Kuptimi gjeometrik i përcaktorit të matricës së operatorit. Vetitë themelore të përcaktorëve dhe kuptimi gjeometrik i tyre

Pasuria 2.12. Përcaktori i matricës Gram nga linearisht sistemi i varur vektori është 0.

Dëshmi. Le të jetë sistemi i vektorëve të varur në mënyrë lineare. Pastaj, ose sistemi përmban vektor zero, dhe pohimi në këtë rast është i qartë, ose ekziston një vektor që mund të shprehet në mënyrë lineare përmes vektorëve të mëparshëm të sistemit. Në matricën Gram
zbres nga i-rreshti i-të, rreshtat e mëparshëm me koeficientë
. Përcaktori i matricës Gram nuk do të ndryshojë, por i Rreshti i th do të bëhet zero. Përcaktuesi i një matrice me rresht zero e barabartë me zero, dhe, për rrjedhojë, përcaktori i matricës Gram është i barabartë me zero.

R le t'i hedhim një sy kuptimi gjeometrik Matricat gram nga një sistem linear i pavarur vektorësh
. Nëse k= 1, atëherë
- katrori i gjatësisë vektoriale. Nëse k>1, pastaj e aplikojmë në sistemin e vektorëve
procesi dhe konstrukti i ortogonalizimit sistem ortogonal vektorët
. Le të shënojmë me P matrica e tranzicionit nga sistemi
ndaj sistemit
. Kjo matricë ka pamje trekëndore, dhe në diagonalen e saj kryesore ka 1, dhe përcaktorja e saj është 1. Për më tepër, dhe për këtë arsye përcaktorët e matricave Gram janë të barabarta. Që nga sistemi vektorial
është ortogonale, atëherë matrica Gram e këtij sistemi vektorësh është diagonale dhe përcaktuesi i saj e barabartë me produktin gjatësitë në katror të vektorëve të këtij sistemi. Kështu vendoset barazia. Merrni parasysh rastin k=2. Pastaj
e barabartë me gjatësinë e lartësisë së paralelogramit të ulur anash (shih Gabim: Burimi i referencës nuk u gjet). Prandaj, produkti
e barabartë me sipërfaqen e një paralelogrami të shtrirë nga vektorë
, dhe përcaktori i matricës Gram
e barabartë me katrorin sipërfaqja e këtij paralelogrami. Nëse k=3, pastaj vektori në rrafshin e shtrirë nga vektorët
. Rrjedhimisht, përcaktorja e matricës Gram të tre vektorëve është e barabartë me katrorin e vëllimit të paralelopipedit të shtrirë nga vektorët
. Meqenëse i gjithë arsyetimi përgjithësohet në një dimension arbitrar, vetia krijohet në këtë mënyrë.

Vetia 2.13 Përcaktori i matricës Gram të një sistemi vektorësh është i barabartë me 0 nëse sistemi është i varur në mënyrë lineare dhe me katrorin e vëllimit k-paralelepiped dimensional i shtrirë nga vektorë
ndryshe.

Le të tregojmë tani pabarazinë e Hadamard.

Teorema 2.4.

Dëshmi. Nëse sistemi i vektorëve
varur në mënyrë lineare, atëherë pabarazia është e dukshme. Le të jetë ky sistem vektorësh linearisht i pavarur. Le të zbatojmë procesin e ortogonalizimit në të dhe të ndërtojmë një sistem vektorësh ortogonal
. Vektor është përbërësi ortogonal i vektorit në guaskë lineare vektorët
, dhe për këtë arsye,
nga pabarazia e Besselit (Teorema 2.2). Më tej, kjo është ajo që duhej vërtetuar.

Pabarazia e Hadamardit kthehet në barazi vetëm nëse sistemi origjinal i vektorëve është ortogonal. Në raste të tjera, pabarazia është e rreptë.

Përfundimi 2.5 Pabarazitë janë të vlefshme
Dhe
.

Dëshmi. NË n-dimensionale hapësirë ​​aritmetike le të përcaktojmë produkt skalar sipas formulës
. Konsideroni sistemin e vektorëve të formuar nga kolonat e matricës A. Matrica Gram e këtij sistemi vektorial është e barabartë me
dhe nga pabarazia e Hadamardit
. Sepse
, pastaj pabarazia
instaluar. Duke aplikuar pabarazinë që rezulton në matricën e transpozuar, ne nxjerrim
.

Përfundimi 2.6 Le
. Pastaj
.

Dëshmi padyshim.

Le të vendosim
dhe, më tej, me induksion
. Matricë ka rregull , përcaktorja e saj është e barabartë
dhe të gjithë elementët e tij janë të barabartë
. Është e lehtë të verifikohet që pabarazia (Përfundimi 2.6) kthehet në barazi në këtë matricë.

1. Merrni parasysh vektorët arbitrarë. Së pari, le të supozojmë se këta vektorë janë linearisht të pavarur. Në këtë rast, përcaktori Gram i përpiluar për cilindo nga këta vektorë do të jetë i ndryshëm nga zero. Pastaj, duke supozuar sipas (22)

(23)

dhe duke shumëzuar term pas termi këto pabarazi dhe pabarazi

, (24)

.

Kështu, përcaktorja Gram për në mënyrë lineare vektorë të pavarur pozitive, për ato të varura linearisht është zero. Përcaktori Gram nuk është kurrë negativ.

Le të shënojmë për shkurtim . Pastaj nga (23) dhe (24)

ku është sipërfaqja e një paralelogrami të ndërtuar mbi dhe . Me tutje,

,

ku është vëllimi i një paralelipipedi të ndërtuar mbi vektorë. Duke vazhduar më tej, gjejmë:

,

dhe në fund

. (25)

Është e natyrshme ta quajmë vëllimin e një paralelipipedi dimensionale të ndërtuar mbi vektorë si në skaje.

Le të shënojmë me , koordinatat e vektorit në disa baza ortonormale në , dhe le të

Pastaj bazuar në (14)

dhe prandaj [shih formula (25)]

. (26)

Kjo barazi ka kuptimin gjeometrik të mëposhtëm:

Vëllimi në katror i një paralelepipedi e barabartë me shumën vëllimet në katror të projeksioneve të tij në të gjitha nënhapësirat koordinative-dimensionale. Në veçanti, kur nga (26) vijon:

. (26)

Duke përdorur formulat (20), (21), (22), (26), (26"), zgjidhen një sërë problemesh bazë metrike të gjeometrisë analitike dimensionale unitare dhe Euklidiane.

2. Le të kthehemi te zgjerimi (15). Nga kjo rrjedh drejtpërdrejt:

e cila, në kombinim me (22), jep pabarazinë (për vektorë arbitrarë )

në këtë rast, shenja e barazimit vlen nëse dhe vetëm nëse vektori është ortogonal me vektorët.

Nga këtu është e lehtë të merret e ashtuquajtura pabarazi Hadamard

ku shenja e barazimit vlen nëse dhe vetëm nëse vektorët janë ortogonalë në çift. Pabarazia (29) shpreh faktin e mëposhtëm gjeometrikisht të qartë:

Vëllimi i një paralelipipedi nuk e kalon prodhimin e gjatësive të skajeve të tij dhe është i barabartë me këtë produkt vetëm kur paralelepipedi është drejtkëndor.

Mund t'i jepet pabarazisë së Hadamardit pamje normale, duke vendosur (28) dhe duke futur në konsideratë përcaktuesin e përbërë nga koordinatat e vektorëve në disa baza ortonormale:

.

Pastaj nga (26") dhe (28) vijon

. (28)

3. Le të vendosim tani një pabarazi të përgjithësuar Hadamard, duke mbuluar si pabarazinë (27) dhe pabarazinë (28):

dhe shenja e barazimit vlen nëse dhe vetëm nëse secili prej vektorëve është ortogonal me ndonjë nga vektorët ose një nga përcaktuesit, e barabartë me zero.

Pabarazia (28") ka kuptimin gjeometrik të mëposhtëm:

Vëllimi i një paralelepipedi nuk e kalon produktin e vëllimeve të dy faqeve shtesë dhe është i barabartë me këtë produkt nëse dhe vetëm nëse këto faqe janë reciprokisht ortogonale ose të paktën njëra prej tyre ka vëllim zero.

Ne do të vendosim vlefshmërinë e pabarazisë (29) në mënyrë induktive në lidhje me numrin e vektorëve . Pabarazia është e vërtetë kur ky numër është 1 [shih formula (27)].

Le të prezantojmë dy nënhapësira dhe, përkatësisht, me bazat dhe . Natyrisht,. Le të shqyrtojmë zgjerimet ortogonale

.

Zëvendësimi i katrorit të vëllimit të paralelepipedit me produktin e katrorit të vëllimit të bazës dhe katrorit të lartësisë [shih. formula (22)], gjejmë

Në këtë rast, nga zbërthimi i vektorit rrjedh:

, (31)

dhe këtu shenja zë vend vetëm kur .

Duke përdorur marrëdhëniet tani (30), (30"), (31) dhe supozimin e induksionit, marrim:

Ne morëm pabarazinë (29). Duke kaluar në sqarimin se kur shfaqet shenja në këtë pabarazi, supozojmë se Dhe . Pastaj sipas (30") gjithashtu Dhe . Meqenëse në relacionet (32) shenja e barabartë vlen kudo, atëherë, përveç kësaj, sipas supozimit të induksionit, secili prej vektorëve është ortogonal ndaj secilit prej vektorëve. Natyrisht, vektori gjithashtu ka këtë veti

Kështu, pabarazia e përgjithësuar Hadamard është vërtetuar plotësisht.

4. Pabarazisë së përgjithësuar Hadamard (29) mund t'i jepet gjithashtu një formë analitike.

Le të jetë një formë arbitrare pozitive e përcaktuar hermitiane. Duke i konsideruar si koordinatat e një vektori në hapësirë ​​-dimensionale me bazë, ne marrim formën si formë bazë metrike në (shih faqen 224). Atëherë do të bëhet një hapësirë ​​unitare. Le të zbatojmë pabarazinë e përgjithësuar Hadamard në vektorët bazë: - matrica reale e koeficientëve pozitiv të caktuar formë kuadratike ndërmjet vektorëve dhe , duke e përcaktuar atë nga relacioni

.

Nga pabarazia e Bunyakovskit del se ajo ka një vlerë reale.

Rreth 20 vjet më parë pata mundësinë të studioja matematikën e lartë në një universitet dhe filluam me matricat (ndoshta si të gjithë studentët e asaj kohe). Për disa arsye, besohet se matricat janë më së shumti temë e lehtë e di matematikë e lartë. Ndoshta - sepse të gjitha veprimet me matricat vijnë në njohuri për metodat për llogaritjen e përcaktorit dhe disa formula të ndërtuara - përsëri, mbi përcaktuesin. Duket se gjithçka është e thjeshtë. Por... Përpiquni t'i përgjigjeni një pyetjeje themelore - çfarë është një përcaktues, çfarë do të thotë numrin që merrni kur e llogaritni? (udhëzim: një variant si "një përcaktor është një numër që gjendet me rregulla të caktuara" nuk është përgjigja e saktë, pasi flet për metodën e marrjes, dhe jo për vetë thelbin e përcaktorit). Jeni duke hequr dorë? - pastaj lexoni...

Dua të them menjëherë se nuk jam matematikan as nga arsimi, as nga pozicioni. Nëse nuk jam i interesuar për thelbin e gjërave, dhe ndonjëherë përpiqem t'i "arrij deri në fund". Ishte e njëjta gjë me përcaktorin: duhej të merreshim me regresion të shumëfishtë dhe në këtë pjesë të ekonometrisë pothuajse gjithçka bëhet përmes... matricave, dreqin. Kështu që më duhej të bëja një kërkim të vogël vetë, pasi asnjë nga matematikanët që njihja nuk dha një përgjigje të qartë për pyetjen e parashtruar, e cila fillimisht dukej si "çfarë është një përcaktues". Të gjithë argumentuan se përcaktor është një numër që llogaritet në mënyrë të veçantë dhe nëse është i barabartë me zero, atëherë... Në përgjithësi, si në çdo tekst shkollor për algjebër lineare. Faleminderit, kaluam.

Nëse një person doli me një ide, atëherë një person tjetër duhet të jetë në gjendje ta kuptojë atë (edhe pse ndonjëherë ju duhet të armatoseni me njohuri shtesë për ta bërë këtë). Një thirrje për motorin e kërkimit "të madh dhe të fuqishëm" tregoi se "sipërfaqja e një paralelogrami është e barabartë me modulin e përcaktuesit të matricës së formuar nga vektorët - anët e paralelogramit". Duke folur në gjuhë të thjeshtë, nëse një matricë është një mënyrë për të shkruar një sistem ekuacionesh, atëherë çdo ekuacion përshkruan individualisht një vektor. Duke ndërtuar vektorët e specifikuar në matricë nga pika e origjinës, ne do të përcaktojmë kështu një figurë të caktuar në hapësirë. Nëse hapësira jonë është njëdimensionale, atëherë figura është një segment; nëse është dydimensionale, atëherë figura është paralelogram, e kështu me radhë.

Rezulton se për një hapësirë ​​njëdimensionale përcaktuesi është gjatësia e një segmenti, për një plan - sipërfaqja e një figure, për një figurë tredimensionale - vëllimi i saj ... ato vazhdojnë hapësira n-dimensionale, të cilën nuk mund ta imagjinojmë. Nëse vëllimi i një figure (d.m.th., përcaktori për një matricë 3*3) është i barabartë me zero, atëherë kjo do të thotë që vetë figura nuk është tredimensionale (mund të jetë dy-dimensionale, njëdimensionale ose madje nje pike). Rangu i një matrice është dimensioni i vërtetë (maksimal) i hapësirës për të cilën përcaktori nuk është i barabartë me zero.

Pra, pothuajse gjithçka është e qartë me përcaktorin: përcakton "vëllimin" e figurës së formuar nga vektorët e përshkruar nga sistemi i ekuacioneve (edhe pse nuk është e qartë pse vlera e tij nuk varet nëse kemi të bëjmë me matricën origjinale ose me atë të transpozuar - ndoshta transpozimi është një lloj transformimi afin?). Tani duhet të kuptojmë veprimet mbi matricat...

Nëse një matricë është një sistem ekuacionesh (përndryshe pse do të na duhej një tabelë me disa numra që nuk kanë asnjë lidhje me realitetin?), atëherë mund të bëjmë gjëra të ndryshme me të. Për shembull, ne mund të shtojmë dy rreshta të së njëjtës matricë, ose të shumëzojmë një rresht me një numër (d.m.th., ne shumëzojmë çdo koeficient të rreshtit me të njëjtin numër). Nëse kemi dy matrica me të njëjtat dimensione, atëherë mund t'i shtojmë ato (gjëja kryesore është se nuk shtojmë një bulldog me një rinoceront - por a menduan matematikanët, kur zhvillonin teorinë e matricave për këtë skenar?). Kjo është e qartë në mënyrë intuitive, veçanërisht pasi në algjebër lineare operacione të tilla ilustrohen nga sisteme ekuacionesh.

Megjithatë, cila është pika e shumëzimit të matricës? Si mund të shumëzoj një sistem ekuacionesh me një tjetër? Cili është kuptimi i asaj që marr në këtë rast? Pse rregulli komutativ nuk është i zbatueshëm për shumëzimin e matricave (d.m.th., produkti i matricave B * A jo vetëm që nuk është i barabartë me produktin A * B, por nuk është gjithmonë i realizueshëm)? Pse, nëse shumëzojmë një matricë me një vektor kolone, marrim një vektor kolone, dhe nëse shumëzojmë një vektor rreshti me një matricë, marrim një vektor rreshti?

Epo, nuk është si Wikipedia, është madje tekstet moderne shkollore në algjebër lineare janë të pafuqishëm për të dhënë ndonjë shpjegim të qartë. Meqenëse studimi i diçkaje sipas parimit "besojeni më parë dhe kuptoni më vonë" nuk është për mua, gërmoj në thellësi të shekujve (më saktë, lexoj tekste shkollore të gjysmës së parë të shekullit të 20-të) dhe gjej frazë interesante…

Nëse një koleksion vektorësh të zakonshëm, d.m.th. synuar segmente gjeometrike, është një hapësirë ​​tredimensionale, atëherë pjesa e kësaj hapësire që përbëhet nga vektorë paralel me një rrafsh të caktuar është një hapësirë ​​dydimensionale, dhe të gjithë vektorët paralel me një vijë të caktuar formojnë një hapësirë ​​vektoriale njëdimensionale.

Çdo artikull përfundon në momentin që autori lodhet duke e shkruar. A t. Meqenëse nuk i vura vetes synimin për të përqafuar pafundësinë, por vetëm doja të kuptoja thelbin e operacioneve të përshkruara mbi matricat dhe se si lidhen saktësisht matricat me sistemet e ekuacioneve që po zgjidhja, nuk u futa në thellësi të mëtejshme algjebër lineare, por iu kthye ekonometrisë dhe regresioni i shumëfishtë, por e bëri më me vetëdije. Të kuptosh se çfarë dhe pse bëj dhe pse vetëm në këtë mënyrë dhe jo ndryshe. Ajo që mora në këtë material mund të titullohet si "një kapitull mbi thelbin e veprimeve themelore të algjebrës lineare, të cilat për disa arsye ata harruan ta shtypnin në libra shkollorë". Por ne nuk lexojmë tekste, apo jo? Të them të drejtën, kur isha në universitet, më mungonte shumë të kuptuaritçështjet e ngritura këtu, ndaj shpresoj që duke e paraqitur këtë material të vështirë sa më shumë që të jetë e mundur me fjalë të thjeshta, Unë po bëj një vepër të mirë dhe po ndihmoj dikë t'i arrijë gjërat në fund algjebër matricë, duke transferuar operacionet në matrica nga seksioni "kamlani me një dajre" në seksionin " mjete praktike, aplikuar me vetëdije."

Pasuria 2.7. Përcaktori i matricës Gram të një sistemi vektorësh të varur linearisht është i barabartë me 0.

Dëshmi. Le të jetë sistemi i vektorëve të varur në mënyrë lineare. Pastaj, ose sistemi përmban një vektor zero, dhe deklarata në këtë rast është e qartë, ose ekziston një vektor që mund të shprehet në mënyrë lineare në termat e vektorëve të mëparshëm të sistemit. Në matricën Gram, zbritni nga i rreshti i th, rreshtat e mëparshëm me koeficientë . Përcaktori i matricës Gram nuk do të ndryshojë, por i Rreshti i th do të bëhet zero. Përcaktori i një matrice me një rresht zero është i barabartë me zero, dhe për këtë arsye përcaktori i një matrice Gram është i barabartë me zero.

Le të shqyrtojmë kuptimin gjeometrik të matricës Gram të një sistemi të pavarur linear vektorësh. Nëse k=1, atëherë është katrori i gjatësisë së vektorit. Nëse k>1, atëherë ne aplikojmë procesin e ortogonalizimit në sistemin e vektorëve dhe ndërtojmë një sistem ortogonal vektorësh. Le të shënojmë me P matrica e kalimit nga sistemi në sistem. Kjo matricë ka një formë trekëndore, dhe në diagonalen e saj kryesore ka 1, dhe përcaktorja e saj është 1. Për më tepër, dhe, për rrjedhojë, përcaktorët e matricave Gram janë të barabarta. Meqenëse sistemi i vektorëve është ortogonal, matrica Gram e këtij sistemi vektorësh është diagonale dhe përcaktorja e saj është e barabartë me prodhimin e katrorëve të gjatësive të vektorëve të këtij sistemi. Kështu vendoset barazia. Merrni parasysh rastin k=2. Atëherë është e barabartë me gjatësinë e lartësisë së paralelogramit të ulur anash (shih Fig. 1). Prandaj, produkti është i barabartë me sipërfaqen e paralelogramit të shtrirë nga vektorët, dhe përcaktori i matricës Gram është i barabartë me katrorin e sipërfaqes së këtij paralelogrami. Nëse k=3, atëherë vektori është një komponent ortogonal i vektorit në rrafshin e shtrirë nga vektorët . Rrjedhimisht, përcaktori i matricës Gram të tre vektorëve është i barabartë me katrorin e vëllimit të paralelopipedit të shtrirë nga vektorët. Meqenëse i gjithë arsyetimi përgjithësohet në një dimension arbitrar, vetia krijohet në këtë mënyrë.

Vetia 2.8 Përcaktori i matricës Gram të një sistemi vektorësh është i barabartë me 0 nëse sistemi është i varur në mënyrë lineare dhe me katrorin e vëllimit k-paralelepiped dimensional i shtrirë nga vektorë ndryshe.

Le të tregojmë tani pabarazinë e Hadamard.

Teorema 2.4.

Dëshmi. Nëse sistemi i vektorëve është i varur në mënyrë lineare, atëherë pabarazia është e dukshme. Le të jetë ky sistem vektorësh linearisht i pavarur. Le të zbatojmë procesin e ortogonalizimit në të dhe të ndërtojmë një sistem ortogonal vektorësh. Vektori është komponenti ortogonal i vektorit në trupin linear të vektorëve, dhe, për rrjedhojë, nga pabarazia e Besselit (Teorema 2.2). Më tej, kjo është ajo që duhej vërtetuar.

Pabarazia e Hadamardit kthehet në barazi vetëm nëse sistemi origjinal i vektorëve është ortogonal. Në raste të tjera, pabarazia është e rreptë.

Përfundimi 2.5 Pabarazitë janë të vlefshme Dhe .

Dëshmi. NË n-hapësira aritmetike dimensionale ne përcaktojmë produktin skalar me formulën . Konsideroni sistemin e vektorëve të formuar nga kolonat e matricës A. Matrica Gram e këtij sistemi vektorësh është e barabartë dhe nga pabarazia e Hadamardit . Sepse , pastaj pabarazia instaluar. Duke aplikuar pabarazinë që rezulton në matricën e transpozuar, ne nxjerrim .