Transformimi i Furierit dydimensional diskret c. Transformimi Diskret Furier (DFT)

Ky është një nga transformimet Fourier të përdorur gjerësisht në algoritmet e përpunimit të sinjalit dixhital (modifikimet e tij përdoren në kompresimin audio në MP3, kompresimin e imazhit në JPEG, etj.), Si dhe në fusha të tjera që lidhen me analizën e frekuencave në diskrete (për shembull, sinjali analog i dixhitalizuar. Transformimi diskrete i Furierit kërkon si hyrje funksion diskret. Funksione të tilla krijohen shpesh me marrjen e mostrave (kampionimi i vlerave nga funksionet e vazhdueshme). Transformimet diskrete të Furierit ndihmojnë në zgjidhjen e pjesshme ekuacionet diferenciale dhe kryejnë operacione të tilla si konvolucione. Transformimet diskrete të Furierit përdoren gjithashtu në mënyrë aktive në statistika, në analizën e serive kohore. Transformimet mund të jenë një-dimensionale, dy-dimensionale dhe madje edhe tre-dimensionale.

Konvertimi i drejtpërdrejtë:

Konvertimi i kundërt:

Emërtimet:

§ N- numri i vlerave të sinjalit të matur gjatë një periudhe, si dhe numri i përbërësve të dekompozimit;

§ - vlerat e matura të sinjalit (në pika kohore diskrete me numra që janë të dhëna hyrëse konvertim i drejtpërdrejtë dhe fundjavat për kthimin;

§ - N amplituda komplekse të sinjaleve sinusoidale që përbëjnë sinjalin origjinal; janë të dhëna dalëse për konvertim direkt dhe të dhëna hyrëse për konvertim të kundërt; meqenëse amplituda janë komplekse, është e mundur të llogaritet si amplituda ashtu edhe faza prej tyre;

§ është amplituda e zakonshme (reale) e sinjalit kth sinusoidal;

§ arg( Xk) - faza e sinjalit të kth sinusoidal (argumenti i një numri kompleks);

§ k- frekuenca e sinjalit kth, e barabartë me , ku T- periudha kohore gjatë së cilës janë marrë të dhënat hyrëse.

Nga kjo e fundit është e qartë se transformimi zbërthen sinjalin në komponentë sinusoidë (të cilët quhen harmonikë) me frekuenca nga N lëkundje për periodë në një lëkundje për periodë. Meqenëse vetë frekuenca e marrjes së mostrave është e barabartë me N mostra për periudhë, komponentët me frekuencë të lartë nuk mund të shfaqen saktë - ndodh një efekt moiré. Kjo çon në faktin se gjysma e dytë e amplitudave komplekse N është, në fakt, një imazh pasqyrë i së parës dhe nuk mbart informacion shtesë.

Konsideroni disa sinjale periodike x(t) me një periudhë të barabartë me T. Le ta zgjerojmë atë në një seri Furier:

Le të marrim mostrën e sinjalit në mënyrë që të ketë N mostra për periudhë. Le të paraqesim sinjalin diskret në formën e mostrave: x n = x(tn), ku, atëherë këto lexime përmes serisë Fourier do të shkruhen si më poshtë:

Duke përdorur relacionin: , marrim:

Ku

Kështu që ne morëm transformimi i anasjelltë diskrete i Furierit.

Tani le të shumëzojmë në mënyrë shkallëzore shprehjen për x n në dhe marrim:

Këtu përdorim: a) një shprehje për shumën e një numri të kufizuar termash (eksponentë) progresion gjeometrik, dhe b) shprehja e simbolit Kronecker si kufiri i raportit të funksioneve të Euler për numra komplekse. Nga kjo rrjedh se:

Kjo formulë përshkruan transformimi i drejtpërdrejtë diskret i Furierit.

Në literaturë, është zakon të shkruhet shumëzuesi në transformimin e anasjelltë, dhe për këtë arsye formulat e transformimit zakonisht shkruhen në formën e mëposhtme:

Transformimi diskret i Furierit është transformim linear, i cili transformon një vektor të mostrave të kohës në një vektor të mostrave spektrale me të njëjtën gjatësi. Pra, transformimi mund të zbatohet si një shumëzim matricë katrore te vektori:

Transformimi i Furierit

Kur përdorni transformimet Fourier, imazhi përfaqësohet si një shumë kompleksesh funksionet eksponenciale variablat e amplitudës, frekuencës dhe fazës. Transformimi i Furierit luan shumë rol i rendesishem në shumë fusha të përpunimit të imazhit, duke përfshirë përmirësimin, analizën, restaurimin dhe kompresimin.

1. Përkufizimet bazë të transformimit të Furierit
2. Transformimi diskret i Furierit, duke përfshirë transformimin e shpejtë të Furierit
3. Zbatimet e transformimit Fourier (disa shembuj të zbatimeve praktike të transformimit Furier)

Përkufizimet bazë të transformimit Furier

Nëse ƒ(m,n)është një funksion i dy ndryshoreve hapësinore diskrete m dhe n, atëherë transformim dydimensional Funksionet e Furierit ƒ(m,n) mund të përfaqësohet me shprehjen e mëposhtme

Variablat janë frekuenca këndore. Kështu, përfaqëson një funksion ƒ(m,n) në fushën e frekuencës. është një funksion me vlerë komplekse me frekuenca përkatëse. Frekuencat janë brenda intervalit , . Vini re se F(0,0) paraqitet si shuma e të gjitha variablave ƒ(m,n). Per kete arsye F(0,0) shpesh quhet komponenti konstant i transformimit Furier.

Transformimi i anasjelltë dydimensional i Furierit përfaqësohet nga shprehja

Ato. kjo shprehje paraqet ƒ(m,n) si shumë numër i pafund funksionet komplekse eksponenciale (valët sinus) me frekuenca të ndryshme. Amplituda dhe faza përcaktojnë kontributin e frekuencave në paraqitje.

Vizualizimi i transformimit të Furierit

Në ilustrimin e transformimit Furier, le të supozojmë se funksioni ƒ(m,n)është e barabartë me 1 dhe paraqitet si një drejtkëndësh. Për të thjeshtuar diagramin, funksionin ƒ(m,n) do të paraqitet si një funksion i vazhdueshëm i dy variablave diskrete m Dhe n.

Funksioni drejtkëndor

Figura më poshtë, duke përdorur funksionin rrjetë, vizualizon vlerat e amplitudës të marra nga transformimi Fourier funksion drejtkëndor treguar në figurën e mëparshme. Vizualizimi i amplitudës quhet gjithashtu vizualizimi i transformimit Furier.

Amplituda e imazhit të funksionit drejtkëndor

Kulmi i funksionit është në qendër dhe shfaq vlerën F(0,0), që është shuma e të gjitha vlerave ƒ(m,n). Të gjithë komponentët e tjerë përfaqësojnë shpërndarjen e energjisë mbi frekuencat vertikale dhe horizontale.

Një mënyrë tjetër për të vizualizuar transformimin Fourier është shfaqja e vlerave si imazh.

Paraqitja logaritmike e transformimit Furier të një funksioni drejtkëndor

Le të shohim shembuj të transformimeve Furier të funksioneve të formave të ndryshme të thjeshta.

Shembuj të transformimeve Furiere të funksioneve të formave të ndryshme të thjeshta

Transformimi i kosinusit diskret

Transformimet diskrete të kosinusit paraqesin një imazh si një shumë e sinusoideve me amplituda dhe frekuenca të ndryshme. Funksioni dct2 në aplikacionin Image Kutia e veglave të përpunimit zbaton transformimet dydimensionale diskrete të kosinusit të imazheve. Një nga veçoritë e transformimit diskrete të Furierit është se disa zonat lokale imazhet mund të karakterizohen një sasi të vogël koeficientët diskrete të transformimit të Furierit. Kjo veti përdoret shumë shpesh në zhvillimin e metodave të kompresimit të imazhit. Për shembull, transformimi diskret i kosinusit është baza e një standardi ndërkombëtar të përdorur në algoritmin e kompresimit të imazhit me humbje JPEG. Emri i formatit "JPEG" përbëhet nga shkronjat e para të emrit grupi i punës, e cila mori pjesë në zhvillimin e këtij standardi (Joint Photographic Experts Group).

Transformimi i matricës dydimensionale diskrete të kosinusit A me përmasa zbatohet sipas shprehjes së mëposhtme

vlerat Bpq quhen koeficientët e transformimit diskret të kosinusit të matricës A.

(Duhet të theksohet se indekset e matricës në MATLAB gjithmonë fillojnë me 1, jo 0. Prandaj, elementët e matricës që përfaqësohen në MATLAB si A(1,1) dhe B(1,1) do t'u korrespondojnë elementeve Një 00 Dhe B00 nga formula e mësipërme.)

Transformimi i kosinusit diskrete inversi zbatohet sipas shprehjeve

Shprehja e transformimit të kosinusit diskrete inversi mund të interpretohet si një paraqitje matricore A me dimensione si shuma e funksioneve të mëposhtme

Këto funksione quhen funksionet themelore (themelore) të transformimit të kosinusit diskret. Koeficientët diskretë të transformimit të kosinusit Bpq mund të konsiderohen si pesha për çdo funksion bazë. Për shembull, për një matricë me madhësi elementi ka 64 funksionet bazë, e cila tregohet në imazh.

64 funksione bazë që fitohen për një matricë me madhësi elementesh

Frekuencat horizontale rriten nga e majta në të djathtë, dhe frekuencat vertikale rriten nga lart poshtë.

Matrica e Transformimit të Kosinusit Diskret

Aplikacion Përpunimi i imazhit Toolbox ofron dy menyra te ndryshme zbatimi i transformimeve diskrete të kosinusit. Metoda e parë zbatohet në funksionin dct2. Funksioni dct2 përdor konvertim i shpejtë Furier për përshpejtimin e llogaritjeve. Metoda e dytë përdor matricën diskrete të transformimit të kosinusit, e cila kthehet nga funksioni dctmtx. Matrica e transformimit T formohet sipas shprehjes së mëposhtme

Për matricën A me dimensione është një matricë me dimensione , ku çdo kolonë përmban një transformim kosinus diskret njëdimensional A. Transformimi dydimensional i kosinusit diskret A llogaritur si B=T*A*T’. Transformimi i anasjelltë dydimensional i kosinusit diskret B llogaritur si T'*B*T.

Transformimet diskrete të kosinusit dhe kompresimi i imazhit

Në algoritmin e kompresimit të imazhit JPEG, imazhi origjinal ndahet në blloqe dimensionesh ose elementësh. Më tej, për çdo bllok llogaritet një transformim diskret kosinus dydimensional. Koeficientët e transformimeve diskrete të kosinusit kuantizohen, kodohen dhe transmetohen. Marrësi JPEG dekodon koeficientët diskrete të transformimit të kosinusit, llogarit transformimin e kundërt të kosinusit 2D diskret në çdo bllok dhe më pas i bashkon ato së bashku në një imazh të vetëm.

Le të shqyrtojmë një shembull të llogaritjes së transformimeve dydimensionale diskrete të kosinusit në blloqe me madhësitë e elementeve të imazhit origjinal. Më tej, kur rindërtojmë imazhin, do të marrim parasysh vetëm 10 koeficientë nga secili bllok, pjesa tjetër do të vendoset në zero. Gjatë kryerjes së llogaritjeve të përshkruara, do të përdoret gjithashtu matrica e transformimit.

I = imread("kameraman.tif"); I = im2double(I); T = dctmtx (8); B = blkproc(I,"P1*x*P2",T,T"); maskë = ; B2 = blkproc(B,"P1.*x",maskë); I2 = blkproc(B2,"P1 *x*P2",T",T); imshow (I); figura, tregoj (I2)

Figura tregon dy imazhe - origjinalin dhe atë të rindërtuar. Vetëm 15% e koeficientëve diskrete të transformimit të kosinusit u përdorën në rindërtimin e imazhit. Megjithatë, duhet theksuar se cilësia e imazhit të rindërtuar është mjaft e pranueshme. Për të parë vetitë e tjera të transformimit të kosinusit diskret, shihni funksionin dctdemo.

Transformimet e radonit

Funksioni i radonit në kutinë e veglave të përpunimit të imazhit llogarit një matricë të projeksioneve të imazhit përgjatë drejtimeve të specifikuara. Projeksioni i një funksioni dydimensional f(x,y) është i barabartë me integralin përgjatë vijës së treguar. Funksioni i Radonit është llogaritja e projeksioneve të imazhit në një bosht, të cilat specifikohen nga këndet në gradë në krahasim me horizontalen në drejtim të kundërt të akrepave të orës. Figura tregon projeksionin e një figure të caktuar në një kënd të caktuar

Projeksioni paralel i rrezes me kënd rrotullimi theta

Figura më poshtë tregon projeksionet horizontale dhe vertikale për një funksion të thjeshtë dydimensional.

Projeksionet horizontale dhe vertikale të disa funksioneve të thjeshta

Parashikimet mund të llogariten së bashku kënd arbitrar theta. Funksioni i radonit i integruar në kutinë e veglave të përpunimit të imazhit llogarit projeksionet e imazhit përgjatë drejtimeve të caktuara. Projeksioni i një funksioni dydimensional f(x,y) në boshtin x është një integral linear

Kështu, boshtet x' y' specifikohen duke rrotulluar me një kënd në të kundërt të akrepave të orës.

Imazhi më poshtë ilustron gjeometrinë e transformimit të Radonit.

Gjeometria e transformimit të radonit

Vizualizimi i transformimeve të radonit

Gjatë kryerjes së transformimeve të Radonit, është e nevojshme të specifikoni imazhin origjinal dhe vektorin e këndeve theta.

Radoni (I,theta);

Rështë një matricë në të cilën çdo kolonë është transformimi i Radonit për një nga këndet që përmbahen në vektorin theta. Vektori xp përmban koordinatat përkatëse përgjatë boshtit x. Pikseli qendror I përcaktohet sipas shprehjes dysheme((madhësia(I)+1)/2).

Le të shohim se si llogariten projeksionet në transformimet e Radonit. Le të shqyrtojmë projeksionet në një kënd prej 0° dhe 45°.

I = zero (100,100); I(25:75, 25:75) = 1; imshow (unë)

Radoni (I,); figura; komplot(xp,R(:,1)); titull ("R_(0^o) (x\prime)")

Shndërrimet e radonit në 0°

Figura; komplot(xp,R(:,2)); titull ("R_(45^o) (x\prime)")

Transformimet e radonit në 45°

Transformimi i Radonit në një numër të madh këndesh shfaqet shpesh si imazh. Në këtë shembull, transformimi i Radonit konsiderohet për një imazh në formën e një katrori me një gamë këndi nga 0° deri në 180° me një rezolucion prej 1°.

Theta = 0:180; = radon(I,theta); imagesc (theta, xp, R); titull ("R_(\theta) (X\prime)"); xlabel ("\theta (gradë)"); ylabel ("X\prime"); set(gca,"XTick",0:20:180); harta e ngjyrave (e nxehtë); shiriti i ngjyrave

Transformimet e radonit duke përdorur 180 projeksione

Përdorimi i transformimeve të Radonit gjatë zbulimit të linjave

Transformimet e radonit janë të ngjashme me operacionet e tjera të njohura, të cilat njihen si transformime Hoch. Funksioni i radonit mund të përdoret për të zbuluar linjat e drejta. Le të shohim fazat kryesore të këtij procesi.

Pika më e madhe në matricë R korrespondon me =1° dhe x´= -80. Një vijë është tërhequr nga qendra e imazhit origjinal në një kënd në një distancë x'. Një vijë e drejtë vizatohet pingul me këtë vijë, e cila korrespondon me vijën e drejtë në imazh origjinal. Përveç kësaj, ka linja të tjera në imazh që janë paraqitur në matricë R majat përkatëse.

Gjeometria e transformimit të radonit për zbulimin e vijës së drejtë

Le të shënojmë me

një fushë dy-dimensionale (sinjal dy-dimensional) që përshkruan një imazh diskrete të madhësisë së rreshtave dhe kolonave. Jashtë kufijve të specifikuar, ky sinjal nuk është i përcaktuar. Le të kryejmë një vazhdim periodik të këtij sinjali të fundëm duke futur një sinjal periodik dydimensional

. (3.21)

Nëse sinjali ekziston vetëm brenda një drejtkëndëshi me anët e elementeve (Fig. 3.4.a), atëherë sinjali përcaktohet në të gjithë rrafshin dhe është periodik drejtkëndor mbi të (Fig. 3.4.b).

Çdo sinjal periodik mund të përfaqësohet si një seri Fourier, por, ndryshe nga sinjalet njëdimensionale, sinjalet dydimensionale përshkruhen nga një seri dydimensionale Fourier, e cila ka formën:

Funksionet bazë të këtij përfaqësimi dydimensional janë eksponencialet komplekse dydimensionale (nganjëherë quhen sinusoidë kompleksë)

(3.23)

që ka, si sinjali, një periodicitet drejtkëndor me të njëjtën periudhë. Këtu (,) është numri dydimensional i funksionit bazë, dhe sasitë kanë kuptimin e frekuencave hapësinore. Ndonjëherë sasi të plota dhe quhen frekuenca hapësinore.

Koeficientët Furier të serisë (3.22) formojnë një dydimensionale spektri i frekuencës sinjal dhe përcaktohen nga formula për transformimin e drejtpërdrejtë të Furierit:

(3.24)

Shprehja (3.22), e cila rikthen sinjalin nga spektri i tij, është transformimi i anasjelltë i Furierit. Vlefshmëria e transformimeve (3.22) dhe (3.24), të quajtura DFT dy-dimensionale, mund të verifikohet duke zëvendësuar (3.24) në (3.22) dhe duke sjellë anën e djathtë barazia që rezulton me vlerën e së majtës, d.m.th. te .

Vini re se për një paraqitje të saktë të një sinjali diskret me një periudhë dy-dimensionale të elementeve sipas formulave FFT, mjafton një numër i kufizuar i funksioneve bazë (3.23) - seria (3.22) është e fundme. Kjo është e kuptueshme, pasi vetë sinjali i përfaqësuar përmban në një periudhë numri përfundimtar pikë, d.m.th. ka një numër të kufizuar shkallësh lirie. Është e qartë se numri i shkallëve të lirisë në spektër nuk mund të ndryshojë nga numri i shkallëve të lirisë në vetë sinjalin.

Le të ndalemi në vetitë më thelbësore të spektrit diskret dydimensional të Furierit. Le të llogarisim koeficientët spektralë (3.24) në pikat e frekuencës :

Meqenëse për çdo vlerë të plotë dhe faktori i fundit në shprehjen që rezulton e barabartë me një, atëherë kemi barazinë:

,

që tregon periodicitetin drejtkëndor të DFT-së dydimensionale. Rrjedhimisht, fotografia e një DFT dy-dimensionale është e ngjashme me figurën e një sinjali periodikisht të vazhdueshëm dy-dimensional, i paraqitur në mënyrë cilësore në Fig. 3.4.b (nëse koordinatat hapësinore në të zëvendësohen me ato të frekuencës). Sidoqoftë, duhet të kihet parasysh se koeficientët spektralë, siç vijon nga (3.24), janë numra komplekse, përfshirë për një sinjal real. Por atëherë lind pyetja. Numri i përgjithshëm i komponentëve spektralë është gjetur të jetë . Një numër kompleks është ekuivalent me një çift numrash realë - pjesët reale dhe imagjinare në shënimin algjebrik ose moduli dhe faza në shënimin eksponencial. Prandaj, përshkruhet spektri i plotë numra realë, që është dyfishi i dimensionit të vetë sinjalit. Në pamje të parë, kjo përmban një kontradiktë. Ai gjen qartësimin e tij me studimin e mëtejshëm të vetive të DFT dy-dimensionale.

Le ta transformojmë relacionin (3.25) si më poshtë. Së pari, në vend të frekuencave, le të zëvendësojmë frekuencat. Së dyti, ne do të kryejmë një konjugim kompleks të të dy pjesëve, i cili nuk do të cenojë barazinë. Si rezultat, është e lehtë të merret shprehja:

,

e cila vendos një lidhje të paqartë ndërmjet koeficientëve spektralë në dy pika të ndryshme të drejtkëndëshit spektral. Marrëdhënia që rezulton heq kontradiktën, pasi numri i koeficientëve spektralë të pavarur zvogëlohet përgjysmë për shkak të kësaj simetrie spektrale. Sipas vetive të vendosura, koeficientët spektralë që i përkasin këndit të sipërm të majtë dhe të poshtëm të djathtë të drejtkëndëshit janë të lidhur nga një varësi e konjuguar spektrale. Në mënyrë të ngjashme, koeficientët Fourier nga seksionet e sipërme djathtas dhe të poshtme majtas të drejtkëndëshit spektral janë gjithashtu të lidhur me njëri-tjetrin.

Në fund të këtij paragrafi theksojmë se kur aplikim praktik DFT dy-dimensionale - si direkt ashtu edhe anasjelltas, nuk ka nevojë të operohet me sinjale dhe spektra periodikë, siç duket të supozohet nga transformimet (3.22) dhe (3.24). Vetë relacionet (3.22) dhe (3.24) e eliminojnë këtë nevojë. Në fakt, transformimi i drejtpërdrejtë i Furierit (3.24) përmban në anën e djathtë vlerat e sinjalit të vazhduar periodikisht vetëm brenda një drejtkëndëshi "kryesor". Por brenda këtyre kufijve, sinjalet origjinale dhe periodike të vazhdueshme përputhen plotësisht, gjë që bën të mundur përdorimin e sinjalit origjinal në formulën (3.24). Shpjegime të ngjashme mund të bëhen lidhur me konvertimi i anasjelltë(3.22), nga e cila rezulton se praktikisht në procesin e llogaritjeve duhet të operohet me pjesën "kryesore" të spektrit që lidhet me rajoni spektral.

Nga shpjegimet e bëra, të cilat kanë vetëm domethënie thjesht llogaritëse, nuk duhet të nxirret përfundimi për artificialitetin dhe padobishmërinë e të konsideruarit. modele matematikore fusha periodike. Gjatë përpunimit të imazheve, lindin probleme të shumta, interpretimi dhe zgjidhja e saktë e të cilave është e mundur vetëm në bazë të këtyre interpretimeve matematikore. Një nga këto detyrat më të rëndësishmeështë filtrim dixhital dydimensional në domenin spektral, zbatimi i të cilit shoqërohet me zbatimin e të ashtuquajturit konvolucioni ciklik.

Transformimet e Furierit

Është i përshtatshëm për të analizuar shumë sinjale duke i zbërthyer ato në sinusoidë (harmonikë). Ka disa arsye për këtë. Për shembull, veshi i njeriut funksionon në një mënyrë të ngjashme. Ai zbërthen tingujt në dridhje individuale të frekuencave të ndryshme. Për më tepër, mund të tregohet se sinusoidet janë " funksionet e veta» sistemet lineare (pasi kalojnë sistemet lineare, pa ndryshuar formën, por mund të ndryshojë vetëm fazën dhe amplituda). Një arsye tjetër është se teorema e Kotelnikov është formuluar në terma të spektrit të sinjalit.

Transformimi i Furierit ) është zbërthimi i funksioneve në sinusoidë (në tekstin e mëtejmë funksionet e kosinusit i quajmë edhe sinusoidë, pasi ato ndryshojnë nga sinusoidet "reale" vetëm në fazë). Ekzistojnë disa lloje të transformimit të Furierit.

1. Jo periodike sinjal i vazhdueshëm mund të zgjerohet në një integral Furier.

2. Një sinjal periodik i vazhdueshëm mund të zgjerohet në një seri të pafundme Furier.

3. Një sinjal diskret jo periodik mund të zgjerohet në një integral Furier.

4. Një sinjal periodik diskret mund të zgjerohet në një seri të fundme Furier.

Një kompjuter mund të punojë vetëm me një sasi të kufizuar të dhënash, prandaj, me të vërtetë mund të llogarisë vetëm llojin e fundit të transformimit Furier. Le t'i hedhim një vështrim më të afërt.

Sinjali i vërtetë DFT

Le të ketë një sinjal diskret x një periudhë prej N pikash. Në këtë rast, ajo mund të përfaqësohet si një seri e fundme (d.m.th., një kombinim linear) i sinusoideve diskrete:

Shënimi ekuivalent (ne zbërthejmë çdo kosinus në sinus dhe kosinus, por tani pa një fazë):

Oriz. 6. Funksionet bazë të serisë Furier për një sinjal diskret me 8 pika. Në të majtë janë kosinuset, në të djathtë janë sinuset. Frekuencat rriten nga lart poshtë.

Sinusoidet bazë kanë frekuenca të shumta. Termi i parë i serisë (k =0) është një konstante e quajtur komponent konstant(DC offset) sinjal. Sinusoidi i parë (k = 1) ka një frekuencë të tillë që periudha e tij përkon me periudhën e vetë sinjalit origjinal. Komponenti i frekuencës më të lartë (k =N /2) ka një frekuencë të tillë që periudha e tij është e barabartë me dy numërime. KoeficientëtA k dhe

B k quhet spektri i sinjalit (spektri). Ato tregojnë amplituda e si-

nusoidet që përbëjnë sinjalin. Hapi i frekuencës ndërmjet dy sinusoideve ngjitur nga zgjerimi Fourier quhet rezolucioni i frekuencës spektrit

Në Fig. Figura 6 tregon sinusoidet e përdorura për të zbërthyer një sinjal diskret nga 8 pika. Secili prej sinusoideve përbëhet nga 8 pika, domethënë është një sinjal i rregullt diskret. Sinusoidet e vazhdueshme janë paraqitur në figurë për qartësi.

konvertoni sinjalin origjinal duke llogaritur shumën e serisë Fourier në secilën pikë. Zbërthimi i një sinjali në sinusoidë (d.m.th. marrja e koeficientëve) quhet transformimi i drejtpërdrejtë i Furierit. Procesi i kundërt - sinteza e sinjalit duke përdorur sinusoidë - quhet transformimi i anasjelltë i Furierit(transformimi i anasjelltë i Furierit).

Algoritmi për transformimin e anasjelltë të Furierit është i qartë (ai përmbahet në formulën e serisë Fourier; për të kryer sintezën, thjesht duhet të zëvendësoni koeficientët në të). Le të shqyrtojmë algoritmin e drejtpërdrejtë të transformimit të Furierit, d.m.th. gjetja e koeficientëve A k dhe B k .

baza tonale në hapësirën e sinjaleve periodike diskrete me periodë N. Kjo do të thotë që për të zgjeruar çdo element të hapësirës (sinjal) në të, duhet të llogaritni produkte me pika ky element me të gjitha funksionet e sistemit, dhe koeficientët që rezultojnë normalizohen. Atëherë formula e zgjerimit bazë me koeficientët A k dhe B k do të jetë e vlefshme për sinjalin origjinal.

Pra, koeficientët A k dhe B k llogariten si produkte skalare (në jo-

në rastin e ndërprerë – integrale të prodhimit të funksioneve, në rastin diskrete

– shumat nga prodhimi i sinjaleve diskrete):

Teknologjia moderne e komunikimit nuk mund të imagjinohet pa analiza spektrale. Përfaqësimi i sinjaleve në fushën e frekuencës është i nevojshëm si për analizën e karakteristikave të tyre ashtu edhe për analizën e blloqeve dhe njësive të transmetuesve të sistemeve të komunikimit radio. Për të kthyer sinjalet në domenin e frekuencës, përdoret një transformim direkt i Furierit. Formula e përgjithësuar për transformimin e drejtpërdrejtë të Furierit shkruhet si më poshtë:

Siç mund të shihet nga kjo formulë për analizën e frekuencës, llogaritja është bërë varësia e korrelacionit ndërmjet një sinjali të përfaqësuar në domenin e kohës dhe një eksponencial kompleks në një frekuencë të caktuar. Në këtë rast, sipas formulës së Euler-it, eksponenciali kompleks zbërthehet në një pjesë reale dhe imagjinare:

Një sinjal i përfaqësuar në domenin e frekuencës mund të kthehet përsëri në një domen kohor duke përdorur një transformim të anasjelltë të Furierit. Formula e përgjithësuar për transformimin e anasjelltë të Furierit shkruhet si më poshtë:

Formula e transformimit direkt të Furierit përdor integrimin e kohës nga minus pafundësia në pafundësi. Natyrisht, ky është një abstraksion matematikor. NË kushte reale ne mund të integrohemi nga ne kete moment kohë, të cilën mund ta shënojmë si 0, përpara kohës T. Formula për transformimin direkt të Furierit do të shndërrohet në formën e mëposhtme:

Si rezultat vetitë e transformimit të Furierit ndryshojnë ndjeshëm. Në vend të kësaj, spektri i sinjalit funksion të vazhdueshëm bëhet një seri diskrete vlerash. Tani frekuenca minimale dhe në të njëjtën kohë hapi i vlerave të frekuencës së spektrit të sinjalit bëhet:

Vetëm funksionet mëkat dhe cos me frekuenca k/T do të jetë reciprokisht ortogonale, dhe ky është një kusht i domosdoshëm për transformimin Furier. Seti i funksioneve të para të zgjerimit të serisë Fourier është paraqitur në figurën 1. Në këtë rast, kohëzgjatja e funksioneve përkon me kohëzgjatjen e analizës T.

Tani spektri i sinjalit do të duket siç tregohet në Figurën 2.

NË në këtë rast formula për llogaritjen e transformimit direkt të Furierit (4) shndërrohet në formën e mëposhtme:

Formula për transformimin e anasjelltë të Furierit për rastin e përcaktimit të spektrit për një periudhë të kufizuar kohore do të duket si kjo:

Në mënyrë të ngjashme, ju mund të përcaktoni formulën për transformimin e drejtpërdrejtë të Furierit për mostrat e sinjalit dixhital. Duke marrë parasysh se në vend të një sinjali të vazhdueshëm përdoren mostrat e tij dixhitale, në shprehjen (6) integrali zëvendësohet me një shumë. Në këtë rast, kohëzgjatja e sinjalit të analizuar përcaktohet nga numri i mostrave dixhitale N. Transformimi Furier për mostrat e sinjaleve dixhitale quhet transformimi diskrete i Furierit dhe shkruhet si më poshtë:

Tani le të shohim se si vetitë e transformimit diskrete të Furierit (DFT) kanë ndryshuar në krahasim me transformimin direkt të Furierit gjatë një intervali kohor të kufizuar. Kur shikonim kampionimin sinjal analog, kemi gjetur se spektri i sinjalit të hyrjes duhet të jetë i kufizuar në frekuencë. Kjo kërkesë kufizon numrin e komponentëve diskrete të spektrit të sinjalit. Fillimisht mund të duket se ne mund të kufizojmë spektrin e sinjalit në frekuencë f d/2, që korrespondon me numrin e komponentëve të frekuencës K=N/2. Megjithatë, nuk është kështu. Megjithëse spektri i sinjalit për mostrat e sinjalit real për frekuencat pozitive dhe frekuencat negative është simetrik rreth 0, frekuenca negative mund të kërkohen për disa algoritme të spektrit, si p.sh. Dallimi është edhe më i madh kur kryhet një transformim diskret i Furierit në mostra komplekse të sinjalit hyrës. Si rezultat për përshkrim i plotë spektrit sinjal dixhital kërkohet N mostrat e frekuencës ( k = 0, ..., N/2).