tilla që nuk kanë rrënjë, matematikanët dolën me një ikonë të veçantë - (grup bosh). Dhe përgjigja mund të shkruhet kështu:

Përgjigje:

Kështu, ky ekuacion kuadratik ka dy rrënjë. Këtu nuk ka kufizime, pasi nuk e kemi nxjerrë rrënjën.
Shembulli 8:

Zgjidhe ekuacionin

Le të heqim faktorin e përbashkët nga kllapat:

Kështu,

Ky ekuacion ka dy rrënjë.

Përgjigje:

Lloji më i thjeshtë i ekuacioneve kuadratike jo të plota (edhe pse të gjitha janë të thjeshta, apo jo?). Natyrisht, ky ekuacion ka gjithmonë vetëm një rrënjë:

Këtu do të bëjmë pa shembuj.

Zgjidhja e ekuacioneve të plota kuadratike

Ju kujtojmë se një ekuacion i plotë kuadratik është një ekuacion i ekuacionit të formës ku

Zgjidhja e ekuacioneve të plota kuadratike është pak më e vështirë (vetëm pak) se këto.

Mbani mend Çdo ekuacion kuadratik mund të zgjidhet duke përdorur një diskriminues! Edhe e paplotë.

Metodat e tjera do t'ju ndihmojnë ta bëni atë më shpejt, por nëse keni probleme me ekuacionet kuadratike, së pari zotëroni zgjidhjen duke përdorur diskriminuesin.

1. Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike duke përdorur një diskriminues.

Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike duke përdorur këtë metodë është shumë e thjeshtë, gjëja kryesore është të mbani mend sekuencën e veprimeve dhe disa formula.

Nëse, atëherë ekuacioni ka një rrënjë, duhet t'i kushtoni vëmendje të veçantë hapit. Diskriminuesi () na tregon numrin e rrënjëve të ekuacionit.

• Nëse, atëherë formula në hap do të reduktohet në. Kështu, ekuacioni do të ketë vetëm një rrënjë.
• Nëse, atëherë nuk do të jemi në gjendje të nxjerrim rrënjën e diskriminuesit në hap. Kjo tregon se ekuacioni nuk ka rrënjë.

Le të kthehemi te ekuacionet tona dhe të shohim disa shembuj.

Shembulli 9:

Zgjidhe ekuacionin

Hapi 1 ne kapërcejmë.

Hapi 2.

Gjejmë diskriminuesin:

Kjo do të thotë se ekuacioni ka dy rrënjë.

Hapi 3.

Përgjigje:

Shembulli 10:

Zgjidhe ekuacionin

Ekuacioni paraqitet në formë standarde, pra Hapi 1 ne kapërcejmë.

Hapi 2.

Gjejmë diskriminuesin:

Kjo do të thotë që ekuacioni ka një rrënjë.

Përgjigje:

Shembulli 11:

Zgjidhe ekuacionin

Ekuacioni paraqitet në formë standarde, pra Hapi 1 ne kapërcejmë.

Hapi 2.

Gjejmë diskriminuesin:

Kjo do të thotë që ne nuk do të jemi në gjendje të nxjerrim rrënjën e diskriminuesit. Nuk ka rrënjë të ekuacionit.

Tani ne e dimë se si t'i shkruajmë saktë përgjigje të tilla.

Përgjigje: pa rrënjë

2. Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike duke përdorur teoremën e Vietës.

Nëse ju kujtohet, ekziston një lloj ekuacioni që quhet i reduktuar (kur koeficienti a është i barabartë me):

Ekuacione të tilla janë shumë të lehta për t'u zgjidhur duke përdorur teoremën e Vieta:

Shuma e rrënjëve dhënë ekuacioni kuadratik është i barabartë, dhe prodhimi i rrënjëve është i barabartë.

Shembulli 12:

Zgjidhe ekuacionin

Ky ekuacion mund të zgjidhet duke përdorur teoremën e Vietës sepse .

Shuma e rrënjëve të ekuacionit është e barabartë, d.m.th. marrim ekuacionin e parë:

Dhe produkti është i barabartë me:

Le të hartojmë dhe zgjidhim sistemin:

• Dhe. Shuma është e barabartë me;
• Dhe. Shuma është e barabartë me;
• Dhe. Shuma është e barabartë.

dhe janë zgjidhja e sistemit:

Përgjigje: ; .

Shembulli 13:

Zgjidhe ekuacionin

Përgjigje:

Shembulli 14:

Zgjidhe ekuacionin

Ekuacioni është dhënë, që do të thotë:

Përgjigje:

EKUACIONET KUADRATE. NIVELI I MESËM

Çfarë është një ekuacion kuadratik?

Me fjalë të tjera, një ekuacion kuadratik është një ekuacion i formës, ku - e panjohura, - disa numra dhe.

Numri quhet më i larti ose koeficienti i parë ekuacioni kuadratik, - koeficienti i dytë, A - anëtar i lirë.

Pse? Sepse nëse ekuacioni bëhet menjëherë linear, sepse do të zhduket.

Në këtë rast, dhe mund të jetë e barabartë me zero. Në këtë karrige ekuacioni quhet jo i plotë. Nëse të gjithë termat janë në vend, domethënë, ekuacioni është i plotë.

Zgjidhje të llojeve të ndryshme të ekuacioneve kuadratike

Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike jo të plota:

Së pari, le të shohim metodat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike jo të plota - ato janë më të thjeshta.

Mund të dallojmë llojet e mëposhtme të ekuacioneve:

I., në këtë ekuacion koeficienti dhe termi i lirë janë të barabartë.

II. , në këtë ekuacion koeficienti është i barabartë.

III. , në këtë ekuacion termi i lirë është i barabartë me.

Tani le të shohim zgjidhjen për secilin nga këto nëntipe.

Natyrisht, ky ekuacion ka gjithmonë vetëm një rrënjë:

Një numër në katror nuk mund të jetë negativ, sepse kur shumëzoni dy numra negativë ose dy numra pozitivë, rezultati do të jetë gjithmonë një numër pozitiv. Kjo është arsyeja pse:

nëse, atëherë ekuacioni nuk ka zgjidhje;

nëse kemi dy rrënjë

Nuk ka nevojë të mësoni përmendësh këto formula. Gjëja kryesore për të mbajtur mend është se nuk mund të jetë më pak.

Shembuj:

Zgjidhjet:

Përgjigje:

Asnjëherë mos harroni për rrënjët me një shenjë negative!

Katrori i një numri nuk mund të jetë negativ, që do të thotë se ekuacioni

pa rrënjë.

Për të shkruar shkurtimisht se një problem nuk ka zgjidhje, ne përdorim ikonën e setit bosh.

Përgjigje:

Pra, ky ekuacion ka dy rrënjë: dhe.

Përgjigje:

Le të heqim faktorin e përbashkët nga kllapat:

Produkti është i barabartë me zero nëse të paktën një nga faktorët është i barabartë me zero. Kjo do të thotë që ekuacioni ka një zgjidhje kur:

Pra, ky ekuacion kuadratik ka dy rrënjë: dhe.

Shembull:

Zgjidhe ekuacionin.

Zgjidhja:

Le të faktorizojmë anën e majtë të ekuacionit dhe të gjejmë rrënjët:

Përgjigje:

Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve të plota kuadratike:

1. Diskriminues

Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike në këtë mënyrë është e lehtë, gjëja kryesore është të mbani mend sekuencën e veprimeve dhe disa formula. Mos harroni, çdo ekuacion kuadratik mund të zgjidhet duke përdorur një diskriminues! Edhe e paplotë.

E keni vënë re rrënjën nga diskriminuesi në formulën për rrënjët? Por diskriminuesi mund të jetë negativ. Çfarë duhet bërë? Duhet t'i kushtojmë vëmendje të veçantë hapit 2. Diskriminuesi na tregon numrin e rrënjëve të ekuacionit.

• Nëse, atëherë ekuacioni ka rrënjë:
• Nëse, atëherë ekuacioni ka të njëjtat rrënjë, dhe në fakt, një rrënjë:

  Rrënjë të tilla quhen rrënjë të dyfishta.

• Nëse, atëherë rrënja e diskriminuesit nuk nxirret. Kjo tregon se ekuacioni nuk ka rrënjë.

Pse janë të mundshme numra të ndryshëm rrënjësh? Le të kthehemi te kuptimi gjeometrik i ekuacionit kuadratik. Grafiku i funksionit është një parabolë:

Në një rast të veçantë, i cili është një ekuacion kuadratik, . Kjo do të thotë se rrënjët e një ekuacioni kuadratik janë pikat e kryqëzimit me boshtin (boshtin) abshisë. Një parabolë mund të mos e presë fare boshtin, ose mund ta presë atë në një (kur kulmi i parabolës shtrihet në bosht) ose dy pika.

Përveç kësaj, koeficienti është përgjegjës për drejtimin e degëve të parabolës. Nëse, atëherë degët e parabolës janë të drejtuara lart, dhe nëse, atëherë poshtë.

Shembuj:

Zgjidhjet:

Përgjigje:

Përgjigje:.

Përgjigje:

Kjo do të thotë se nuk ka zgjidhje.

Përgjigje:.

2. Teorema e Vietës

Është shumë e lehtë të përdoret teorema e Vietës: thjesht duhet të zgjidhni një çift numrash produkti i të cilëve është i barabartë me termin e lirë të ekuacionit, dhe shuma është e barabartë me koeficientin e dytë të marrë me shenjën e kundërt.

Është e rëndësishme të mbani mend se teorema e Vietës mund të zbatohet vetëm në ekuacionet kuadratike të reduktuara ().

Le të shohim disa shembuj:

Shembulli #1:

Zgjidhe ekuacionin.

Zgjidhja:

Ky ekuacion mund të zgjidhet duke përdorur teoremën e Vietës sepse . Koeficientët e tjerë: ; .

Shuma e rrënjëve të ekuacionit është:

Dhe produkti është i barabartë me:

Le të zgjedhim çifte numrash prodhimi i të cilëve është i barabartë dhe të kontrollojmë nëse shuma e tyre është e barabartë:

• Dhe. Shuma është e barabartë me;
• Dhe. Shuma është e barabartë me;
• Dhe. Shuma është e barabartë.

dhe janë zgjidhja e sistemit:

Kështu, dhe janë rrënjët e ekuacionit tonë.

Përgjigje: ; .

Shembulli #2:

Zgjidhja:

Le të zgjedhim çifte numrash që japin produktin dhe më pas të kontrollojmë nëse shuma e tyre është e barabartë:

dhe: japin gjithsej.

dhe: japin gjithsej. Për të marrë, mjafton thjesht të ndryshoni shenjat e rrënjëve të supozuara: dhe, në fund të fundit, produktin.

Përgjigje:

Shembulli #3:

Zgjidhja:

Termi i lirë i ekuacionit është negativ, dhe për këtë arsye produkti i rrënjëve është një numër negativ. Kjo është e mundur vetëm nëse njëra prej rrënjëve është negative dhe tjetra është pozitive. Prandaj shuma e rrënjëve është e barabartë me dallimet e moduleve të tyre.

Le të zgjedhim çifte numrash që japin në produkt dhe ndryshimi i të cilëve është i barabartë me:

dhe: dallimi i tyre është i barabartë - nuk përshtatet;

dhe: - jo i përshtatshëm;

dhe: - jo i përshtatshëm;

dhe: - të përshtatshme. Mbetet vetëm të kujtojmë se njëra prej rrënjëve është negative. Meqenëse shuma e tyre duhet të jetë e barabartë, rrënja me modul më të vogël duhet të jetë negative: . Ne kontrollojmë:

Përgjigje:

Shembulli #4:

Zgjidhe ekuacionin.

Zgjidhja:

Ekuacioni është dhënë, që do të thotë:

Termi i lirë është negativ, dhe për këtë arsye produkti i rrënjëve është negativ. Dhe kjo është e mundur vetëm kur njëra rrënjë e ekuacionit është negative dhe tjetra është pozitive.

Le të zgjedhim çifte numrash prodhimi i të cilëve është i barabartë dhe më pas të përcaktojmë se cilat rrënjë duhet të kenë një shenjë negative:

Natyrisht, vetëm rrënjët dhe janë të përshtatshme për kushtin e parë:

Përgjigje:

Shembulli #5:

Zgjidhe ekuacionin.

Zgjidhja:

Ekuacioni është dhënë, që do të thotë:

Shuma e rrënjëve është negative, që do të thotë se të paktën njëra prej rrënjëve është negative. Por meqenëse produkti i tyre është pozitiv, do të thotë që të dy rrënjët kanë një shenjë minus.

Le të zgjedhim çifte numrash prodhimi i të cilëve është i barabartë me:

Natyrisht, rrënjët janë numrat dhe.

Përgjigje:

Pajtohem, është shumë e përshtatshme të dalësh me rrënjë me gojë, në vend që të numërosh këtë diskriminues të keq. Mundohuni të përdorni teoremën e Vietës sa më shpesh të jetë e mundur.

Por teorema e Vietës është e nevojshme për të lehtësuar dhe përshpejtuar gjetjen e rrënjëve. Në mënyrë që të përfitoni nga përdorimi i tij, duhet t'i çoni veprimet në automatik. Dhe për këtë, zgjidhni pesë shembuj të tjerë. Por mos mashtroni: nuk mund të përdorni një diskriminues! Vetëm teorema e Vietës:

Zgjidhje për detyrat për punë të pavarur:

Detyra 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Sipas teoremës së Vieta:

Si zakonisht, ne e fillojmë përzgjedhjen me pjesën:

Jo i përshtatshëm për shkak të sasisë;

: shuma është pikërisht ajo që ju nevojitet.

Përgjigje: ; .

Detyra 2.

Dhe përsëri teorema jonë e preferuar Vieta: shuma duhet të jetë e barabartë dhe prodhimi duhet të jetë i barabartë.

Por meqenëse nuk duhet të jetë, por, ne ndryshojmë shenjat e rrënjëve: dhe (në total).

Përgjigje: ; .

Detyra 3.

Hmm... Ku është?

Ju duhet të zhvendosni të gjitha termat në një pjesë:

Shuma e rrënjëve është e barabartë me produktin.

Në rregull, ndalo! Ekuacioni nuk është dhënë. Por teorema e Vietës është e zbatueshme vetëm në ekuacionet e dhëna. Pra, së pari ju duhet të jepni një ekuacion. Nëse nuk mund të udhëheqni, hiqni dorë nga kjo ide dhe zgjidhni në një mënyrë tjetër (për shembull, përmes një diskriminuesi). Më lejoni t'ju kujtoj se të japësh një ekuacion kuadratik do të thotë të bësh koeficientin kryesor të barabartë:

E madhe. Atëherë shuma e rrënjëve është e barabartë me dhe produktin.

Këtu është po aq e lehtë sa të zgjidhësh dardhat: në fund të fundit, është një numër kryesor (më falni për tautologjinë).

Përgjigje: ; .

Detyra 4.

Anëtari i lirë është negativ. Çfarë të veçantë ka kjo? Dhe fakti është se rrënjët do të kenë shenja të ndryshme. Dhe tani, gjatë përzgjedhjes, ne kontrollojmë jo shumën e rrënjëve, por ndryshimin në modulet e tyre: ky ndryshim është i barabartë, por një produkt.

Pra, rrënjët janë të barabarta me dhe, por njëra prej tyre është minus. Teorema e Vietës na thotë se shuma e rrënjëve është e barabartë me koeficientin e dytë me shenjë të kundërt, d.m.th. Kjo do të thotë që rrënja më e vogël do të ketë një minus: dhe, pasi.

Përgjigje: ; .

Detyra 5.

Çfarë duhet të bëni së pari? Kjo është e drejtë, jepni ekuacionin:

Përsëri: ne zgjedhim faktorët e numrit dhe ndryshimi i tyre duhet të jetë i barabartë me:

Rrënjët janë të barabarta me dhe, por njëra prej tyre është minus. Cilin? Shuma e tyre duhet të jetë e barabartë, që do të thotë se minusi do të ketë një rrënjë më të madhe.

Përgjigje: ; .

Më lejoni të përmbledh:

1. Teorema e Vietës përdoret vetëm në ekuacionet kuadratike të dhëna.
2. Duke përdorur teoremën e Vietës, mund të gjeni rrënjët me përzgjedhje, me gojë.
3. Nëse ekuacioni nuk është dhënë ose nuk gjendet asnjë çift i përshtatshëm faktorësh të termit të lirë, atëherë nuk ka rrënjë të tëra dhe ju duhet ta zgjidhni atë në një mënyrë tjetër (për shembull, përmes një diskriminuesi).

3. Metoda për zgjedhjen e një katrori të plotë

Nëse të gjithë termat që përmbajnë të panjohurën përfaqësohen në formën e termave nga formulat e shkurtuara të shumëzimit - katrori i shumës ose ndryshimit - atëherë pas zëvendësimit të variablave, ekuacioni mund të paraqitet në formën e një ekuacioni kuadratik jo të plotë të llojit.

Për shembull:

Shembulli 1:

Zgjidheni ekuacionin: .

Zgjidhja:

Përgjigje:

Shembulli 2:

Zgjidheni ekuacionin: .

Zgjidhja:

Përgjigje:

Në përgjithësi, transformimi do të duket si ky:

Më poshtë vijon: .

Nuk ju kujton asgjë? Kjo është një gjë diskriminuese! Pikërisht kështu kemi marrë formulën e diskriminimit.

EKUACIONET KUADRATE. SHKURTËZIM PËR GJËRAT KRYESORE

Ekuacioni kuadratik- ky është një ekuacion i formës, ku - e panjohura, - koeficientët e ekuacionit kuadratik, - termi i lirë.

Ekuacioni i plotë kuadratik- një ekuacion në të cilin koeficientët nuk janë të barabartë me zero.

Ekuacioni kuadratik i reduktuar- një ekuacion në të cilin koeficienti, që është: .

Ekuacion kuadratik jo i plotë- një ekuacion në të cilin koeficienti dhe ose termi i lirë c janë të barabartë me zero:

• nëse koeficienti, ekuacioni duket si: ,
• nëse ka një term të lirë, ekuacioni ka formën:
• nëse dhe, ekuacioni duket si: .

1. Algoritmi për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike jo të plota

1.1. Një ekuacion kuadratik jo i plotë i formës, ku, :

1) Le të shprehim të panjohurën: ,

2) Kontrolloni shenjën e shprehjes:

• nëse, atëherë ekuacioni nuk ka zgjidhje,
• nëse, atëherë ekuacioni ka dy rrënjë.

1.2. Një ekuacion kuadratik jo i plotë i formës, ku, :

1) Le të nxjerrim faktorin e përbashkët nga kllapat: ,

2) Produkti është i barabartë me zero nëse të paktën një nga faktorët është i barabartë me zero. Prandaj, ekuacioni ka dy rrënjë:

1.3. Një ekuacion kuadratik jo i plotë i formës, ku:

Ky ekuacion ka gjithmonë vetëm një rrënjë: .

2. Algoritmi për zgjidhjen e ekuacioneve të plota kuadratike të formës ku

2.1. Zgjidhje duke përdorur diskriminues

1) Le ta sjellim ekuacionin në formën standarde: ,

2) Le të llogarisim diskriminuesin duke përdorur formulën: , e cila tregon numrin e rrënjëve të ekuacionit:

3) Gjeni rrënjët e ekuacionit:

• nëse, atëherë ekuacioni ka rrënjë, të cilat gjenden me formulën:
• nëse, atëherë ekuacioni ka një rrënjë, e cila gjendet me formulën:
• nëse, atëherë ekuacioni nuk ka rrënjë.

2.2. Zgjidhje duke përdorur teoremën e Vietës

Shuma e rrënjëve të ekuacionit kuadratik të reduktuar (ekuacioni i formës ku) është i barabartë, dhe prodhimi i rrënjëve është i barabartë, d.m.th. , A.

2.3. Zgjidhja me metodën e zgjedhjes së një katrori të plotë