Koncepti i një monomi
Përkufizimi i një monomi: një monom është shprehje algjebrike, i cili përdor vetëm shumëzimin.
Forma standarde e monomit
Cila është forma standarde e një monomi? Një monom shkruhet në formë standarde, nëse në radhë të parë ka një faktor numerik dhe ky faktor quhet koeficienti i monomit, ka vetëm një në monom, shkronjat e monomit ndodhen në sipas rendit alfabetik dhe çdo shkronjë shfaqet vetëm një herë.
Një shembull i një monomi në formë standarde:
këtu në radhë të parë është një numër, koeficienti i monomit, dhe ky numër është vetëm një në monomin tonë, çdo shkronjë shfaqet vetëm një herë dhe shkronjat janë të renditura sipas rendit alfabetik, në në këtë rast ky është alfabeti latin.
Një shembull tjetër i një monomi në formë standarde:
çdo shkronjë shfaqet vetëm një herë, ato janë të renditura sipas rendit alfabetik latin, por ku është koeficienti i monomit, d.m.th. faktori numerik që duhet të jetë i pari? Ai eshte ketu e barabartë me një: 1 adm.
A mund të jetë negativ koeficienti i një monomi? Po, ndoshta, shembull: -5a.
A mundet koeficienti i një monomi të jetë thyesor? Po, ndoshta, shembull: 5.2a.
Nëse një monom përbëhet vetëm nga një numër, d.m.th. nuk ka shkronja si ta sjellë atë pamje standarde? Çdo monom që është numër është tashmë në formë standarde, për shembull: numri 5 është një monom në formën standarde.
Reduktimi i monomëve në formën standarde
Si të sillni një monom në formën standarde? Le të shohim shembuj.
Le të jepet monomi 2a4b ne duhet ta sjellim atë në formën standarde. Ne i shumëzojmë dy faktorët e tij numerikë dhe marrim 8ab. Tani monomi shkruhet në formë standarde, d.m.th. ka vetëm një faktor numerik, të shkruar në radhë të parë, çdo shkronjë në monom shfaqet vetëm një herë dhe këto shkronja janë të renditura sipas rendit alfabetik. Pra 2a4b = 8ab.
Jepet: monomi 2a4a, sillni monomin në formën standarde. Ne i shumëzojmë numrat 2 dhe 4, duke zëvendësuar produktin aa me fuqinë e dytë të një 2. Ne marrim: 8a 2 . Kjo është pamja standarde dhënë monom. Pra 2a4a = 8a 2 .
Monome të ngjashme
Cilat janë monomët e ngjashëm? Nëse monomët ndryshojnë vetëm në koeficientë ose janë të barabartë, atëherë quhen të ngjashëm.
Një shembull i monomëve të ngjashëm: 5a dhe 2a. Këta monomë ndryshojnë vetëm në koeficientë, që do të thotë se janë të ngjashëm.
A janë të ngjashëm monomët 5abc dhe 10cba? Le ta sjellim monomin e dytë në formën standarde dhe të marrim 10abc. Tani mund të shohim se monomët 5abc dhe 10abc ndryshojnë vetëm në koeficientët e tyre, që do të thotë se ata janë të ngjashëm.
Mbledhja e monomëve
Sa është shuma e monomëve? Mund të përmbledhim vetëm monomë të ngjashëm. Le të shohim një shembull të shtimit të monomëve. Sa është shuma e monomëve 5a dhe 2a? Shuma e këtyre monomëve do të jetë një monom i ngjashëm me ta, koeficienti i të cilit e barabartë me shumën koeficientët e termave. Pra, shuma e monomëve është 5a + 2a = 7a.
Më shumë shembuj të shtimit të monomëve:
2a 2 + 3a 2 = 5a 2
2a 2 b 3 c 4 + 3a 2 b 3 c 4 = 5a 2 b 3 c 4
Përsëri. Mund të shtoni vetëm monomë të ngjashëm.
Duke zbritur monomët
Cili është ndryshimi midis monomëve? Mund të zbresim vetëm monomë të ngjashëm. Le të shohim një shembull të zbritjes së monomëve. Cili është ndryshimi midis monomëve 5a dhe 2a? Ndryshimi i këtyre monomëve do të jetë një monom i ngjashëm me ta, koeficienti i të cilit e barabartë me diferencën koeficientët e këtyre monomëve. Pra, ndryshimi i monomëve është 5a - 2a = 3a.
Më shumë shembuj të zbritjes së monomëve:
10a 2 - 3a 2 = 7a 2
5a 2 b 3 c 4 - 3a 2 b 3 c 4 = 2a 2 b 3 c 4
Shumëzimi i monomëve
Cili është prodhimi i monomëve? Le të shohim një shembull:
ato. prodhimi i monomëve është i barabartë me një monom faktorët e të cilit përbëhen nga faktorët e monomëve fillestarë.
Një shembull tjetër:
2a 2 b 3 * a 5 b 9 = 2a 7 b 12 .
Si erdhi ky rezultat? Çdo faktor përmban "a" në fuqinë: në të parën - "a" në fuqinë e 2, dhe në të dytën - "a" në fuqinë e 5. Kjo do të thotë se produkti do të përmbajë "a" në fuqinë prej 7, sepse kur shumëzohen shkronjat identike, eksponentët e fuqive të tyre palosen:
A 2 * a 5 = a 7 .
E njëjta gjë vlen edhe për faktorin "b".
Koeficienti i faktorit të parë është dy, dhe i dyti është një, kështu që rezultati është 2 * 1 = 2.
Kështu është llogaritur rezultati: 2a 7 b 12.
Nga këta shembuj është e qartë se koeficientët e monomëve shumëzohen dhe shkronjat identike zëvendësohen nga shumat e fuqive të tyre në prodhim.
Në këtë mësim do të japim një përkufizim të rreptë të një monomi, merrni parasysh shembuj të ndryshëm nga teksti shkollor. Le të kujtojmë rregullat për shumëzimin e fuqive me të njëjtat baza. Le të përcaktojmë formën standarde të një monomi, koeficientin e monomit dhe pjesën e tij të shkronjave. Le të shqyrtojmë dy operacione kryesore standarde mbi monomët, përkatësisht reduktimin në një formë standarde dhe llogaritjen e një specifike vlerë numerike monom në vlerat e dhëna ndryshoret literale të përfshira në të. Le të formulojmë një rregull për reduktimin e një monomi në formë standarde. Le të mësojmë të zgjidhim detyra tipike me ndonjë monom.
Tema:Monomele. Veprimet aritmetike mbi monomët
Mësim:Koncepti i një monomi. Forma standarde e monomit
Konsideroni disa shembuj:
3. 
;
Ne do të gjejmë tipare të përbashkëta për shprehjet e dhëna. Në të tre rastet, shprehja është produkt i numrave dhe ndryshoreve të ngritura në një fuqi. Në bazë të kësaj ne japim përkufizim monom : Një monom është një shprehje algjebrike që përbëhet nga prodhimi i fuqive dhe numrave.
Tani japim shembuj të shprehjeve që nuk janë monomë:
Le të gjejmë ndryshimin midis këtyre shprehjeve dhe atyre të mëparshme. Ai konsiston në faktin se në shembujt 4-7 ka veprime mbledhje, zbritje ose pjesëtim, ndërsa në shembujt 1-3, që janë monomë, nuk ka këto veprime.
Këtu janë disa shembuj të tjerë:
Shprehja numër 8 është monom sepse është prodhim i një fuqie dhe një numri, ndërsa shembulli 9 nuk është monom.
Tani le të zbulojmë veprimet mbi monomët .
1. Thjeshtimi. Le të shohim shembullin nr. 3 dhe shembulli nr. 2 /
Në shembullin e dytë shohim vetëm një koeficient - , secila variabël ndodh vetëm një herë, domethënë ndryshorja " A" përfaqësohet në një kopje të vetme, si "", në mënyrë të ngjashme, variablat "" dhe "" shfaqen vetëm një herë.
Në shembullin nr. 3, përkundrazi, ka dy koeficientë të ndryshëm - dhe , ne e shohim variablin "" dy herë - si "" dhe si "", në mënyrë të ngjashme, ndryshorja "" shfaqet dy herë. Kjo eshte, kjo shprehje duhet të thjeshtohet, kështu arrijmë në veprimi i parë i kryer mbi monomët është reduktimi i monomit në formën standarde . Për ta bërë këtë, ne do të reduktojmë shprehjen nga Shembulli 3 në formën standarde, më pas do ta përcaktojmë këtë operacion dhe do të mësojmë se si të reduktojmë çdo monom në formë standarde.
Pra, merrni parasysh një shembull:
Veprimi i parë në funksionimin e reduktimit në formën standarde është gjithmonë shumëzimi i të gjithë faktorëve numerikë:
;
Rezultati të këtij veprimi do të thirret koeficienti i monomit .
Më pas ju duhet të shumëzoni fuqitë. Le të shumëzojmë fuqitë e ndryshores " X“sipas rregullit të shumëzimit të fuqive me baza të njëjta, i cili thotë se gjatë shumëzimit shtohen eksponentët:
Tani le të shumëzojmë fuqitë " në»:
;
Pra, këtu është një shprehje e thjeshtuar:
;
Çdo monom mund të reduktohet në formë standarde. Le të formulojmë rregulli i standardizimit :
Shumëzoni të gjithë faktorët numerikë;
Vendosni koeficientin që rezulton në vendin e parë;
Shumëzoni të gjitha shkallët, domethënë, merrni pjesën e shkronjës;
Kjo do të thotë, çdo monom karakterizohet nga një koeficient dhe një pjesë shkronjash. Duke parë përpara, vërejmë se monomët që kanë të njëjtën pjesë shkronjash quhen të ngjashëm.
Tani duhet të punojmë teknikë për reduktimin e monomëve në formën standarde . Shqyrtoni shembuj nga libri shkollor:
Detyrë: sillni monomin në formën standarde, emërtoni koeficientin dhe pjesën e shkronjës.
Për të përfunduar detyrën, ne do të përdorim rregullin për reduktimin e një monomi në një formë standarde dhe vetitë e fuqive.
1. 
;
3. 
;
Komentet për shembullin e parë: Së pari, le të përcaktojmë nëse kjo shprehje është me të vërtetë një monom për ta bërë këtë, le të kontrollojmë nëse përmban veprime të shumëzimit të numrave dhe fuqive dhe nëse përmban veprime të mbledhjes, zbritjes ose pjesëtimit. Mund të themi se kjo shprehje është monom pasi kushti i mësipërm është i plotësuar. Më pas, sipas rregullit për reduktimin e një monomi në një formë standarde, ne shumëzojmë faktorët numerikë:
- gjetëm koeficientin e një monomi të dhënë;
; ; ; dmth fitohet pjesa e drejtperdrejte e shprehjes:;
Le të shkruajmë përgjigjen: ;
Komentet për shembullin e dytë: Duke ndjekur rregullin që kryejmë:
1) shumëzoni faktorët numerikë:
2) shumëzoni fuqitë:
Variablat paraqiten në një kopje të vetme, domethënë nuk mund të shumëzohen me asgjë, rishkruhen pa ndryshime, shkalla shumëzohet:
Le të shkruajmë përgjigjen:
;
NË në këtë shembull koeficienti i monomit është i barabartë me një, dhe pjesa e shkronjës është .
Komentet për shembullin e tretë: a Ngjashëm me shembujt e mëparshëm, ne kryejmë veprimet e mëposhtme:
1) shumëzoni faktorët numerikë:
;
2) shumëzoni fuqitë:
;
Le të shkruajmë përgjigjen: ;
Në këtë rast, koeficienti i monomit është "", dhe pjesa e shkronjës 
.
Tani le të shqyrtojmë Operacioni i dytë standard mbi monomët . Meqenëse një monom është një shprehje algjebrike e përbërë nga variabla të mirëfilltë që mund të marrin specifikë vlerat numerike, atëherë kemi aritmetikë shprehje numerike, e cila duhet të llogaritet. Kjo do të thotë, operacioni tjetër mbi polinomet është duke llogaritur vlerën e tyre specifike numerike .
Le të shohim një shembull. Monomi i dhënë:
ky monom tashmë është reduktuar në formën standarde, koeficienti i tij është i barabartë me një, dhe pjesa e shkronjës
Më herët thamë se një shprehje algjebrike nuk mund të llogaritet gjithmonë, pra variablat që përfshihen në të nuk mund të marrin asnjë vlerë. Në rastin e një monomi, ndryshoret e përfshira në të mund të jenë çfarëdo, kjo është një veçori e monomit.
Pra, në shembulli i dhënë kërkohet të llogaritet vlera e monomit në , , , .
Ka shumë shprehje të ndryshme matematikore në matematikë, dhe disa prej tyre kanë emrat e tyre. Ne jemi gati të njihemi me një nga këto koncepte - ky është një monom.
Monomial është shprehje matematikore, i cili përbëhet nga një prodhim numrash, variablash, secila prej të cilave mund të përfshihet në prodhim në një farë mase. Për të kuptuar më mirë konceptin e ri, duhet të njiheni me disa shembuj.
Shembuj të monomëve
Shprehjet 4, x^2, -3*a^4, 0.7*c, ¾*y^2 janë monomë. Siç mund ta shihni, vetëm një numër ose ndryshore (me ose pa fuqi) është gjithashtu një monom. Por, për shembull, shprehjet 2+с, 3*(y^2)/x, a^2 –x^2 janë tashmë nuk janë monomë, meqenëse ato nuk përputhen me përkufizimet. Shprehja e parë përdor "shuma", e cila është e papranueshme, e dyta përdor "ndarje" dhe e treta përdor dallimin.
Le të shqyrtojmë disa shembuj të tjerë.
Për shembull, shprehja 2*a^3*b/3 është gjithashtu një monom, megjithëse ka ndarje të përfshirë. Por në këtë rast, ndarja ndodh me një numër, dhe për këtë arsye shprehja përkatëse mund të rishkruhet si më poshtë: 2/3*a^3*b. Një shembull më shumë: Cila nga shprehjet 2/x dhe x/2 është monom dhe cila jo? Përgjigja e saktë është se shprehja e parë nuk është monom, por e dyta është monom.
Forma standarde e monomit
Shikoni dy shprehjet monomike të mëposhtme: ¾*a^2*b^3 dhe 3*a*1/4*b^3*a. Në fakt, këto janë dy monomë identikë. A nuk është e vërtetë që shprehja e parë duket më e përshtatshme se e dyta?
Arsyeja për këtë është se shprehja e parë është shkruar në formë standarde. Forma standarde e një polinomi është një produkt i përbërë nga një faktor numerik dhe fuqi të ndryshoreve të ndryshme. Faktori numerik quhet koeficient i monomit.
Për të sjellë një monom në formën e tij standarde, mjafton të shumëzoni të gjithë faktorët numerikë të pranishëm në monom dhe të vendosni numrin që rezulton në vendin e parë. Pastaj shumëzoni të gjitha fuqitë që kanë të njëjtën bazë shkronjash.
Reduktimi i një monomi në formën e tij standarde
Nëse në shembullin tonë në shprehjen e dytë shumëzojmë të gjithë faktorët numerikë 3*1/4 dhe më pas shumëzojmë a*a, marrim monomin e parë. Ky veprim quhet reduktimi i një monomi në formën e tij standarde.
Nëse ndryshojnë vetëm dy monomë koeficienti numerik ose janë të barabartë me njëri-tjetrin, atëherë monomë të tillë quhen të ngjashëm në matematikë.
Në këtë mësim do të japim një përkufizim të rreptë të një monomi dhe do të shohim shembuj të ndryshëm nga libri shkollor. Le të kujtojmë rregullat për shumëzimin e fuqive me të njëjtat baza. Le të përcaktojmë formën standarde të një monomi, koeficientin e monomit dhe pjesën e tij të shkronjave. Le të shqyrtojmë dy operacione kryesore tipike mbi monomët, përkatësisht reduktimin në një formë standarde dhe llogaritjen e një vlere specifike numerike të një monomi për vlerat e dhëna të variablave të mirëfilltë të përfshirë në të. Le të formulojmë një rregull për reduktimin e një monomi në formë standarde. Le të mësojmë se si të zgjidhim problemet standarde me çdo monom.
Tema:Monomele. Veprimet aritmetike mbi monomët
Mësim:Koncepti i një monomi. Forma standarde e monomit
Konsideroni disa shembuj:
3. ;
Le të gjejmë veçori të përbashkëta për shprehjet e dhëna. Në të tre rastet, shprehja është produkt i numrave dhe ndryshoreve të ngritura në një fuqi. Në bazë të kësaj ne japim përkufizim monom : Një monom është një shprehje algjebrike që përbëhet nga prodhimi i fuqive dhe numrave.
Tani japim shembuj të shprehjeve që nuk janë monomë:
Le të gjejmë ndryshimin midis këtyre shprehjeve dhe atyre të mëparshme. Ai konsiston në faktin se në shembujt 4-7 ka veprime mbledhje, zbritje ose pjesëtim, ndërsa në shembujt 1-3, që janë monomë, nuk ka këto veprime.
Këtu janë disa shembuj të tjerë:
Shprehja numër 8 është monom sepse është prodhim i një fuqie dhe një numri, ndërsa shembulli 9 nuk është monom.
Tani le të zbulojmë veprimet mbi monomët .
1. Thjeshtimi. Le të shohim shembullin nr. 3 dhe shembulli nr. 2 /
Në shembullin e dytë shohim vetëm një koeficient - , secila variabël ndodh vetëm një herë, domethënë ndryshorja " A" përfaqësohet në një kopje të vetme, si "", në mënyrë të ngjashme, variablat "" dhe "" shfaqen vetëm një herë.
Në shembullin nr. 3, përkundrazi, ka dy koeficientë të ndryshëm - dhe , ne e shohim variablin "" dy herë - si "" dhe si "", në mënyrë të ngjashme, ndryshorja "" shfaqet dy herë. Kjo do të thotë, kjo shprehje duhet të thjeshtohet, kështu arrijmë në veprimi i parë i kryer mbi monomët është reduktimi i monomit në formën standarde . Për ta bërë këtë, ne do të reduktojmë shprehjen nga Shembulli 3 në formën standarde, më pas do ta përcaktojmë këtë operacion dhe do të mësojmë se si të reduktojmë çdo monom në formë standarde.
Pra, merrni parasysh një shembull:
Veprimi i parë në funksionimin e reduktimit në formën standarde është gjithmonë shumëzimi i të gjithë faktorëve numerikë:
;
Rezultati i këtij veprimi do të thirret koeficienti i monomit .
Më pas ju duhet të shumëzoni fuqitë. Le të shumëzojmë fuqitë e ndryshores " X“sipas rregullit të shumëzimit të fuqive me baza të njëjta, i cili thotë se gjatë shumëzimit shtohen eksponentët:
Tani le të shumëzojmë fuqitë " në»:
;
Pra, këtu është një shprehje e thjeshtuar:
;
Çdo monom mund të reduktohet në formë standarde. Le të formulojmë rregulli i standardizimit :
Shumëzoni të gjithë faktorët numerikë;
Vendosni koeficientin që rezulton në vendin e parë;
Shumëzoni të gjitha shkallët, domethënë, merrni pjesën e shkronjës;
Kjo do të thotë, çdo monom karakterizohet nga një koeficient dhe një pjesë shkronjash. Duke parë përpara, vërejmë se monomët që kanë të njëjtën pjesë shkronjash quhen të ngjashëm.
Tani duhet të punojmë teknikë për reduktimin e monomëve në formën standarde . Shqyrtoni shembuj nga libri shkollor:
Detyrë: sillni monomin në formën standarde, emërtoni koeficientin dhe pjesën e shkronjës.
Për të përfunduar detyrën, ne do të përdorim rregullin për reduktimin e një monomi në një formë standarde dhe vetitë e fuqive.
1. ;
3. ;
Komentet për shembullin e parë: Së pari, le të përcaktojmë nëse kjo shprehje është me të vërtetë një monom për ta bërë këtë, le të kontrollojmë nëse përmban veprime të shumëzimit të numrave dhe fuqive dhe nëse përmban veprime të mbledhjes, zbritjes ose pjesëtimit. Mund të themi se kjo shprehje është monom pasi kushti i mësipërm është i plotësuar. Më pas, sipas rregullit për reduktimin e një monomi në një formë standarde, ne shumëzojmë faktorët numerikë:
- gjetëm koeficientin e një monomi të dhënë;
; ; ; dmth fitohet pjesa e drejtperdrejte e shprehjes:;
Le të shkruajmë përgjigjen: ;
Komentet për shembullin e dytë: Duke ndjekur rregullin që kryejmë:
1) shumëzoni faktorët numerikë:
2) shumëzoni fuqitë:
Variablat paraqiten në një kopje të vetme, domethënë nuk mund të shumëzohen me asgjë, rishkruhen pa ndryshime, shkalla shumëzohet:
Le të shkruajmë përgjigjen:
;
Në këtë shembull, koeficienti i monomit është i barabartë me një, dhe pjesa e shkronjës është .
Komentet për shembullin e tretë: a Ngjashëm me shembujt e mëparshëm, ne kryejmë veprimet e mëposhtme:
1) shumëzoni faktorët numerikë:
;
2) shumëzoni fuqitë:
;
Le të shkruajmë përgjigjen: ;
Në këtë rast, koeficienti i monomit është "", dhe pjesa e shkronjës .
Tani le të shqyrtojmë Operacioni i dytë standard mbi monomët . Meqenëse një monom është një shprehje algjebrike e përbërë nga variabla literale që mund të marrin vlera numerike specifike, ne kemi një shprehje numerike aritmetike që duhet vlerësuar. Kjo do të thotë, operacioni tjetër mbi polinomet është duke llogaritur vlerën e tyre specifike numerike .
Le të shohim një shembull. Monomi i dhënë:
ky monom tashmë është reduktuar në formën standarde, koeficienti i tij është i barabartë me një, dhe pjesa e shkronjës
Më herët thamë se një shprehje algjebrike nuk mund të llogaritet gjithmonë, pra variablat që përfshihen në të nuk mund të marrin asnjë vlerë. Në rastin e një monomi, ndryshoret e përfshira në të mund të jenë çfarëdo, kjo është një veçori e monomit.
Pra, në shembullin e dhënë, duhet të llogaritni vlerën e monomit në , , , .
Monomet janë prodhime të numrave, ndryshoreve dhe fuqive të tyre. Numrat, ndryshoret dhe fuqitë e tyre konsiderohen gjithashtu monomë. Për shembull: 12ac, -33, a^2b, a, c^9. Monomi 5aa2b2b mund të reduktohet në formën 20a^2b^2 Kjo formë quhet forma standarde e monomit, domethënë, forma standarde e monomit është prodhimi i koeficientit (i cili vjen i pari). variablat. Koeficientët 1 dhe -1 nuk shkruhen, por ruhet një minus nga -1. Monomi dhe forma standarde e tij
Shprehjet 5a2x, 2a3(-3)x2, b2x janë prodhime të numrave, ndryshoreve dhe fuqive të tyre. Shprehje të tilla quhen monomë. Numrat, ndryshoret dhe fuqitë e tyre konsiderohen gjithashtu monomë.
Për shembull, shprehjet 8, 35, y dhe y2 janë monomë.
Forma standarde e një monomi është një monom në formën e prodhimit të një faktori numerik në radhë të parë dhe fuqive të ndryshoreve të ndryshme. Çdo monom mund të reduktohet në një formë standarde duke shumëzuar të gjitha variablat dhe numrat e përfshirë në të. Këtu është një shembull i reduktimit të një monomi në formë standarde:
4x2y4(-5)yx3 = 4(-5)x2x3y4y = -20x5y5
Faktori numerik i një monomi të shkruar në formë standarde quhet koeficienti i monomit. Për shembull, koeficienti i monomit -7x2y2 është i barabartë me -7. Koeficientët e monomëve x3 dhe -xy konsiderohen të barabartë me 1 dhe -1, pasi x3 = 1x3 dhe -xy = -1xy
Shkalla e një monomi është shuma e eksponentëve të të gjitha ndryshoreve të përfshira në të. Nëse një monom nuk përmban ndryshore, domethënë është një numër, atëherë shkalla e tij konsiderohet e barabartë me zero.
Për shembull, shkalla e monomit 8x3yz2 është 6, shkalla e monomit 6x është 1 dhe shkalla e -10 është 0.
Shumëzimi i monomëve. Ngritja e monomëve në fuqi
Gjatë shumëzimit të monomëve dhe rritjes së monomëve në fuqi, rregulli i shumëzimit të fuqive përdoret me të njëjtën bazë dhe rregulli për ngritjen e një diplome në një shkallë. Kjo prodhon një monom, i cili zakonisht përfaqësohet në formë standarde.
Për shembull
4x3y2(-3)x2y = 4(-3)x3x2y2y = -12x5y3
((-5)x3y2)3 = (-5)3x3*3y2*3 = -125x9y6
