Zgjidhja e inekuacioneve trigonometrike tg. Pabarazitë trigonometrike të thjeshta dhe komplekse

Zgjidhja e pabarazisë tgx<-1

Kështu, zgjidhja e pabarazisë tgx<-1 есть открытый промежуток (-п/2+пn; -п/4+пn).

Kur zgjidhen inekuacionet që përmbajnë funksione trigonometrike, ato reduktohen në mosbarazimet më të thjeshta të formës cos(t)>a, sint(t)=a dhe të ngjashme. Dhe tashmë pabarazitë më të thjeshta janë zgjidhur. Le të shohim shembuj të ndryshëm të mënyrave për të zgjidhur pabarazitë e thjeshta trigonometrike.

Shembulli 1. Zgjidhet pabarazia sin(t) > = -1/2.

Vizatoni një rreth njësi. Meqenëse sin(t) sipas përkufizimit është koordinata y, ne shënojmë pikën y = -1/2 në boshtin Oy. Ne tërheqim një vijë të drejtë përmes saj paralel me boshtin Ox. Në kryqëzimin e drejtëzës me grafikun e rrethit njësi, shënoni pikat Pt1 dhe Pt2. Origjinën e koordinatave me pikat Pt1 dhe Pt2 e lidhim me dy segmente.

Zgjidhja e kësaj pabarazie do të jenë të gjitha pikat e rrethit njësi të vendosura mbi këto pika. Me fjalë të tjera, zgjidhja do të jetë harku l Tani është e nevojshme të tregohen kushtet në të cilat një pikë arbitrare do t'i përkasë harkut l.

Pt1 shtrihet në gjysmërrethin e djathtë, ordinata e saj është -1/2, pastaj t1=arcsin(-1/2) = - pi/6. Për të përshkruar pikën Pt1, mund të shkruani formulën e mëposhtme:
t2 = pi - harksin(-1/2) = 7*pi/6. Si rezultat, marrim pabarazinë e mëposhtme për t:

Ne ruajmë pabarazitë. Dhe meqenëse funksioni i sinusit është periodik, do të thotë që zgjidhjet do të përsëriten çdo 2*pi. Ne ia shtojmë këtë kusht pabarazisë që rezulton për t dhe shkruajmë përgjigjen.

Përgjigje: -pi/6+2*pi*n< = t < = 7*pi/6 + 2*pi*n, при любом целом n.

Shembulli 2. Zgjidhja e pabarazisë së kostos (t).<1/2.

Le të vizatojmë një rreth njësi. Meqenëse, sipas përkufizimit, cos(t) është koordinata x, ne shënojmë pikën x = 1/2 në grafik në boshtin Ox.
Ne tërheqim një vijë të drejtë përmes kësaj pike paralele me boshtin Oy. Në kryqëzimin e drejtëzës me grafikun e rrethit njësi, shënoni pikat Pt1 dhe Pt2. Origjinën e koordinatave me pikat Pt1 dhe Pt2 e lidhim me dy segmente.

Zgjidhjet do të jenë të gjitha pikat e rrethit njësi që i përkasin harkut l Le të gjejmë pikat t1 dhe t2.

t1 = arccos (1/2) = pi/3.

t2 = 2*pi - arccos(1/2) = 2*pi-pi/3 = 5*pi/6.

Ne morëm pabarazinë për t: pi/3

Meqenëse kosinusi është një funksion periodik, zgjidhjet do të përsëriten çdo 2*pi. Ne ia shtojmë këtë kusht pabarazisë që rezulton për t dhe shkruajmë përgjigjen.

Përgjigje: pi/3+2*pi*n

Shembulli 3. Zgjidhja e pabarazisë tg(t)< = 1.

Periudha tangjente është e barabartë me pi. Le të gjejmë zgjidhje që i përkasin gjysmërrethit të djathtë të intervalit (-pi/2;pi/2). Më pas, duke përdorur periodicitetin e tangjentes, shkruajmë të gjitha zgjidhjet e kësaj pabarazie. Le të vizatojmë një rreth njësi dhe të shënojmë një vijë tangjente mbi të.

Nëse t është zgjidhje e pabarazisë, atëherë ordinata e pikës T = tg(t) duhet të jetë më e vogël ose e barabartë me 1. Bashkësia e pikave të tilla do të përbëjë rrezen AT. Bashkësia e pikave Pt që do t'u përgjigjet pikave të kësaj rrezeje është harku l. Për më tepër, pika P(-pi/2) nuk i përket këtij harku.

Zgjidhja e inekuacioneve trigonometrike duke përdorur rrethin njësi

Kur zgjidhen pabarazitë trigonometrike të formës, ku --- një nga funksionet trigonometrike, është e përshtatshme të përdoret rrethi trigonometrik në mënyrë që të përfaqësohen më qartë zgjidhjet e pabarazisë dhe të shkruhet përgjigja. Metoda kryesore për zgjidhjen e pabarazive trigonometrike është reduktimi i tyre në pabarazitë e tipit më të thjeshtë. Le të shohim një shembull se si të zgjidhim pabarazi të tilla.

Shembull Zgjidhja e pabarazisë.

Zgjidhje. Të vizatojmë një rreth trigonometrik dhe të shënojmë mbi të pikat për të cilat ordinata është më e lartë.

Për të zgjidhur këtë pabarazi do të ketë. Është gjithashtu e qartë se nëse një numër i caktuar ndryshon nga çdo numër nga intervali i specifikuar, atëherë ai gjithashtu nuk do të jetë më pak. Prandaj, ju vetëm duhet të shtoni zgjidhje në skajet e segmentit të gjetur. Më në fund, ne zbulojmë se të gjithë do të jenë një zgjidhje për pabarazinë origjinale.

Për të zgjidhur pabarazitë me tangjentë dhe kotangjente, koncepti i një linje tangjentesh dhe kotangjentesh është i dobishëm. Këto janë vijat e drejta dhe, përkatësisht (në figurën (1) dhe (2)), tangjent me rrethin trigonometrik.

Është e lehtë të shihet se nëse ndërtojmë një rreze me origjinën e saj në origjinën e koordinatave, duke bërë një kënd me drejtimin pozitiv të boshtit të abshisës, atëherë gjatësia e segmentit nga pika në pikën e kryqëzimit të kësaj rrezeje me vija tangjente është saktësisht e barabartë me tangjenten e këndit që bën kjo rreze me boshtin e abshisave. Një vëzhgim i ngjashëm ndodh për cotangent.

Shembull Zgjidhja e pabarazisë.

Zgjidhje. Le të shënojmë, atëherë pabarazia do të marrë formën më të thjeshtë: . Le të shqyrtojmë një interval gjatësi të barabartë me periodën më të vogël pozitive (LPP) të tangjentes. Në këtë segment, duke përdorur vijën e tangjenteve, e përcaktojmë atë. Le të kujtojmë tani se çfarë duhet të shtohet që nga funksionimi i NPP. Kështu që, . Duke u kthyer te ndryshorja, ne e marrim atë

Është i përshtatshëm për të zgjidhur pabarazitë me funksione trigonometrike të anasjellta duke përdorur grafikët e funksioneve trigonometrike të anasjellta. Le të tregojmë se si bëhet kjo me një shembull.

Zgjidhja grafike e mosbarazimeve trigonometrike

Vini re se nëse --- një funksion periodik, atëherë për të zgjidhur pabarazinë është e nevojshme të gjendet zgjidhja e tij në një segment gjatësia e të cilit është e barabartë me periodën e funksionit. Të gjitha zgjidhjet e pabarazisë origjinale do të përbëhen nga vlerat e gjetura, si dhe nga të gjitha ato që ndryshojnë nga ato të gjetura nga çdo numër i plotë i periudhave të funksionit

Le të shqyrtojmë zgjidhjen e pabarazisë ().

Që atëherë, pabarazia nuk ka zgjidhje. Nëse, atëherë bashkësia e zgjidhjeve të pabarazisë është bashkësia e të gjithë numrave realë.

Le te jete. Funksioni sinus ka periodën më të vogël pozitive, kështu që pabarazia mund të zgjidhet së pari në një segment të gjatësisë, p.sh. Ne ndërtojmë grafikët e funksioneve dhe ().

Në segment, funksioni i sinusit rritet, dhe ekuacioni, ku, ka një rrënjë. Në segment, funksioni i sinusit zvogëlohet dhe ekuacioni ka një rrënjë. Në një interval numerik, grafiku i një funksioni ndodhet mbi grafikun e funksionit. Prandaj, për të gjithë nga intervali) vlen pabarazia nëse. Për shkak të periodicitetit të funksionit sinus, të gjitha zgjidhjet e mosbarazimit jepen me pabarazi të formës: .

Pabarazitë janë marrëdhënie të formës a › b, ku a dhe b janë shprehje që përmbajnë të paktën një ndryshore. Pabarazitë mund të jenë strikte - ‹, › dhe jo të rrepta - ≥, ≤.

Pabarazitë trigonometrike janë shprehje të formës: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, në të cilat F(x) përfaqësohet nga një ose më shumë funksione trigonometrike .

Një shembull i pabarazisë më të thjeshtë trigonometrike është: sin x ‹ 1/2. Është e zakonshme që problemet e tilla të zgjidhen në mënyrë grafike, për këtë janë zhvilluar dy metoda.

Metoda 1 - Zgjidhja e pabarazive duke paraqitur grafikun e një funksioni

Për të gjetur një interval që plotëson kushtet e pabarazisë sin x ‹ 1/2, duhet të kryeni hapat e mëposhtëm:

1. Në boshtin e koordinatave, ndërtoni një sinusoid y = sin x.
2. Në të njëjtin bosht, vizatoni një grafik të argumentit numerik të pabarazisë, d.m.th., një drejtëz që kalon nëpër pikën ½ të ordinatës OY.
3. Shënoni pikat e kryqëzimit të dy grafikëve.
4. Hije segmentin që është zgjidhja e shembullit.

Kur shenjat strikte janë të pranishme në një shprehje, pikat e kryqëzimit nuk janë zgjidhje. Meqenëse periudha më e vogël pozitive e një sinusoidi është 2π, ne e shkruajmë përgjigjen si më poshtë:

Nëse shenjat e shprehjes nuk janë strikte, atëherë intervali i zgjidhjes duhet të mbyllet në kllapa katrore - . Përgjigja e problemit mund të shkruhet gjithashtu si pabarazia e mëposhtme:

Metoda 2 - Zgjidhja e inekuacioneve trigonometrike duke përdorur rrethin njësi

Probleme të ngjashme mund të zgjidhen lehtësisht duke përdorur një rreth trigonometrik. Algoritmi për gjetjen e përgjigjeve është shumë i thjeshtë:

1. Së pari ju duhet të vizatoni një rreth njësi.
2. Pastaj duhet të shënoni vlerën e funksionit të harkut të argumentit të anës së djathtë të pabarazisë në harkun e një rrethi.
3. Është e nevojshme të vizatoni një vijë të drejtë që kalon përmes vlerës së funksionit të harkut paralel me boshtin e abshisës (OX).
4. Pas kësaj, gjithçka që mbetet është të zgjedhim harkun e një rrethi, i cili është grupi i zgjidhjeve të pabarazisë trigonometrike.
5. Shkruani përgjigjen në formën e kërkuar.

Le të analizojmë fazat e zgjidhjes duke përdorur shembullin e pabarazisë sin x › 1/2. Pikat α dhe β janë shënuar në rreth - vlera

Pikat e harkut të vendosura sipër α dhe β janë intervali për zgjidhjen e pabarazisë së dhënë.

Nëse keni nevojë të zgjidhni një shembull për cos, atëherë harku i përgjigjes do të vendoset në mënyrë simetrike me boshtin OX, jo OY. Ju mund të merrni parasysh ndryshimin midis intervaleve të zgjidhjes për sin dhe cos në diagramet më poshtë në tekst.

Zgjidhjet grafike për pabarazitë tangjente dhe kotangjente do të ndryshojnë si nga sinusi ashtu edhe nga kosinusi. Kjo është për shkak të vetive të funksioneve.

Arktangjenti dhe harkotangjenti janë tangjente ndaj një rrethi trigonometrik, dhe periudha minimale pozitive për të dy funksionet është π. Për të përdorur shpejt dhe saktë metodën e dytë, duhet të mbani mend se në cilin bosht janë paraqitur vlerat e sin, cos, tg dhe ctg.

Tangjentja tangjente shkon paralelisht me boshtin OY. Nëse grafikojmë vlerën e arktanit a në rrethin e njësisë, atëherë pika e dytë e kërkuar do të vendoset në tremujorin diagonal. Kënde

Ato janë pika ndërprerjeje për funksionin, pasi grafiku u drejtohet atyre, por nuk i arrin kurrë.

Në rastin e kotangjentës, tangjentja shkon paralelisht me boshtin OX dhe funksioni ndërpritet në pikat π dhe 2π.

Pabarazi trigonometrike komplekse

Nëse argumenti i funksionit të pabarazisë përfaqësohet jo vetëm nga një ndryshore, por nga një shprehje e tërë që përmban një të panjohur, atëherë ne po flasim për një pabarazi komplekse. Procesi dhe procedura për zgjidhjen e tij janë disi të ndryshme nga metodat e përshkruara më sipër. Supozoni se duhet të gjejmë një zgjidhje për pabarazinë e mëposhtme:

Zgjidhja grafike përfshin ndërtimin e një sinusoidi të zakonshëm y = sin x duke përdorur vlera të zgjedhura në mënyrë arbitrare të x. Le të llogarisim një tabelë me koordinata për pikat e kontrollit të grafikut:

Rezultati duhet të jetë një kthesë e bukur.

Për ta bërë më të lehtë gjetjen e një zgjidhjeje, le të zëvendësojmë argumentin e funksionit kompleks