Formulat për integrale të përcaktuara, tabelë e plotë.

Në shkollë, shumë njerëz nuk arrijnë të zgjidhin integrale ose kanë ndonjë vështirësi me to. Ky artikull do t'ju ndihmojë ta kuptoni, pasi do të gjeni gjithçka në të. tabela integrale.

Integraleështë një nga llogaritjet dhe konceptet kryesore në analiza matematikore. Pamja e saj erdhi për dy qëllime:
Goli i parë- rivendosni një funksion duke përdorur derivatin e tij.
Goli i dytë- llogaritja e sipërfaqes së vendosur në distancën nga grafiku deri te funksioni f(x) në drejtëzën ku, a është më e madhe ose e barabartë me x më e madhe ose e barabartë me b dhe boshti x.

Këto qëllime na çojnë në integrale të përcaktuara dhe të pacaktuara. Lidhja midis këtyre integraleve qëndron në kërkimin e vetive dhe llogaritjen. Por gjithçka rrjedh dhe gjithçka ndryshon me kalimin e kohës, u gjetën zgjidhje të reja, u identifikuan shtesa, duke çuar kështu integrale të përcaktuara dhe të pacaktuara në forma të tjera integrimi.

Cfare ndodhi integral i pacaktuar ju pyesni. Ky është një funksion antiderivativ F(x) i një ndryshoreje x në intervalin a më të madh se x më të madh se b. quhet çdo funksion F(x), në një interval të caktuar për çdo emërtim x, derivati ​​është i barabartë me F(x). Është e qartë se F(x) është antiderivativ për f(x) në intervalin a është më i madh se x është më i madh se b. Kjo do të thotë F1(x) = F(x) + C. C - është çdo konstante dhe antiderivativ për f(x) në një interval të caktuar. Ky pohim është i kthyeshëm për funksionin f(x) - 2 antiderivativët ndryshojnë vetëm në konstante. Bazuar në teoremën llogaritja integrale rezulton se çdo e vazhdueshme në intervalin a

Integral i caktuar kuptohet si një kufi në shumat integrale, ose në situatën e një funksioni të caktuar f(x) të përcaktuar në një rresht (a,b) që ka një antiderivativ F në të, që do të thotë ndryshimi i shprehjeve të tij në skajet e një rreshti të caktuar. F(b) - F(a).

Për të ilustruar studimin e kësaj teme, unë sugjeroj të shikoni videon. Ai tregon në detaje dhe tregon se si të gjeni integrale.

Çdo tabelë integralesh në vetvete është shumë e dobishme, pasi ndihmon në zgjidhje lloj specifik integrale.

Të gjitha llojet e mundshme të shkrimit dhe më shumë. Mund të blini përmes dyqanit online v-kant.ru. Ose thjesht ndiqni lidhjen Stationery Samara (http://v-kant.ru) cilësia dhe çmimet do t'ju befasojnë këndshëm.

Le të rendisim integralet e funksionet elementare, të cilat nganjëherë quhen tabelare:

Secila nga formulat e mësipërme mund të vërtetohet duke marrë derivatin e anës së djathtë (rezultati do të jetë integrandi).

Metodat e integrimit

Le të shohim disa metoda themelore të integrimit. Kjo perfshin:

1. Metoda e zbërthimit(integrimi i drejtpërdrejtë).

Kjo metodë bazohet në përdorimin e drejtpërdrejtë të integraleve tabelare, si dhe në përdorimin e vetive 4 dhe 5 të integralit të pacaktuar (d.m.th., duke nxjerrë faktorin konstant nga kllapat dhe/ose duke paraqitur integrandin si një shumë funksionesh - zbërthimi të integrandit në terma).

Shembulli 1. Për shembull, për të gjetur(dx/x 4) mund të përdorni drejtpërdrejt integralin e tabelës përx n dx. Në fakt,(dx/x 4) =x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.

Le të shohim disa shembuj të tjerë.

Shembulli 2. Për ta gjetur atë, ne përdorim të njëjtin integral:

Shembulli 3. Për ta gjetur, duhet të merrni

Shembulli 4. Për të gjetur, ne paraqesim funksionin integrand në formë dhe përdorni integralin e tabelës për funksionin eksponencial:

Le ta konsiderojmë përdorimin e kllapave një faktor konstant.

Shembulli 5.Le të gjejmë, për shembull . Duke marrë parasysh këtë, ne marrim

Shembulli 6. Do ta gjejmë. Sepse , le të përdorim integralin e tabelës marrim

Në dy shembujt e mëposhtëm, mund të përdorni gjithashtu integralet e kllapave dhe tabelave:

Shembulli 7.

(ne përdorim dhe );

Shembulli 8.

(ne përdorim Dhe ).

Le të shohim shembuj më kompleksë që përdorin integralin e shumës.

Shembulli 9. Për shembull, le të gjejmë
. Për të aplikuar metodën e zgjerimit në numërues, ne përdorim formulën e kubit të shumës , dhe më pas ndajmë polinomin që rezulton me emëruesin, term pas termi.

=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx=

Duhet të theksohet se në fund të zgjidhjes shkruhet një konstante e përbashkët C (dhe jo të veçanta kur integrohet çdo term). Në të ardhmen, propozohet gjithashtu që të hiqen konstantat nga integrimi i termave individualë në procesin e zgjidhjes për sa kohë që shprehja përmban të paktën një integral të pacaktuar (do të shkruajmë një konstante në fund të zgjidhjes).

Shembulli 10. Ne do të gjejmë . Për të zgjidhur këtë problem, le të faktorizojmë numëruesin (pas kësaj mund të zvogëlojmë emëruesin).

Shembulli 11. Do ta gjejmë. Këtu mund të përdoren identitetet trigonometrike.

Ndonjëherë, për të zbërthyer një shprehje në terma, duhet të përdorni teknika më komplekse.

Shembulli 12. Ne do të gjejmë . Në integrand zgjedhim të gjithë pjesën e thyesës . Pastaj

Shembulli 13. Ne do të gjejmë

2. Metoda e zëvendësimit të variablave (metoda e zëvendësimit)

Metoda bazohet në formulën e mëposhtme: f(x)dx=f((t))`(t)dt, ku x =(t) është një funksion i diferencueshëm në intervalin në shqyrtim.

Dëshmi. Le të gjejmë derivatet në lidhje me ndryshoren tnga e majta dhe pjesët e duhura formulat.

Vini re se në anën e majtë ka një funksion kompleks, argumenti i ndërmjetëm i të cilit është x = (t). Prandaj, për ta diferencuar atë në lidhje me t, ne fillimisht diferencojmë integralin në lidhje me x, dhe më pas marrim derivatin e argumentit të ndërmjetëm në lidhje me t.

( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)

Derivat nga ana e djathtë:

(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)

Meqenëse këto derivate janë të barabarta, si pasojë e teoremës së Lagranzhit, ana e majtë dhe e djathtë e formulës që vërtetohet ndryshojnë nga një konstante e caktuar. Meqenëse vetë integralet e pacaktuara përcaktohen deri në një term konstant të pacaktuar, kjo konstante mund të hiqet nga shënimi përfundimtar. E provuar.

Një ndryshim i suksesshëm i ndryshores ju lejon të thjeshtoni integralin origjinal, dhe në rastet më të thjeshta, ta zvogëloni atë në një tabelë. Në aplikimin e kësaj metode bëhet dallimi ndërmjet metodave të zëvendësimit linear dhe jolinear.

a) Metoda e zëvendësimit linear Le të shohim një shembull.

Shembulli 1.
. Le të jetë t= 1 – 2x, atëherë

dx=d(½ - ½t) = - ½dt

Duhet të theksohet se ndryshorja e re nuk ka nevojë të shkruhet në mënyrë eksplicite. Në raste të tilla, ata flasin për transformimin e një funksioni nën shenjën diferenciale ose për futjen e konstantave dhe ndryshoreve nën shenjën diferenciale, d.m.th. O zëvendësimi i nënkuptuar i ndryshores.

Shembulli 2. Për shembull, le të gjejmëcos(3x + 2)dx. Sipas vetive të diferencialit dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), atëherëcos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.

Në të dy shembujt e konsideruar, zëvendësimi linear t=kx+b(k0) është përdorur për të gjetur integralet.

Në rastin e përgjithshëm, teorema e mëposhtme është e vlefshme.

Teorema e zëvendësimit linear. Le të jetë F(x) ndonjë antiderivativ i funksionit f(x). Atëherëf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, ku k dhe b janë disa konstante,k0.

Dëshmi.

Sipas përcaktimit të integralit f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. Të marrim faktorin konstant k nga shenja integrale: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. Tani mund të ndajmë anët e majta dhe të djathta të barazisë në dy dhe të marrim pohimin që do të vërtetohet deri në përcaktimin e termit konstant.

Kjo teoremë thotë se nëse në përkufizimin e integralit f(x)dx= F(x) + C në vend të argumentit x zëvendësojmë shprehjen (kx+b), kjo do të çojë në shfaqjen e një shtesë. faktori 1/k përballë antiderivativit.

Duke përdorur teoremën e provuar, zgjidhim shembujt e mëposhtëm.

Shembulli 3.

Ne do të gjejmë . Këtu kx+b= 3 –x, pra k= -1,b= 3. Atëherë

Shembulli 4.

Do ta gjejmë. Herekx+b= 4x+ 3, pra k= 4,b= 3. Atëherë

Shembulli 5.

Ne do të gjejmë . Këtu kx+b= -2x+ 7, pra k= -2,b= 7. Atëherë

.

Shembulli 6. Ne do të gjejmë
. Këtu kx+b= 2x+ 0, pra k= 2,b= 0.

.

Le të krahasojmë rezultatin e marrë me shembullin 8, i cili u zgjidh me metodën e zbërthimit. Duke zgjidhur të njëjtin problem duke përdorur një metodë tjetër, morëm përgjigjen
. Le të krahasojmë rezultatet: Kështu, këto shprehje ndryshojnë nga njëra-tjetra nga një term konstant , d.m.th. Përgjigjet e marra nuk kundërshtojnë njëra-tjetrën.

Shembulli 7. Ne do të gjejmë
. Le të zgjedhim një katror të përsosur në emërues.

Në disa raste, ndryshimi i një ndryshoreje nuk e redukton integralin drejtpërdrejt në një tabelar, por mund të thjeshtojë zgjidhjen, duke bërë të mundur përdorimin e metodës së zgjerimit në një hap pasues.

Shembulli 8. Për shembull, le të gjejmë . Zëvendëso t=x+ 2, pastaj dt=d(x+ 2) =dx. Pastaj

,

ku C = C 1 – 6 (kur zëvendësojmë shprehjen (x+ 2) në vend të dy termave të parë, marrim ½x 2 -2x– 6).

Shembulli 9. Ne do të gjejmë
. Le të jetë t= 2x+ 1, pastaj dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2.

Zëvendësojmë shprehjen (2x+ 1) me t, hapim kllapat dhe japim të ngjashme.

Vini re se në procesin e transformimeve ne kaluam në një term tjetër konstant, sepse grupi i termave konstante mund të hiqet gjatë procesit të transformimit.

b) Metoda e zëvendësimit jolinear Le të shohim një shembull.

Shembulli 1.
. Lett= -x 2. Më pas, dikush mund të shprehë x në terma t, pastaj të gjejë një shprehje për dx dhe të zbatojë një ndryshim të ndryshores në integralin e dëshiruar. Por në këtë rast është më e lehtë të bësh gjërat ndryshe. Le të gjejmëdt=d(-x 2) = -2xdx. Vini re se shprehja xdx është një faktor i integrandit të integralit të dëshiruar. Le ta shprehim nga barazia që rezultonxdx= - ½dt. Pastaj

Funksioni antiderivativ dhe integrali i pacaktuar

Fakti 1. Integrimi është veprimi i kundërt i diferencimit, përkatësisht, rikthimi i një funksioni nga derivati ​​i njohur i këtij funksioni. Funksioni u rivendos kështu F(x) quhet antiderivativ për funksion f(x).

Përkufizimi 1. Funksioni F(x f(x) në një interval X, nëse për të gjitha vlerat x nga ky interval vlen barazia F "(x)=f(x), kjo eshte këtë funksion f(x) është një derivat i funksioni antiderivativ F(x). .

Për shembull, funksioni F(x) = mëkat x është një antideriv i funksionit f(x) = cos x në të gjithë vijën numerike, pasi për çdo vlerë të x (mëkat x)" = (ko x) .

Përkufizim 2. Integrali i pacaktuar i një funksioni f(x) është bashkësia e të gjithë antiderivave të saj. Në këtë rast, përdoret shënimi

∫

f(x)dx

ku është shenja ∫ quhet shenja integrale, funksioni f(x) – funksioni integrand, dhe f(x)dx – shprehje e integruar.

Kështu, nëse F(x) – disa antiderivat për f(x), Kjo

∫

f(x)dx = F(x) +C

Ku C - konstante (konstante) arbitrare.

Për të kuptuar kuptimin e grupit të antiderivave të funksionit si integral i pacaktuar Analogjia e mëposhtme është e përshtatshme. Le të ketë një derë (derë tradicionale prej druri). Funksioni i tij është të jetë "një derë". Nga se është bërë dera? E bërë prej druri. Kjo do të thotë se bashkësia e antiderivave të integrandit të funksionit “të jesh një derë”, pra integrali i pacaktuar i tij, është funksioni “të jesh pemë + C”, ku C është një konstante që në në këtë kontekst mund të tregojë, për shembull, një lloj peme. Ashtu si një derë është bërë nga druri duke përdorur disa vegla, një derivat i një funksioni "bëhet" nga një funksion antiderivativ duke përdorur formulat që mësuam gjatë studimit të derivatit .

Pastaj tabela e funksioneve të objekteve të zakonshme dhe antiderivave të tyre përkatës ("të jesh një derë" - "të jesh një pemë", "të jesh një lugë" - "të jesh metal", etj.) është e ngjashme me tabelën e bazës integrale të pacaktuara, të cilat do të jepen më poshtë. Tabela e integraleve të pacaktuar rendit funksionet e zakonshme me një tregues të antiderivativëve nga të cilët janë "bërë" këto funksione. Në një pjesë të problemave për gjetjen e integralit të pacaktuar, jepen integrandë që mund të integrohen drejtpërdrejt pa shumë përpjekje, pra duke përdorur tabelën e integraleve të pacaktuar. Në problemet më komplekse, integrandi fillimisht duhet të transformohet në mënyrë që të mund të përdoren integralet e tabelës.

Fakti 2. Kur rivendosim një funksion si një antiderivativ, duhet të marrim parasysh një konstante arbitrare (konstante) C, dhe për të mos shkruar një listë të antiderivativëve me konstante të ndryshme nga 1 në pafundësi, duhet të shkruani një grup antiderivativësh me një konstante arbitrare C, për shembull, si kjo: 5 x³+C. Pra, një konstante arbitrare (konstante) përfshihet në shprehjen e antiderivativit, pasi antiderivati ​​mund të jetë një funksion, për shembull, 5 x³+4 ose 5 x³+3 dhe kur diferencohet, 4 ose 3, ose ndonjë konstante tjetër shkon në zero.

Le të parashtrojmë problemin e integrimit: për këtë funksion f(x) gjeni një funksion të tillë F(x), derivati ​​i të cilit e barabartë me f(x).

Shembulli 1. Gjeni bashkësinë e antiderivativëve të një funksioni

Zgjidhje. Për këtë funksion, antiderivati ​​është funksioni

Funksioni F(x) quhet antiderivativ për funksionin f(x), nëse derivati F(x) është e barabartë me f(x), ose, që është e njëjta gjë, diferenciale F(x) është e barabartë f(x) dx, d.m.th.

(2)

Prandaj, funksioni është një antiderivativ i funksionit. Megjithatë, nuk është i vetmi antiderivativ për . Ato shërbejnë gjithashtu si funksione

Ku ME– konstante arbitrare. Kjo mund të verifikohet me diferencim.

Kështu, nëse ka një antiderivativ për një funksion, atëherë për të ekziston grup i pafund antiderivativë që ndryshojnë nga një term konstant. Të gjithë antiderivativët për një funksion shkruhen në formën e mësipërme. Kjo rrjedh nga teorema e mëposhtme.

Teorema (deklarata formale e faktit 2). Nëse F(x) – antiderivativ për funksionin f(x) në një interval X, pastaj çdo antiderivativ tjetër për f(x) në të njëjtin interval mund të paraqitet në formë F(x) + C, Ku ME– konstante arbitrare.

NË shembullin e mëposhtëm Tashmë i drejtohemi tabelës së integraleve, e cila do të jepet në paragrafin 3, pas vetive të integralit të pacaktuar. Ne e bëjmë këtë përpara se të lexojmë të gjithë tabelën, në mënyrë që thelbi i sa më sipër të jetë i qartë. Dhe pas tabelës dhe vetive, ne do t'i përdorim ato në tërësinë e tyre gjatë integrimit.

Shembulli 2. Gjeni grupe funksionesh antiderivative:

Zgjidhje. Ne gjejmë grupe funksionesh antiderivative nga të cilat "bëhen" këto funksione. Kur përmendni formula nga tabela e integraleve, tani për tani vetëm pranoni se ka formula të tilla dhe ne do ta studiojmë vetë tabelën e integraleve të pacaktuar pak më tej.

1) Zbatimi i formulës (7) nga tabela e integraleve për n= 3, marrim

2) Duke përdorur formulën (10) nga tabela e integraleve për n= 1/3, kemi

3) Që nga viti

atëherë sipas formulës (7) me n= -1/4 gjejmë

Nuk është vetë funksioni që shkruhet nën shenjën integrale f, dhe produkti i tij nga diferenciali dx. Kjo bëhet kryesisht për të treguar se me cilën variabël kërkohet antiderivativi. Për shembull,

, ;

këtu në të dyja rastet integrani është i barabartë me , por integralet e tij të pacaktuara në rastet e konsideruara rezultojnë të jenë të ndryshëm. Në rastin e parë, ky funksion konsiderohet si funksion i ndryshores x, dhe në të dytën - në funksion të z .

Procesi i gjetjes së integralit të pacaktuar të një funksioni quhet integrimi i atij funksioni.

Kuptimi gjeometrik i integralit të pacaktuar

Supozoni se duhet të gjejmë një kurbë y=F(x) dhe tashmë e dimë se tangjentja e këndit të prirjes së tangjentes në çdo pikë është funksioni i dhënë f(x) abshisa e kësaj pike.

Sipas kuptimi gjeometrik derivati, tangjentja e këndit tangjente në një pikë të caktuar të kurbës y=F(x) e barabartë me vlerën derivatore F"(x). Pra, ne duhet të gjejmë një funksion të tillë F(x), per cilin F"(x)=f(x). Funksioni i kërkuar në detyrë F(x)është një antideriv i f(x). Kushtet e problemit nuk plotësohen nga një kurbë, por nga një familje kurbash. y=F(x)- një nga këto kthesa, dhe çdo kurbë tjetër mund të merret prej saj transferim paralel përgjatë boshtit Oy.

Le ta quajmë grafikun e funksionit antiderivativ të f(x) kurba integrale. Nëse F"(x)=f(x), pastaj grafiku i funksionit y=F(x) ka një kurbë integrale.

Fakti 3. Integrali i pacaktuar gjeometrikisht përfaqësohet nga familja e të gjitha kurbave integrale , si në foton më poshtë. Distanca e secilës kurbë nga origjina e koordinatave përcaktohet nga një konstante integruese arbitrare C.

Vetitë e integralit të pacaktuar

Fakti 4. Teorema 1. Derivati ​​i një integrali të pacaktuar është i barabartë me integrandin dhe diferenciali i tij është i barabartë me integrandin.

Fakti 5. Teorema 2. Integrali i pacaktuar i diferencialit të një funksioni f(x) e barabartë me funksionin f(x) deri në një afat konstant , d.m.th.

(3)

Teoremat 1 dhe 2 tregojnë se diferencimi dhe integrimi janë operacione reciproke të anasjellta.

Fakti 6. Teorema 3. Shumëzues konstant V integrand mund të nxirret nga shenja e integralit të pacaktuar , d.m.th.