Ekuacionet në teorinë e probabilitetit me zgjidhje. Teoria e probabilitetit

Shumë, kur përballen me konceptin e "teorisë së probabilitetit", tremben, duke menduar se është diçka dërrmuese, shumë komplekse. Por në fakt gjithçka nuk është aq tragjike. Sot do të shikojmë konceptin bazë të teorisë së probabilitetit dhe do të mësojmë se si t'i zgjidhim problemet duke përdorur shembuj specifikë.

Shkenca

Çfarë studion një degë e tillë e matematikës si "teoria e probabilitetit"? Ajo vë në dukje modele dhe sasi. Shkencëtarët u interesuan për herë të parë për këtë çështje në shekullin e tetëmbëdhjetë, kur ata studiuan kumar. Koncepti themelor i teorisë së probabilitetit është një ngjarje. Është çdo fakt që vërtetohet nga përvoja ose vëzhgimi. Por çfarë është përvoja? Një tjetër koncept bazë i teorisë së probabilitetit. Do të thotë se ky grup rrethanash nuk është krijuar rastësisht, por për një qëllim të caktuar. Sa i përket vëzhgimit, këtu vetë studiuesi nuk merr pjesë në eksperiment, por është thjesht dëshmitar i këtyre ngjarjeve, ai nuk ndikon në asnjë mënyrë në atë që po ndodh.

Ngjarjet

Mësuam se koncepti bazë i teorisë së probabilitetit është një ngjarje, por nuk e morëm parasysh klasifikimin. Të gjithë ata ndahen në kategoritë e mëposhtme:

• E besueshme.
• E pamundur.
• E rastësishme.

Pavarësisht se çfarë lloj ngjarjesh janë, të vëzhguara ose të krijuara gjatë përvojës, të gjitha ato i nënshtrohen këtij klasifikimi. Ju ftojmë të njiheni me secilin lloj veç e veç.

Ngjarje e besueshme

Kjo është një rrethanë për të cilën janë marrë masat e nevojshme. Për të kuptuar më mirë thelbin, është më mirë të japim disa shembuj. Fizika, kimia, ekonomia dhe matematikë e lartë. Teoria e probabilitetit përfshin këtë koncept i rëndësishëm, Si ngjarje e besueshme. Ketu jane disa shembuj:

• Ne punojmë dhe marrim kompensim në formën e pagave.
• Ne i kaluam mirë provimet, e kaluam konkursin, për këtë marrim një shpërblim në formën e pranimit në institucion arsimor.
• Ne kemi investuar para në bankë dhe nëse është e nevojshme, do t'i kthejmë.

Ngjarje të tilla janë të besueshme. Nëse kemi përfunduar gjithçka kushtet e nevojshme, atëherë patjetër do të marrim rezultatin e pritur.

Ngjarje të pamundura

Tani po shqyrtojmë elementet e teorisë së probabilitetit. Ne propozojmë të kalojmë në një shpjegim të llojit tjetër të ngjarjes, domethënë të pamundurës. Për të filluar, le të përcaktojmë më së shumti rregull i rëndësishëm- probabiliteti i një ngjarjeje të pamundur është zero.

Nuk mund të shmanget nga ky formulim gjatë zgjidhjes së problemeve. Për sqarim, këtu janë shembuj të ngjarjeve të tilla:

• Uji ngriu në një temperaturë prej plus dhjetë (kjo është e pamundur).
• Mungesa e energjisë elektrike nuk ndikon në prodhimin në asnjë mënyrë (po aq e pamundur si në shembullin e mëparshëm).

Nuk ia vlen të jepen më shumë shembuj, pasi ato të përshkruara më sipër pasqyrojnë shumë qartë thelbin e kësaj kategorie. Një ngjarje e pamundur nuk do të ndodhë kurrë gjatë një eksperimenti në asnjë rrethanë.

Ngjarje të rastësishme

Studimi i elementeve të teorisë së probabilitetit, Vëmendje e veçantë ia vlen t'i kushtohet vëmendje kjo specie ngjarjet. Këta janë ata që studion këtë shkencë. Si rezultat i përvojës, diçka mund të ndodhë ose jo. Për më tepër, testi mund të kryhet një numër të pakufizuar herë. Shembuj të gjallë mund të shërbejë:

• Hedhja e një monedhe është një përvojë ose provë, ulja e kokave është një ngjarje.
• Tërheqja e një topi nga një qese verbërisht është një provë marrja e një topi të kuq është një ngjarje, e kështu me radhë.

Mund të ketë një numër të pakufizuar shembujsh të tillë, por, në përgjithësi, thelbi duhet të jetë i qartë. Për të përmbledhur dhe sistemuar njohuritë e marra rreth ngjarjeve, jepet një tabelë. Teoria e probabilitetit studion vetëm llojin e fundit nga të gjitha të paraqitura.

Ligjet

Teoria e probabilitetit është një shkencë që studion mundësinë e ndodhjes së një ngjarjeje. Ashtu si të tjerët, ai ka disa rregulla. ekzistojnë ligjet e mëposhtme teoria e probabilitetit:

• Konvergjenca e sekuencave të ndryshoreve të rastit.
• Ligji i numrave të mëdhenj.

Kur llogaritni mundësinë e diçkaje komplekse, mund të përdorni kompleksin ngjarje të thjeshta për të arritur më lehtë rezultate dhe mënyrë të shpejtë. Vini re se ligjet mund të vërtetohen lehtësisht duke përdorur teorema të caktuara. Ju sugjerojmë që fillimisht të njiheni me ligjin e parë.

Konvergjenca e sekuencave të ndryshoreve të rastit

Vini re se ka disa lloje të konvergjencës:

• Sekuenca e ndryshoreve të rastësishme konvergon në probabilitet.
• Pothuajse e pamundur.
• Konvergjenca mesatare katrore.
• Konvergjenca e shpërndarjes.

Pra, menjëherë, është shumë e vështirë të kuptosh thelbin. Këtu janë përkufizimet që do t'ju ndihmojnë të kuptoni këtë temë. Le të fillojmë me pamjen e parë. Sekuenca quhet konvergjente në probabilitet, nëse plotësohet kushti tjetër: n tenton në pafundësi, numri drejt të cilit priret sekuenca, Mbi zero dhe është afër unitetit.

Le të kalojmë në pamjen tjetër, pothuajse me siguri. Sekuenca thuhet se konvergjon pothuajse me siguri në një ndryshore të rastësishme ku n priret drejt pafundësisë dhe P që priret në një vlerë afër unitetit.

Lloji tjetër është konvergjenca mesatare katrore. Kur përdorni konvergjencën SC, duke studiuar vektorin procese të rastësishme zbret në studimin e proceseve të tyre të rastësishme koordinative.

Ka mbetur edhe një lloj i fundit, le ta shohim shkurtimisht që të kalojmë drejtpërdrejt në zgjidhjen e problemeve. Konvergjenca në shpërndarje ka një emër tjetër - "i dobët", dhe ne do të shpjegojmë pse më vonë. Konvergjenca e dobëtështë konvergjenca e funksioneve të shpërndarjes në të gjitha pikat e vazhdimësisë së funksionit të shpërndarjes kufizuese.

Ne patjetër do ta mbajmë premtimin tonë: konvergjencë e dobët ndryshon nga të gjitha sa më sipër në atë vlerë e rastësishme nuk është përcaktuar për hapësirë ​​probabiliteti. Kjo është e mundur sepse gjendja formohet ekskluzivisht duke përdorur funksionet e shpërndarjes.

Ligji i numrave të mëdhenj

Teoremat e teorisë së probabilitetit, të tilla si:

• Pabarazia e Chebyshev.
• Teorema e Chebyshev.
• Teorema e përgjithësuar e Chebyshev.
• Teorema e Markovit.

Nëse marrim parasysh të gjitha këto teorema, atëherë kjo pyetje mund të zgjasë për disa dhjetëra fletë. Detyra jonë kryesore është të zbatojmë teorinë e probabilitetit në praktikë. Ne ju sugjerojmë ta bëni këtë menjëherë. Por para kësaj, le të shohim aksiomat e teorisë së probabilitetit, ata do të jenë asistentët kryesorë në zgjidhjen e problemeve.

Aksiomat

Të parën e takuam tashmë kur folëm për një ngjarje të pamundur. Le të kujtojmë: probabiliteti i një ngjarje të pamundur është zero. Ne dhamë një shembull shumë të gjallë dhe të paharrueshëm: bora ra në një temperaturë ajri prej tridhjetë gradë Celsius.

E dyta është si vijon: një ngjarje e besueshme ndodh me një probabilitet e barabartë me një. Tani do të tregojmë se si ta shkruajmë këtë duke përdorur gjuhën matematikore: P(B)=1.

E treta: Ngjarje e rastësishme mund të ndodhë ose jo, por mundësia shkon gjithmonë nga zero në një. Si vlerë më të afërt për një, aq më të mëdha janë shanset; nëse vlera i afrohet zeros, probabiliteti është shumë i ulët. Le ta shkruajmë këtë gjuha matematikore: 0<Р(С)<1.

Le të shqyrtojmë aksiomën e fundit, të katërt, e cila tingëllon kështu: probabiliteti i shumës së dy ngjarjeve është i barabartë me shumën e probabiliteteve të tyre. E shkruajmë në gjuhën matematikore: P(A+B)=P(A)+P(B).

Aksiomat e teorisë së probabilitetit janë rregullat më të thjeshta që nuk janë të vështira për t'u mbajtur mend. Le të përpiqemi të zgjidhim disa probleme bazuar në njohuritë që kemi marrë tashmë.

Biletë lotarie

Së pari, le të shohim shembullin më të thjeshtë - një llotari. Imagjinoni që keni blerë një biletë lotarie për fat të mirë. Sa është probabiliteti që të fitoni të paktën njëzet rubla? Në total, një mijë bileta marrin pjesë në qarkullim, njëra prej të cilave ka një çmim prej pesëqind rubla, dhjetë prej tyre kanë njëqind rubla secila, pesëdhjetë kanë një çmim prej njëzet rubla dhe njëqind kanë një çmim prej pesë. Problemet e probabilitetit bazohen në gjetjen e mundësisë së fatit. Tani së bashku do të analizojmë zgjidhjen e detyrës së mësipërme.

Nëse përdorim shkronjën A për të treguar një fitore prej pesëqind rubla, atëherë probabiliteti për të marrë A do të jetë i barabartë me 0,001. Si e kemi marrë këtë? Thjesht duhet të ndani numrin e biletave "me fat" me numrin e tyre total (në këtë rast: 1/1000).

B është një fitore prej njëqind rubla, probabiliteti do të jetë 0.01. Tani kemi vepruar në të njëjtin parim si në veprimin e mëparshëm (10/1000)

C - fitimet janë njëzet rubla. Ne gjejmë probabilitetin, është i barabartë me 0.05.

Ne nuk jemi të interesuar për biletat e mbetura, pasi fondi i tyre i çmimeve është më i vogël se ai i përcaktuar në kusht. Le të zbatojmë aksiomën e katërt: Probabiliteti për të fituar të paktën njëzet rubla është P(A)+P(B)+P(C). Shkronja P tregon probabilitetin e ndodhjes së një ngjarjeje të caktuar, ne i kemi gjetur tashmë ato në veprimet e mëparshme. Mbetet vetëm të mbledhim të dhënat e nevojshme dhe përgjigja që marrim është 0.061. Ky numër do të jetë përgjigjja e pyetjes së detyrës.

Kuvertë kartash

Problemet në teorinë e probabilitetit mund të jenë më komplekse, për shembull, merrni detyrën e mëposhtme. Para jush është një kuvertë me tridhjetë e gjashtë letra. Detyra juaj është të vizatoni dy letra me radhë pa e përzier pirgun, letrat e para dhe të dyta duhet të jenë ace, kostumi nuk ka rëndësi.

Së pari, le të gjejmë probabilitetin që letra e parë të jetë një ACE, për këtë ne ndajmë katër me tridhjetë e gjashtë. E lanë mënjanë. Ne nxjerrim kartën e dytë, do të jetë një ACE me një probabilitet prej tre tridhjetë e pesta. Probabiliteti i ngjarjes së dytë varet nga ajo kartë që kemi tërhequr së pari, pyesim veten nëse ishte një as apo jo. Nga kjo rezulton se ngjarja B varet nga ngjarja A.

Hapi tjetër është gjetja e probabilitetit të ndodhjes së njëkohshme, domethënë shumëzojmë A dhe B. Produkti i tyre gjendet si më poshtë: shumëzojmë probabilitetin e një ngjarjeje me probabilitetin e kushtëzuar të një tjetre, të cilën e llogarisim, duke supozuar se e para ndodhi ngjarja, domethënë tërhoqëm një as me kartonin e parë.

Për të bërë gjithçka të qartë, le t'i japim një përcaktim një elementi të tillë si ngjarjet. Ajo llogaritet duke supozuar se ngjarja A ka ndodhur. Ai llogaritet si më poshtë: P(B/A).

Le të vazhdojmë të zgjidhim problemin tonë: P(A * B) = P(A) * P(B/A) ose P(A * B) = P(B) * P(A/B). Probabiliteti është i barabartë me (4/36) * ((3/35)/(4/36). Ne llogarisim duke rrumbullakosur në të qindtën më të afërt. Kemi: 0,11 * (0,09/0,11) = 0,11 * 0, 82 = 0.09 Probabiliteti që do të vizatojmë dy ace me radhë është nëntëqindta. Vlera është shumë e vogël, që do të thotë se probabiliteti i ndodhjes së ngjarjes është jashtëzakonisht i vogël.

Numri i harruar

Ne propozojmë të analizojmë disa variante të tjera të detyrave që studiohen nga teoria e probabilitetit. Ju keni parë tashmë shembuj të zgjidhjes së disa prej tyre në këtë artikull Le të përpiqemi të zgjidhim problemin e mëposhtëm: djali harroi shifrën e fundit të numrit të telefonit të shokut të tij, por duke qenë se telefonata ishte shumë e rëndësishme, ai filloi të thërriste gjithçka një nga një. . Ne duhet të llogarisim probabilitetin që ai të telefonojë jo më shumë se tre herë. Zgjidhja e problemit është më e thjeshtë nëse njihen rregullat, ligjet dhe aksiomat e teorisë së probabilitetit.

Përpara se të shikoni zgjidhjen, përpiquni ta zgjidhni vetë. Ne e dimë që shifra e fundit mund të jetë nga zero në nëntë, domethënë dhjetë vlera në total. Probabiliteti për të marrë atë të duhurin është 1/10.

Tjetra, duhet të shqyrtojmë opsionet për origjinën e ngjarjes, supozojmë se djali mendoi saktë dhe shtypi menjëherë atë të duhurin, probabiliteti i një ngjarje të tillë është 1/10. Opsioni i dytë: thirrja e parë humbet, dhe e dyta është në shënjestër. Le të llogarisim probabilitetin e një ngjarjeje të tillë: shumëzojmë 9/10 me 1/9, dhe si rezultat marrim gjithashtu 1/10. Opsioni i tretë: telefonatat e para dhe të dyta ishin në adresën e gabuar, vetëm me të tretën djali arriti atje ku donte. Ne llogarisim probabilitetin e një ngjarjeje të tillë: 9/10 shumëzuar me 8/9 dhe 1/8, duke rezultuar në 1/10. Nuk na interesojnë opsionet e tjera sipas kushteve të problemit, ndaj duhet vetëm të mbledhim rezultatet, në fund kemi 3/10. Përgjigje: probabiliteti që djali të telefonojë jo më shumë se tre herë është 0.3.

Kartat me numra

Para jush keni nëntë letra, në secilën prej të cilave është shkruar një numër nga një në nëntë, numrat nuk përsëriten. Ata u vendosën në një kuti dhe u përzien plotësisht. Ju duhet të llogarisni probabilitetin që

• do të shfaqet një numër çift;
• dyshifrore.

Përpara se të kalojmë te zgjidhja, le të përcaktojmë se m është numri i rasteve të suksesshme dhe n është numri total i opsioneve. Le të gjejmë probabilitetin që numri të jetë çift. Nuk do të jetë e vështirë të llogaritet se janë katër numra çift, ky do të jetë m-ja jonë, janë gjithsej nëntë opsione të mundshme, domethënë m=9. Atëherë probabiliteti është 0.44 ose 4/9.

Le të shqyrtojmë rastin e dytë: numri i opsioneve është nëntë, dhe nuk mund të ketë fare rezultate të suksesshme, domethënë, m është zero. Probabiliteti që karta e tërhequr të përmbajë një numër dyshifror është gjithashtu zero.

PREZANTIMI

Shumë gjëra janë të pakuptueshme për ne jo sepse konceptet tona janë të dobëta;
por për shkak se këto gjëra nuk përfshihen në gamën e koncepteve tona.
Kozma Prutkov

Qëllimi kryesor i studimit të matematikës në institucionet arsimore të mesme të specializuara është t'u japë studentëve një grup njohurish dhe aftësish matematikore të nevojshme për të studiuar disiplina të tjera programore që përdorin matematikën në një shkallë ose në një tjetër, për aftësinë për të kryer llogaritjet praktike, për formimin dhe zhvillimin të të menduarit logjik.

Në këtë punë, të gjitha konceptet themelore të seksionit të matematikës "Bazat e teorisë së probabilitetit dhe statistikave matematikore", të parashikuara nga programi dhe Standardet Arsimore Shtetërore të Arsimit të Mesëm Profesional (Ministria e Arsimit e Federatës Ruse. M., 2002 ), prezantohen vazhdimisht, formulohen teoremat kryesore, shumica e të cilave nuk janë të vërtetuara. Shqyrtohen problemet dhe metodat kryesore për zgjidhjen e tyre dhe teknologjitë për zbatimin e këtyre metodave për zgjidhjen e problemeve praktike. Prezantimi shoqërohet me komente të hollësishme dhe shembuj të shumtë.

Udhëzimet metodologjike mund të përdoren për njohjen fillestare me materialin që studiohet, kur mbani shënime për leksionet, për t'u përgatitur për klasa praktike, për të konsoliduar njohuritë, aftësitë dhe aftësitë e fituara. Përveç kësaj, manuali do të jetë gjithashtu i dobishëm për studentët e diplomuar si një mjet referimi, duke i lejuar ata të kujtojnë shpejt atë që është studiuar më parë.

Në fund të punës jepen shembuj dhe detyra që nxënësit mund të kryejnë në modalitetin e vetëkontrollit.

Udhëzimet janë të destinuara për studentët me kohë të pjesshme dhe me kohë të plotë.

KONCEPTET THEMELORE

Teoria e probabilitetit studion modelet objektive të ngjarjeve të rastësishme masive. Është baza teorike për statistikat matematikore, e cila merret me zhvillimin e metodave për mbledhjen, përshkrimin dhe përpunimin e rezultateve të vëzhgimit. Nëpërmjet vëzhgimeve (testeve, eksperimenteve), d.m.th. përvoja në kuptimin e gjerë të fjalës, ndodh njohja e dukurive të botës reale.

Në aktivitetet tona praktike, shpesh ndeshemi me dukuri, rezultati i të cilave nuk mund të parashikohet, rezultati i të cilave varet nga rastësia.

Një fenomen i rastësishëm mund të karakterizohet nga raporti i numrit të dukurive të tij me numrin e provave, në secilën prej të cilave, në të njëjtat kushte të të gjitha sprovave, mund të ndodhte ose të mos ndodhte.

Teoria e probabilitetit është një degë e matematikës në të cilën studiohen dukuritë (ngjarjet) e rastësishme dhe identifikohen modelet kur ato përsëriten në masë.

Statistikat matematikore janë një degë e matematikës që merret me studimin e metodave për mbledhjen, sistemimin, përpunimin dhe përdorimin e të dhënave statistikore për të marrë përfundime të bazuara shkencërisht dhe për të marrë vendime.

Në këtë rast, të dhënat statistikore kuptohen si një grup numrash që përfaqësojnë karakteristikat sasiore të karakteristikave të objekteve në studim që na interesojnë. Të dhënat statistikore janë marrë si rezultat i eksperimenteve dhe vëzhgimeve të krijuara posaçërisht.

Të dhënat statistikore në thelb varen nga shumë faktorë të rastësishëm, prandaj statistikat matematikore janë të lidhura ngushtë me teorinë e probabilitetit, e cila është baza teorike e saj.

I. PROBABILITETI. TEOREMA E MBLEDHJES DHE SHUMËZIMIT TË PROBABILITETEVE

1.1. Konceptet themelore të kombinatorikës

Në degën e matematikës, e cila quhet kombinatorikë, zgjidhen disa probleme që lidhen me shqyrtimin e bashkësive dhe përbërjen e kombinimeve të ndryshme të elementeve të këtyre bashkësive. Për shembull, nëse marrim 10 numra të ndryshëm 0, 1, 2, 3,: , 9 dhe bëjmë kombinime të tyre, do të marrim numra të ndryshëm, për shembull 143, 431, 5671, 1207, 43, etj.

Ne shohim se disa nga këto kombinime ndryshojnë vetëm në rendin e shifrave (për shembull, 143 dhe 431), të tjerët - në shifrat e përfshira në to (për shembull, 5671 dhe 1207), dhe të tjerët gjithashtu ndryshojnë në numrin e shifrave (për shembull, 143 dhe 43).

Kështu, kombinimet që rezultojnë plotësojnë kushte të ndryshme.

Në varësi të rregullave të përbërjes, mund të dallohen tre lloje kombinimesh: permutacione, vendosje, kombinime.

Le të njihemi së pari me konceptin faktorial.

Quhet prodhimi i të gjithë numrave natyrorë nga 1 deri në n n-faktorial dhe shkruani.

Njehsoni: a) ; b) ; V) .

Zgjidhje. A) .

b) Meqenëse , atëherë mund ta vendosim jashtë kllapave

Pastaj marrim

V) .

Rirregullimet.

Një kombinim i n elementeve që ndryshojnë nga njëri-tjetri vetëm në renditjen e elementeve quhet ndërrim.

Permutacionet tregohen nga simboli P n , ku n është numri i elementeve të përfshirë në çdo ndërrim. ( R- shkronja e parë e një fjale franceze ndërrim- rirregullim).

Numri i permutacioneve mund të llogaritet duke përdorur formulën

ose duke përdorur faktorial:

Le ta kujtojmë atë 0!=1 dhe 1!=1.

Shembulli 2. Në sa mënyra mund të vendosen gjashtë libra të ndryshëm në një raft?

Zgjidhje. Numri i kërkuar i mënyrave është i barabartë me numrin e permutacioneve të 6 elementeve, d.m.th.

Vendosjet.

Postimet nga m elementet në n në secilin quhen komponime të tilla që ndryshojnë nga njëri-tjetri ose nga vetë elementët (të paktën një), ose nga radha e renditjes së tyre.

Vendosjet tregohen me simbolin, ku m- numri i të gjithë elementëve të disponueshëm, n- numri i elementeve në çdo kombinim. ( A- shkronja e parë e një fjale franceze marrëveshje, që do të thotë "vendosje, vënie në rregull").

Në të njëjtën kohë, besohet se nm.

Numri i vendosjeve mund të llogaritet duke përdorur formulën

,

ato. numri i të gjitha vendosjeve të mundshme nga m elementet nga n barazohet me produktin n numra të plotë të njëpasnjëshëm, nga të cilët më i madhi është m.

Le ta shkruajmë këtë formulë në formë faktoriale:

Shembulli 3. Sa opsione për shpërndarjen e tre kuponave në sanatoriume të profileve të ndryshme mund të përpilohen për pesë aplikantë?

Zgjidhje. Numri i kërkuar i opsioneve është i barabartë me numrin e vendosjeve të 5 elementeve të 3 elementeve, d.m.th.

.

Kombinimet.

Kombinimet janë të gjitha kombinimet e mundshme të m elementet nga n, të cilat ndryshojnë nga njëra-tjetra për të paktën një element (këtu m Dhe n- numrat natyrorë, dhe n m).

Numri i kombinimeve të m elementet nga n shenohen me ( ME- shkronja e parë e një fjale franceze kombinim- kombinim).

Në përgjithësi, numri i m elementet nga n e barabartë me numrin e vendosjeve nga m elementet nga n, pjesëtuar me numrin e permutacioneve nga n elementet:

Duke përdorur formulat faktoriale për numrat e vendosjeve dhe permutacioneve, marrim:

Shembulli 4. Në një ekip prej 25 personash, ju duhet të ndani katër për të punuar në një zonë të caktuar. Në sa mënyra mund të bëhet kjo?

Zgjidhje. Meqenëse rendi i katër personave të zgjedhur nuk ka rëndësi, ka mënyra për ta bërë këtë.

Ne gjejmë duke përdorur formulën e parë

.

Përveç kësaj, gjatë zgjidhjes së problemeve, përdoren formulat e mëposhtme, duke shprehur vetitë themelore të kombinimeve:

(sipas përkufizimit ata supozojnë dhe);

.

1.2. Zgjidhja e problemeve të kombinuara

Detyra 1. Në fakultet studiohen 16 lëndë. Ju duhet të vendosni 3 lëndë në programin tuaj për të hënën. Në sa mënyra mund të bëhet kjo?

Zgjidhje. Ka po aq mënyra për të planifikuar tre artikuj nga 16 sa mund të organizoni vendosjen e 16 artikujve me 3.

Detyra 2. Nga 15 objekte, ju duhet të zgjidhni 10 objekte. Në sa mënyra mund të bëhet kjo?

Detyra 3. Në garë morën pjesë katër skuadra. Sa opsione për shpërndarjen e vendeve ndërmjet tyre janë të mundshme?

.

Problemi 4. Në sa mënyra mund të formohet një patrullë prej tre ushtarësh dhe një oficeri nëse ka 80 ushtarë dhe 3 oficerë?

Zgjidhje. Ju mund të zgjidhni një ushtar në patrullë

mënyra, dhe oficerët në mënyra. Meqenëse çdo oficer mund të shkojë me çdo ekip ushtarësh, ka vetëm kaq shumë mënyra.

Detyra 5. Gjeni , nëse dihet se .

Që , ne marrim

,

,

Nga përkufizimi i një kombinimi rrjedh se , . Se. .

1.3. Koncepti i një ngjarjeje të rastësishme. Llojet e ngjarjeve. Probabiliteti i ngjarjes

Çdo veprim, fenomen, vëzhgim me disa rezultate të ndryshme, i realizuar në një grup të caktuar kushtesh, do të quhet provë.

Rezultati i këtij veprimi ose vëzhgimi quhet ngjarje .

Nëse një ngjarje në kushte të caktuara mund të ndodhë ose të mos ndodhë, atëherë quhet të rastësishme . Kur një ngjarje është e sigurt se do të ndodhë, ajo quhet të besueshme , dhe në rastin kur padyshim nuk mund të ndodhë, - e pamundur.

Ngjarjet quhen të papajtueshme , nëse vetëm njëri prej tyre është i mundur të shfaqet çdo herë.

Ngjarjet quhen të përbashkët , nëse, në kushte të dhëna, ndodhja e njërës prej këtyre ngjarjeve nuk përjashton ndodhjen e një tjetri gjatë të njëjtit test.

Ngjarjet quhen e kundërt , nëse në kushtet e testimit ato, duke qenë të vetmet rezultate, janë të papajtueshme.

Ngjarjet zakonisht shënohen me shkronja të mëdha të alfabetit latin: A, B, C, D, : .

Një sistem i plotë ngjarjesh A 1 , A 2 , A 3 , : , A n është një grup ngjarjesh të papajtueshme, shfaqja e të paktën njërës prej të cilave është e detyrueshme gjatë një testi të caktuar.

Nëse një sistem i plotë përbëhet nga dy ngjarje të papajtueshme, atëherë ngjarje të tilla quhen të kundërta dhe caktohen A dhe .

Shembull. Kutia përmban 30 topa të numëruar. Përcaktoni se cilat nga ngjarjet e mëposhtme janë të pamundura, të besueshme ose të kundërta:

nxori një top të numëruar (A);

mori një top me numër çift (NË);

mori një top me një numër tek (ME);

mori një top pa numër (D).

Cili prej tyre përbën një grup të plotë?

Zgjidhje . A- ngjarje e besueshme; D- ngjarje e pamundur;

Në dhe ME- ngjarje të kundërta.

Grupi i plotë i ngjarjeve përbëhet nga A Dhe D, V Dhe ME.

Probabiliteti i një ngjarjeje konsiderohet si masë e mundësisë objektive të ndodhjes së një ngjarjeje të rastësishme.

1.4. Përkufizimi klasik i probabilitetit

Një numër që shpreh masën e mundësisë objektive të ndodhjes së një ngjarje quhet probabiliteti kjo ngjarje dhe tregohet me simbolin R(A).

Përkufizimi. Probabiliteti i ngjarjes Aështë raporti i numrit të rezultateve m që favorizojnë ndodhjen e një ngjarjeje të caktuar A, në numrin n të gjitha rezultatet (jo konsistente, vetëm të mundshme dhe po aq të mundshme), d.m.th. .

Prandaj, për të gjetur probabilitetin e një ngjarjeje, është e nevojshme, duke marrë parasysh rezultatet e ndryshme të testit, të numërohen të gjitha rezultatet e mundshme të paqëndrueshme. n, zgjidhni numrin e rezultateve m që na interesojnë dhe llogarisni raportin m te n.

Karakteristikat e mëposhtme rrjedhin nga ky përkufizim:

Probabiliteti i çdo testi është një numër jo negativ që nuk e kalon një.

Në të vërtetë, numri m i ngjarjeve të kërkuara është brenda . Duke i ndarë të dyja pjesët në n, marrim

2. Probabiliteti i një ngjarjeje të besueshme është i barabartë me një, sepse .

3. Probabiliteti i një ngjarjeje të pamundur është zero, pasi .

Problemi 1. Në një short prej 1000 biletash, janë 200 fituese. Një biletë nxirret në mënyrë të rastësishme. Sa është probabiliteti që kjo biletë të jetë fituese?

Zgjidhje. Numri i përgjithshëm i rezultateve të ndryshme është n= 1000. Numri i rezultateve të favorshme për të fituar është m=200. Sipas formulës, marrim

.

Problemi 2. Në një grup prej 18 pjesësh ka 4 të dëmtuara. 5 pjesë zgjidhen në mënyrë të rastësishme. Gjeni probabilitetin që dy nga këto 5 pjesë të jenë me defekt.

Zgjidhje. Numri i të gjitha rezultateve të pavarura po aq të mundshme n e barabartë me numrin e kombinimeve 18 me 5 d.m.th.

Le të numërojmë numrin m që favorizon ngjarjen A. Ndër 5 pjesët e marra në mënyrë të rastësishme, duhet të jenë 3 të mira dhe 2 me të meta. Numri i mënyrave për të zgjedhur dy pjesë me defekt nga 4 defekte ekzistuese është i barabartë me numrin e kombinimeve 4 me 2:

Numri i mënyrave për të zgjedhur tre pjesë cilësore nga 14 pjesë cilësore të disponueshme është i barabartë me

.

Çdo grup pjesësh të mira mund të kombinohet me çdo grup pjesësh me defekt, pra numri i përgjithshëm i kombinimeve m arrin në

Probabiliteti i kërkuar i ngjarjes A është i barabartë me raportin e numrit të rezultateve m të favorshme për këtë ngjarje me numrin n të të gjitha rezultateve të pavarura po aq të mundshme:

.

Shuma e një numri të kufizuar ngjarjesh është një ngjarje që përbëhet nga ndodhja e të paktën një prej tyre.

Shuma e dy ngjarjeve shënohet me simbolin A+B dhe me shumën n ngjarje me simbolin A 1 +A 2 + : +A n.

Teorema e shtimit të probabilitetit.

Probabiliteti i shumës së dy ngjarjeve të papajtueshme është i barabartë me shumën e probabiliteteve të këtyre ngjarjeve.

Përfundim 1. Nëse ngjarja A 1, A 2, :,A n formojnë një sistem të plotë, atëherë shuma e probabiliteteve të këtyre ngjarjeve është e barabartë me një.

Përfundim 2. Shuma e probabiliteteve të ngjarjeve të kundërta dhe është e barabartë me një.

.

Problemi 1. Janë 100 bileta lotarie. Dihet që 5 bileta fitojnë 20,000 rubla, 10 bileta fitojnë 15,000 rubla, 15 bileta fitojnë 10,000 rubla, 25 bileta fitojnë 2,000 rubla. dhe asgjë për pjesën tjetër. Gjeni probabilitetin që bileta e blerë të marrë një fitim prej të paktën 10,000 rubla.

Zgjidhje. Le të jenë A, B dhe C ngjarje që konsistojnë në faktin se bileta e blerë merr një fitim të barabartë me përkatësisht 20,000, 15,000 dhe 10,000 rubla. meqenëse ngjarjet A, B dhe C janë të papajtueshme, atëherë

Detyra 2. Departamenti i korrespondencës së një shkolle teknike merr teste në matematikë nga qytetet A, B Dhe ME. Mundësia për të marrë një fletë testimi nga qyteti A barabartë me 0.6, nga qyteti NË- 0.1. Gjeni probabilitetin që testi tjetër të vijë nga qyteti ME.

Kursi i matematikës përgatit shumë surpriza për nxënësit e shkollës, njëra prej të cilave është një problem në teorinë e probabilitetit. Nxënësit kanë probleme në zgjidhjen e detyrave të tilla pothuajse në njëqind për qind të rasteve. Për të kuptuar dhe kuptuar këtë çështje, duhet të dini rregullat, aksiomat dhe përkufizimet bazë. Për të kuptuar tekstin në libër, duhet të dini të gjitha shkurtesat. Ne ofrojmë të mësojmë të gjitha këto.

Shkenca dhe zbatimi i saj

Meqenëse po ofrojmë një kurs përplasjeje në "teorinë e probabilitetit për dummies", së pari duhet të prezantojmë konceptet bazë dhe shkurtesat e shkronjave. Për të filluar, le të përcaktojmë vetë konceptin e "teorisë së probabilitetit". Çfarë lloji i shkencës është kjo dhe pse është e nevojshme? Teoria e probabilitetit është një nga degët e matematikës që studion dukuritë dhe sasitë e rastësishme. Ajo gjithashtu merr në konsideratë modelet, vetitë dhe operacionet e kryera me këto variabla të rastit. Për çfarë është? Shkenca është bërë e përhapur në studimin e fenomeneve natyrore. Çdo proces natyror dhe fizik nuk mund të bëjë pa praninë e rastësisë. Edhe nëse rezultatet janë regjistruar sa më saktë që të jetë e mundur gjatë eksperimentit, nëse përsëritet i njëjti test, ka shumë të ngjarë që rezultati të mos jetë i njëjtë.

Ne patjetër do të shohim shembuj të detyrave, ju mund ta shihni vetë. Rezultati varet nga shumë faktorë të ndryshëm që është pothuajse e pamundur të merren parasysh ose të regjistrohen, por megjithatë ata kanë një ndikim të madh në rezultatin e eksperimentit. Shembuj të gjallë përfshijnë detyrën e përcaktimit të trajektores së planetëve ose përcaktimin e parashikimit të motit, probabilitetin për të takuar një person të njohur gjatë udhëtimit për në punë dhe përcaktimin e lartësisë së kërcimit të një atleti. Teoria e probabilitetit gjithashtu ofron një ndihmë të madhe për agjentët në bursat. Një problem në teorinë e probabilitetit, zgjidhja e të cilit më parë kishte shumë probleme, do të bëhet thjesht një gjë e vogël për ju pas tre ose katër shembujve të dhënë më poshtë.

Ngjarjet

Siç u tha më herët, shkenca studion ngjarjet. Teoria e probabilitetit, ne do të shikojmë shembuj të zgjidhjes së problemeve pak më vonë, studion vetëm një lloj - të rastësishëm. Por megjithatë, duhet të dini se ngjarjet mund të jenë tre llojesh:

• E pamundur.
• E besueshme.
• E rastësishme.

Ne propozojmë të diskutojmë pak për secilën prej tyre. Një ngjarje e pamundur nuk do të ndodhë kurrë, në asnjë rrethanë. Shembujt përfshijnë: ngrirjen e ujit në temperatura mbi zero, tërheqjen e një kubi nga një qese me topa.

Një ngjarje e besueshme ndodh gjithmonë me një garanci 100% nëse plotësohen të gjitha kushtet. Për shembull: keni marrë një rrogë për punën e bërë, keni marrë një diplomë të arsimit të lartë profesional nëse keni studiuar me ndërgjegje, keni dhënë provime dhe keni mbrojtur diplomën tuaj, etj.

Gjithçka është pak më e ndërlikuar: gjatë eksperimentit mund të ndodhë ose jo, për shembull, tërheqja e një asi nga një kuvertë letrash pasi të keni bërë jo më shumë se tre përpjekje. Ju mund të merrni rezultatin ose në provën e parë ose aspak. Është probabiliteti i ndodhjes së një ngjarjeje që e studion shkenca.

Probabiliteti

Ky është, në një kuptim të përgjithshëm, një vlerësim i mundësisë së një rezultati të suksesshëm të një përvoje në të cilën ndodh një ngjarje. Probabiliteti vlerësohet në nivel cilësor, veçanërisht nëse vlerësimi sasior është i pamundur ose i vështirë. Një problem në teorinë e probabilitetit me një zgjidhje, ose më saktë me një vlerësim, përfshin gjetjen e asaj pjese shumë të mundshme të një rezultati të suksesshëm. Probabiliteti në matematikë është karakteristika numerike e një ngjarjeje. Ajo merr vlera nga zero në një, të shënuar me shkronjën P. Nëse P është e barabartë me zero, atëherë ngjarja nuk mund të ndodhë nëse është një, atëherë ngjarja do të ndodhë me një probabilitet 100%. Sa më shumë që P i afrohet një, aq më e madhe është probabiliteti i një rezultati të suksesshëm dhe anasjelltas, nëse është afër zeros, atëherë ngjarja do të ndodhë me probabilitet të ulët.

Shkurtesat

Problemi i probabilitetit me të cilin do të përballeni së shpejti mund të përmbajë shkurtesat e mëposhtme:

• P dhe P(X);
• A, B, C, etj;

Disa të tjera janë gjithashtu të mundshme: do të bëhen shpjegime shtesë sipas nevojës. Ne sugjerojmë, së pari, të sqarojmë shkurtesat e paraqitura më sipër. I pari në listën tonë është faktorial. Për ta bërë të qartë, japim shembuj: 5!=1*2*3*4*5 ose 3!=1*2*3. Më pas, grupet e dhëna shkruhen në kllapa kaçurrelë, për shembull: (1;2;3;4;..;n) ose (10;140;400;562). Shënimi i mëposhtëm është grupi i numrave natyrorë, i cili gjendet mjaft shpesh në detyrat e teorisë së probabilitetit. Siç u përmend më herët, P është një probabilitet, dhe P(X) është probabiliteti i ndodhjes së një ngjarjeje X. Ngjarjet shënohen me shkronja të mëdha të alfabetit latin, për shembull: A - u kap një top i bardhë, B - blu , C - e kuqe ose, përkatësisht, . Shkronja e vogël n është numri i të gjitha rezultateve të mundshme, dhe m është numri i atyre të suksesshme. Prej këtu marrim rregullin për gjetjen e probabilitetit klasik në problemat elementare: P = m/n. Teoria e probabilitetit "për dummies" është ndoshta e kufizuar në këtë njohuri. Tani, për t'u konsoliduar, le të kalojmë te zgjidhja.

Problemi 1. Kombinatorika

Grupi studentor përbëhet nga tridhjetë persona, nga të cilët duhet të zgjidhet një drejtues, zëvendësi i tij dhe një drejtues sindikal. Është e nevojshme të gjesh numrin e mënyrave për ta bërë këtë veprim. Një detyrë e ngjashme mund të shfaqet në Provimin e Unifikuar të Shtetit. Teoria e probabilitetit, zgjidhja e problemeve të së cilës po shqyrtojmë tani, mund të përfshijë probleme nga kursi i kombinatorikës, gjetja e probabilitetit klasik, probabilitetit gjeometrik dhe problemeve në formulat bazë. Në këtë shembull, ne po zgjidhim një detyrë nga një kurs i kombinatorikës. Le të kalojmë tek zgjidhja. Kjo detyrë është më e thjeshta:

1. n1=30 - prefektë të mundshëm të grupit të studentëve;
2. n2=29 - ata që mund të marrin postin e deputetit;
3. Për pozicionin sindikalist aplikojnë n3=28 persona.

Gjithçka që duhet të bëjmë është të gjejmë numrin e mundshëm të opsioneve, domethënë të shumëzojmë të gjithë treguesit. Si rezultat, marrim: 30*29*28=24360.

Kjo do të jetë përgjigja e pyetjes së shtruar.

Problemi 2. Rirregullimi

Janë 6 pjesëmarrës që flasin në konferencë, radha përcaktohet me short. Ne duhet të gjejmë numrin e opsioneve të mundshme të tërheqjes. Në këtë shembull, ne po shqyrtojmë një ndërrim të gjashtë elementeve, domethënë duhet të gjejmë 6!

Në paragrafin e shkurtesave, ne kemi përmendur tashmë se çfarë është dhe si llogaritet. Në total, rezulton se ka 720 opsione vizatimi. Në pamje të parë, një detyrë e vështirë ka një zgjidhje shumë të shkurtër dhe të thjeshtë. Këto janë detyrat që merr në konsideratë teoria e probabilitetit. Ne do të shikojmë se si të zgjidhim problemet e nivelit më të lartë në shembujt e mëposhtëm.

Problemi 3

Një grup prej njëzet e pesë studentësh duhet të ndahet në tre nëngrupe me gjashtë, nëntë dhe dhjetë persona. Kemi: n=25, k=3, n1=6, n2=9, n3=10. Mbetet për të zëvendësuar vlerat në formulën e kërkuar, marrim: N25(6,9,10). Pas llogaritjeve të thjeshta, marrim përgjigjen - 16,360,143,800 Nëse detyra nuk thotë se është e nevojshme të merret një zgjidhje numerike, atëherë ajo mund të jepet në formën e faktorëve.

Problemi 4

Tre persona morën me mend numrat nga një në dhjetë. Gjeni probabilitetin që numrat e dikujt të përputhen. Së pari duhet të zbulojmë numrin e të gjitha rezultateve - në rastin tonë është një mijë, domethënë dhjetë në fuqinë e tretë. Tani le të gjejmë numrin e opsioneve kur të gjithë kanë hamendësuar numra të ndryshëm, për ta bërë këtë shumëzojmë dhjetë, nëntë dhe tetë. Nga erdhën këto shifra? I pari merr me mend një numër, ai ka dhjetë opsione, i dyti tashmë ka nëntë dhe i treti duhet të zgjedhë nga tetë të mbetura, kështu që marrim 720 opsione të mundshme. Siç kemi llogaritur tashmë më herët, ka gjithsej 1000 opsione, dhe pa përsëritje janë 720, prandaj, ne jemi të interesuar për 280 të mbetura. Tani na duhet një formulë për të gjetur probabilitetin klasik: P = . Morëm përgjigjen: 0.28.

Teoria e probabilitetit është një degë e matematikës që studion modelet e dukurive të rastësishme: ngjarje të rastësishme, ndryshore të rastësishme, vetitë e tyre dhe veprimet mbi to.

Për një kohë të gjatë, teoria e probabilitetit nuk kishte një përkufizim të qartë. Ajo u formulua vetëm në 1929. Shfaqja e teorisë së probabilitetit si shkencë daton që nga Mesjeta dhe përpjekjet e para për analizën matematikore të lojërave të fatit (flake, zare, ruletë). Matematikanët francezë të shekullit të 17-të Blaise Pascal dhe Pierre Fermat, ndërsa studionin parashikimin e fitimeve në lojërat e fatit, zbuluan modelet e para probabiliste që lindin gjatë hedhjes së zareve.

Teoria e probabilitetit u ngrit si shkencë nga besimi se disa modele qëndrojnë në themel të ngjarjeve masive të rastësishme. Teoria e probabilitetit studion këto modele.

Teoria e probabilitetit merret me studimin e ngjarjeve, shfaqja e të cilave nuk dihet me siguri. Kjo ju lejon të gjykoni shkallën e probabilitetit të ndodhjes së disa ngjarjeve në krahasim me të tjerët.

Për shembull: është e pamundur të përcaktohet pa mëdyshje rezultati i "kokave" ose "bishtave" si rezultat i hedhjes së një monedhe, por me hedhje të përsëritur, shfaqet afërsisht i njëjti numër "kokash" dhe "bishtesh", që do të thotë se probabiliteti që "kokat" ose "bishtat" të bien ", është e barabartë me 50%.

Test në këtë rast, zbatimi i një grupi të caktuar kushtesh quhet, domethënë në këtë rast, hedhja e një monedhe. Sfida mund të luhet një numër i pakufizuar herë. Në këtë rast, grupi i kushteve përfshin faktorë të rastësishëm.

Rezultati i testit është ngjarje. Ngjarja ndodh:

1. I besueshëm (ndodh gjithmonë si rezultat i testimit).
2. E pamundur (nuk ndodh kurrë).
3. E rastësishme (mund ose nuk mund të ndodhë si rezultat i testit).

Për shembull, kur hedh një monedhë, ndodh një ngjarje e pamundur - monedha do të bjerë në buzë, një ngjarje e rastësishme - shfaqja e "kokave" ose "bishtave". Rezultati specifik i testit quhet ngjarje elementare. Si rezultat i testit, ndodhin vetëm ngjarje elementare. Grupi i të gjitha rezultateve të testit të mundshëm, të ndryshëm, specifik quhet hapësira e ngjarjeve elementare.

Konceptet themelore të teorisë

Probabiliteti- shkalla e mundësisë së ndodhjes së një ngjarjeje. Kur arsyet për një ngjarje të mundshme që të ndodhë në fakt tejkalojnë arsyet e kundërta, atëherë kjo ngjarje quhet e mundshme, përndryshe - e pamundur ose e pamundur.

Vlera e rastësishme- kjo është një sasi që, si rezultat i testimit, mund të marrë një ose një vlerë tjetër, dhe nuk dihet paraprakisht se cila. Për shembull: numri për stacion zjarri në ditë, numri i goditjeve me 10 të shtëna, etj.

Variablat e rastësishëm mund të ndahen në dy kategori.

1. Ndryshore diskrete e rastësishmeështë një sasi që, si rezultat i testimit, mund të marrë vlera të caktuara me një probabilitet të caktuar, duke formuar një grup të numërueshëm (një grup, elementët e të cilit mund të numërohen). Ky grup mund të jetë ose i fundëm ose i pafund. Për shembull, numri i të shtënave përpara goditjes së parë në objektiv është një ndryshore e rastësishme diskrete, sepse kjo sasi mund të marrë një numër vlerash të pafundme, edhe pse të numërueshme.
2. Ndryshore e vazhdueshme e rastësishmeështë një sasi që mund të marrë çdo vlerë nga një interval i fundëm ose i pafund. Natyrisht, numri i vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme është i pafund.

Hapësira e probabilitetit- koncepti i prezantuar nga A.N. Kolmogorov në vitet '30 të shekullit të 20-të për të zyrtarizuar konceptin e probabilitetit, i cili shkaktoi zhvillimin e shpejtë të teorisë së probabilitetit si një disiplinë e rreptë matematikore.

Një hapësirë ​​probabiliteti është një trefish (nganjëherë i mbyllur në kllapa këndore: , ku

Ky është një grup arbitrar, elementët e të cilit quhen ngjarje, rezultate ose pika elementare;
- algjebra sigma e nëngrupeve të quajtura ngjarje (të rastësishme);
- masë probabiliteti ose probabilitet, d.m.th. masë e fundme sigma-aditiv i tillë që .

Teorema De Moivre-Laplace- një nga teoremat kufitare të teorisë së probabilitetit, e krijuar nga Laplace në 1812. Ai thotë se numri i sukseseve kur përsëritet i njëjti eksperiment i rastësishëm pa pushim me dy rezultate të mundshme shpërndahet afërsisht normalisht. Kjo ju lejon të gjeni një vlerë të përafërt probabiliteti.

Nëse për secilën prej provave të pavarura probabiliteti i shfaqjes së ndonjë ngjarjeje të rastësishme është i barabartë me () dhe është numri i provave në të cilat ndodh realisht, atëherë probabiliteti që pabarazia të jetë e vërtetë është afër (për vlera të mëdha) me vlera e integralit Laplace.

Funksioni i shpërndarjes në teorinë e probabilitetit- një funksion që karakterizon shpërndarjen e një ndryshoreje të rastësishme ose të vektorit të rastit; probabiliteti që një ndryshore e rastësishme X të marrë një vlerë më të vogël ose të barabartë me x, ku x është një numër real arbitrar. Nëse plotësohen kushtet e njohura, ai përcakton plotësisht variablin e rastësishëm.

Vlera e pritshme- vlera mesatare e një ndryshoreje të rastësishme (kjo është shpërndarja e probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme, e konsideruar në teorinë e probabilitetit). Në literaturën në gjuhën angleze shënohet me , në rusisht - . Në statistika, shënimi përdoret shpesh.

Le të jepet një hapësirë ​​probabiliteti dhe një ndryshore e rastësishme e përcaktuar në të. Ky është, sipas përkufizimit, një funksion i matshëm. Pastaj, nëse ka një integral Lebesgue të mbi hapësirës, ​​atëherë ai quhet pritshmëri matematikore, ose vlera mesatare, dhe shënohet .

Varianca e një ndryshoreje të rastësishme- një masë e përhapjes së një ndryshoreje të caktuar të rastësishme, pra devijimi i saj nga pritshmëria matematikore. Është caktuar në literaturën ruse dhe të huaj. Në statistika, shënimi ose përdoret shpesh. Rrënja katrore e variancës quhet devijimi standard, devijimi standard ose përhapja standarde.

Le të jetë një ndryshore e rastësishme e përcaktuar në një hapësirë ​​probabiliteti. Pastaj

ku simboli tregon pritjen matematikore.

Në teorinë e probabilitetit quhen dy ngjarje të rastësishme i pavarur, nëse ndodhja e njërës prej tyre nuk ndryshon probabilitetin e ndodhjes së tjetrës. Në mënyrë të ngjashme, thirren dy ndryshore të rastësishme i varur, nëse vlera e njërës prej tyre ndikon në probabilitetin e vlerave të tjetrës.

Forma më e thjeshtë e ligjit të numrave të mëdhenj është teorema e Bernulit, e cila thotë se nëse probabiliteti i një ngjarjeje është i njëjtë në të gjitha sprovat, atëherë me rritjen e numrit të provave, frekuenca e ngjarjes priret në probabilitetin e ngjarjes dhe pushon së qeni i rastësishëm.

Ligji i numrave të mëdhenj në teorinë e probabilitetit thotë se mesatarja aritmetike e një kampioni të fundëm nga një shpërndarje fikse është afër mesatares teorike të asaj shpërndarjeje. Në varësi të llojit të konvergjencës, bëhet dallimi midis ligjit të dobët të numrave të mëdhenj, kur ndodh konvergjenca në probabilitet, dhe ligjit të fortë të numrave të mëdhenj, kur konvergjenca është pothuajse e sigurt.

Kuptimi i përgjithshëm i ligjit të numrave të mëdhenj është se veprimi i përbashkët i një numri të madh faktorësh të rastësishëm identikë dhe të pavarur çon në një rezultat që, në kufi, nuk varet nga rastësia.

Metodat për vlerësimin e probabilitetit bazuar në analizën e mostrës së fundme bazohen në këtë veti. Një shembull i qartë është parashikimi i rezultateve të zgjedhjeve bazuar në një anketë të një kampioni votuesish.

Teorema kufitare qendrore- një klasë teoremash në teorinë e probabilitetit që deklaron se shuma e një numri mjaftueshëm të madh të variablave të rastit të varur dobët që kanë përafërsisht të njëjtat shkallë (asnjë nga termat nuk dominon ose nuk jep një kontribut përcaktues në shumë) ka një shpërndarje afër normales.

Meqenëse shumë variabla të rastësishëm në aplikacione formohen nën ndikimin e disa faktorëve të rastësishëm të varur dobët, shpërndarja e tyre konsiderohet normale. Në këtë rast duhet të plotësohet kushti që asnjë nga faktorët të mos jetë dominues. Teoremat e kufirit qendror në këto raste justifikojnë përdorimin e shpërndarjes normale.

Shfaqja e teorisë së probabilitetit daton në mesin e shekullit të 17-të, kur matematikanët u interesuan për problemet e paraqitura nga lojtarët e fatit dhe të pa studiuara deri më tani në matematikë. Në procesin e zgjidhjes së këtyre problemeve, koncepte të tilla si probabiliteti dhe pritshmëria matematikore u kristalizuan. Në të njëjtën kohë, shkencëtarët e asaj kohe - Huygens (1629-1695), Pascal (1623-1662), Fermat (1601-1665) dhe Bernoulli (1654-1705) ishin të bindur se modele të qarta mund të lindnin në bazë të rastësisë masive. ngjarjet. Dhe vetëm gjendja e shkencës natyrore çoi në faktin se për një kohë të gjatë kumari vazhdoi të mbetej pothuajse i vetmi material konkret mbi bazën e të cilit u krijuan konceptet dhe metodat e teorisë së probabilitetit. Kjo rrethanë la gjurmë edhe në aparatin matematikor formal me të cilin zgjidheshin problemet që lindnin në teorinë e probabilitetit: ai u reduktua ekskluzivisht në metoda elementare aritmetike dhe kombinuese.

Kërkesat serioze nga shkenca natyrore dhe praktika sociale (teoria e gabimeve të vëzhgimit, problemet e teorisë së gjuajtjes, problemet e statistikave, kryesisht statistikat e popullsisë) çuan në nevojën për zhvillimin e mëtejshëm të teorisë së probabilitetit dhe përdorimin e një aparati më të zhvilluar analitik. Një rol veçanërisht të rëndësishëm në zhvillimin e metodave analitike të teorisë së probabilitetit luajtën Moivre (1667-1754), Laplace (1749-1827), Gauss (1777-1855), Poisson (1781-1840). Nga ana formale analitike, puna e krijuesit të gjeometrisë jo-Euklidiane, Lobachevsky (1792-1856), kushtuar teorisë së gabimeve në matjet në një sferë dhe e kryer me qëllimin e krijimit të një sistemi gjeometrik që dominon universin. , është ngjitur me të njëjtin drejtim.

Teoria e probabilitetit, si degët e tjera të matematikës, u zhvillua nga nevojat e praktikës: në formë abstrakte ajo pasqyron modelet e qenësishme në ngjarjet e rastësishme të një natyre masive. Këto modele luajnë një rol jashtëzakonisht të rëndësishëm në fizikë dhe fusha të tjera të shkencës natyrore, një sërë disiplinash teknike, ekonomi, sociologji dhe biologji. Në lidhje me zhvillimin e gjerë të ndërmarrjeve që prodhojnë produkte masive, rezultatet e teorisë së probabilitetit filluan të përdoren jo vetëm për refuzimin e produkteve të prodhuara tashmë, por edhe për organizimin e vetë procesit të prodhimit (kontrolli statistikor në prodhim).

Konceptet bazë të teorisë së probabilitetit

Teoria e probabilitetit shpjegon dhe eksploron modelet e ndryshme që rregullojnë ngjarjet e rastësishme dhe variablat e rastësishëm. Ngjarjeështë çdo fakt që mund të thuhet si rezultat i vëzhgimit ose përvojës. Vëzhgimi ose përvoja është realizimi i kushteve të caktuara në të cilat mund të ndodhë një ngjarje.

Përvoja do të thotë që grupi i rrethanave të përmendura është krijuar me vetëdije. Gjatë vëzhgimit, kompleksi vëzhgues i këtyre kushteve nuk e krijon dhe nuk ndikon në të. Ajo krijohet ose nga forcat e natyrës ose nga njerëzit e tjerë.

Çfarë duhet të dini për të përcaktuar probabilitetin e ngjarjeve

Të gjitha ngjarjet që njerëzit vëzhgojnë ose krijojnë vetë ndahen në:

• ngjarje të besueshme;
• ngjarje të pamundura;
• ngjarje të rastësishme.

Ngjarje të besueshme ndodhin gjithmonë kur krijohet një grup i caktuar rrethanash. Për shembull, nëse punojmë, marrim një shpërblim për të nëse kalojmë provimet dhe kalojmë konkursin, atëherë mund të llogarisim me siguri që të përfshihemi në numrin e studentëve. Ngjarjet e besueshme mund të vërehen në fizikë dhe kimi. Në ekonomi, ngjarjet e besueshme shoqërohen me strukturën dhe legjislacionin ekzistues shoqëror. Për shembull, nëse kemi depozituar para në një bankë dhe kemi shprehur dëshirën për t'i marrë ato brenda një periudhe të caktuar kohore, atëherë do t'i marrim paratë. Kjo mund të llogaritet si një ngjarje e besueshme.

Ngjarje të pamundura definitivisht nuk ndodh nëse është krijuar një grup i caktuar kushtesh. Për shembull, uji nuk ngrin nëse temperatura është plus 15 gradë Celsius, prodhimi nuk kryhet pa energji elektrike.

Ngjarje të rastësishme Kur realizohet një grup i caktuar kushtesh, ato mund të ndodhin ose jo. Për shembull, nëse hedhim një monedhë një herë, stema mund të bjerë ose jo, një biletë llotarie mund ose nuk mund të fitohet, një produkt i prodhuar mund të jetë ose jo me defekt. Shfaqja e një produkti me defekt është një ngjarje e rastësishme, më e rrallë se prodhimi i produkteve të përshtatshme.

Frekuenca e pritshme e shfaqjes së ngjarjeve të rastësishme është e lidhur ngushtë me konceptin e probabilitetit. Modelet e shfaqjes dhe mosndodhjes së ngjarjeve të rastësishme studiohen nga teoria e probabilitetit.

Nëse një grup kushtesh të nevojshme realizohen vetëm një herë, atëherë marrim informacion të pamjaftueshëm për një ngjarje të rastësishme, pasi mund të ndodhë ose jo. Nëse një grup kushtesh zbatohet shumë herë, atëherë shfaqen modele të njohura. Për shembull, nuk është kurrë e mundur të dihet se cilën aparat kafeje në një dyqan do të kërkojë klienti i radhës, por nëse dihen markat e aparateve të kafesë që kanë qenë më të kërkuara për një kohë të gjatë, atëherë në bazë të këtyre të dhënave është e mundur të organizoni prodhimin ose ofertën për të përmbushur kërkesën.

Njohja e modeleve që rregullojnë ngjarjet masive të rastësishme na lejon të parashikojmë se kur do të ndodhin këto ngjarje. Për shembull, siç u përmend më parë, është e pamundur të parashikohet paraprakisht rezultati i hedhjes së një monedhe, por nëse monedha hidhet shumë herë, atëherë është e mundur të parashikohet që stema do të bjerë. Gabimi mund të jetë i vogël.

Metodat e teorisë së probabilitetit përdoren gjerësisht në degë të ndryshme të shkencës natyrore, fizikës teorike, gjeodezisë, astronomisë, teorisë së kontrollit të automatizuar, teorisë së vëzhgimit të gabimeve dhe në shumë shkenca të tjera teorike dhe praktike. Teoria e probabilitetit përdoret gjerësisht në planifikimin dhe organizimin e prodhimit, analizën e cilësisë së produktit, analizën e procesit teknologjik, sigurimet, statistikat e popullsisë, biologjinë, balistikën dhe industri të tjera.

Ngjarjet e rastësishme zakonisht shënohen me shkronja të mëdha të alfabetit latin A, B, C, etj.

Ngjarjet e rastësishme mund të jenë:

• i papajtueshëm;
• të përbashkët.

Ngjarjet A, B, C... quhen të papajtueshme , nëse si rezultat i një testi mund të ndodhë një nga këto ngjarje, por dy ose më shumë ngjarje nuk mund të ndodhin.

Nëse ndodhja e një ngjarjeje të rastësishme nuk përjashton ndodhjen e një ngjarje tjetër, atëherë ngjarje të tilla quhen të përbashkët . Për shembull, nëse një pjesë tjetër hiqet nga një rrip transportieri dhe ngjarja A do të thotë "pjesa plotëson standardin" dhe ngjarja B do të thotë "pjesa nuk plotëson standardin", atëherë A dhe B janë ngjarje të papajtueshme. Nëse ngjarja C do të thotë "merret një pjesë e klasës II", atëherë kjo ngjarje është e përbashkët me ngjarjen A, por e papajtueshme me ngjarjen B.

Nëse në çdo vëzhgim (test) duhet të ndodhë një dhe vetëm një nga ngjarjet e rastësishme të papajtueshme, atëherë këto ngjarje përbëjnë grup (sistemi) i plotë i ngjarjeve .

Një ngjarje e besueshme është ndodhja e të paktën një ngjarje nga një grup i plotë ngjarjesh.

Nëse ngjarjet që formojnë tërësinë e plotë të ngjarjeve jokonsistente në çift , atëherë si rezultat i vëzhgimit mund të ndodhë vetëm një nga këto ngjarje. Për shembull, një student duhet të zgjidhë dy probleme testimi. Një dhe vetëm një nga ngjarjet e mëposhtme do të ndodhë patjetër:

• problemi i parë do të zgjidhet dhe problemi i dytë nuk do të zgjidhet;
• problemi i dytë do të zgjidhet dhe problemi i parë nuk do të zgjidhet;
• të dy problemet do të zgjidhen;
• asnjë nga problemet nuk do të zgjidhet.

Këto ngjarje formohen një grup i plotë ngjarjesh të papajtueshme .

Nëse grupi i plotë i ngjarjeve përbëhet nga vetëm dy ngjarje të papajtueshme, atëherë ato thirren reciprokisht të kundërta ose alternativë ngjarjet.

Ngjarja e kundërt me ngjarjen shënohet me . Për shembull, në rastin e një hedhjeje monedhe, mund të shfaqet emërtimi () ose stema ().

Ngjarjet quhen po aq e mundur , nëse asnjëri prej tyre nuk ka përparësi objektive. Ngjarje të tilla përbëjnë gjithashtu tërësinë e ngjarjeve. Kjo do të thotë që si rezultat i një vëzhgimi ose testi, të paktën një nga ngjarjet po aq të mundshme duhet të ndodhë patjetër.

Për shembull, një grup i plotë ngjarjesh formohet nga humbja e emërtimit dhe emblemës gjatë një hedhjeje të një monedhe, prania e 0, 1, 2, 3 dhe më shumë se 3 gabimeve në një faqe të printuar të tekstit.

Përkufizimet dhe vetitë e probabilitetit

Përkufizimi klasik i probabilitetit. Një mundësi ose një rast i favorshëm është rasti kur, gjatë zbatimit të një grupi të caktuar rrethanash, një ngjarje A ndodh. Përkufizimi klasik i probabilitetit përfshin llogaritjen e drejtpërdrejtë të numrit të rasteve ose mundësive të favorshme.

Probabiliteti klasik dhe statistikor. Formulat e probabilitetit: klasike dhe statistikore

Probabiliteti i ngjarjes A quaj raportin e numrit të mundësive të favorshme për këtë ngjarje me numrin e të gjitha ngjarjeve të papajtueshme po aq të mundshme N që mund të ndodhë si rezultat i një prove ose vëzhgimi të vetëm. Formula e probabilitetit ngjarjet A:

Nëse është plotësisht e qartë se për çfarë probabiliteti të një ngjarjeje po flasim, atëherë probabiliteti shënohet me një shkronjë të vogël. fq, pa specifikuar përcaktimin e ngjarjes.

Për të llogaritur probabilitetin sipas përkufizimit klasik, është e nevojshme të gjendet numri i të gjitha ngjarjeve të papajtueshme po aq të mundshme dhe të përcaktohet se sa prej tyre janë të favorshme për përkufizimin e ngjarjes. A.

Shembulli 1. Gjeni probabilitetin e marrjes së numrit 5 kur hidhni një kërpudhë.

Zgjidhje. Dihet se të gjashtë fytyrat kanë të njëjtat shanse për të përfunduar në krye. Numri 5 është shënuar vetëm në njërën anë. Numri i të gjitha ngjarjeve të papajtueshme po aq të mundshme është 6, nga të cilat vetëm një mundësi e favorshme është numri 5 ( M= 1). Kjo do të thotë se probabiliteti i dëshiruar për të rrotulluar numrin 5

Shembulli 2. Një kuti përmban 3 topa të kuq dhe 12 të bardhë të së njëjtës madhësi. Një top u mor pa parë. Gjeni probabilitetin që të merret topi i kuq.

Zgjidhje. Probabiliteti i kërkuar

Gjeni vetë probabilitetet dhe më pas shikoni zgjidhjen

Shembulli 3. Janë hedhur zaret. Ngjarje B- rrotullimi i një numri çift. Llogaritni probabilitetin e kësaj ngjarje.

Shembulli 5. Në një urnë ka 5 topa të bardhë dhe 7 të zinj. 1 top është tërhequr rastësisht. Ngjarje A- nxirret një top i bardhë. Ngjarje B- është nxjerrë një top i zi. Llogaritni probabilitetin e këtyre ngjarjeve.

Probabiliteti klasik quhet gjithashtu probabilitet paraprak sepse llogaritet para fillimit të një testi ose vëzhgimi. Nga natyra a priori e probabilitetit klasik, pengesa kryesore e tij vijon: vetëm në raste të rralla, para fillimit të vëzhgimit, mund të llogariten të gjitha ngjarjet e papajtueshme po aq të mundshme, përfshirë ngjarjet e favorshme. Mundësi të tilla zakonisht lindin në situata të ngjashme me lojërat.

Kombinimet. Nëse sekuenca e ngjarjeve nuk është e rëndësishme, numri i ngjarjeve të mundshme llogaritet si numri i kombinimeve:

Shembulli 6. Në grup janë 30 nxënës. Tre studentë duhet të shkojnë në departamentin e shkencave kompjuterike për të marrë dhe sjellë një kompjuter dhe projektor. Llogaritni probabilitetin që tre studentë të caktuar ta bëjnë këtë.

Zgjidhje. Ne llogarisim numrin e ngjarjeve të mundshme duke përdorur formulën (2):

Probabiliteti që tre studentë të veçantë të shkojnë në departament:

Shembulli 7. Shiten 10 celulare. 3 prej tyre kanë defekte. Blerësi zgjodhi 2 telefona. Llogaritni probabilitetin që të dy telefonat e zgjedhur të kenë defekte.

Zgjidhje. Numri i të gjitha ngjarjeve po aq të mundshme gjendet duke përdorur formulën (2):

Duke përdorur të njëjtën formulë, gjejmë numrin e mundësive të favorshme për një ngjarje:

Probabiliteti i dëshiruar që të dy telefonat e përzgjedhur të kenë defekte.