Teorema mbi sistemin e funksioneve implicite. Derivatet e rendit më të lartë

Derivatet e rendit më të lartë gjenden me diferencim të njëpasnjëshëm të formulës (1).

Shembull. Gjeni dhe nëse (x ²+y ²)³-3(x ²+y ²)+1=0.

Zgjidhje. Përcaktimi ana e majte ekuacioni i dhënë përmes f(x,y) gjeni derivatet e pjesshme

f"x(x,y)=3(x²+y²)²∙2x-3∙2x=6x[(x²+y²)-1],

f"y(x,y)=3(x²+y²)²∙2y-3∙2y=6y[(x²+y²)-1].

Nga këtu, duke aplikuar formulën (1), marrim:

Për të gjetur derivatin e dytë, dalloni në lidhje me X derivati i parë i gjetur, duke marrë parasysh se në ekziston një funksion x:

2°. Rasti i disa variablave të pavarur. Po kështu, nëse ekuacioni F(x, y, z)=0, Ku F(x, y, z) - funksion i diferencueshëm i variablave x, y Dhe z, përcakton z si funksion i variablave të pavarur X Dhe në Dhe Fz(x, y, z)≠ 0, atëherë derivatet e pjesshme të këtij funksioni të dhënë në mënyrë implicite, në përgjithësi, mund të gjenden duke përdorur formulat

Një mënyrë tjetër për të gjetur derivatet e funksionit z është si më poshtë: duke diferencuar ekuacionin F(x, y, z) = 0, marrim:

Nga këtu mund të përcaktojmë dz, dhe për këtë arsye .

Shembull. Gjeni dhe nëse x² - 2y²+3z² -yz +

y =0. Metoda 1. Duke shënuar anën e majtë të këtij ekuacioni me F(x, y, z) , le të gjejmë derivatet e pjesshme.

F"x(x,y,z)=2x, F"y(x,y,z)=-4y-z+1, F"z(x,y,z)=6z-y

Duke aplikuar formulat (2), marrim:

Metoda e 2-të. Duke diferencuar këtë ekuacion, marrim:2xdx -4ydy +6zdx -4zdy +6dz-dy +

dy =0 Nga këtu ne përcaktojmë dz

, pra diferenciali total i funksionit të nënkuptuar: Krahasimi me formulën

, ne e shohim atë 3°. Sistemi funksionet e nënkuptuara

. Nëse një sistem prej dy ekuacionesh përcakton Dhe u v

si funksione të ndryshoreve x dhe y dhe jakobianit

atëherë diferencialet e këtyre funksioneve (dhe rrjedhimisht derivatet e tyre të pjesshme) mund të gjenden nga sistemi i ekuacioneve Shembull: Ekuacionet u+v=x+y, xu+yv=1 përcakton Dhe u përcaktojnë X Dhe në si funksione .

; Gjej

Zgjidhje. Metoda 1. Duke i diferencuar të dy ekuacionet në lidhje me x, marrim:

Në mënyrë të ngjashme gjejmë: Metoda e 2-të. Me diferencim gjejmë dy ekuacione që lidhin diferencialet e të katër variablave:du +dv =dx +dy,Metoda e 2-të. Me diferencim gjejmë dy ekuacione që lidhin diferencialet e të katër variablave:xdv =dx -4udv+v

dy =0. Zgjidhja e këtij sistemi për diferenciale Dhe du dv

, marrim: 4°. Specifikimi parametrik funksione X Dhe në. Nëse funksioni i variablave r jepet parametrikisht nga ekuacionet x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v)

Dhe

atëherë diferenciali i këtij funksioni mund të gjendet nga sistemi i ekuacioneve Njohja e diferencialit, gjejmë derivatet e pjesshme dhe .

Shembull. z Funksioni X Dhe në argumentet dhënë nga ekuacionet (x=u+v, y=u²+v², z=u²+v²).

u≠v

Gjeni dhe.

Zgjidhje. Metoda 1. Me diferencim gjejmë tre ekuacione që lidhin diferencialet e të pesë variablave: Zgjidhja e këtij sistemi për diferenciale Dhe du:

Nga dy ekuacionet e para përcaktojmë Le t'i zëvendësojmë vlerat e gjetura në ekuacionin e tretë Dhe du:

Metoda e 2-të. Nga ekuacioni i tretë i dhënë mund të gjejmë: Le të dallojmë dy ekuacionet e para në lidhje me X, në:

pastaj nga .

Nga sistemi i parë gjejmë: .

Nga sistemi i dytë gjejmë:

Duke zëvendësuar shprehjet dhe në formulën (5), marrim:

Zëvendësimi i variablave Kur zëvendësohen variablat në shprehjet diferenciale, derivatet e përfshira në to duhet të shprehen në terma të derivateve të tjerë sipas rregullave të diferencimit..

funksion kompleks

1°. Zëvendësimi i variablave në shprehjet që përmbajnë derivate të zakonshëm.

në duke besuar . X Nga në duke besuar . përmes derivateve të t

. Ne kemi: X Zëvendësimi i shprehjeve të gjetura për derivatet në këtë ekuacion dhe zëvendësimi

përmes , marrim:

Shembull. në Konvertoni ekuacionin

duke e marrë si argument në duke besuar . X Nga X duke besuar . , dhe për funksionin x.

Zgjidhje. Le të shprehim derivatet e

Duke zëvendësuar këto shprehje derivatore në këtë ekuacion, kemi:

ose, më në fund, Shembull. Konvertoni ekuacionin

duke kaluar në

koordinatat polare x=r cos φ, y=r cos φ. Zgjidhje. Duke marrë parasysh φ r

si funksion

, nga formula (1) marrim:

dх = сosφ dr – r sinφ dφ, dy=sinφ+r cosφ dφ,

Siç dihet, një funksion i dhënë në mënyrë implicite i një ndryshoreje përcaktohet si më poshtë: funksioni y i ndryshores së pavarur x quhet i nënkuptuar nëse jepet nga një ekuacion që nuk zgjidhet në lidhje me y:

Shembulli 1.11.

Ekuacioni

në mënyrë implicite specifikon dy funksione:

Dhe ekuacioni

nuk specifikon asnjë funksion.

Teorema 1.2 (ekzistenca e një funksioni të nënkuptuar).

Le të jenë funksioni z =f(x,y) dhe derivatet e tij të pjesshëm f"x dhe f"y të përcaktuar dhe të vazhdueshëm në një lagje UM0 të pikës M0(x0y0). Përveç kësaj, f(x0,y0)=0 dhe f"(x0,y0)≠0, atëherë ekuacioni (1.33) përcakton në afërsinë e UM0 një funksion të nënkuptuar y= y(x), të vazhdueshëm dhe të diferencueshëm në një interval D me qendër në pikën x0, dhe y(x0)=y0.

Asnjë provë.

Nga teorema 1.2 rrjedh se në këtë interval D:

domethënë ka një identitet në

ku derivati "total" gjendet sipas (1.31)

Kjo do të thotë, (1.35) jep një formulë për gjetjen e derivatit të një funksioni të dhënë në mënyrë implicite të një ndryshoreje x.

Një funksion i nënkuptuar i dy ose më shumë variablave përcaktohet në mënyrë të ngjashme.

Për shembull, nëse në një rajon V të hapësirës Oxyz, ekuacioni vlen:

Shembulli 1.12. Duke supozuar se ekuacioni

përcakton në mënyrë implicite një funksion

gjeni z"x, z"y.

prandaj, sipas (1.37), marrim përgjigjen.

11.Përdorimi i derivateve të pjesshme në gjeometri.

12.Ekstrema e një funksioni të dy ndryshoreve.

Konceptet maksimale, minimale dhe ekstreme të një funksioni të dy ndryshoreve janë të ngjashme me konceptet përkatëse të një funksioni të një ndryshoreje të pavarur (shih seksionin 25.4).

Le të jetë i përcaktuar funksioni z = ƒ(x;y) në një fushë D, pika N(x0;y0) О D.

Një pikë (x0;y0) quhet pikë maksimale e funksionit z=ƒ(x;y) nëse ka një fqinjësi d të pikës (x0;y0) të tillë që për çdo pikë (x;y) të ndryshme nga (xo;yo), nga kjo lagje vlen pabarazia ƒ(x;y).<ƒ(хо;уо).

A Pika minimale e funksionit përcaktohet në mënyrë të ngjashme: për të gjitha pikat (x; y) përveç (x0; y0), nga fqinjësia d e pikës (xo; yo) vlen pabarazia e mëposhtme: ƒ(x y)>ƒ(x0; y0).

Në figurën 210: N1 është pika maksimale, dhe N2 është pika minimale e funksionit z=ƒ(x;y).

Vlera e funksionit në pikën e maksimumit (minimum) quhet maksimumi (minimumi) i funksionit. Maksimumi dhe minimumi i një funksioni quhen ekstreme të tij.

Vini re se, sipas përkufizimit, pika ekstreme e funksionit ndodhet brenda fushës së përkufizimit të funksionit; maksimumi dhe minimumi kanë karakter lokal (lokal): vlera e funksionit në pikën (x0; y0) krahasohet me vlerat e tij në pika mjaft afër (x0; y0). Në rajonin D, një funksion mund të ketë disa ekstreme ose asnjë.

46.2. E nevojshme dhe kushte të mjaftueshme ekstreme

Le të shqyrtojmë kushtet për ekzistencën e një ekstremi të një funksioni.

Teorema 46.1 (kushtet e nevojshme për një ekstrem). Nëse në pikën N(x0;y0) funksioni i diferencueshëm z=ƒ(x;y) ka një ekstrem, atëherë derivatet e tij të pjesshëm në këtë pikë janë të barabartë me zero: ƒ"x(x0;y0)=0, ƒ" y(x0;y0)=0.

Le të rregullojmë një nga variablat. Le të vendosim, për shembull, y=y0. Pastaj marrim një funksion ƒ(x;y0)=φ(x) të një ndryshoreje, e cila ka një ekstrem në x = x0. Prandaj, sipas kushtit të nevojshëm për ekstremin e një funksioni të një ndryshoreje (shih seksionin 25.4), φ"(x0) = 0, d.m.th. ƒ"x(x0;y0)=0.

Në mënyrë të ngjashme, mund të tregohet se ƒ"y(x0;y0) = 0.

Gjeometrikisht, barazitë ƒ"x(x0;y0)=0 dhe ƒ"y(x0;y0)=0 nënkuptojnë se në pikën ekstreme të funksionit z=ƒ(x;y) rrafshi tangjent me sipërfaqen që përfaqëson funksioni ƒ(x;y) ), është paralel me rrafshin Oxy, pasi ekuacioni i rrafshit tangjent është z=z0 (shih formulën (45.2)).

Z shënim. Një funksion mund të ketë një ekstrem në pikat ku të paktën një nga derivatet e pjesshme nuk ekziston. Për shembull, funksioni ka një maksimum në pikën O(0;0) (shih Fig. 211), por nuk ka derivate të pjesshëm në këtë pikë.

Pika në të cilën derivatet e pjesshëm të rendit të parë të funksionit z ≈ ƒ(x; y) janë të barabarta me zero, pra f"x=0, f"y=0, quhet pikë e palëvizshme e funksionit z.

Pikat stacionare dhe pikat në të cilat nuk ekziston të paktën një derivat i pjesshëm quhen pika kritike.

Në pikat kritike, funksioni mund ose nuk mund të ketë një ekstrem. Barazia e derivateve të pjesshme me zero është një kusht i domosdoshëm, por jo i mjaftueshëm për ekzistencën e një ekstremi. Konsideroni, për shembull, funksionin z = xy. Për të, pika O(0; 0) është kritike (në të z"x=y dhe z"y - x zhduken). Sidoqoftë, funksioni z=xy nuk ka një ekstrem në të, pasi në një fqinjësi mjaft të vogël të pikës O(0; 0) ka pika për të cilat z>0 (pikat e tremujorit të parë dhe të tretë) dhe z.< 0 (точки II и IV четвертей).

Kështu, për të gjetur ekstremin e një funksioni në një zonë të caktuar, është e nevojshme që çdo pikë kritike e funksionit t'i nënshtrohet kërkimeve shtesë.

Teorema 46.2 (kusht i mjaftueshëm për një ekstrem). Lere brenda pikë e palëvizshme(xo;y0) dhe disa nga lagjet e tij, funksioni ƒ(x;y) ka derivate të pjesshme të vazhdueshme deri në renditjen e dytë përfshirëse. Le të llogarisim në pikën (x0;y0) vlerat A=f""xx(x0;y0), B=ƒ""xy(x0;y0), C=ƒ""yy(x0;y0) . Le të shënojmë

1. nëse Δ > 0, atëherë funksioni ƒ(x;y) në pikën (x0;y0) ka një ekstrem: maksimumi nëse A< 0; минимум, если А > 0;

2. nëse Δ< 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) экстремума не имеет.

Në rastin e Δ = 0, mund të ketë ose jo një ekstrem në pikën (x0;y0). Nevojiten më shumë kërkime.

DETYRAT

Shembull. Gjeni intervalet e funksionit zmadhues dhe zbritës. Zgjidhje. Hapi i parë është gjetja e fushës së përkufizimit të një funksioni. Në shembullin tonë, shprehja në emërues nuk duhet të shkojë në zero, prandaj, . Le të kalojmë te funksioni derivat: Për të përcaktuar intervalet e rritjes dhe uljes së një funksioni bazuar në një kriter të mjaftueshëm, ne zgjidhim pabarazitë në fushën e përkufizimit. Le të përdorim një përgjithësim të metodës së intervalit. Rrënja e vetme reale e numëruesit është x = 2, dhe emëruesi shkon në zero në x = 0. Këto pika e ndajnë domenin e përkufizimit në intervale në të cilat derivati i funksionit ruan shenjën e tij. Le t'i shënojmë këto pika në vijën numerike. Në mënyrë konvencionale shënojmë me pluse dhe minuse intervalet në të cilat derivati është pozitiv ose negativ. Shigjetat e mëposhtme tregojnë në mënyrë skematike rritjen ose uljen e funksionit në intervalin përkatës. Kështu, Dhe . Në pikën x = 2 funksioni është i përcaktuar dhe i vazhdueshëm, kështu që duhet t'i shtohet si intervaleve në rritje ashtu edhe në zvogëlim. Në pikën x = 0 funksioni nuk është i përcaktuar, kështu që ne nuk e përfshijmë këtë pikë në intervalet e kërkuara. Ne paraqesim një grafik të funksionit për të krahasuar rezultatet e marra me të. Përgjigje: funksioni rritet me , zvogëlohet në interval (0; 2] .

Shembuj.

Vendosni intervalet e konveksitetit dhe konkavitetit të një kurbë y = 2 – x 2 .

Ne do të gjejmë y"" dhe përcaktoni se ku derivati i dytë është pozitiv dhe ku negativ. y" = –2x, y"" = –2 < 0 на (–∞; +∞), следовательно, функция всюду выпукла.

y = e x. Sepse y"" = e x > 0 për çdo x, atëherë kurba është kudo konkave.

y = x 3 . Sepse y"" = 6x, Kjo y"" < 0 при x < 0 и y"" > 0 në x> 0. Prandaj, kur x < 0 кривая выпукла, а при x> 0 është konkave.

4. Jepet funksioni z=x^2-y^2+5x+4y, vektori l=3i-4j dhe pika A(3,2). Gjeni dz/dl (siç e kuptoj unë, derivatin e funksionit në drejtim të vektorit), gradz(A), |gradz(A)|. Të gjejmë derivatet e pjesshme: z(në lidhje me x)=2x+5 z(në lidhje me y)=-2y+4 Të gjejmë vlerat e derivateve në pikën A(3,2): z(me në lidhje me x)(3,2)=2*3+ 5=11 z(nga y)(3,2)=-2*2+4=0 Nga ku, gradz(A)=(11,0)= 11i |gradz(A)|=sqrt(11^2+0 ^2)=11 Derivati i funksionit z në drejtim të vektorit l: dz/dl=z(në x)*cosa+z(në y)*cosb , a, b-këndet e vektorit l me akset koordinative. cosa=lx/|l|, cosb=ly/|l|, |l|=sqrt(lx^2+ly^2) lx=3, ly=-4, |l|=5. cosa=3/5, cosb=(-4)/5. dz/dl=11*3/5+0*(-4)/5=6.6.

Jepet një sistem ekuacionesh

ose shkurtimishtF(x, y)=0 (1)

Përkufizimi. Sistemi (1) përcakton një funksion të specifikuar në mënyrë implicitey= f(x) nëD R n

Nëse x D : F(x , f(x)) = 0.

Teorema (ekzistenca dhe unike e hartës, në mënyrë implicite dhënë nga sistemi ekuacionet). Le

Pastaj në ndonjë lagjeU (x 0 ) ekziston një funksion (hartë) unik i përcaktuar në këtë lagjey = f(x), sikurse

 x U (x 0 ) : F(x, f(x))=0 dhey 0 = f(x 0 ).

Ky funksion është vazhdimisht i diferencueshëm në disa lagje të pikësx 0 .

5. Llogaritja e derivateve të funksioneve të nënkuptuara të përcaktuara nga një sistem ekuacionesh

Duke pasur parasysh sistemin

(1)

Ne do të supozojmë se kushtet e ekzistencës dhe teoremës së unike për funksionin e nënkuptuar të specifikuar nga ky sistem ekuacionesh janë të përmbushura. Le të shënojmë këtë funksion y= f(x) . Pastaj në ndonjë lagje të pikës x 0 identitetet janë të vlefshme

(F(x, f(x))=0) (2)

Diferencimi i këtyre identiteteve nga x j marrim

=0 (3)

Këto barazi mund të shkruhen në forma matrice

, (3)

ose në formë të zgjeruar

Vini re se kalimi nga barazia F(x, f(x))=0 te
, korrespondon me rregullat e diferencimit për rastin kur x Dhe y janë pika të hapësirës njëdimensionale. Matricë sipas kushtit nuk është i degjeneruar, prandaj ekuacioni i matricës
ka një zgjidhje
. Në këtë mënyrë mund të gjeni derivatet e pjesshëm të rendit të parë të funksioneve të nënkuptuara . Për të gjetur diferenciale shënojmë

dy = ,dx = , duke diferencuar barazitë (2) marrim

=0 ,

ose në formë matrice

. (4)

Zgjeruar

Ashtu si në rastin e derivateve të pjesshme, formula (4) kemi të njëjtën formë si për rastin e hapësirave njëdimensionale n=1, fq=1. Zgjidhja e këtij ekuacioni matricor do të shkruhet në formë
. Për të gjetur derivatet e pjesshme të rendit të dytë, do të jetë e nevojshme të diferencohen identitetet (3) (për të llogaritur diferencat e rendit të dytë, duhet të dalloni identitetet (4) ). Kështu, marrim

ku nëpër A tregohen termat që nuk përmbajnë ato të kërkuara
.

Matrica e koeficientëve të këtij sistemi për përcaktimin e derivateve
shërben si matricë jakobiane .

Një formulë e ngjashme mund të merret për diferencialet. Në secilin prej këtyre rasteve do të rezultojë ekuacioni i matricës me të njëjtën matricë koeficienti në një sistem ekuacionesh për të përcaktuar derivatet ose diferencialet e dëshiruara. E njëjta gjë do të ndodhë gjatë diferencimeve të mëposhtme.

Shembulli 1. Gjeni ,,në pikën përcakton=1, u=1.

Zgjidhje. Diferenconi barazitë e dhëna

(5)

Vini re se sipas formulimit të problemit, duhet të marrim parasysh variablat e pavarur x, y. Atëherë funksionet do të jenë z, përcakton, u. Kështu, sistemi (5) duhet të zgjidhen në lidhje me të panjohurat Zgjidhja e këtij sistemi për diferenciale, du, Nga këtu ne përcaktojmë . Në formën e matricës duket kështu

Le ta zgjidhim këtë sistem duke përdorur rregullin e Cramer. Përcaktues i matricës së koeficientit

, Përcaktori i tretë "i zëvendësuar" për Nga këtu ne përcaktojmë do të jetë i barabartë (e llogarisim duke u zgjeruar mbi kolonën e fundit)

, Pastaj

Nga këtu ne përcaktojmë =
, Dhe
,
.

Le të dallojmë (5) përsëri ( x, y – variabla të pavarur)

Matrica e koeficientit të sistemit është e njëjtë, përcaktuesi i tretë

Duke zgjidhur këtë sistem, marrim një shprehje për d 2 z ku mund të gjeni derivatin e dëshiruar.

Funksionet implicite të përcaktuara nga një sistem ekuacionesh

Jepet një sistem ekuacionesh

ose shkurtimisht F(x, y)= 0. (6.7)

Përkufizimi. Sistemi(6.7)përcakton në mënyrë implicite funksioni i dhënë y=f(x)në DÌR n

nëse "xÎD:F(x, f(x)) = 0.

Teorema (ekzistenca dhe unike e një harte të përcaktuar në mënyrë implicite nga një sistem ekuacionesh).Le

1) F i(x, y)nga (6.4) janë të përcaktuara dhe kanë derivate të pjesshme të vazhdueshme të rendit të parë, (i= 1,…,p, k= 1,…,n, j= 1,…,p) në afërsi të U(M 0)pika M 0 (x 0 , y 0), x 0 = , y 0 =

2) F(M 0)=0,

3) det.

Pastaj në një lagje U(x 0)ekziston një funksion (hartë) unik i përcaktuar në këtë lagje y = f(x), sikurse

"xО U(x 0) :F(x, f(x))=0dhe y 0 =f(x 0).

Ky funksion është vazhdimisht i diferencueshëm në disa fqinjësi të pikës x 0 .

Duke pasur parasysh sistemin

Ne do të supozojmë se kushtet e ekzistencës dhe teoremës së unike për funksionin e nënkuptuar të specifikuar nga ky sistem ekuacionesh janë të përmbushura. Le të shënojmë këtë funksion y=f(x) . Pastaj në ndonjë lagje të pikës x 0 identitetet janë të vlefshme

Diferencimi i këtyre identiteteve nga x j marrim

= 0.(6.9)

Këto barazi mund të shkruhen në formë matrice

ose në formë të zgjeruar

Vini re se kalimi nga barazia F(x, f(x))=0k , korrespondon me rregullat e diferencimit për rastin kur x Dhe y janë pika të hapësirës njëdimensionale. Sipas kushtit, matrica nuk është njëjës, kështu që ekuacioni i matricës ka një zgjidhje. Në këtë mënyrë, është e mundur të gjenden derivatet e pjesshëm të rendit të parë të funksioneve të nënkuptuara. Për të gjetur diferenciale shënojmë

dy = , dx =, duke diferencuar barazitë (6.8), marrim

ose në formë matrice

Zgjeruar

Ashtu si në rastin e derivateve të pjesshme, formula (6.10) ka të njëjtën formë si për rastin e hapësirave njëdimensionale n= 1, p= 1. Zgjidhja e këtij ekuacioni të matricës do të shkruhet në formë. Për të gjetur derivatet e pjesshme të rendit të dytë, do t'ju duhet të dalloni identitetet (6.9) (për të llogaritur diferencat e rendit të dytë, duhet të dalloni identitetet (6.10)). Kështu, marrim

ku nëpër A tregohen termat që nuk përmbajnë ato të kërkuara.

Matrica e koeficientëve të këtij sistemi për përcaktimin e derivateve është matrica jakobiane.

Një formulë e ngjashme mund të merret për diferencialet. Në secilin prej këtyre rasteve, do të merret një ekuacion matricë me të njëjtën matricë koeficientësh në sistemin e ekuacioneve për të përcaktuar derivatet ose diferencialet e dëshiruara. E njëjta gjë do të ndodhë gjatë diferencimeve të mëposhtme.

Shembulli 1. Gjeni, në një pikë u= 1,v= 1.

Zgjidhje. Diferenconi barazitë e dhëna

Vini re se nga kushtet e problemit rezulton se duhet të marrim parasysh variablat e pavarur x, y. Atëherë funksionet do të jenë z, u, v. Kështu, sistemi (6.11) duhet të zgjidhet në lidhje me të panjohurat du, dv, dz. Në formën e matricës duket kështu

Le ta zgjidhim këtë sistem duke përdorur rregullin e Cramer. Përcaktues i matricës së koeficientit

Përcaktori i tretë "i zëvendësuar" për Nga këtu ne përcaktojmë do të jetë i barabartë (e llogarisim duke u zgjeruar mbi kolonën e fundit)

dz = , Dhe,.

Le të dallojmë (6.11) edhe një herë ( x, y - variabla të pavarur)

Matrica e koeficientit të sistemit është e njëjtë, përcaktuesi i tretë

Duke zgjidhur këtë sistem, marrim një shprehje për d 2 z ku mund të gjeni derivatin e dëshiruar.

6.3. Hartografi të diferencueshme

Hartografitë e derivuara. Shfaqje të rregullta. Kushtet e nevojshme dhe të mjaftueshme për varësinë funksionale.

Ne do të mësojmë të gjejmë derivate të funksioneve të specifikuara në mënyrë implicite, domethënë të specifikuara nga ekuacione të caktuara që lidhin variabla x Dhe y. Shembuj të funksioneve të specifikuara në mënyrë implicite:

Derivatet e funksioneve të specifikuara në mënyrë implicite, ose derivatet e funksioneve të nënkuptuara, gjenden mjaft thjesht. Tani le të shohim rregullin dhe shembullin përkatës, dhe më pas të zbulojmë pse kjo është e nevojshme në përgjithësi.

Për të gjetur derivatin e një funksioni të specifikuar në mënyrë implicite, duhet të dalloni të dyja anët e ekuacionit në lidhje me x. Ata terma në të cilët vetëm X është i pranishëm do të kthehen në derivatin e zakonshëm të funksionit nga X. Dhe termat me lojën duhet të diferencohen duke përdorur rregullin e diferencimit të funksioneve komplekse, pasi loja është një funksion i X. E thënë thjesht, derivati rezultues i termit me x duhet të rezultojë në: derivatin e funksionit nga y i shumëzuar me derivatin nga y. Për shembull, derivati i një termi do të shkruhet si , derivati i një termi do të shkruhet si . Tjetra, nga e gjithë kjo, ju duhet të shprehni këtë "goditje të lojës" dhe do të merret derivati i dëshiruar i funksionit të specifikuar në mënyrë implicite. Le ta shohim këtë me një shembull.

Shembulli 1.

Zgjidhje. Ne i dallojmë të dyja anët e ekuacionit në lidhje me x, duke supozuar se i është një funksion i x:

Nga këtu marrim derivatin që kërkohet në detyrë:

Tani diçka rreth vetive të paqarta të funksioneve të specifikuara në mënyrë implicite dhe pse nevojiten rregulla të veçanta për diferencimin e tyre. Në disa raste, mund të verifikoni që zëvendësimi në ekuacioni i dhënë(shih shembujt e mësipërm) në vend të y, shprehja e tij përmes x çon në faktin se ky ekuacion bëhet identitet. Kështu që. Ekuacioni i mësipërm përcakton në mënyrë implicite funksionet e mëposhtme:

Pasi të zëvendësojmë shprehjen për lojën në katror përmes x në ekuacionin origjinal, marrim identitetin:

Shprehjet që kemi zëvendësuar janë marrë duke zgjidhur ekuacionin e lojës.

Nëse do të dallonim funksionin eksplicit përkatës

atëherë do të merrnim përgjigjen si në shembullin 1 - nga një funksion i specifikuar në mënyrë implicite:

Por jo çdo funksion i specifikuar në mënyrë implicite mund të përfaqësohet në formë y = f(x) . Kështu, për shembull, funksionet e specifikuara në mënyrë implicite

nuk shprehen nëpërmjet funksionet elementare, domethënë, këto ekuacione nuk mund të zgjidhen në lidhje me lojtarin. Prandaj, ekziston një rregull për diferencimin e një funksioni të specifikuar në mënyrë implicite, të cilin e kemi studiuar tashmë dhe do ta zbatojmë më tej vazhdimisht në shembuj të tjerë.

Shembulli 2. Gjeni derivatin e një funksioni të dhënë në mënyrë implicite:

Ne shprehim numrin e thjeshtë dhe - në dalje - derivatin e funksionit të specifikuar në mënyrë implicite:

Shembulli 3. Gjeni derivatin e një funksioni të dhënë në mënyrë implicite:

Zgjidhje. Ne i dallojmë të dyja anët e ekuacionit në lidhje me x:

Shembulli 4. Gjeni derivatin e një funksioni të dhënë në mënyrë implicite:

Zgjidhje. Ne i dallojmë të dyja anët e ekuacionit në lidhje me x:

Ne shprehim dhe marrim derivatin:

Shembulli 5. Gjeni derivatin e një funksioni të dhënë në mënyrë implicite:

Zgjidhje. I zhvendosim termat në anën e djathtë të ekuacionit në anën e majtë dhe lëmë zero në të djathtë. Dallojmë të dyja anët e ekuacionit në lidhje me x.