Karakteristikat numerike të një funksioni të rastit. Përcaktimi i karakteristikave të një funksioni të rastësishëm nga përvoja

Leksioni 13 Proceset e rastësishme Konceptet bazë. Ligji i shpërndarjes dhe. Stacionare, ergodik

Përkufizimet

Klasifikimi i proceseve të rastësishme

Karakteristikat kryesore të proceseve të rastësishme

Karakteristikat kryesore të proceseve të rastësishme

Karakteristikat kryesore të proceseve të rastësishme

Karakteristikat kryesore të proceseve të rastësishme

Karakteristikat kryesore të proceseve të rastësishme

Karakteristikat kryesore të proceseve të rastësishme

Proceset e rastit stacionare

Vetitë e funksionit të korrelacionit të një SP stacionare

Proceset ergodike të rastësishme

Proceset elementare të rastësishme

PROCESET E RASTËSISHME
DHE KARAKTERISTIKAT E TYRE

4.1. QËLLIMI I PUNËS

4.2. INFORMACION TEORIK

Ngjarje të rastësishme dhe ndryshore të rastësishme

,

Ku
. Nëse funksioni i shpërndarjes është i vazhdueshëm dhe i diferencueshëm, atëherë mund të përcaktojmë funksioni i densitetit të probabilitetit(PDF), i quajtur edhe densiteti i probabilitetit për shkurtësi
(dhe nganjëherë vetëm dendësia):

, ndërsa
.

Natyrisht, funksioni i shpërndarjes është një funksion jo-negativ jo-zvogëlues me vetitë
,
. Prandaj,
PDF është një funksion jo negativ që kënaq gjendja e normalizimit
.

Ndonjëherë i kufizuar karakteristikat numerike ndryshore e rastësishme, më shpesh momente. Elementare moment - urdhri (momenti i parë)

,

ku është vija horizontale dhe
– shënimi simbolik i operatorit integral ansambël mesatar. Momenti i parë i fillimit
, thirri pritje matematikore ose qendra e shpërndarjes.

Qendrore momenti i rendit të katërt (momenti qendror)

Momenti qendror më i përdorur është momenti i dytë qendror, ose dispersion

Në vend të shpërndarjes, ato shpesh veprojnë devijimi standard(RMS) e një ndryshoreje të rastësishme
.

^ Sheshi i mesëm, ose momenti i dytë fillestar
, lidhet me dispersionin dhe pritshmërinë matematikore:

Për të përshkruar formën e PDF-së, përdoret koeficienti asimetri
dhe koeficienti teprica
(nganjëherë kurtoza karakterizohet nga vlera
).

Shpesh përdoret shpërndarja normale ose Gaussian (Gaussian) me PDF

,

Ku Dhe - parametrat e shpërndarjes ( pritje matematikore dhe MSD, përkatësisht). Për një shpërndarje Gaussian
,
.

Dy ndryshore të rastit dhe karakterizohen të përbashkët dendësia e shpërndarjes
. Karakteristikat numerike dendësia e kyçeve shërbejnë si parësore dhe qendrore të përziera momente

,
,

ku dhe – numra të plotë arbitrarë numra pozitiv;
Dhe – pritjet matematikore të SV x Dhe y.

Momentet e përziera më të përdorura të rendit të dytë janë ato fillestare ( korrelative moment):

dhe qendrore ( kovarianca moment, ose kovarianca)

.

Për një palë variablash të rastësishme Gaussian, PDF-ja e përbashkët dy-dimensionale ka formën

Ku , – devijimet standarde;
– pritjet matematikore; – koeficienti i korrelacionit– momenti i kovariancës së normalizuar

.

Me një koeficient korrelacioni zero, është e qartë se

,

dmth. të pakorreluara Variablat e rastësishëm Gaussian të pavarur.
^

Proceset e rastësishme

.

Procesi i rastësishëm konsiderohet plotësisht i përcaktuar, nëse për dikë mund të shkruani PDF-në e tij të përbashkët në çdo moment zgjedhjeje
.

Shpesh, kur përshkruajmë një proces të rastësishëm, ne mund të kufizohemi në tërësinë e përzierjes së tij momentet fillestare(nëse ekzistojnë, d.m.th. integralet përkatëse konvergojnë)

dhe momente qendrore të përziera

për numrat e plotë jo negativë
dhe në përgjithësi.

Në rastin e përgjithshëm, momentet e PDF-së së përbashkët varen nga vendndodhja e seksioneve në boshtin kohor dhe quhen funksionet momentale. Momenti i dytë qendror i përzier përdoret më shpesh.

,

i quajtur funksioni i autokorrelacionit ose funksioni i autokorrelacionit (ACF). Kujtojmë se këtu dhe më poshtë nuk tregohet shprehimisht varësia nga koha, përkatësisht funksionet e kohës janë
,
Dhe
.

Dy procese të rastësishme mund të konsiderohen së bashku
Dhe
; një shqyrtim i tillë presupozon përshkrimin e tyre në formën e një PDF të përbashkët shumëdimensionale, si dhe në formën e një grupi të të gjitha momenteve, përfshirë ato të përziera. Më shpesh, përdoret momenti i dytë qendror i përzier.

,

i quajtur funksion i ndërlidhjes
.

Ndër të gjitha proceset e rastësishme, dallohen SP-të për të cilat PDF-ja me dimensione të përbashkëta nuk ndryshon kur të gjitha seksionet kohore ndryshojnë (zhvendosin) njëkohësisht me të njëjtën sasi. Procese të tilla quhen i palëvizshëm në në kuptimin e ngushtë ose rreptësisht stacionare.

Më shpesh, konsiderohet një klasë më e gjerë e proceseve të rastësishme me veti të dobësuara të stacionaritetit. Ndërmarrja e përbashkët quhet i palëvizshëm në në një kuptim të gjerë , nëse me një zhvendosje të njëkohshme të seksioneve vetëm momentet e tij nuk ndryshojnë jo më i lartë se i dyti urdhëroj. Në praktikë, kjo do të thotë se PS është stacionare në kuptimin e gjerë nëse ka konstante mesatare(pritshmëria matematikore) dhe variancë
, dhe ACF varet vetëm nga ndryshimi midis momenteve kohore, por jo nga pozicionet e tyre në boshtin kohor:

1)
,

2) ,
.

Vini re se
, nga e cila rrjedh qëndrueshmëria e dispersionit.

Nuk është e vështirë të verifikohet se një proces që është i palëvizshëm në kuptimin e ngushtë është gjithashtu i palëvizshëm në kuptimin e gjerë. Pohimi i kundërt është përgjithësisht i rremë, megjithëse ka procese për të cilat stacionariteti në kuptimin e gjerë nënkupton stacionaritet në kuptimin e ngushtë.

PDF e përbashkët-dimensionale e leximeve
Procesi Gaussian, i marrë në seksione kohore, ka formën

, (4.1)

Ku – përcaktues matricë katrore, i përbërë nga koeficientët e korrelacionit në çift të mostrave;
– plotësues algjebrik element këtë matricë.

PDF-ja e përbashkët Gaussian për çdo rast përcaktohet plotësisht nga pritjet matematikore, dispersionet dhe koeficientët e korrelacionit të mostrave, d.m.th., funksionet e momentit jo më të larta se renditja e dytë. Nëse procesi Gaussian është i palëvizshëm në kuptimin e gjerë, atëherë të gjitha pritjet matematikore janë të njëjta, të gjitha variancat (dhe për rrjedhojë devijimi standard) janë të barabarta me njëra-tjetrën dhe koeficientët e korrelacionit përcaktohen vetëm nga sa larg ndahen seksionet kohore nga njëri-tjetrin. Atëherë, padyshim, PDF (4.1) nuk do të ndryshojë nëse të gjitha seksionet e kohës zhvendosen majtas ose djathtas me të njëjtën sasi. Nga kjo rrjedh se Procesi Gaussian, i palëvizshëm në kuptimin e gjerë, i palëvizshëm në kuptimin e ngushtë(rreptësisht i palëvizshëm).

Ndër proceset e rastësishme rreptësisht të palëvizshme, shpesh dallohet një klasë më e ngushtë ergodik procese të rastësishme. Për proceset ergodike, momentet e gjetura nga mesatarja mbi ansambël janë të barabarta me momentet përkatëse të gjetura nga mesatarja me kalimin e kohës:

,

(Këtu – emërtimi simbolik i operatorit mesatar të kohës).

Në veçanti, për një proces ergodik pritshmëria matematikore, varianca dhe ACF janë të barabarta, respektivisht

,

,

Ergodiciteti është shumë i dëshirueshëm, pasi bën të mundur matjen (vlerësimin) praktik të karakteristikave numerike të një procesi të rastësishëm. Fakti është se zakonisht vetëm një (edhe pse mundësisht mjaft i gjatë) zbatim i një procesi të rastësishëm është në dispozicion të vëzhguesit. Ergodiciteti do të thotë, në thelb, se ky realizim unik është përfaqësues i plotë i të gjithë ansamblit.

Matja e karakteristikave të procesit ergodik mund të bëhet duke përdorur pajisje të thjeshta matëse; Pra, nëse procesi është një tension i varur nga koha, atëherë voltmetri magnetoelektrike sistemi mat pritshmërinë e tij matematikore (komponent konstant), një voltmetër të një sistemi elektromagnetik ose termoelektrik të lidhur përmes një kapaciteti ndarës (për të përjashtuar komponentin konstant) - vlerën e tij mesatare katrore (RMS). Pajisja, bllok diagrami e cila është paraqitur në Fig. 4.1, ju lejon të matni vlerat e funksionit të autokorrelacionit për të ndryshme . Filtro frekuencave të ulëta këtu luan rolin e një integruesi, kondensatori centralizon procesin, pasi nuk kalon komponentin e rrymës direkte. Kjo pajisje quhet korrelometër.

Oriz. 4.1

Kushtet e mjaftueshme për ergodicitetin e një procesi të rastësishëm të palëvizshëm janë kushti
, dhe gjithashtu më pak i fortë Gjendja Slutsky
.
^

Algoritme diskrete duke vlerësuar parametrat e sipërmarrjes së përbashkët

,

Ku
- sekuenca e mostrave të procesit ( mostër vëllimi
). Vlerësimi i dispersionit është varianca e mostrës , të përcaktuara nga shprehja

.

Vlerësimi i funksionit të autokorrelacionit, i quajtur ndryshe korrelogrami, gjendet si

.

Një vlerësim i densitetit të shpërndarjes së probabilitetit të vlerës së menjëhershme të SSP është histogrami. Për ta gjetur atë, diapazoni i vlerave të mundshme SP ndahet në intervale me gjerësi të barabartë, pastaj për secilën -intervali i numrit të mostrat e kampionit të përfshirë në të. Një histogram është një grup numrash
, zakonisht përshkruhet si një diagram kafaz. Numri i intervaleve për një madhësi të caktuar kampioni zgjidhet bazuar në një kompromis midis saktësisë së vlerësimit dhe rezolucionit (shkallës së detajeve) të histogramit.
^

Teoria korrelacion-spektrale e proceseve të rastësishme

,
.

Natyrisht, SPM - jo negative funksionin. Nëse procesi ka një pritshmëri matematikore jo zero, atëherë termi i shtohet PSD-së
.

Për një proces real, ACF dhe SPM janë madje funksione reale.

Ndonjëherë mund të kufizoni veten në karakteristikat numerike - intervali i korrelacionit dhe gjerësia e spektrit efektiv. ^ Intervali i korrelacionit përcaktohen në mënyra të ndryshme, në veçanti, janë të njohura përkufizimet e mëposhtme:

Detyrë për puna e kursit

Janë dhënë: pesë momente fillestare

A 1 = 1, a 2= 2, a 3= 2, a 4= 1, a 5 = 1 (µ G = 0, µ 0 = 1).

Gjeni: pesë pika qendrore.

Duke pasur në dispozicion pesë momente fillestare dhe pesë momente qendrore, llogaritni vlerat:

A)pritshmëria matematikore;

b)dispersion;

V)devijimi standard;

G)koeficienti i variacionit;

d)koeficienti i asimetrisë;

e)koeficienti i kurtozës.

Duke përdorur të dhënat e marra, përshkruani në mënyrë cilësore densitetin e probabilitetit të këtij procesi.

1. Informacion teorik

Shpërndarjet e variablave të rastësishëm dhe funksionet e shpërndarjes

Shpërndarja e një ndryshoreje të rastësishme numerike është një funksion që përcakton në mënyrë unike probabilitetin që të marrë ndryshorja e rastësishme vlera e vendosur ose i përket një intervali të caktuar.

E para është nëse ndryshorja e rastësishme merr numri përfundimtar vlerat. Pastaj shpërndarja jepet nga funksioni P (X = x),duke i dhënë të gjithëve kuptimi i mundshëm Xndryshore e rastësishme Xprobabiliteti që X = x.

E dyta është nëse ndryshorja e rastësishme merr pafundësisht shumë vlera. Kjo është e mundur vetëm kur hapësirë ​​probabiliteti, në të cilën përcaktohet ndryshorja e rastësishme, përbëhet nga numër i pafund ngjarje elementare. Pastaj shpërndarja jepet nga bashkësia e probabiliteteve R (aX për të gjitha çiftet e numrave a, b të tilla që A Shpërndarja mund të specifikohet duke përdorur të ashtuquajturat. Funksioni i shpërndarjes F(x) = P (X<х), duke përcaktuar për të gjitha reale X probabiliteti që ndryshorja e rastit X merr vlera më të vogla se X.Është e qartë se

R (aX

Kjo marrëdhënie tregon se si shpërndarja mund të llogaritet nga funksioni i shpërndarjes dhe, anasjelltas, funksioni i shpërndarjes mund të llogaritet nga shpërndarja.

Funksionet e shpërndarjes të përdorura në metodat probabilistiko-statistikore të vendimmarrjes dhe kërkime të tjera të aplikuara janë ose diskrete, të vazhdueshme ose kombinime të tyre.

Funksionet diskrete të shpërndarjes korrespondojnë me variabla diskrete të rastësishme që marrin një numër të kufizuar vlerash ose vlerash nga një grup, elementët e të cilit mund të numërohen me numra natyrorë (bashkësi të tilla quhen të numërueshme në matematikë). Grafiku i tyre duket si një shkallë me shkallë (Fig. 1).

Shembulli 1.Numri Xartikujt me defekt në një grumbull marrin vlerën 0 me probabilitet 0,3, vlerën 1 me probabilitetin 0,4, vlerën 2 me probabilitetin 0,2 dhe vlerën 3 me probabilitetin 0,1. Grafiku i funksionit të shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme Xtreguar në Fig. 1.

Oriz. 1. Grafiku i funksionit të shpërndarjes së numrit të produkteve me defekt.

Funksionet e shpërndarjes së vazhdueshme nuk kanë kërcime. Ato rriten në mënyrë monotonike me rritjen e argumentit - nga 0 për x→∞ në 1 për x→+∞. Variablat e rastësishëm që kanë funksione të shpërndarjes së vazhdueshme quhen të vazhdueshme.

Funksionet e shpërndarjes së vazhdueshme të përdorura në metodat e vendimmarrjes probabilistiko-statistikore kanë derivate. Derivati ​​i parë f(x)funksionet e shpërndarjes F(x)quhet densiteti i probabilitetit,

Duke përdorur densitetin e probabilitetit, mund të përcaktoni funksionin e shpërndarjes:

Për çdo funksion të shpërndarjes

Karakteristikat e listuara të funksioneve të shpërndarjes përdoren vazhdimisht në metodat probabiliste dhe statistikore të vendimmarrjes. Në veçanti, barazia e fundit nënkupton një formë specifike të konstanteve në formulat për densitetin e probabilitetit të konsideruar më poshtë.

Shembulli 2.Funksioni i mëposhtëm i shpërndarjes përdoret shpesh:

(1)

Ku ADhe b-disa numra A Le të gjejmë densitetin e probabilitetit të këtij funksioni të shpërndarjes:

(në pika X = ADhe x = bderivat i një funksioni F(x)nuk ekziston).

Një ndryshore e rastësishme me funksion të shpërndarjes (1) quhet "e shpërndarë në mënyrë uniforme në segment ».

Funksionet e përziera të shpërndarjes ndodhin, veçanërisht, kur vëzhgimet ndalojnë në një moment. Për shembull, kur analizohen të dhënat statistikore të marra duke përdorur plane testimi të besueshmërisë që parashikojnë përfundimin e testimit pas një periudhe të caktuar. Ose kur analizoni të dhënat për produktet teknike që kërkonin riparime garancie.

Shembulli 3.Le të jetë, për shembull, jeta e shërbimit të një llambë elektrike një ndryshore e rastësishme me një funksion shpërndarjeje F (t),dhe testi kryhet derisa llamba të dështojë, nëse kjo ndodh në më pak se 100 orë nga fillimi i testit, ose derisa t0 = 100 orë. Le G(t) -funksioni i shpërndarjes së kohës së funksionimit të llambës në gjendje të mirë gjatë këtij testi. Pastaj

Funksioni G(t)ka një kërcim në një pikë t0 , meqenëse ndryshorja e rastësishme përkatëse merr vlerën t0 me probabilitet 1-F(t0 )>0.

Karakteristikat e variablave të rastësishëm.Në metodat probabilistiko-statistikore të vendimmarrjes përdoren një sërë karakteristikash të variablave të rastësishëm, të shprehura përmes funksioneve të shpërndarjes dhe densiteteve të probabilitetit.

Kur përshkruani diferencimin e të ardhurave, kur gjeni kufijtë e besimit për parametrat e shpërndarjes së variablave të rastësishëm dhe në shumë raste të tjera, përdoret një koncept i tillë si "kuantili i rendit". r",ku 0 <р < 1 (shënohet Xr). Sasia e porosisë r- vlera e një ndryshoreje të rastësishme për të cilën funksioni i shpërndarjes merr vlerën rose ka një "kërcim" nga një vlerë më e vogël rnë një vlerë më të madhe r(Fig. 2). Mund të ndodhë që ky kusht të plotësohet për të gjitha vlerat e x që i përkasin këtij intervali (d.m.th. funksioni i shpërndarjes është konstant në këtë interval dhe është i barabartë me p).Atëherë çdo vlerë e tillë quhet "sasi e rendit" r".Për funksionet e shpërndarjes së vazhdueshme, si rregull, ekziston një sasi e vetme Xr urdhëroj r(Fig. 2), dhe

F(xfq)=p.(2)

Oriz. 2. Përcaktimi i sasisë Xr urdhëroj r.

Shembulli 4.Le të gjejmë sasinë Xr urdhëroj rpër funksionin e shpërndarjes F(x)nga (1).

Në 0 <р < 1 kuantil Xr gjendet nga ekuacioni

ato. Xr= a+ p (b - a) = a (1-p) + bр. Në p = 0 ndonjë XAështë një sasi e rendit fq= 0. Kuantili i rendit r= 1 është çdo numër Xb.

Për shpërndarjet diskrete, si rregull, nuk ka Xr, ekuacioni i kënaqshëm (2). Më saktësisht, nëse shpërndarja e një ndryshoreje të rastësishme është dhënë në tabelë. 1, ku x1 < х 2 <… < х te, atëherë barazia (2), e konsideruar si një ekuacion në lidhje me Xr, ka zgjidhje vetëm për kvlerat p,domethënë,

p =p1

p =p1 +fq2 ,

p = p1 +fq2 +fq3 ,

p = p1 +fq2 + rT, 3<т<к,

p = p, + p2 +… +fqk

Tabela 1. Shpërndarja e një ndryshoreje të rastësishme diskrete

Vlerat e ndryshores së rastësishme x Xx1 X2 …XkProbabilitetet P (X = x)P1 R2 …Rk

Për ato të listuara tevlerat e probabilitetit rzgjidhje Xr ekuacioni (2) nuk është unik, domethënë,

F(x) =р, +р2 +… + RT

për të gjithë Xtë tilla që XT < х < х t+1. Ato. Xr - çdo numër nga intervali (XT; xm+1). Për të gjithë të tjerët rnga intervali (0; 1), i pa përfshirë në listë (3), ka një "kërkim" nga një vlerë më pak rnë një vlerë më të madhe r.Domethënë, nëse

fq1 +fq2 +… + fqT 1 +fq2 + … + fqT+fqt+1,

Se xr=xt+1.

Vetia e konsideruar e shpërndarjeve diskrete krijon vështirësi të konsiderueshme gjatë tabelimit dhe përdorimit të shpërndarjeve të tilla, pasi është e pamundur të ruhen me saktësi vlerat numerike tipike të karakteristikave të shpërndarjes. Në veçanti, kjo është e vërtetë për vlerat kritike dhe nivelet e rëndësisë së testeve statistikore joparametrike (shih më poshtë), pasi shpërndarjet e statistikave të këtyre testeve janë diskrete.

Rendi kuantile ka një rëndësi të madhe në statistika p =½. Quhet mesatare (ndryshore e rastësishme Xose funksionet e tij të shpërndarjes F(x))dhe është caktuar Lesh).Në gjeometri ekziston koncepti i "mediane" - një vijë e drejtë që kalon nëpër kulmin e një trekëndëshi dhe ndan anën e kundërt të saj në gjysmë. Në statistikat matematikore, mediana ndan në gjysmë jo anën e trekëndëshit, por shpërndarjen e një ndryshoreje të rastësishme: barazi F(x0,5 ) = 0.5 do të thotë se probabiliteti për të shkuar në të majtë x0,5 dhe probabiliteti për të shkuar në të djathtë x0,5 (ose direkt x0,5 ) janë të barabartë me njëri-tjetrin dhe të barabartë ½ , ato.

Mediana tregon "qendrën" e shpërndarjes. Nga këndvështrimi i një prej koncepteve moderne - teorisë së procedurave të qëndrueshme statistikore - mediana është një karakteristikë më e mirë e një ndryshoreje të rastësishme sesa pritshmëria matematikore. Kur përpunohen rezultatet e matjes në një shkallë rendore (shih kapitullin mbi teorinë e matjes), mund të përdoret mesatarja, por pritshmëria matematikore jo.

Një karakteristikë e një ndryshoreje të rastësishme siç është modaliteti ka një kuptim të qartë - vlera (ose vlerat) e një ndryshoreje të rastësishme që korrespondon me maksimumin lokal të densitetit të probabilitetit për një ndryshore të rastësishme të vazhdueshme ose maksimumin lokal të probabilitetit për një ndryshore të rastësishme diskrete. .

Nëse X0 - mënyra e ndryshores së rastësishme me densitet f (x),siç dihet

nga llogaritja diferenciale,

Një ndryshore e rastësishme mund të ketë shumë mënyra. Pra, për shpërndarje uniforme (1) çdo pikë Xtë tilla që A< х < b, është modë. Megjithatë, ky është një përjashtim. Shumica e variablave të rastësishëm të përdorura në metodat statistikore probabiliste të vendimmarrjes dhe kërkime të tjera të aplikuara kanë një mënyrë. Variablat e rastësishëm, dendësia, shpërndarjet që kanë një mënyrë quhen unimodale.

Pritshmëria matematikore për variabla të rastësishme diskrete me një numër të kufizuar vlerash diskutohet në kapitullin "Ngjarjet dhe probabilitetet". Për një ndryshore të rastësishme të vazhdueshme Xpritje matematikore M(X)plotëson barazinë

Shembulli 5.Pritshmëria për një ndryshore të rastësishme të shpërndarë në mënyrë uniforme Xbarazohet

Për variablat e rastësishme të shqyrtuara në këtë kapitull, janë të vërteta të gjitha ato veti të pritjeve dhe variancave matematikore që janë konsideruar më herët për variablat e rastësishme diskrete me një numër të kufizuar vlerash. Megjithatë, ne nuk japim prova të këtyre vetive, pasi ato kërkojnë thellim në hollësitë matematikore, gjë që nuk është e nevojshme për të kuptuar dhe zbatuar kualifikuar të metodave probabilistiko-statistikore të vendimmarrjes.

Komentoni. Ky tekst shkollor shmang me vetëdije hollësitë matematikore që lidhen, veçanërisht, me konceptet e grupeve të matshme dhe funksioneve të matshme, algjebrës së ngjarjeve, etj. Ata që dëshirojnë t'i zotërojnë këto koncepte duhet t'i drejtohen literaturës së specializuar, në veçanti, enciklopedisë.

Secila nga tre karakteristikat - pritshmëria matematikore, mediana, mënyra - përshkruan "qendrën" e shpërndarjes së probabilitetit. Koncepti i "qendrës" mund të përkufizohet në mënyra të ndryshme - pra tre karakteristika të ndryshme. Sidoqoftë, për një klasë të rëndësishme shpërndarjesh - simetrike unimodale - të tre karakteristikat përkojnë.

Dendësia e shpërndarjes f(x)- dendësia e shpërndarjes simetrike, nëse ka një numër X0 të tilla që

(3)

Barazia (3) do të thotë se grafiku i funksionit y =f(x)simetrike për një vijë vertikale që kalon nga qendra e simetrisë x = x0 . Nga (3) del se funksioni i shpërndarjes simetrike plotëson relacionin

(4)

Për një shpërndarje simetrike me një modalitet, pritshmëria matematikore, mediana dhe mënyra përputhen dhe janë të barabarta X0 .

Rasti më i rëndësishëm është simetria rreth 0, d.m.th. Xn = 0. Pastaj (3) dhe (4) bëhen barazi

(5)

(6)

përkatësisht. Marrëdhëniet e mësipërme tregojnë se nuk ka nevojë të renditen shpërndarjet simetrike për të gjithë X, mjafton të kemi tabela për x X0 .

Le të vërejmë edhe një veti të shpërndarjeve simetrike, e cila përdoret vazhdimisht në metodat probabilistiko-statistikore të vendimmarrjes dhe kërkime të tjera të aplikuara. Për një funksion të shpërndarjes së vazhdueshme

P(a) = P (-a<Х a) = F(a) - F(-a),

Ku F- funksioni i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme X.Nëse funksioni i shpërndarjes Fështë simetrik rreth 0, d.m.th. Atëherë formula (6) është e vlefshme për të

P(a) =2F(a) - 1.

Shpesh përdoret një formulim tjetër i pohimit në fjalë: nëse

Nëse Dhe - sasitë e rendit α dhe 1- α në përputhje me rrethanat (shih (2)) një funksion shpërndarjeje simetrik rreth 0, atëherë nga (6) rrjedh se

Nga karakteristikat e pozicionit - pritshmëria matematikore, mediana, mënyra - le të kalojmë në karakteristikat e përhapjes së ndryshores së rastit. X:

variancat , devijimi standard σ dhe koeficienti i variacionit v. Përkufizimi dhe vetitë e dispersionit për variablat e rastësishme diskrete u diskutuan në kapitullin e mëparshëm. Për variabla të rastësishme të vazhdueshme

Devijimi standard është vlera jo negative e rrënjës katrore të variancës:

Koeficienti i variacionit është raporti i devijimit standard me pritshmërinë matematikore:

Koeficienti i variacionit zbatohet kur M(X)>0.Ai mat përhapjen në njësi relative, ndërsa devijimi standard është në njësi absolute.

Shembulli 6.Për një ndryshore të rastësishme të shpërndarë në mënyrë uniforme XLe të gjejmë dispersionin, devijimin standard dhe koeficientin e variacionit. Varianca është:

Zëvendësimi i ndryshueshëm bën të mundur shkrimin:

Ku c = (b- A)/2. Prandaj, devijimi standard është i barabartë me , dhe koeficienti i variacionit është:

Për çdo ndryshore të rastësishme Xpërcaktoni edhe tre sasi të tjera - në qendër Y,normalizuar Vdhe dhënë U.Ndryshore e rastësishme e përqendruar Y-është diferenca midis një ndryshoreje të caktuar të rastësishme Xdhe pritshmërinë e saj matematikore M(X),ato. Y= X - M(X).Pritshmëria matematikore e ndryshores së rastit të përqendruar Г është e barabartë me 0, dhe varianca është shpërndarja e kësaj ndryshoreje të rastësishme: M(Y) =0, D(Y) = D(X).Funksioni i shpërndarjes FY(x)ndryshore e rastësishme e përqendruar Ylidhur me funksionin e shpërndarjes F(x)variabël origjinale e rastësishme Xraporti:

FY(x) =F (x + M(X)).

Dendësia e këtyre ndryshoreve të rastësishme plotësojnë barazinë

fY(x) =f (x + M(X)).

Ndryshore e rastësishme e normalizuar Vështë raporti i një ndryshoreje të caktuar të rastësishme Xte devijimi standard i tij σ , d.m.th. . Pritshmëria dhe varianca e një ndryshoreje të rastësishme të normalizuar Vtë shprehura përmes karakteristikave XPra:

Ku v- koeficienti i variacionit të ndryshores së rastit origjinal X.Për funksionin e shpërndarjes Fv(x)dhe dendësia fv(x)ndryshore e rastësishme e normalizuar Vkemi:

Ku F(x)- funksioni i shpërndarjes së ndryshores së rastësishme origjinale X,a f(x) -dendësia e probabilitetit të saj.

Ndryshore e reduktuar e rastësishme U-kjo është ndryshorja e rastësishme e përqendruar dhe e normalizuar:

Për variablin e dhënë rastësor:

(7)

Ndryshoret e rastësishme të normalizuara, të përqendruara dhe të reduktuara përdoren vazhdimisht si në studimet teorike ashtu edhe në algoritme, produkte softuerike, dokumentacionin rregullator, teknik dhe udhëzues. Në veçanti, sepse bëjnë të mundur thjeshtimin e justifikimit të metodave, formulimin e teoremave dhe formulat e llogaritjes.

Përdoren transformimet e variablave të rastësishëm dhe ato më të përgjithshme. Pra, nëse Y= aX+ b,Ku Adhe b - disa numra, atëherë

(8)

Shembulli 7.Nëse Se U -jepet një ndryshore e rastësishme, dhe formulat (8) kthehen në formula (7).

Me çdo ndryshore të rastësishme Xju mund të lidhni shumë variabla të rastit Y,dhënë nga formula U= aX+bnë të ndryshme a>0Dhe b.Ky grup quhet familja e ndërrimit të shkallës,gjeneruar nga një ndryshore e rastësishme X.Funksionet e shpërndarjes FY(x)përbëjnë një familje shpërndarjesh të zhvendosjes së shkallës të gjeneruara nga funksioni i shpërndarjes F(x).Në vend të Y= aX+ bshpesh përdorin regjistrimin

(9)

Numri Mequhet parametri i zhvendosjes, dhe numri d- parametri i shkallës. Formula (9) tregon se X -rezultati i matjes së një sasie të caktuar - shkon në Y - rezultati i matjes së së njëjtës sasi nëse fillimi i matjes zhvendoset në një pikë me,dhe më pas përdorni njësinë e re të matjes, në dherë më i madh se ai i vjetër.

Për familjen e zhvendosjes së shkallës (9), shpërndarja e X quhet standarde. Në metodat statistikore probabiliste të vendimmarrjes dhe kërkime të tjera të aplikuara, përdoren shpërndarja standarde normale, shpërndarja standarde Weibull-Gnedenko, shpërndarja standarde e gama, etj. (shih më poshtë).

Përdoren gjithashtu transformime të tjera të ndryshoreve të rastësishme. Për shembull, për një ndryshore pozitive të rastit Xjanë duke konsideruar Y=g X,ku lg X-logaritmi dhjetor i një numri X.Zinxhiri i barazive

UNIVERSITETI SHTETËROR SEVASTOPOL

MM. Ghashim, T.V. Cernautanu

TIPARET E RASTËSISHME

Tutorial

Miratuar

këshilli shkencor i institutit

Sevastopol

Ghashim M.M., T.V.Cerneutanu

Funksionet e rastit: metoda edukative. kompensim. - Sevastopol: SevGU, 2015.

Ky manual përfshin tre seksione kryesore: “ ”, “ ”, “ “. Çdo seksion përfshin pyetje teorike bazë, analiza të shembujve tipikë dhe detyra për punë të pavarur me përgjigje për to.

të destinuara për studentët e vitit të tretë kur studiojnë temën "".

Rishikuesit:

Ph.D.,

Ph.D., Profesor i Asociuar

NK.Ph.S. Profesor i Asociuar

© Shtëpia Botuese SevGU, 2015

§ 1. Koncepti i një funksioni të rastësishëm…………………………………………

§ 2. Karakteristikat e funksioneve të rastit…………………………………

§ 3. Operatori i një sistemi dinamik………………………………….

§ 4. Shndërrimet lineare të funksioneve të rastit…………………

§ 5. Proceset e rastit stacionare……………………

§ 6. Zgjerimi spektral i një funksioni të rastësishëm të palëvizshëm………

§ 7. Vetia ergodike e funksioneve të rastit stacionare………….

Zgjidhja e problemeve tipike……………………………………………………………..

Probleme për zgjidhje të pavarur…………………………………

LITERATURA………………………………………………………………

Karakteristikat e rastësishme

Koncepti i një funksioni të rastësishëm.

Në rrjedhën e teorisë së probabilitetit, lënda kryesore e studimit ishin variablat e rastësishme, të cilat karakterizoheshin nga fakti se si rezultat i eksperimentit ata morën një vlerë, të panjohur paraprakisht, por vetëm një vlerë. Kjo do të thotë, fenomenet e rastësishme u studiuan sikur në "statikë", në disa kushte konstante fikse të një eksperimenti individual. Megjithatë, në praktikë shpesh duhet të merret me variabla të rastësishme që ndryshojnë vazhdimisht gjatë eksperimentit. Për shembull, këndi i plumbit kur synoni vazhdimisht një objektiv në lëvizje; devijimi i trajektores së një predheje të drejtuar nga ajo teorike gjatë kontrollit ose nisjes, etj. Në parim, çdo sistem me kontroll të automatizuar imponon kërkesa të caktuara në bazën teorike përkatëse - teorinë e kontrollit automatik. Zhvillimi i kësaj teorie është i pamundur pa analizuar gabimet që shoqërojnë në mënyrë të pashmangshme proceset e kontrollit, të cilat ndodhin gjithmonë në kushtet e shqetësimeve të rastësishme që funksionojnë vazhdimisht ose "ndërhyrjes". Këto shqetësime janë funksione të rastësishme për nga natyra e tyre. Pra:

Përkufizimi . Funksioni i rastësishëm X(t) quhet funksion i një argumenti jo të rastësishëm t, e cila për çdo vlerë fikse të argumentit është një ndryshore e rastësishme.

Forma specifike e marrë nga një funksion i rastësishëm X(t) si rezultat i përvojës quhet zbatimi funksion i rastësishëm.

Shembull . Një aeroplan në një kurs ajror ka një shpejtësi ajri teorikisht konstante V. Në fakt, shpejtësia e tij luhatet rreth kësaj vlere nominale mesatare dhe është një funksion i rastësishëm i kohës. Fluturimi mund të konsiderohet si një eksperiment në të cilin një funksion i rastësishëm V(t) pranon një zbatim specifik (Fig. 1).

Lloji i zbatimit ndryshon nga përvoja në përvojë. Nëse një regjistrues është i instaluar në një aeroplan, atëherë në çdo fluturim ai do të regjistrojë një zbatim të ri, të ndryshëm nga të tjerët, të një funksioni të rastësishëm. Si rezultat i disa fluturimeve, mund të merret një familje e zbatimeve të funksionit të rastësishëm V(t) (Fig.2).

Në praktikë, ka funksione të rastësishme që varen jo nga një argument, por nga disa, për shembull, gjendja e atmosferës (temperatura, presioni, era, reshjet). Në këtë kurs do të shqyrtojmë vetëm funksionet e rastësishme të një argumenti. Meqenëse ky argument është më së shpeshti kohë, ne do ta shënojmë atë me shkronjë t. Për më tepër, ne pajtohemi të shënojmë funksione të rastësishme me shkronja të mëdha ( X(t), Y(t), …) në kontrast me funksionet jo të rastësishme ( x(t),y(t), …).

Merrni parasysh disa funksione të rastësishme X(t). Le të supozojmë se ka qenë n eksperimente të pavarura, si rezultat i të cilave janë marrë n zbatime, të cilat i shënojmë sipas numrit të eksperimenteve x 1 (t), x 2 (t), …, x n(t). Natyrisht, çdo zbatim është një funksion i zakonshëm (jo i rastësishëm). Kështu, si rezultat i çdo eksperimenti, funksioni i rastësishëm X(t) kthehet në një funksion jo të rastësishëm.

Le të rregullojmë tani një vlerë të argumentit t. Në këtë rast, funksioni i rastësishëm X(t) do të kthehet në një ndryshore të rastësishme.

Përkufizimi. Seksioni funksion i rastësishëm X(t) është një ndryshore e rastësishme që korrespondon me një vlerë fikse të argumentit të një funksioni të rastit.

Ne shohim se një funksion i rastësishëm kombinon veçoritë e një ndryshoreje të rastësishme dhe një funksioni. Në të ardhmen ne shpesh do të shqyrtojmë të njëjtin funksion në mënyrë alternative X(t) qoftë si një funksion i rastësishëm ose si një variabël i rastësishëm, në varësi të faktit nëse ai konsiderohet në të gjithë gamën e ndryshimit t ose në vlerën e tij fikse.

Merrni parasysh variablin e rastësishëm X(t) – seksion kryq i një funksioni të rastësishëm për momentin t. Kjo ndryshore e rastësishme ka padyshim një ligj të shpërndarjes, i cili në përgjithësi varet nga t. Le ta shënojmë f(x, t). Funksioni f(x, t) quhet ligji i shpërndarjes njëdimensionale funksion i rastësishëm X(t).

Është e qartë se funksioni f(x, t) nuk është një karakteristikë e plotë, shteruese e një funksioni të rastësishëm X(t), sepse karakterizon vetëm ligjin e shpërndarjes X(t) për një të dhënë, megjithëse arbitrare t dhe nuk i përgjigjet pyetjes për varësinë e variablave të rastësishëm X(t) për të ndryshme t. Nga ky këndvështrim, një karakterizim më i plotë i funksionit të rastit X(t) është i ashtuquajturi ligji i shpërndarjes dydimensionale: f(x 1 , x 2 ; t 1 , t 2). Ky është ligji i shpërndarjes së një sistemi me dy ndryshore të rastësishme X(t 1), X(t 2), d.m.th. dy seksione arbitrare të një funksioni të rastësishëm X(t). Por kjo karakteristikë nuk është shteruese në rastin e përgjithshëm. Natyrisht, teorikisht është e mundur të rritet në mënyrë të pakufizuar numri i argumenteve dhe të merret një karakteristikë gjithnjë e më e plotë e një funksioni të rastësishëm, por është jashtëzakonisht e vështirë të operosh me karakteristika të tilla të rënda që varen nga shumë argumente. Brenda këtij kursi, ne nuk do të përdorim fare ligjet e shpërndarjes, por do të kufizohemi në marrjen në konsideratë të karakteristikave më të thjeshta të funksioneve të rastit, të ngjashme me karakteristikat numerike të ndryshoreve të rastit.

Një funksion kompleks me shtresa quhet funksion

Z(t)=X(t)+Y(t)i,

Ku X(t) Dhe Y(t)-funksionet reale të rastit të një argumenti real t.

Le të përgjithësojmë përkufizimet e pritshmërisë dhe variancës matematikore në funksione komplekse të rastësishme në mënyrë që, në veçanti, në Y = 0, këto karakteristika të përkojnë me karakteristikat e paraqitura më parë për funksionet e rastësishme reale, d.m.th., në mënyrë që të plotësohen kërkesat:

m z(t)=m x(t)(*)

Dz(t)=D x(t)(**)

Matematikore,duke pritur,funksioni kompleks i rastësishëm Z(t)=X(t)+Y(t)i quhet funksion kompleks (jo i rastësishëm)

m z ( t)=m x(t)+m y(t)i.

Në veçanti, për Y=0 marrim t z(t)=t x(t), ato. kërkesa (*) është përmbushur.

Dispersioni i funksionit kompleks të rastit Z(t) është pritshmëria matematikore e modulit në katror të një funksioni të përqendruar Z(t):

Dz(t)=M[| (t)| 2 ].

Në veçanti, për Y==0 marrim D z ( t)= M[| (t)|] 2 =D x(t), pra kërkesa (**) është përmbushur.

Duke marrë parasysh se pritshmëria matematikore e shumës është e barabartë me shumën e pritjeve matematikore të termave, kemi

Dz(t)=M[| (t)| 2 ]=M{[ (t)] 2 + [ (t) 2 ]}=M[ (t)] 2 +M[ (t) 2 ]=Dx(t)+D y(t).

Pra, varianca e një funksioni të rastësishëm kompleks është e barabartë me shumën e variancave të pjesëve të tij reale dhe imagjinare:

D z ( t)=D x(t)+D y(t).

Dihet se funksioni korrelativ i një funksioni real të rastit X(t) për vlera të ndryshme të argumenteve është e barabartë me variancën Dx(t). Le të përgjithësojmë përkufizimin e funksionit të korrelacionit në funksione të rastësishme komplekse Z(t) në mënyrë që për vlera të barabarta të argumenteve t 1 =t 2 =t funksioni i korrelacionit K z(t,t) ishte e barabartë me variancën Dz(t), d.m.th., në mënyrë që kërkesa të plotësohet

K z(t,t)=D z(t). (***)

Funksioni i korrelacionit të funksionit kompleks të rastit Z(t) quhet momenti i korrelacionit të prerjeve tërthore ( t 1) dhe ( t 2)

K z(t 1 ,t 2)= M.

Në veçanti, me vlera të barabarta të argumenteve

K z(t,t)= M=M[| | 2 ]=Dz(t).

dmth kërkesa (***) është përmbushur.

Nëse funksionet reale të rastit X(t) Dhe Y(t) janë të ndërlidhura, atëherë

K z(t 1 ,t 2)= K x(t 1 ,t 2)+K y(t 1 ,t 2)+ [Rxy(t 2 ,t 1)]+ [Rxy(t 1 ,t 1)].

Nëse X(t) Dhe Y(t) nuk janë të ndërlidhura, atëherë

K z(t 1 ,t 2)= K x(t 1 ,t 2)+K y(t 1 ,t 2).

Le të përgjithësojmë përkufizimin e funksionit të ndërlidhjes me funksione të rastësishme komplekse Z 1 (t)=X 1 (t)+Y 1 (t)i Dhe Z 2 (t)=X 2 (t)+Y 2 (t)i në mënyrë që, në veçanti, kur Y 1 =Y 2 = Kërkesa 0 plotësohet

Funksioni i ndërlidhjes së dy funksioneve komplekse të rastit thirrni një funksion (jo rastësor)

Në veçanti, kur Y 1 =Y 2 =0 marrim

dmth kërkesa (****) është përmbushur.

Funksioni i ndërlidhjes së dy funksioneve komplekse të rastit shprehet përmes funksioneve të ndërlidhura të pjesëve të tyre reale dhe imagjinare me formulën e mëposhtme:

Detyrat

1. Gjeni pritshmërinë matematikore të funksioneve të rastit:

a) X(t)=Ut 2 ku U- ndryshore e rastësishme, dhe M(U)=5 ,

b)X(t)= U cos2 t+Vt, Ku U Dhe V- variablat e rastësishëm, dhe M(U)=3 ,M(V)=4 .

Rep. a) m x (t)=5t2; b) t x (t)=3 cos2t+4t.

2. K x(t 1 ,t 2) funksion i rastësishëm X(t). Gjeni funksionet e korrelacionit të funksioneve të rastit:

a) Y(t)=X(t)+t; b) Y(t)=(t+1)X(t); V) Y(t)=4X(t).

Rep. a) K y (t 1,t 2)= K x (t 1,t 2); b) K y (t 1 ,t 2)=(t 1 +1) (t 2 +1) K x (t 1 ,t 2); c) K y (t 1 ,t 2)=16 K x (t 1 ,t 2)=.

3. Varianca është specifikuar Dx(t) funksion i rastësishëm X(t). Gjeni variancën e funksioneve të rastit: a) Y(t)=X(t)+e t b)Y(t)=tX(t).

Përgjigju. a) Dy(t)=D x(t); b) Dy(t)=t 2 Dx(t).

4. Gjeni: a) pritjen matematikore; b) funksioni i korrelacionit; c) variancën e një funksioni të rastit X(t)=Usin 2t, Ku U- ndryshore e rastësishme, dhe M(U)=3 ,D(U)=6 .

Përgjigju. A) m x(t) =3mëkat 2t; b) K x(t 1 ,t 2)= 6mëkat 2t 1 mëkat 2t 2 ; V) Dx(t)=6mëkat 2 2t.

5. Gjeni funksionin e korrelacionit të normalizuar të funksionit të rastit X(t), duke ditur funksionin e tij korrelativ K x(t 1 ,t 2)=3cos(t 2 -t 1).

Rep. ρ x (t 1 ,t 2)=cos(t 2 -t 1).

6. Gjeni: a) funksionin e ndërlidhjes; b) funksioni i ndërlidhur i normalizuar i dy funksioneve të rastit X(t)=(t+1)U, dhe Y( t)= (t 2 + 1)U, Ku U- ndryshore e rastësishme, dhe D(U)=7.

Përgjigju. a) Rxy(t 1 ,t 2)=7(t 1 + l)( t 2 2 +l); b) ρ xy(t 1 ,t 2)=1.

7. Janë dhënë funksionet e rastësishme X(t)= (t- 1)U Dhe Y(t)=t 2 U, Ku U Dhe V- variabla të rastësishme të pakorreluara, dhe M(U)=2, M(V)= 3,D(U)=4 , D(V)=5 . Gjeni: a) pritjen matematikore; b) funksioni i korrelacionit; c) variancën e shumës Z(t)=X(t)+Y(t).

Shënim. Sigurohuni që funksioni i ndërlidhjes së funksioneve të rastit të dhënë është i barabartë me zero dhe, për rrjedhojë, X(t) Dhe Y(t) nuk janë të ndërlidhura.

Përgjigju. A) m z(t)=2(t- 1)+3t 2 ; b) K z(t 1 ,t 2)=4(t 1 - l)( t 2 - 1)+6t 1 2 t 2 2 ; V) Dz(t)=4(t- 1) 2 +6t 4.

8. Jepet pritshmëria matematikore m x(t)=t 2 +1 funksion i rastësishëm X(t). Gjeni pritshmërinë matematikore të derivatit të tij.

9. Jepet pritshmëria matematikore m x(t)=t 2 +3 funksion i rastësishëm X(t). Gjeni pritshmërinë matematikore të një funksioni të rastësishëm Y(t)=tX"(t)+t 3.

Rep. m y (t)=t 2 (t+2).

10. Është dhënë funksioni i korrelacionit K x(t 1 ,t 2)= funksion i rastësishëm X(t). Gjeni funksionin e korrelacionit të derivatit të tij.

11. Është dhënë funksioni i korrelacionit K x(t 1 ,t 2)= funksion i rastësishëm X(t). Gjeni funksionet e ndërlidhjes.