PËRKUFIZIMI I MATRIKSËS. LLOJET E MATRICES

Matrica e madhësisë m× n quhet një grup m·n numrat e renditur në një tabelë drejtkëndëshe prej m linjat dhe n kolonat. Kjo tabelë zakonisht përfshihet në kllapa. Për shembull, matrica mund të duket si kjo:

Për shkurtësi, një matricë mund të shënohet me një shkronja kapitale, Për shembull, A ose NË.

NË pamje e përgjithshme madhësia e matricës m× n shkruaje keshtu

.

Numrat që përbëjnë matricën quhen elementet e matricës. Është i përshtatshëm për të siguruar elementë matricë me dy indekse një ij: E para tregon numrin e rreshtit dhe e dyta tregon numrin e kolonës. Për shembull, a 23- elementi është në rreshtin e dytë, kolonën e tretë.

Nëse një matricë ka të njëjtin numër rreshtash si numri i kolonave, atëherë matrica quhet katrore, dhe thirret numri i rreshtave ose kolonave të tij në rregull matricat. Në shembujt e mësipërm, matrica e dytë është katrore - rendi i saj është 3, dhe matrica e katërt është rendi i saj 1.

Quhet një matricë në të cilën numri i rreshtave nuk është i barabartë me numrin e kolonave drejtkëndëshe. Në shembujt kjo është matrica e parë dhe e treta.

Ka edhe matrica që kanë vetëm një rresht ose një kolonë.

Një matricë me vetëm një rresht quhet matricë - rresht(ose varg), dhe një matricë me vetëm një kolonë matricë - kolonë.

Quhet një matricë, elementët e së cilës janë të gjithë zero nul dhe shënohet me (0), ose thjesht 0. Për shembull,

.

Diagonalja kryesore matricë katrore le ta quajmë diagonalen që shkon nga e majta e sipërme në këndin e poshtëm të djathtë.

Quhet një matricë katrore në të cilën të gjithë elementët nën diagonalen kryesore janë të barabartë me zero trekëndëshi matricë.

.

Një matricë katrore në të cilën të gjithë elementët, përveç ndoshta atyre në diagonalen kryesore, janë të barabartë me zero, quhet diagonale matricë. Për shembull, ose.

Quhet një matricë diagonale në të cilën të gjithë elementët diagonale janë të barabartë me një beqare matricë dhe shënohet me shkronjën E. Për shembull, matrica e identitetit të rendit të tretë ka formën .

VEPRIMET MBI MATRICAT

Barazia e matricës. Dy matrica A Dhe B thuhet se janë të barabartë nëse kanë të njëjtin numër rreshtash dhe kolonash dhe elementet përkatëse të tyre janë të barabarta një ij = b ij. Pra, nëse Dhe , Kjo A=B, Nëse a 11 = b 11, a 12 = b 12, a 21 = b 21 Dhe a 22 = b 22.

Transpozoni. Le të shqyrtojmë matricë arbitrare A nga m linjat dhe n kolonat. Mund të shoqërohet me matricën e mëposhtme B nga n linjat dhe m kolona, ​​në të cilat çdo rresht është një kolonë matrice A me të njëjtin numër (prandaj çdo kolonë është një rresht i matricës A me të njëjtin numër). Pra, nëse , Kjo .

Kjo matricë B thirrur transpozuar matricë A, dhe kalimi nga A te B transpozim.

Kështu, transpozimi është një përmbysje e roleve të rreshtave dhe kolonave të një matrice. Matrica e transpozuar në matricë A, zakonisht shënohet Një T.

Komunikimi ndërmjet matricës A dhe transpozimi i tij mund të shkruhet në formën .

Për shembull. Gjeni matricën e transpozuar të asaj të dhënë.

Shtimi i matricës. Lërini matricat A Dhe B përbëhet nga i njëjti numër rreshtash dhe të njëjtin numër kolonat, d.m.th. kanë të njëjtat madhësi. Pastaj për të shtuar matricat A Dhe B të nevojshme për elementët e matricës A shtoni elementë të matricës B duke qëndruar në të njëjtat vende. Kështu, shuma e dy matricave A Dhe B quhet matricë C, e cila përcaktohet nga rregulli, për shembull,

Shembuj. Gjeni shumën e matricave:

Është e lehtë të verifikohet se mbledhja e matricës bindet duke ndjekur ligjet: komutative A+B=B+A dhe asociative ( A+B)+C=A+(B+C).

Shumëzimi i një matrice me një numër. Për të shumëzuar një matricë A për numër kçdo element i matricës është i nevojshëm A shumëzojeni me këtë numër. Kështu, produkti i matricës A për numër k ka matricë e re, e cila përcaktohet nga rregulli ose .

Për çdo numër a Dhe b dhe matricat A Dhe B vlejnë barazitë e mëposhtme:

Shembuj.

Shumëzimi i matricës. Ky operacion kryhet sipas një ligji të veçantë. Para së gjithash, vërejmë se madhësitë e matricave të faktorëve duhet të jenë të qëndrueshme. Ju mund të shumëzoni vetëm ato matrica në të cilat numri i kolonave të matricës së parë përkon me numrin e rreshtave të matricës së dytë (d.m.th., gjatësia e rreshtit të parë është e barabartë me lartësinë e kolonës së dytë). Puna matricat A jo një matricë B quhet matrica e re C=AB, elementet e të cilit përbëhen si më poshtë:

Kështu, për shembull, për të marrë produktin (d.m.th. në matricë C) element i vendosur në rreshtin e parë dhe në kolonën e tretë nga 13, duhet të merrni rreshtin e parë në matricën e parë, kolonën e 3-të në të dytin dhe më pas të shumëzoni elementët e rreshtit me elementët e kolonës përkatëse dhe të shtoni produktet që rezultojnë. Dhe elementë të tjerë të matricës së produktit merren duke përdorur një produkt të ngjashëm të rreshtave të matricës së parë dhe kolonave të matricës së dytë.

Në përgjithësi, nëse shumëzojmë një matricë A = (a ij) madhësia m× n te matrica B = (b ij) madhësia n× fq, atëherë marrim matricën C madhësia m× fq, elementet e të cilit llogariten si më poshtë: element c ij përftohet si rezultat i prodhimit të elementeve i rreshti i matricës A tek elementët përkatës j kolona e matricës B dhe shtesat e tyre.

Nga ky rregull rrjedh se gjithmonë mund të shumëzoni dy matrica katrore të të njëjtit rend, dhe si rezultat marrim një matricë katrore të rendit të njëjtë. Në veçanti, një matricë katrore gjithmonë mund të shumëzohet në vetvete, d.m.th. katrore atë.

Një rast tjetër i rëndësishëm është shumëzimi i një matrice rreshti me një matricë kolone, dhe gjerësia e së parës duhet të jetë e barabartë me lartësinë e së dytës, duke rezultuar në një matricë të rendit të parë (d.m.th. një element). Vërtet,

.

Shembuj.

Pra këto shembuj të thjeshtë tregojnë se matricat, në përgjithësi, nuk lëvizin me njëra-tjetrën, d.m.th. A∙B ≠ B∙A . Prandaj, kur shumëzoni matricat, duhet të monitoroni me kujdes renditjen e faktorëve.

Mund të vërtetohet se shumëzimi i matricës u bindet ligjeve asociative dhe distributive, d.m.th. (AB)C=A(BC) Dhe (A+B)C=AC+BC.

Është gjithashtu e lehtë të kontrollohet kur shumëzohet një matricë katrore A te matrica e identitetit E me të njëjtin rend fitojmë përsëri një matricë A, dhe AE=EA=A.

Mund të vërehet fakti i mëposhtëm interesant. Siç e dini, prodhimi i 2 numrave jozero nuk është i barabartë me 0. Për matricat mund të mos jetë kështu, d.m.th. prodhimi i 2 matricave jozero mund të rezultojë i barabartë me matricën zero.

Për shembull, Nëse , Kjo

.

KONCEPTI I PËRCAKTORËVE

Le të jepet një matricë e rendit të dytë - një matricë katrore e përbërë nga dy rreshta dhe dy kolona .

Përcaktues i rendit të dytë që korrespondon me një matricë të caktuar është numri i marrë si më poshtë: a 11 a 22 – a 12 a 21.

Përcaktori tregohet me simbolin .

Pra, për të gjetur përcaktuesin e rendit të dytë, duhet të zbritni produktin e elementeve përgjatë diagonales së dytë nga produkti i elementeve të diagonales kryesore.

Shembuj. Llogaritni përcaktorët e rendit të dytë.

Në mënyrë të ngjashme, ne mund të konsiderojmë një matricë të rendit të tretë dhe përcaktuesin përkatës të saj.

Përcaktori i rendit të tretë, që i korrespondon një matrice të caktuar katrore të rendit të tretë, është numri i shënuar dhe i marrë si më poshtë:

.

Kështu, kjo formulë jep zgjerimin e përcaktorit të rendit të tretë për sa i përket elementeve të rreshtit të parë një 11, një 12, një 13 dhe zvogëlon llogaritjen e përcaktorit të rendit të tretë në llogaritjen e përcaktorit të rendit të dytë.

Shembuj. Llogaritni përcaktorin e rendit të tretë.

Në mënyrë të ngjashme, mund të prezantohen konceptet e përcaktorëve të katërt, të pestës, etj. urdhrat, duke ulur renditjen e tyre duke u zgjeruar në elementët e rreshtit të parë, me shenjat "+" dhe "-" të termave të alternuara.

Pra, ndryshe nga një matricë, e cila është një tabelë numrash, një përcaktues është një numër që i caktohet matricës në një mënyrë të caktuar.

Përcaktuesit e matricave katrore.

Përcaktori i një matrice është një numër që karakterizon matricën katrore A dhe është i lidhur ngushtë me zgjidhjen e sistemeve ekuacionet lineare. Përcaktori i matricës A shënohet me ose. Çdo matricë katrore A e rendit n shoqërohet, sipas një ligji të caktuar, me një numër të llogaritur, të quajtur përcaktor ose përcaktor i rendit të n-të të kësaj matrice. Le të shqyrtojmë përcaktuesit e rendit të dytë dhe të tretë.

Le të jepet matrica

,

atëherë përcaktori i tij i rendit të dytë llogaritet me formulë

.

Shembull. Llogaritni përcaktorin e matricës A:

Përgjigje: -10.

Përcaktori i rendit të tretë llogaritet duke përdorur formulën

Shembull. Llogaritni përcaktorin e matricës B

.

Përgjigje: 83.

Përcaktori i rendit të n-të llogaritet në bazë të vetive të përcaktorit dhe teoremës së Laplasit vijues: përcaktor e barabartë me shumën produktet e elementeve të çdo rreshti (kolone) të matricës sipas tyre shtesat algjebrike:

Komplement algjebrik elementi është i barabartë , ku është minorja e elementit, e marrë duke kryqëzuar rreshtin i-të dhe kolonën j-të në përcaktor.

Të mitur Rendi i një elementi të matricës A është përcaktuesi i një matrice të rendit (n-1) të marrë nga matrica A duke fshirë rreshtin i-të dhe kolonën j-të.

Shembull. Gjeni plotësimet algjebrike të të gjithë elementëve të matricës A:

.

Përgjigje: .

Shembull. Llogaritni përcaktorin e matricës së një matrice trekëndore:

Përgjigje: -15.

Vetitë e përcaktorëve:

1. Nëse ndonjë rresht (kolonë) i matricës përbëhet vetëm nga zero, atëherë përcaktorja e saj është 0.

2. Nëse të gjithë elementët e ndonjë rreshti (kolone) të matricës shumëzohen me numrin , atëherë përcaktori i saj do të shumëzohet me këtë numër.

3. Gjatë transpozimit të një matrice, përcaktori i saj nuk do të ndryshojë.

4. Kur riorganizoni dy rreshta (kolona) të një matrice, përcaktori i saj ndryshon shenjën në atë të kundërt.

5. Nëse një matricë katrore përmban dy rreshta (kolona) identike, atëherë përcaktori i saj është 0.

6. Nëse elementet e dy rreshtave (kolonave) të një matrice janë proporcionale, atëherë përcaktorja e saj është 0.

7. Shuma e prodhimit të elementeve të çdo rreshti (kolone) të një matrice nga plotësimet algjebrike të elementeve të një rreshti (kolone) tjetër të kësaj matrice është e barabartë me 0.

8. Përcaktori i matricës nuk do të ndryshojë nëse elementeve të një rreshti (kolone) tjetër, të shumëzuar më parë me të njëjtin numër, i shtohen elementet e ndonjë rreshti (kolone) të matricës.

9. Shuma e prodhimeve të numrave arbitrar nga plotësimet algjebrike të elementeve të çdo rreshti (kolone) është e barabartë me përcaktorin e matricës që përftohet nga kjo duke i zëvendësuar elementet e kësaj rreshti (kolone) me numra.

10. Përcaktor i prodhimit të dy matricave katrore e barabartë me produktin përcaktuesit e tyre.

Matrica e anasjelltë.

Përkufizimi. Një matricë quhet anasjellta e një matrice katrore A nëse, kur shumëzohet me këtë matricë me atë të dhënë, si në të djathtë ashtu edhe në të majtë, merret matrica e identitetit:

.

Nga përkufizimi rezulton se vetëm një matricë katrore ka një të anasjelltë; në këtë rast, matrica e kundërt është gjithashtu katrore e të njëjtit rend. Nëse përcaktori i një matrice është jo zero, atëherë një matricë e tillë katrore quhet jo njëjës.

E nevojshme dhe gjendje e mjaftueshme ekzistenca e një matrice inverse: Një matricë e kundërt ekziston (dhe është unike) nëse dhe vetëm nëse matrica origjinale është jo njëjës.

Algoritmi i parë për llogaritjen e matricës së kundërt:

1. Gjeni përcaktorin e matricës origjinale. Nëse përcaktorja nuk është e barabartë me zero, atëherë matrica origjinale është jo njëjëse dhe matrica e anasjelltë ekziston.

2. Gjeni matricën e transpozuar në A.

3. Gjeni plotësimet algjebrike të elementeve të matricës së transpozuar dhe hartoni prej tyre matricën e bashkuar.

4. Llogaritni matricë e anasjelltë sipas formulës: .

5. Kontrollojmë korrektësinë e llogaritjes së matricës së kundërt bazuar në përcaktimin e saj .

Shembull.

.

Përgjigje: .

Algoritmi i dytë për llogaritjen e matricës së kundërt:

Matrica e anasjelltë mund të llogaritet bazuar në sa vijon transformimet elementare mbi rreshtat e matricës:

Ndërroni dy rreshta;

Shumëzimi i një rreshti matricë me ndonjë numër tjetër përveç zeros;

Shtimi në një rresht të një matrice një rresht tjetër të shumëzuar me ndonjë numër tjetër përveç zeros.

Për të llogaritur matricën e anasjelltë për matricën A, është e nevojshme të kompozohet matrica, pastaj përmes transformimeve elementare të zvogëlohet matrica A në formën e matricës së identitetit E, pastaj në vend të matricës së identitetit fitojmë matricën.

Shembull. Llogaritni matricën e kundërt për matricën A:

.

Ne hartojmë matricën B të formës:

.

Elementi = 1 dhe rreshti i parë që përmban këtë element, le t'i quajmë udhërrëfyes. Le të bëjmë transformime elementare, si rezultat i të cilave kolona e parë shndërrohet në një kolonë njësi me një në rreshtin e parë. Për ta bërë këtë, shtoni rreshtin e parë në rreshtin e dytë dhe të tretë, të shumëzuar me 1 dhe -2, respektivisht. Si rezultat i këtyre transformimeve marrim:

.

Më në fund arrijmë

.

Ku .

Rangu i matricës. Rangu i një matrice A quhet rendit më të lartë minoret jo zero të kësaj matrice. Rangu i një matrice A shënohet me rang(A) ose r(A).

Nga përkufizimi rrjedh: a) rangu i matricës nuk e kalon më të voglin e dimensioneve të saj, d.m.th. r(A) është më i vogël ose i barabartë me minimumin m ose n; b) r(A)=0 nëse dhe vetëm nëse të gjithë elementët e matricës A janë të barabartë me zero; c) për një matricë katrore të rendit të n-të r(A)=n nëse dhe vetëm nëse matrica A është jo njëjës.

Shembull: Llogaritni radhët e matricave:

.

Përgjigje: r(A)=1. Përgjigje: r(A)=2.

Le të quajmë transformimet e mëposhtme elementare të matricës:

1) Hedhja e rreshtit (kolonës) zero.

2) Shumëzimi i të gjithë elementëve të një rreshti (kolone) të një matrice me një numër që nuk është i barabartë me zero.

3) Ndryshimi i renditjes së rreshtave (kolonave) të matricës.

4) Shtimi i secilit element të një rreshti (kolone) të elementeve përkatës të një rreshti (kolone) tjetër, të shumëzuar me çdo numër.

5) Transpozimi i matricës.

Rangu i matricës nuk ndryshon gjatë transformimeve elementare të matricës.

Shembuj: Llogaritni matricën ku

; ;

Përgjigje: .

Shembull: Llogaritni matricën , Ku

; ; ; E është matrica e identitetit.

Përgjigje: .

Shembull: Llogaritni përcaktorin e një matrice

.

Përgjigju: 160.

Shembull: Përcaktoni nëse matrica A ka një të kundërt dhe nëse po, atëherë llogarisni atë:

.

Përgjigju: .

Shembull: Gjeni gradën e një matrice

.

Përgjigju: 2.

2.4.2. Sistemet e ekuacioneve lineare.

Një sistem m ekuacionesh lineare me n ndryshore ka formën:

,

ku, - numra arbitrar, të quajtura përkatësisht koeficientët e variablave dhe termat e lirë të ekuacioneve. Zgjidhja e një sistemi ekuacionesh është një koleksion n numrash (), me zëvendësimin e të cilëve çdo ekuacion i sistemit kthehet në një barazi të vërtetë.

Një sistem ekuacionesh quhet konsistent nëse ka të paktën një zgjidhje dhe jokonsistent nëse nuk ka zgjidhje. Një sistem i njëkohshëm ekuacionesh quhet i caktuar nëse ka e vetmja zgjidhje, dhe e papërcaktuar nëse ka më shumë se një zgjidhje.

Teorema e Kramerit: Le të jetë përcaktori i matricës A, i përbërë nga koeficientët për ndryshoret "x", dhe le të jetë përcaktori i matricës që merret nga matrica A duke zëvendësuar kolonën j të kësaj matrice me një kolonë. anëtarë të lirë. Atëherë, nëse , atëherë sistemi ka një zgjidhje unike, të përcaktuar nga formulat: (j=1, 2, …, n). Këto ekuacione quhen formulat e Cramer-it.

Shembull. Zgjidh sisteme ekuacionesh duke përdorur formulat e Cramer-it:

Përgjigjet: (4, 2, 1). (1, 2, 3) (1, -2, 0)

Metoda e Gausit- metoda e eliminimit sekuencial të variablave është që, me ndihmën e transformimeve elementare, sistemi i ekuacioneve reduktohet në një sistem ekuivalent të një forme hapi (ose trekëndësh), nga i cili gjenden të gjitha ndryshoret e tjera në mënyrë sekuenciale, duke filluar nga e fundit. variablat sipas numrit.

Shembull: Zgjidh sisteme ekuacionesh duke përdorur metodën Gaussian.

Përgjigjet: (1, 1, 1). (1, -1, 2, 0). (1, 1, 1).

Për sistemet e njëkohshme të ekuacioneve lineare, deklaratat e mëposhtme:

nëse rangu i matricës sistemi i përbashkët e barabartë me numrin variablat, d.m.th. r = n, atëherë sistemi i ekuacioneve ka një zgjidhje unike;

· nëse rangu i matricës së sistemit të përbashkët më pak numër variablat, d.m.th. r

2.4.3. Teknologji për kryerjen e operacioneve në matrica në EXCEL.

Le të shqyrtojmë disa aspekte të punës me procesorin e tabelave Excel, të cilat bëjnë të mundur thjeshtimin e llogaritjeve të nevojshme për zgjidhjen e problemeve të optimizimit. Përpunuesi i tabelave është një produkt softuerësh i krijuar për të automatizuar përpunimin e të dhënave tabelare.

Puna me formula. Programet e fletëllogaritjes përdorin formula për të kryer shumë llogaritje të ndryshme. Duke përdorur Excel, mund të krijoni shpejt një formulë. Formula përbëhet nga tre pjesë kryesore:

Shenja e barabartë;

Operatorët.

Përdorimi i funksioneve në formula. Për ta bërë më të lehtë futjen e formulave, mund të përdorni funksionet e Excel. Funksionet janë formula të integruara në Excel. Për të aktivizuar një formulë të caktuar, klikoni butonat Fut, Funksionet. Në dritaren që shfaqet Funksioni Wizard Ana e majtë përmban një listë të llojeve të funksioneve. Pas zgjedhjes së llojit, një listë e vetë funksioneve do të vendoset në të djathtë. Zgjedhja e funksioneve kryhet duke klikuar butonin e mausit në emrin përkatës.

Kur kryeni operacione në matrica, zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare dhe zgjidhjen e problemeve të optimizimit, mund të përdorni funksionet e mëposhtme të Excel:

MUMULT - shumëzimi i matricës;

TRANSPOSE - transpozimi i matricës;

MOPRED - llogaritja e përcaktorit të matricës;

MOBR - llogaritja e matricës së kundërt.

Butoni ndodhet në shiritin e veglave. Funksionet për kryerjen e operacioneve të matricës janë në kategori Matematikore.

Shumëzimi i matricës duke përdorur funksionin MUMNIT . Funksioni MULTIPLE kthen produktin e matricave (matricat ruhen në vargjet 1 dhe 2). Rezultati është një grup me të njëjtin numër rreshtash si grupi 1 dhe të njëjtin numër kolonash si grupi 2.

Shembull. Gjeni produktin e dy matricave A dhe B në Excel (shih Figurën 2.9):

; .

Futni matricat A në qelizat A2:C3 dhe B në qelizat E2:F4.

Zgjidhni gamën e qelizave për rezultatin e shumëzimit - H2:I2.

Futni formulën e shumëzimit të matricës =MULTIPLE(A2:C3, E2:F4).

Shtypni CTRL+SHIFT+ENTER.

Llogaritjet e anasjellta të matricës duke përdorur funksionin MOBR.

Funksioni MOBR kthen matricën e kundërt të një matrice të ruajtur në një grup. Sintaksa: MOBR (array). Në Fig. 2.10 tregon zgjidhjen e shembullit në Excel.

Shembull. Gjeni matricën e kundërt me atë të dhënë:

.

Figura 2.9. Të dhënat hyrëse për shumëzimin e matricës.

Figura 2.10. Të dhënat fillestare për llogaritjen e matricës së kundërt.

Ekzistenca e momentit këndor dhe momentit magnetik në një atom pasoi nga teoria e N. Bohr (1913) dhe u konfirmua nga ndikimi i fushave magnetike në linjat spektrale të atomit të zbuluara në vitin 1896 nga P. Zeeman. Matja e drejtpërdrejtë e momentit magnetik relativ të një atomi u krye për herë të parë në vitin 1922 nga O. Stern dhe W. Gerlach, të cilët vëzhguan ndarjen e një rreze atomesh argjendi në një fushë magnetike jo uniforme. W. Pauli ishte i pari që sugjeroi ekzistencën e spinit dhe një momenti magnetik në bërthamën atomike në 1924 në një përpjekje për të shpjeguar strukturën hiperfine të vijave spektrale. Në vitin 1925, D. Uhlenbeck dhe S. Goudsmit, bazuar në të dhënat mbi strukturën e imët të vijave spektrale, arritën në përfundimin se një elektron duhet të ketë një spin dhe një moment magnetik. Prova e parë e ekzistencës së një momenti katërpolësh elektrik në një bërthamë u mor nga H. Schüler dhe T. Schmidt në vitin 1935. Matje të shumta të momenteve bërthamore u kryen nga O. Stern dhe I. Rabi dhe bashkëpunëtorët, të cilët studiuan linjat spektrale duke përdorur metodën e rrezeve molekulare. Më pas, në vitin 1937 dhe 1946, këto matje vazhduan nga I. Rabi, N. Ramsey, E. Parcell, F. Bloch dhe studiues të tjerë duke përdorur metodat që ata zhvilluan për rezonancën e radiofrekuencave, pastaj rezonancën paramagnetike, madje edhe më vonë - metodat e spektroskopia me mikrovalë dhe lazer.

Rrotullimi.

Çdo trup rrotullues ka vrull këndor në raport me qendrën e tij të masës; ky është momenti ose rrotullimi i vetë trupit. Momenti i rrotullimit, ose thjesht rrotullimi i një atomi ose bërthame atomike, është një karakteristikë e ngjashme me momentin këndor të një maje rrotulluese ose xhiroskopi. Momenti këndor i një trupi të ngurtë që rrotullohet rreth një boshti përcaktohet si shuma e momentit këndor të të gjitha grimcave të këtij trupi në lidhje me të njëjtin bosht; ky moment është i barabartë me shumën e produkteve të masës së grimcës për nga shpejtësia e saj dhe distancën më të shkurtër të grimcës me boshtin e rrotullimit. Vektori i momentit këndor është paralel me boshtin e rrotullimit dhe i drejtuar në drejtimin e lëvizjes së vidës me një fije të djathtë me të njëjtin rrotullim. Spin-i i atomeve dhe bërthamave matet në njësi h/2fq, Ku h– Konstanta e Planck-ut e barabartë me 6,6261Х10 –34 JChs. Është vërtetuar eksperimentalisht se në këto njësi (në përputhje me rregullat e mekanikës kuantike) projeksionet e vëzhguara të të gjitha rrotullimeve në një drejtim të caktuar marrin ose një vlerë të plotë ose gjysmë të plotë, d.m.th. ose 1, 2, 3,..., ose 1/2, 3/2, 5/2,.... Vlera maksimale e projeksionit përkon me vlerën e rrotullimit; për shembull, nëse rrotullimi bërthamor jështë 5/2, atëherë vlera maksimale e matur e projeksionit të rrotullimit do të jetë 5/2 në njësi h/2fq JChs.

Momenti i dipolit magnetik.

Momenti i dipolit magnetik i një atomi ose i bërthamës është i ngjashëm me atë të një gjilpëre të busullës. Ai përfaqëson çift rrotullues që vepron në një atom ose bërthamë në një fushë magnetike. Momenti dipol është një sasi vektoriale. Momenti magnetik i një atomi matet zakonisht në njësi të magnetonit Bohr, m 0 = eh/4pmc= 9,27Х10 –24 J/T, ku e- ngarkesa elektronike, h- Konstantja e Planck-ut, m– masa elektronike dhe c- shpejtësia e dritës. Momentet magnetike të bërthamave zakonisht maten në njësi të magnetonit bërthamor mN, e cila është e barabartë me magnetonin Bohr pjesëtuar me raportin e masës së protonit dhe elektronit, përkatësisht mN= 5,051Х10 –27 J/T.

Moment katërpolësh elektrik.

Momenti katërpolësh elektrik shërben si masë e devijimit të shpërndarjes së ngarkesës elektrike të një bërthame nga simetria sferike. Përcaktohet në mënyrë sasiore si me kusht që projeksioni i rrotullimit bërthamor të jetë maksimal përgjatë boshtit z sistem koordinativ drejtkëndor, origjina e të cilit përkon me qendrën e bërthamës. Në këtë shprehje Z- ngarkesa e bërthamës ose numri atomik i saj, z- koordinata e protonit në bërthamë, rështë distanca nga protoni në qendrën e bërthamës, dhe vija sipër shprehjes në kllapa nënkupton mesataren e densitetit të ngarkesës mbi të gjithë bërthamën. Mund të tregohet se në rastin sferikisht simetrik P = 0.

Pika të tjera.

Në parim, momentet shumëpolëshe elektrike dhe magnetike të çdo rendi mund të ekzistojnë 2 n, Ku n– zero ose numër i plotë pozitiv. Për shembull, oktupolet magnetike janë matur për bërthamat e jodit, indiumit dhe galiumit. Megjithatë, mund të tregohet se për shkak të natyrës kuantike të spinit, një atom ose bërthamë me spin j nuk mund të ketë momente shumëpolëshe të rendit më të lartë se n = 2j. Pra, atomi me j= l/2 nuk mund të ketë momente shumëpolëshe më të larta se dipoli, dhe një atom me j= 0 – edhe momenti dipol. Eksperimente jashtëzakonisht të ndjeshme janë kryer për të zbuluar momentet e dipoleve elektrike në bërthama, por deri më tani ato nuk janë gjetur.

MOMENTET ATOMIKE

Efekti Zeeman.

Një nga metodat e para dhe më të fuqishme për studimin e momenteve atomike u bazua në të ashtuquajturin efekt P. Zeeman, d.m.th. mbi ndarjen e vijave spektrale në fushat e jashtme magnetike. Nëse tubi i shkarkimit në të cilin ngacmohet rrezatimi atomik vendoset në një fushë magnetike të jashtme, atëherë linjat spektrale do të ndahen në një numër përbërësish. Distanca midis linjave të përbërësve përcaktohet nga energjia e bashkëveprimit të momenteve atomike me fushat magnetike të jashtme. Meqenëse energjia e ndërveprimit varet nga momentet magnetike të atomeve, ndarja e matur jep informacion për madhësinë e tyre. Numri i vijave spektrale përcakton vlerat e rrotullimit.

Fillimisht, gjatë studimit të spektrit optik të atomeve, këto të fundit u ngacmuan për shkak të përplasjeve me elektronet në tubat e shkarkimit të gazit ose për shkak të thithjes së rrezatimit elektromagnetik që lind në tuba të tillë. Në ditët e sotme, atomet shpesh ngacmohen nga rrezatimi lazer.

Metoda e rrezeve molekulare.

Një metodë veçanërisht e thjeshtë, demonstruese dhe e drejtpërdrejtë për matjen e momenteve magnetike atomike u propozua nga O. Stern dhe W. Gerlach në 1921. Ajo bazohet në matjen e devijimit të atomeve që zotërojnë një moment magnetik në një fushë magnetike jo uniforme. Në një fushë magnetike uniforme, momenti magnetik nuk devijon, sepse Fusha vepron në polet veriore dhe jugore të një magneti atomik me forcë të barabartë. Prandaj, qendra e masës së atomit nuk zhvendoset; një atom mund të kalojë ose rrotullohet vetëm rreth qendrës së masës së tij. Nëse fusha magnetike është jo uniforme në distanca të rendit të madhësisë së një atomi, atëherë për shkak të ndryshimeve në forcën e fushës magnetike, fusha do të veprojë më e fortë në njërin nga polet e magnetit atomik sesa në tjetrin, dhe atomi do të devijohet nën ndikimin e ndryshimit të këtyre forcave.

Në eksperiment, materiali nxehet në një furrë dhe atomet e tij kalojnë përmes një të çare në një dhomë vakumi, ku ato ngjiten në një rreze dhe depozitohen në një pjatë. Pastaj ndizet një fushë magnetike jo uniforme e drejtuar përgjatë rrezes dhe regjistrohet devijimi i atomeve. Secila nga vlerat e mundshme të projeksionit të momentit magnetik dhe rrotullimit në drejtimin e fushës duhet të korrespondojë me devijimin e vet. Një shpërndarje e vazhdueshme e projeksioneve që korrespondojnë me fizikën klasike do të çonte në një mjegullim të vazhdueshëm të sinjalit në pllakën e regjistrimit. Por në mekanikën kuantike lejohen vetëm disa projeksione diskrete, dhe për këtë arsye fotografia e vëzhguar ndahet në dy ose më shumë rreshta, numri i të cilave është 2 j+ 1, ku j– momenti këndor i atomit në njësitë e mësipërme. Sipas numrit të komponentëve 2 j+ 1 mund të përcaktoni momentin këndor - rrotullim j. Distanca midis vijave ju lejon të llogarisni madhësinë e momentit magnetik.

Metodat e rezonancës së rrezeve molekulare të diskutuara më poshtë u përshtatën gjithashtu për të matur momentet magnetike atomike dhe ato dhanë rezultatet më të sakta. Në mënyrë të ngjashme, rezonanca paramagnetike e elektroneve, e ngjashme me NMR, përdoret për të matur momentet magnetike atomike.

Përfundime nga eksperimentet për përcaktimin e momenteve atomike.

Rezultatet e eksperimenteve të mësipërme dhe të tjera të ngjashme janë në përputhje me pohimet e mëposhtme në lidhje me rrotullimin dhe momentet magnetike të strukturave atomike.

Çdo element në një atom ka një moment orbital që korrespondon me lëvizjen e tij përgjatë orbitës Behr l. Kjo lëvizje orbitale e elektronit mund të konsiderohet si një rrymë rrethore, duke rezultuar në një moment magnetik që korrespondon me një lëvizje të tillë.

Madhësia e momentit magnetik i lidhur me lëvizjen orbitale në mekanikën klasike do të ishte proporcionale me madhësinë e momentit orbital. Por elektroni gjithashtu ka momentin e vet - spin. Një moment magnetik duhet të shoqërohet gjithashtu me rrotullimin.

Si rezultat, momenti magnetik i grimcës rezulton të jetë proporcional me momentin total mekanik (shuma e momenteve të orbitës dhe rrotullimit).

Është e rëndësishme të kihet parasysh se momentet - mekanike dhe magnetike - janë sasi vektoriale. Në mekanikën kuantike, janë zhvilluar disa metoda për mbledhjen e tyre dhe llogaritjen e momenteve magnetike të atomeve.

MOMENTET Bërthamore

Ekzistojnë një sërë metodash për matjen e momenteve bërthamore; Disa prej tyre diskutohen më poshtë.

Spektroskopia optike.

Një nga metodat më të rëndësishme për matjen e momenteve bërthamore bazohet në studimin e të ashtuquajturës strukturë hiperfine të spektrave atomike, për ngacmimin e të cilave tani përdoren shpesh lazerët. Vlera e rrotullimit mund të përcaktohet nga numri i komponentëve të linjës spektrale ose nga intensiteti relativ i linjave. Rrotullimi, momenti magnetik dhe momenti katërpolësh elektrik mund të përcaktohen nga distanca midis komponentëve ose nga efekti i fushës magnetike në vijë. Spin-i mund të përcaktohet gjithashtu nga spektrat me shirita të molekulave diatomike.

Metodat e rrezeve molekulare.

Metodat e rrezeve molekulare të zhvilluara nga O. Stern, I. Rabi, N. Ramsey, W. Nirenberg dhe studiues të tjerë janë veçanërisht efektive në studimin e momenteve bërthamore. Janë të njohura një sërë metodash të rrezeve molekulare. Në njërën prej tyre, të përdorur nga Stern për të matur momentet bërthamore të hidrogjenit dhe deuteriumit, u përdor hidrogjeni molekular dhe një setup, në parim i ngjashëm me vendosjen në eksperimentin e Stern dhe Gerlach. Meqenëse në hidrogjenin molekular momentet magnetike të elektroneve pothuajse saktësisht anulojnë njëri-tjetrin, devijimi i vërejtur është kryesisht për shkak të momentit magnetik të bërthamës. Prandaj, devijimi i matur bëri të mundur përcaktimin e momentit magnetik bërthamor. Eksperimentet me rreze të kryera nga Rabi dhe bashkëpunëtorët e tij përdorën atome me një moment magnetik elektronik jo zero, nga i cili u formua një rreze atomike, kaloi nëpër një ose dy fusha magnetike devijuese të të njëjtit lloj si në eksperimentin Stern-Gerlach. . Duke zgjedhur fushat magnetike dhe duke studiuar modelin e devijimit ose rifokusimit të një rreze atomesh, u bë e mundur të merrej informacion në lidhje me lidhjen midis momenteve bërthamore dhe elektronike. Në këtë mënyrë u bë e mundur të maten rrotullimet e bërthamave, si dhe karakteristikat e bashkëveprimit të momenteve magnetike bërthamore dhe momenteve elektrike katërpolëshe.

Metoda më efektive për studimin e momenteve bërthamore, me sa duket, duhet të konsiderohet matja e përthithjes nga atomet dhe molekulat e rrezatimit elektromagnetik në diapazonin e frekuencës së radios dhe mikrovalëve. Ashtu si në spektroskopinë optike, thithja e rrezatimit nga një molekulë ndodh në një frekuencë n, që korrespondon me vlerën hn= D E, ku D E - diferenca e energjisë midis dy gjendjeve që korrespondon me një tranzicion të lejuar. Në rastin e një momenti të thjeshtë magnetik m bërthama me rrotullim I, i vendosur në një fushë magnetike N, vlera D E mund të llogaritet teorikisht, dhe rezulton se rezonanca ndodh në frekuencë n, e tillë që hn = mH/I, Ku m– momenti magnetik i bërthamës. Në këtë raport hështë konstante e Planck-ut, dhe për këtë arsye, duke u matur H Dhe n, mund të gjeni raportin e momentit magnetik me rrotullimin. Nëse ndërveprimi në molekulë rezulton të jetë më kompleks, atëherë barazia e vlerave të D E Dhe mH/Iështë ndërprerë dhe thithja e rrezatimit ndodh në frekuenca të ndryshme nga ato që korrespondojnë me barazinë hn = mH/I. Ndërveprim shtesë mund të ndodhë në rastin e një bërthame që ka një moment elektrik katërpolësh, sepse ky moment mund të bashkëveprojë me një fushë elektrike jo uniforme të krijuar nga ngarkesat e atomeve të tjera të molekulës, e cila përfshin bërthamën. Në këtë rast, frekuencat në të cilat ndodh thithja bëjnë të mundur përcaktimin e momentit elektrik katërpolësh të bërthamës.

Metoda e përshkruar më sipër, e bazuar në thithjen e rrezatimit të radiofrekuencës, u aplikua për herë të parë me sukses në vitin 1937 nga I. Rabi dhe bashkëpunëtorët dhe u quajt metoda e rezonancës magnetike me rreze molekulare. Për të regjistruar faktin e përthithjes, Rabi studioi efektin e përthithjes në devijimin e molekulave në rrezet molekulare. Diagrami i konfigurimit të tij eksperimental është paraqitur në figurë. Molekulat nga "furra" (burimi termik) hyjnë në një dhomë vakum që përmban magnet A Dhe NË, duke krijuar fusha magnetike johomogjene, drejtimet e inhomogjeniteteve janë të kundërta. Në një magnet A molekulat devijohen si në eksperimentin Stern-Gerlach dhe më pas rifokusohen nga një magnet NË në detektor, me kusht që momentet magnetike të përfshira në molekulë të jenë të orientuara në mënyrë të barabartë A Dhe NË. Por nëse një nga momentet riorientohet në rajonin e mesëm ME, atëherë nuk ndodh rifokusimi dhe zvogëlohet intensiteti i rrezes. Prandaj në zonë ME krijoni një fushë të njëtrajtshme magnetike dhe oshiluese radiofrekuence dhe matë përthithjen e rrezatimit të radiofrekuencës, duke regjistruar një ulje të intensitetit të rrezes. Rezultatet tipike të një eksperimenti të kryer me molekula të rënda hidrogjeni janë paraqitur në figurë. Kjo është varësia e intensitetit të rrezes nga intensiteti i një fushe magnetike uniforme në rajon ME. Minimumi qendror më i thellë i intensitetit të rrezes korrespondon me frekuencën n dhe forca e fushës H, të cilat lidhen nga relacioni hn = mH/I (shih më lart), pra këto të dhëna bëjnë të mundur përcaktimin e raportit të momentit magnetik me rrotullimin. Minimumet shtesë më të cekëta janë për shkak të momentit katërpolësh elektrik; Nga pozicioni i tyre, mund të përcaktohet momenti katërpolësh elektrik i bërthamës së rëndë të hidrogjenit, ose deuteronit. Ramsey tregoi se saktësi më e lartë në matjen e frekuencave rezonante mund të arrihet nëse fusha lëkundëse krijohen në dy boshllëqe të ngushta - në fillim dhe në fund të rajonit. ME.

Për të studiuar molekulat polare, Rabi dhe bashkëpunëtorët e tij përdorën metodën e rezonancës elektrike në rrezet molekulare jo me fusha magnetike, por me fusha devijimore, rifokusuese dhe lëkundëse. Kjo metodë është dëshmuar veçanërisht e vlefshme për studimin e ndërveprimit të momenteve katërpolëshe elektrike bërthamore.

Rezonanca magnetike bërthamore (NMR).

Në vitin 1946, E. Purcell dhe F. Bloch dhe kolegët e tyre ishin të parët që përdorën me sukses metodën e rezonancës magnetike, e cila nuk përdor një rreze molekulare, por vëzhgon thithjen rezonante të rrezatimit të frekuencës radio në mostër. Purcell regjistroi përthithjen e rrezatimit drejtpërdrejt, ndërsa Bloch përdori një palë mbështjellje ortogonale: lëkundjet në frekuencën rezonante që ndodhën në njërën nga mbështjelljet shkaktuan një riorientim të bërthamave në mostër, precesioni i të cilave shkaktoi një sinjal të vëzhguar në bobinën tjetër. .

A. Kastler dhe eksperimentues të tjerë morën sinjale rezonancë atomike dukshëm më të forta duke ndryshuar shpërndarjen e orientimit bërthamor nëpërmjet pompimit optik dhe duke regjistruar rezonancën nga ndryshimet në intensitetin dhe polarizimin e dritës së emetuar.

Metoda të tjera.

Disa momente bërthamore u përcaktuan me metoda radiospektroskopie: jonet kapen nga fusha elektrike dhe magnetike, pas së cilës maten momentet e tyre magnetike dhe konstantat e ndërveprimit të brendshëm. Metoda të tilla rezultuan të ishin veçanërisht efektive me ardhjen e teknikave të ftohjes me lazer, të cilat bënë të mundur ftohjen e joneve në temperatura prej disa mikrokelvinave, në të cilat efektet Doppler të zgjerimit të linjës së parë dhe të dytë janë të papërfillshme. Një shembull veçanërisht i rëndësishëm janë matjet e momentit magnetik të elektronit të kryera nga H. Dehmelt dhe bashkëpunëtorët e tij. Këto matje dhanë vlerën

mua = 1,001159652193(10)m 0,

që pajtohet me parashikimet e elektrodinamikës kuantike deri në 10 shifra dhjetore.

Tani është gjithashtu i mundur kapja dhe ftohja e atomeve neutrale me lazer, të cilët më pas përdoren për matje të sakta.

Rezultatet e matjes.

Nga pikëpamja e teorisë bërthamore, rezultatet e mëposhtme meritojnë vëmendje.

Momentet magnetike të protonit 1 H 1 dhe neutronit 0 n 1 janë të ndryshëm nga magnetoni bërthamor, megjithëse parashikimi fillestar ishte se i pari duhet të ishte saktësisht i barabartë me magnetonin bërthamor dhe i dyti saktësisht i barabartë me zero.

Dallimi midis momentit magnetik të deuteronit 1 H 2 dhe shumës së momenteve magnetike të protonit dhe neutronit, megjithëse i vogël, ka një vlerë të fundme. Kjo do të thotë se momentet e protonit dhe neutronit në deuteron janë vetëm përafërsisht shtesë.

Momenti magnetik i 1 H 3 ndryshon nga momenti magnetik i protonit me 6.6%, megjithëse teorikisht ato duhet të jenë të barabarta.

Deuteroni ka një moment elektrik katërpolësh, d.m.th. ai devijon nga simetria sferike (duke u formuar si një top regbi) kur teorikisht duhet të ketë simetri sferike.

Momenti magnetik i matur i elektronit përputhet me atë të parashikuar nga elektrodinamika kuantike deri në vendin e dhjetë dhjetor. Shihni gjithashtu

Dipol- një sistem i idealizuar që shërben për një përshkrim të përafërt të fushës së krijuar nga sisteme më komplekse ngarkesash, si dhe për një përshkrim të përafërt të veprimit të një fushe të jashtme në sisteme të tilla. Përafrimi i dipoleve, përmbushja e të cilave zakonisht nënkuptohet kur flitet për fushë dipole, bazohet në zgjerimin e potencialeve të fushës në një seri fuqish të vektorit të rrezes, duke karakterizuar pozicionin e ngarkesave burimore dhe duke hedhur poshtë të gjithë termat mbi rendin e parë. Funksionet që rezultojnë do të përshkruajnë në mënyrë efektive fushën nëse:

1. dimensionet e sistemit që lëshon fushë janë të vogla në krahasim me distancat në shqyrtim, kështu që raporti i madhësisë karakteristike të sistemit me gjatësinë e vektorit të rrezes është një vlerë e vogël dhe ka kuptim të merren parasysh vetëm termat e parë të zgjerimi i serisë së potencialeve;
2. termi i rendit të parë në zgjerim nuk është i barabartë me 0, përndryshe duhet të përdoret një përafrim shumëpolësh më i lartë;
3. ekuacionet marrin në konsideratë gradientët e mundshëm jo më të lartë se të rendit të parë.

Një shembull tipik i një dipoli janë dy ngarkesa, të barabarta në madhësi dhe të kundërta në shenjë, të vendosura në një distancë nga njëra-tjetra që është shumë e vogël në krahasim me distancën nga pika e vëzhgimit. Fusha e një sistemi të tillë përshkruhet plotësisht nga përafrimi i dipolit.

Momenti dipol i sistemit

Dipol elektrik

Dipol elektrik- një sistem i idealizuar elektrikisht neutral i përbërë nga pika dhe ngarkesa elektrike të barabarta në vlerë absolute pozitive dhe negative.

Me fjalë të tjera, një dipol elektrik është një kombinim i dy ngarkesave të barabarta në vlerë absolute të kundërta, të vendosura në një distancë të caktuar nga njëra-tjetra.

Produkti i një vektori $\backslash vec\; l,$ kryer nga një ngarkesë negative në një pozitive, nga vlera absolute e ngarkesave $q\backslash ,$ quhet momenti dipol: $\backslash vec\; d=q\backslash vec\; l.$

Në një fushë elektrike të jashtme $\backslash vec\; E$ një moment force vepron në një dipol elektrik $(\backslash vec\; d)\backslash herë\; (\backslash vec\; E),$ i cili tenton ta rrotullojë atë në mënyrë që momenti dipol të kthehet përgjatë drejtimit të fushës.

Energjia potenciale e një dipoli elektrik në një fushë elektrike (konstante) është $-(\backslash vec\; E)\backslash cdot(\backslash vec\; d).$(Në rastin e një fushe jo uniforme, kjo do të thotë varësi jo vetëm nga momenti i dipolit - madhësia dhe drejtimi i tij, por edhe nga vendndodhja, pika e vendndodhjes së dipolit).

Larg një dipoli elektrik, forca e fushës së saj elektrike zvogëlohet me distancën $R$ Si $R^\; (-3),$ domethënë, më i shpejtë se ai i një ngarkese pikë ( $E\backslash sim\; R^(-2)$).

Çdo sistem përgjithësisht neutral elektrik që përmban ngarkesa elektrike, në një farë përafrimi (d.m.th., në të vërtetë në përafrimi i dipolit) mund të konsiderohet si një dipol elektrik me një moment $\backslash vec\; d\; =\; \backslash sum\_i\; q\_i\; (\backslash vec\; r)\_i,$ Ku $q\_i$- tarifë $i$-elementi $(\backslash vec\; r)\_i$është vektori i rrezes së tij. Në këtë rast, përafrimi i dipolit do të jetë i saktë nëse distanca në të cilën studiohet fusha elektrike e sistemit është e madhe në krahasim me dimensionet e tij karakteristike.

Dipol magnetik

Dipol magnetik- një analog i atij elektrik, i cili mund të imagjinohet si një sistem i dy "ngarkimeve magnetike" (kjo analogji është e kushtëzuar, pasi ngarkesat magnetike, nga pikëpamja e elektrodinamikës moderne, nuk ekzistojnë). Si një model i një dipoli magnetik, ne mund të konsiderojmë një kornizë të vogël përcjellëse të mbyllur të sheshtë (në krahasim me distancat në të cilat emetohet fusha magnetike e krijuar nga dipoli). $S\backslash ,$ nëpër të cilat rrjedh rryma $Unë\backslash ,.$ Në këtë rast, momenti magnetik i dipolit (në sistemin SGSM) është sasia $(\backslash vec\; \backslash mu)\; =\; I\; S\; (\backslash vec\; n),$ Ku $(\backslash vec\; n)$- një vektor njësi i drejtuar pingul me rrafshin e kornizës në drejtimin në të cilin, kur vëzhgohet, rryma në kornizë duket se rrjedh në drejtim të akrepave të orës.

$\backslash mathbf(Z)\; =\; -\; \backslash frac(1)(R)\; \backslash cdot\; \backslash mathbf(d)\backslash left(t-\backslash frac(R)(c)\backslash djathtas).$

Kujtojmë se dipoli është në prehje në origjinë, pra $\backslash mathbf(d)$është funksion i një ndryshoreje. Pastaj

$\backslash mathbf(E)\; =\; -\; \backslash operatorname(rot)\backslash ,\backslash operatorname(rot)\backslash ,\backslash mathbf(Z),$ $\backslash mathbf(B)\; =\; -\; \backslash frac(1)(c)\backslash operatorname(rot)\backslash ,\backslash dot(\backslash mathbf(Z)).$

Në këtë rast, potencialet e fushës mund të zgjidhen në formë

$\backslash mathbf(A)\; =\; -\; \backslash frac(\backslash dot(\backslash mathbf(Z)))(c),\; ~~\; \backslash phi\; =\; \backslash emri\; i\; operatorit(div)\backslash ,\backslash mathbf(Z).$

Këto formula mund të përdoren sa herë që është i zbatueshëm përafrimi i dipolit.

Rrezatimi dipol (zona e valës ose rrezatimi i fushës së largët)

Formulat e dhëna thjeshtohen ndjeshëm nëse dimensionet e sistemit janë shumë më të vogla se gjatësia e valës së emetuar, domethënë, shpejtësitë e ngarkesës janë shumë më të vogla. c, dhe fusha konsiderohet në distanca shumë më të mëdha se gjatësia e valës. Kjo zonë e fushës quhet zona e valës. Vala e përhapjes mund të konsiderohet praktikisht e sheshtë në këtë rajon. Nga të gjitha termat në shprehjet për $\backslash mathbf(E)$ Dhe $\backslash mathbf(B)$ vetëm termat që përmbajnë derivate të dytë të $\backslash mathbf(d),$ sepse

$\backslash frac(\backslash dot(\backslash mathbf(d)))(c)\; \backslash përafërsisht\; \backslash frac(d)(\backslash lambda),$ $\backslash frac(\backslash ddot(\backslash mathbf(d)))(c^2)\; \backslash përafërsisht\; \backslash frac(d)(\backslash lambda^2).$

Shprehjet për fushat në sistemin GHS marrin formën

$\backslash mathbf(H)\; =\; \backslash frac(1)(c^2\; R)[\backslash ddot(\backslash mathbf(d)),\backslash mathbf(n)],\; ~~\; \backslash mathbf(H)\; =\; [\backslash mathbf(n)\; ,\; \backslash mathbf(E)],$ $\backslash mathbf(E)\; =\; \backslash frac(1)(c^2\; R)\backslash left[\; [\backslash ddot(\backslash mathbf(d)),\backslash mathbf(n)]\; ,\; \backslash mathbf(n)\; \backslash djathtas],\; ~~\; \backslash \; mathbf(E)\; =\; [\backslash mathbf(B)\; ,\; \backslash mathbf(n)].$

Në një valë të rrafshët, intensiteti i rrezatimit për kënd të ngurtë $d\backslash Omega$ e barabartë me

$dI\; =\; c\backslash frac(H^2)(4\backslash pi)R^2\; d\backslash Omega,$

prandaj për rrezatimin dipol

$dI\; =\; \backslash frac(1)(4\; \backslash pi\; c^3)[\backslash ddot(\backslash mathbf(d)),\; \backslash mathbf(n)]^2\; d\backslash Omega$

= \frac(\ddot(\mathbf(d))^2)(4\pi c^3)\sin^2(\theta) d\Omega.

Ku $\backslash theta$- këndi ndërmjet vektorëve $\backslash ddot(\backslash mathbf(d))$ Dhe $\backslash mathbf(n).$ Le të gjejmë energjinë totale të rrezatuar. Duke pasur parasysh atë $d\backslash Omega\; =\; 2\backslash pi\backslash ,\; \backslash sin(\backslash theta)\backslash ,\; d\backslash theta,$ le të integrojmë shprehjen mbi $d\backslash theta$ nga $0$ te $\backslash pi.$ Rrezatimi total është

$I\; =\; \backslash frac(2)(3\; c^3)\; (\backslash ddot(\backslash mathbf(d)))^2.$

Le të tregojmë përbërjen spektrale të rrezatimit. Përftohet duke zëvendësuar vektorin $\backslash ddot(\backslash mathbf(d))$ me komponentin e tij Furier dhe duke shumëzuar njëkohësisht shprehjen me 2. Kështu,

$d\; \backslash mathcal(E)\_\backslash omega\; =\; \backslash frac(4\; \backslash omega^4)(3\; c^3)\; \backslash majtas|\; \backslash mathbf(d)\_\backslash omega\; \backslash djathtas|^2\; \backslash frac(d\backslash omega)(2\backslash pi).$

Shihni gjithashtu

Shkruani një përmbledhje për artikullin "Dipoli (elektrodinamika)"

Shënime

Letërsia

• Landau, L. D., Lifshits, E. M. Teoria e fushës. - Botimi i 7-të, i rishikuar. - M.: Nauka, 1988. - 512 f. - (“Fizika teorike”, Vëllimi II). - ISBN 5-02-014420-7.
• Akhmanov S. A., Nikitin S. Yu., "Optika fizike", 2004.

Një fragment që karakterizon dipolin (elektrodinamika)

Pierre, i pavetëdijshëm nga frika, u hodh dhe vrapoi përsëri te bateria, si streha e vetme nga të gjitha tmerret që e rrethuan.
Ndërsa Pierre po hynte në llogore, vuri re se nuk u dëgjuan të shtëna në bateri, por disa njerëz po bënin diçka atje. Pierre nuk kishte kohë të kuptonte se çfarë lloj njerëzish ishin. Ai pa kolonelin e lartë të shtrirë me shpinë në mur, sikur po shqyrtonte diçka më poshtë, dhe pa një ushtar që vuri re, i cili, duke u shkëputur nga njerëzit që e mbanin për dore, bërtiti: "Vëllezër!" – dhe pa diçka tjetër të çuditshme.
Por ai nuk kishte ende kohë të kuptonte se koloneli ishte vrarë, se ai që bërtiste "vëllezër!" Ishte një i burgosur, të cilit para syve, një tjetër ushtar e kishte goditur me bajonetë pas shpine. Sapo vrapoi në llogore, një burrë i dobët, i verdhë, me fytyrë të djersitur, me uniformë blu, me shpatë në dorë, vrapoi drejt tij duke bërtitur diçka. Pierre, duke u mbrojtur instinktivisht nga shtytja, pasi ata ikën nga njëri-tjetri pa e parë njëri-tjetrin, nxori duart dhe e kapi këtë njeri (ishte një oficer francez) me njërën dorë nga supi, me tjetrin nga krenarët. Oficeri, duke lëshuar shpatën e tij, kapi Pierre nga jaka.
Për disa sekonda, ata të dy shikonin me sy të frikësuar fytyra të huaja për njëri-tjetrin dhe të dy ishin të humbur për atë që kishin bërë dhe çfarë duhej të bënin. “Unë jam rob apo ai është rob nga unë? - mendoi secili prej tyre. Por, padyshim, oficeri francez ishte më i prirur të mendonte se ishte zënë rob, sepse dora e fortë e Pierre, e shtyrë nga frika e pavullnetshme, e shtrëngoi fytin e tij gjithnjë e më fort. Francezi donte të thoshte diçka, kur papritmas një top top fishkëlliu poshtë dhe tmerrësisht mbi kokat e tyre, dhe Pierre iu duk se koka e oficerit francez ishte shqyer: ai e përkuli aq shpejt.
Pierre gjithashtu uli kokën dhe lëshoi ​​duart. Pa menduar më se kush e zuri kë rob, francezi vrapoi përsëri te bateria dhe Pierre zbriti tatëpjetë, duke u penguar mbi të vdekurit dhe të plagosurit, të cilët dukej se po i kapnin këmbët. Por, para se të kishte kohë të zbriste, drejt tij u shfaqën turma të dendura ushtarësh rusë të arratisur, të cilët, duke u rrëzuar, duke u penguar dhe duke bërtitur, vrapuan të gëzuar dhe të dhunshëm drejt baterisë. (Ky ishte sulmi që Ermolov ia atribuoi vetes, duke thënë se vetëm guximi dhe lumturia e tij mund ta arrinin këtë sukses, dhe sulmi në të cilin ai gjoja hodhi kryqet e Shën Gjergjit që ishin në xhepin e tij mbi tumë.)
Francezët që zunë baterinë vrapuan. Trupat tona, duke bërtitur "Hurray", i çuan francezët aq shumë prapa baterisë, saqë ishte e vështirë t'i ndalonte.
Të burgosurit u morën nga bateria, duke përfshirë një gjeneral francez të plagosur, i cili ishte i rrethuar nga oficerë. Turma të plagosurish, të njohur dhe të panjohur për Pierre-n, rusët dhe francezët, me fytyra të shpërfytyruara nga vuajtjet, ecnin, zvarriteshin dhe nxitonin nga bateria me barela. Pierre hyri në tumë, ku kaloi më shumë se një orë, dhe nga rrethi familjar që e pranoi, ai nuk gjeti askënd. Këtu kishte shumë të vdekur, të panjohur për të. Por ai njohu disa. Oficeri i ri u ul, ende i përkulur, në buzë të boshtit, në një pellg gjaku. Ushtari fytyrëkuq ende po dridhej, por nuk e hoqën.

Dipol elektrik- një sistem i idealizuar elektrikisht neutral i përbërë nga pika dhe ngarkesa elektrike të barabarta në vlerë absolute pozitive dhe negative.

Me fjalë të tjera, një dipol elektrik është një kombinim i dy ngarkesave të barabarta në vlerë absolute të kundërta, të vendosura në një distancë të caktuar nga njëra-tjetra.

Prodhimi i vektorit i kryer nga një ngarkesë negative në një pozitive me vlerën absolute të ngarkesave quhet moment dipol:

Në një fushë elektrike të jashtme, një moment force vepron në dipolin elektrik, i cili tenton ta rrotullojë atë në mënyrë që momenti i dipolit të kthehet përgjatë drejtimit të fushës.

Energjia potenciale e një dipoli elektrik në një fushë elektrike (konstante) është e barabartë me (Në rastin e një fushe jo uniforme, kjo do të thotë varësi jo vetëm nga momenti i dipolit - madhësia dhe drejtimi i tij, por edhe nga vendndodhja , pika e vendndodhjes së dipolit).

Larg një dipoli elektrik, forca e fushës së saj elektrike zvogëlohet me distancën, disi më shpejt se një ngarkesë pikë ().

Çdo sistem përgjithësisht neutral elektrik që përmban ngarkesa elektrike, në një farë përafrimi (d.m.th., në të vërtetë në përafrimi i dipolit) mund të konsiderohet si një dipol elektrik me një moment ku - ngarkesa e elementit është vektori i rrezes së tij. Në këtë rast, përafrimi i dipolit do të jetë i saktë nëse distanca në të cilën studiohet fusha elektrike e sistemit është e madhe në krahasim me dimensionet e tij karakteristike.

Dipol magnetik

Dipol magnetik- një analog i atij elektrik, i cili mund të imagjinohet si një sistem i dy "ngarkimeve magnetike" (kjo analogji është e kushtëzuar, pasi ngarkesat magnetike, nga pikëpamja e elektrodinamikës moderne, nuk ekzistojnë). Si model i një dipoli magnetik, ne mund të konsiderojmë një kornizë të vogël përcjellëse të rrafshët (në krahasim me distancat në të cilat studiohet dipol-fusha magnetike e krijuar) nëpër të cilën rrjedh rryma (në sistemin SGSM) është vlera ku - vektori njësi i drejtuar pingul me rrafshin e kornizës në atë drejtim, kur vërehet në të cilin rryma në kornizë duket se rrjedh në drejtim të akrepave të orës.

Shprehjet për çift rrotullues që vepron nga fusha magnetike në një dipol magnetik dhe energjinë potenciale të një dipoli magnetik të përhershëm në një fushë magnetike, janë të ngjashme me formulat përkatëse për bashkëveprimin e një dipoli elektrik me një fushë elektrike, vetëm ato përfshijnë momenti magnetik dhe vektori i induksionit magnetik:

Fushë dipole lëkundëse

Ky seksion shqyrton fushën e krijuar nga një dipol elektrik me pikë i vendosur në një pikë të caktuar në hapësirë.