Në këtë paragraf do të ndalemi në një të veçantë, por klasë e rëndësishme forma kuadratike pozitive.

Përkufizimi 3. Një formë kuadratike reale quhet jonegative (jo pozitive) nëse, për ndonjë vlerë reale të variablave

. (35)

Në këtë rast, matrica simetrike e koeficientëve quhet gjysmëpërcaktuar pozitive (gjysmëcaktuar negative).

Përkufizimi 4. Një formë kuadratike reale quhet e caktuar pozitive (përcaktuar negative) nëse, për çdo vlerë reale të ndryshoreve që nuk janë njëkohësisht zero,

. (36)

Në këtë rast, matrica quhet edhe definitive pozitive (përcaktuar negativ).

Klasa e formave të përcaktuara pozitive (përcaktuese negative) bën pjesë në klasën e formave jonegative (përkatësisht jo pozitive).

Le të jepet një formë jo negative. Le ta imagjinojmë atë si një shumë katrorësh të pavarur:

. (37)

Në këtë paraqitje, të gjitha katrorët duhet të jenë pozitive:

. (38)

Në të vërtetë, nëse do të kishte ndonjë, atëherë do të ishte e mundur të zgjidhni vlera të tilla

Por atëherë, me këto vlera të variablave, forma do të kishte një vlerë negative, e cila është e pamundur sipas kushteve. Natyrisht, anasjelltas, nga (37) dhe (38) rrjedh se forma është pozitive.

Kështu, një formë kuadratike jo negative karakterizohet nga barazitë.

Le të jetë pozitive tani formë e caktuar. Atëherë është një formë jo negative. Prandaj, mund të paraqitet në formën (37), ku të gjitha janë pozitive. Nga përcaktueshmëria pozitive e formës del se . Në të vërtetë, në rastin kur është e mundur të zgjidhni vlera që nuk janë njëkohësisht të barabarta me zero, në të cilat të gjitha do të kthehen në zero. Por më pas, në bazë të (37), në , që bie ndesh me kushtin (36).

Është e lehtë të shihet se anasjelltas, nëse në (37) dhe janë të gjitha pozitive, atëherë është një formë e caktuar pozitive.

Me fjalë të tjera, një formë jo negative është e përcaktuar pozitive nëse dhe vetëm nëse nuk është njëjës.

Teorema e mëposhtme jep një kriter për përcaktueshmërinë pozitive të një forme në formën e pabarazive që duhet të plotësojnë koeficientët e formës. Në këtë rast, përdoret shënimi i hasur tashmë në paragrafët e mëparshëm për të miturit kryesorë të njëpasnjëshëm të matricës:

.

Teorema 3. Që një formë kuadratike të jetë e përcaktuar pozitive, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që pabarazitë të plotësohen.

Dëshmi. Mjaftueshmëria e kushteve (39) rrjedh drejtpërdrejt nga formula e Jacobi (28). Domosdoshmëria e kushteve (39) përcaktohet si më poshtë. Nga përcaktueshmëria pozitive e formës rrjedh edhe përcaktueshmëria pozitive e formave "të cunguara".

.

Por atëherë të gjitha këto forma duhet të jenë jo njëjës, d.m.th.

Tani kemi mundësinë të përdorim formulën Jacobi (28) (në ). Meqenëse në anën e djathtë të kësaj formule të gjithë katrorët duhet të jenë pozitivë, atëherë

Kjo nënkupton pabarazi (39). Teorema është vërtetuar.

Meqenëse çdo minor kryesor i një matrice, me rinumërimin e duhur të variablave, mund të vendoset në këndin e sipërm të majtë, atëherë ne kemi

Pasoja. Në formën kuadratike të caktuar pozitive, të gjitha minoret kryesore të matricës së koeficientit janë pozitive:

Komentoni. Nga mosnegativiteti i të miturve të njëpasnjëshëm kryesor

nuk pason mosnegativiteti i formës. Në të vërtetë, forma

,

ku , i plotëson kushtet, por nuk është jonegativ.

Megjithatë, sa vijon vlen

Teorema 4. Që një formë kuadratike të jetë jonegative, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që të gjitha minoret kryesore të matricës së koeficientit të saj të jenë jonegative:

Dëshmi. Le të prezantojmë formë ndihmëse ishte jo pozitive, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që të ndodhin pabarazitë

Një polinom homogjen i shkallës 2 në disa ndryshore quhet formë kuadratike.

Forma kuadratike e variablave përbëhet nga terma të dy llojeve: katrorët e ndryshoreve dhe prodhimet e tyre në çift me koeficientë të caktuar. Forma kuadratike zakonisht shkruhet si diagrami katror i mëposhtëm:

Çiftet anëtarë të ngjashëm shkruhen me koeficientë identikë, në mënyrë që secili prej tyre të përbëjë gjysmën e koeficientit me prodhimin përkatës të variablave. Kështu, çdo formë kuadratike lidhet natyrshëm me matricën e saj të koeficientit, e cila është simetrike.

Është e përshtatshme të përfaqësohet forma kuadratike në mënyrën e mëposhtme: shënimi i matricës. Le të shënojmë me X një kolonë variablash përmes X - një rresht, d.m.th., një matricë e transpozuar me X. Më pas

Forma kuadratike gjendet në shumë degë të matematikës dhe zbatimet e saj.

Në teorinë e numrave dhe kristalografinë, format kuadratike konsiderohen me supozimin se variablat marrin vetëm vlera të plota. NË gjeometria analitike forma kuadratike është pjesë e ekuacionit të lakores së rendit (ose sipërfaqes). Në mekanikë dhe fizikë, forma kuadratike duket se shprehet energjia kinetike sistemet përmes komponentëve të shpejtësive të përgjithësuara etj. Por, përveç kësaj, studimi i formave kuadratike është gjithashtu i nevojshëm në analizë kur studiohen funksionet e shumë ndryshoreve, në pyetjet për zgjidhjen e të cilave është e rëndësishme të zbulohet se si këtë funksion në afërsi të një pike të caktuar devijon nga ajo që i afrohet funksion linear. Një shembull i një problemi të këtij lloji është studimi i një funksioni për maksimumin dhe minimumin e tij.

Konsideroni, për shembull, problemin e studimit të maksimumit dhe minimumit për një funksion të dy variablave që ka derivate të pjesshme të vazhdueshme deri në rend. Një kusht i domosdoshëm Në mënyrë që një pikë të japë një maksimum ose minimum të një funksioni, derivatet e pjesshme të rendit në pikë janë të barabarta me zero. Le t'i japim variablat x dhe y rritje të vogla dhe k dhe të marrim në konsideratë rritjen përkatëse të funksionit Sipas formulës së Taylor-it, kjo rritje, deri në renditje të vogla më të larta, është e barabartë me formën kuadratike ku janë vlerat e derivateve të dytë. llogaritur në pikën Nëse kjo formë kuadratike është pozitive për të gjitha vlerat e dhe k (përveç ), atëherë funksioni ka një minimum në pikën nëse është negativ, atëherë ai ka një maksimum; Së fundi, nëse forma merr edhe pozitive edhe vlerat negative, atëherë nuk do të ketë as maksimum e as minimal. Funksionet e më shumë variablat.

Studimi i formave kuadratike kryesisht konsiston në studimin e problemit të ekuivalencës së formave në lidhje me një ose një grup tjetër transformimesh lineare të ndryshoreve. Dy forma kuadratike quhen ekuivalente nëse njëra prej tyre mund të shndërrohet në tjetrën nga një prej shndërrimeve të një grupi të caktuar. Lidhur ngushtë me problemin e ekuivalencës është problemi i reduktimit të formës, d.m.th. duke e transformuar atë në një formë ndoshta më të thjeshtë.

NË çështje të ndryshme të shoqëruara me forma kuadratike, merren parasysh edhe grupe të ndryshme transformimesh të pranueshme të variablave.

Në pyetjet e analizës, përdoren çdo transformim jo të veçantë të variablave; për qëllime të gjeometrisë analitike, interesi më i madh është transformimet ortogonale, pra ato që korrespondojnë me një kalim nga një sistem variablash Koordinatat karteziane tek një tjetër. Së fundi, në teorinë e numrave dhe kristalografinë merren parasysh shndërrimet lineare me koeficientë të plotë dhe me një përcaktor të barabartë me njësinë.

Ne do të shqyrtojmë dy nga këto probleme: çështjen e reduktimit të një forme kuadratike në formën e saj më të thjeshtë përmes çdo transformimi jo njëjës dhe të njëjtën pyetje për shndërrimet ortogonale. Para së gjithash, le të zbulojmë se si një matricë e formës kuadratike transformohet gjatë një transformimi linear të ndryshoreve.

Le të , ku A është një matricë simetrike e koeficientëve të formës, X është një kolonë variablash.

Le ta bejme transformim linear variablat, duke e shkruar atë të shkurtuar si . Këtu C tregon matricën e koeficientëve të këtij transformimi, X është një kolonë e variablave të rinj. Atëherë dhe prandaj, kështu matrica e formës kuadratike të transformuar është

Matrica automatikisht rezulton të jetë simetrike, e cila është e lehtë për t'u kontrolluar. Kështu, problemi i reduktimit të një forme kuadratike në formën më të thjeshtë është ekuivalente me problemin e reduktimit të një matrice simetrike në formën më të thjeshtë duke e shumëzuar atë majtas dhe djathtas me matrica të transpozuara reciprokisht.

Rregullat për futjen e funksioneve:

Një funksion dy herë i diferencueshëm vazhdimisht f(x) është konveks (konkav) nëse dhe vetëm nëse Matrica Hessian funksioni f(x) në lidhje me x është gjysmëpërcaktuar pozitiv (negativ) për të gjitha x (shih pikat e ekstremeve lokale të një funksioni të disa ndryshoreve).

Pikat kritike të funksionit:

• nëse Hessian është i përcaktuar pozitiv, atëherë x 0 është një pikë minimale lokale funksionet f(x),
• nëse Hessian është definitive negative, atëherë x 0 është pika maksimale lokale e funksionit f(x),
• nëse Hessian-i nuk është i përcaktuar me shenjë (merr vlera pozitive dhe negative) dhe është jo i degjeneruar (det G(f) ≠ 0), atëherë x 0 është pika e shalës së funksionit f(x).

Kriteret për definicitetin e një matrice (teorema e Silvesterit)

• të gjithë elementët diagonale të matricës duhet të jenë pozitive;
• të gjithë kualifikuesit kryesorë kryesorë duhet të jenë pozitivë.

Gjysmë-përcaktueshmëria pozitive:

• të gjithë elementët diagonale janë jonegative;
• të gjithë përcaktuesit kryesorë janë jonegativë.

Matrica simetrike katrore e rendit n, elementet e së cilës janë derivate të pjesshëm funksion objektiv rendit të dytë quhet matrica Hessian dhe caktohet:

Në mënyrë që një matricë simetrike të jetë e përcaktuar pozitive, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që të gjitha minoret diagonale të saj të jenë pozitive, d.m.th.


për matricën A = (a ij) janë pozitive.

Siguri negative.
Në mënyrë që një matricë simetrike të jetë e përcaktuar negative, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që të ndodhin pabarazitë e mëposhtme:
(-1) k D k > 0, k=1,.., n.
Me fjalë të tjera, në mënyrë që forma kuadratike të jetë definitive negative, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që shenjat e minoreve këndore të një matrice të formës kuadratike të alternohen, duke filluar me shenjën minus. Për shembull, për dy ndryshore, D 1< 0, D 2 > 0.

Nëse Hessian është gjysmë i përcaktuar, atëherë kjo mund të jetë gjithashtu një pikë lakimi. E nevojshme kërkime shtesë, e cila mund të kryhet sipas një prej opsioneve të mëposhtme:

1. Rendi në rënie. Bëhet një ndryshim i variablave. Për shembull, për një funksion të dy ndryshoreve është y=x, si rezultat marrim një funksion të një ndryshoreje x. Më pas, shqyrtojmë sjelljen e funksionit në rreshtat y=x dhe y=-x. Nëse në rastin e parë funksioni në pikën në studim do të ketë një minimum, dhe në rastin tjetër një maksimum (ose anasjelltas), atëherë pika në studim është një pikë shale.
2. Gjetja e vlerave vetjake të Hessian. Nëse të gjitha vlerat janë pozitive, funksioni në pikën në studim ka një minimum, nëse të gjitha vlerat janë negative, ka një maksimum.
3. Studimi i funksionit f(x) në fqinjësi të pikës ε. Variablat x zëvendësohen me x 0 +ε. Më pas, është e nevojshme të vërtetohet se funksioni f(x 0 +ε) i një ndryshoreje ε, ose Mbi zero(atëherë x 0 është pika minimale), ose më pak se zero(atëherë x 0 është pika maksimale).

shënim. Per te gjetur hesian i anasjelltë mjafton të gjejmë matricën e anasjelltë.

Shembulli nr. 1. Cili nga funksionet e mëposhtme janë konvekse ose konkave: f(x) = 8x 1 2 +4x 1 x 2 +5x 2 2.
Zgjidhje. 1. Le të gjejmë derivatet e pjesshme.


2. Të zgjidhim sistemin e ekuacioneve.
-4x 1 +4x 2 +2 = 0
4x 1 -6x 2 +6 = 0
Ne marrim:
a) Nga ekuacioni i parë shprehim x 1 dhe e zëvendësojmë me ekuacionin e dytë:
x 2 = x 2 + 1/2
-2x 2 +8 = 0
Ku x 2 = 4
Ne i zëvendësojmë këto vlera x 2 në shprehjen për x 1. Ne marrim: x 1 = 9 / 2
Numri i pikave kritike është 1.
M 1 (9 / 2 ;4)
3. Le të gjejmë derivatet e pjesshme të rendit të dytë.



4. Le të llogarisim vlerën e këtyre derivateve të pjesshme të rendit të dytë në pikat kritike M (x 0 ;y 0).
Ne llogarisim vlerat për pikën M 1 (9 / 2 ;4)



Ne ndërtojmë matricën Hessian:

D 1 = a 11< 0, D 2 = 8 > 0
Që nga të miturit diagonale kanë shenja të ndryshme, atëherë nuk mund të thuhet asgjë për konveksitetin ose konkavitetin e funksionit.

Format kuadratike të përcaktuara pozitive

Përkufizimi. Forma kuadratike nga n quhen të panjohura definitiv pozitiv, nëse rangu i tij është i barabartë me indeksin e inercisë pozitive dhe e barabartë me numrin i panjohur.

Teorema. Një formë kuadratike është pozitive e përcaktuar nëse dhe vetëm nëse, në çdo grup vlerash të ndryshueshme jozero, duhet vlerat pozitive.

Dëshmi. Le të jetë forma kuadratike një transformim linear jo i degjeneruar i të panjohurave

u kthye në normalitet

.

Për çdo grup vlerash të ndryshueshme jo zero, të paktën një nga numrat të ndryshme nga zero, d.m.th. . Domosdoshmëria e teoremës vërtetohet.

Supozoni se forma kuadratike merr vlera pozitive për çdo grup variablash jo zero, por indeksi i tij pozitiv i inercisë është një transformim linear jo i degjeneruar i të panjohurave

Le ta sjellim në formë normale. Pa humbur përgjithësinë, mund të supozojmë se në këtë formë normale katrori i ndryshores së fundit ose mungon ose përfshihet me një shenjë minus, d.m.th. , ku ose . Le të supozojmë se është një grup jo zero vlerash të ndryshueshme të marra si rezultat i zgjidhjes së sistemit ekuacionet lineare

Në këtë sistem, numri i ekuacioneve është i barabartë me numrin e ndryshoreve dhe përcaktori i sistemit është jozero. Sipas teoremës së Cramer-it, sistemi ka vetëm vendim, dhe është jo zero. Për këtë grup. Kontradikta me kushtin. Arrijmë në një kontradiktë me supozimin, i cili vërteton mjaftueshmërinë e teoremës.

Duke përdorur këtë kriter, është e pamundur të përcaktohet nga koeficientët nëse forma kuadratike është e përcaktuar pozitive. Përgjigjen e kësaj pyetjeje e jep një teoremë tjetër, për formulimin e së cilës prezantojmë një koncept tjetër. Minoret kryesore diagonale të një matrice janë të mitur të vendosur në të majtë të saj këndi i sipërm:

, , , … , .

Teorema.Një formë kuadratike është e përcaktuar pozitive nëse dhe vetëm nëse të gjitha minoret e saj kryesore diagonale janë pozitive.

Dëshmi ne do të kryejmë metodën e plotë induksioni matematik sipas numrit n variabla kuadratike f.

Hipoteza e induksionit. Le të supozojmë se për format kuadratike me më pak ndryshore n deklarata është e vërtetë.

Merrni parasysh formën kuadratike të n variablat. Le të vendosim të gjithë termat që përmbajnë . Termat e mbetur formojnë një formë kuadratike të ndryshoreve. Sipas hipotezës së induksionit, deklarata është e vërtetë për të.

Supozojmë se forma kuadratike është e përcaktuar pozitive. Atëherë forma kuadratike është e përcaktuar pozitive. Nëse supozojmë se nuk është kështu, atëherë ekziston një grup vlerash ndryshore jo zero , per cilin dhe përkatësisht, , dhe kjo bie ndesh me faktin që forma kuadratike është e përcaktuar pozitive. Sipas hipotezës së induksionit, të gjitha minoret kryesore diagonale të një forme kuadratike janë pozitive, d.m.th. të gjithë të miturit e parë kryesorë të formës kuadratike f janë pozitive. Kryesorja e fundit e formës kuadratike – kjo është përcaktuesja e matricës së saj. Ky përcaktues është pozitiv, pasi shenja e tij përkon me shenjën e matricës së tij pamje normale, d.m.th. me shenjën e përcaktorit të matricës së identitetit.

Le të jenë pozitive të gjitha minoret kryesore diagonale të formës kuadratike . Sipas hipotezës së induksionit, forma kuadratike është e përcaktuar pozitive, kështu që ka një transformim linear jo të degjeneruar të variablave që e redukton formën në formën e shumës së katrorëve të ndryshoreve të reja. Ky transformim linear mund të zgjerohet në një transformim linear jo të degjeneruar të të gjitha variablave duke vendosur . Ky transformim e zvogëlon formën kuadratike në formë

Forma kuadratike

Forma kuadratike f(x 1, x 2,...,x n) e n variablave është një shumë, çdo term i së cilës është ose katrori i njërës prej variablave, ose prodhimi i dy ndryshoreve të ndryshme, marrë me një koeficient të caktuar: f (x 1, x 2, ...,x n) = (a ij = a ji).

Matrica A e përbërë nga këta koeficientë quhet matricë e formës kuadratike. Është gjithmonë simetrike matricë (d.m.th. një matricë simetrike në lidhje me diagonalen kryesore, a ij = a ji).

Në shënimin e matricës, forma kuadratike është f(X) = X T AX, ku

Me të vërtetë

Për shembull, le të shkruajmë në forma matrice formë kuadratike.

Për ta bërë këtë, ne gjejmë një matricë të formës kuadratike. Elementet e tij diagonale janë të barabarta me koeficientët e variablave në katror, ​​dhe elementët e mbetur janë të barabartë me gjysmat e koeficientëve përkatës të formës kuadratike. Kjo është arsyeja pse

Le të fitohet matrica-kolona e variablave X nga një transformim linear jo i degjeneruar i matricës-kolona Y, d.m.th. X = CY, ku C është një matricë jo njëjës e rendit të n-të. Pastaj forma kuadratike
f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y.

Kështu, me një transformim linear jo të degjeneruar C, matrica e formës kuadratike merr formën: A * = C T AC.

Për shembull, le të gjejmë formën kuadratike f(y 1, y 2), të marrë nga forma kuadratike f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 me transformim linear.

Forma kuadratike quhet kanonike(Ka pamje kanonike), nëse të gjithë koeficientët e tij a ij = 0 për i ≠ j, d.m.th.
f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

Matrica e saj është diagonale.

Teorema(prova nuk është dhënë këtu). Çdo formë kuadratike mund të reduktohet në formë kanonike duke përdorur një transformim linear jo të degjeneruar.

Për shembull, le të reduktojmë formën kuadratike në formën kanonike
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3.

Për ta bërë këtë, së pari zgjedhim katror i përsosur me ndryshore x 1:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 – x 2 x 3.

Tani zgjedhim një katror të plotë me ndryshoren x 2:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 2 – 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) - (5/100)x 3 2 =
= 2 (x 1 + x 2) 2 – 5 (x 2 – (1/10)x 3) 2 - (1/20)x 3 2.

Pastaj transformimi linear jo i degjeneruar y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 – (1/10) x 3 dhe y 3 = x 3 e sjell këtë formë kuadratike në formën kanonike f(y 1, y 2 , y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

Vini re se forma kanonike e një forme kuadratike përcaktohet në mënyrë të paqartë (e njëjta formë kuadratike mund të reduktohet në formën kanonike menyra te ndryshme). Megjithatë, të pranuara menyra te ndryshme format kanonike kanë një numër të vetitë e përgjithshme. Në veçanti, numri i termave me koeficientë pozitivë (negativë) të një forme kuadratike nuk varet nga metoda e zvogëlimit të formës në këtë formë (për shembull, në shembullin e konsideruar gjithmonë do të ketë dy koeficientë negativë dhe një pozitiv). Kjo pronë quhet ligji i inercisë së formave kuadratike.

Le ta verifikojmë këtë duke e sjellë të njëjtën formë kuadratike në formën e saj kanonike në një mënyrë tjetër. Le të fillojmë transformimin me ndryshoren x 2:
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = -3x 2 2 – x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = - 3(x 2 2 -
- 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) +((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2) - 3 ((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3(x 2 – (1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2 – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 = f (y 1 , y 2 , y 3) = -3y 1 2 -
-3y 2 2 + 2y 3 2, ku y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 – (1/6) x 3, y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 dhe y 3 = x 1 . Këtu ka një koeficient pozitiv prej 2 në y 3 dhe dy koeficientë negativë (-3) në y 1 dhe y 2 (dhe duke përdorur një metodë tjetër kemi marrë një koeficient pozitiv prej 2 në y 1 dhe dy koeficientë negativë - (-5) në y 2 dhe (-1 /20) në y 3).

Duhet gjithashtu të theksohet se rangu i një matrice të formës kuadratike, e quajtur rangu i formës kuadratike, është e barabartë me numrin e koeficientëve jozero formë kanonike dhe nuk ndryshon nën transformimet lineare.

Forma kuadratike f(X) quhet pozitivisht (negativ) të caktuara, nëse për të gjitha vlerat e variablave që nuk janë njëkohësisht të barabarta me zero, është pozitive, d.m.th. f(X) > 0 (negativ, d.m.th.
f(X)< 0).

Për shembull, forma kuadratike f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 është e përcaktuar pozitive, sepse është një shumë katrorësh, dhe forma kuadratike f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 është e caktuar negative, sepse përfaqëson mund të përfaqësohet si f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2.

Në shumicën e situatave praktike, është disi më e vështirë të vendosësh shenjën e caktuar të një forme kuadratike, kështu që për këtë përdorim një nga teoremat e mëposhtme (do t'i formulojmë ato pa prova).

Teorema. Një formë kuadratike është pozitive (negative) e përcaktuar nëse dhe vetëm nëse të gjitha eigenvlerat matricat e tij janë pozitive (negative).

Teorema (kriteri i Silvesterit). Një formë kuadratike është e përcaktuar pozitive nëse dhe vetëm nëse të gjitha minoret kryesore të matricës së kësaj forme janë pozitive.

Kryesor (këndor) i vogël Matrica e rendit kth A e rendit të n-të quhet përcaktor i matricës, e përbërë nga k rreshtat dhe kolonat e para të matricës A ().

Vini re se për format kuadratike të përcaktuara negative, shenjat e të miturve kryesorë alternohen, dhe minorja e rendit të parë duhet të jetë negative.

Për shembull, le të shqyrtojmë formën kuadratike f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 për definicitetin e shenjës.

= (2 - l)*
*(3 - l) – 4 = (6 - 2l - 3l + l 2) – 4 = l 2 - 5l + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;
. Prandaj, forma kuadratike është e përcaktuar pozitive.

Metoda 2. Minorja kryesore e rendit të parë të matricës A D 1 = a 11 = 2 > 0. Minorja kryesore e rendit të dytë D 2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Prandaj, sipas kriterit të Silvesterit, forma kuadratike është definitiv pozitiv.

Ne shqyrtojmë një formë tjetër kuadratike për përcaktueshmërinë e shenjës, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Metoda 1. Të ndërtojmë një matricë të formës kuadratike A = . Ekuacioni karakteristik do të duket si = (-2 - l)*
*(-3 - l) – 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) – 4 = l 2 + 5l + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;
. Prandaj, forma kuadratike është e përcaktuar negative.