Le të vërtetojmë teoremën kryesore të mëposhtme.

Teorema. E vazhdueshme në segmentin [ a, b] funksion f(x) është i integrueshëm në këtë segment.

Dëshmi. Le të jepet ndonjë ε > 0. Për shkak të vazhdimësisë uniforme të funksionit f(x) në segmentin [ a, b] për një numër pozitiv ε /(b - a) mund ta specifikoni këtë δ > 0, e cila gjatë ndarjes T segment [ a, b] në segmente të pjesshme [ x i -1 , x i], gjatësia Δ x i nga të cilat janë më pak δ , luhatje ωi funksione f(x) në çdo segment të tillë të pjesshëm do të jetë më pak ε /(b - a) . Prandaj, për ndarje të tilla T

Prandaj, për një segment të vazhdueshëm [ a, b] funksione f(x) janë plotësuar kushtet e mjaftueshme për integrueshmëri.

Formula Njuton-Leibniz- jep marrëdhënien ndërmjet marrjes së operacioneve integral i caktuar dhe llogaritja e antiderivativit. Formula Njuton-Leibniz - formula bazë llogaritja integrale.

Kjo formulë e vërtetë për çdo funksion f(x), e vazhdueshme në segment [a, b], F- antiderivativ për f(x). Kështu, për të llogaritur një integral të caktuar, duhet të gjeni disa antiderivativë F funksione f(x), llogaritni vlerat e tij në pika a dhe b dhe gjeni ndryshimin F(b) – F(a).

Veçoritë metodologjike duke prezantuar përkufizimin e një integrali.

Tema studiohet në klasën e 11-të dhe qëllimi i saj kryesor është të mësojë nxënësit se si të llogarisin sipërfaqen trapezoid i lakuar dhe figura të tjera më komplekse dhe llogaritni vëllimet trup gjeometrik duke përdorur një integral. Rëndësia e kësaj teme është se integrimi ose gjetja e antiderivativit është problem i anasjelltë gjetja e derivatit. Para se të mësonin këtë temë, nxënësit ishin në gjendje të kryenin funksionet e mëposhtme me funksionet: mbledhje, zbritje, shumëzim dhe pjesëtim. Pas studimit të kësaj teme, nxënësit duhet të jenë në gjendje të kryejnë një veprimtari të re: diferencimin.

Studimi i kësaj teme përfundon kursi shkollor analiza matematikore

Kjo temë përfshin pyetjet e radhës: antiderivativ, veti themelore e antiderivativit, tre rregulla për gjetjen e antiderivativëve, sipërfaqja e një trapezi lakor, integral, formula Njuton-Leibniz, aplikimi i integralit.

Ka dy mënyra për të prezantuar konceptin e një integrali: Mënyra e parë është të konsiderohet integrali si një rritje e një antiderivativ; Për shembull, në librin shkollor të A.N. Kolmogorov., dhe metoda e dytë - konsiderimi i integralit si kufi i shumave integrale. Për shembull, libri shkollor Alimov Sh.A.

Më e vështira dhe e paarritshme për nxënësit e shkollës është qasja e dytë, pasi teoria e kufijve nuk studiohet në shkollë. Shkolla përdor qasjen e parë. S kr.tr. =F(b)-F(a) – kjo qasje zbatohet në tekstet moderne shkollore.

Analiza krahasuese Përmbajtja e temës në tekstet shkollore

Në librin shkollor të A. N. Kolmogorov "Algjebra dhe fillimet e analizës", kur futet integrali, merret parasysh problemi i llogaritjes së sipërfaqes së një trapezi lakor. Autori jep në librin shkollor dy mënyra për të llogaritur sipërfaqen e një trapezi lakor: duke përdorur teoremën mbi sipërfaqen e një trapezi lakor dhe duke përdorur shumat integrale. Metoda e dytë zbret në përcaktimin e integralit. Duke përdorur shumat integrale, nxirren edhe formula për llogaritjen e vëllimeve të trupave, punën forcë e ndryshueshme, si dhe gjetja e masës së shufrës dhe qendrës së masës.

Në tekstin e Mordkovich A.G. "Algjebra dhe fillimet e analizës", kur prezanton konceptin e "integralit të caktuar", problemet që çojnë në këtë koncept, përkatësisht problemi i llogaritjes së sipërfaqes së një trapezi lakor, problemi i llogaritjes së masës së një shufre dhe problemi i lëvizjes së një pike. Të tre problemet, kur zgjidhen, reduktohen në të njëjtin model matematikor.

Në librin shkollor të S. M. Nikolsky "Algjebra dhe fillimet e analizës", shqyrtimi i problemit të llogaritjes së sipërfaqes së një trapezi të lakuar çon në konceptin e shumave integrale dhe kufirin e tyre, pas së cilës prezantohet përkufizimi i një integrali të caktuar. . Sfondi teorik zbatimi i një integrali të caktuar konsiderohet në të tilla probleme fizike, si detyra për punën e forcës, punë ngarkesë elektrike, për të llogaritur masën e një shufre me densitet të ndryshueshëm, presionin e lëngut në mur dhe qendrën e gravitetit.

Në librin shkollor të Sh. A. Alimov "Algjebra dhe fillimet e analizës", para se të prezantohet koncepti i një integrali, merret parasysh problemi i gjetjes së sipërfaqes së një trapezi lakor, ku llogaritja e sipërfaqes reduktohet në gjetjen e antiderivativ F(x) i funksionit f(x). Diferenca F(b) - F(a) quhet integrali i funksionit f(x) në segment. Më pas, autori konsideron llogaritjen e sipërfaqes së një trapezi lakor duke përdorur shuma integrale, thotë se kjo metodë e llogaritjes së përafërt të integralit kërkon llogaritje të rënda dhe përdoret në rastet kur nuk është e mundur të gjendet antiderivativ i funksionit. Si shembuj të aplikimit të integralit jepen problemet e rrjedhjes së ujit nga një rezervuar dhe gjetjes së punës së forcës. Detyrat për vendim i pavarur janë të të njëjtit lloj dhe ka shumë pak prej tyre.

d(τ)→0

Vërejtje 1. Nëse funksioni f(x) është i integrueshëm në një interval me pika fundore a, b, atëherë pabarazia vlen

Vërejtje 2. Nëse funksioni f(x) është i vazhdueshëm në , f(x) ≥ 0 në

Dhe x0 : f(x0 ) > 0, pastaj f(x) dx > 0.

1.6 Integrueshmëria e një funksioni të vazhdueshëm pjesë-pjesë

Le të shqyrtojmë klasën e funksioneve të integrueshme, më të gjerë se klasa funksionet e vazhdueshme. Kjo kërkon lemën e mëposhtme, e cila tregon një tjetër gjendje e mjaftueshme integrueshmëria e funksionit.

Lema 1.3. Le të jetë funksioni f(x) i integrueshëm në interval. Ndryshimi i vlerës së një funksioni në numër i kufizuar pikat nuk ndikojnë në integrueshmërinë e tij në dhe vlerën e integralit.

Le të, për definicion, A > 0. Le të rregullojmë ε > 0 dhe të zgjedhim

ndarje arbitrare τ = (xk )n k=0 N me diametër d(τ)<2A . Точка α может принадлежать только одному отрезку разбиения, если α не является точкой из разбиения τ, или двум отрезкам, если α является точкой из разбиения τ, не совпадающей с a или b. В любом случае

I(fe) = fe (x) dx = 0.

2) Le të jetë f R,

0,x\(α),

dhe g(x) = A − f(α), x = α.

Atëherë fe (x) = f(x) + g(x), x, dhe nga teorema 1.12 funksioni fe është i integrueshëm në , dhe

Nëse një ndryshim në vlerën e një funksioni ndodh në një numër të fundëm pikash në segment, atëherë për secilën pikë të tillë duhet të ndërtohet një funksion i ngjashëm me funksionin g, i cili do të jetë i integrueshëm në , të përbëjë një shumë të ngjashme me (1.21) , dhe zbatoni teoremën 1.12.

Përkufizimi 1.6. Funksioni f:

e vazhdueshme në intervalin nëse me përfshirjen e një numri të fundëm pikash, një ndërprerje e llojit të parë.

→ R thuhet se është pjesë-pjesë e vazhdueshme dhe cilat janë pikat e tij

Oriz. 1.1: Shembull i një funksioni të vazhdueshëm pjesë-pjesë

Tani mund të vërtetojmë një rezultat që zgjeron klasën e funksioneve të integrueshme nga Riemann.

Teorema 1.19. Nëse një funksion f: → R është pjesë-pjesë i vazhdueshëm në intervalin , atëherë ai është i integrueshëm në të.

Le të shqyrtojmë rastin kur funksioni f(x) ka një pikë ndërprerjeje të llojit të parë c (a, b) në segment, domethënë ka të fundme

vlerat kufi f(c + 0) dhe f (c - 0). Le të shohim funksionet

Meqenëse funksionet f1 (x) dhe f2 (x) janë të vazhdueshme në intervale dhe, përkatësisht, ato janë të integrueshme në këto intervale. Pastaj, nga Lema 1.3, funksioni f(x), i cili ndryshon nga funksioni f1 (x) me një vlerë në një pikë, është i integrueshëm në intervalin . Në mënyrë të ngjashme, f(x) është i integrueshëm në intervalin . Pastaj nga teorema 1.17 f(x) është i integrueshëm në .

Komentoni. Nëse funksioni f(x) është pjesë-pjesë i vazhdueshëm në segmentin, atëherë ai është i integrueshëm në të dhe për të llogaritur integralin e caktuar të një funksioni të tillë, segmenti ndahet në një numër të fundëm segmentesh në mënyrë që f(x) të jetë i vazhdueshëm. dhe funksioni i kufizuar në intervalet (ak, bk).

1.7 Teorema e parë e vlerës mesatare integrale

Teorema 1.20. Lërini funksionet f dhe g të plotësojnë kushtet:

Le të, për shembull, g(x) ≥ 0, x, atëherë nga kushti 2) rrjedh se mg(x) ≤ f(x)g(x) ≤ Mg(x), x. Meqenëse funksionet f dhe g

janë të integrueshme në interval, atëherë funksioni f g është gjithashtu i integrueshëm në këtë interval dhe në bazë të Teoremës 1.18

rasti, barazia (1.22) plotësohet për çdo µ.

Përkufizimi i µ nënkupton barazi (1.22) . Teorema vërtetohet në mënyrë të ngjashme në rastin kur g(x) ≤ 0 në .

Përfundimi 1. Nëse një funksion f është i integrueshëm në intervalin m ≤ f(x) ≤ M, x, atëherë

µ : f(x) dx = µ(b − a).

Përfundimi 2. Nëse funksioni f(x) është i vazhdueshëm në interval dhe funksioni g(x) është i integrueshëm dhe nuk ndryshon shenjën në të, atëherë

Nga vazhdimësia e funksionit f(x) në një interval rezulton se ai është i integrueshëm në të. Sipas teoremës së dytë të Weierstrass

Sipas teoremës Bolzano-Cauchy mbi vlerën e ndërmjetme të një funksioni të vazhdueshëm në një interval, ekziston një pikë c që i përket një segmenti me pika fundore në pikat p dhe q, dhe për rrjedhojë c, e tillë që f(c) = µ. Kështu,

Problemet që çojnë në konceptin e një integrali të caktuar (problem në zonën e një trapezi të lakuar, problem në llogaritjen e punës nën veprimin e një force të ndryshueshme). Koncepti i një integrali të caktuar. Shumat Darboux dhe vetitë e tyre (përmbledhje). Kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm për integrueshmëri. Integrueshmëria e një funksioni të vazhdueshëm. Vetitë themelore të integralit të caktuar

Problem në zonën e një trapezi të lakuar. Le të shqyrtojmë figurë e sheshtë, i kufizuar me vija ku f(x) është një funksion i vazhdueshëm pozitiv i specifikuar në (shih Fig. 3). Kjo shifër quhet trapezoid i lakuar. Le të bëjmë pyetjen për zonën F ky trapez.

Ndani [ a, b] pika dhe le λ = max( x k +1 - x k). Direkt x = x k thyej trapezinë tonë në n vija të ngushta. Që nga funksioni f(x) është e vazhdueshme, atëherë ndryshon pak kur x k ≤ x ≤ x k+1 dhe pa një gabim të madh mund të llogaritet në intervalin [ x k , x k+1 ] konstante dhe e barabartë f(ξ k), Ku ξ kështë një pikë arbitrare në intervalin [ x k , x k+1]. Është e lehtë të shihet se supozimi i bërë është ekuivalent me marrjen e vijave të sipërpërmendura si drejtkëndësha, dhe të gjithë trapezin tonë si figurën me shkallë të paraqitur në Fig. 4. Sipërfaqja e kësaj figure të shkallëzuar është padyshim e barabartë me Është e natyrshme të supozohet se kjo zonë për të vogla λ është një vlerë e përafërt e zonës së interesit për ne F. Prandaj, sipas përkufizimit ne do të quajmë zonë kufiri ynë lakor i trapezit .

Nëse një funksion ka të paktën një antiderivativ, atëherë ai ka pafundësisht shumë antiderivativë. Në praktikë, shpesh është e nevojshme të kërkohet ndryshimi në vlerat e antiderivativit në pika b Dhe a. Ky ndryshim nuk varet nga zgjedhja e një konstante arbitrare me, sepse .. Lëreni funksionin f jepet në një interval dhe ka një antiderivativ mbi të F. Diferenca quhet integral i caktuar funksione f përgjatë segmentit dhe shënoni Numrat b Dhe a thirrur kufijtë e sipërm dhe të poshtëm të integrimit. Segmenti i linjës zona e integrimit.

Puna me forcë të ndryshueshme. Merrni parasysh lëvizjen pikë materiale përgjatë boshtit OX nën veprimin e një force të ndryshueshme f, në varësi të pozicionit të pikës x në bosht, d.m.th. forcë, e cila është një funksion i x. Pastaj puna A që kërkohet për të lëvizur një pikë materiale nga pozicioni x = a në pozicionin x = b llogaritet me formulën:

Vetitë e OP.

1) Nëse funksioni f ka një antiderivativ në interval dhe është çdo numër, atëherë .

2) Nëse funksionet kanë një antiderivativ në një interval, atëherë.

3) Veti shtese. Nëse funksioni f ka një antiderivativ në segment dhe, më pas .

4) Nëse funksioni f ka një antiderivativ në segmentin, atëherë .

5)6)

7) Nëse funksioni f ka një antiderivativ në segment dhe është i barabartë, atëherë . Nëse f është e çuditshme, atëherë.

8) Nëse funksioni f ka një periudhë dhe në segment ka një antiderivativ për f, pastaj për këdo a barazia është e vërtetë .

9) Nëse .

11) Le të qëndrojnë pabarazitë në një interval, dhe në këtë interval funksioni f ka një antiderivativ. Pastaj .

Shumat Darboux. Le të bëjmë shumat. Këto quhen shuma Darboux e poshtme dhe e sipërme.

VetitëShumat Darboux: 1) Nëse pikave ekzistuese të ndarjes së segmentit në intervale u shtohen pika të reja, atëherë shuma e poshtme Darboux mund të rritet vetëm, dhe shuma e sipërme mund të ulet. Ato. nëse τ′ është një përsosje e ndarjes τ, atëherë .

2) Çdo shumë e poshtme Darboux nuk e kalon secilën nga shumat e sipërme, madje edhe ato që korrespondojnë me një ndarje të ndryshme të intervalit.

3) - lëkundje e funksionit nga − integrali më i ulët Darboux i funksionit f në , është integrali i sipërm Darboux. Seti () i shumave më të ulëta Darboux kufizohet më sipër nga të paktën një nga shumat e sipërme Darboux atëherë ka dhe. Grupi i shumave të sipërme Darboux () është i kufizuar më poshtë, kështu që ekziston -, dhe. Se..

ThNjë kusht i domosdoshëm për integrueshmërinë. Nëse një funksion është i integrueshëm në një interval, atëherë ai është i kufizuar në të . ThKusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm për integrueshmëri. Në mënyrë që një funksion i kufizuar në një interval të caktuar të jetë i integrueshëm në të, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që ky kusht do të thotë që për çdo ε>0 ekziston δ(ε)>0, që për çdo ndarje τ me imtësi më të vogël se δ. vlen pabarazia e mëposhtme:−<ε.

ThIntegrueshmëria e një funksioni të vazhdueshëm. Nëse f(x)është e vazhdueshme në , atëherë është e integrueshme në të. Th. Funksioni është i përcaktuar dhe monoton dhe i integrueshëm në të. Th. Nëse një funksion është i kufizuar dhe i vazhdueshëm në një interval, me përjashtim ndoshta të një numri të fundëm pikash, atëherë ai është i integrueshëm në të.