Shumë probleme na bëjnë të kërkojmë një grup vlerash funksioni në një segment të caktuar ose në të gjithë domenin e përkufizimit. Detyra të tilla përfshijnë vlerësime të ndryshme të shprehjeve dhe zgjidhjen e pabarazive.

Në këtë artikull, ne do të përcaktojmë gamën e vlerave të një funksioni, do të shqyrtojmë metodat për gjetjen e tij dhe do të analizojmë në detaje zgjidhjen e shembujve nga e thjeshtë në më komplekse. I gjithë materiali do të pajiset me ilustrime grafike për qartësi. Pra, ky artikull është një përgjigje e detajuar për pyetjen se si të gjeni gamën e një funksioni.

Përkufizimi.

Bashkësia e vlerave të funksionit y = f(x) në intervalin Xështë bashkësia e të gjitha vlerave të një funksioni që merr kur përsëritet mbi të gjitha.

Përkufizimi.

Gama e funksionit y = f(x)është bashkësia e të gjitha vlerave të një funksioni që merr kur përsëritet mbi të gjitha x nga domeni i përkufizimit.

Gama e funksionit shënohet si E(f).

Gama e një funksioni dhe grupi i vlerave të një funksioni nuk janë e njëjta gjë. Ne do t'i konsiderojmë këto koncepte ekuivalente nëse intervali X kur gjejmë grupin e vlerave të funksionit y = f(x) përputhet me domenin e përkufizimit të funksionit.

Gjithashtu, mos e ngatërroni diapazonin e funksionit me ndryshoren x për shprehjen në anën e djathtë të barazisë y=f(x) . Rajoni vlerat e pranueshme ndryshorja x për shprehjen f(x) - kjo është fusha e përcaktimit të funksionit y=f(x) .

Figura tregon disa shembuj.

Grafikët e funksioneve tregohen me vija të trasha blu, vijat e holla të kuqe janë asimptota, pikat e kuqe dhe vijat në boshtin Oy tregojnë gamën e vlerave të funksionit përkatës.

Siç mund ta shihni, diapazoni i vlerave të një funksioni merret duke projektuar grafikun e funksionit në boshtin y. Mund të jetë një numër i vetëm (rasti i parë), një grup numrash (rasti i dytë), një segment (rasti i tretë), një interval (rasti i katërt), një rreze e hapur (rasti i pestë), një bashkim (rasti i gjashtë), etj. .

Pra, çfarë duhet të bëni për të gjetur gamën e vlerave të një funksioni?

Le të fillojmë nga fillimi rast i thjeshtë: ne do t'ju tregojmë se si të përcaktoni një grup vlerash funksion të vazhdueshëm y = f(x) në segmentin .

Dihet që një funksion i vazhdueshëm në një interval arrin vlerat e tij maksimale dhe minimale në të. Kështu, grupi i vlerave të funksionit origjinal në segment do të jetë segmenti . Rrjedhimisht, detyra jonë zbret në gjetjen e vlerave më të mëdha dhe më të vogla të funksionit në segment.

Për shembull, le të gjejmë gamën e vlerave të funksionit të harkut.

Shembull.

Specifikoni gamën e funksionit y = arcsinx.

Zgjidhje.

Zona e përcaktimit të arksinës është segmenti [-1; 1]. Le të gjejmë më të mëdhenjtë dhe vlera më e vogël funksionon në këtë segment.

Derivati është pozitiv për të gjitha x nga intervali (-1; 1), domethënë, funksioni i harkut rritet në të gjithë domenin e përkufizimit. Rrjedhimisht, ajo merr vlerën më të vogël në x = -1, dhe më të madhen në x = 1.

Ne kemi marrë diapazonin e funksionit të arksinës .

Shembull.

Gjeni bashkësinë e vlerave të funksionit në segment.

Zgjidhje.

Le të gjejmë vlerën më të madhe dhe më të vogël të funksionit në një segment të caktuar.

Le të përcaktojmë pikat ekstreme që i përkasin segmentit:

Ne llogarisim vlerat e funksionit origjinal në skajet e segmentit dhe në pika :

Prandaj, grupi i vlerave të një funksioni në një interval është intervali .

Tani do të tregojmë se si të gjejmë grupin e vlerave të një funksioni të vazhdueshëm y = f(x) në intervalet (a; b) , .

Së pari, ne përcaktojmë pikat ekstreme, ekstremet e funksionit, intervalet e rritjes dhe uljes së funksionit në një interval të caktuar. Tjetra, ne llogarisim në skajet e intervalit dhe (ose) kufijtë në pafundësi (d.m.th., ne studiojmë sjelljen e funksionit në kufijtë e intervalit ose në pafundësi). Ky informacion është i mjaftueshëm për të gjetur grupin e vlerave të funksionit në intervale të tilla.

Shembull.

Përcaktoni grupin e vlerave të funksionit në intervalin (-2; 2).

Zgjidhje.

Le të gjejmë pikat ekstreme të funksionit që bien në intervalin (-2; 2):

Pika x = 0 është një pikë maksimale, pasi derivati ndryshon shenjën nga plus në minus kur kalon nëpër të, dhe grafiku i funksionit shkon nga rritja në zvogëlim.

ekziston një maksimum përkatës i funksionit.

Le të zbulojmë sjelljen e funksionit pasi x tenton në -2 në të djathtë dhe kur x tenton në 2 në të majtë, domethënë gjejmë kufij të njëanshëm:

Çfarë morëm: kur argumenti ndryshon nga -2 në zero, vlerat e funksionit rriten nga minus pafundësi në minus një të katërtën (maksimumi i funksionit në x = 0), kur argumenti ndryshon nga zero në 2, vlerat e funksionit zvogëlohen në minus pafundësi. Kështu, grupi i vlerave të funksionit në intervalin (-2; 2) është .

Shembull.

Specifikoni grupin e vlerave të funksionit tangjent y = tgx në interval.

Zgjidhje.

Derivati i funksionit tangjent në interval është pozitiv , që tregon një rritje të funksionit. Le të studiojmë sjelljen e funksionit në kufijtë e intervalit:

Kështu, kur argumenti ndryshon nga në, vlerat e funksionit rriten nga minus pafundësi në plus pafundësi, domethënë grupi i vlerave tangjente në këtë interval është grupi i të gjithë numrave realë.

Shembull.

Gjeni gamën e një funksioni logaritmi natyror y = lnx.

Zgjidhje.

Funksioni i logaritmit natyror është përcaktuar për vlerat pozitive argument . Në këtë interval derivati është pozitiv , kjo tregon një rritje të funksionit në të. Le të gjejmë kufirin e njëanshëm të funksionit pasi argumenti tenton në zero në të djathtë, dhe kufiri kur x tenton në plus pafundësi:

Shohim që kur x ndryshon nga zero në plus pafundësi, vlerat e funksionit rriten nga minus pafundësi në plus pafundësi. Prandaj, diapazoni i funksionit të logaritmit natyror është i gjithë grupi i numrave realë.

Shembull.

Zgjidhje.

Ky funksion është i përcaktuar për të gjithë vlerat reale x. Le të përcaktojmë pikat ekstreme, si dhe intervalet e rritjes dhe uljes së funksionit.

Rrjedhimisht, funksioni zvogëlohet në , rritet në , x = 0 është pika maksimale, maksimumi përkatës i funksionit.

Le të shohim sjelljen e funksionit në pafundësi:

Kështu, në pafundësi vlerat e funksionit në mënyrë asimptotike i afrohen zeros.

Ne zbuluam se kur argumenti ndryshon nga minus pafundësi në zero (pika maksimale), vlerat e funksionit rriten nga zero në nëntë (në maksimum të funksionit), dhe kur x ndryshon nga zero në plus pafundësi, vlerat e funksionit zvogëlohet nga nëntë në zero.

Shikoni vizatimin skematik.

Tani është qartë e dukshme se diapazoni i vlerave të funksionit është .

Gjetja e grupit të vlerave të funksionit y = f(x) në intervale kërkon kërkime të ngjashme. Tani nuk do të ndalemi në detaje në këto raste. Ne do t'i takojmë përsëri në shembujt e mëposhtëm.

Le të jetë domeni i përkufizimit të funksionit y = f(x) bashkimi i disa intervaleve. Kur gjen diapazonin e vlerave të një funksioni të tillë, përcaktohen grupet e vlerave në çdo interval dhe merret bashkimi i tyre.

Shembull.

Gjeni gamën e funksionit.

Zgjidhje.

Emëruesi i funksionit tonë nuk duhet të shkojë në zero, domethënë .

Së pari, le të gjejmë grupin e vlerave të funksionit në rreze të hapur.

Derivat i një funksioni është negativ në këtë interval, domethënë funksioni zvogëlohet në të.

Ne zbuluam se ndërsa argumenti tenton në minus pafundësi, vlerat e funksionit në mënyrë asimptotike i afrohen unitetit. Kur x ndryshon nga minus pafundësi në dy, vlerat e funksionit zvogëlohen nga një në minus pafundësi, domethënë, në intervalin në shqyrtim, funksioni merr një grup vlerash. Ne nuk e përfshijmë unitetin, pasi vlerat e funksionit nuk e arrijnë atë, por vetëm në mënyrë asimptotike priren tek ai në minus pafundësi.

Ne vazhdojmë në mënyrë të ngjashme për tra i hapur.

Në këtë interval funksioni gjithashtu zvogëlohet.

Seti i vlerave të funksionit në këtë interval është grupi.

Kështu, diapazoni i dëshiruar i vlerave të funksionit është bashkimi i grupeve dhe .

Ilustrim grafik.

Vëmendje e veçantë duhet t'i kushtohet funksioneve periodike. Gama e vlerave funksionet periodike përkon me grupin e vlerave në intervalin që korrespondon me periudhën e këtij funksioni.

Shembull.

Gjeni diapazonin e funksionit sinus y = sinx.

Zgjidhje.

Ky funksion është periodik me një periudhë prej dy pi. Le të marrim një segment dhe të përcaktojmë grupin e vlerave në të.

Segmenti përmban dy pika ekstreme dhe .

Ne llogarisim vlerat e funksionit në këto pika dhe në kufijtë e segmentit, zgjedhim më të voglin dhe vlerën më të lartë:

Prandaj, .

Shembull.

Gjeni gamën e një funksioni .

Zgjidhje.

Ne e dimë se diapazoni i kosinusit të harkut është segmenti nga zero në pi, d.m.th. ose në një postim tjetër. Funksioni mund të merret nga arccosx duke zhvendosur dhe shtrirë përgjatë boshtit të abshisë. Transformime të tilla nuk ndikojnë në gamën e vlerave, prandaj, . Funksioni të marra nga duke u shtrirë tre herë përgjatë boshtit Oy, d.m.th. . Dhe faza e fundit e transformimit është një zhvendosje prej katër njësive poshtë përgjatë boshtit y. Kjo na çon në pabarazi të dyfishtë

Kështu, diapazoni i kërkuar i vlerave është .

Le t'i japim zgjidhjen një shembulli tjetër, por pa shpjegime (nuk kërkohen, pasi janë plotësisht të ngjashëm).

Shembull.

Përcaktoni diapazonin e funksionit .

Zgjidhje.

Le të shkruajmë funksionin origjinal në formë . Gama e vlerave funksioni i fuqisëështë intervali. Kjo është,. Pastaj

Prandaj, .

Për të plotësuar figurën, duhet të flasim për gjetjen e gamës së vlerave të një funksioni që nuk është i vazhdueshëm në domenin e përkufizimit. Në këtë rast, ne e ndajmë domenin e përkufizimit në intervale sipas pikave të ndërprerjes dhe gjejmë grupe vlerash për secilën prej tyre. Duke kombinuar grupet e vlerave që rezultojnë, marrim gamën e vlerave të funksionit origjinal. Ne ju rekomandojmë të mbani mend

Koncepti i funksionit dhe gjithçka që lidhet me të është tradicionalisht kompleks dhe i pa kuptuar plotësisht. Një pengesë e veçantë kur studioni një funksion dhe përgatiteni për Provimin e Bashkuar të Shtetit është fusha e përkufizimit dhe diapazoni i vlerave (ndryshimeve) të funksionit.
Shpesh studentët nuk shohin ndryshimin midis fushës së një funksioni dhe fushës së vlerave të tij.
Dhe nëse studentët arrijnë të zotërojnë detyrat e gjetjes së fushës së përkufizimit të një funksioni, atëherë detyrat e gjetjes së grupit të vlerave të një funksioni u shkaktojnë atyre vështirësi të konsiderueshme.
Qëllimi i këtij artikulli: të njiheni me metodat për gjetjen e vlerave të funksionit.
Si rezultat i shqyrtimit të kësaj teme, u studiua materiali teorik, u morën parasysh metodat për zgjidhjen e problemeve të gjetjes së grupeve të vlerave të funksionit, material didaktik Për punë e pavarur nxënësit.
Ky artikull mund të përdoret nga një mësues në përgatitjen e studentëve për diplomim dhe provimet pranuese, gjatë studimit të temës “Gapa e vlerave të një funksioni” në aktivitetet jashtëshkollore kurse me zgjedhje në matematikë.

I. Përcaktimi i gamës së vlerave të një funksioni.

Fusha (bashkësia) e vlerave E(y) e funksionit y = f(x) është bashkësia e numrave të tillë y 0, për secilin prej të cilëve ekziston një numër x 0 i tillë që: f(x 0) = y 0.

Le të kujtojmë vargjet e vlerave të kryesore funksionet elementare.

Le të shohim tabelën.

Funksioni	Kuptime të shumta
y = kx+ b	E(y) = (-∞;+∞)
y = x2n	E(y) =
y = cos x	E(y) = [-1;1]
y = tan x	E(y) = (-∞;+∞)
y = ctg x	E(y) = (-∞;+∞)
y = harksin x	E(y) = [-π/2;
π/2]	y = arcos x
E(y) =	y = arktan x
E(y) = (-π/2; π/2)	y = arcctg x

E(y) = (0; π)

Vini re gjithashtu se diapazoni i vlerës së çdo polinomi me shkallë çift është intervali , ku n është vlera më e madhe e këtij polinomi.

II. Vetitë e funksioneve të përdorura gjatë gjetjes së gamës së një funksioni

Për të gjetur me sukses grupin e vlerave të një funksioni, duhet të keni një njohuri të mirë të vetive të funksioneve themelore elementare, veçanërisht domenet e tyre të përkufizimit, vargjet e vlerave dhe natyrën e monotonitetit. Le të paraqesim vetitë e funksioneve të diferencueshme të vazhdueshme, monotone që përdoren më shpesh gjatë gjetjes së grupit të vlerave të funksionit. Vetitë 2 dhe 3, si rregull, përdoren së bashku me vetinë e një funksioni elementar që të jetë i vazhdueshëm në domenin e tij të përkufizimit. Në të njëjtën kohë, më e thjeshta dhe Detyra e gjetjes së grupit të vlerave të një funksioni arrihet në bazë të vetive 1, nëse duke përdorur metoda të thjeshta është e mundur të përcaktohet monotonia e funksionit. Zgjidhja e problemit është edhe më e thjeshtë nëse funksioni, përveç kësaj, është çift ose tek, periodik, etj. Kështu, kur zgjidhen problemet e gjetjes së grupeve të vlerave të një funksioni, duhet, sipas nevojës, të kontrollohen dhe të përdoren vetitë e mëposhtme të funksionit:

vazhdimësi;
monotone;
diferencibiliteti;
çift, tek, periodicitet etj.

Detyrat e thjeshta për të gjetur grupin e vlerave të një funksioni janë kryesisht të orientuara:

a) për të përdorur vlerësimet dhe kufizimet më të thjeshta: (2 x >0, -1≤sinx?1, 0≤cos 2 x?1, etj.);

b) të veçohet një katror i plotë: x 2 – 4x + 7 = (x – 2) 2 + 3;

c) për transformim shprehjet trigonometrike: 2sin 2 x – 3cos 2 x + 4 = 5sin 2 x +1;

d) duke përdorur monotoninë e funksionit x 1/3 + 2 x-1 rritet me R.

III. Le të shqyrtojmë mënyrat për të gjetur diapazonin e funksioneve.

a) gjetja sekuenciale e vlerave të argumenteve të funksioneve komplekse;
b) metodën e vlerësimit;
c) përdorimi i vetive të vazhdimësisë dhe monotonitetit të një funksioni;
d) përdorimi i derivatit;
e) duke përdorur vlerat më të mëdha dhe më të vogla të funksionit;
f) metodën grafike;
g) metodën e futjes së parametrave;
h) metoda e funksionit të anasjelltë.

Le të zbulojmë thelbin e këtyre metodave duke përdorur shembuj specifikë.

Shembulli 1: Gjeni diapazonin E(y) funksionet y = log 0,5 (4 – 2 3 x – 9 x).

Le ta zgjidhim këtë shembull duke përdorur metodën gjetje sekuenciale vlerat e argumenteve të funksioneve komplekse. Duke theksuar katror i përsosur nën logaritëm, ne transformojmë funksionin

y = log 0,5 (5 – (1 + 2 3 x – 3 2x)) = log 0,5 (5 – (3 x + 1) 2)

Dhe ne do të gjejmë në mënyrë sekuenciale grupet e vlerave të argumenteve të tij komplekse:

E(3 x) = (0;+∞), E(3 x + 1) = (1;+∞), E(-(3 x + 1) 2 = (-∞;-1), E(5 – (3 x +1) 2) = (-∞;4)

Le të shënojmë t= 5 – (3 x +1) 2, ku -∞≤ t≤4. Kështu, problemi reduktohet në gjetjen e grupit të vlerave të funksionit y = log 0,5 t në rreze (-∞;4) . Meqenëse funksioni y = log 0,5 t është përcaktuar vetëm për, grupi i vlerave të tij në rreze (-∞;4) përkon me grupin e vlerave të funksionit në intervalin (0;4), që është kryqëzimi të rrezes (-∞;4) me domen të përkufizimit (0;+∞) funksioni logaritmik. Në intervalin (0;4) ky funksion është i vazhdueshëm dhe në rënie. Në t> 0 priret në +∞, dhe kur t = 4 merr vlerën -2, pra E(y) =(-2, +∞).

Shembulli 2: Gjeni gamën e një funksioni

y = cos7x + 5cosx

Le ta zgjidhim këtë shembull duke përdorur metodën e vlerësimit, thelbi i së cilës është të vlerësojmë një funksion të vazhdueshëm nga poshtë dhe lart dhe të provojmë se funksioni arrin kufijtë e poshtëm dhe të sipërm të vlerësimeve. Në këtë rast, koincidenca e grupit të vlerave të funksionit me intervalin nga kufiri i poshtëm i vlerësimit në atë të sipërm përcaktohet nga vazhdimësia e funksionit dhe mungesa e vlerave të tjera për të.

Nga pabarazitë -1≤cos7x?1, -5≤5cosx?5 marrim vlerësimin -6≤y?6. Në x = p dhe x = 0, funksioni merr vlerat -6 dhe 6, d.m.th. arrin kufijtë e poshtëm dhe të sipërm të vlerësimit. Si një kombinim linear i funksioneve të vazhdueshme cos7x dhe cosx, funksioni y është i vazhdueshëm gjatë gjithë kohës boshti numerik, pra, nga vetia e një funksioni të vazhdueshëm, merr të gjitha vlerat nga -6 në 6 përfshirëse, dhe vetëm ato, pasi për shkak të pabarazive -6≤y?6, vlerat e tjera janë të pamundura për të. Prandaj, E(y)= [-6;6].

Shembulli 3: Gjeni diapazonin E(f) funksionet f(x)= cos2x + 2cosx.

Duke përdorur formulën e kosinusit kënd i dyfishtë transformojnë funksionin f(x)= 2cos 2 x + 2cosx – 1 dhe shënojmë t=cosx. Pastaj f(x)= 2t 2 + 2t – 1. Meqenëse E(cosx) =

[-1;1], pastaj diapazoni i vlerave të funksionit f(x) përkon me bashkësinë e vlerave të funksionit g (t)= 2t 2 + 2t – 1 në segmentin [-1;1], të cilin do ta gjejmë metodë grafike. Pasi kemi vizatuar funksionin y = 2t 2 + 2t – 1 = 2(t + 0,5) 2 – 1,5 në intervalin [-1;1], gjejmë E(f) = [-1,5; 3].

Shënim: shumë probleme me një parametër reduktohen në gjetjen e grupit të vlerave të një funksioni, kryesisht të lidhura me zgjidhshmërinë dhe numrin e zgjidhjeve të ekuacioneve dhe pabarazive. Për shembull, ekuacioni f(x)= a është i zgjidhshëm nëse dhe vetëm nëse

a E(f) Po kështu, barazimi. f(x)= a ka të paktën një rrënjë të vendosur në një interval X, ose nuk ka një rrënjë të vetme në këtë interval nëse dhe vetëm nëse a i përket ose nuk i përket grupit të vlerave të funksionit f(x) në intervalin X. Gjithashtu është studiuar duke përdorur një grup vlerash funksionesh dhe pabarazish f(x)≠ A, f(x)> a, etj. Në veçanti, f(x)≠ dhe për të gjitha vlerat e pranueshme të x, nëse një E(f)

Shembulli 4. Për cilat vlera të parametrit a ekuacioni (x + 5) 1/2 = a (x 2 + 4) ka një rrënjë të vetme në intervalin [-4;-1].

Le ta shkruajmë ekuacionin në formën (x + 5) 1/2 / (x 2 + 4) = a. Ekuacioni i fundit ka të paktën një rrënjë në intervalin [-4;-1] nëse dhe vetëm nëse a i përket grupit të vlerave të funksionit f(x) =(x + 5) 1/2 / (x 2 + 4) në segmentin [-4;-1]. Le ta gjejmë këtë grup duke përdorur vetinë e vazhdimësisë dhe monotonitetit të funksionit.

Në intervalin [-4;-1] funksioni y = xІ + 4 është i vazhdueshëm, në rënie dhe pozitiv, prandaj funksioni g(x) = 1/(x 2 + 4) është i vazhdueshëm dhe rritet në këtë segment, që kur ndahet me funksion pozitiv natyra e monotonitetit të funksionit ndryshon në të kundërtën. Funksioni h(x) =(x + 5) 1/2 është e vazhdueshme dhe në rritje në domenin e saj të përkufizimit D(h) =[-5;+∞) dhe, në veçanti, në segmentin [-4;-1], ku është, përveç kësaj, pozitiv. Pastaj funksioni f(x)=g(x) h(x), si produkt i dy funksioneve të vazhdueshme, rritëse dhe pozitive, është gjithashtu i vazhdueshëm dhe në rritje në segmentin [-4;-1], prandaj grupi i vlerave të tij në [-4;-1] është segmenti [ f(-4); f(-1)] = . Rrjedhimisht, ekuacioni ka një zgjidhje në intervalin [-4;-1], dhe të vetmen (nga vetia e të vazhdueshmes funksioni monoton), në 0,05 ≤ a ≤ 0,4

Komentoni. Zgjidhshmëria e ekuacionit f(x) = a në një interval të caktuar X është e barabartë me përkatësinë në vlerat e parametrit A grup vlerash funksioni f(x) në X. Për rrjedhojë, grupi i vlerave të funksionit f(x) në intervalin X përkon me bashkësinë e vlerave të parametrave A, për të cilën ekuacioni f(x) = a ka të paktën një rrënjë në intervalin X. Në veçanti, diapazoni i vlerave E(f) funksionet f(x) përputhet me grupin e vlerave të parametrave A, për të cilën ekuacioni f(x) = a ka të paktën një rrënjë.

Shembulli 5: Gjeni diapazonin E(f) funksionet

Le ta zgjidhim shembullin duke paraqitur një parametër sipas të cilit E(f) përputhet me grupin e vlerave të parametrave A, për të cilën ekuacioni

ka të paktën një rrënjë.

Kur a = 2, ekuacioni është linear - 4x - 5 = 0 me një koeficient jozero për x të panjohur, prandaj ka një zgjidhje. Për a≠2 ekuacioni është kuadratik, kështu që është i zgjidhshëm nëse dhe vetëm nëse është diskriminues

Meqenëse pika a = 2 i përket segmentit

pastaj grupi i dëshiruar i vlerave të parametrave A, prandaj, diapazoni i vlerave E(f) do të jetë i gjithë segmenti.

Si zhvillimin e drejtpërdrejtë Metoda e futjes së një parametri kur gjeni një grup vlerash funksioni, mund të merrni parasysh metodën e funksionit të anasjelltë, për të gjetur se cilën ju duhet të zgjidhni ekuacionin për x f(x)=y, duke e konsideruar y si një parametër. Nëse ky ekuacion ka e vetmja zgjidhje x =g(y), pastaj diapazoni i vlerave E(f) funksion origjinal f(x) përkon me fushën e përkufizimit D(g) funksioni i anasjelltë g(y). Nëse ekuacioni f(x)=y ka disa zgjidhje x =g 1 (y), x =g 2 (y) etj., pastaj E(f)është e barabartë me bashkimin e domeneve të funksionit g 1 (y), g 2 (y) etj.

Shembulli 6: Gjeni diapazonin E(y) funksionet y = 5 2/(1-3x).

Nga barazimi.

ne do të gjejmë funksioni i anasjelltë x = log 3 ((log 5 y – 2)/(log 5 y)) dhe domeni i tij i përkufizimit D(x):

Meqenëse ekuacioni për x ka një zgjidhje unike, atëherë

E(y) = D(x) = (0; 1)(25;+∞ ).

Nëse fusha e përcaktimit të një funksioni përbëhet nga disa intervale ose funksioni përcaktohet në intervale të ndryshme formula të ndryshme, pastaj për të gjetur gamën e vlerave të një funksioni, duhet të gjeni grupet e vlerave të funksionit në çdo interval dhe të merrni bashkimin e tyre.

Shembulli 7: Gjeni vargjet f(x) Dhe f(f(x)), Ku

f(x) në rreze (-∞;1], ku përkon me shprehjen 4 x + 9 4 -x + 3. Le të shënojmë t = 4 x. Pastaj f(x) = t + 9/t + 3, ku 0< t ≤ 4 , так как показательная функция непрерывно возрастает на луче (-∞;1] и стремится к нулю при х → -∞. Тем самым множество значений функции f(x) në rreze (-∞;1] përkon me grupin e vlerave të funksionit g(t) = t + 9/t + 3, në intervalin (0;4], të cilin e gjejmë duke përdorur derivatin g’(t) = 1 – 9/t 2. Në intervalin (0;4] derivat g'(t)është përcaktuar dhe zhduket atje në t = 3. Në 0<t<3 она отрицательна, а при 3<t<4 положительна. Следовательно, в интервале (0;3) функция g(t) zvogëlohet, dhe në intervalin (3;4) rritet, duke mbetur i vazhdueshëm gjatë gjithë intervalit (0;4), kështu që g (3)= 9 – vlera më e vogël e këtij funksioni në intervalin (0;4], ndërsa vlera më e madhe e tij nuk ekziston, kështu që kur t→0 funksion në të djathtë g(t)→+∞. Pastaj, nga vetia e një funksioni të vazhdueshëm, grupi i vlerave të funksionit g(t) në intervalin (0;4], dhe për këtë arsye një grup vlerash f(x) në (-∞;-1], do të ketë një rreze .

Tani, duke kombinuar intervalet - grupet e vlerave të funksionit f(f(x)), tregojnë t = f(x). Pastaj f(f(x)) = f(t), ku Për të specifikuar t funksionin f(t)= 2 cos( x-1) 1/2+ 7 dhe përsëri merr të gjitha vlerat nga 5 në 9 përfshirëse, d.m.th. varg E(fІ) = E(f(f(x))) =.

Në mënyrë të ngjashme, duke treguar z = f(f(x)), mund të gjeni gamën e vlerave E(f 3) funksionet f(f(f(x))) = f(z), ku 5 ≤ z ≤ 9, etj. Sigurohuni E(f 3) = .

Metoda më universale për gjetjen e një grupi vlerash funksioni është përdorimi i vlerave më të mëdha dhe më të vogla të funksionit në një interval të caktuar.

Shembulli 8. Në cilat vlera parametrash r pabarazi 8 x - р ≠ 2 x+1 – 2 x vlen për të gjithë -1 ≤ x< 2.

Duke caktuar t = 2 x, mosbarazimin e shkruajmë në formë р ≠ t 3 – 2t 2 + t. Sepse t = 2 x– funksioni në rritje të vazhdueshme R, atëherë për -1 ≤ x< 2 переменная

2 -1 ≤ t<2 2 ↔

0,5 ≤ t< 4, и исходное неравенство выполняется для всех -1 ≤ x < 2 тогда и только тогда, когда r të ndryshme nga vlerat e funksionit f(t) = t 3 – 2t 2 + t në 0,5 ≤ t< 4.

Le të gjejmë së pari grupin e vlerave të funksionit f(t) në segmentin ku ka një derivat kudo f’(t) =3t 2 – 4t + 1. Prandaj, f(t)është i diferencueshëm, dhe për këtë arsye i vazhdueshëm në interval. Nga barazimi. f'(t) = 0 gjeni pikat kritike të funksionit t = 1/3, t = 1, e para prej të cilave nuk i përket segmentit, dhe e dyta i përket atij. Sepse f(0.5) = 1/8, f(1) = 0, f(4) = 36, atëherë, sipas vetive të një funksioni të diferencueshëm, 0 është më e vogla dhe 36 është vlera më e madhe e funksionit f(t) në segment. Pastaj f (t), si funksion i vazhdueshëm, merr në interval të gjitha vlerat nga 0 në 36 përfshirëse, dhe vlera 36 merr vetëm kur t=4, pra, për 0,5 ≤ t< 4, она принимает все значения из промежутка . Мы знаем, что функция, непрерывная на некотором отрезке, достигает на нем своего минимума и максимума, то есть наибольшего m a x x ∈ a ; b f (x) и наименьшего значения m i n x ∈ a ; b f (x) . Значит, у нас получится отрезок m i n x ∈ a ; b f (x) ; m a x x ∈ a ; b f (x) , в котором и будут находиться множества значений исходной функции. Тогда все, что нам нужно сделать, – это найти на этом отрезке указанные точки минимума и максимума.

Le të marrim një problem në të cilin duhet të përcaktojmë gamën e vlerave të arksinës.

Shembulli 1

Gjendja: gjeni gamën e vlerave y = a r c sin x.

Zgjidhje

Në rastin e përgjithshëm, domeni i përcaktimit të arksinës ndodhet në segmentin [-1; 1]. Ne duhet të përcaktojmë vlerën më të madhe dhe më të vogël të funksionit të specifikuar në të.

y " = a r c sin x " = 1 1 - x 2

Ne e dimë se derivati i funksionit do të jetë pozitiv për të gjitha vlerat e x të vendosura në intervalin [-1; 1 ], domethënë, në të gjithë domenin e përkufizimit, funksioni i harkut do të rritet. Kjo do të thotë se do të marrë vlerën më të vogël kur x është e barabartë me - 1, dhe vlera më e madhe është kur x është e barabartë me 1.

m i n x ∈ - 1 ; 1 a r c sin x = a r c sin - 1 = - π 2 m a x x ∈ - 1 ; 1 a r c sin x = a r c sin 1 = π 2

Kështu, diapazoni i vlerave të funksionit të harkut do të jetë i barabartë me E (a r c sin x) = - π 2; π 2.

Përgjigje: E (a r c sin x) = - π 2 ; π 2

Shembulli 2

Gjendja: llogaritni diapazonin e vlerave y = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 në intervalin e dhënë [ 1 ; 4].

Zgjidhje

Gjithçka që duhet të bëjmë është të llogarisim vlerën më të madhe dhe më të vogël të funksionit në një interval të caktuar.

Për të përcaktuar pikat ekstreme, duhet të bëhen llogaritjet e mëposhtme:

y " = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 " = 4 x 3 + 15 x 2 + 12 x = x 4 x 2 - 15 x + 12 y " = 0 ⇔ x (4 x 2 - 15 x + 12 ) = 0 x 1 = 0 ∉ 4 dhe 4 x 2 - 15 x + 12 = 0 D = - 15 2 - 4 · 12 = 33 x 2 = 15 - 33 ; = 15 + 33 8 ≈ 2 .

Tani le të gjejmë vlerat e funksionit të dhënë në skajet e segmentit dhe pikat x 2 = 15 - 33 8; x 3 = 15 + 33 8:

y (1) = 1 4 - 5 1 3 + 6 1 2 = 2 y 15 - 33 8 = 15 - 33 8 4 - 5 15 - 33 8 3 + 6 15 - 33 8 2 = = 117 + 165 33 512 2. 08 y 15 + 33 8 = 15 + 33 8 4 - 5 · 15 + 33 8 3 + 6 · 15 + 33 8 2 = = 117 - 165 33 512 ≈ - 1 . 62 y (4) = 4 4 - 5 4 3 + 6 4 2 = 32

Kjo do të thotë që grupi i vlerave të funksionit do të përcaktohet nga segmenti 117 - 165 33 512; 32.

Përgjigje: 117 - 165 33 512 ; 32 .

Le të kalojmë në gjetjen e grupit të vlerave të funksionit të vazhdueshëm y = f (x) në intervalet (a ; b), dhe a ; + ∞ , - ∞ ; b , - ∞ ; + ∞ .

Le të fillojmë duke përcaktuar pikat më të mëdha dhe më të vogla, si dhe intervalet e rritjes dhe zvogëlimit në një interval të caktuar. Pas kësaj, do të na duhet të llogarisim kufijtë e njëanshëm në skajet e intervalit dhe/ose kufijtë në pafundësi. Me fjalë të tjera, ne duhet të përcaktojmë sjelljen e funksionit në kushte të dhëna. Ne kemi të gjitha të dhënat e nevojshme për këtë.

Shembulli 3

Gjendja: njehsoni diapazonin e funksionit y = 1 x 2 - 4 në intervalin (- 2 ; 2) .

Zgjidhje

Përcaktoni vlerën më të madhe dhe më të vogël të një funksioni në një segment të caktuar

y " = 1 x 2 - 4 " = - 2 x (x 2 - 4) 2 y " = 0 ⇔ - 2 x (x 2 - 4) 2 = 0 ⇔ x = 0 ∈ (- 2 ; 2)

Ne morëm një vlerë maksimale të barabartë me 0, pasi është në këtë pikë që shenja e funksionit ndryshon dhe grafiku fillon të ulet. Shih ilustrimin:

Kjo do të thotë, y (0) = 1 0 2 - 4 = - 1 4 do të jetë vlera maksimale e funksionit.

Tani le të përcaktojmë sjelljen e funksionit për një x që tenton në - 2 s anën e djathtë dhe k + 2 në anën e majtë. Me fjalë të tjera, ne gjejmë kufij të njëanshëm:

lim x → - 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → - 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 - 2 + 0 - 2 - 2 + 0 + 2 = - 1 4 · 1 + 0 = - ∞ lim x → 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 2 - 0 - 2 2 - 0 + 2 = 1 4 1 - 0 = - ∞

Rezulton se vlerat e funksionit do të rriten nga minus pafundësi në - 1 4 kur argumenti ndryshon nga - 2 në 0. Dhe kur argumenti ndryshon nga 0 në 2, vlerat e funksionit ulen drejt minus pafundësisë. Prandaj, grupi i vlerave të një funksioni të caktuar në intervalin që na nevojitet do të jetë (- ∞ ; - 1 4 ] .

Përgjigje: (- ∞ ; - 1 4 ] .

Shembulli 4

gjendja: tregoni grupin e vlerave y = t g x në një interval të caktuar - π 2; π 2.

Zgjidhje

Dimë se në rastin e përgjithshëm derivati i tangjentes është - π 2; π 2 do të jetë pozitiv, domethënë funksioni do të rritet. Tani le të përcaktojmë se si funksioni sillet brenda kufijve të dhënë:

lim x → π 2 + 0 t g x = t g - π 2 + 0 = - ∞ lim x → π 2 - 0 t g x = t g π 2 - 0 = + ∞

Ne kemi marrë një rritje në vlerat e funksionit nga minus pafundësi në plus pafundësi kur argumenti ndryshon nga - π 2 në π 2, dhe mund të themi se grupi i zgjidhjeve të këtij funksioni do të jetë bashkësia e të gjitha realeve numrat.

Përgjigje: - ∞ ; + ∞ .

Shembulli 5

Gjendja: përcaktoni diapazonin e funksionit të logaritmit natyror y = ln x.

Zgjidhje

Ne e dimë atë këtë funksionështë përcaktuar për vlerat pozitive të argumentit D (y) = 0; + ∞ . Derivati në një interval të caktuar do të jetë pozitiv: y " = ln x " = 1 x . Kjo do të thotë se funksioni rritet në të. Më pas duhet të përcaktojmë një kufi të njëanshëm për rastin kur argumenti tenton në 0 (në anën e djathtë) dhe kur x shkon në pafundësi:

lim x → 0 + 0 ln x = ln (0 + 0) = - ∞ lim x → ∞ ln x = ln + ∞ = + ∞

Ne zbuluam se vlerat e funksionit do të rriten nga minus pafundësi në plus pafundësi pasi vlerat e x ndryshojnë nga zero në plus pafundësi. Kjo do të thotë se grupi i të gjithë numrave realë është diapazoni i vlerave të funksionit të logaritmit natyror.

Përgjigje: grupi i të gjithë numrave realë është diapazoni i vlerave të funksionit të logaritmit natyror.

Shembulli 6

Gjendja: përcaktoni diapazonin e funksionit y = 9 x 2 + 1 .

Zgjidhje

Ky funksion përcaktohet me kusht që x të jetë një numër real. Le të llogarisim vlerat më të mëdha dhe më të vogla të funksionit, si dhe intervalet e rritjes dhe uljes së tij:

y " = 9 x 2 + 1 " = - 18 x (x 2 + 1) 2 y " = 0 ⇔ x = 0 y " ≤ 0 ⇔ x ≥ 0 y " ≥ 0 ⇔ x ≤ 0

Si rezultat, ne përcaktuam se ky funksion do të ulet nëse x ≥ 0; rritet nëse x ≤ 0 ; ka një pikë maksimale y (0) = 9 0 2 + 1 = 9 me një ndryshore të barabartë me 0.

Le të shohim se si funksioni sillet në pafundësi:

lim x → - ∞ 9 x 2 + 1 = 9 - ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0 lim x → + ∞ 9 x 2 + 1 = 9 + ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0

Është e qartë nga të dhënat që vlerat e funksionit në këtë rast do t'i afrohen asimptotikisht 0.

Për ta përmbledhur: kur argumenti ndryshon nga minus pafundësi në zero, vlerat e funksionit rriten nga 0 në 9. Kur vlerat e argumentit ndryshojnë nga 0 në plus pafundësi, vlerat përkatëse të funksionit do të ulen nga 9 në 0. Këtë e kemi treguar në figurë:

Tregon se diapazoni i vlerave të funksionit do të jetë intervali E (y) = (0 ; 9 ]

Përgjigje: E (y) = (0 ; 9 ]

Nëse duhet të përcaktojmë grupin e vlerave të funksionit y = f (x) në intervalet [ a ; b) , (a ; b ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; b ] , atëherë do të na duhet të kryejmë saktësisht të njëjtat studime. Nuk do t'i analizojmë këto raste tani për tani: do t'i hasim më vonë në problemet.

Por, çka nëse fusha e përkufizimit të një funksioni të caktuar është një bashkim i disa intervaleve? Pastaj ne duhet të llogarisim grupet e vlerave në secilin prej këtyre intervaleve dhe t'i kombinojmë ato.

Shembulli 7

Gjendja: përcaktoni se cili do të jetë diapazoni i vlerave y = x x - 2.

Zgjidhje

Meqenëse emëruesi i funksionit nuk duhet të kthehet në 0, atëherë D (y) = - ∞; 2 ∪ 2 ; + ∞ .

Le të fillojmë duke përcaktuar grupin e vlerave të funksionit në segmentin e parë - ∞; 2, e cila është një rreze e hapur. Ne e dimë se funksioni në të do të ulet, domethënë, derivati i këtij funksioni do të jetë negativ.

lim x → 2 - 0 x x - 2 = 2 - 0 2 - 0 - 2 = 2 - 0 = - ∞ lim x → - ∞ x x - 2 = lim x → - ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → - ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 - ∞ - 2 = 1 - 0

Më pas, në rastet kur argumenti ndryshon drejt minus pafundësisë, vlerat e funksionit do t'i afrohen asimptotikisht 1. Nëse vlerat e x ndryshojnë nga minus pafundësi në 2, atëherë vlerat do të ulen nga 1 në minus pafundësi, d.m.th. funksioni në këtë segment do të marrë vlera nga intervali - ∞; 1. Ne e përjashtojmë unitetin nga konsideratat tona, pasi vlerat e funksionit nuk e arrijnë atë, por i afrohen vetëm në mënyrë asimptotike.

Për rreze të hapur 2; + ∞ kryejmë saktësisht të njëjtat veprime. Funksioni në të po zvogëlohet gjithashtu:

lim x → 2 + 0 x x - 2 = 2 + 0 2 + 0 - 2 = 2 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x x - 2 = lim x → + ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → + ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 + ∞ - 2 = 1 + 0

Vlerat e funksionit në një segment të caktuar përcaktohen nga grupi 1; + ∞ . Kjo do të thotë që diapazoni i vlerave që na duhen për funksionin e specifikuar në kusht do të jetë bashkimi i grupeve - ∞ ; 1 dhe 1; + ∞ .

Përgjigje: E (y) = - ∞ ; 1 ∪ 1 ; + ∞ .

Kjo mund të shihet në grafik:

Një rast i veçantë janë funksionet periodike. Gama e tyre e vlerave përkon me grupin e vlerave në intervalin që korrespondon me periudhën e këtij funksioni.

Shembulli 8

Gjendja: përcaktoni gamën e vlerave të sinusit y = sin x.

Zgjidhje

Sinusi është një funksion periodik dhe perioda e tij është 2 pi. Merrni segmentin 0; 2 π dhe shikoni se cili do të jetë grupi i vlerave në të.

y " = (sin x) " = cos x y " = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = π 2 + πk , k ∈ Z

Brenda 0; 2 π funksioni do të ketë pika ekstreme π 2 dhe x = 3 π 2. Le të llogarisim se me çfarë do të jenë vlerat e funksionit të barabarta në to, si dhe në kufijtë e segmentit, dhe më pas të zgjedhim vlerën më të madhe dhe më të vogël.

y (0) = sin 0 = 0 y π 2 = sin π 2 = 1 y 3 π 2 = sin 3 π 2 = - 1 y (2 π) = sin (2 π) = 0 ⇔ min x ∈ 0 ; 2 π sin x = sin 3 π 2 = - 1, max x ∈ 0; 2 π sin x = mëkat π 2 = 1

Përgjigje: E (sin x) = - 1; 1.

Nëse keni nevojë të dini sferat e funksioneve si fuqia, eksponenciale, logaritmike, trigonometrike, trigonometrike të anasjellta, atëherë ju këshillojmë të rilexoni artikullin mbi funksionet themelore elementare. Teoria që ne paraqesim këtu na lejon të verifikojmë vlerat e deklaruara atje. Këshillohet që t'i mësoni ato, pasi ato shpesh kërkohen gjatë zgjidhjes së problemeve. Nëse i njihni vargjet e funksioneve bazë, mund të gjeni lehtësisht vargjet e funksioneve që merren nga ato elementare duke përdorur një transformim gjeometrik.

Shembulli 9

Gjendja: përcaktoni gamën e vlerave y = 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 .

Zgjidhje

Ne e dimë se segmenti nga 0 në pi është diapazoni i kosinusit të harkut. Me fjalë të tjera, E (a r c cos x) = 0; π ose 0 ≤ a r c cos x ≤ π . Mund të marrim funksionin a r c cos x 3 + 5 π 7 nga kosinusi i harkut duke e zhvendosur dhe shtrirë atë përgjatë boshtit O x, por transformime të tilla nuk do të na japin asgjë. Kjo do të thotë 0 ≤ a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ π .

Funksioni 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 mund të merret nga kosinusi i harkut a r c cos x 3 + 5 π 7 duke u shtrirë përgjatë boshtit të ordinatës, d.m.th. 0 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ 3 π . Transformimi përfundimtar është një zhvendosje përgjatë boshtit O y me 4 vlera. Si rezultat, marrim një pabarazi të dyfishtë:

0 - 4 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4 ⇔ - 4 ≤ 3 arccos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4

Ne zbuluam se diapazoni i vlerave që na duhen do të jetë i barabartë me E (y) = - 4; 3 π - 4 .

Përgjigje: E (y) = -4; 3 π - 4 .

Do të shkruajmë një shembull tjetër pa shpjegim, sepse është plotësisht i ngjashëm me atë të mëparshëm.

Shembulli 10

Gjendja: njehsoni sa do të jetë diapazoni i funksionit y = 2 2 x - 1 + 3.

Zgjidhje

Le të rishkruajmë funksionin e specifikuar në kusht si y = 2 · (2 x - 1) - 1 2 + 3. Për një funksion fuqie y = x - 1 2 diapazoni i vlerave do të përcaktohet në intervalin 0; + ∞, d.m.th. x - 1 2 > 0 . Në këtë rast:

2 x - 1 - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 + 3 > 3

Pra E(y) = 3; + ∞ .

Përgjigje: E(y) = 3; + ∞ .

Tani le të shohim se si të gjejmë gamën e vlerave të një funksioni që nuk është i vazhdueshëm. Për ta bërë këtë, ne duhet të ndajmë të gjithë zonën në intervale dhe të gjejmë grupe vlerash në secilën prej tyre, dhe më pas të kombinojmë atë që marrim. Për ta kuptuar më mirë këtë, ne ju këshillojmë të rishikoni llojet kryesore të pikave të ndërprerjes së funksionit.

Shembulli 11

Gjendja: jepet funksioni y = 2 sin x 2 - 4 , x ≤ - 3 - 1 , - 3< x ≤ 3 1 x - 3 , x >3. Llogaritni gamën e vlerave të tij.

Zgjidhje

Ky funksion është përcaktuar për të gjitha vlerat e x. Le ta analizojmë atë për vazhdimësi për vlerat e argumenteve të barabarta me - 3 dhe 3:

lim x → - 3 - 0 f (x) = lim x → - 3 2 sin x 2 - 4 = 2 sin - 3 2 - 4 = - 2 sin 3 2 - 4 lim x → - 3 + 0 f (x) = lim x → - 3 (1) = - 1 ⇒ lim x → - 3 - 0 f (x) ≠ lim x → - 3 + 0 f (x)

Kemi një ndërprerje të pandërprerë të llojit të parë kur vlera e argumentit është - 3. Ndërsa i afrohemi, vlerat e funksionit priren në - 2 sin 3 2 - 4 , dhe ndërsa x priret në - 3 në anën e djathtë, vlerat do të priren në - 1 .

lim x → 3 - 0 f (x) = lim x → 3 - 0 (- 1) = 1 lim x → 3 + 0 f (x) = lim x → 3 + 0 1 x - 3 = + ∞

Kemi një ndërprerje të pandërprerë të llojit të dytë në pikën 3. Kur një funksion priret drejt tij, vlerat e tij afrohen - 1, kur priren në të njëjtën pikë në të djathtë - në minus pafundësi.

Kjo do të thotë se i gjithë domeni i përkufizimit të këtij funksioni është i ndarë në 3 intervale (- ∞ ; - 3 ], (- 3 ; 3 ], (3 ; + ∞).

Në të parën prej tyre morëm funksionin y = 2 sin x 2 - 4. Meqenëse - 1 ≤ sin x ≤ 1, marrim:

1 ≤ mëkat x 2< 1 ⇒ - 2 ≤ 2 sin x 2 ≤ 2 ⇒ - 6 ≤ 2 sin x 2 - 4 ≤ - 2

Kjo do të thotë që në një interval të caktuar (- ∞ ; - 3 ] grupi i vlerave të funksionit është [ - 6 ; 2 ] .

Në gjysmëintervalin (- 3 ; 3 ] doli funksion konstant y = - 1 . Rrjedhimisht, i gjithë grupi i vlerave të tij në në këtë rast do të reduktohet në një numër - 1.

Në intervalin e dytë 3; + ∞ kemi funksionin y = 1 x - 3 . Është në rënie sepse y " = - 1 (x - 3) 2< 0 . Она будет убывать от плюс бесконечности до 0 , но самого 0 не достигнет, потому что:

lim x → 3 + 0 1 x - 3 = 1 3 + 0 - 3 = 1 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ 1 x - 3 = 1 + ∞ - 3 = 1 + ∞ + 0

Kjo do të thotë se grupi i vlerave të funksionit origjinal për x > 3 është grupi 0; + ∞ . Tani le të kombinojmë rezultatet: E (y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; + ∞ .

Përgjigje: E(y) = - 6; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; + ∞ .

Zgjidhja tregohet në grafik:

Shembulli 12

Kushti: ekziston një funksion y = x 2 - 3 e x. Përcaktoni grupin e vlerave të tij.

Zgjidhje

Është përcaktuar për të gjitha vlerat e argumenteve që përfaqësojnë numra realë. Le të përcaktojmë se në cilat intervale do të rritet ky funksion dhe në cilin do të ulet:

y " = x 2 - 3 e x " = 2 x e x - e x (x 2 - 3) e 2 x = - x 2 + 2 x + 3 e x = - (x + 1) (x - 3) e x

Ne e dimë se derivati do të bëhet 0 nëse x = - 1 dhe x = 3. Le t'i vendosim këto dy pika në bosht dhe të zbulojmë se çfarë shenjash do të ketë derivati në intervalet që rezultojnë.

Funksioni do të ulet me (- ∞ ; - 1 ] ∪ [ 3 ; + ∞) dhe do të rritet me [ - 1 ; 3]. Pika minimale do të jetë - 1, maksimumi - 3.

Tani le të gjejmë vlerat përkatëse të funksionit:

y (- 1) = - 1 2 - 3 e - 1 = - 2 e y (3) = 3 2 - 3 e 3 = 6 e - 3

Le të shohim sjelljen e funksionit në pafundësi:

lim x → - ∞ x 2 - 3 e x = - ∞ 2 - 3 e - ∞ = + ∞ + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x 2 - 3 e x = + ∞ 2 - 3 e + ∞ = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ x 2 - 3 " e x " = lim x → + ∞ 2 x e x = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ 2 x " (e x) " = 2 lim x → + ∞ 1 e x = 2 1 + ∞ = + 0

Rregulli i L'Hopital u përdor për të llogaritur kufirin e dytë. Le të përshkruajmë përparimin e zgjidhjes sonë në një grafik.

Tregon se vlerat e funksionit do të ulen nga plus pafundësi në - 2 e kur argumenti ndryshon nga minus pafundësi në - 1. Nëse ndryshon nga 3 në plus pafundësi, atëherë vlerat do të ulen nga 6 e - 3 në 0, por 0 nuk do të arrihet.

Kështu, E(y) = [ - 2 e ; + ∞).

Përgjigje: E(y) = [-2 e; + ∞)

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Leksioni 19. Funksioni. Domeni dhe grupi i vlerave të një funksioni.

Funksioni është një nga konceptet më të rëndësishme matematikore.

Përkufizim: Nëse çdo numër nga një bashkësi e caktuar x shoqërohet njëjës y, atëherë themi se në këtë bashkësi është dhënë funksioni y(x). Në këtë rast, x quhet ndryshore ose argument i pavarur, dhe y quhet ndryshore e varur ose vlera e një funksioni ose thjesht një funksion.

Variabla y thuhet gjithashtu se është funksion i ndryshores x.

Pasi të keni caktuar një përputhje me një shkronjë, për shembull f, është e përshtatshme të shkruani: y=f (x), domethënë, vlera y merret nga argumenti x duke përdorur përputhjen f. (Lexoni: y është e barabartë me f të x.) Simboli f (x) tregon vlerën e funksionit që i korrespondon vlerës së argumentit të barabartë me x.

Shembulli 1 Le të jepet funksioni me formulën y=2x 2 –6. Atëherë mund të shkruajmë se f(x)=2x 2 –6. Le të gjejmë vlerat e funksionit për vlerat e x të barabarta, për shembull, 1; 2,5;–3; d.m.th., gjejmë f (1), f (2,5), f (–3):

f(1)=2 1 2 –6=–4;
f(2,5)=2 2,5 2 –6=6,5;
f(–3)=2 (–3) 2 –6= 12.

Vini re se në shënimin e formës y=f (x) në vend të f përdoren shkronja të tjera: g etj.

Përkufizimi: Domeni i një funksioni është të gjitha vlerat e x për të cilat ekziston funksioni.

Nëse një funksion specifikohet nga një formulë dhe domeni i përkufizimit të tij nuk specifikohet, atëherë fusha e përkufizimit të funksionit konsiderohet se përbëhet nga të gjitha vlerat e argumentit për të cilin formula ka kuptim.

Me fjalë të tjera, fusha e përkufizimit të një funksioni, formula e dhënë, janë të gjitha vlerat e argumentit, përveç atyre që rezultojnë në veprime që nuk mund t'i kryejmë. Aktiv për momentin ne njohim vetëm dy veprime të tilla. Ne nuk mund të pjesëtojmë me zero dhe nuk mund të nxjerrim rrënjë katrore nga një numër negativ.

Përkufizimi: Të gjitha vlerat që merr ndryshorja e varur formojnë gamën e funksionit.

Fusha e përkufizimit të një funksioni që përshkruan një proces real varet nga kushtet specifike të shfaqjes së tij. Për shembull, varësia e gjatësisë l të një shufre hekuri nga temperatura e ngrohjes t shprehet me formulën, ku l 0 është gjatësia fillestare e shufrës dhe është koeficienti zgjerim linear. Kjo formulë ka kuptim për çdo vlerë të t. Megjithatë, fusha e përcaktimit të funksionit l=g(t) është një interval prej disa dhjetëra gradësh, për të cilin vlen ligji i zgjerimit linear.

Shembull.

Specifikoni gamën e funksionit y = harksinx.

Zgjidhje.

Fusha e përcaktimit të harksinës është segmenti [-1; 1] . Le të gjejmë vlerën më të madhe dhe më të vogël të funksionit në këtë segment.

Derivati është pozitiv për të gjithë x nga intervali (-1; 1) , domethënë, funksioni i arksinës rritet në të gjithë domenin e përkufizimit. Prandaj, merr vlerën më të vogël kur x = -1, dhe më i madhi në x = 1.