Në këtë artikull do të flas për algoritmi për gjetjen e vlerës më të madhe dhe më të vogël funksionet, pikët minimale dhe maksimale.
Nga teoria do të jetë patjetër e dobishme për ne tabela e derivateve Dhe rregullat e diferencimit. Është e gjitha në këtë pjatë:
Algoritmi për gjetjen e vlerës më të madhe dhe më të vogël.
Është më e përshtatshme për mua të shpjegoj shembull specifik. Merrni parasysh:
Shembull: Gjej vlerën më të lartë funksionet y=x^5+20x^3–65x në intervalin [–4;0].
Hapi 1. Marrim derivatin.
Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65
Hapi 2. Gjetja e pikave ekstreme.
Pika ekstreme quajmë ato pika në të cilat funksioni arrin vlerën e tij më të madhe ose minimale.
Për të gjetur pikat ekstreme, duhet të barazoni derivatin e funksionit me zero (y" = 0)
5x^4 + 60x^2 - 65 = 0
Tani le ta zgjidhim këtë ekuacioni bikuadratik dhe rrënjët e gjetura janë pikat tona ekstreme.
I zgjidh ekuacione të tilla duke zëvendësuar t = x^2, pastaj 5t^2 + 60t - 65 = 0.
Le ta zvogëlojmë ekuacionin me 5, marrim: t^2 + 12t - 13 = 0
D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196
T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1
T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13
Ne bëjmë ndryshimin e kundërt x^2 = t:
X_(1 dhe 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 dhe 4) = ±sqrt(-13) (përjashtojmë, nuk mund të ketë numra negativ, përveç nëse sigurisht po flasim për numra kompleks)
Gjithsej: x_(1) = 1 dhe x_(2) = -1 - këto janë pikat tona ekstreme.
Hapi 3. Përcaktoni më të madhin dhe më vlerë më të ulët.
Metoda e zëvendësimit.
Në gjendje, na është dhënë segmenti [b][–4;0]. Pika x=1 nuk përfshihet në këtë segment. Pra, ne nuk e konsiderojmë atë. Por përveç pikës x=-1, duhet të kemi parasysh edhe kufijtë majtas dhe djathtas të segmentit tonë, pra pikat -4 dhe 0. Për ta bërë këtë, ne i zëvendësojmë të gjitha këto tre pika në funksionin origjinal. Vini re se origjinali është ai i dhënë në kusht (y=x^5+20x^3–65x), disa njerëz fillojnë ta zëvendësojnë atë në derivatin...
Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044
Kjo do të thotë se vlera më e madhe e funksionit është [b]44 dhe arrihet në pikën [b]-1, e cila quhet pika maksimale e funksionit në segmentin [-4; 0].
Ne vendosëm dhe morëm një përgjigje, jemi shumë mirë, mund të pushoni. Por ndalo! A nuk mendoni se llogaritja e y(-4) është disi shumë e vështirë? Në kushtet e një kohe të kufizuar, është më mirë të përdoret një metodë tjetër, unë e quaj këtë:
Përmes intervaleve të qëndrueshmërisë së shenjave.
Këto intervale gjenden për derivatin e funksionit, pra për ekuacionin tonë bikuadratik.
Unë e bëj kështu. Unë vizatoj një segment të drejtuar. I vendos pikat: -4, -1, 0, 1. Pavarësisht se 1 nuk përfshihet në segmentin e dhënë, prapëseprapë duhet shënuar për të përcaktuar saktë intervalet e qëndrueshmërisë së shenjës. Le të marrim një numër shumë herë më të madh se 1, le të themi 100, dhe ta zëvendësojmë mendërisht në ekuacionin tonë bikuadratik 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Edhe pa numëruar asgjë, bëhet e qartë se në pikën 100, funksioni ka shenjë plus. Kjo do të thotë që për intervalet nga 1 deri në 100 ka një shenjë plus. Kur kalojmë nëpër 1 (ne shkojmë nga e djathta në të majtë), funksioni do të ndryshojë shenjën në minus. Kur kalon në pikën 0, funksioni do të ruajë shenjën e tij, pasi ky është vetëm kufiri i segmentit dhe jo rrënja e ekuacionit. Kur kalon nga -1, funksioni do të ndryshojë përsëri shenjën në plus.
Nga teoria ne e dimë se ku është derivati i funksionit (dhe ne e vizatuam këtë pikërisht për të) ndryshon shenjën nga plus në minus (pika -1 në rastin tonë) funksioni arrin maksimumin e tij lokal (y(-1)=44, siç është llogaritur më parë) në këtë segment(kjo është logjikisht shumë e kuptueshme, funksioni ndaloi së rrituri sepse arriti maksimumin e tij dhe filloi të ulet).
Prandaj, ku derivati i funksionit ndryshon shenjën nga minus në plus, arrihet minimumi lokal i një funksioni. Po, po, edhe ne e gjetëm pikën minimale lokaleështë 1 dhe y(1) është vlerë minimale funksionet në një segment, le të themi nga -1 në +∞. Ju lutemi vini re se ky është vetëm një MINIMUM LOKAL, domethënë një minimum për një segment të caktuar. Meqenëse minimumi real (global) i funksionit do të arrijë diku atje, në -∞.
Sipas mendimit tim, metoda e parë është më e thjeshtë teorikisht, dhe e dyta është më e thjeshtë nga pikëpamja veprimet aritmetike, por shumë më e ndërlikuar nga pikëpamja teorike. Në fund të fundit, ndonjëherë ka raste kur funksioni nuk ndryshon shenjë kur kalon në rrënjën e ekuacionit, dhe në përgjithësi mund të ngatërrohesh me këto maksimum dhe minimum lokal, global, megjithëse do të duhet ta zotërosh mirë këtë gjithsesi nëse planifikoni të regjistroheni universiteti teknik(pse tjetër do ta merrje? profilin Provimi i Unifikuar i Shtetit dhe zgjidhni këtë problem). Por praktika dhe vetëm praktika do t'ju mësojë të zgjidhni probleme të tilla një herë e përgjithmonë. Dhe ju mund të stërviteni në faqen tonë të internetit. Këtu.
Nëse keni ndonjë pyetje ose diçka është e paqartë, sigurohuni që të pyesni. Do të jem i lumtur t'ju përgjigjem dhe do të bëj ndryshime dhe shtesa në artikull. Mos harroni se ne po e krijojmë këtë faqe së bashku!
Lëreni funksionin y =f(X)është e vazhdueshme në intervalin [ a, b]. Siç dihet, një funksion i tillë arrin vlerat e tij maksimale dhe minimale në këtë segment. Funksioni mund të marrë këto vlera ose pikë e brendshme segment [ a, b], ose në kufirin e segmentit.
Për të gjetur vlerat më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni në segmentin [ a, b] e nevojshme:
1) gjeni pikat kritike funksionon në intervalin ( a, b);
2) llogaritni vlerat e funksionit në pikat kritike të gjetura;
3) llogaritni vlerat e funksionit në skajet e segmentit, domethënë kur x=A dhe x = b;
4) nga të gjitha vlerat e llogaritura të funksionit, zgjidhni më të madhin dhe më të voglin.
Shembull. Gjeni vlerat më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni
në segment.
Gjetja e pikave kritike:
Këto pika shtrihen brenda segmentit; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;
në pikën x= 3 dhe në pikën x= 0.
Studimi i një funksioni për konveksitetin dhe pikën e lakimit.
Funksioni y = f (x) thirrur konveks në mes (a, b) , nëse grafiku i tij shtrihet nën tangjenten e vizatuar në çdo pikë të këtij intervali, dhe quhet konveks poshtë (konkave), nëse grafiku i tij qëndron mbi tangjenten.
Quhet pika përmes së cilës konveksiteti zëvendësohet me konkavitetin ose anasjelltas pika e lakimit.
Algoritmi për ekzaminimin e konveksitetit dhe pikës së përkuljes:
1. Gjeni pika kritike të llojit të dytë, pra pika në të cilat derivati i dytë është i barabartë me zero ose nuk ekziston.
2. Paraqitni pikat kritike në vijën numerike, duke e ndarë atë në intervale. Gjeni shenjën e derivatit të dytë në çdo interval; nëse , atëherë funksioni është konveks lart, nëse, atëherë funksioni është konveks poshtë.
3. Nëse kur kalon një pikë kritike të llojit të dytë, shenja ndryshon dhe në këtë pikë derivati i dytë është i barabartë me zero, atëherë kjo pikë është abshisa e pikës së lakimit. Gjeni ordinatën e saj.
Asimptotat e grafikut të një funksioni. Studimi i një funksioni për asimptotat.
Përkufizimi. Asimptota e grafikut të një funksioni quhet drejt, e cila ka vetinë që distanca nga çdo pikë e grafikut në këtë vijë priret në zero ndërsa pika në grafik lëviz pafundësisht nga origjina.
Ekzistojnë tre lloje të asimptotave: vertikale, horizontale dhe të pjerrëta.
Përkufizimi. Vija e drejtë quhet asimptotë vertikale grafika e funksionit y = f(x), nëse të paktën një nga kufijtë e njëanshëm të funksionit në këtë pikë është i barabartë me pafundësinë, d.m.th.
ku është pika e ndërprerjes së funksionit, pra nuk i përket fushës së përkufizimit.
Shembull.
D ( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)
x= 2 - pika e thyerjes.
Përkufizimi. Drejt y =A thirrur asimptotë horizontale grafika e funksionit y = f(x) në , nëse
Shembull.
|
x | |||
|
y |
Përkufizimi. Drejt y =kx +b (k≠ 0) quhet asimptotë e zhdrejtë grafika e funksionit y = f(x) në , ku
Skema e përgjithshme për studimin e funksioneve dhe ndërtimin e grafikëve.
Algoritmi i Kërkimit të Funksionity = f(x) :
1. Gjeni domenin e funksionit D (y).
2. Gjeni (nëse është e mundur) pikat e prerjes së grafikut me boshtet e koordinatave (nëse x= 0 dhe në y = 0).
3. Ekzaminoni për barazi dhe çudi të funksionit ( y (‒ x) = y (x) ‒ barazi; y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ i rastësishëm).
4. Gjeni asimptotat e grafikut të funksionit.
5. Gjeni intervalet e monotonitetit të funksionit.
6. Gjeni ekstremin e funksionit.
7. Gjeni intervalet e konveksitetit (konkavitetit) dhe pikat e lakimit të grafikut të funksionit.
8. Në bazë të hulumtimit të kryer ndërtoni një grafik të funksionit.
Shembull. Eksploroni funksionin dhe ndërtoni grafikun e tij.
1) D (y) =
x= 4 – pika e thyerjes.
2) Kur x = 0,
(0; ‒ 5) – pika e kryqëzimit me oh.
Në y = 0,
3)
y(‒
x)=
funksionin pamje e përgjithshme(as çift dhe as tek).
4) Ne ekzaminojmë për asimptota.
a) vertikale
b) horizontale
c) gjeni asimptotat e zhdrejta ku
‒ekuacioni i zhdrejtë i asimptotës
5) B ekuacioni i dhënë nuk ka nevojë të gjenden intervale të monotonitetit të funksionit.
6)
Këto pika kritike ndajnë të gjithë domenin e përkufizimit të funksionit në intervalin (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) dhe (10; +∞). Është e përshtatshme që rezultatet e marra të paraqiten në formën e tabelës së mëposhtme.
Deklarata e problemit 2:
Jepet një funksion që është i përcaktuar dhe i vazhdueshëm në një interval të caktuar. Ju duhet të gjeni vlerën më të madhe (më të vogël) të funksionit në këtë interval.
Baza teorike.
Teorema (teorema e dytë e Weierstrass):
Nëse një funksion është i përcaktuar dhe i vazhdueshëm në një interval të mbyllur, atëherë ai arrin vlerat e tij maksimale dhe minimale në këtë interval.
Funksioni mund të arrijë vlerat e tij më të mëdha dhe më të vogla ose në pikat e brendshme të intervalit ose në kufijtë e tij. Le të ilustrojmë të gjitha opsionet e mundshme. 
Shpjegim:
1) Funksioni arrin vlerën e tij më të madhe në kufirin e majtë të intervalit në pikën , dhe vlerën e tij minimale në kufirin e djathtë të intervalit në pikën .
2) Funksioni arrin vlerën e tij më të madhe në pikë (kjo është pika maksimale), dhe vlerën e tij minimale në kufirin e djathtë të intervalit në pikë.
3) Funksioni arrin vlerën e tij maksimale në kufirin e majtë të intervalit në pikën , dhe vlerën e tij minimale në pikën (kjo është pika minimale).
4) Funksioni është konstant në interval, d.m.th. ai arrin vlerat e tij minimale dhe maksimale në çdo pikë të intervalit, dhe vlerat minimale dhe maksimale janë të barabarta me njëra-tjetrën.
5) Funksioni arrin vlerën e tij maksimale në pikën , dhe vlerën e tij minimale në pikën (pavarësisht nga fakti që funksioni ka një maksimum dhe një minimum në këtë interval).
6) Funksioni arrin vlerën e tij më të madhe në një pikë (kjo është pika maksimale), dhe vlerën e tij minimale në një pikë (kjo është pika minimale).
Koment:
"Maksimumi" dhe " vlera maksimale" - Gjera te ndryshme. Kjo rrjedh nga përkufizimi i maksimumit dhe kuptimi intuitiv i shprehjes "vlera maksimale".
Algoritmi për zgjidhjen e problemit 2.
4) Zgjidhni më të madhin (më të vogël) nga vlerat e marra dhe shkruani përgjigjen.
Shembulli 4:
Përcaktoni vlerën më të madhe dhe më të vogël të një funksioni 
në segment.
Zgjidhja:
1) Gjeni derivatin e funksionit. 
2) Gjeni pikat stacionare (dhe pikat e dyshuara për ekstrem) duke zgjidhur ekuacionin. Kushtojini vëmendje pikave në të cilat nuk ka derivat të fundëm të dyanshëm. 
3) Llogaritni vlerat e funksionit në pika të palëvizshme dhe në kufijtë e intervalit.
4) Zgjidhni më të madhin (më të vogël) nga vlerat e marra dhe shkruani përgjigjen.
Funksioni në këtë segment e arrin vlerën e tij më të madhe në pikën me koordinata.
Funksioni në këtë segment e arrin vlerën e tij minimale në pikën me koordinata.
Ju mund të verifikoni korrektësinë e llogaritjeve duke parë grafikun e funksionit në studim. 
Koment: Funksioni arrin vlerën e tij më të madhe në pikën maksimale dhe minimumin e tij në kufirin e segmentit.
Një rast i veçantë.
Supozoni se duhet të gjeni vlerat maksimale dhe minimale të disa funksioneve në një segment. Pas përfundimit të pikës së parë të algoritmit, d.m.th. llogaritja e derivatit, bëhet e qartë se, për shembull, merr vetëm vlerat negative në të gjithë segmentin e konsideruar. Mos harroni se nëse derivati është negativ, atëherë funksioni zvogëlohet. Ne zbuluam se funksioni zvogëlohet në të gjithë segmentin. Kjo situatë tregohet në grafikun nr. 1 në fillim të artikullit.
Funksioni zvogëlohet në segment, d.m.th. nuk ka pikë ekstreme. Nga fotografia mund të shihni se funksioni do të marrë vlerën më të vogël në kufirin e djathtë të segmentit dhe vlerën më të madhe në të majtë. nëse derivati në segment është pozitiv kudo, atëherë funksioni rritet. Vlera më e vogël është në kufirin e majtë të segmentit, më e madhja është në të djathtë.
në segment
. Më pas, ne e zëvendësojmë këtë vlerë x në ekuacionin e funksionit 
