Dy ndryshore të rastësishme $X$ dhe $Y$ quhen të pavarura nëse ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme nuk ndryshon në varësi të asaj që vlerat e mundshme mori një variabël tjetër të rastësishëm. Kjo do të thotë, për çdo $x$ dhe $y$, ngjarjet $X=x$ dhe $Y=y$ janë të pavarura. Meqenëse ngjarjet $X=x$ dhe $Y=y$ janë të pavarura, atëherë, sipas produktit të teoremës së probabiliteteve, ngjarje të varura$P\left(\majtas(X=x\djathtas)\majtas(Y=y\djathtas)\djathtas)=P\majtas(X=x\djathtas)P\majtas(Y=y\djathtas)$.

Shembulli 1 . Lëreni variablin e rastësishëm $X$ të shprehë fitimet në para nga biletat e një llotarie "Lotto ruse" dhe ndryshorja e rastësishme $Y$ të shprehë fitimet në para nga biletat e një llotarie tjetër "Çelësi i Artë". Është e qartë se variablat e rastësishëm $X,\Y$ do të jenë të pavarura, pasi fitimet nga biletat e një llotarie nuk varen nga ligji i shpërndarjes së fitimeve nga biletat e një llotarie tjetër. Në rastin kur variablat e rastësishëm $X,\Y$ do të shprehnin fitimet e së njëjtës llotari, atëherë, padyshim, këto variabla të rastit do të vareshin.

Shembulli 2 . Dy punëtorë punojnë në punishte të ndryshme dhe prodhojnë produkte të ndryshme që nuk kanë lidhje me njëra-tjetrën nga teknologjitë e prodhimit dhe lëndët e para të përdorura. Ligji i shpërndarjes për numrin e produkteve me defekt të prodhuara nga punëtori i parë për ndërrim ka formën e mëposhtme:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
Numri i \ produkteve me defekt \ x & 0 & 1 \\
\hline
Probabiliteti & 0,8 & 0,2 \\
\hline
\fund (arresë)$

Numri i produkteve me defekt të prodhuara nga punëtori i dytë për ndërrim i nënshtrohet duke ndjekur ligjin shpërndarjet.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
Numri i \ produkteve me defekt \ y & 0 & 1 \\
\hline
Probabiliteti & 0,7 & 0,3 \\
\hline
\fund (arresë)$

Le të gjejmë ligjin e shpërndarjes për numrin e produkteve me defekt të prodhuara nga dy punëtorë për ndërrim.

Le të jetë ndryshorja e rastësishme $X$ numri i produkteve me defekt të prodhuara nga punëtori i parë për ndërrim dhe $Y$ numri i produkteve me defekt të prodhuar nga punëtori i dytë për ndërrim. Sipas kushtit, variablat e rastësishëm $X,\Y$ janë të pavarura.

Numri i produkteve me defekt të prodhuara nga dy punëtorë për ndërrim është një ndryshore e rastësishme $X+Y$. Vlerat e tij të mundshme janë $0,\ 1$ dhe $2$. Le të gjejmë probabilitetet me të cilat ndryshorja e rastësishme $X+Y$ merr vlerat e saj.

$P\majtas(X+Y=0\djathtas)=P\majtas(X=0,\ Y=0\djathtas)=P\majtas(X=0\djathtas)P\majtas(Y=0\djathtas) =0.8\cdot 0.7=0.56.$

$P\majtas(X+Y=1\djathtas)=P\majtas(X=0,\ Y=1\ ose\ X=1,\ Y=0\djathtas)=P\majtas(X=0\djathtas )P\majtas(Y=1\djathtas)+P\majtas(X=1\djathtas)P\majtas(Y=0\djathtas)=0,8\cdot 0,3+0,2\cdot 0,7 =0,38.$

$P\majtas(X+Y=2\djathtas)=P\majtas(X=1,\ Y=1\djathtas)=P\majtas(X=1\djathtas)P\majtas(Y=1\djathtas) =0.2\cdot 0.3=0.06.$

Pastaj ligji i shpërndarjes së numrit të produkteve me defekt të prodhuara nga dy punëtorë për ndërrim:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
Numri i produkteve \ me defekt & 0 & 1 & 2 \\
\hline
Probabiliteti & 0,56 & 0,38 & 0,06\\
\hline
\fund (arresë)$

Në shembullin e mëparshëm kemi kryer një operacion në variablat e rastësishëm$X,\ Y$, domethënë, ata gjetën shumën e tyre $X+Y$. Le të japim tani një përkufizim më rigoroz të veprimeve (mbledhje, diferencë, shumëzim) mbi ndryshoret e rastësishme dhe të japim shembuj zgjidhjesh.

Përkufizimi 1. Produkti $kX$ i një ndryshoreje të rastësishme $X$ nga një ndryshore konstante $k$ është një ndryshore e rastësishme që merr vlera $kx_i$ me të njëjtat probabilitete $p_i$ $\left(i=1,\ 2,\ \pika ,\ n\ djathtas)$.

Përkufizimi 2. Shuma (ndryshimi ose produkti) i ndryshoreve të rastësishme $X$ dhe $Y$ është një ndryshore e rastësishme që merr të gjitha vlerat e mundshme të formës $x_i+y_j$ ($x_i-y_i$ ose $x_i\cdot y_i$) , ku $i=1 ,\ 2,\dots ,\ n$, me probabilitete $p_(ij)$ që ndryshorja e rastësishme $X$ të marrë vlerën $x_i$ dhe $Y$ vlerën $y_j$:

$$p_(ij)=P\majtas[\majtas(X=x_i\djathtas)\majtas(Y=y_j\djathtas)\djathtas].$$

Meqenëse variablat e rastësishëm $X,\Y$ janë të pavarura, atëherë nga teorema e shumëzimit të probabilitetit për ngjarje të pavarura: $p_(ij)=P\majtas(X=x_i\djathtas)\cdot P\left(Y=y_j\djathtas)=p_i\cdot p_j$.

Shembulli 3 . Variablat e pavarur të rastësishëm $X,\ Y$ janë të specifikuara nga ligjet e tyre të shpërndarjes së probabilitetit.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
x_i & -8 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0.4 & 0.1 & 0.5 \\
\hline
\fund (arresë)$

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
y_i & 2 & 8 \\
\hline
p_i & 0.3 & 0.7 \\
\hline
\fund (arresë)$

Le të formulojmë ligjin e shpërndarjes së ndryshores së rastësishme $Z=2X+Y$. Shuma e ndryshoreve të rastësishme $X$ dhe $Y$, domethënë $X+Y$, është një variabël e rastësishme që merr të gjitha vlerat e mundshme të formës $x_i+y_j$, ku $i=1,\ 2 ,\dots,\ n$, me probabilitete $p_(ij)$ që ndryshorja e rastësishme $X$ të marrë vlerën $x_i$ dhe $Y$ vlerën $y_j$: $p_(ij)=P\majtas [\majtas(X=x_i\djathtas )\left(Y=y_j\djathtas)\djathtas]$. Meqenëse variablat e rastësishëm $X,\Y$ janë të pavarura, atëherë sipas teoremës së shumëzimit të probabilitetit për ngjarje të pavarura: $p_(ij)=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\ djathtas)= p_i\cdot p_j$.

Pra, ai ka ligje të shpërndarjes për variablat e rastësishëm $2X$ dhe $Y$, respektivisht.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
x_i & -16 & 4 & 6 \\
\hline
p_i & 0.4 & 0.1 & 0.5 \\
\hline
\fund (arresë)$

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
y_i & 2 & 8 \\
\hline
p_i & 0.3 & 0.7 \\
\hline
\fund (arresë)$

Për lehtësinë e gjetjes së të gjitha vlerave të shumës $Z=2X+Y$ dhe probabiliteteve të tyre, ne do të përpilojmë një tabelë ndihmëse, në secilën qelizë të së cilës do të vendosim në këndin e majtë vlerat e shumës $. Z=2X+Y$, dhe në këndin e djathtë - probabilitetet e këtyre vlerave janë marrë si rezultat i shumëzimit të probabiliteteve të vlerave përkatëse të variablave të rastësishëm $2X$ dhe $Y$.

Si rezultat, marrim shpërndarjen $Z=2X+Y$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
z_i & -14 & -8 & 6 & 12 & 10 & 16 \\
\hline
p_i & 0,12 & 0,28 & 0,03 & 0,07 & 0,15 & 0,35 \\
\hline
\fund (arresë)$

Ndryshorja e rastësishme është funksion real, vlera e të cilit përcaktohet nga rezultati i një eksperimenti arbitrar. Me fjalë të tjera, një ndryshore e rastësishme cakton një vlerë reale për çdo pikë në hapësirën e mostrës. Në seksionin e mëparshëm, ne përcaktuam probabilitetet e popullatave të fundme të ngjarjeve duke llogaritur frekuencën relative të shfaqjes së secilës ngjarje. Për të përcaktuar densitetin e probabilitetit dhe funksionin e shpërndarjes së ndryshoreve të rastësishme të vazhdueshme të përcaktuara në grupe të pafundme ngjarjesh, përdoret kalimi në kufi. Të rëndësishme për prezantim të mëtejshëm do të jenë konceptet e probabilitetit me kalimin e kohës dhe probabilitetit mbi një ansambël, të cilat drejtpërsëdrejti çojnë në përcaktimin e një procesi të rastësishëm si një hapësirë ​​mostër e përbërë nga ngjarje që janë funksione të kohës. Kështu, një proces i rastësishëm mund të përfaqësohet si një grup funksionesh të kohës. Në kap. 3 do të japë një pasqyrë të teorisë procese të rastësishme. Në këtë kapitull ne do të kufizohemi vetëm në variablat e rastësishëm.

Kur hapësira e mostrës për eksperiment i rastësishëm përbëhet nga një grup vlerash të vazhdueshme, dhe për këtë arsye të pafundme, probabiliteti për të marrë një vlerë ose element specifik të grupit është zero. Megjithatë, shuma e (probabiliteteve mbi një numër të pafund elementësh në të gjithë hapësirën e mostrës duhet të jetë e barabartë me një. Në këto raste, është e përshtatshme të përcaktohet funksioni i shpërndarjes së probabilitetit si më poshtë:

ku është probabiliteti që është më i vogël ose i barabartë me . Për ta lidhur këtë me atë të marrë më parë probabilitet diskrete, duhet vetëm të theksohet se ne thjesht e përkufizojmë një ngjarje si ajo, ose, më saktësisht, se një ngjarje është një grup rezultatesh që i përkasin hapësirës së mostrës, të tilla që, d.m.th.

Nëse është një ngjarje

atëherë, duke përdorur formulën (2.16), marrim se probabiliteti i ngjarjes

Nëse , atëherë nga shprehja e mëparshme gjejmë

(2.19)

Kufiri në formulën (2.19) në , nëse ekziston, quhet funksioni i densitetit të probabilitetit:

Nga përkufizimi sipas (2.18) dhe ngjarja sipas (2.17) del se

Kështu, probabiliteti që një ngjarje të jetë më e madhe se , por më e vogël se ose e barabartë me, është e barabartë me funksionin e densitetit të probabilitetit shumëzuar me . Nga ekuacioni (2.20) rezulton se funksioni i shpërndarjes së probabilitetit mund të merret duke integruar funksionin e densitetit të probabilitetit

. (2.22)

Disa veti të densitetit të probabilitetit dhe funksioneve të shpërndarjes që duhet t'u kushtoni vëmendje janë dhënë më poshtë:

për të gjithë (2.23v)

Për të gjithë (2.23 g)

(2.23 ditë)

Këtu janë disa shembuj të përdorur zakonisht shpërndarjet e vazhdueshme(më poshtë në të gjitha rastet):

Uniforma:

Eksponenciale:

Pulsi:

Releyevskoe:

Gaussian (normale):

Këtu është funksioni delta; - funksioni i hapit të njësisë duke filluar në ; - integrale tabelare

.

Grafikët e funksioneve të mësipërme janë paraqitur në Fig. 2.1. Shpërndarja e impulseve tregon se shpërndarjet diskrete mund të paraqiten si të vazhdueshme me dendësi si funksione delta. Shpërndarja normale është shumë e rëndësishme, siç do ta shohim më vonë.

Fig 2.1 Shembuj të shpërndarjeve të vazhdueshme të probabilitetit: a) uniforme; b) eksponenciale; c) pulsuese; d) Rayleigh; e) Gausian

Nëse ka dy ndryshore të rastësishme dhe , ne mund të përcaktojmë një funksion të shpërndarjes së probabilitetit dydimensional:

e cila paraqet probabilitetin e më pak ose të barabartë me dhe më të vogël se ose të barabartë me . Për ta lidhur këtë funksion me dydimensionale funksion diskret Shpërndarja e probabilitetit, duhet vetëm të vërejmë, si në rastin njëdimensional, se një ngjarje e përkufizojmë si një ngjarje në të cilën, ; me fjale te tjera

(2.25)

Tani le ta përcaktojmë ngjarjen si më poshtë:

atëherë probabiliteti i ndodhjes së ngjarjes

ku ngjarjet , dhe përcaktohen si

Të dyja pjesët e formulës (2.25) mund të ndahen dhe të shkruhen përmes funksioneve të shpërndarjes:

Duke kaluar në kufi, ne marrim

Nëse tani përcaktojmë kufirin në , marrim rezultatin e rëndësishëm të mëposhtëm:

. (2.31)

Shprehja është funksioni i përbashkët i densitetit të probabilitetit të dy ndryshoreve të rastit. Nga përkufizimi i ngjarjes del qartë se

Kjo shprehje është një përkufizim tjetër i densitetit të probabilitetit të dy ndryshoreve të rastit. Probabiliteti që dhe shtrihet në rajonin drejtkëndor të formuar nga rritjet është i barabartë me vlerën e funksionit të densitetit të probabilitetit të shumëzuar me sipërfaqen e drejtkëndëshit të formuar nga rritjet.

Funksioni i shpërndarjes së probabilitetit mund të shkruhet duke integruar shprehjen (2.31):

. (2.33)

Disa veti të densiteteve dydimensionale dhe funksioneve të shpërndarjes të cilave duhet t'u kushtoni vëmendje janë dhënë më poshtë:

(2.34b)

Per te gjithe ; (2.34v)

Per te gjithe ; (2.34 g)

(2.34d)

(2.34e)

për të gjithë dhe (2.34f)

(2,34z)

Nëse ka më shumë se dy ndryshore të rastësishme, shënimi që kemi përdorur deri tani bëhet i rëndë. Është shumë më fitimprurëse të përdoret shënimi vektorial. Prandaj, është e përshtatshme për të përcaktuar një vektor kolone -dimensionale si

(2.35)

ku simboli do të thotë transpozoj. Do të na duhet edhe rritja e vektorit -dimensional, të cilin do ta përcaktojmë si

(2.36)

Këtu është një element skalar. Duhet të keni kujdes që ta dalloni nga vektori diferencial, të cilin do ta përcaktojmë si

(2.37)

Për lehtësi, do të themi se një vektor është më i vogël se një tjetër kur çdo komponent i të parit është më i vogël se komponenti përkatës i të dytit. Pra, shënimet e mëposhtme janë ekuivalente:

Në formë vektoriale:

(2.40)

(2.41)

ku integrali me kufijtë vektorial është një integral -dimensional. Mund të verifikojmë në mënyrë të përsëritur se paraqitja vektoriale e variablave të rastësishme është shumë më e lehtë për t'u kuptuar dhe për t'u përdorur mbi to sesa paraqitja ekuivalente skalare.

Shpesh është me interes të arrish shpërndarjen ose dendësinë e vetëm një sasie mbi shpërndarja e përbashkët ose dendësia. Për dy ndryshore të rastësishme, nga f-l (2.33) dhe (2.34d) vijon

(2.43)

Kështu, densiteti i probabilitetit individual

(2.44)

Për rastin -dimensionale, densiteti individual i probabilitetit të një vlere ( komponenti i th i vektorit ) mund të shprehet lehtësisht nëse përcaktojmë vektorin -dimensional si vektor origjinal në të cilin është përjashtuar komponenti i th, d.m.th.

Meqenëse funksioni i densitetit të probabilitetit të një vektori të rastësishëm është një funksion dendësia e kyçeve, atëherë dendësia individuale e probabilitetit mund të përfaqësohet si

(2.46)

Ky rezultat shtrihet lehtësisht në rastin kur dikush dëshiron të marrë densitetin e përbashkët për më shumë se një ndryshore të rastësishme nga densiteti i përbashkët për variablat e rastit.

Në shumë raste, për të përcaktuar variablat e rastësishme të vazhdueshme, duhet të dini funksionet e shpërndarjes së kushtëzuar dhe të densitetit sasitë skalare dhe , dhe pastaj zgjeroni rezultatin në variablat e rastësishme vektoriale dhe

Le të përcaktojmë dy ngjarje dhe:

, (2.47)

Pastaj, sipas (2.10), probabiliteti që është më i madh se , por më i vogël se ose i barabartë me, me kusht që vlera të jetë në intervalin nga deri në , është i barabartë. Nëse vendosim (2.65)

Në shumë raste, në teorinë e vlerësimit dhe aplikimin e saj në komunikim dhe kontroll, është e nevojshme të llogaritet densiteti i probabilitetit të një funksioni të ndryshoreve të rastit. Tani le ta kthejmë vëmendjen tonë te kjo detyrë e rëndësishme.

Dy dimensionale quhet ndryshore e rastit ( X; Y), vlerat e mundshme të të cilit janë çifte numrash ( x; y).

Variabla të rastësishme X Dhe Y, të marra së bashku, formojnë një sistem prej dy ndryshoresh të rastësishme. Secila nga sasitë X Dhe Y thirrur komponent(komponent).

Një karakteristikë e përgjithshme e një ndryshoreje të rastësishme dydimensionale është funksioni i shpërndarjes së probabilitetit, e cila paraqet probabilitetin e ngjarjes ( X < x, Y < y); F(x,y) = P(X < x, Y < y).

Ka variabla të rastësishme dydimensionale diskrete (përbërësit e këtyre sasive janë diskrete) dhe të vazhdueshme (përbërësit e këtyre sasive janë të vazhdueshme).

Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme dydimensionale diskrete thirrur listën e vlerave të mundshme të kësaj sasie (p.sh. çifte numrash) (x i ; y i) dhe probabilitetet e tyre fq(x i ; y j) (i = 1, 2, …, n; j = 1, 2, …, m).

Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme dydimensionale mund të specifikohet në formën e një tabele me hyrje të dyfishtë që përmban vlerat e mundshme dhe probabilitetet e tyre, si dhe në mënyrë analitike, për shembull, në formën e një funksioni shpërndarjeje.

Duke ditur ligjin e shpërndarjes së një sasie diskrete dydimensionale, mund të gjenden ligjet e shpërndarjes së secilit prej përbërësve.

Për shembull, ngjarjet ( X = x 1 , Y = y 1), (X = x 1 , Y = y 2), …, (X = x 1 , Y = = y m) janë të papajtueshme, prandaj

Kështu, probabiliteti që X do të marrë vlerën x i, është e barabartë me shumën e probabiliteteve të kolonës x i. Në mënyrë të ngjashme, duke shtuar probabilitetet e rreshtit y j, marrim probabilitetin P(Y = y j).

Shembulli 3.1. Gjeni ligjet e shpërndarjes së përbërësve të një ndryshoreje të rastësishme dydimensionale të specifikuar nga ligji i shpërndarjes në formën e tabelës së mëposhtme:

Zgjidhje. Duke shtuar probabilitetet nëpër kolona, ​​marrim probabilitetet e vlerave të mundshme X: P(x 1) = 0,16; P(x 2) = 0,48; P(x 3) = 0,36.

Le të shkruajmë ligjin e shpërndarjes së komponentit X në formë tabele:

Kontrolloni: 0,60 + 0,40 = 1.

3.1. Ligjet e kushtëzuara të shpërndarjes së probabilitetit të përbërësve të një ndryshoreje të rastësishme dydimensionale diskrete

Shpërndarja e kushtëzuar e komponentit X në Y = y j quhet një grup probabilitetesh të kushtëzuara P(x 1 y j), P(x 2  y j), …, P(x n  y j), llogaritur nën supozimin se ngjarja Y = y j (j ka të njëjtin kuptim për të gjitha vlerat e mundshme X) tashmë ka mbërritur.

Shpërndarja e kushtëzuar e komponentit përcaktohet në mënyrë të ngjashme Y.

Ligji i shpërndarjes me kusht X duke supozuar se ngjarja Y = y 1 ka ndodhur tashmë, mund të gjendet duke përdorur formulën e mëposhtme:

. (77)

Në rastin e përgjithshëm, ligjet e kushtëzuara për komponentin X mund të paraqitet në formën e formulës

. (78)

Për komponentin Y ligjet e kushtëzuara përcaktohen me formulë

. (79)

Shembulli 3.2. Gjeni ligjin e shpërndarjes së kushtëzuar të komponentit X me kusht që komponenti Y mori kuptimin y 1 dhe një ndryshore e rastësishme dydimensionale ( X, Y) jepet nga tabela:

Zgjidhje. Duke përdorur formulën

,

Ku P(y 1) = 0,10 + 0,30 + 0,20 = 0,60, gjejmë:

;

;

.

Kapitulli 2. Ndryshoret e rastësishme

Ka një klasë ngjarje të rastësishme duke pasur vlerat numerike. Për shembull, në një eksperiment me zare rezultatet e mundshme të një rrotullimi karakterizohen nga numrat 1, 2, 3, 4, 5, 6. Zakonisht thuhet se në eksperimente të ngjashme Vëzhgohen variabla të rastësishëm, jo ​​ngjarje të rastësishme. Roli i ngjarjeve të rastësishme luhet nga vlerat e mundshme të një ndryshoreje të rastësishme. Variablat e rastësishëm janë sasi që, si rezultat i testimit, mund të marrin disa vlera të mundshme të panjohura më parë me probabilitete të caktuara. Në varësi të fuqisë së grupit të vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme, dallohen ndryshoret e rastësishme diskrete dhe të vazhdueshme.

Diskrete është një ndryshore e rastësishme që merr vlera të mundshme të veçanta, të izoluara me probabilitete të caktuara. Numri i vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme diskrete mund të jetë i kufizuar.

Continuous është një ndryshore e rastësishme që mund të marrë të gjitha vlerat nga një interval i fundëm ose i pafund. Numri i vlerave të mundshme është i pafund. Kur përshkruani një ndryshore të rastësishme të vazhdueshme, është thelbësisht e pamundur të shkruani dhe numëroni të gjitha vlerat e tij të mundshme, madje edhe që i përkasin një intervali mjaft të vogël. Këto vlera formohen grup i pafund, i cili quhet vazhdimësi.

Teoria e variablave të rastit studion dukuritë probabiliste në statikë, duke i konsideruar ato si disa rezultate të testimit të regjistruara. Për të përshkruar proceset që shfaqen në zhvillim me kalimin e kohës, d.m.th dinamike dukuritë e rastësishme, përdoren metoda të teorisë së proceseve të rastësishme, të cilat gjithashtu mund të jenë diskrete dhe të vazhdueshme.

2.1. Variabla të rastësishme diskrete

Specifikimi i një ndryshoreje të rastësishme diskrete. Për të specifikuar një ndryshore të rastësishme diskrete, nuk mjafton të listoni vlerat e saj të mundshme, duhet të tregoni edhe probabilitetet e këtyre vlerave.

Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete është korrespondenca midis vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme diskrete dhe probabiliteteve të tyre. Mund të specifikohet në mënyrë tabelare ose analitike.

Për shembull, një tabelë që karakterizon variablin e rastësishëm të krijuar nga një die

ku janë vlerat e mundshme të ndryshores së rastësishme dhe është probabiliteti i shfaqjes së këtyre vlerave. ku .

Në vijim, variablat e rastësishëm, në ndryshim nga vlerat e tyre të mundshme, do të shënohen me të mëdha me shkronja latine.

Për ilustrim detyrë analitike shpërndarjen e një ndryshoreje diskrete të rastësishme, ne përdorim kushtet për të cilat është marrë formula e Bernoulli-t, duke marrë parasysh si numrin e dukurive të ngjarjes në këto teste. Për të gjetur ligjin e shpërndarjes, është e nevojshme të përcaktohen vlerat e mundshme dhe probabilitetet e tyre. Natyrisht, një ngjarje në teste ose mund të mos shfaqet, ose të shfaqet 1 herë ose 2 herë. . . , ose herë. Pra, vlerat e mundshme janë: .

Probabilitetet e këtyre vlerave të mundshme mund të llogariten duke përdorur formulën e Bernoulli , Ku . Kjo formulë është shprehja analitike e ligjit të shpërndarjes së dëshiruar. Kjo shpërndarje, e përcaktuar me formulën e Bernulit, quhet binom. Emri shpjegohet me faktin se anën e djathtë kjo formulë mund të konsiderohet si anëtar i përbashkët zgjerimi i binomit të Njutonit:

Termi i parë i zgjerimit përcakton probabilitetin që ngjarja në fjalë të ndodhë një herë në çdo teste të pavarura, herën e dytë, sezonin e fundit - ngjarja nuk do të shfaqet as edhe një herë në teste.

Duke përdorur arsyetime të ngjashme, ne mund të marrim shprehje analitike për shpërndarjen Poisson, ku .

Karakteristikat numerike të ndryshoreve diskrete të rastësishme. Ligji i shpërndarjes karakterizon plotësisht variablin e rastësishëm. Megjithatë, shpesh ligji i shpërndarjes është i panjohur dhe njeriu duhet të kufizohet në më pak pershkrim i detajuar si karakteristikat numerike variablat e rastësishëm.

Karakteristikat numerike më të rëndësishme të variablave të rastit përfshijnë vlera e pritur .

Pritja matematikore e një ndryshoreje të rastësishme diskrete është shuma e produkteve të të gjitha vlerave të saj të mundshme dhe probabiliteteve të tyre, d.m.th.

Nga përkufizimi rezulton se pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të rastësishme diskrete është një vlerë konstante jo e rastësishme.

Kuptimi probabilistik i pritshmërisë matematikore është se ajo është e përafërt (aq më e saktë është numër më i madh teste) është e barabartë me mesataren aritmetike të vlerave të vëzhguara të ndryshores së rastësishme.

Vetitë e pritjes matematikore:

a) pritshmëria matematikore vlerë konstante e barabartë me më konstanten;

b) faktori konstant mund të hiqet nga shenja e pritjes matematikore;

c) pritshmëria matematikore e produktit të disa variablave të rastësishme të pavarura reciprokisht është e barabartë me produktin e pritjeve të tyre matematikore;

d) pritshmëria matematikore e shumës së disa variablave të rastit është e barabartë me shumën e pritjeve të tyre matematikore. Kjo veti është e vërtetë si për ndryshoret e rastësishme të pavarura ashtu edhe për ato të varura;

e) pritshmëria matematikore e numrit të dukurive të ngjarjes A V n provat e pavarura është e barabartë me produktin e numrit të provave n sipas probabilitetit fq ndodhja e një ngjarjeje në çdo provë, pra pritshmëria matematikore e një shpërndarjeje binomiale.

Në praktikë, shpesh është e nevojshme të vlerësohet shpërndarja e vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme rreth vlerës së saj mesatare. Devijimi është ndryshimi midis një ndryshoreje të rastësishme dhe pritshmërisë së saj matematikore, d.m.th., por, meqenëse pritshmëria matematikore e devijimit është zero, d.m.th. , atëherë këshillohet që devijimet e tyre të zëvendësohen me katrorë. Rezultati është karakteristika numerike e mëposhtme e një ndryshoreje të rastësishme, e quajtur dispersion dhe përcaktohet me formulën:

Kështu, varianca e një ndryshoreje të rastësishme diskrete është pritshmëria matematikore e devijimit në katror të një ndryshoreje të rastësishme nga pritshmëria e saj matematikore.

Le të jepet një ndryshore e rastësishme diskrete nga ligji i shpërndarjes

Dhe pastaj, sipas përkufizimit, varianca është e barabartë me

Sidoqoftë, është më i përshtatshëm për t'u përdorur formulën e mëposhtme.

Karakteristikat e shpërndarjes:

a) dispersioni i një vlere konstante është zero;

b) faktori konstant mund të nxirret nga shenja e dispersionit duke e kuadruar atë ;

c) varianca e shumës së disa ndryshoreve të rastit të pavarura reciprokisht është e barabartë me shumën e variancave të këtyre variablave;

d) varianca e diferencës ndërmjet dy ndryshoreve të rastësishme të pavarura është e barabartë me shumën e variancave të tyre;

e) shpërndarja e numrit të ndodhive të një ngjarjeje në prova të pavarura, në secilën prej të cilave probabiliteti i ndodhjes së ngjarjes është konstante, është i barabartë me produktin e numrit të provave nga probabiliteti i ndodhjes dhe probabiliteti i mos- ndodhja e ngjarjes në një provë, pra shpërndarja e shpërndarjes binomiale;

f) varianca e shpërndarjes Poisson;

dhe) Rrenja katrore nga varianca e ndryshores së rastësishme X quhet devijimi standard i ndryshores së rastit X .

Vetitë e devijimit standard të një ndryshoreje të rastësishme:

a) devijimi standard i një vlere konstante është zero;

b) kur një ndryshore e rastësishme shumëzohet me një konstante, devijimi standard i saj shumëzohet me të njëjtën konstante;

c) devijimi standard i shumës numër i kufizuar e variablave të rastësishme të pavarura në çift është e barabartë me rrënjën katrore të shumës së katrorëve të devijimeve standarde të këtyre variablave .

Variabla të rastësishme diskrete me shumë variabla

Deri më tani, ne kemi konsideruar variabla të rastësishëm, vlerat e mundshme të të cilave përcaktoheshin nga një numër i vetëm. Variabla të tilla të rastësishme quhen njëdimensionale. Nëse vlerat e mundshme të ndryshoreve të rastësishme përcaktohen nga dy, tre, . . . n numrat, atëherë quhen dydimensionale, tredimensionale, . . . n- variabla të rastësishme dimensionale.

Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme dydimensionale diskrete (X,Y) thirrni një listë të vlerave të mundshme të kësaj sasie, d.m.th., çifte numrash (x i, y j) dhe probabilitetet e tyre p(x i, y j). Ligji i shpërndarjes mund të specifikohet në formën e një tabele.

Që nga ngjarjet (X=x i, Y=y i) në i=1,2, . . ., n Dhe j=1,2, . . . , m formë grupi i plotë ngjarjet, atëherë shuma e probabiliteteve në të gjitha qelizat e tabelës është e barabartë me 1. Probabiliteti që X do të marrë vlerën x i e barabartë me shumën e probabiliteteve në i kolona e th. Po kështu, probabiliteti që Y do të marrë vlerën y j e barabartë me shumën e probabiliteteve në j rreshti i th.

Për të karakterizuar varësinë midis përbërësve të një ndryshoreje të rastësishme dydimensionale, është prezantuar koncepti i shpërndarjes së kushtëzuar. Shpërndarja e kushtëzuar, për shembull, komponenti X në Y=y j quhet një grup probabilitetesh të kushtëzuara të llogaritura nën supozimin se ngjarja Y=y j tashmë ka mbërritur.

Karakteristika më e rëndësishme shpërndarja e kushtëzuar është pritshmëria matematikore e kushtëzuar. Pritshmëria matematikore e kushtëzuar ndryshore diskrete e rastësishme X në Y=y, Ku y- një vlerë e caktuar e mundshme Y, quhet prodhim i vlerave të mundshme X mbi probabilitetet e tyre të kushtëzuara

.

Për të përshkruar një sistem me dy ndryshore të rastësishme, përveç pritjeve matematikore dhe variancave të përbërësve, përdoren karakteristika të tjera, të cilat, para së gjithash, përfshijnë momenti i korrelacionit dhe koeficienti i korrelacionit.

Momenti i korrelacionit m xy variablat e rastësishëm X Dhe Yështë pritshmëria matematikore e produktit të devijimeve të këtyre madhësive

Për të llogaritur momentin e korrelacionit, mund të përdorni formulën: .

Momenti i korrelacionit të dy variablave të rastësishëm të pavarur X Dhe Yështë e barabartë me 0.

Koeficienti i korrelacionit variablat e rastësishëm X Dhe Y quhet raporti i momentit të korrelacionit me produktin e devijimeve standarde të këtyre madhësive.

Dy ndryshore të rastësishme X Dhe Y quhen të pakorreluara nëse momenti i tyre i korrelacionit është 0. Dy madhësi të ndërlidhura janë gjithashtu të varura. E kundërta nuk vlen gjithmonë, d.m.th., nëse dy ndryshore të rastit X Dhe Y të varura, ato mund të jenë të ndërlidhura ose të palidhura. Pra, nga korrelacioni i dy variablave të rastësishëm rrjedh varësia e tyre, por varësia nuk nënkupton ende korrelacion. Nga pavarësia e dy variablave të rastësishëm rezulton se ato janë të pakorreluara, por nga jokorrelacioni është ende e pamundur të nxirret një përfundim për pavarësinë e këtyre variablave.

2.2. Variabla të rastësishme të vazhdueshme

Specifikimi i një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme. Një ndryshore e rastësishme diskrete specifikohet nga një listë e të gjitha vlerave të saj të mundshme dhe probabiliteteve të tyre. Kjo metodë nuk është e zakonshme. Sipas përkufizimit, ai nuk është i zbatueshëm për variabla të rastësishme të vazhdueshme.

Në këtë drejtim, këshillohet të jepet metodë e përgjithshme caktimet e çdo lloji (duke përfshirë diskrete) të ndryshoreve të rastësishme. Për këtë qëllim është paraqitur koncepti i funksionit të shpërndarjes.

Një funksion shpërndarjeje ose funksioni kumulativ i shpërndarjes është një funksion që përcakton probabilitetin që një ndryshore e rastësishme X do të marrë një vlerë më të vogël se x, për çdo vlerë x, d.m.th.

.

Ky funksion ka vetitë e mëposhtme.

1. Vlerat e funksionit të shpërndarjes i përkasin segmentit, d.m.th., që rrjedh nga përkufizimi.

2. – funksion jo-zvogëlues, d.m.th. Nëse .

3. Probabiliteti që një ndryshore e rastësishme X do të marrë vlerën që përmban intervali (a, b), është e barabartë me rritjen e funksionit të shpërndarjes në këtë interval, d.m.th. .

4. Probabiliteti që një ndryshore e rastësishme e vazhdueshme X do të marrë një vlerë specifike, të barabartë me 0, d.m.th. ka kuptim të merret parasysh probabiliteti i goditjes X jo deri në një pikë, por në një interval sado të vogël.

5. Nëse është e mundur, vlerat e një ndryshoreje të rastësishme i përkasin intervalit (a, b), Kjo . Nëse vlerat e mundshme të një ndryshoreje të rastësishme janë të vendosura përgjatë gjithë boshtit x, atëherë ekzistojnë marrëdhëniet kufitare të mëposhtme; .

Funksioni ligji binom shpërndarjet e probabilitetit , Ku , A x– një ndryshore e rastësishme që merr vlera të plota në intervalin nga 1 para n.

Shpërndarja binomiale e probabilitetit at shndërrohet në një shpërndarje Poisson. Funksioni i shpërndarjes së probabilitetit Poisson , Ku x- një ndryshore e rastësishme që merr vlera të plota në intervalin nga 1 para n.

Një sekuencë ngjarjesh që ndodhin në momente të rastësishme, të panjohura më parë në kohë quhet një rrjedhë ngjarjesh. Vetitë kryesore që karakterizojnë rrjedhën e ngjarjeve përfshijnë vetitë e stacionaritetit, mungesës së efektit të mëtejshëm dhe normalitetit.

Vetia e stacionaritetit të rrjedhës së ngjarjeve manifestohet në faktin se probabiliteti i ndodhjes së ngjarjeve në çdo periudhë kohore varet vetëm nga numri i ngjarjeve dhe nga kohëzgjatja e intervalit kohor dhe nuk varet nga fillimi i numërimi i tij, me kusht që intervalet e ndryshme kohore të jenë të shkëputura.

Vetia e mungesës së efekteve të mëvonshme të rrjedhës së ngjarjeve manifestohet në faktin se probabiliteti i ngjarjeve që ndodhin në çdo periudhë kohore nuk varet nga fakti nëse ngjarjet kanë ndodhur ose nuk kanë ndodhur në momentet kohore që i paraprinë fillimit të kohës. periudhën në shqyrtim. Kështu, nëse një rrjedhë ngjarjesh ka vetinë të mos ketë efekte të mëvonshme, atëherë ndodhja e ndonjë numri ngjarjesh në periudha të ndryshme kohore që nuk mbivendosen, konsiderohen reciprokisht të pavarura.

Vetia e rrjedhës së zakonshme të ngjarjeve manifestohet në faktin se ndodhja e dy ose më shumë ngjarjeve në një periudhë të shkurtër kohore është praktikisht e pamundur. Kështu, nëse rrjedha e ngjarjeve ka vetinë e normalitetit, atëherë nuk mund të shfaqet më shumë se një ngjarje në një periudhë pafundësisht të vogël kohore.

Rrjedha e ngjarjeve që ka vetitë e stacionaritetit, mungesës së efektit dhe normalitetit quhet rrjedha më e thjeshtë ose Poisson. Probabiliteti i paraqitjes k ngjarje të rrjedhës më të thjeshtë për një periudhë kohore t mund të llogaritet duke përdorur formulën e Poisson-it ku është numri mesatar i ngjarjeve që ndodhin për njësi të kohës, i quajtur intensiteti i rrjedhës.

Një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme mund të specifikohet jo vetëm duke përdorur funksion integral shpërndarja, por edhe duke përdorur funksionin e shpërndarjes së probabilitetit diferencial, i quajtur edhe funksioni i densitetit të probabilitetit. Funksioni diferencial nuk është i zbatueshëm për të specifikuar shpërndarjen e probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme diskrete.

Funksioni i densitetit të probabilitetit përcaktohet si derivati ​​i parë i funksionit të shpërndarjes, d.m.th.

Në lidhje me këtë përkufizim të funksionit të densitetit të probabilitetit, mund të argumentohet se probabiliteti që një ndryshore e rastësishme e vazhdueshme X do të marrë një vlerë që i përket intervalit (a, b), është e barabartë .

Duke ditur funksionin e densitetit të probabilitetit, mund të gjeni funksionin e shpërndarjes .

Vetitë e funksionit të densitetit të probabilitetit

1. Funksioni i densitetit të probabilitetit është jonegativ, d.m.th.

2. Integrali i funksionit të densitetit të probabilitetit në intervalin nga –µ në +µ është i barabartë me 1, d.m.th.

Pra, funksioni i densitetit të probabilitetit përcakton densitetin e shpërndarjes së probabilitetit për secilën pikë x, pra probabiliteti që një ndryshore e rastësishme të marrë një vlerë që i përket intervalit është përafërsisht e barabartë (brenda infinitezimaleve rendit më të lartë drejt Dx) produkti i densitetit të probabilitetit në një pikë x sipas gjatësisë së intervalit Dx, dmth.

Kur zgjidhen problemet që lindin në praktikë, përballemi me shpërndarje të ndryshme të ndryshoreve të rastësishme të vazhdueshme.

1. Shpërndarja uniforme. Një shpërndarje quhet uniforme nëse, në intervalin të cilit i përkasin të gjitha vlerat e mundshme të ndryshores së rastësishme, funksioni i densitetit të probabilitetit ka vlerë konstante, pra në mënyrë analitike kjo mund të shkruhet

2. Shpërndarja normale ose gausiane. Shpërndarja normale ose Gaussian është shpërndarja e një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme, e cila përshkruhet nga funksioni i densitetit të probabilitetit

.

Ky funksion specifikohet nga dy parametra a Dhe s. Parametri a në këtë rast kuptohet si pritshmëri matematikore, dhe parametër s– si devijim standard shpërndarje normale.

Grafiku i këtij funksioni quhet kurbë normale ose kurbë Gaussian. Karakteristikat e tij:

A) këtë funksion të përcaktuara në të gjithë boshtin x;

b) kurba normale ndodhet mbi bosht x, pasi për të gjitha vlerat x merr funksionin vlerat pozitive;

c) kufiri i një funksioni me rritje të pakufizuar xështë e barabartë me zero, pra boshti x shërben asimptotë horizontale artet grafike;

d) funksioni arrin maksimumin e tij, i barabartë me , në x=a;

e) grafiku i funksionit është simetrik në lidhje me një drejtëz x=a;

Ndryshimi i një parametri a, d.m.th., pritshmëria matematikore, nuk e ndryshon formën e kurbës normale, por çon në zhvendosjen e saj përgjatë boshtit të abshisës. Kur rritet a kurba zhvendoset djathtas, dhe kur zvogëlohet, në të majtë.

Me rritjen e parametrit s ordinata maksimale e një lakore normale zvogëlohet dhe kurba vetë bëhet më e sheshtë, domethënë tkurret drejt boshtit të abshisës. Ndërsa parametri s zvogëlohet, kurba normale bëhet më e lartë dhe shtrihet në drejtimin pozitiv të boshtit të ordinatave. Zona e një figure të kufizuar nga kurba normale dhe boshti x, për çdo vlerë parametri a Dhe s e barabartë me një. Nëse shpërndarja normale jepet nga pritshmëria matematikore, e barabartë me zero, dhe devijimi standard, e barabartë me një, atëherë kurba normale quhet kurbë e normalizuar.

Nëse një ndryshore e rastësishme e vazhdueshme i bindet ligjit të shpërndarjes normale, atëherë vlere absolute devijimi i tij nga pritshmëria matematikore nuk e kalon trefishin e devijimit standard. Kjo deklaratë njihet si rregulli tre sigma.

Nëse ndryshorja e rastit X shpërndahet sipas ligjit normal, pastaj sipas përkufizimit probabiliteti që X do të marrë një vlerë që i përket intervalit të barabartë me . Për përdorim, është më i përshtatshëm për të transformuar këtë formulë duke futur një ndryshore të re, e cila bën të mundur reduktimin e saj në një të njohur. funksioni i tabelës Laplace dhe marrja e një shprehjeje më të përshtatshme:

Karakteristikat numerike të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme. Le të zgjerojmë përkufizimet e karakteristikave numerike të një ndryshoreje të rastësishme diskrete në një ndryshore të rastësishme të vazhdueshme.

Vlera e pritshme ndryshore e vazhdueshme e rastësishme X, vlerat e mundshme të të cilit i përkasin intervalit (a, b), përcaktuar si

.

Nëse vlerat e mundshme i përkasin të gjithë boshtit, atëherë .

Në veçanti, pritshmëria matematikore shpërndarje uniforme, por normale.

Varianca ndryshore e vazhdueshme e rastësishme X quhet pritshmëria matematikore e katrorit të devijimit të tij ose .

Në veçanti, varianca e shpërndarjes uniforme , por normale.

Devijimi standard një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme përcaktohet si për një diskrete.

Variabla të rastësishme të vazhdueshme me shumë variacione

Për analogji me rastin njëdimensional funksioni i shpërndarjes (X,Y) thirrni funksionin W(x,y), duke përcaktuar për çdo çift numrash x Dhe y probabiliteti që X do të marrë një vlerë më të vogël se x, dhe ku Y do të marrë një vlerë më të vogël se y, d.m.th.

Funksioni i densitetit të probabilitetit ndryshore e rastësishme e vazhdueshme dydimensionale (X,Y) përcaktuar si dhe për këtë arsye .

Funksioni mund të konsiderohet si kufiri i raportit të probabilitetit të goditjes pikë e rastësishme në një drejtkëndësh me brinjë Dx Dhe Dy në zonën e këtij drejtkëndëshi kur të dyja anët e drejtkëndëshit priren në zero.

Në mënyrë për variabla të rastësishme X Dhe Y ishin të pavarura, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që funksioni i shpërndarjes së sistemit (X,Y) ishte e barabartë me produktin e funksioneve të shpërndarjes së komponentëve. E njëjta gjë vlen edhe për funksionin e densitetit të probabilitetit.

Ashtu si për variablat e rastësishme diskrete dy-dimensionale, për një ndryshore të rastësishme të vazhdueshme dydimensionale përcaktohet momenti i korrelacionit dhe koeficienti i korrelacionit.

Të njëjtat marrëdhënie midis koncepteve të pavarësisë dhe moslidhjes mbeten. Një shtesë e rëndësishme mund të bëhet në lidhje me Mirë komponentët e shpërndarë të një ndryshoreje të rastësishme dydimensionale. Për këtë rast, konceptet e pavarësisë dhe moskorrelacionit janë ekuivalente.

Duke përmbledhur atë që është thënë për variablat e rastësishme të vazhdueshme, mund të konkludojmë:

1. Karakteristikat kryesore të ndryshoreve të rastësishme të vazhdueshme janë funksioni i shpërndarjes dhe funksioni i densitetit të probabilitetit.

2. Parametrat numerikë që përshkruajnë një ndryshore të rastësishme të vazhdueshme janë pritshmëria dhe varianca matematikore.

3. Lidhjet statistikore ndërmjet komponentëve individualë të një ndryshoreje të rastësishme shumëdimensionale përshkruhen nga momenti i korrelacionit.

4. Madhësitë Gaussian të pakorreluara janë statistikisht të pavarura.

Pyetje kontrolli për leksionin 17

17-1. Cilat ngjarje quhen të besueshme?

17-2. Cilat ngjarje quhen të pamundura?

17-3. Cilat ngjarje quhen të rastësishme?

17-4. Cilat ngjarje quhen të papajtueshme?

17-5. Cilat ngjarje quhen të vetmet të mundshme?

17-6. Çfarë është një grup i plotë ngjarjesh?

17-7. Cilat ngjarje quhen po aq të mundshme?

17-8. Cilat ngjarje quhen të kundërta?

17-9. Sa është shuma e ngjarjeve?

17-10. Çfarë është një produkt i ngjarjeve?

17-11. Sa është probabiliteti i një ngjarjeje?

17-12. Sa është probabiliteti i shumës së ngjarjeve të përputhshme?

17-13. Sa është probabiliteti i shumës ngjarje të papajtueshme?

17-14. Sa është shuma e probabiliteteve të ngjarjeve që formojnë një grup të plotë?

17-15. Si quhet probabiliteti i kushtëzuar?

17-16. Cilat ngjarje quhen të pavarura?

17-17. Sa është probabiliteti i prodhimit të dy ngjarjeve të varura rastësore?

17-18. Sa është probabiliteti që të ndodhin dy ngjarje të pavarura të rastësishme?

17-19. Sa është probabiliteti i një ngjarjeje që mund të ndodhë vetëm nëse ndodh një nga ngjarjet e papajtueshme? , duke formuar një grup të plotë?

17-20. Për çfarë përdoret formula e Bayes?

17-21. Për çfarë përdoret formula e Bernulit?

17-22. Për çfarë përdoret? teorema lokale Laplace?

17-23. Për çfarë përdoret? teorema integrale Laplace?

17-24. Për çfarë përdoret formula Poisson?

17-25. Cila variabël e rastësishme quhet diskrete?

17-26. Cila ndryshore e rastësishme quhet e vazhdueshme?

17-27. Si quhet ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete?

17-28. Në çfarë mënyrash mund të specifikohet ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete?

17-29. Cili ligj i shpërndarjes i një ndryshoreje të rastësishme diskrete quhet binom?

17-30. Cila është pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të rastësishme diskrete?

17-31. Cili është kuptimi probabilistik i pritjes matematikore?

17-32. Cila është pritshmëria matematikore e një vlere konstante?

17-33. Cila është pritshmëria matematikore e prodhimit të një ndryshoreje konstante dhe një ndryshoreje të rastësishme?

17-34. Cila është pritshmëria matematikore e produktit të disa ndryshoreve të rastit të pavarura reciprokisht?

17-35. Cila është pritshmëria matematikore e shumës së disa ndryshoreve të rastit?

17-36. Cila është pritshmëria matematikore e shpërndarjes binomiale?

17-37. Cila është varianca e një ndryshoreje të rastësishme diskrete?

17-38. Cila është varianca e një vlere konstante?

17-39. Cila është varianca e prodhimit të një ndryshoreje konstante dhe një ndryshoreje të rastësishme?

17-40. Cila është varianca e shumës së disa ndryshoreve të rastit të pavarura reciprokisht?

17-41. Cila është varianca e ndryshimit midis dy ndryshoreve të rastit të pavarura reciprokisht?

17-42. Cila është varianca e shpërndarjes binomiale?

17-43. Cila është varianca e shpërndarjes Poisson?

17-44. Si quhet rrënja katrore e variancës së një ndryshoreje të rastësishme?

17-45. Cili është devijimi standard i një vlere konstante?

17-46. Cilat ndryshore diskrete të rastit quhen shumëdimensionale?

17-47. Cili është ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme dydimensionale diskrete?

17-48. Si quhet shpërndarja e kushtëzuar ndryshore e rastësishme dydimensionale?

17-49. Cila është pritshmëria matematikore e kushtëzuar e një ndryshoreje të rastësishme dydimensionale?

17-50. Cili është momenti i korrelacionit të një sistemi me dy ndryshore të rastit?

17-51. Cili është momenti i korrelacionit të dy variablave të rastësishëm të pavarur?

17-52. Cili është koeficienti i korrelacionit të një sistemi me dy ndryshore të rastit?

17-53. Si quhet funksioni i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme?

17-54. Listoni vetitë e funksionit të shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme?

17-55. Çfarë është një rrjedhë ngjarjesh?

17-56. Cila është vetia e stacionaritetit të rrjedhës së ngjarjeve?

17-57. Cila është vetia e mungesës së pasefektit të një rrjedhe ngjarjesh?

17-58. Cila është vetia e rrjedhës së zakonshme të ngjarjeve?

17-59. Cila rrjedhë ngjarjesh quhet Poisson?

17-60. Cili është intensiteti i rrjedhës së ngjarjeve Poisson?

17-61. Si quhet funksioni i densitetit të probabilitetit?

17-62. Listoni vetitë e funksionit të densitetit të probabilitetit.

17-63. Çfarë lloj shpërndarjeje quhet uniforme?

17-64. Cila shpërndarje quhet normale?

17-65. Listoni vetitë e një lakore normale.

17-66. Si ndikon një ndryshim në vlerën e pritshmërisë matematikore në formën e kurbës normale?

17-67. Si ndikon një ndryshim në vlerën e devijimit standard të shpërndarjes normale në formën e kurbës normale?

17-68. Si përcaktohet pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme?

17-69. Si përcaktohet pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme me një ligj uniform të shpërndarjes?

17-70. Si është pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme me ligj normal shpërndarja?

17-71. Si përcaktohet varianca e një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme?

17-72. Si përcaktohet varianca e një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme me një ligj të shpërndarjes uniforme?

17-73. Si përcaktohet varianca e një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme me një shpërndarje normale?

17-74. Si, duke përdorur interpretimi gjeometrik, a mund të marrim parasysh funksionin e densitetit të probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme dydimensionale?

17-75. Me çfarë duhet të jetë i barabartë funksioni i shpërndarjes së sistemit? (X,Y) me qëllim për variabla të rastësishme X Dhe Y ishe i pavarur?