Si të gjeni vlerën e një diplome. Përmbledhje e seksionit dhe formulat bazë

Video tutorial 2: Diplomë me një tregues natyror dhe vetitë e tij

Ligjërata:

Shkallë me tregues natyror

Nën shkallë disa numra "A" me disa tregues "n" kuptojnë prodhimin e një numri "A" më vete "n" një herë.

Kur flasim për një shkallë me një eksponent natyror, do të thotë se numri "n" duhet të jetë numër i plotë dhe jo negativ.

A- baza e shkallës, e cila tregon se cili numër duhet të shumëzohet me vetveten,

n- eksponent - tregon se sa herë baza duhet të shumëzohet në vetvete.

Për shembull:

8 4 = 8 * 8 * 8 * 8 = 4096.

NË në këtë rast Baza e shkallës kuptohet se është numri "8", eksponenti i shkallës është numri "4", dhe vlera e gradës është numri "4096".

Gabimi më i madh dhe më i zakonshëm gjatë llogaritjes së një shkalle është shumëzimi i eksponentit me bazën - KJO NUK ËSHTË E SAKTE!

Kur po flasim për për një shkallë me një eksponent natyror, që do të thotë se vetëm eksponenti (n) ajo duhet të jetë numri natyror.

Ju mund të merrni çdo numër në vijën numerike si bazë.

Për shembull,

(-0,1) 3 = (-0,1) * (-0,1) * (-0,1) = (-0,001).

Veprimi matematikor që kryhet mbi bazën dhe eksponentin quhet fuqizim.

Mbledhja\zbritja është një veprim matematikor i fazës së parë, shumëzimi\pjestimi është një veprim i fazës së dytë, ngritja e një fuqie është një veprim matematikor i fazës së tretë, domethënë një nga më të lartat.

Kjo hierarki e veprimeve matematikore përcakton rendin në llogaritje. Nëse ky veprim ndodh në detyrat midis dy të mëparshmeve, atëherë ai kryhet së pari.

Për shembull:

15 + 6 *2 2 = 39

NË në këtë shembull së pari duhet të ngrini 2 në fuqi, d.m.th

pastaj shumëzojeni rezultatin me 6, domethënë

Një shkallë me një eksponent natyror përdoret jo vetëm për llogaritjet specifike, por edhe për lehtësinë e regjistrimit numra të mëdhenj. Në këtë rast përdoret edhe koncepti "forma standarde e numrit". Kjo hyrje përfshin shumëzimin e disa numrave nga 1 në 9 me një fuqi të barabartë me 10 me disa eksponent.

Për shembull, për të regjistruar rrezen e Tokës në formë standarde, përdorni shënimin e mëposhtëm:

6400000 m = 6.4 * 10 6 m,

dhe masa e Tokës, për shembull, shkruhet si më poshtë:

Vetitë e gradës

Për lehtësinë e zgjidhjes së shembujve me gradë, duhet të dini vetitë e tyre themelore:

1. Nëse duhet të shumëzoni dy fuqi që kanë të njëjtën bazë, atëherë në këtë rast baza duhet të lihet e pandryshuar dhe të shtohen eksponentët.

a n * a m = a n+m

Për shembull:

5 2 * 5 4 = 5 6 .

2. Nëse është e nevojshme të ndahen dy shkallë që kanë baza të njëjta, atëherë në këtë rast baza duhet të lihet e pandryshuar dhe të zbriten eksponentët. Ju lutemi vini re se për operacionet me fuqi me një eksponent natyror, eksponenti i dividentit duhet të jetë më shumë se treguesi fuqitë pjesëtuese. Përndryshe, private të këtij veprimi do të ketë një numër me tregues negativ gradë.

a n / a m = a n-m

Për shembull,

5 4 * 5 2 = 5 2 .

3. Nëse është e nevojshme të ngrihet një fuqi në një tjetër, baza e rezultatit mbetet i njëjti numër dhe eksponentët shumëzohen.

(a n) m = a n*m

Për shembull,

4. Nëse është e nevojshme të ngrihet një produkt në një farë mase numra arbitrar, atëherë mund të përdorim një ligj të shpërndarjes, sipas të cilit marrim produktin arsye të ndryshme në të njëjtën masë.

(a * b) m = a m * b m

Për shembull,

(5 * 8) 2 = 5 2 * 8 2 .

5. Një pronë e ngjashme mund të përdoret për të ndarë fuqitë, me fjalë të tjera, për të ngritur një dyshe të zakonshme në një fuqi.

(a / b) m = a m / b m

6. Çdo numër që mund të rritet në një eksponent e barabartë me një, është e barabartë me numrin origjinal.

a 1 = a

Për shembull,

7. Kur një numër ngrihet në një fuqi me eksponent zero, rezultati është të kësaj përllogaritjeje gjithmonë do të ketë një.

dhe 0 = 1

Për shembull,

I. Puna n faktorë, secili prej të cilëve është i barabartë A thirrur n-fuqia e numrit A dhe është caktuar An.

Shembuj. Shkruani produktin si një shkallë.

1) mmmm; 2) aaabb; 3) 5 5 5 5 cc; 4) ppkk+pppk-ppkkk.

Zgjidhje.

1) mmmm=m 4, pasi, sipas përcaktimit të një shkalle, prodhimi i katër faktorëve, secili prej të cilëve është i barabartë m, do fuqia e katërt e m.

2) aaabb=a 3 b 2 ; 3) 5·5·5·5·ccc=5 4 c 3 ; 4) ppkk+pppk-ppkkk=p 2 k 2 + p 3 k-p 2 k 3.

II. Veprimi me të cilin gjendet prodhimi i disa faktorëve të barabartë quhet fuqizim. Numri që rritet në një fuqi quhet baza e fuqisë. Numri që tregon se në çfarë fuqie është ngritur baza quhet eksponent. Kështu që, An- diplomë, A– bazën e diplomës, n– eksponent. Për shembull:

2 3 — është një diplomë. Numri 2 është baza e shkallës, eksponenti është i barabartë me 3 . Vlera e gradës 2 3 barazohet 8, sepse 2 3 =2·2·2=8.

Shembuj. Shkruani shprehjet e mëposhtme pa eksponent.

5) 4 3; 6) a 3 b 2 c 3; 7) a 3-b3; 8) 2a 4 +3b 2 .

Zgjidhje.

5) 4 3 = 4·4·4 ; 6) a 3 b 2 c 3 = aaabbccc; 7) a 3 -b 3 = aaa-bbb; 8) 2a 4 +3b 2 = 2aaaa+3bb.

III. dhe 0 = 1 Çdo numër (përveç zeros) në fuqinë zero është i barabartë me një. Për shembull, 25 0 = 1.
IV. a 1 =aÇdo numër në fuqinë e parë është i barabartë me vetveten.

V. jam∙ a n= jam + n Kur shumëzohen fuqitë me në të njëjtat arsye baza mbetet e njëjtë dhe treguesit të palosur

Shembuj. Thjeshtoni:

9) a·a 3 ·a 7 ; 10) b 0 +b 2 b 3; 11) c 2 ·c 0 ·c·c 4 .

Zgjidhje.

9) a·a 3·a 7=a 1+3+7 =a 11; 10) b 0 +b 2 b 3 = 1+b 2+3 =1+b 5 ;

11) c 2 c 0 c c 4 = 1 c 2 c c 4 =c 2+1+4 =c 7 .

VI. jam: a n= jam - nKur pjesëtohen fuqitë me të njëjtën bazë, baza lihet e njëjtë dhe eksponenti i pjesëtuesit zbritet nga eksponenti i dividendit.

Shembuj. Thjeshtoni:

12) a 8:a 3; 13) m 11:m 4; 14) 5 6:5 4 .

12)a 8:a 3=a 8-3 =a 5; 13) m 11: m 4=m 11-4 =m 7; 14 ) 5 6:5 4 =5 2 =5·5=25.

VII. (jam) n= një min Kur rritet një fuqi në një fuqi, baza lihet e njëjtë dhe eksponentët shumëzohen.

Shembuj. Thjeshtoni:

15) (a 3) 4 ; 16) (c 5) 2.

15) (a 3) 4=a 3·4 =a 12; 16) (c 5) 2=c 5 2 =c 10.

shënim, e cila, meqenëse produkti nuk ndryshon nga rirregullimi i faktorëve, Se:

15) (a 3) 4 =(a 4) 3 ; 16) (c 5) 2 = (c 2) 5 .

VI II. (a∙b) n =a n ∙b n Kur ngrihet një produkt në një fuqi, secili nga faktorët ngrihet në atë fuqi.

mund të gjendet duke përdorur shumëzimin. Për shembull: 5+5+5+5+5+5=5x6. Një shprehje e tillë thuhet se është që shuma e termave të barabartë paloset në një produkt. Dhe anasjelltas, nëse e lexojmë këtë barazi nga e djathta në të majtë, zbulojmë se kemi zgjeruar shumën e termave të barabartë. Në mënyrë të ngjashme, ju mund të kolapsoni produktin e disa faktorëve të barabartë 5x5x5x5x5x5=5 6.

Kjo do të thotë, në vend që të shumëzojnë gjashtë faktorë identikë 5x5x5x5x5x5, ata shkruajnë 5 6 dhe thonë "pesë në fuqinë e gjashtë".

Shprehja 5 6 është fuqia e një numri, ku:

5 - baza e diplomës;

6 - eksponent.

Veprimet me të cilat produkti i faktorëve të barabartë reduktohet në një fuqi quhen ngritja në një pushtet.

NË pamje e përgjithshme shkalla me bazë "a" dhe eksponent "n" shkruhet kështu

Ngritja e numrit a në fuqinë n nënkupton gjetjen e prodhimit të n faktorëve, secili prej të cilëve është i barabartë me një

Nëse baza e shkallës “a” është e barabartë me 1, atëherë vlera e shkallës për çdo numër natyror n do të jetë e barabartë me 1. Për shembull, 1 5 =1, 1 256 =1

Nëse e ngrini numrin "a" në shkalla e parë, atëherë marrim vetë numrin a: a 1 = a

Nëse ngrini ndonjë numër në shkallë zero, pastaj si rezultat i llogaritjeve marrim një. a 0 = 1

Fuqitë e dyta dhe të treta të një numri konsiderohen të veçanta. Ata dolën me emra për ta: shkalla e dytë quhet katrore numrin, e treta - kubik këtë numër.

Çdo numër mund të rritet në një fuqi - pozitive, negative ose zero. Në këtë rast, rregullat e mëposhtme nuk zbatohen:

Kur gjen fuqinë e një numri pozitiv, rezultati është një numër pozitiv.

Kur llogaritet zero in shkallë natyrore marrim zero.

x m · x n = x m + n

për shembull: 7 1,7 7 - 0,9 = 7 1,7+(- 0,9) = 7 1,7 - 0,9 = 7 0,8

te ndani fuqitë me të njëjtat baza Ne nuk e ndryshojmë bazën, por zbresim eksponentët:

x m / x n = x m - n , Ku, m > n,

për shembull: 13 3.8 / 13 -0.2 = 13 (3.8 -0.2) = 13 3.6

Gjatë llogaritjes ngritja e një pushteti në një pushtet Ne nuk e ndryshojmë bazën, por shumëzojmë eksponentët me njëri-tjetrin.

(në m ) n = y m n

për shembull: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6

(X · y) n = x n · y m ,

për shembull:(2 3) 3 = 2 n 3 m,

Gjatë kryerjes së llogaritjeve sipas duke ngritur një fraksion në një fuqi ngremë numëruesin dhe emëruesin e thyesës në një fuqi të caktuar

(x/y)n = x n / y n

për shembull: (2 / 5) 3 = (2 / 5) · (2 / 5) · (2 / 5) = 2 3 / 5 3.

Sekuenca e llogaritjeve kur punoni me shprehje që përmbajnë një shkallë.

Kur kryejnë llogaritjet e shprehjeve pa kllapa, por që përmbajnë fuqi, para së gjithash, ata kryejnë fuqizim, pastaj shumëzim dhe pjesëtim, dhe vetëm më pas veprime mbledhje dhe zbritje.

Nëse keni nevojë të llogaritni një shprehje që përmban kllapa, atëherë së pari bëni llogaritjet në kllapa në rendin e treguar më sipër, dhe më pas veprimet e mbetura në të njëjtin rend nga e majta në të djathtë.

Shumë gjerësisht në llogaritjet praktike, tabelat e gatshme të fuqive përdoren për të thjeshtuar llogaritjet.

Formula e mëposhtme do të jetë përkufizimi gradë me eksponent natyror(a është baza e fuqisë dhe faktorit përsëritës, dhe n është eksponenti, i cili tregon sa herë përsëritet faktori):

Kjo shprehje do të thotë se fuqia e një numri a me eksponent natyror n është prodhim i n faktorëve, pavarësisht se secili prej faktorëve është i barabartë me a.

17^5=17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 17=1\,419\,857

17 - shkalla bazë,

5 - eksponent,

1419857 është vlera e gradës.

Një fuqi me eksponent zero është e barabartë me 1, me kusht që a\neq 0:

a^0=1.

Për shembull: 2^0=1

Kur të shkruani numër i madh zakonisht përdoren fuqitë prej 10.

Për shembull, një nga dinosaurët më të lashtë në Tokë ka jetuar rreth 280 milionë vjet më parë. Mosha e tij shkruhet si më poshtë: 2.8 \cdot 10^8 .

Çdo numër më i madh se 10 mund të shkruhet si një \cdot 10^n, me kusht që 1< a < 10 и n является положительным numër i plotë. Një rekord i tillë quhet pamje standarde numrat.

Shembuj të numrave të tillë: 6978=6,978 \cdot 10^3, 569000=5,69 \cdot 10^5.

Ju mund të thoni si "a në fuqinë e n" dhe "fuqinë e n të numrit a" dhe "a në fuqinë e n".

4^5 - "katër në fuqinë e 5" ose "4 në fuqinë e pestë" ose mund të thoni gjithashtu "fuqia e pestë e 4"

Në këtë shembull, 4 është baza dhe 5 është eksponent.

Tani le të japim një shembull me në thyesa dhe numrat negativë. Për të shmangur konfuzionin, është zakon të shkruani baza të ndryshme nga numrat natyrorë në kllapa:

(7,38)^2 , \left(\frac 12 \djathtas)^7, (-1)^4, etj.

Vini re gjithashtu ndryshimin:

(-5)^6 - nënkupton fuqinë e një numri negativ −5 me një eksponent natyror 6.

5^6 - korrespondon me numrin e kundërt 5^6.

Vetitë e shkallëve me eksponent natyror

Vetia themelore e gradës

a^n \cdot a^k = a^(n+k)

Baza mbetet e njëjtë, por eksponentët janë shtuar.

Për shembull: 2^3 \cdot 2^2 = 2^(3+2)=2^5

Veti e fuqive heres me baza te njejta

a^n: a^k=a^(n-k), nëse n > k .

Eksponentët zbriten, por baza mbetet e njëjtë.

Ky kufizim n > k është futur për të mos shkuar përtej treguesit natyrorë gradë. Në të vërtetë, për n > k eksponenti a^(n-k) do të jetë një numër natyror, përndryshe ose do të jetë një numër negativ (k< n ), либо нулем (k-n ).

Për shembull: 2^3: 2^2 = 2^(3-2)=2^1