Përcaktimi i llojit të pikës së veçuar njëjës. Pika e vetme

Radhët Taylor shërbejnë mjete efektive për studimin e funksioneve analitike në një rreth zol Për studimin e funksioneve analitike në një fushë unazore, rezulton të jetë e mundur të ndërtohen zgjerime në fuqi pozitive dhe negative (z - zq) të formës që përgjithëson zgjerimet e Taylor. Seria (1), e kuptuar si shuma e dy serive, quhet seria Laurent. Është e qartë se rajoni i konvergjencës së serisë (1) është pjesë e përbashkët zonat e konvergjencës së secilës prej serive (2). Le ta gjejmë atë. Zona e konvergjencës së serisë së parë është një rreth, rrezja e të cilit përcaktohet nga formula Cauchy-Hadamard Brenda rrethit të konvergjencës, seria (3) konvergjon në një funksion analitik dhe në çdo rreth me rreze më të vogël, ajo konvergjon. absolutisht dhe uniformisht. Rreshti i dytë është seri fuqie në lidhje me një ndryshore, seria (5) konvergjon brenda rrethit të saj të konvergjencës në një funksion analitik të një ndryshoreje komplekse m-*oo, dhe në çdo rreth me rreze më të vogël konvergjon në mënyrë absolute dhe uniforme, që do të thotë se zona e konvergjencës e serisë (4) është pjesa e jashtme e rrethit - Nëse atëherë ekziston zona e përgjithshme konvergjenca e serive (3) dhe (4) - një unazë rrethore në të cilën seria (1) konvergon në një funksion analitik. Për më tepër, në çdo unazë, ajo konvergon absolutisht dhe në mënyrë uniforme. Shembulli 1. Përcaktoni rajonin e konvergjencës së Serisë Rad Laurent të izoluar pika njëjës dhe klasifikimi i tyre M Zona e konvergjencës së rreshtit të parë është pjesa e jashtme e rrethit, dhe zona e konvergjencës së rreshtit të dytë është pjesa e brendshme e rrethit. këtë seri konvergon në një cola"o Teorema 15. Çdo funksion f(z), me një vlerë të vetme dhe apolitik në një unazë rrethore mund të përfaqësohet në këtë unazë si shuma e një serie konvergjente, koeficientët Cn të së cilës përcaktohen dhe llogariten në mënyrë unike sipas tek formulat ku 7p është një rreth me rreze m Le të rregullojmë R brenda pikës arbitrare të unazës. Le të ndërtojmë rrathë me qendra në pikën r, rrezet e të cilave plotësojnë pabarazitë dhe të shqyrtojmë unazën e re Po teorema integrale Cauchy për një domen të lidhur shumëfishuar kemi Le të transformojmë veçmas secilin prej integraleve në shumën (8). Për të gjitha pikat £ përgjatë rrethit 7d*, marrëdhënia e shumës së serisë së njëtrajtshme konvergjente 1 1 plotësohet, prandaj, thyesa ^ mund të përfaqësohet në vi- / "/ Duke shumëzuar të dy pjesët me një funksion të vazhdueshëm (O dhe duke kryer. Integrimi term pas termi përgjatë rrethit, marrim se transformimin e integralit të dytë e kryejmë në një mënyrë paksa të ndryshme për të gjitha pikat £ në rrethin ir>, pra, fraksioni ^ mund të përfaqësohet si shuma e një serie uniforme konvergjente Duke shumëzuar të dy pjesët me një funksion të vazhdueshëm) dhe duke integruar termisht përgjatë rrethit 7/, marrim se integrandët në formulat (10) dhe (12) janë funksione analitike në një unazë rrethore. Prandaj, sipas teoremës së Cauchy, vlerat e integraleve përkatëse nuk do të ndryshojnë nëse rrathët 7/r dhe 7r/ i zëvendësojmë me ndonjë rreth, kjo na lejon të kombinojmë formulat (10) dhe (12), duke zëvendësuar integralet anën e djathtë të formulës (8) me shprehjet e tyre (9) dhe (11), përkatësisht, marrim zgjerimin e dëshiruar meqenëse z - pikë arbitrare unazë, atëherë vijon që seria (14) konvergjon në funksionin f(z) kudo në këtë unazë, dhe në çdo unazë seria konvergjon në këtë funksion absolutisht dhe në mënyrë të njëtrajtshme. Le të vërtetojmë tani se zbërthimi i formës (6) është unik. Le të supozojmë se ka një zgjerim më shumë. Pastaj kudo brenda unazës R do të kemi në rreth, seritë (15) konvergojnë në mënyrë të njëtrajtshme. Le të shumëzojmë të dy anët e barazisë (ku m është një numër i plotë fiks, dhe të integrojmë të dyja seritë term pas termi. Si rezultat, ne marrim në anën e majtë dhe në të djathtë - St. Kështu, (4, = St. Meqenëse m - numër arbitrar, atëherë barazia e fundit vërteton veçantinë e zbërthimit. Seria (6), koeficientët e së cilës llogariten duke përdorur formulat (7), quhet seria Laurent e funksionit f(z) në unazë Bashkësia e termave të kësaj serie me nr fuqitë negative quhet pjesa e saktë e serisë Laurent, dhe me ato negative - e saj Pjesa kryesore. Formulat (7) për koeficientët e serisë Laurent përdoren rrallë në praktikë, sepse, si rregull, ato kërkojnë llogaritje të rënda. Zakonisht, nëse është e mundur, përdoren zgjerime të gatshme Taylor funksionet elementare. Bazuar në veçantinë e dekompozimit, çdo metodë ligjore çon në të njëjtin rezultat. Shembulli 2. Konsideroni zgjerimet e serisë Laurent të funksionit fusha të ndryshme, duke pranuar Fuiscia /(g) ka dy pika njëjës: . Rrjedhimisht, ekzistojnë tre rajone unazore, me qendër në pikën r = 0. Në secilën prej tyre funksioni f(r) është analitik: a) një rreth është një unazë, pjesa e jashtme e një rrethi (Fig. 27). Le të gjejmë zgjerimet Laurent të funksionit /(z) në secilin prej këtyre rajoneve. Le të paraqesim /(z) si një shumë e thyesave elementare a) Rrethi Ne e transformojmë relacionin (16) si më poshtë progresion gjeometrik, marrim Zëvendësojmë zgjerimet e gjetura në formulën (17): Ky zgjerim është seria Taylor e funksionit /(z). b) Unaza për funksionin -r mbetet konvergjente në këtë unazë, pasi Seria (19) për funksionin j^j për |z| > 1 ndryshon. Prandaj, ne e transformojmë funksionin /(z) si më poshtë: përsëri duke aplikuar formulën (19), marrim se Kjo seri konvergjon për. Duke zëvendësuar zgjerimet (18) dhe (21) në relacionin (20), marrim c) Pjesa e jashtme e rrethit për funksionin -z për |z| > 2 divergjen, dhe seria (21) për funksionin- Le të paraqesim funksionin /(z) në formën e mëposhtme: /<*>Duke përdorur formulat (18) dhe (19), marrim OSE 1 Ky shembull tregon se për të njëjtin funksion f(z) zgjerimi Laurent, në përgjithësi, ka lloj te ndryshme për unaza të ndryshme. Shembulli 3. Gjeni zgjerimin e serisë së 8-të Laurent të një funksioni seri Laurent Pika të izoluara njëjës dhe klasifikimi i tyre në një fushë unazore A Ne përdorim paraqitjen e funksionit f(z) në formën e mëposhtme: dhe transformojmë termin e dytë duke përdorur formulën për shumën e termave të një progresion gjeometrik, marrim Duke zëvendësuar shprehjet e gjetura në formulën (22), kemi shembullin 4. Zgjero funksionin në serinë Laurent në pikën zq = 0. Për çdo kompleks kemi Vendos këtë zgjerimi është i vlefshëm për çdo pikë z Ф 0. Në në këtë rast rajoni unazor paraqet të gjithë rrafshin kompleks me një pikë të hedhur z - 0. Ky rajon mund të përcaktohet nga relacioni i mëposhtëm: Ky funksion është analitik në rajon Nga formula (13) për koeficientët e serisë Laurent, duke përdorur të njëjtën duke arsyetuar si në paragrafin e mëparshëm, mund të merren pabarazitë Kouiw. nëse funksioni f(z) është i kufizuar në një rreth, ku M është një konstante), atëherë pika njëjës të izoluar Pika zo quhet pikë njëjës e izoluar e funksionit f(z) nëse ka një fqinjësi unazore të pikës ( ky grup nganjëherë quhet lagje e shpuar e pikës 2o), për të cilën funksioni f(z) është unik dhe analitik. Në vetë pikën zo, funksioni është ose i papërcaktuar ose jo i paqartë dhe analitik. Në varësi të sjelljes së funksionit /(r) kur i afrohemi pikës zo, dallohen tre lloje pikash njëjës. Një pikë njëjës e izoluar thuhet se është: 1) e lëvizshme nëse ka një të fundme 2) pmusach nëse 3) një pikë në thelb njëjës nëse funksioni f(z) nuk ka kufi në Lloji i një pike të izoluar njëjës është i lidhur ngushtë me natyra e zgjerimit Laurent të funksionit nga qendra e shpuar e . Teorema 16. Një pikë njëjës e izoluar z0 e një funksioni f(z) është një pikë njëjës e lëvizshme nëse dhe vetëm nëse zgjerimi Laurent i funksionit f(z) në një fqinjësi të pikës zo nuk përmban një pjesë kryesore, d.m.th. ka formën Le të jetë zo pikë njëjës e lëvizshme. Pastaj ka një të fundme, pra, funksioni f(z) është i kufizuar në një fqinjësi prokologjike të pikës z. Ne vendosim në bazë të pabarazive të Cauchy-t Meqenëse p mund të zgjidhet të jetë arbitrarisht i vogël, atëherë të gjithë koeficientët me fuqi negative (z. - 20) janë të barabarta me zero: Anasjelltas, le të lëmë Laurent zgjerimi i funksionit /(r) në një fqinjësi të pikës zq përmban vetëm pjesën e saktë, domethënë ka formën (23) dhe, për rrjedhojë, është Taylor. Është e lehtë të shihet se për z -* z0 funksioni /(z) ka një vlerë kufi: Teorema 17. Një pikë njëjës e izoluar zq e funksionit f(z) është e lëvizshme nëse dhe vetëm nëse funksioni J(z) është kufizohet në ndonjë lagje të shpuar të pikës zq, Zgmechai jo. Le të jetë r një pikë njëjës e lëvizshme e funksionit /(r). Duke supozuar se marrim se funksioni /(r) është analitik në një rreth me qendër në pikën r. Kjo përcakton emrin e pikës - e lëvizshme. Teorema 18. Një pikë njëjës e izoluar zq e një funksioni f(z) është një pol nëse dhe vetëm nëse Pjesa kryesore Zgjerimi Laurent i funksionit f(z) në një fqinjësi të një pike përmban një numër të fundëm (dhe pozitiv) termash jozero, d.m.th., ai ka formën 4 Le të jetë z0 një pol. Që atëherë ekziston një lagje e shpuar e pikës z0 në të cilën funksioni f(z) është analitik dhe jozero. Pastaj në këtë lagje është përcaktuar funksioni analitik dhe për rrjedhojë, pika zq është një pikë njëjës e lëvizshme (zero) e funksionit ose ku h(z) është një funksion analitik, h(z0) Φ 0. Atëherë h(zo) Φ 0 është gjithashtu analitik, atëherë funksioni u është analitik në një fqinjësi të pikës zq, dhe për këtë arsye, nga ku marrim se Le të supozojmë tani se funksioni f(z) ka një zgjerim të formës (24) në një lagje të shpuar të pikës zо. Kjo do të thotë se në këtë lagje funksioni f(z) është analitik së bashku me funksionin. Për funksionin g(z) është i vlefshëm zgjerimi, nga i cili mund të shihet se zq është një pikë njëjës e lëvizshme e funksionit g(z) dhe ekziston atëherë funksioni në 0 tenton të jetë poli i funksionit është një tjetër fakt i thjeshtë. Pika Zq është një pol i funksionit f(z) nëse dhe vetëm nëse funksioni g(z) = уй mund të shtrihet në një funksion analitik në një fqinjësi të pikës zq duke vendosur g(z0) = 0. Rendi i polit të funksionit f(z) quhet rendi zero i funksionit jfa. Nga teorema 16 dhe 18 rrjedh deklaratën e mëposhtme. Teorema 19. Një pikë njëjës e izoluar është në thelb njëjës nëse dhe vetëm nëse pjesa kryesore e zgjerimit Laurent në një lagje të shpuar të kësaj pike përmban pafundësisht shumë terma jozero. Shembulli 5. Pika singulare e funksionit është zo = 0. Kemi pika njëjës të izoluar të Serisë Laurent dhe klasifikimin e tyre Prandaj, zo = O është një pikë njëjës e lëvizshme. Zgjerimi i funksionit /(z) në një seri Laurent në lagje pikë zero përmban vetëm pjesën e saktë: Shembulli 7. /(z) = Pika njëjës e funksionit f(z) është zq = 0. Le të shqyrtojmë sjelljen e këtij funksioni në boshtet reale dhe imagjinare: në bosht real në x 0, në boshtin imagjinar Prandaj, as të fundme as kufi i pafund f(z) nuk ekziston për z -* 0. Kjo do të thotë se pika r = 0 është një pikë në thelb njëjës e funksionit f(z). Le të gjejmë zgjerimin Laurent të funksionit f(z) në afërsi të pikës zero. Për çdo kompleks C kemi Set. Pastaj zgjerimi Laurent përmban demon numri përfundimtar termat me fuqi negative të z.

Modelet e përshkruara nga sistemet e dy autonome ekuacionet diferenciale.

Plani fazor. Portret fazor. Metoda Isoclin. Izoklinat kryesore. Qëndrueshmëria gjendje të qëndrueshme. Sistemet lineare. Llojet e pikave njëjës: nyje, shalë, fokus, qendër. Shembull: reaksionet kimike Porosia e pare.

Rezultatet më interesante në modelimin cilësor të vetive të sistemeve biologjike janë marrë duke përdorur modele të dy ekuacioneve diferenciale që lejojnë hulumtim cilësor duke përdorur metodën plani fazor. Konsideroni një sistem me dy ekuacione diferenciale të zakonshme autonome pamje e përgjithshme

(4.1)

P(x,y), Q(x,y)- funksionet e vazhdueshme, të përcaktuara në disa zona G rrafshi Euklidian ( x, y ‑ Koordinatat karteziane) dhe duke pasur në këtë rajon derivate të vazhdueshme të rendit jo më të ulët se i pari.

Rajon G mund të jetë ose i pakufizuar ose i kufizuar. Nëse variablat x, y kanë një kuptim specifik biologjik (përqendrimet e substancave, numri i specieve) më shpesh zona G paraqet kuadrantin pozitiv të gjysmërrafshit të djathtë:

0 £ x< ¥ ,0 £ y< ¥ .

Përqendrimet e substancave ose numri i specieve mund të kufizohen gjithashtu nga lart nga vëllimi i anijes ose zona e habitatit. Atëherë diapazoni i vlerave të variablave ka formën:

0 £ x< x 0 , 0 £ y< y 0 .

Variablat x, y ndryshimi në kohë në përputhje me sistemin e ekuacioneve (4.1), në mënyrë që çdo gjendje e sistemit të korrespondojë me një palë vlerash të ndryshueshme ( x, y).

Në të kundërt, çdo palë variablash ( x, y) korrespondon me një gjendje të caktuar të sistemit.

Konsideroni një rrafsh me boshte koordinative në të cilën janë paraqitur vlerat e variablave x, y. Çdo pikë M ky plan i përgjigjet një gjendje të caktuar të sistemit. Ky rrafsh quhet plan fazor dhe paraqet tërësinë e të gjitha gjendjeve të sistemit. Pika M(x,y) quhet pika përfaqësuese ose përfaqësuese.

Lere brenda momenti i fillimit koha t=t 0 koordinatat e pikës përfaqësuese M 0 (x(t 0), y(t 0)). Në çdo moment tjetër në kohë t pika përfaqësuese do të zhvendoset në përputhje me ndryshimet në vlerat e variablave x(t), y(t). Mbledhja e pikëve M(x(t), y(t)) në planin fazor, pozicioni i të cilit korrespondon me gjendjet e sistemit në procesin e ndryshimit të variablave me kalimin e kohës x(t), y(t) sipas ekuacioneve (4.1), quhet trajektorja e fazës.

Tërësia trajektoret fazore për vlera të ndryshme fillestare të variablave jep një "portret" lehtësisht të dukshëm të sistemit. Ndërtimi portret fazor ju lejon të nxirrni përfundime në lidhje me natyrën e ndryshimeve në variabla x, y pa njohuri zgjidhje analitike sistemi origjinal i ekuacioneve(4.1).

Për të përshkruar një portret fazor, është e nevojshme të ndërtohet një fushë vektoriale e drejtimeve të trajektoreve të sistemit në secilën pikë të planit fazor. Vendosja e rritjesD t>0,marrim rritjet përkatëse D x Dhe D y nga shprehjet:

D x=P(x,y)D t,

D y=Q(x,y)D t.

Drejtimi i vektorit dy/dx ne pike ( x, y) varet nga shenja e funksioneve P(x, y), Q(x, y) dhe mund të jepet nga një tabelë:

.(4.2)

Zgjidhja e këtij ekuacioni y = y(x, c), ose në mënyrë implicite F(x, y)=c, Ku Me– konstanta e integrimit, jep familjen e kurbave integrale të ekuacionit (4.2) - trajektoret fazore sistemi (4.1) në aeroplan x, y.

Metoda e izoklinës

Për të ndërtuar një portret fazor ata përdorin metoda izoklinike - vizatohen në rrafshin fazor që kryqëzojnë kthesat integrale në një kënd të caktuar. Ekuacioni i izoklinës mund të merret lehtësisht nga (4.2). Le të vendosim

Ku A– një vlerë të caktuar konstante. Kuptimi A përfaqëson tangjentën e këndit të prirjes së tangjentes në trajektoren e fazës dhe mund të marrë vlera nga -¥ te + ¥ . Zëvendësimi në vend dy/dx në (4.2) sasinë A marrim ekuacionin e izoklinës:

.(4.3)

Ekuacioni (4.3) përcakton në secilën pikë të planit një tangjente unike me lakoren integrale përkatëse, me përjashtim të pikës ku P(x,y)= 0, Q (x, y) = 0 , në të cilën drejtimi i tangjentës bëhet i pasigurt, pasi vlera e derivatit bëhet e pasigurt:

.

Kjo pikë është pika e kryqëzimit të të gjitha izoklinave - pikë e veçantë. Në të, derivatet kohore të variablave zhduken njëkohësisht x Dhe y.

Kështu, në një pikë të vetme, ritmet e ndryshimit të variablave janë zero. Rrjedhimisht, pika singulare e ekuacioneve diferenciale të trajektoreve fazore (4.2) korrespondon me gjendje stacionare e sistemit(4.1), dhe koordinatat e tij janë vlerat stacionare të variablave x, y.

Me interes të veçantë janë izoklinat kryesore:

dy/dx=0, P(x, y)=0 – izoklina e tangjentave horizontale dhe

dy/dx=¥ , P(x, y)=0 – izoklina e tangjentave vertikale.

Duke ndërtuar izoklinat kryesore dhe duke gjetur pikën e kryqëzimit të tyre (x,y), koordinatat e të cilave plotësojnë kushtet:

Në këtë mënyrë do të gjejmë pikën e kryqëzimit të të gjitha izoklinave të rrafshit fazor, në të cilin drejtimi i tangjentave në trajektoret e fazës është i pasigurt. kjo - pikë njëjës, që korrespondon gjendje stacionare e sistemit(Fig. 4.2).

Sistemi (4.1) ka aq gjendje stacionare sa ka pika kryqëzimi të izoklinave kryesore në rrafshin fazor.

Çdo trajektore fazore korrespondon me një grup lëvizjesh të një sistemi dinamik, që kalon nëpër të njëjtat gjendje dhe ndryshon nga njëra-tjetra vetëm në fillim të numërimit të kohës.

Nëse kushtet e teoremës së Cauchy-së plotësohen, atëherë përmes çdo pike në hapësirë x, y, t ekziston vetëm një kurbë integrale. E njëjta gjë është e vërtetë, për shkak të autonomisë, për trajektoret fazore: një trajektore njëfazore kalon nëpër secilën pikë të planit fazor.

Stabiliteti i gjendjes së qëndrueshme

Le të jetë sistemi në një gjendje ekuilibri.

Atëherë pika e përfaqësimit ndodhet në një nga pikat singulare të sistemit, në të cilën, sipas përkufizimit:

.

Nëse një pikë e vetme është apo jo e qëndrueshme përcaktohet nga fakti nëse pika që përfaqëson largohet ose jo me një devijim të vogël nga gjendja e palëvizshme. Në lidhje me një sistem prej dy ekuacionesh, përkufizimi i qëndrueshmërisë në gjuhëe, dsi në vazhdim.

Gjendja e ekuilibrit është e qëndrueshme nëse për ndonjë varg të caktuar devijimesh nga gjendja e ekuilibrit (e )ju mund të specifikoni zonën d (e ), që rrethon gjendjen e ekuilibrit dhe ka vetinë që nuk ka trajektore që fillon brenda rajonit d , nuk do të arrijë kurrë në kufi e . (Fig. 4.4)

Për një klasë të madhe sistemesh - sisteme të përafërta – natyra e sjelljes së të cilit nuk ndryshon me një ndryshim të vogël në formën e ekuacioneve, informacioni për llojin e sjelljes në afërsi të një gjendjeje të palëvizshme mund të merret duke ekzaminuar jo origjinalin, por një të thjeshtuar. linearizuar sistemi.

Sistemet lineare.

Le të shqyrtojmë një sistem prej dy ekuacionet lineare:

.(4.4)

Këtu a, b, c, d- konstante, x, y- Koordinatat karteziane në rrafshin fazor.

Ne do të kërkojmë një zgjidhje të përgjithshme në formën:

.(4.5)

Le t'i zëvendësojmë këto shprehje në (4.4) dhe t'i zvogëlojmë me e l t:

(4.6)

Sistemi algjebrik i ekuacioneve (4.6) me të panjohura A, B ka një zgjidhje jo zero vetëm nëse përcaktorja e saj, e përbërë nga koeficientët për të panjohurat, është e barabartë me zero:

.

Duke e zgjeruar këtë përcaktor, marrim ekuacionin karakteristik të sistemit:

.(4.7)

Zgjidhja e këtij ekuacioni jep vlerat e eksponentitl 1,2 , për të cilat janë të mundshme vlera jo zero A Dhe B zgjidhjet e ekuacionit (4.6). Këto kuptime janë

.(4.8)

Nëse shprehja radikale është negative, atëherël 1,2 numrat kompleks të konjuguar. Le të supozojmë se të dyja rrënjët e ekuacionit (4.7) kanë pjesë reale jozero dhe se nuk ka rrënjë të shumëfishta. Atëherë zgjidhja e përgjithshme e sistemit (4.4) mund të paraqitet si një kombinim linear i eksponencialeve me eksponentël 1 , l 2 :

(4.9)

Për të analizuar natyrën e trajektoreve të mundshme të sistemit në planin fazor, ne përdorim transformimi linear i koordinatave homogjene, e cila do ta çojë sistemin në forma kanonike:

,(4.10)

duke lejuar një paraqitje më të përshtatshme në planin fazor në krahasim me sistemin origjinal (4.4). Le të prezantojmë koordinatat e rejaξ , η sipas formulave:

(4.1)

Nga rrjedha e algjebrës lineare dihet se në rastin e mosbarazimit të zero pjesët realel 1 , l 2 sistemi origjinal (4.4) gjithmonë mund të transformohet duke përdorur transformimet (4.11) në formën kanonike (4.10) dhe sjellja e tij në planin fazor mund të studiohetξ , η . Le të shqyrtojmë rastet e ndryshme që mund të paraqiten këtu.

Rrënjët λ 1 , λ 2 – të vlefshme dhe të së njëjtës shenjë

Në këtë rast koeficientët e transformimit janë real, lëvizim nga rrafshi realx, ynë rrafshin real ξ, η. Duke pjesëtuar të dytën e ekuacioneve (4.10) me të parën, marrim:

.(4.12)

Duke integruar këtë ekuacion, gjejmë:

Ku .(4.13)

Le të biem dakord të kuptojmë nga λ 2 rrënja e ekuacionit karakteristik me një modul të madh, i cili nuk cenon përgjithësinë e arsyetimit tonë. Pastaj, meqenëse në rastin në shqyrtim rrënjët λ 1 , λ 2 - të vlefshme dhe të së njëjtës shenjë,a>1 , dhe kemi të bëjmë me kurba integrale të tipit parabolik.

Të gjitha kthesat integrale (përveç boshtit η , që korrespondon me ) prekje në origjinën e boshtit ξ, që është edhe kurba integrale e ekuacionit (4.11). Origjina e koordinatave është një pikë e veçantë.

Le të zbulojmë tani drejtimin e lëvizjes së pikës përfaqësuese përgjatë trajektoreve të fazës. Nëse λ 1, λ 2 janë negative, atëherë, siç shihet nga ekuacionet (4.10), |ξ|, |η| zvogëlohet me kalimin e kohës. Pika përfaqësuese i afrohet origjinës së koordinatave, por kurrë nuk e arrin atë. Përndryshe, kjo do të kundërshtonte teoremën e Cauchy-t, e cila thotë se vetëm një trajektore fazore kalon nëpër secilën pikë të planit fazor.

Një pikë kaq e veçantë nëpër të cilën kalojnë kthesat integrale, ashtu si një familje parabolash kalon përmes origjinës dhe quhet nyje (Fig. 4.5)

Gjendja ekuilibër e tipit të nyjës në λ 1, λ 2 < 0 është Lyapunov i qëndrueshëm, pasi pika përfaqësuese lëviz përgjatë të gjitha kthesave integrale drejt origjinës së koordinatave. Kjo nyjë e qëndrueshme. Nëse λ 1, λ 2 > 0, atëherë |ξ|, |η| rritet me kalimin e kohës dhe pika përfaqësuese largohet nga origjina e koordinatave. Në këtë rast, pika e veçantë– nyje e paqëndrueshme .

Në planin fazor x, y natyra e përgjithshme cilësore e sjelljes së kurbave integrale do të ruhet, por tangjentet ndaj kurbave integrale nuk do të përkojnë me boshtet koordinative. Këndi i prirjes së këtyre tangjentave do të përcaktohet nga raporti i koeficientëve α , β , γ , δ në ekuacionet (4.11).

Rrënjët λ 1 , λ 2 – janë të vlefshme dhe me shenja të ndryshme.

Konverto nga koordinatat x, y te koordinatat ξ, η përsëri e vërtetë. Ekuacionet për ndryshoret kanonike përsëri kanë formën (4.10), por tani shenjat e λ 1, λ 2 janë të ndryshme. Ekuacioni i trajektoreve fazore ka formën:

Ku, (4.14)

Duke integruar (4.14), gjejmë

(4.15)

Kjo ekuacioni përcakton një familje kurbash të tipit hiperbolik, ku të dy boshtet koordinative- asimptota (në a=1 do të kishim një familje hiperbolash barabrinjës). Boshtet e koordinatave në këtë rast janë gjithashtu kurba integrale– këto do të jenë të vetmet kthesa integrale që kalojnë përmes origjinës. Seciliprej të cilave përbëhet nga tre trajektore fazore: të dy lëvizjeve në një gjendje ekuilibri (ose nga një gjendje ekuilibri) dhe nga një gjendje ekuilibri. Të gjitha kthesat e tjera integrale– janë hiperbola që nuk kalojnë nga origjina e koordinatave (Fig. 4.6) Kjo pikë e veçantë quhet "shalë ». Linjat e nivelit pranë një shale mali sillen në mënyrë të ngjashme me trajektoret e fazës në afërsi të një shale.

Le të shqyrtojmë natyrën e lëvizjes së pikës përfaqësuese përgjatë trajektoreve fazore pranë gjendjes së ekuilibrit. Le, për shembull,λ 1 >0 , λ 2<0 . Pastaj pika përfaqësuese vendoset në bosht ξ , do të largohet nga origjina dhe do të vendoset në bosht η – do t'i afrohet origjinës pa kufi, pa e arritur atë në një kohë të fundme. Kudo ku pika e përfaqësimit është në momentin fillestar (me përjashtim të pikës njëjës dhe pikave në asimptotë η =0), ai përfundimisht do të largohet nga gjendja e ekuilibrit, edhe nëse fillimisht lëviz përgjatë një prej kthesave integrale drejt një pike të vetme.

Është e qartë se një pikë e vetme si një shalë është gjithmonë e paqëndrueshme . Vetëm në kushte fillestare të zgjedhura posaçërisht në asimptotëη =0 sistemi do t'i afrohet një gjendje ekuilibri. Megjithatë, kjo nuk bie ndesh me deklaratën për paqëndrueshmërinë e sistemit. Nëse numërojmë, që të gjitha gjendjet fillestare të sistemit në planin e fazës janë njësoj të mundshme, atëherë probabiliteti i një gjendje të tillë fillestare që korrespondon me lëvizjen në drejtim për të pika njëjës është e barabartë me zero. Prandaj, çdo lëvizje reale do ta largojë sistemin nga gjendja e ekuilibrit.Duke u kthyer te koordinatatx, y,do të përftojmë të njëjtën pamje cilësore të natyrës së lëvizjes së trajektoreve rreth origjinës së koordinatave.

Kufiri midis rasteve të konsideruara të një nyje dhe një shale është rasti Kur një nga treguesit karakteristik, për shembull λ 1 , zhduket, gjë që ndodh kur përcaktori i sistemit- shprehje ad-bc=0(shih formulën 4.8 ). Në këtë rast, koeficientët e anëve të djathtë të ekuacioneve (4.4) janë proporcionale me njëri-tjetrin.:

dhe sistemi ka gjendjet e tij të ekuilibrit në të gjitha pikat e vijës:

Kurbat integrale të mbetura janë një familje e drejtëzave paralele me një koeficient këndor , përgjatë së cilës pikat përfaqësuese ose i afrohen gjendjes së ekuilibrit ose largohen prej saj, në varësi të shenjës së rrënjës së dytë të ekuacionit karakteristik λ. 2 = a+d.(Fig.4. 7 ) Në këtë rast, koordinatat e gjendjes së ekuilibrit varen nga vlera fillestare e variablave.

Rrënjët λ 1 , λ 2 – kompleksekonjuguar

Në këtë rast, me të vërtetëx Dhe y ne do kanë konjugate komplekse ξ , η (4.10) . Megjithatë, duke futur një tjetër transformim të ndërmjetëm, është gjithashtu e mundur që në këtë rast të reduktohet konsiderata në një transformim real linear homogjen. Le të vendosim:

(4.16)

Ku a,b, Dhe u,v – vlerat aktuale. Mund të tregohet se transformimi ngax, y për të u,v është, sipas supozimeve tona, reale, lineare, homogjene me një përcaktor të ndryshëm nga zero. Në bazë të ekuacioneve(4.10, 4.16) kemi:

ku

(4.17)

Pjesëtimi i të dytit të ekuacioneve me të parin, marrim:

e cila është më e lehtë për t'u integruar, nëse shkojmë në sistemin e koordinatave polar (r, φ ) . Pas zëvendësimit marrim prej nga:

.(4.18)

Kështu, në planin fazoru, vkemi të bëjmë me një familje spiralesh logaritmike, secila prej të cilave kapikë asimptotike në origjinë.Një pikë njëjës, e cila është pika asimptotike e të gjitha kthesave integrale që kanë formën e spirales, folezuar në secilinmik, quhet fokusi ( Fig.4.8 ) .

Le të shqyrtojmë natyrën e lëvizjes së pikës përfaqësuese përgjatë trajektoreve fazore. Duke shumëzuar të parin e ekuacioneve (4.17) meu, dhe e dyta në v dhe duke shtuar, marrim:

Ku

Le a 1 < 0 (a 1 = Reλ ) . Pika e përfaqësimit pastaj i afrohet vazhdimisht origjinës së koordinatave pa e arritur atë në një kohë të fundme. Kjo do të thotë që trajektoret e fazës janë spirale të përdredhura dhe korrespondojnë me lëkundjet e lagura variablave. kjo - fokus i qëndrueshëm .

Në rastin e një fokusi të qëndrueshëm, si në rastin e një nyje të qëndrueshme, jo vetëm gjendja e Lyapunov është e kënaqur, por edhe një kërkesë më e rreptë. Përkatësisht, për çdo devijim fillestar, sistemi, me kalimin e kohës, do të kthehet sa më afër pozicionit të ekuilibrit. Një stabilitet i tillë, në të cilin devijimet fillestare jo vetëm që nuk rriten, por prishen, duke u prirur në zero, quhet stabilitet absolut .

Nëse në formulë (4.18) a 1 >0 , atëherë pika përfaqësuese largohet nga origjina dhe kemi të bëjmë me të fokus i paqëndrueshëm . Kur lëvizni nga një aeroplanu,vnë planin fazorx, yspiralet do të mbeten gjithashtu spirale, por do të deformohen.

Le të shqyrtojmë tani rastin kura 1 =0 . Trajektoret e fazave në aeroplanu, vdo të ketë rrathë e cila në aeroplanx, ykorrespondojnë me elipset:

Kështu, kura 1=0 përmes një pike të veçantëx= 0, y= 0 asnjë kurbë integrale nuk kalon. Një pikë e tillë njëjës e izoluar, pranë së cilës kthesat integrale janë kthesa të mbyllura, në veçanti, elipsat e ngulitura në njëra-tjetrën dhe që mbyllin pikën njëjës, quhet qendër.

Kështu, gjashtë lloje të gjendjeve të ekuilibrit janë të mundshme, në varësi të natyrës së rrënjëve të ekuacionit karakteristik (4.7). Pamje e trajektoreve fazore në një aeroplan x, y për këto gjashtë raste është paraqitur në Fig. 4.9.

Oriz. 4.9.Llojet e portreteve fazore në afërsi të një gjendjeje të palëvizshme për një sistem ekuacionesh lineare (4.4).

Pesë llojet e gjendjeve të ekuilibrit janë të përafërt, karakteri i tyre nuk ndryshon me ndryshime mjaft të vogla në anën e djathtë të ekuacioneve (4.4). Në këtë rast, ndryshimet jo vetëm në anët e djathta, por edhe në derivatet e tyre të rendit të parë duhet të jenë të vogla. Gjendja e gjashtë e ekuilibrit - qendra - nuk është e ashpër. Me ndryshime të vogla në parametrat e anës së djathtë të ekuacioneve, ai bëhet një fokus i qëndrueshëm ose i paqëndrueshëm.

Diagrami i bifurkacionit

Le të prezantojmë shënimin e mëposhtëm:

. (4.11)

Atëherë ekuacioni karakteristik do të shkruhet si:

. (4.12)

Konsideroni një plan me koordinata karteziane drejtkëndëshe s , D dhe shënoni mbi të zonat që korrespondojnë me një ose një lloj tjetër të gjendjes së ekuilibrit, i cili përcaktohet nga natyra e rrënjëve të ekuacionit karakteristik

.(4.13)

Kusht për qëndrueshmërinë e gjendjes së ekuilibrit do të jetë prania e një pjese reale negative të yl 1 dhe l 2 . Kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm për këtë është plotësimi i pabarazives > 0, D > 0 . Në diagramin (4.15), kjo gjendje korrespondon me pikat e vendosura në tremujorin e parë të planit të parametrave. Një pikë e vetme do të jetë një fokus nësel 1 dhe l 2 komplekse. Ky kusht korrespondon me ato pika të rrafshit për të cilat , ato. pika midis dy degëve të një paraboles 2 = 4 D. Pikat e boshtit s = 0, D>0, korrespondojnë me gjendjet e ekuilibrit të tipit qendror. Po kështu,l 1 dhe l 2 - janë të vlefshme, por me shenja të ndryshme, d.m.th. një pikë njëjës do të jetë një shalë nëse D<0, etj. Si rezultat, ne do të marrim një diagram të ndarjes së planit të parametrave s, D, në zonat që korrespondojnë me lloje të ndryshme të gjendjeve të ekuilibrit.

Oriz. 4.10. Diagrami i bifurkacionit

për një sistem ekuacionesh lineare 4.4

Nëse koeficientët e sistemit linear a, b, c, d varen nga një parametër i caktuar, atëherë kur ky parametër të ndryshojë, vlerat gjithashtu do të ndryshojnës , D . Kur kalon kufijtë, karakteri i portretit fazor ndryshon cilësisht. Prandaj, kufijtë e tillë quhen kufij bifurkacioni - në anët e kundërta të kufirit, sistemi ka dy portrete fazore topologjikisht të ndryshme dhe, në përputhje me rrethanat, dy lloje të ndryshme të sjelljes.

Diagrami tregon se si mund të ndodhin ndryshime të tilla. Nëse përjashtojmë raste të veçanta - origjinën e koordinatave - atëherë është e lehtë të shihet se shala mund të shndërrohet në një nyje, të qëndrueshme ose të paqëndrueshme kur kalon boshtin e ordinatave. Një nyjë e qëndrueshme mund të shkojë ose në një shalë ose në një fokus të qëndrueshëm, etj. Vini re se nyja e qëndrueshme e tranzicionit - fokusi i qëndrueshëm dhe nyja e paqëndrueshme - fokusi i paqëndrueshëm nuk janë bifurkacione, pasi topologjia e hapësirës së fazës nuk ndryshon. Ne do të flasim më shumë për topologjinë e hapësirës fazore dhe tranzicionet e bifurkacionit në Leksionin 6.

Gjatë tranzicioneve të bifurkacionit, natyra e qëndrueshmërisë së një pike njëjës ndryshon. Për shembull, një fokus i qëndrueshëm përmes qendrës mund të kthehet në një fokus të paqëndrueshëm. Ky bifurkacion quhet Bifurkacioni Andronov-Hopf me emrat e shkencëtarëve që e studiuan atë. Gjatë këtij bifurkacioni në sistemet jolineare, lind një cikël kufi, dhe sistemi bëhet vetëlëkundës (shih Leksionin 8).

Shembull. Sistemi linear i reaksionit kimik

Substanca X rrjedh nga jashtë me shpejtësi konstante, shndërrohet në substancë Y dhe me shpejtësi proporcionale me përqendrimin e substancës Y, hiqet nga sfera e reaksionit. Të gjitha reaksionet janë të rendit të parë, me përjashtim të fluksit të substancës nga jashtë, i cili është i rendit zero. Skema e reagimit duket si kjo:

(4.14)

dhe përshkruhet nga sistemi i ekuacioneve:

(4.15)

Ne marrim përqendrime të palëvizshme duke barazuar anët e djathta me zero:

.(4.16)

Le të shqyrtojmë portretin fazor të sistemit. Le të ndajmë ekuacionin e dytë të sistemit (4.16) me të parin. Ne marrim:

.(4.17)

Ekuacioni (4.17) përcakton sjelljen e variablave në planin fazor. Le të ndërtojmë një portret fazor të këtij sistemi. Së pari, le të vizatojmë izoklinat kryesore në planin fazor. Ekuacioni i izoklinës së tangjentave vertikale:

Ekuacioni i izoklinës së tangjentave horizontale:

Pika e vetme (gjendja e palëvizshme) shtrihet në kryqëzimin e izoklinave kryesore.

Tani le të përcaktojmë se në çfarë këndi kryqëzohen boshtet e koordinatave me kthesat integrale.

Nëse x= 0, pastaj.

Kështu, tangjentja e tangjentës në kthesat integrale y=y(x), duke prerë boshtin e ordinatave x=0, është negativ në gjysmë-rrafshin e sipërm (kujtoni se variablat x, y kanë vlera përqendrimi, dhe për këtë arsye ne jemi të interesuar vetëm për kuadrantin e sipërm të djathtë të planit fazor). Në këtë rast, tangjentja e këndit tangjent rritet me distancën nga origjina.

Konsideroni boshtin y= 0. Në pikën ku ky bosht kryqëzon kthesat integrale, ato përshkruhen nga ekuacioni

Në tangjentja e pjerrësisë së kthesave integrale që kalojnë boshtin e abshisave është pozitive dhe rritet nga zero në pafundësi me rritjen x.

Në .

Pastaj, me një rritje të mëtejshme, tangjentja e këndit të prirjes zvogëlohet në vlerë absolute, duke mbetur negative dhe tenton në -1 në x ® ¥ . Duke ditur drejtimin e tangjentave në kthesat integrale në izoklinat kryesore dhe në boshtet koordinative, është e lehtë të ndërtohet e gjithë tabloja e trajektoreve fazore.

Le të përcaktojmë natyrën e qëndrueshmërisë së pikës njëjës duke përdorur metodën Lyapunov. Përcaktori karakteristik i sistemit ka formën:

.

Duke zgjeruar përcaktorin, marrim ekuacionin karakteristik të sistemit: , d.m.th. Rrënjët e ekuacionit karakteristik janë të dyja negative. Rrjedhimisht, gjendja e palëvizshme e sistemit është një nyje e qëndrueshme. Në këtë rast, përqendrimi i substancës X priret në një gjendje të palëvizshme gjithmonë në mënyrë monotone, përqendrimi i substancës Y mund të kalojë në min ose max. Mënyrat osciluese janë të pamundura në një sistem të tillë.

Konceptet dhe përkufizimet bazë:

Zero e funksionit analitik f(z) është pika “a” për të cilën f(a)=0.

Një zero e rendit "n" e një funksioni f(z) është një pikë "a" nëse fn(a)¹0.

Një pikë njëjës "a" quhet një pikë njëjës e izoluar e një funksioni f(z) nëse ka një fqinjësi të kësaj pike në të cilën nuk ka pika njëjës përveç "a".

Ekzistojnë tre lloje pikash të veçuara njëjës: .

1 pikë njëjës të lëvizshme;

3 pika në thelb njëjës.

Lloji i pikës njëjës mund të përcaktohet në bazë të sjelljes së një funksioni të caktuar në pikën e gjetur njëjës, si dhe nga forma e serisë Laurent të marrë për funksionin në fqinjësi të pikës së gjetur njëjës.

Përcaktimi i llojit të një pike njëjës nga sjellja e funksionit në të.

1. Pika singulare të lëvizshme.

Një pikë e izoluar njëjës a e një funksioni f(z) quhet e lëvizshme nëse ka një kufi të fundëm.

2.Polakët.

Një pikë e izoluar njëjës a e një funksioni f(z) quhet pol nëse .

3. Pika në thelb njëjës.

Një pikë e izoluar njëjës a e një funksioni f(z) quhet pikë thelbësisht njëjës nëse nuk ekziston as e fundme as e pafundme.

Lidhja e mëposhtme ekziston midis zerove dhe poleve të funksionit.

Në mënyrë që pika a të jetë një pol i rendit n të funksionit f(Z), është e nevojshme dhe e mjaftueshme që kjo pikë të jetë një zero e rendit n për funksionin .

Nëse n=1 poli quhet i thjeshtë.

Përkufizimi: Një pikë e izoluar njëjës e natyrës së paqartë quhet:

a) i lëvizshëm nëse mungon pjesa kryesore e dekompozimit;

b) një shtyllë, nëse pjesa kryesore përmban një numër të kufizuar termash;

c) një pikë në thelb njëjës nëse pjesa kryesore përmban numër i pafund anëtarët.

a) Kështu, në afërsi të një pike njëjës të lëvizshme, zgjerimi ka formën:

ai shpreh funksionin në të gjitha pikat e rrethit |z-a|

Në qendër z=a barazia nuk është e vërtetë, sepse funksioni në z=a ka një ndërprerje, dhe ana e djathtë është e vazhdueshme. Nëse vlera e funksionit në qendër ndryshohet, duke e marrë atë të barabartë me vlerën e anës së djathtë, atëherë hendeku do të eliminohet - pra emri - i lëvizshëm.

b) Në afërsi të një poli të rendit m, zgjerimi i serisë Laurent ka formën:

c) Në afërsi të një shtylle të thjeshtë

Zbritjet dhe formulat për llogaritjen e tyre.

Mbetja e një funksioni analitik f(z) në një pikë njëjës të izoluar z 0 është një numër kompleks i barabartë me vlerën e integralit , marrë në drejtim pozitiv përgjatë rrethit L me qendër në pikën z 0 që shtrihet në domenin e analiticitetit të funksionit f(z) (d.m.th. në unazën 0<|z-z0|

Mbetja e funksionit f(z) në një pikë të izoluar njëjës z 0 shënohet me simbolin Res f(z 0) ose Res (f(z); z 0). Kështu,

Res f(z 0)= . (22.15.1)

Nëse vendosim n=-1 në formulën (22.15.1), marrim:

C -1 =

ose Res f(z 0)= C -1,

ato. mbetja e funksionit f(z) në lidhje me pikën njëjës z 0 është e barabartë me koeficientin e termit të parë me një eksponent negativ në zgjerimin e funksionit f(z) në serinë Laurent.

Llogaritja e zbritjeve.

Pika singulare të rregullta ose të lëvizshme. Natyrisht, nëse z=z 0 është një pikë njëjës e rregullt ose e lëvizshme e funksionit f(z), atëherë Res f(z 0)=0 (zgjerimit Laurent në këto raste i mungon pjesa kryesore, pra c-1=0) .

Pol. Le të jetë pika z 0 një pol i thjeshtë i funksionit f(z). Atëherë seria Laurent për funksionin f(z) në afërsi të pikës z 0 ka formën:

Nga këtu

Prandaj, duke kaluar në këtë barazi në kufirin në z --z 0, marrim

Res f(z0)=

Në thelb një pikë e veçantë. Nëse pika z 0 është një pikë në thelb njëjës e funksionit f(z), atëherë për të llogaritur mbetjen e funksionit në këtë pikë, zakonisht përcaktohet drejtpërdrejt koeficienti c-1 në zgjerimin e serisë Laurent të funksionit.

Klasifikimi i ngjarjeve. Shuma, prodhimi i ngjarjeve, vetitë e tyre, paraqitja grafike.

Ngjarjet ndahen në:

1. E rastësishme

2. I besueshëm

3. E pamundur

E besueshme është një ngjarje që ndodh domosdoshmërisht në kushte të caktuara (nata pason mëngjesin).

Një ngjarje e rastësishme është një ngjarje që mund të ndodhë ose jo (kalimi i një provimi).

Një ngjarje e pamundur është një ngjarje që nuk do të ndodhë në kushte të caktuara (marrja e një lapsi jeshil nga një kuti me vetëm të kuq).

Pika e vetme

në matematikë.

1) Një pikë njëjës e një kurbë të përcaktuar nga ekuacioni F ( x, y) = 0, - pika M 0 ( x 0, y 0), në të cilin të dy derivatet e pjesshëm të funksionit F ( x, y) shkoni në zero:

Nëse jo të gjithë derivatet e dytë të pjesshëm të funksionit F ( x, y) në pikën M 0 janë të barabarta me zero, atëherë O. t quhet dyfish. Nëse, së bashku me derivatet e parë që zhduken në pikën M0, zhduken të gjitha derivatet e dyta, por jo të gjitha derivatet e treta, atëherë ekuacioni quhet i trefishtë, etj. Kur studioni strukturën e një kurbë pranë një O.t të dyfishtë, shenja e shprehjes luan një rol të rëndësishëm

Nëse Δ > 0, atëherë qarku i hapur quhet i izoluar; për shembull, në kurbë y 2 - x 4 + 4x 2= 0 origjina e koordinatave është një O. t izoluar (shih. oriz. 1 ). Nëse Δ x 2 + y 2 + a 2) 2 - 4a 2 x 2 - a 4= 0 origjina e koordinatave është nyja O. t (shih. oriz. 2 ). Nëse Δ = 0, atëherë pika e përgjithshme e lakores ose është e izoluar ose karakterizohet nga fakti se degë të ndryshme të lakores kanë një tangjente të përbashkët në këtë pikë, për shembull: a) pika kufitare e llojit të parë - degë të ndryshme të kurba janë të vendosura në anët e kundërta të tangjentes së përbashkët dhe formojnë një pikë, si një kurbë y 2 - x 3= 0 (shih oriz. 3 , a); b) pika maja e llojit të dytë - degë të ndryshme të kurbës janë të vendosura në njërën anë të tangjentës së përbashkët, si një kurbë (y - x 2)2 - x 5= 0 (shih oriz. 3 , b); c) pikë e vetë-prekjes (për një kurbë y 2 - x 4 oriz. 3 = 0 origjina është pika e vetë-prekjes; (cm. , V). Së bashku me O. t e treguara ka edhe shumë O. t. për shembull, pika asimptotike është kulmi i një spirale me një numër të pafund kthesash (shih. oriz. 4

), pika e përfundimit, pika e këndit, etj.

2) Një pikë singulare e një ekuacioni diferencial është pika në të cilën si numëruesi ashtu edhe emëruesi i anës së djathtë të ekuacionit diferencial zhduken njëkohësisht (Shih ekuacionet diferenciale)

ku P dhe Q janë funksione vazhdimisht të diferencueshme. Duke supozuar se O.t ndodhet në origjinën e koordinatave dhe duke përdorur formulën Taylor (Shih formulën Taylor), ne mund të paraqesim ekuacionin (1) në formën. x, y ku P 1 ( x, y) dhe Q 1 (

) - pafundësisht i vogël në lidhje me Domethënë, nëse λ 1 ≠ λ 2 dhe λ 1 λ 2 > 0 ose λ 1 = λ 2, atëherë O. t është një nyje; të gjitha kthesat integrale që kalojnë nëpër pika të një lagjeje mjaft të vogël të një nyje hyjnë në të. Nëse λ 1 ≠ λ 2 dhe λ 1 λ 2 i β, α ≠ 0 dhe β ≠ 0, atëherë pika e përgjithshme është një fokus; të gjitha kthesat integrale që kalojnë nëpër pika në një lagje mjaftueshëm të vogël të fokusit paraqesin spirale me një numër të pafund kthesash në çdo lagje arbitrare të vogël të fokusit. Nëse, më në fund, λ 1,2 = ± i β, β ≠ 0, atëherë karakteri i O. t nuk përcaktohet vetëm me terma linearë në zgjerimet e P (. x, y x, y), siç ishte rasti në të gjitha rastet e mësipërme; këtu O.t mund të jetë një fokus ose qendër, ose mund të ketë një karakter më kompleks. Në afërsi të qendrës, të gjitha kthesat integrale janë të mbyllura dhe e përmbajnë qendrën brenda vetes. Kështu, për shembull, pika (0, 0) është një nyje për ekuacionet në" = 2u/x(λ 1 = 1, λ 2 = 2; shih oriz. 5 , a) dhe y" = u/x(λ 1 = λ 2 = 1; shih oriz. 5 , b), shalë për ekuacionin y" = -y/x(λ 1 = -1, λ 2 = 1 ; cm. oriz. 6 ), fokusi për ekuacionin y" =(x + y) / (x - y) (λ 1 = 1 - Domethënë, nëse λ 1 ≠ λ 2 dhe λ 1 λ 2 > 0 ose λ 1 = λ 2, atëherë O. t është një nyje; të gjitha kthesat integrale që kalojnë nëpër pika të një lagjeje mjaft të vogël të një nyje hyjnë në të. Nëse λ 1 ≠ λ 2 dhe λ 1 λ 2 i β, α ≠ 0 dhe β ≠ 0, atëherë pika e përgjithshme është një fokus; të gjitha kthesat integrale që kalojnë nëpër pika në një lagje mjaftueshëm të vogël të fokusit paraqesin spirale me një numër të pafund kthesash në çdo lagje arbitrare të vogël të fokusit. Nëse, më në fund, λ 1,2 = ±, λ 2 = 1 + Domethënë, nëse λ 1 ≠ λ 2 dhe λ 1 λ 2 > 0 ose λ 1 = λ 2, atëherë O. t është një nyje; të gjitha kthesat integrale që kalojnë nëpër pika të një lagjeje mjaft të vogël të një nyje hyjnë në të. Nëse λ 1 ≠ λ 2 dhe λ 1 λ 2 i β, α ≠ 0 dhe β ≠ 0, atëherë pika e përgjithshme është një fokus; të gjitha kthesat integrale që kalojnë nëpër pika në një lagje mjaftueshëm të vogël të fokusit paraqesin spirale me një numër të pafund kthesash në çdo lagje arbitrare të vogël të fokusit. Nëse, më në fund, λ 1,2 = ±; cm. oriz. 7 ) dhe qendra për ekuacionin y" = -x/y(λ 1 = -i, λ 2 = Domethënë, nëse λ 1 ≠ λ 2 dhe λ 1 λ 2 > 0 ose λ 1 = λ 2, atëherë O. t është një nyje; të gjitha kthesat integrale që kalojnë nëpër pika të një lagjeje mjaft të vogël të një nyje hyjnë në të. Nëse λ 1 ≠ λ 2 dhe λ 1 λ 2 i β, α ≠ 0 dhe β ≠ 0, atëherë pika e përgjithshme është një fokus; të gjitha kthesat integrale që kalojnë nëpër pika në një lagje mjaftueshëm të vogël të fokusit paraqesin spirale me një numër të pafund kthesash në çdo lagje arbitrare të vogël të fokusit. Nëse, më në fund, λ 1,2 = ±; cm. oriz. 8 ).

Nëse x, y) dhe Q ( β, β ≠ 0, atëherë karakteri i O. t nuk përcaktohet vetëm me terma linearë në zgjerimet e P (.) analitike, një lagje e një GP të rendit më të lartë mund të ndahet në rajone: D 1 - e mbushur me kthesa integrale, të dy skajet e përfshira në GP (rajonet eliptike), D 2 - e mbushur me kthesa integrale, një fund i përfshirë në GP (rajonet parabolike), dhe D 3 - rajone të kufizuara nga dy kthesa integrale të përfshira në teorinë e përgjithshme, midis të cilave ndodhen kurbat integrale të tipit hiperbolik (rajonet hiperbolike) (shih. oriz. 9 ). Nëse nuk ka kurba integrale të përfshira në një pikë të përgjithshme, atëherë pika e përgjithshme quhet pikë e tipit të qëndrueshëm. Një lagje e një oshilatori të qëndrueshëm përbëhet nga kthesa të mbyllura integrale që përmbajnë një osmozë brenda vetes, midis së cilës ka spirale (shih Fig. oriz. 10 ).

Studimi i ekuacioneve diferenciale, domethënë studimi në thelb i sjelljes së familjeve të kurbave integrale në afërsi të ekuacioneve diferenciale, përbën një nga degët e teorisë cilësore të ekuacioneve diferenciale dhe luan një rol të rëndësishëm në aplikime, veçanërisht në çështjet e qëndrueshmërisë së lëvizjes (veprat e A. M. Lyapunov a, A. Poincare, etj.).

3) Një pikë singulare e një funksioni analitik me një vlerë të vetme është pika në të cilën analiticiteti i funksionit është cenuar (shih funksionet analitike). Nëse ka një lagje të O. t. a, i lirë nga O. t. tjera, pastaj pikë A i quajtur O. t izoluar Nëse A- një teori e përgjithshme e izoluar dhe ekziston një a e fundme quhet një teori e përgjithshme e lëvizshme Duke ndryshuar në mënyrë të përshtatshme përkufizimin e një funksioni në një pikë a (ose duke e ripërcaktuar atë në këtë pikë, nëse funksioni në të nuk është fare i përcaktuar). domethënë, duke supozuar f(a)= b, është e mundur të arrihet kjo a do të bëhet një pikë e zakonshme e funksionit të korrigjuar. Për shembull, pika z= 0 është një O.t e lëvizshme për funksionin f 1 (. z) = f(z), Nëse z≠ 0, dhe f 1 (0), = 1, pikë z= 0 është një pikë e zakonshme [ f 1 (z) është analitike në pikë z= 0]. Nëse A- një O. t e izoluar dhe a quhet pol ose pikë njëjës jo esenciale e një funksioni f(z), nëse funksionon seria Laurent f(z) në afërsi të një O. t izoluar nuk përmban fuqi negative z - a, Nëse A- O. t. i lëvizshëm, përmban një numër të kufizuar shkallësh negative z - a, Nëse A- shtyllë (në këtë rast rendi i shtyllës R përkufizohet si shkalla më e lartë e a - një pikë thelbësisht e veçantë. Për shembull, për funksionin

p = 2, 3, ...)

pika z= 0 është poli i rendit R, për funksion

pika z= 0 është një pikë në thelb njëjës.

Në kufirin e rrethit të konvergjencës së një serie fuqie duhet të ketë të paktën një O.t të funksionit të përfaqësuar brenda këtij rrethi nga të dhënat seri fuqie. Të gjitha pikat kufitare të fushës së ekzistencës së një funksioni analitik unik (kufiri natyror) janë kufijtë e këtij funksioni. Kështu, të gjitha pikat e rrethit njësi | z| = 1 janë të veçanta për funksionin

Për një funksion analitik me shumë vlera, koncepti i "O. T." më i vështirë. Përveç O. t., në fletët individuale të sipërfaqes së Riemann-it të një funksioni (d.m.th., O. t. e elementeve analitike me një vlerë), secila pikë degëzime është gjithashtu O. t. Pikat e izoluara të degëzimit të një sipërfaqeje të Riemann-it (d.m.th., pika të tilla degëzimi që në ndonjë lagje të tyre nuk ka funksione të tjera O. t. në asnjë fletë) klasifikohen si më poshtë. Nëse a është një pikë dege e izoluar e rendit të fundëm dhe ka një a të fundme, quhet pol kritik. Nëse A- një pikë dege e izoluar e rendit të pafund dhe a quhet një O.t transcendentale Të gjitha pikat e tjera të izoluara të degëve quhen pika kritike në thelb njëjës. Shembuj: pikë z= 0 është pika kritike e zakonshme e funksionit f ( z) = log z dhe pika kritike në thelb njëjës e funksionit f (z) = mëkat ln z.

Çdo teori e përgjithshme, përveç asaj të lëvizshme, është një pengesë për vazhdimin analitik, domethënë, vazhdimi analitik përgjatë një kurbë që kalon përmes një problemi të përgjithshëm të pareduktueshëm është i pamundur.

Enciklopedia e Madhe Sovjetike. - M.: Enciklopedia Sovjetike. 1969-1978 .

Shihni se çfarë është një "pikë e vetme" në fjalorë të tjerë:

Pikat këtu. Shih gjithashtu pikën njëjës (ekuacionet diferenciale). Një tipar ose singularitet në matematikë është një pikë në të cilën një objekt matematikor (zakonisht një funksion) është i papërcaktuar ose ka sjellje të parregullt (për shembull, një pikë në të cilën ... ... Wikipedia

Një funksion analitik është një pikë në të cilën cenohen kushtet e analiticitetit. Nëse funksioni analitik f(z) jepet në një lagje të caktuar të pikës z0 kudo... Enciklopedi fizike

Një funksion analitik është pika në të cilën analiticiteti i funksionit është cenuar... Fjalori i madh enciklopedik

pikë njëjës- - [Ya.N.Luginsky, M.S.Fezi Zhilinskaya, Yu.S.Kabirov. Fjalori anglisht-rusisht i inxhinierisë elektrike dhe inxhinierisë së energjisë, Moskë, 1999] Temat e inxhinierisë elektrike, konceptet themelore EN pika njëjës ... Udhëzues teknik i përkthyesit

1) Një funksion analitik f(z) është një pengesë për vazhdimin analitik të një elementi të një funksioni f(z) të një ndryshoreje komplekse z përgjatë çdo rruge në rrafshin e kësaj ndryshoreje. Le të përcaktohet funksioni analitik f(z) nga disa... ... Enciklopedia matematikore

Funksioni analitik, pika në të cilën cenohet analiticiteti i funksionit. * * * SINGLE POINT SINGLE POINT e funksionit analitik, pika në të cilën cenohet analiticiteti i funksionit... fjalor enciklopedik

pikë njëjës- ypatingasis taškas statusas T sritis automatika atitikmenys: engl. pikë njëjës vok. singulärer Punkt, m rus. pikë njëjës, f pranc. particulier pikë, m; pika singulier, m … Automatikos Terminų žodynas

pikë njëjës- ypatingasis taškas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. pikë njëjës vok. singulärer Punkt, m rus. pikë njëjës, f pranc. pikë singulier, m … Fizikos terminų žodynas

Le zq është pika njëjës e funksionit /(r), t.s. f(z) por është analitike në këtë pikë (në veçanti, mund të mos përcaktohet në të). Nëse ka një lagje të tillë të shpuar të pikës zq (d.m.th. grupi O z - zq f(z) është aialitik, atëherë zo thirrur pikë njëjës e izoluar funksione f(z). Ky përkufizim mbetet i njëjtë në rastin e zn = oo, nëse jodi shpohet nga afërsia e pikës zq = oo kuptoj grup z> I - pjesa e jashtme e një rrethi me qendrën e tij në origjinë. Me fjalë të tjera, një pikë e veçantë zq thuhet se është e izoluar nëse ka një fqinjësi të kësaj pike në të cilën është ist i pikave të tjera njëjës përveç zq. Përgjatë asaj që vijon ne konsiderojmë vetëm pika njëjëse të një karakteri unik (funksioni f(z) supozohet të jetë e paqartë).

Në varësi të sjelljes së funksionit f(z) në z -> zq Ekzistojnë tre lloje të pikave njëjës. Pika e veçuar njëjës funksionet zq f(z) quajtur:

1) pikë njëjës e lëvizshme, nëse ka një kufi të kufizuar

2) shtyllë, nëse ka një kufi

3) në thelb një pikë e veçantë, Nëse f(z) nuk ka as një kufi të fundëm as të pafund në z-> zq.

Shembulli 26.1. Le të tregojmë se janë realizuar të tre llojet e pikave njëjës. Le të shqyrtojmë f(z)= Pika zq = 0 është e izoluar

pikë e veçantë e këtij funksioni. Duke përdorur formulën (22.12), marrim zgjerimin

nga ku del se ekziston lim fi(z)= 1. Prandaj zq = 0 është

është një pikë njëjës e lëvizshme e funksionit fi(z).

Funksioni f‘j(z) =---ka një shtyllë në një pikë zo= 1 sepse

2 r“X

Le të shqyrtojmë tani funksionin )з(z)= e 1 ^ r dhe tregoni se zo = O është një pikë në thelb njëjës e këtij funksioni. Kur përpiqet z në zero përgjatë boshtit real kufijtë majtas dhe djathtas të funksionit /z (z) të ndryshme: lim Me 1 / 1 = 0, lim s 1 /* = os. Kjo nënkupton,

x->0-0 x->0+O

Çfarë f:i(z) nuk ka kufi as të fundëm as të pafund në 2 -> Oh, kjo është. zq = O është një pikë në thelb njëjës e këtij funksioni. (Vini re se siç priret pika z - iy në zero përgjatë funksionit të boshtit imagjinar

nuk ka fare kufi.)

Ka, natyrisht, pika njëjës jo të izoluar. Për shembull. funksioni ka pole në pika z n = -, P= ±1, ±2,...

Prandaj, Zq = 0 është një pikë njëjës jo e izoluar e këtij funksioni: në çdo lagje (pa marrë parasysh sa e vogël) e kësaj pike ka pika të tjera njëjës g fq.

Le zo- pikë e fundme e veçuar njëjës e një funksioni f(z). Pastaj f(z)është e ngjashme në disa lagje të shpuara të pikës 0 Zo zo kjo lagje mund të konsiderohet si një unazë me rreze të brendshme r = 0. Nga teorema 25.1, në lagjen në shqyrtim funksioni f(z) mund të zgjerohet në një seri Laurent (25.2). Do të tregojmë se sjellja e funksionit në 2 -> zq (d.m.th. lloji i pikës njëjës zo) varet nga lloji i pjesës kryesore të zgjerimit (25.2); Kjo rrethanë shpjegon origjinën e termit "pjesa kryesore".

Teorema 2G.2. Një pikë e izoluar njëjës zo e një funksioni f(z) është e lëvizshme nëse dhe vetëm nëse zgjerimi Lorapov në një lagje të shpuar të kësaj pike ka oid

ato. përbëhet vetëm nga pjesa e duhur, dhe të gjithë koeficientët e pjesës kryesore janë të barabartë me plumbin.

Dëshmi. 1. Le zo- pikë njëjës e lëvizshme. Le të provojmë se zgjerimi Laurent i funksionit f(z) ka formën (26.1). Që nga pika e veçantë zo i lëvizshëm, atëherë ka një fund limit lim f(z) = A. Prandaj, f(z) kufizohet në ndonjë lagje të shpuar të pikës 0 z - zq zo, ato. )(z) për të gjithë z nga kjo zonë. Le të marrim ndonjë R. U р /?|, dhe përdorni formulat (25.3) për koeficientët e serisë Laurent:

Për koeficientët e pjesës kryesore të zgjerimit n =- 1,-2,... Për vlera të tilla P ne kemi p~ fq-e 0 në R-> 0. Që nga vlera R mund të zgjidhet në mënyrë arbitrare të vogla, atëherë z.~" mund të jetë aq i vogël sa të dëshironi. Që nga |s t,| ^ z.~p dhe c„ nuk varen nga p, atëherë c„ = 0 at Dhe= - 1, -2,..., që është ajo që duhej vërtetuar.

2. Le të supozojmë tani se zgjerimi Laurent ka formën (26.1). Seria (26.1) është një seri me fuqi dhe. prandaj konvergon jo vetëm në zonën e shpuar, por edhe në të gjithë afërsinë z-zq duke përfshirë pikën zo; sasinë e saj S(z)është analitike në z dhe S(z) = )(z) në 0 z - zo R. Prandaj ekziston një kufi i kufizuar )(z)= Pt 5(g) = 5(th) - Prandaj, pika njëjës zq

Z->Zo Z-*Zo

i lëvizshëm. Teorema është e vërtetuar.

Komentoni. Nga vërtetimi i teoremës del se në një lagje të shpuar 0 z - zo të një pike njëjës të lëvizshme funksioni f(z) përkon me funksionin 5(r), i cili është analitik në të gjithë lagjen z - zo. Prandaj, nëse vendosim /(th) = S(zq), pastaj, pa ndryshuar vlerat e funksionit f(z) në çdo pikë të lagjes së shpuar, këtë funksion do ta bëjmë analitik në Go, d.m.th. "eliminoni" veçorinë. Kjo shpjegon termin "tipar i lëvizshëm". Është e natyrshme që pika të tilla të konsiderohen të rregullta, dhe jo pika të veçanta të funksionit f(z).

Konsideroni, për shembull, funksionin

Në shembullin 26.1 u tregua se Pm Nr) = 1. d.m.th. pikë njëjës

zq = 0 i lëvizshëm. Duke vendosur /i(0) = 1, ne eliminojmë singularitetin dhe marrim një funksion që është analitik në pikën zq = 0 (dhe në të gjithë rrafshin C).

Le t'i karakterizojmë tani polet në termat e zgjerimeve të Laurent.

Teorema 26.3. Një pikë e izoluar njëjës Zo e një funksioni f(z) është një pol nëse dhe vetëm nëse, kur pjesa kryesore e zgjerimit Laurent me qendër Zq ka vetëm një numër të kufizuar të dallueshme

nga koeficientët zero me n:

Dëshmi. 1. Le zq - pol, d.m.th. lim/( z) = oo.

Le të provojmë se zgjerimi Laurent i funksionit f(z) ka formën (2G.2). Që lim f(z)= oo. atëherë ka një lagje të shpuar të pikës

ki zq. ku f(z)është analitike dhe nuk ka zero. Pastaj funksioni g(z) = 1 /f(z) do të jetë edhe analitike në këtë lagje të shpuar, dhe lim g(z)= 0. Prandaj, Zoështë i lëvizshëm *-? *0

pikë njëjës e funksionit g(z). Le të përcaktojmë g(z) në pikën zo, duke vënë g(zo)= 0. Pastaj g(z) do të bëhet analitike në të gjithë lagjen e pikës (jo të shpuar). z 0, dhe z 0 do të jetë zero e izoluar e tij. Le të shënojmë me N shumëfishimi (rendi) i kësaj zero. Siç u tregua në §23, në lagjen e pikës funksioni zq g(z) mund të paraqitet në formën (shih (23.2))

dhe (z$) f 0 dhe y>(z)është analitike në ndonjë lagje të pikës zo- Sepse ip(z) e vazhdueshme në një pikë zo Dhe g>(zo) Ф 0" atëherë ip(z) nuk ka zero në ndonjë lagje të kësaj pike. Prandaj funksioni 1 /-p(z) do të jetë gjithashtu analitik në këtë lagje dhe, për këtë arsye, zgjerohet në të në një seri Taylor:

Duke hapur kllapat dhe duke ndryshuar përcaktimet e koeficientëve, ne shkruajmë zgjerimin e fundit në formë

ku c_jv = 1>o f 0. Kështu, pjesa kryesore e zgjerimit Laurent të funksionit /(r) përmban vetëm një numër të kufizuar termash; kemi arritur në barazinë e dëshiruar (26.2).

2. Lëreni në lagjen e shpuar të pikave th funksionin )(z) përfaqësohet nga zgjerimi Laurent (26.2) (për një formë më të detajuar, shih (26.3)), pjesa kryesore e të cilit përmban vetëm një numër të kufizuar termash, dhe me- d" f 0. Është e nevojshme të vërtetohet se Zq - pol funksioni f(z). Duke shumëzuar barazinë (26.3) me (G - G o) iV , marrim funksionin

Seria në (26.4) është një seri fuqie që konvergon në një funksion analitik jo vetëm në pikën e shpuar, por edhe në të gjithë fqinjësinë e pikës Zq. Prandaj funksioni h(z) do të bëhet analitike në këtë lagje nëse e përcaktojmë më tej në go duke vënë h(zo)= s_dg f 0. Pastaj

Kështu, pika th është një pol, dhe Teorema 26.3 vërtetohet.

Shumësia (rendi) i funksionit zero g(z)= 1//(r) quhet urdhër pol th funksionet /(r). Nëse N- renditja e polit të th, atëherë g(z)= (g - Zo) N ip(z), dhe shko) F 0, dhe, siç tregohet në pjesën e parë të vërtetimit të Teoremës 26.3, zgjerimi i funksionit /(r) ka formën (26.3), ku c_/v f 0. Në të kundërt, nëse /(r) zgjerohet në serinë (26.3) dhe e-i F 0, atëherë

t.s. N- renditja e polit të funksionit /(r). Kështu, renditja e poleve të funksionit zq/(G) është e barabartë me numrin e koeficientit më të lartë jozero të pjesës kryesore të zgjerimit Laurent në lagjen e shpuar të pikës zq(d.m.th e barabartë me këtë numër N,çfarë s_dg f 0 dhe Sp= 0 në P > N).

Le të provojmë deklaratën e mëposhtme, e cila është e përshtatshme për aplikime.

Përfundimi 26.4. Pika zq është një pol i rendit N të fiksionit/(G) atëherë dhe vetëm kur/(G) te perfaqesueshme ne forme

ku h(z) është një funksion analitik në afërsi të pikës th dhe h(zo) f 0.

Dëshmi. Funksioni cp(z) = l/h(z)është analitike në disa fqinjësi të pikës h Kushti i Konkluzionit 26.4 është i barabartë me sa vijon:

Kjo është arsyeja pse zq - shumëfishim zero N funksione g(z). dhe për këtë arsye poli i shumëfishimit N funksionet /(2).

II Shembulli 26.5. Gjeni pika të veçuara njëjës të një funksioni dhe përcaktoni llojin e tyre.

Zgjidhja: Pikat në të cilat (z 2 + 1 ) (z+ Z) 2 = 0. Nëse z 2 L- 1 = 0, pastaj 2 = ±g Nëse (z 4- 3) 2 = 0, atëherë z= -3. Prandaj funksioni ka tre pika njëjës z= g, 22 = -g, Z3 = - 3. Konsideroni z:

G - shtyllë e rendit të parë (ne kemi përdorur Konkluzion 26.4). Mund të vërtetohet në mënyrë të ngjashme se 22 = -i gjithashtu një shtyllë e rendit të parë. Për 2z kemi:

Le të vazhdojmë të shqyrtojmë pikat në thelb të veçanta.

Teorema 26.6. Një pikë njëjës e izoluar zq e një funksioni f(z) është në thelb njëjës nëse dhe vetëm nëse pjesa kryesore e zgjerimit të Laurent me qendër zq ka pafundësisht shumë të ndryshme nga. zero, koeficientët nga p.

Dëshmi. Teorema 26.6 rrjedh drejtpërdrejt nga teorema 26.2 dhe 26.3. Në të vërtetë, nëse pika zq është në thelb i veçantë, atëherë pjesa kryesore e zgjerimit Laurent nuk mund të mungojë ose të përmbajë një numër të kufizuar termash (përndryshe pika Zq do të jetë ose i lëvizshëm ose një shtyllë). Prandaj, numri i termave në pjesën kryesore duhet të jetë i pafund.

Në të kundërt, nëse pjesa kryesore përmban pafundësisht shumë terma, atëherë Zq nuk mund të jetë as pikë e lëvizshme dhe as shtyllë. Nga kjo rrjedh se kjo pikë është në thelb e veçantë.

Sipas përkufizimit, një pikë në thelb njëjës karakterizohet nga fakti se funksioni /(2) nuk ka as një kufi të fundëm dhe as të pafund për z ->zq. Teorema e mëposhtme jep një ide më të plotë se sa e parregullt është sjellja e një funksioni në afërsi të një pike thelbësisht njëjës.

Teorema 26.7 (teorema e Sokhotskit). Nëse zq është thelbësor për individët, pika e funksionit f(z), pastaj për këdo numër kompleks L, duke përfshirë A = oh, ekziston një sekuencë pikash z n e tillë që z n -> zo dhe lim f(zn) = A.

n->os

Dëshmi. Le të shqyrtojmë së pari rastin A = oo. Në pjesën e parë të vërtetimit të Teoremës 2G.2 vërtetuam se nëse f(z)është i kufizuar në një lagje të shpuar të pikës r, pastaj të gjithë koeficientët c", n = - 1,- 2,... e pjesës kryesore janë të barabarta me zero (dhe, për rrjedhojë, singulariteti në lëvizje është i lëvizshëm). Meqenëse sipas kushtit th është një pikë thelbësore njëjës, atëherë në çdo lagje të shpuar të pikës th funksioni f(r) është i pakufizuar. Le të marrim një lagje të fortë 0 Z të tillë që f(zi) > 1 (nëse |/(r)| z - zo I/2 ka një pikë z-2 , në të cilën |/(vv)| > 2 etj.: në lagjen e shpuar O 71. Është e qartë se r„ -e go dhe lim /(r“) = oo. Kështu, në rastin A = oo, Teorema 26.7

e provuar.

Lëreni tani A f oo. Së pari, le të supozojmë se ka një lagje të shpuar 0

= -yy---- do të jetë analitike në këtë lagje të shpuar dhe, për rrjedhojë,

/(G) - A

Rrjedhimisht, go është një pikë njëjës e izoluar e funksionit Φ(r). Ne do t'ju tregojmë. që r është një pikë në thelb njëjës e Φ(r). Kjo mund të mos jetë e vërtetë. Pastaj ekziston një kufi lim Ф(r), i fundëm ose i pafund. Për një kohë

/(r) = А + , atëherë ekziston edhe Нш /(r), që bie ndesh me kushtin

F(g) ~ :-*z 0

Unë shoh teoremën. Kështu, r0 është një pikë në thelb njëjës e funksionit Φ(r). Sipas asaj që u vërtetua më lart, ekziston një sekuencë pikash r n e tillë që r n th dhe lim Ф(r n) = oo. Nga këtu

Ne kemi vërtetuar deklaratën e kërkuar me supozimin se /(r) F A në ndonjë lagje të shpuar të pikës shko- Le të supozojmë tani se kjo është e rreme, d.m.th. në çdo lagje të shpuar arbitrarisht të vogël të pikës th ekziston një pikë e tillë G", se /(r") = L. Pastaj për çdo P në lagjen e shpuar 0 f(z u) = А, pohimi i dëshiruar është i vërtetë P-juo

në të gjitha rastet, dhe Teorema 26.7 është e vërtetuar.

Sipas Teoremës 26.7 (Sokhotsky), në çdo lagje (arbitrarisht të vogël) të shpuar të një pike thelbësisht njëjës, funksioni /(r) merr vlera arbitrarisht afër çdo numri nga numri i zgjeruar. plan kompleks ME.

Për të studiuar pikat e izoluara njëjëse, zgjerimet tashmë të njohura të Taylor të funksioneve elementare bazë janë shpesh të dobishme.

Shembull 2G.8. Përcaktoni llojin e pikës njëjës zq = 0 për funksionin

Të zgjidhura dhe e. Le të zgjerojmë numëruesin dhe emëruesin në një seri Taylor në fuqitë e (22.11) 3 z në vend të r dhe duke zbritur 1, marrim

Duke përdorur (22.12), marrim zgjerimin e emëruesit:

Seritë në këto zgjerime konvergojnë në të gjithë planin kompleks €. Ne kemi

dhe /2(2) janë anaritike në një lagje të pikës zo = 0 (dhe madje në të gjithë rrafshin) dhe /2 (20) F 0, atëherë h(z)është gjithashtu analitik në disa fqinjësi të pikës gF 0. Sipas përfundimit 26.4, pika Zo = 0 është poli i rendit N=4.

Shembulli II 26.9. Gjeni pika njëjës të një funksioni f(z)= sin j - dhe përcaktoni llojin e tyre.

R e në e i e Funksioni ka një pikë të vetme të fundme zq = 1. Në pika të tjera nga C funksioni w =--- analitike; pra funksioni sin w do të jetë analitike.

Zëvendësimi në zgjerimin e sinusit (22.12) - në vend të r, marrim

Ne morëm dekompozim funksionet mëkat- në një seri Laurent në një lagje të shpuar të pikës 2o = 1. Meqenëse zgjerimi që rezulton përmban pafundësisht shumë terma me fuqi negative (r - 1), atëherë zq = 1 është një pikë në thelb njëjës (në këtë rast, zgjerimi Laurent përbëhet vetëm nga pjesa kryesore, dhe pjesa e rregullt mungon).

Vini re se ishte e mundur të përcaktohej natyra e singularitetit në këtë rast drejtpërdrejt nga përkufizimi, pa përdorur zgjerimin e serisë. Në të vërtetë, ka sekuenca (r",) dhe (2") që konvergojnë në zo= 1, dhe e tillë që f(z"n)= 1, /(2") = 0 (tregoni vetë sekuenca të tilla). Pra, f(z) nuk ka kufi në z -> 1 dhe për këtë arsye pikë zq - 1 është në thelb e veçantë.

Le të prezantojmë konceptin e zgjerimit Laurent të një funksioni në një lagje të një pike Zq = 00 dhe merrni parasysh lidhjen midis zgjerimit dhe natyrës së singularitetit në këtë pikë. Vini re se përkufizimet e një pike njëjës të izoluar dhe lloji i saj (i lëvizshëm, pol, ose në thelb njëjës) kalojnë në rastin zq = oc pa ndryshime. Por teoremat 26.2. 26.3 dhe 26.6, që lidhen me natyrën e zgjerimeve të Laurent, duhet të ndryshohen. Çështja është se anëtarët cn(z- 2o) fq. P= -1,-2,..., pjesa kryesore, duke përcaktuar “parregullsinë” e funksionit afër pika e fundit Zq, pasi 2 priret të oo, ata do të sillen "korrekt" (priren për 0). Përkundrazi, anëtarët e pjesës së saktë me P= 1,2,... do të priren në oo; ato përcaktojnë natyrën e veçorisë në Zq = oo. Prandaj, pjesa kryesore e zgjerimit në afërsi të oo do të përbëhet nga termat me fuqitë pozitive P, dhe e sakta - me ato negative.

Le të prezantojmë një ndryshore të re w = 12. Funksioni tv = 1/2, e zgjeruar në mënyrë që u(oo) = 0, një për një dhe në mënyrë konformale të hartojë lagjen z > R pikë zq = 00 në afërsi të |w| wq = 0. Nëse funksioni f(z) analitika në lagjen e shpuar R z Zq = oc, pastaj funksioni G(w) = f(l/w) do të jetë analitike në lagjen e madhe 0 wo = 0. Meqenëse në 2 -> oo do të ketë w-> 0, atëherë

Kjo është arsyeja pse G(w) ka në pikë wq = 0 është një tipar i të njëjtit lloj si f(z) në pikën Zq = 00. Le të zgjerojmë funksionin G(w) në një seri Laurent në një lagje të shpuar të pikës wo = 0:

Shumat në anën e djathtë të (26.5) përfaqësojnë përkatësisht pjesët e rregullta dhe kryesore të zgjerimit. Le të kalojmë te ndryshorja z, duke zëvendësuar w = 1/z:

Përcaktimi P= -A*, 6* = 6_„ = s f dhe duke e vërejtur atë G(l/z) = f(z), marrim

Zbërthimi (2G.G) quhet Zgjerimi Laurent i funksionit f(z) në një lagje të shpuar të pikës zq= oo. Shuma e parë në (2G.6) quhet pjesa e duhur, dhe shuma e dytë është Pjesa kryesore të këtij zbërthimi. Meqenëse këto shuma korrespondojnë me pjesët e sakta dhe kryesore të zgjerimit (26.5), atëherë analogët e teoremave 26.2, 26.3 dhe 26.6 janë të vlefshme për zgjerimin (26.6). Kështu, teorema e mëposhtme do të jetë një analog i teoremës 26.2.

Teorema 26.10. Pika e veçuar njëjësZq - OS (funksione/(G) është i lëvizshëm nëse dhe vetëm nëse zgjerimi Laurent në një lagje të shpuar të kësaj pike ka formën

t.s. përbëhet vetëm nga pjesa e duhur.

Le të vendosim /(oo) = bashkë. Funksioni i përcaktuar nga seritë (26.7) që konvergojnë në lagje z > R pika 2о = oc, e quajtur analitike në pikën z o = oo. (Vini re se ky përkufizim është i barabartë me analiticitetin e funksionit G(w) në pikë wo = 0.)

Shembulli 26.11. Hetoni pikën njëjës zq = oo të funksionit

Meqenëse kufiri është i kufizuar, atëherë zo = oo është një pikë njëjës e lëvizshme e funksionit /(r). Nëse vendosim /(oo) = lim J(z)= 0, atëherë f(z) do të bëhet analitike

tik në pikë Zo= os. Le të tregojmë se si të gjejmë zgjerimin përkatës (26.7). Le të kalojmë te ndryshorja w = 1 fz. Zëvendësimi z= 1 /?е, marrim

(barazia e fundit është e vlefshme në një lagje të shpuar të pikës wо = 0, por ne do të përcaktojmë më tej (7(0) = 0). Funksioni që rezulton ka pika njëjës w =±i, w =-1/3, dhe në pikën Wq = 0 është analitike. Funksioni i shpalosjes G(w) me gradë w(siç u bë në shembullin 25.7) dhe zëvendësimi në serinë e fuqisë që rezulton w = 1/z, mund të marrim zgjerimin (26.7) të funksionit f(z).

Teorema 26.3 për rastin zo= oo do të rishkruhet në formën e mëposhtme.

Teorema 26.12. Pika e veçuar njëjës th = os funksioni f(z) është një pol nëse dhe vetëm nëse pjesa kryesore e zgjerimit Laurent (26.6) ka vetëm një numër të kufizuar koeficientësh jozero Me":

Këtu seria është pjesa e rregullt, dhe polinomi në kllapa është pjesa kryesore e zgjerimit. Shumësia e poleve në oc përkufizohet si shumësia e poleve wq = 0 funksione G(z).Është e lehtë të shihet se shumësia e polit përkon me numrin N në (26.8).

Q p | (i 2 + 1)(z+3) 2

Detyrë. Tregoni se funksioni f(z) =-- -- ka brenda

pikë zo = oo pol i rendit 3.

Teorema 26.6 në një pikë thelbësisht njëjës mund të rishkruhet për rastin zo= os thuajse fjalë për fjalë dhe për këtë nuk ndalemi në detaje.