Për të përshkruar një sistem prej dy ndryshoresh të rastësishme, përveç pritjeve matematikore dhe variancave të komponentëve, përdoren karakteristika të tjera, të cilat përfshijnë momenti i korrelacionit Dhe koeficienti i korrelacionit(përmendur shkurt në fund të T.8.fq.8.6) .
Momenti i korrelacionit(ose kovarianca, ose momenti i lidhjes) dy ndryshore të rastit X Dhe Y i quajtur m.o. produkti i devijimeve të këtyre sasive (shih barazinë (5) paragrafin 8.6):
Përfundimi 1. Për momentin e korrelacionit r.v. X Dhe Y barazitë e mëposhtme janë gjithashtu të vlefshme:
,
ku r.v i centralizuar përkatës. X Dhe Y (shih pikën 8.6.).
Në këtë rast: nëse 
është një d.s.v. dydimensionale, atëherë kovarianca llogaritet me formulën
(8)
;
Nëse 
është një n.s.v. dydimensionale, atëherë kovarianca llogaritet me formulën
(9)
Formulat (8) dhe (9) janë marrë në bazë të formulave (6) në pikën 12.1. Ekziston një formulë llogaritëse
(10)
e cila rrjedh nga përkufizimi (9) dhe bazuar në vetitë e OT, në të vërtetë,
Rrjedhimisht, formulat (36) dhe (37) mund të rishkruhen në formë
(11)
;
Momenti i korrelacionit shërben për të karakterizuar marrëdhënien midis sasive X Dhe Y.
Siç do të tregohet më poshtë, momenti i korrelacionit e barabartë me zero, Nëse X Dhe Y janë i pavarur;
Prandaj, nëse momenti i korrelacionit nuk është i barabartë me zero, atëherëXDheYjanë variabla të rastësishme të varura.
Teorema 12.1.Momenti i korrelacionit të dy variablave të rastësishëm të pavarurXDheYështë e barabartë me zero, d.m.th. për r.v të pavarur.XDheY,
Dëshmi. Sepse X Dhe Y variablat e pavarur të rastësishëm, pastaj devijimet e tyre
Dhe
T edhe të pavarur. Duke përfituar nga pronat pritje matematikore(pritja matematikore e produktit të r.v.s të pavarur është e barabartë me produktin e pritjeve matematikore të faktorëve 
,
, Kjo është arsyeja pse
Koment. Nga kjo teoremë del se nëse
pastaj s.v.
X
Dhe Y
varur dhe në raste të tilla r.v.
X
Dhe Y thirrur të ndërlidhura. Megjithatë, nga fakti se
nuk ndjek pavarësinë r.v. X
Dhe Y.
ne kete rast ( 
s.v. X
Dhe Y thirrur të pakorreluara, në këtë mënyrë nga
pason pavarësia të pakorreluara; deklarata e kundërt është, në përgjithësi, e rreme (shih shembullin 2 më poshtë.)
Le të shohim vetitë themelore momenti i korrelacionit.
CVetitë e kovariancës:
1.
Kovarianca është simetrike, d.m.th.
.
Kjo rrjedh drejtpërdrejt nga formula (38).
2. Ka barazi: d.m.th. dispersion r.v. është kovarianca e tij me vetveten.
Këto barazi rrjedhin drejtpërdrejt nga përkufizimi i dispersionit dhe barazisë (38) respektivisht për 
3. Barazitë e mëposhtme janë të vlefshme:
Këto barazi rrjedhin nga përkufizimi i variancës dhe kovariancës së r.v. 
Dhe 
, pronat 2.
Sipas përkufizimit të dispersionit (duke marrë parasysh qendrën e r.v. 
) kemi
Tani, bazuar në (33) dhe vetitë 2 dhe 3, marrim vetinë e parë (me shenjë plus) 3.
Në mënyrë të ngjashme, pjesa e dytë e vetive 3 rrjedh nga barazia
4.
Le 
numra konstante, 
atëherë barazitë janë të vlefshme:
Zakonisht këto veti quhen vetitë e homogjenitetit dhe periodicitetit të rendit të parë në argumente.
Le të vërtetojmë barazinë e parë dhe do të përdorim vetitë e m.o. 
.
Teorema 12.2.Vlera absolutemomenti i korrelacionit të dy ndryshoreve të rastësishme arbitrareXDheYnuk e kalon mesataren gjeometrike të variancave të tyre: d.m.th.
Dëshmi. Vini re se për r.v të pavarur. pabarazia vlen (shih Teoremën 12.1.). Pra, le të r.v. X
Dhe
Y
i varur. Le të shqyrtojmë r.v standarde. 
Dhe 
dhe njehsoni dispersionin e r.v. 
duke marrë parasysh vetinë 3 kemi: nga njëra anë 
Në anën tjetër
Prandaj, duke marrë parasysh faktin se 
Dhe 
- i normalizuar (i standardizuar) r.v., pastaj për to m.o. është e barabartë me zero, dhe varianca është e barabartë me 1, pra, duke përdorur vetinë e m.o. 
marrim
dhe për këtë arsye, bazuar në faktin se 
marrim
Nga kjo rrjedh se d.m.th.
=
Deklarata është vërtetuar.
Nga përkufizimi dhe vetitë e kovariancës del se ai karakterizon si shkallën e varësisë së r.v ashtu edhe shpërndarjen e tyre rreth një pike 
Dimensioni i kovariancës është i barabartë me produktin e dimensioneve të ndryshoreve të rastit X Dhe Y. Me fjalë të tjera, madhësia e momentit të korrelacionit varet nga njësitë e matjes së variablave të rastit. Për këtë arsye, për të njëjtat dy sasi X Dhe Y,
madhësia e momentit të korrelacionit do të ketë kuptime të ndryshme në varësi të njësive në të cilat janë matur vlerat.
Le, për shembull, X Dhe Y
janë matur në centimetra dhe 
; nëse matet X Dhe Y
në milimetra, atëherë 
Kjo veçori e momentit të korrelacionit është disavantazhi i kësaj karakteristike numerike, pasi krahasimi i momenteve të korrelacionit të sistemeve të ndryshme të ndryshoreve të rastit bëhet i vështirë.
Për të eliminuar këtë pengesë, është futur një karakteristikë e re numerike - " koeficienti i korrelacionit».
Koeficienti i korrelacionit 
variablat e rastësishëm
Dhe 
quhet raporti i momentit të korrelacionit me produktin e mesatareve devijimet katrore këto sasi:
(13)
.
Që nga dimensioni 
e barabartë me produktin e përmasave të sasive
Dhe 
,
ka dimensionin e madhësisë 
σ y ka dimensionin e madhësisë 
, Kjo
është vetëm një numër (d.m.th. sasi pa dimension"). Kështu, vlera e koeficientit të korrelacionit nuk varet nga zgjedhja e njësive matëse të r.v., kjo është avantazh koeficienti i korrelacionit para momentit të korrelacionit.
Në T.8. klauzola 8.3 kemi prezantuar konceptin normalizuar s.v. 
, formula (18), dhe teorema është vërtetuar se 
Dhe 
(Shih gjithashtu Teoremën 8.2.). Këtu vërtetojmë pohimin e mëposhtëm. 
Teorema 12.3. Për çdo dy ndryshore të rastësishme
Dhe 
barazia është e vërtetë
.Me fjalë të tjera, koeficienti i korrelacionit
çdo dy me.V.XDheYe barabartë me momentin e korrelacionit të normalizuar të tyre përkatës s.v. 
Dhe
.
Dëshmi. Sipas përcaktimit të ndryshoreve të rastësishme të normalizuara 
Dhe
Dhe 
.
Duke marrë parasysh vetinë e pritjes matematikore: dhe barazinë (40) marrim
Deklarata është vërtetuar.
Le të shohim disa veti të zakonshme të koeficientit të korrelacionit.
Vetitë e koeficientit të korrelacionit:
1. Koeficienti i korrelacionit në vlerë absolute nuk kalon 1, d.m.th.
Kjo veti rrjedh drejtpërdrejt nga formula (41) - përkufizimi i koeficientit të korrelacionit dhe teorema 13.5. (shih barazinë (40)).
2. Nëse variablat e rastësishëm 
Dhe 
janë të pavarura, koeficienti i korrelacionit aktual është zero, d.m.th.
.
Kjo veti është pasojë e drejtpërdrejtë e barazisë (40) dhe teoremës 13.4.
Le të formulojmë vetinë e mëposhtme si një teoremë të veçantë.
Teorema 12.4.
Nëse r.v.
Dhe 
janë të ndërlidhura nga një varësi funksionale lineare, d.m.th. 
Se
në të njëjtën kohë
Dhe
përkundrazi, nëse
,
Se
s.v.
Dhe 
janë të ndërlidhura nga një varësi funksionale lineare, d.m.th. ka konstante 
Dhe
të tillë që barazia vlen 
Dëshmi. Le
Pastaj
Bazuar në vetinë 4 të kovariancës, kemi
dhe meqenëse, , prandaj
Prandaj, 
. Përftohet barazia në një drejtim. Le të më tej 
, Pastaj
duhet të merren parasysh dy raste: 1) 
dhe 2) 
Pra, le të shqyrtojmë rastin e parë. Pastaj sipas përkufizimit 
dhe prandaj nga barazia 
, Ku 
. 
Në rastin tonë
=
,
, pra nga barazia (shih vërtetimin e Teoremës 13.5.) 
ne e marrim atë 
, Do të thotë 
është konstante. Sepse 
dhe që atëherë
.
vërtetë,
.
Prandaj, 
Në mënyrë të ngjashme, tregohet se për
,
.
zhvillohet (kontrollojeni vetë!)
Disa përfundime:
Dhe 
1. Nëse 
të pavarurit.v., atëherë 
Dhe 
2. Nëse r.v. 
.
janë të lidhura në mënyrë lineare me njëra-tjetrën, pra 
:
3. Në raste të tjera 
Dhe 
Në këtë rast thonë se r.v. të ndërlidhura korrelacion pozitiv, 
Nëse 
në rastet korrelacion negativ 
. Sa më afër tek një, e më shumë arsye 
Dhe 
konsideroni se.v. lidhur.
varësia lineare Vini re se momentet e korrelacionit dhe dispersionet e sistemit të r.v. zakonisht jepet:
.
matrica e korrelacionit
Siç u përmend tashmë, nëse dy ndryshore të rastësishme janë të varura, atëherë ato mund të jenë të ngjashme të ndërlidhura, pra të pakorreluara. Me fjalë të tjera, momenti i korrelacionit të dy sasive të varura mund të jetë jo e barabartë me zero, por ndoshta baraz zero.
Shembulli 1. Ligji i shpërndarjes së një r.v diskrete jepet nga tabela
|
| |||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Gjeni koeficientin e korrelacionit 
Zgjidhje. Gjetja e ligjeve të shpërndarjes së komponentëve 
Dhe 
:
Tani le të llogarisim m.o. komponentët:
Këto vlera mund të gjenden në bazë të tabelës së shpërndarjes r.v. 
Po kështu, 
gjeni vetë.
Le të llogarisim variancat e komponentëve dhe të përdorim formulën llogaritëse:
Le të krijojmë një ligj të shpërndarjes 
, dhe pastaj gjejmë 
:
Kur përpiloni një tabelë të ligjit të shpërndarjes, duhet të kryeni hapat e mëposhtëm:
1) lini vetëm kuptime të ndryshme të të gjitha produkteve të mundshme 
.
2) për të përcaktuar probabilitetin e një vlere të caktuar 
, duhet
mblidhni të gjitha probabilitetet përkatëse të vendosura në kryqëzimin e tabelës kryesore që favorizojnë shfaqjen e një vlere të caktuar.
Në shembullin tonë, r.v. 
merr vetëm tre vlera të ndryshme 
. Këtu vlera e parë ( 
) korrespondon me produktin 
nga rreshti i dytë dhe 
nga kolona e parë, pra në kryqëzimin e tyre ka një numër probabiliteti 
në mënyrë të ngjashme
e cila përftohet nga shuma e probabiliteteve të vendosura në kryqëzimet e rreshtit të parë dhe kolonës së parë, përkatësisht (0,15; 0,40; 0,05) dhe një vlerë 
, e cila është në kryqëzimin e rreshtit të dytë dhe kolonës së dytë, dhe në fund, 
, e cila është në kryqëzimin e rreshtit të dytë dhe kolonës së tretë.
Nga tabela jonë gjejmë:
Ne gjejmë momentin e korrelacionit duke përdorur formulën (38):
Gjeni koeficientin e korrelacionit duke përdorur formulën (41)
Pra, një korrelacion negativ.
Ushtrimi. Ligji i shpërndarjes së r.v diskrete. dhënë me tabelë
|
| |||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Gjeni koeficientin e korrelacionit 
Le të shohim një shembull ku ka dy variabla të rastësishme të varura mund të ketë të pakorreluara.
Shembulli 2. Dy-dimensionale ndryshore e rastësishme
)
dhënë nga funksioni i densitetit
Le ta vërtetojmë këtë 
Dhe 
i varur
,
Por të pakorreluara
variabla të rastit.
Zgjidhje. Le të përdorim densitetin e shpërndarjes të llogaritur më parë të komponentëve 
Dhe
:
Që atëherë 
Dhe 
sasitë e varura. Për të provuar të pakorreluara
Dhe 
, mjafton të sigurohemi që 
Le të gjejmë momentin e korrelacionit duke përdorur formulën:
Që nga funksioni diferencial
simetrike rreth boshtit OY, Kjo 
në mënyrë të ngjashme 
, për shkak të simetrisë 
në raport me boshtin OK. Prandaj,
duke nxjerrë një faktor konstant 
Integrali i brendshëm është i barabartë me zero (integrandi është tek, kufijtë e integrimit janë simetrik në lidhje me origjinën), prandaj, 
, d.m.th. variabla të rastësishme të varura 
Dhe 
nuk janë të ndërlidhura me njëra-tjetrën.
Pra, nga korrelacioni i dy variablave të rastësishëm rrjedh varësia e tyre, por nga moskorrelacioni është ende e pamundur të konkludohet se këto variabla janë të pavarur.
Megjithatë, për r.v të shpërndarë normalisht. një përfundim i tillë është përveç ato. nga të pakorreluara shpërndahet normalisht s.v. i derdh jashtë pavarësinë.
Paragrafi tjetër i kushtohet kësaj çështjeje.
KOMITETI SHTETËROR PËR SHKENCËN DHE TEKNOLOGJI E REPUBLIKËS SË AZERBAJZANIT
QENDRA E KËRKIMIT DHE TRAJNIMIT BAKU
STUDENT I diplomuar I DEPARTAMENTIT TË KIRURGJISË PEDIATRIKE
AMU me emrin N. NARIMANOV
MUKHTAROVA EMIL GASAN ogly
MOMENTET E KORELACIONIT. KOEFICIENTI I KORELACIONIT
HYRJE
Teoria e probabilitetit ka shkenca matematikore, duke studiuar modelet në dukuritë e rastësishme.
Çfarë nënkuptohet me dukuri të rastësishme?
Në kërkimin shkencor probleme fizike dhe teknike, shpesh hasim në fenomene lloj i veçantë, të cilat zakonisht quhen të rastësishme. Fenomeni i rastësishëm - ky është një fenomen që, kur e njëjta përvojë riprodhohet në mënyrë të përsëritur, vazhdon disi ndryshe.
Le të japim një shembull të një dukurie të rastësishme.
I njëjti trup peshohet disa herë në një bilanc analitik: rezultatet e peshimeve të përsëritura janë disi të ndryshme nga njëra-tjetra. Këto dallime janë për shkak të ndikimit të faktorëve të ndryshëm të vegjël që shoqërojnë punën e peshimit, si dridhjet e rastësishme të pajisjes, gabimet në leximin e instrumentit, etj.
Natyrisht, nuk ka asnjë të tillë në natyrë fenomen fizik, në të cilat elementet e rastësisë nuk do të ishin të pranishme në një shkallë apo në një tjetër. Pavarësisht se sa saktë dhe në detaje janë fiksuar kushtet eksperimentale, është e pamundur të sigurohet që kur eksperimenti përsëritet, rezultatet të përkojnë plotësisht dhe saktësisht.
Aksidentet shoqërojnë në mënyrë të pashmangshme çdo fenomen natyror. Megjithatë, në një numër të probleme praktike këto elemente të rastësishme mund të neglizhohet duke marrë parasysh në vend të kësaj fenomen real diagrami i tij i thjeshtuar, d.m.th. model, dhe duke supozuar se në kushtet e dhëna eksperimentale fenomeni vazhdon në një mënyrë shumë të caktuar. Në të njëjtën kohë, nga numri i panumërt i faktorëve që ndikojnë në këtë fenomen, veçohen më të rëndësishmit, themelorët dhe vendimtarët. Ndikimi i faktorëve të tjerë të vegjël thjesht neglizhohet. Gjatë studimit të modeleve brenda kornizës së një teorie të caktuar, faktorët kryesorë që ndikojnë në një fenomen të caktuar përfshihen në konceptet ose përkufizimet me të cilat vepron teoria në fjalë.
Si çdo shkencë që zhvillohet teori e përgjithshmeçdo varg dukurish, teoria e probabilitetit përmban gjithashtu një sërë konceptesh bazë mbi të cilat bazohet. Natyrisht, jo të gjitha konceptet bazë mund të përcaktohen në mënyrë strikte, pasi të përkufizosh një koncept do të thotë ta reduktosh atë në të tjera, më të njohura. Ky proces duhet të jetë i kufizuar dhe të përfundojë me koncepte parësore që vetëm shpjegohen.
Një nga konceptet e para në teorinë e probabilitetit është koncepti i një ngjarjeje.
Nën ngjarje kuptohet çdo fakt që mund të ndodhë ose jo si rezultat i përvojës.
Le të japim shembuj të ngjarjeve.
A - lindja e një djali ose vajze;
B - përzgjedhja e një hapjeje tjetër në një lojë shahu;
C - që i përket një ose një shenje tjetër të zodiakut.
Duke marrë parasysh ngjarjet e mësipërme, shohim se secila prej tyre ka një shkallë mundësie: disa më të mëdha, të tjera më pak. Për të krahasuar në mënyrë sasiore ngjarjet me njëra-tjetrën sipas shkallës së mundësisë së tyre, është padyshim e nevojshme që të lidhet me secilën ngjarje numër të caktuar, e cila është më e madhe sa më e mundur të jetë ngjarja. Ky numër quhet probabiliteti i një ngjarjeje. Kështu, probabiliteti i ngjarjes është karakteristikë numerike gradë mundësi objektive ngjarjet.
Njësia e probabilitetit është probabiliteti ngjarje e besueshme, e barabartë me 1, dhe diapazoni i ndryshimeve në probabilitetet e çdo ngjarjeje është një numër nga 0 në 1.
Probabiliteti zakonisht shënohet me shkronjën P.
Le të shohim shembullin e problemit të përjetshëm të Hamletit të Shekspirit "të jesh apo të mos jesh?" Si mund të përcaktoni probabilitetin e një ngjarjeje?
Është mjaft e qartë se një person, një objekt dhe çdo fenomen tjetër mund të jetë në një nga dy dhe jo më shumë gjendje: prania ("të jesh") dhe mungesa ("të mos jesh"). Ato., ngjarjet e mundshme dy, por vetëm një mund të ndodhë. Kjo do të thotë që probabiliteti i ekzistencës, për shembull, është 1/2.
Përveç konceptit të ngjarjes dhe probabilitetit, një nga konceptet kryesore të teorisë së probabilitetit është koncepti i një ndryshoreje të rastësishme.
Ndryshore e rastësishme është një sasi që, si rezultat i eksperimentit, mund të marrë një vlerë ose një tjetër dhe nuk dihet paraprakisht se cila.
Variablat e rastësishëm që marrin vetëm vlera që janë të ndara nga njëra-tjetra dhe që mund të renditen paraprakisht quhen variabla të rastësishme të vazhdueshme ose diskrete.
Për shembull:
1. Numri i pacientëve të mbijetuar dhe të vdekur.
2. Numri i përgjithshëm i fëmijëve nga pacientët e shtruar në spital gjatë natës.
Quhen variablat e rastësishëm, vlerat e mundshme të të cilave në mënyrë të vazhdueshme plotësojnë një interval të caktuar variabla të rastësishme të vazhdueshme.
Për shembull, gabimi i peshimit në një bilanc analitik.
Vini re se teori moderne Probabiliteti kryesisht operon me variabla të rastësishëm, në vend të ngjarjeve, mbi të cilat bazohej kryesisht teoria "klasike" e probabilitetit.
MOMENTET E KORELACIONIT. KOEFICIENTI I KORELACIONIT.
Momentet e korrelacionit, koeficienti i korrelacionit - këto janë karakteristika numerike që lidhen ngushtë me konceptin e një ndryshoreje të rastësishme të prezantuar më sipër, ose më saktë me një sistem variablash të rastësishëm. Prandaj, për të prezantuar dhe përcaktuar kuptimin dhe rolin e tyre, është e nevojshme të shpjegohet koncepti i një sistemi të ndryshoreve të rastësishme dhe disa vetive të qenësishme në to.
Quhen dy ose më shumë ndryshore të rastësishme që përshkruajnë një dukuri sistemi ose kompleksi i variablave të rastësishëm.
Një sistem i disa variablave të rastësishëm X, Y, Z, …, W zakonisht shënohet me (X, Y, Z, …, W).
Për shembull, një pikë në një aeroplan përshkruhet jo nga një koordinatë, por nga dy, dhe në hapësirë - madje edhe nga tre.
Vetitë e një sistemi të disa ndryshoreve të rastit nuk janë të kufizuara në vetitë e variablave individuale të rastit të përfshira në sistem, por përfshijnë gjithashtu lidhjet e ndërsjella(varësi) ndërmjet variablave të rastësishëm. Prandaj, kur studiohet një sistem variablash të rastësishëm, duhet t'i kushtohet vëmendje natyrës dhe shkallës së varësisë. Kjo varësi mund të jetë pak a shumë e theksuar, pak a shumë e afërt. Dhe në raste të tjera, variablat e rastësishëm rezultojnë të jenë praktikisht të pavarur.
Thirret ndryshorja e rastësishme Y të pavarur nga një ndryshore e rastësishme X, nëse ligji i shpërndarjes së ndryshores së rastësishme Y nuk varet nga ajo vlerë që mori ndryshorja X.
Duhet të theksohet se varësia dhe pavarësia e variablave të rastit është gjithmonë një fenomen i ndërsjellë: nëse Y nuk varet nga X, atëherë vlera X nuk varet nga Y. Duke marrë parasysh këtë, mund të japim përkufizimin e mëposhtëm pavarësia e ndryshoreve të rastit.
Variablat e rastësishëm X dhe Y quhen të pavarur nëse ligji i shpërndarjes së secilës prej tyre nuk varet nga vlera që merr tjetri. Përndryshe, quhen vlerat e X dhe Y i varur.
Ligji i shpërndarjes Një ndryshore e rastësishme është çdo lidhje që vendos një lidhje midis vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme dhe probabiliteteve të tyre përkatëse.
Koncepti i "varësisë" së variablave të rastësishëm, i cili përdoret në teorinë e probabilitetit, është disi i ndryshëm nga koncepti i zakonshëm i "varësisë" së variablave, i cili përdoret në matematikë. Kështu, një matematikan me "varësi" nënkupton vetëm një lloj varësie - varësi të plotë, të ngurtë, të ashtuquajtur funksionale. Dy sasi X dhe Y quhen të varura funksionalisht nëse, duke ditur vlerën e njërës prej tyre, mund të përcaktoni me saktësi vlerën e tjetrës.
Në teorinë e probabilitetit, ekziston një lloj varësie paksa e ndryshme - varësia probabiliste. Nëse vlera Y lidhet me vlerën X nga një varësi probabiliste, atëherë, duke ditur vlerën e X, është e pamundur të tregohet me saktësi vlera e Y, por mund të tregoni ligjin e shpërndarjes së tij, në varësi të asaj vlere që ka vlera X marrë.
Marrëdhënia probabiliste mund të jetë pak a shumë e ngushtë; Me rritjen e ngushtësisë së varësisë probabilistike, ajo bëhet gjithnjë e më afër asaj funksionale. Kështu, varësia funksionale mund të konsiderohet si një rast ekstrem, kufizues i varësisë më të afërt probabilistike. Një rast tjetër ekstrem është pavarësia e plotë e variablave të rastësishëm. Mes këtyre dyve raste ekstreme Të gjitha gradimet e varësisë probabilistike qëndrojnë - nga më i forti tek më i dobëti.
Varësia probabiliste ndërmjet variablave të rastësishëm haset shpesh në praktikë. Nëse variablat e rastësishëm X dhe Y janë në një marrëdhënie probabilistike, kjo nuk do të thotë se me një ndryshim në vlerën e X, vlera e Y ndryshon në një mënyrë plotësisht të përcaktuar; kjo do të thotë vetëm se me një ndryshim në vlerën e X, vlera e Y
ka tendencë të ndryshojë gjithashtu (rritet ose zvogëlohet me rritjen e X). Ky trend vërehet vetëm në skicë e përgjithshme, dhe në secilin rast i veçantë Devijimet prej saj janë të mundshme.
Shembuj të varësisë probabiliste.
Le të zgjedhim rastësisht një pacient me peritonit. Variabli i rastësishëm T është koha nga fillimi i sëmundjes, ndryshorja e rastësishme O është niveli i çrregullimeve homeostatike. Ekziston një marrëdhënie e qartë midis këtyre vlerave, pasi vlera T është një nga arsyet më të rëndësishme që përcakton vlerën O.
Në të njëjtën kohë, ekziston një marrëdhënie probabilistike më e dobët midis variablit të rastësishëm T dhe variablit të rastësishëm M, i cili pasqyron vdekshmërinë në një patologji të caktuar, pasi variabli i rastësishëm, megjithëse ndikon në variablin e rastësishëm O, nuk është përcaktori kryesor.
Për më tepër, nëse marrim parasysh vlerën T dhe vlerën B (mosha e kirurgut), atëherë këto vlera janë praktikisht të pavarura.
Deri më tani kemi diskutuar për vetitë e sistemeve të ndryshoreve të rastit, duke dhënë vetëm shpjegim verbal. Megjithatë, ekzistojnë karakteristika numerike përmes të cilave studiohen vetitë e variablave individuale të rastit dhe të një sistemi të ndryshoreve të rastit.
Kovarianca dhe koeficienti i korrelacionit.
Mund të ketë një marrëdhënie funksionale ose stokastike (probabiliste) midis variablave të rastësishëm. Varësia stokastike manifestohet në faktin se ligji i kushtëzuar shpërndarja e një ndryshoreje të rastësishme ndryshon në varësi të vlerave të marra nga një ndryshore tjetër e rastësishme. Një nga karakteristikat e varësisë stokastike të dy ndryshoreve të rastit është kovarianca variabla të rastit.
Kovarianca variablat e rastit ( X,Y) është një numër i barabartë me pritshmërinë matematikore të produktit të devijimeve të ndryshoreve të rastit X Dhe Y nga pritshmëritë tuaja matematikore:
Ndonjëherë quhet kovariancë momenti i korrelacionit ose e dyta e përzier pika qendrore variablat e rastit ( X,Y).
Duke përdorur përkufizimin e pritjes matematikore, marrim:
Në Y= X kovarianca është e njëjtë me variancën X.
Madhësia e momentit të korrelacionit varet nga njësitë matëse të ndryshoreve të rastit. Kjo e bën të vështirë krahasimin e pikave të korrelacionit sisteme të ndryshme variabla të rastit. Për të eliminuar këtë pengesë, futet një karakteristikë e re numerike - koeficienti i korrelacionit, që është
sasi pa dimension.
Për ta llogaritur atë, ne zëvendësojmë devijimet e variablave të rastësishëm nga pritjet matematikore me devijimet e tyre të normalizuara, d.m.th.
Vetitë e koeficientit të korrelacionit:
Le t - e ndryshueshme në kuptimin analiza matematikore. Merrni parasysh variancën e ndryshores së rastësishme D(Y – tX) në funksion të një ndryshoreje t.
Sipas vetive të dispersionit. Diskriminuesi në këtë rast duhet të jetë më i vogël ose i barabartë me zero, d.m.th.
Nga e marrim?
2. Moduli i koeficientit të korrelacionit nuk ndryshon kur transformimet lineare variablat e rastësishëm: , ku , , janë numra arbitrarë.
3. , nëse dhe vetëm nëse ndryshoret e rastësishme X Dhe Y janë të lidhura në mënyrë lineare, d.m.th. ka numra të tillë a, b,Çfarë 
.
Nëse , atëherë diskriminuesi i konsideruar në paragrafin 1 është i barabartë me zero, dhe për rrjedhojë për disa vlera 
. Prandaj, vlera 
dhe për disa ME barazia që duhej vërtetuar është e vërtetë.
4. Nëse X Dhe Y janë statistikisht të pavarura, atëherë .
Vetitë 2.4 verifikohen drejtpërdrejt.
4.5.2. Korrelacioni dhe varësia e një sistemi variablash të rastësishëm.
Një kusht i domosdoshëm pavarësia e ndryshoreve të rastit X Dhe Yështë barazia me zero e momentit të tyre të korrelacionit (ose koeficientit të korrelacionit). Megjithatë, barazia (ose) është vetëm një kusht i domosdoshëm, por jo i mjaftueshëm për pavarësi.
Shembull 1.
 |
Figura tregon pika të shtrira në një parabolë 
, A .
Në këtë drejtim, prezantohet një koncept më i ngushtë i ndryshoreve të rastësishme të pakorreluara (nëse ) ose të ndërlidhura (nëse ). Kjo është arsyeja pse Pavarësia e variablave të rastësishme nënkupton edhe moskorrelacion() dhe anasjelltas, korrelacioni () – varësia.
NË rast i përgjithshëm, kur , pikat (X,Y) do të shpërndahen rreth vijës, aq më afër vlerë më të madhe. Kështu, koeficienti i korrelacionit karakterizon jo ndonjë marrëdhënie ndërmjet X Dhe Y, A shkalla e ngushtësisë së marrëdhënies lineare mes tyre.
Pra, në veçanti, edhe me , d.m.th. në mungesë e plotë marrëdhënie lineare ndërmjet X Dhe Y Mund të ekzistojë një varësi e fortë statistikore dhe madje jolineare funksionale (shih shembullin 1).
Kur flitet për vlerat korrelacion pozitiv ndërmjet X Dhe Y, që do të thotë se të dy variablat kanë të njëjtën tendencë për rritje ose ulje. Kur flasin për një korrelacion negativ, që do të thotë tendencë e kundërt në ndryshimin e variablave të rastit X Dhe Y, d.m.th. njëri rritet dhe tjetri zvogëlohet, ose anasjelltas.
Nëse variablat e rastësishëm X Dhe Y janë të shpërndara normalisht, atëherë moskorrelacioni i tyre nënkupton pavarësinë e tyre, pasi
Nëse, atëherë.
Për të llogaritur koeficientin e korrelacionit, vazhdojmë shembullin 2 nga §4.1. Le të përdorim formulën
.
M(X× Y)=(-200)×(-100)×0,2 + (-200)×0×0,1 + (-200)×(100)×0,05 + 0×(-100)×0,05 + 0×0×0,25 + 0 ×100×0,02 + 200×(-100)×0,01 + 200×0×0,02 + 200×100×0,3 = 8800 dollarë;
; 
;
.
Shembull 2. Ligji i shpërndarjes së një sistemi me dy ndryshore të rastësishme jepet nga tabela e shpërndarjes
| X Y | ||||
| -1 | 0,01 | 0,06 | 0,05 | 0,04 |
| 0,04 | 0,24 | 0,15 | 0,07 | |
| 0,05 | 0,01 | 0,01 | 0,09 |
Gjeni ligjet e shpërndarjes njëdimensionale (margjinale). X Dhe Y, pritshmëritë e tyre matematikore, variancat dhe koeficienti i korrelacionit ndërmjet X Dhe Y.
Zgjidhje. Probabilitetet e vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme diskrete X, të përfshira në sistem, përcaktohen nga formula
, për të=1, 2, 3, 4.
Prandaj shpërndarja njëdimensionale e sasisë X ka formën e mëposhtme
Pritjet matematikore të ndryshoreve të rastit X Dhe Y:
M(X)=1,6; M(Y)=0,18.
Variacionet e ndryshoreve të rastit X Dhe Y:
D(X)=0,84; D(Y)=0,47.
Koeficienti i korrelacionit ndërmjet X Dhe Y llogaritur me formulë
; ;
; 
;
Pyetje vetë-testimi.
1. Përcaktoni një variabël të rastësishëm me shumë variacione dhe funksion të shpërndarjes së probabilitetit.
2. Çfarë quhet shpërndarja e përbashkët e një ndryshoreje diskrete dydimensionale të rastit ( X,Y)? si shkruhet?
3. Siç dihet shpërndarja e përbashkët ndryshore e rastësishme dydimensionale ( X,Y) gjeni shpërndarjet margjinale komponentët X Dhe Y?
4. Çfarë quhet shpërndarja e kushtëzuar e komponentit X sasi diskrete dydimensionale ( X,Y)?
5. Çfarë quhet kovariancë?
6. Cili është koeficienti i korrelacionit?
7. Specifikoni vetitë e koeficientit të korrelacionit.
8. Cili është koeficienti i korrelacionit të variablave të rastit? X Dhe Y = 1 – 2X?
9. Në çfarë vlere shndërrohet kovarianca e dy ndryshoreve të rastit? X Dhe Y, Nëse X = Y?
10. A janë konceptet e pavarësisë dhe ekuivalente të pakorreluara?
Detyrat
4.1. Tre lloje makinash shiten në dy tregje të ndryshme në qytet ( A, B, C). Më poshtë janë të dhënat për numrin e makinave të shitura për vitin:
Gjeni probabilitetet e mëposhtme: R(a, a), P(a, B), P(a, C), P(b, A), P(b, B), P(b, C), P(A), P(a/A), P(A/a). Krijoni një tabelë të probabiliteteve të përbashkëta.
4.2. Pushuesit në një vendpushim të caktuar janë, si rregull, biznesmenë ( B)ose njerëz të profesioneve të lira ( P)(avokat, artistë, mjekë etj.). Pronari i një resorti dëshiron të përcaktojë nëse do të ishte më fitimprurëse për të që të prodhonte dy lloje reklamash sesa një. Për ta bërë këtë, ai udhëzoi departamentin e tij të reklamave që të përgatiste dy lloje reklamash - një për biznesmenët (tipi I), tjetri për profesionet liberale (tipi II). U përgatitën reklama, u dërguan materiale klientëve të mundshëm dhe u pranuan 800 aplikime. Ato u shpërndanë si më poshtë.
A). Gjeni probabilitetet P(B, I); P(B, II); P(I/B).
Për të karakterizuar korrelacionin midis sasive, përdoren momenti i korrigjimit dhe koeficienti i korrelacionit.
Përkufizimi 2. Momenti i korrelacionitμ xy e ndryshoreve të rastësishme X dhe Y është pritshmëria matematikore e produktit të devijimeve të këtyre variablave
Për të llogaritur momentin e korrelacionit sasi diskrete përdoret shprehja
(3.12)
kurse për ato të vazhdueshme – shprehja
(3.13)
Vërejtje Momenti i korrelacionit μ xy mund të rishkruhet në formë
(3.14)
Në të vërtetë, duke përdorur vetitë e pritshmërisë matematikore (shih §§ 2.2; 2.6), ne kemi
Teorema. Momenti i korrelacionit të dy variablave të rastësishëm të pavarur X dhe Y është i barabartë me zero.
Dëshmi. Sipas vërejtjes
dhe meqenëse X dhe Y janë variabla të rastësishme të pavarura, atëherë (shih §§ 2.2; 2.6)
dhe, si rrjedhim, µ xy =0.
Nga përkufizimi i momentit të korrelacionit del se ai ka një dimension e barabartë me produktin dimensionet e sasive X dhe Y, d.m.th. vlera e tij varet nga njësitë matëse të ndryshoreve të rastit. Prandaj, për të njëjtat dy sasi, madhësia e momentit të korrelacionit mund të ketë vlera të ndryshme në varësi të njësive në të cilat janë matur sasitë. Për të eliminuar këtë pengesë, ne ramë dakord të marrim një sasi pa dimension si një masë të marrëdhënies (varësisë) të dy variablave të rastësishëm X dhe Y
Ku σ x =σ(X), σ y =σ(Y), thirrur koeficienti i korrelacionit.
Shembulli 1. Le të specifikohet një ndryshore e rastësishme dydimensionale diskrete (X,Y) nga ligji i shpërndarjes:
dhe, për rrjedhojë, 
Duke mbledhur probabilitetet në kolona, gjejmë probabilitetet e vlerave të mundshme të Y:
Prandaj ligji i shpërndarjes Y:
| Y | |||
| fq | 1\3 | 1\2 | 1\6 |
dhe, për rrjedhojë, 
vërtetë,
Kështu, koeficienti i korrelacionit
Teorema. Vlera absolute momenti i korrelacionit të dy variablave të rastësishëm nuk e kalon produktin e devijimeve standarde të tyre:
Dëshmi. Prezantimi i ndryshores së rastësishme 
Ku 
Le të gjejmë variancën e saj. ne kemi
(çdo variancë është jo negative). Nga këtu
Duke futur një ndryshore të rastësishme 
,
në mënyrë të ngjashme do të gjejmë
Si rezultat kemi
Përkufizimi 2. Ndryshoret e rastësishme X dhe Y quhen të pakorreluara nëse = 0, dhe të korreluara nëse
Shembull 1. Variabla të rastësishme të pavarura X dhe Y janë të pakorreluar, pasi për shkak të relacionit (3.12) = 0.
Shembulli 2. Lërini variablat e rastit X Dhe Y janë të lidhura me një varësi lineare Le të gjejmë koeficientin e korrelacionit. Ne kemi:
Kështu, koeficienti i korrelacionit të ndryshoreve të rastësishme të lidhura nga një varësi lineare është i barabartë me ±1 (më saktë, =1 nëse A>0 dhe =-1 nëse A<0).
Le të vëmë re disa veti të koeficientit të korrelacionit.
Nga shembulli 1 vijon:
1) Nëse X dhe Y janë variabla të rastësishme të pavarura, atëherë koeficienti i korrelacionit është zero.
Vini re se deklarata e kundërt është, në përgjithësi, e rreme. (Për prova, shihni punën.)
2) Vlera absolute e koeficientit të korrelacionit nuk e kalon unitetin:
Në të vërtetë, pjesëtimi i të dy anëve të pabarazisë (3.16) me produktin , arrijmë në pabarazinë e dëshiruar.
3) Siç mund të shihet nga formula (3.15) duke marrë parasysh formulën (3.14), koeficienti i korrelacionit karakterizon madhësinë relative të devijimit të pritjes matematikore të produktit nga produkti i pritjeve matematikore. M(X) M(Y) sasive X Dhe Y. Meqenëse ky devijim ndodh vetëm për sasitë e varura, mund të themi se Koeficienti i korrelacionit karakterizon afërsinë e marrëdhënies midis X dhe Y.
3. Korrelacioni linear. Ky lloj korrelacioni është mjaft i zakonshëm.
Përkufizimi Varësia e korrelacionit ndërmjet ndryshoreve të rastësishme X dhe Y thirrur korrelacioni linear, nëse të dy funksionojnë regresioni dhe janë linearë. Në këtë rast, të dy linjat e regresionit janë të drejta; ato quhen regresione të drejtpërdrejta.
Le të nxjerrim ekuacionet e regresionit të drejtpërdrejtë Y në X, ato. le të gjejmë koeficientin e funksionit linear
Le të shënojmë M(X) = a, M(Y)= b, M[(X - a) 2 ]= , M[(Y –b 2)]= . Duke përdorur vetitë e MO (§§ 2.2; 2.6) gjejmë:
M(Y) = M= M(AX + B) = AM(X) + B,
ato. b = Aa + B, ku B=b-Aa.
M(XY)= M[Xg(X)\= M(AX 2 + BX) = AM(X 2) + BM(X)= AM(X 2) + (b- Aa)a,
ose, sipas vetive 1 të dispersionit (§§ 2.3; 2.6),
Koeficienti që rezulton quhet koeficienti i regresionit Y në X dhe shënohet me:
Kështu, ekuacioni i regresionit përpara Y në X duket si
Në mënyrë të ngjashme, ju mund të merrni ekuacionin e regresionit të drejtpërdrejtë të X në Y
Sa shpesh keni dëgjuar deklarata që thonë se një fenomen lidhet me një tjetër?
“Rritja e lartë lidhet me edukimin dhe lumturinë e mirë, sipas ekspertëve nga shërbimi i sondazheve Gallup”.
“Çmimi i naftës është i ndërlidhur me kurset e këmbimit”.
Dhimbja e muskujve pas stërvitjes nuk lidhet me hipertrofinë e fibrave të muskujve.
Duket se koncepti i "korrelacionit" është përdorur gjerësisht jo vetëm në shkencë, por edhe në jetën e përditshme. Korrelacioni pasqyron shkallën e marrëdhënies lineare midis dy dukurive të rastit. Pra, kur çmimet e naftës fillojnë të bien, kursi i këmbimit të dollarit ndaj rublës fillon të rritet.
Nga të gjitha sa më sipër, mund të konkludojmë se gjatë përshkrimit të ndryshoreve të rastësishme dydimensionale, karakteristika të tilla të njohura si pritshmëria matematikore, dispersioni dhe devijimi standard ndonjëherë janë të pamjaftueshme. Prandaj, dy karakteristika më shumë të rëndësishme përdoren shpesh për t'i përshkruar ato: kovarianca Dhe korrelacioni.
Kovarianca
Kovarianca$cov\left(X,\ Y\right)$ e ndryshoreve të rastësishme $X$ dhe $Y$ është pritshmëria matematikore e produktit të variablave të rastit $X-M\left(X\djathtas)$ dhe $Y-M\left(Y \djathtas)$, që është:
$$cov\left(X,\ Y\djathtas)=M\majtas(\majtas(X-M\left(X\djathtas)\djathtas)\majtas(Y-M\majtas(Y\djathtas)\djathtas)\djathtas). $$
Mund të jetë e përshtatshme për të llogaritur kovariancën e variablave të rastësishëm $X$ dhe $Y$ duke përdorur formulën e mëposhtme:
$$cov\left(X,\ Y\djathtas)=M\majtas(XY\djathtas)-M\left(X\djathtas)M\majtas(Y\djathtas),$$
e cila mund të merret nga formula e parë duke përdorur vetitë e pritshmërisë matematikore. Le të rendisim kryesoren vetitë e kovariancës.
1 . Kovarianca e një ndryshoreje të rastësishme me vetveten është varianca e saj.
$$cov\left(X,\ X\djathtas)=D\majtas(X\djathtas).$$
2 . Kovarianca është simetrike.
$$cov\left(X,\ Y\djathtas)=cov\left(Y,\ X\djathtas).$$
3 . Nëse variablat e rastësishëm $X$ dhe $Y$ janë të pavarura, atëherë:
$$cov\left(X,\ Y\djathtas)=0.$$
4 . Faktori konstant mund të hiqet nga shenja e kovariancës.
$$cov\left(cX,\ Y\right)=cov\left(X,\ cY\right)=c\cdot cov\left(X,\ Y\djathtas).$$
5 . Kovarianca nuk do të ndryshojë nëse një vlerë konstante i shtohet njërit prej variablave të rastësishëm (ose dy njëherësh):
$$cov\left(X+c,\ Y\djathtas)=cov\majtas(X,\ Y+c\djathtas)=cov\majtas(X+x,\ Y+c\djathtas)=cov\majtas( X,\Y\djathtas).$$
6 . $cov\left(aX+b,\ cY+d\right)=ac\cdot cov\left(X,\ Y\djathtas)$.
7 . $\left|cov\left(X,\ Y\djathtas)\djathtas|\le \sqrt(D\left(X\djathtas)D\left(Y\djathtas))$.
8 . $\left|cov\left(X,\ Y\djathtas)\djathtas|=\sqrt(D\majtas(X\djathtas)D\majtas(Y\djathtas))\Shigjeta majtas djathtas Y=aX+b$.
9 . Varianca e shumës (diferencës) e variablave të rastit është e barabartë me shumën e variancave të tyre plus (minus) dyfishin e kovariancës së këtyre variablave të rastit:
$$D\majtas(X\pm Y\djathtas)=D\majtas(X\djathtas)+D\majtas(Y\djathtas)\pm 2cov\majtas(X,\ Y\djathtas).$$
Shembulli 1 . Është dhënë një tabelë korrelacioni e një vektori të rastësishëm $\majtas(X,\Y\djathtas)$. Llogaritni kovariancën $cov\left(X,\Y\djathtas)$.
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
\hline
-2 & 0,1 & 0 & 0,2 \\
\hline
0 & 0,05 & p_(22) & 0 \\
\hline
1 & 0 & 0,2 & 0,05 \\
\hline
7 & 0,1 & 0 & 0,1 \\
\hline
\fund (array)$
Ngjarjet $\left(X=x_i,\ Y=y_j\right)$ formojnë një grup të plotë ngjarjesh, prandaj shuma e të gjitha probabiliteteve $p_(ij)$ e treguar në tabelë duhet të jetë e barabartë me 1. Pastaj $0,1 +0+0 ,2+0.05+p_(22)+0+0+0.2+0.05+0.1+0+0.1=1$, pra $p_(22)=0.2$.
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X\slash Y & -6 & 0 & 3 \\
\hline
-2 & 0,1 & 0 & 0,2 \\
\hline
0 & 0,05 & 0,2 & 0 \\
\hline
1 & 0 & 0,2 & 0,05 \\
\hline
7 & 0,1 & 0 & 0,1 \\
\hline
\fund (array)$
Duke përdorur formulën $p_(i) =\sum _(j)p_(ij) $, gjejmë serinë e shpërndarjes së ndryshores së rastësishme $X$.
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X & -2 & 0 & 1 & 7 \\
\hline
p_i & 0.3 & 0.25 & 0.25 & 0.2 \\
\hline
\fund (array)$
$$M\majtas(X\djathtas)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=-2\cdot 0,3+0\cdot 0,25+1\cdot 0,25+7\cdot 0 ,2=1,05.$ $
$$D\left(X\djathtas)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\djathtas)\djathtas))^2)=0,3\cdot ( \majtas (-2-1,05\djathtas))^2+0,25\cdot (\majtas(0-1,05\djathtas))^2+0,25\cdot (\majtas(1-1, 05\djathtas))^2+$$
$$+\ 0.2\cdot (\majtas(7-1.05\djathtas))^2=10.1475.$$
$$\sigma \left(X\djathtas)=\sqrt(D\majtas(X\djathtas))=\sqrt(10.1475)\afërsisht 3,186.$$
Duke përdorur formulën $q_(j) =\sum _(i)p_(ij) $, gjejmë serinë e shpërndarjes së ndryshores së rastësishme $Y$.
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
Y & -6 & 0 & 3 \\
\hline
p_i & 0,25 & 0,4 & 0,35 \\
\hline
\fund (array)$
$$M\majtas(Y\djathtas)=\sum^n_(i=1)(y_ip_i)=-6\cdot 0,25+0\cdot 0,4+3\cdot 0,35=-0,45 .$$
$$D\majtas(Y\djathtas)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(y_i-M\left(Y\djathtas)\djathtas))^2)=0,25\cdot ( \majtas (-6+0.45\djathtas))^2+0.4\cdot (\majtas(0+0.45\djathtas))^2+0.35\cdot (\majtas(3+0, 45\djathtas))^2=11.9475. $$
$$\sigma \left(Y\djathtas)=\sqrt(D\majtas(Y\djathtas))=\sqrt(11,9475)\afërsisht 3,457.$$
Meqenëse $P\left(X=-2,\ Y=-6\right)=0.1\ne 0.3\cdot 0.25$, atëherë variablat e rastësishëm $X,\ Y$ janë të varura.
Le të përcaktojmë kovariancën $cov\ \left(X,\ Y\right)$ të ndryshoreve të rastësishme $X,\ Y$ me formulën $cov\left(X,\ Y\right)=M\left(XY\ djathtas)-M\ majtas(X\djathtas)M\majtas(Y\djathtas)$. Pritshmëria matematikore e produktit të ndryshoreve të rastësishme $X,\Y$ është e barabartë me:
$$M\left(XY\djathtas)=\sum_(i,\ j)(p_(ij)x_iy_j)=0.1\cdot \left(-2\djathtas)\cdot \left(-6\djathtas) +0.2 \cdot \left(-2\djathtas)\cdot 3+0.05\cdot 1\cdot 3+0.1\cdot 7\cdot \left(-6\djathtas)+0.1\cdot 7\cdot 3=-1.95.$$
Pastaj $cov\left(X,\ Y\right)=M\majtas(XY\djathtas)-M\left(X\djathtas)M\left(Y\djathtas)=-1,95-1,05\cdot \majtas(- 0.45\right)=-1.4775.$ Nëse ndryshoret e rastësishme janë të pavarura, atëherë kovarianca e tyre është zero. Në rastin tonë, $cov(X,Y)\ne 0$.
Korrelacioni
Koeficienti i korrelacionit variablat e rastësishëm $X$ dhe $Y$ quhet numri:
$$\rho \majtas(X,\ Y\djathtas)=((cov\left(X,\ Y\djathtas))\over (\sqrt(D\majtas(X\djathtas)D\majtas(Y\djathtas )))).$$
Le të rendisim kryesoren vetitë e koeficientit të korrelacionit.
1 . $\rho \majtas(X,\ X\djathtas)=1$.
2 . $\rho \left(X,\ Y\djathtas)=\rho \majtas(Y,\ X\djathtas)$.
3 . $\rho \left(X,\ Y\right)=0$ për variablat e pavarura të rastësishme $X$ dhe $Y$.
4 . $\rho \left(aX+b,\ cY+d\djathtas)=(sgn \left(ac\right)\rho \left(X,\ Y\djathtas)\ )$, ku $(sgn \majtas( ac\right)\ )$ është shenja e produktit $ac$.
5 . $\majtas|\rho \left(X,\ Y\djathtas)\djathtas|\le 1$.
6 . $\majtas|\rho \majtas(X,\ Y\djathtas)\djathtas|=1\Shigjeta majtas djathtas Y=aX+b$.
Më parë u tha se koeficienti i korrelacionit $\rho \left(X,\ Y\djathtas)$ pasqyron shkallën e varësisë lineare midis dy ndryshoreve të rastësishme $X$ dhe $Y$.
Kur $\rho \left(X,\ Y\right)>0$ mund të konkludojmë se ndërsa ndryshorja e rastësishme $X$ rritet, ndryshorja e rastësishme $Y$ tenton të rritet. Kjo quhet pozitive varësia e korrelacionit. Për shembull, gjatësia dhe pesha e një personi janë të lidhura pozitivisht.
Kur $\rho \majtas(X,\ Y\djathtas)<0$ можно сделать вывод о том, что с ростом случайной величины $X$ случайная величина $Y$ имеет тенденцию к уменьшению. Это называется отрицательной корреляционной зависимостью. Например, температура и время сохранности продуктов питания связаны между собой отрицательной корреляционной зависимостью.
Kur $\rho \left(X,\ Y\right)=0$, variablat e rastësishëm $X$ dhe $Y$ quhen të pakorreluara. Vlen të theksohet se natyra e pakorreluar e variablave të rastësishëm $X$ dhe $Y$ nuk nënkupton pavarësinë e tyre statistikore, do të thotë vetëm se nuk ka lidhje lineare midis tyre.
Shembulli 2 . Le të përcaktojmë koeficientin e korrelacionit $\rho \left(X,\ Y\right)$ për variablin e rastësishëm dydimensional $\left(X,\ Y\right)$ nga Shembulli 1.
Koeficienti i korrelacionit të variablave të rastësishëm $X,\Y$ është i barabartë me $r_(XY) =(cov(X,Y)\mbi \sigma (X)\sigma (Y)) =(-1.4775\mbi 3.186\cdot 3.457) =-0.134.$ Meqenëse $r_(XY)<0$, то с ростом $X$ случайная величина $Y$ имеет тенденцию к уменьшению (отрицательная корреляционная зависимость).
