Hayat denetimi. Sıfır noktası NT Bir kişinin sıfır noktasındaki durumu

Eğer x 0 noktasının bazı komşuluklarında ()(0 xfxf) eşitsizliği sağlanıyorsa, x 0 noktasına f(x) fonksiyonunun maksimum noktası denir.

x 1 noktasına f(x) fonksiyonunun minimum noktası denir, eğer x 1 noktasının bazı mahallelerinde eşitsizlik ()(1 xfxf) Fonksiyonun x 0 ve x 1 noktalarındaki değerleri denir sırasıyla fonksiyonun maksimum ve minimumuna fonksiyonun ekstremumu denir.

Bir aralıkta, bir fonksiyonun birden fazla uç noktası olabilir ve bir noktadaki minimum, diğer noktadaki maksimumdan daha büyük olabilir. Bir fonksiyonun belirli bir aralıktaki maksimum veya minimumu, genel olarak fonksiyonun en büyük ve en küçük değeri değildir. Eğer xx 00 noktasında türevlenebilir f(xf(x)) fonksiyonunun bir ekstremumu varsa, o zaman bu noktanın bazı komşuluklarında Fermat teoremi geçerlidir ve fonksiyonun bu noktadaki türevi sıfıra eşittir: 0)(0 xf

Bununla birlikte, bir fonksiyonun türevlenemediği bir noktada bir ekstremumu olabilir. Örneğin, xy fonksiyonunun 0 x noktasında minimumu vardır ancak bu noktada türevlenebilir değildir.

y=f(x) fonksiyonunun x 0 noktasında bir ekstremuma sahip olabilmesi için bu noktadaki türevinin sıfıra eşit olması veya olmaması gerekir.

Gerekli ekstrem koşulun sağlandığı noktalara kritik veya durağan denir. T. cilt. Herhangi bir noktada ekstremum varsa bu nokta kritiktir. Ancak kritik noktanın mutlaka uç nokta olması gerekmez.

Gerekli ekstremum koşulunu uygulayalım: xxy 2)(2 002 xprixy 0 0 y x - kritik nokta

Gerekli ekstremum koşulunu uygulayalım: 23 3)1(xxy 003 2 xprixy 1 0 y x - kritik nokta

Eğer x 0 noktasından geçerken, türevlenebilir y=f(x) fonksiyonunun türevi artıdan eksiye işaret değiştirirse, o zaman x 0 maksimum noktadır ve eğer eksiden artıya ise o zaman x 0 minimumdur nokta.

Türevin işaretinin artıdan eksiye değişmesine izin verin, yani belirli bir 0 aralığında; xa 0)(xf ve belirli bir aralıkta bx; 0 0)(xf O halde y=f(x) fonksiyonu 0 oranında artacaktır; xa

ve bx oranında azalacak; 0 Artan fonksiyonun tanımı gereği 00 ;)()(xaxallforxfxf Azalan fonksiyon için bxxallforxfxf;)()(00 0 x maksimum noktadır. Minimum için de benzer şekilde kanıtlanmıştır.

1 Fonksiyonun türevini bulun)(xfy 2 Fonksiyonun türevinin sıfır olduğu veya olmadığı kritik noktalarını bulun.

3 Her kritik noktanın sağındaki ve solundaki türevin işaretini inceleyin. 4 Fonksiyonun ekstremumunu bulun.

Bir fonksiyonun çalışma şemasını bir uç noktaya uygulayalım: 1 Fonksiyonun türevini bulun: 233)1(3)1())1((xxxxxy)14()1()31()1(22 xxxxx)

3 Her kritik noktanın solunda ve sağında türevin işaretini inceliyoruz: x 4 1 1 y y x=1 x=1 noktasında ekstremum yoktur.

Türevlenebilir y=f(x) fonksiyonunun x 0 noktasındaki birinci türevi sıfıra eşitse ve bu noktadaki ikinci türevi pozitifse, o zaman x 0 minimum noktadır ve ikinci türevi negatifse, bu durumda x 0 maksimum noktadır.

0)(0 xf, dolayısıyla 0)(0 xf olsun ve x 00 noktasının bir komşuluğunda olsun, yani 0)()(xfxf

fonksiyonba; x 00 noktasını içeren)(xf üzerinde artacaktır. Fakat Ho 0)(0 xf 0; xa 0)(xf aralığında ve bx; 0 0)(xf aralığında)

Böylece x 00 noktasından geçerken fonksiyonun işareti eksiden artıya değişir, dolayısıyla bu nokta minimum noktadır.) (xf Fonksiyonun maksimumu durumu da benzer şekilde kanıtlanır.

Bu durumda fonksiyonu ekstremumda inceleme şeması öncekine benzer, ancak üçüncü nokta şu şekilde değiştirilmelidir: 3 İkinci türevi bulun ve her kritik noktada işaretini belirleyin.

İkinci yeterli koşuldan, eğer kritik bir noktada fonksiyonun ikinci türevi sıfıra eşit değilse bu noktanın bir ekstrem nokta olduğu sonucu çıkar. Tersi ifade doğru değildir: Eğer kritik bir noktada bir fonksiyonun ikinci türevi sıfıra eşitse, o zaman bu nokta aynı zamanda bir ekstrem nokta olabilir. Bu durumda fonksiyonu incelemek için ekstremum için ilk yeterli koşulu kullanmak gerekir.

Dünyevi evrimin bugün SIFIR noktasına yaklaştığını tenim ile hissediyorum. Sıfır noktasında bulunur.

Tüm sosyal kurumlar eleştirel bir şekilde saygısızlaştırılıyor.
Şimdi çökün, bu yıl da olabilir...

Dağlar birbirinden uzaklaşıyor
okyanuslar yükseliyor

Dünya titriyor
Gökler açılıyor -
Büyük Kozmik Yıl sona eriyor.
Sadece insan aptallığı
Hareketsiz kalır.
İnsan doğası, hareketsizliğinde değişmez gibi görünüyor.

Küçük şeyleri büyük sanıyor,
Büyük - önemsiz.
Orada...

Evrensel gücün kanalı olmak isteyen kişi, kendini kabul etmeyi ve güvenmeyi öğrenmelidir. Tüm iç çatışmalarını ve kendine zarar verme eğilimlerini bırakması gerekiyor. Kişiliğine ihtiyaç duyduğu sevgiyi ve beslenmeyi vermeye çağrılır.

Kendinize inanmak, dünyadan soyutlanmak anlamına gelmez. Başarının ve yaratıcı farkındalığın yalnızca dünyayla aktif etkileşim koşullarında mümkün olduğu makul herhangi bir kişi için açıktır. Ancak dünyaya ve kendimize farklı şekillerde yaklaşabiliriz...

Yani insanın Işık bedeni belirli faktörlerin etkisi altında değişir. Birincisi, kişi görselleştirme yoluyla Işıkbeden ile bilinçli olarak çalışabilir. Işık bedeninin saflığı kazanılır, böylece bedenleriniz Merkez Noktası etrafında bağlanır.

Merkezleme Noktası Nedir? Bu, uzaysal kafesin bir hücresindeki insan Işık bedeninin uyumlu bir düzenlemesidir. Her biriniz, çok boyutluluğunuzun bulunduğu uzay-zaman sürekliliğinde sadece birkaç Noktaya sahipsiniz.

Yol uzundu. Normalden daha uzun. Ve yer zaten bilinmesine rağmen yol zordu. Omuzlara kesilen kayışlar bedeni unutmaya izin vermiyordu, sadece irade ve mevcudiyet ve yarım çanta duyguların hakim olmasına izin vermiyordu.

Ve işte başlangıç ​​noktası.
Kamp, yakacak odun, ateş ve etraftaki mekanı anlamaya çalışmaktan zaman zaman ortaya çıkan kaygı. Gizem sınırda, daha doğrusu hayvan korkusuna dönüşüyor. Ayak altında açılan resim, çok boyutluluğuyla saygı uyandırdı...

Dikkatinizi çok akıllıca ama aynı zamanda tamamen açık bir ifadeye çekmek istiyoruz: kendinizden kaçamazsınız. Daha önce ne düşünüyordunuz ve şimdi düşünmeye devam ediyor musunuz? İşte sonuç! Tüm ihtişamıyla şimdiki yaşamınız.

Ama dedikleri gibi: Etrafta olan, etrafta dolaşır (ya da etrafta dolaşan, etrafta olur)! Şimdi, şu anda bulunduğunuz yer ile gerçekten olmak istediğiniz yer arasındaki titreşimsel göreliliğe en yakın dikkatinizi çekmek istiyoruz - çünkü burası...

Yükselişte iki adım vardır ve ilki arzuyu (hisaron) kazanmaktır!

Maddi dünyamızda zaten onu ortaya çıkarma ve ona hükmetme, kullanma, onunla temasa geçme arzusuyla doğuyoruz.

Ama manevi dünyada durum böyle değil! Bu arzuyu kendimiz kazanmamız gerekiyor.

Ve ışık da bize bu konuda yardımcı olur - onu arzumuzu ters, egoist bir biçimde oluşturmak için kullanırız, bu da ihsan etme arzusunu, manevi Kli'yi (ruhsal kap ihsan etme arzusudur) almamıza yardımcı olur.

Aynı soru her zaman tekrarlanıyor: Neden ışık en başından beri Yaradan'a benzer bitmiş bir yaratım yaratamadı?

Ama bu imkansız! İhsan etme özelliğini Yaratan'dan yaratılışa doğrudan aktarmak imkansızdır.

Bu nedenle, dünyaların (Nikidim dünyasında) ve ruhun (Bilgi Ağacı ile günahtan düşüş) bölünmesinden geçmek zorundayız.

Aksi takdirde, Adem'in kırılması, günahı (kırılması) veya Tapınağın yıkılması dışında, ihsan etme ve alma özelliklerini, Bina ve Malhut'u birleştirmek, birbirine getirmek imkansızdır.

“Dönüş noktası”, aşıldıktan sonra kişinin bilincinin artık ölemeyeceği, yok edemeyeceği geçici ve enerjik bir durumdur. Bir kişinin ruhu yeterli miktarda enerji biriktirdiğinde, yani karmik borçlarını dengeleyen belirli bir enerji yoğunluğu bilinci elde ettiğinde ortaya çıkar.

Karmik borç, insanlar, doğa ve diğer nesne ve konular arasındaki ahlaki, ahlaki ve enerjik bağlantıların yanı sıra, her zaman zaman hesabında da ifade edilir.

Kap olmadan ışık olmaz, arzu olmadan dolma olmaz. Üst Işık mutlak huzur içindedir; tüm evreni doldurur ve kuşatır. Her şey yalnızca arzumuza, algı kaplarımıza bağlıdır.

Eğer arzumuz tam olarak o dolmaya çabalıyorsa o zaman bu dolmayı hissederiz.

Ve eğer arzu, dolgunun sıklığına veya özelliğine tam olarak uymuyorsa, yani arzu ile dolgunluk arasında özellik benzerliği yoksa, o zaman dünyamızdaki birçok durumda olduğu gibi dolguyu hissetmiyoruz.

Bu dünyada her şey tersine döndü! Yazar, kısmen saflıktan, kısmen de varoluşun ağır yükü yanılsamasını ortadan kaldırmak için, arkadaşları için "Yanılsamanın Özü"nü yazmaya çalıştı. Bununla birlikte yazar, varoluşu bir gerçek olarak anlamanın zorluğuna ilişkin haklı suçlamaları ve şikayetleri hâlâ kabul etmektedir. Her ne kadar ona göre "Sıfır Noktası" formülü sadeliğiyle çarpıcı ve tamamen kaygısızlığa yol açıyor.

Bu çalışma, ifade edilemeyeni kelimelerle ifade etmeye yönelik başka bir girişimdir. Bu metni yazma fikri yazara, bu dünyanın kusurluluğu ve modern insanın yığınlar arasında kaybolması hakkındaki konuşmalarda önerildi.

kendisi inşa ediyor.

Bir kişi hakkında çok az şey biliyoruz, ancak çoğumuz bir kişinin bir şeyi başarması gerektiği fikrine kapılıyoruz. Karışıklığın başladığı yer burasıdır. Başarı, kazanç, sahip olma, kayıp ve korkularla ilgili karışıklık. İnsan sürekli etrafına bakarak öğrenmek zorundadır. Etrafımıza kıskançlıkla baktıktan sonra koşullu iyilik, koşullu mutluluk, koşullu özgürlük almak istiyoruz. Başkalarının sahip olduğunu düşündüğümüz şeylere sahip olmayı arzularız. Bizi geçip giden mutlulukla ilgili dışarıdan algılanamayan kaygı, içimizde mutsuzluğa yol açar. Aniden, arzularımızın gerçekleşmesini sağlayacak şekilde dünyayı değiştirme arzusu ortaya çıkar. Ve eğer bir şeyi elde etmeyi başarırsak, kaçınılmaz olarak ona tutunmak ve başarıdan pay almak isteriz. Kendimizle ve geleceğe yönelik planlarımızla kedi fare oynadığımız bizim için her zaman açık değildir. Ve bildiğiniz gibi, “doğru” geleceği değiştirmeye veya yaratmaya yönelik her türlü girişim, geçmiş hakkında düşünmeye, karşılaştırmaya, seçime, kaygıya ve şimdiki zamanda mücadele etmeye yol açar. Endişeler ve korkular insanlar için norm haline geldi, ancak bunun insanın doğal durumuyla pek ilgisi yok. Batıl, yaratıcısında batıl olarak görülmedikçe kaygı devam edecektir.

Çevremizdeki dünyayı değiştirmeye yönelik esasen masum girişimler zaten kaygıya yol açıyor ve çoğumuz geleceğimizi "profesyonel olarak" iyileştirmeye başlayarak hayallerde kayboluyoruz. Geleceğin sadece hayal ürünü olduğu ve kendi başının çaresine bakabileceği gerçeğini gözden kaçırıyoruz. Geleceği etkileme çabaları büyülü ritüellere benzer ve zaten bilmediğimiz bir kaderi değiştirme ve kontrol etme arzusuna dönüşür. En iyisini arama sürecinde çok az insan birdenbire Mutluluk, Acı, Kader vb. kategorilerinin bir yerden ortaya çıktığını fark eder. Ancak herhangi bir arama ve eylem sürecinde bir şey her zaman değişmeden kalır ve çoğu zaman fark edilmez. Ve bu parça tam olarak bununla ilgili.

İşlev f(x)±g(x) bir noktada sürekli X 0 , eğer işlevler f(x\g(x) bir noktada sürekli X 0 .

İşlev f(x)-g(x) bir noktada sürekli X 0 , eğer işlevler f(x\g(x) bir noktada sürekli X 0 .

İşlev - bir noktada sürekli X 0 , eğer işlevler f(x), g(x) bir noktada sürekli XQ Ve g(x 0 ) F 0.

İşlev f(g(x)) bir noktada sürekli X 0 eğer fonksiyon f(z) bir noktada sürekli z 0 = g(x 0 ) ve fonksiyon g(x) bir noktada sürekli X 0 .

Tanım. Fonksiyon çağrılır aralıkta sürekli(A; B\ bu aralığın her noktasında sürekli ise. İşlev Dx ) isminde segmentte sürekli , aralıkta sürekli ise (a; b), ve aynı zamanda bu noktada süreklidir A ve noktada sürekli bırakılır Kommersant (yani lim düzeltmek)= f(a\ lim düzeltmek)= yalan))

Tanım. Fonksiyon çağrılır kırılma noktasıX Q, eğer bu noktada, bir fonksiyonun bir noktadaki sürekliliğine ilişkin kriterin koşullarından en az biri ihlal edilirse. Bu durumda asıl nokta X 0 denir kırılma noktası işlevler.

Fonksiyon süreksizlik noktalarının sınıflandırılması

1) Nokta X 0 isminde çıkarılabilir kırılma noktası, eğer bu noktada sağ ve soldaki sınırlar mevcutsa, sonlu ve birbirine eşitse, yani.

ton /O) = ton /O). Fakat aynı zamanda fonksiyonun o noktadaki değeri X 0 veya tanımlanmamış

belirtilen tek taraflı sınırlara bölünmüş veya eşit değildir.

2) Nokta X 0 denir 1. tür süreksizlik noktası, eğer bu noktada sağ ve soldaki sınırlar mevcutsa, sonluysa ve birbirine eşit değilse, yani.

ton /(jc)* ton /00

x^>x 0 +0 x^>x 0 -0

3) Nokta X 0 denir 2. tür süreksizlik noktası, eğer bu noktada sağdaki ve soldaki limitlerden en az biri mevcut değilse veya sonsuzsa.

ÖRNEK. İşlevleri keşfedin/(x) , / 2 (jc) , / 3 (jc) süreklilik için varsa süreksizlik noktalarını belirleyin ve süreksizliğin niteliğini belirleyin. ÇÖZÜM.

1) f1(x) = . Fonksiyon noktada tanımlanmadı x = 0 yani bu nokta

ka kırılma noktasıdır. Süreksizliğin türünü belirleyelim. İlk kayda değer limiti kullanarak (bkz. formül (1)), şunu elde ederiz:

günah X. X günah X günah Hm = Hm = lim = 1 dolayısıyla, x =

0 ayar noktasıdır X^0-0 X X^0+0 X

x^0x

savunmasız ayrılık. = 3 X . 2) / 2 (jc) x = Fonksiyon noktada tanımlanmadı x = 0, bu da fonksiyonun bu noktada bozulduğu anlamına gelir. Bunun 2. türden bir süreksizlik olduğunu gösterelim. Bu noktada sağ ve soldaki limitleri bulalım. 0. Üstel fonksiyonun sınırlayıcı özelliklerini hatırlayalım d (bir > 1), okul müfredatından biliniyor: Hm 1 = A A 1 = 0.

+oo, hımm

//->+evet f-»-oo

Buradan şunu anlıyoruz: 3 X lim

X->0+0 *->0

= t-» 0, x'te 0

Buradan şunu anlıyoruz: 3 x> = F

£- » -00

Buradan şunu anlıyoruz: 3 X +oo,

HAKKINDA<0

I/7I X^O,X Sağdaki limit sonsuza eşit olduğundan x =

0, 2. türden bir süreksizlik noktasıdır. 2 İncelenmekte olan fonksiyonun şematik grafiği Şekil 1'de sunulmaktadır.

Pirinç. 1. f fonksiyonunun şematik grafiği 3 ,(X)< 0

jc +< jc< x 3 + 3, 0

İşlev x> 3 İncelenmekte olan fonksiyonun şematik grafiği Şekil 1'de sunulmaktadır. X1 3-jv: , jc > 1

(-oo;0) aralıklarında çeşitli analitik ifadelerle verilir, " =

f"-v"-u".

Temel fonksiyonların türevleri tablosu X (x"Y = n-x"-\ X (A X )" = bir X .

3) \pa, (e

A )" = e ) X

1. (log jcV =^, (ln*)" = -. X

) haa 2

\+x X 9) (arkcos*y = X

(ch

)" = ş (S hjc)" = chjc.

ben X bölüm 2 X

Yorum. X Türev tablosunda, 12 - 15 formülleri kullanılarak, üsle aşağıdaki ilişkilerle ilişkili olan hiperbolik fonksiyonlar için türevler belirlenir: X

e Yorum. X +e~ X

shjc -e~ X chjc X e Yorum. X Türev tablosunda, 12 - 15 formülleri kullanılarak, üsle aşağıdaki ilişkilerle ilişkili olan hiperbolik fonksiyonlar için türevler belirlenir: X

chjc

hiperbolik tanjant hiperbolik kotanjant cth* =(Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulmak için özellik 7'yi temel fonksiyonların türevleri tablosuyla birleştirirsek, aşağıdaki durumlarda karmaşık fonksiyonların türevlerini hesaplarken kullanılması uygun olan aşağıdaki formülleri elde ederiz:

ve = ve X): )" = p-i X): - 1 -Ve".

Temel fonksiyonların türevleri tablosu Ve (x"Y = n-x"-\ Ve \pa-i\ (e Ve )" = Yorum. Ve -Ve".

3) (kayıt ben)" =, (1rm)" = -.

A iLpa Ve

(cosu)" =-smu-u".

(günah Ve)"=çünkü ve -ve".

Ve Ve"

^/G^ 2 ~

Ve"

(arcsinw)" =

Ve"

Ve"

(arctgw)" =

\+ ve 2

(chw)" = shww".

(şw)" = chww". Ve"

kanal 2 w -Ve"

ÖRNEK. Verilen fonksiyonların türevlerini bulun: 1)y= 4 X\ 2)y= ^5,

3)_y = 7x2"8x,

4)^ = 1n(x 4 -2x 3 + 6),

5)>> = çünkü 3x.

1) / = 4-(jc 2)" = 4-2jc = 8jc,

P 1 ^-i 1 - 2 1

(X- 5)

3) U = (7 l2 - 8l)" = 7 x2 - 8x -1p7-(x 2 -8xU = 7 l2 - 8l -1p7-(2x-8),

, N 4z™ (X 4 -2x 3 +6)" 4X 3 -6X 2 +0 2X 2 (2X-3)

4) v = (\n(x - 2x + 6U) = = =

sen sen ) } X 4-2X 3+6 X 4-2X 3+6 X 4-2X 3+6"

5) y" =(çünkü 3jc)" = - günah 3x■(3 jc)" = - günah 3x■ 3 = -3 sin 3 jc.

20 ÖRNEK. Fonksiyonların türevlerini bulun

1) sen= x-mctgx, 2) sen= arkcos^,3) en = günlük^(3 + 5" X).

X

1 + x 2

Y = Ö arktg (X))" = x" ■ arktg X+ x ■ (arktg (X))" = arktg X+

sen= (Arccos^y = - . X -Ш =- . * G

Vi-(V^) 2 v ; Vi-(^ ) 2 2v*

3) sen= (günlük 3 2 (3 + 5- X))" = 31og 2 2 (3 + 5- X)-(günlük 2 (3 + 5- X))" =

= 31og 2 (3 + 5-X)- " = 31og 2 (3 + 5-X) (S hjc)" = chjc. J

(3 + 5" X)ln2

- 3 günlük 2 (3 + 5"* )

ÖRNEK. Fonksiyonların türevlerini bulun1) ^=-l/ 1- 4ben: 2 , 2) en 2 =\ь

1) Türevi hesaplayın sen , 6 ve 7 özelliklerinin yanı sıra tablo türevi 1'i kullanarak:

(- 8X)- X-VI- 4X 2 -ben

2-Vl-4 X 2

Vay

X

4X 2 -(1-4X 2)

2 X 2 -1-4X 2

X 2 -1-4X 2 2) Logaritmanın özelliklerini ve türevlerin 2. özelliğini kullanarak şunu elde ederiz:

sen 2

( ben l + VI-4 X 2 litre BEN N

2 X

(in(l +VI- 4:C 2)) -(1p 2)"-(1shs)"

-(1W1-4 X 2) -0 - =

(1 + 1-4X 2) v" *

1.(-8jc)-- 4 X

(1 + 1-4X 2) 2-1-4X 2 * (1 + 1-4X 2)-1-4X 2 *

4x2-(1 + 1G4 2)-l1G47 -4 X 2-^1Г47-(^1::47)2

zz

4J 2 + ^1G47 + 1-4J 2 1 + l1G47 -1

ÖRNEK. Eğrinin normal denklemini yazın y = 3(3Jc - 2<У*) в точ­ке с абсциссой X 0 = 1.

ÇÖZÜM. Normal denklemi oluşturmak için şunu buluruz: en 0 = y(x 0 ) Ve / (jc 0):

en 0 = 3(1 - 2) = - 3;

/"(jc) = (3-(3*-2V*)) = 3-(- -jc 3 -2 - jc 2)

32 3 [x2 J*"

/"(jc 0) = /"(1) = 1-3 = -2. x 0 =1 yerine koyalım , sen 0 = - 3, / / ​​​​(x 0) = - 2'yi normal denklem haline getirin (bkz. formül (4)):

j/-(-3) = (l-1).

Dönüşümden sonra gerekli normal denklemi elde ederiz:

x - 2y - 7 = 0. CEVAP: x - 2y - 7= 0 - normal denklem.

22 Bir üstel fonksiyonun türevi y = (F)U (X) Logaritmik farklılaşma yöntemi kullanılarak bulunur. Bu yöntem ilk olarak orijinal fonksiyonun logaritmik olarak alınmasından oluşur; daha sonra logaritmanın özelliklerini kullanarak bir çarpıma dönüştürün ve verilen fonksiyonu içeren denklemin sol ve sağ taraflarının türevini bulun; Son olarak elde edilen denklemden istenen türev ifade edilir. Logaritmik türev yöntemini kullanarak bir üstel kuvvet fonksiyonunun türevinin formülünün türetilmesini gösterelim:

sen= sen v , 1p>" = 1p(M en), \ny= v-\nu,(\ny)"=v"-\nu + v(\nu)\

£ = v"-1nu + v- -,

sen Ve

V1J sen" = sen. ( V "-\ Nsen + ),

Ve

Ve Böylece, bir üstel fonksiyonun türevini hesaplamak için bir formül elde ettik:

Vsen

(u v)" = u v-(v"-\mi +). (5)

ÖRNEK. Bir fonksiyonun türevini bulun y =(günah X)çünkü X . ÇÖZÜM. Bizim durumumuzda ve = günah X, v = cosx, buradan, ve" =çünkü x, v" = - günah X Bu nedenle formül (5)'ten şu sonuç çıkar:

((sin*)00 ")" = (smx)""* .(-smx.\nsmx + C0SX - C ° SX \ v 7 günah X

y" =(günah X)çünkü X (ctg x■çünkü X-günah x■ Günah içinde X). CEVAP: sen" = (günah X)çünkü X (ctg X■ çünkü X- günah X■ BEN günah X).

İfade.Türev sen" (X ) değişkene göre X Verilen fonksiyondan

(x = X(t),

V parametrik form Ben , formülle belirlenir [ y = Y(t)

X:

Tanım.N'inci dereceden türev F (N) İncelenmekte olan fonksiyonun şematik grafiği Şekil 1'de sunulmaktadır. fonksiyondan J/= f(x) birinci türevi denir (ve - 1)'inci türev, yani

/ (Ve) (*) = (/ (Ve_ 1) (* ))"

Tanımdan, belirli bir fonksiyonun ikinci türevinin, bu fonksiyonun birinci türevinin birinci türevi olduğu ve birinciden daha büyük mertebedeki türevlerin hesaplanmasının, yeni fonksiyonların birinci türevinin hesaplanmasına indirgendiği anlaşılmaktadır.

İkinci türevi hesaplamak için formülü alalım sen" değişime göre-

\x = X(t\ Nuh X parametrik formda belirtilen bir fonksiyondan J= y(t):

en " =(en" sen

U XX \UGH

Parametrik formda belirtilen yeni fonksiyonun birinci türevini, formül (6)'yı fonksiyona uygulayarak hesaplamak gerekir.

\x = X(t),

\>Yt

V-

Vх x\

Buradan,

sen

( en sen

X[

24 ÖRNEK. Parametrik formda verilen bir fonksiyonun birinci ve ikinci türevlerini bulun

F X= Incos?, [.у = Günah içinde?.

ÇÖZÜM. Birinci türevi bulmak için en değişkene göre birinci türevleri hesaplayalım mı? itibaren X Ve y:

X T -

çünkü T

O zaman formül (6)'ya göre elimizde

. ÇÜNKÜ? ÇÜNKÜ? 2

Y\ = -, =-ctg 2 ?.

günah mı? günah mı?

Formül (7)'yi kullanarak ikinci türevi buluyoruz: T (- (y"J ctg2 P; G k S 2 ?

M

U XX

V = =T

çünkü? Ahh

sm4?

Tanım.25 I.4. BİR DEĞİŞKENLİ BİR FONKSİYONUN DİFERANSİYELİ Diferansiyel en = işlevler (*) bir fonksiyonun türevi ile bir değişkenin diferansiyelinin çarpımıdır ve ile gösterilir= x>(ölmek x)-dx. Bağımsız bir değişkenin diferansiyeli, bu değişkenin artışıdır:= dx

Balta.

Bir diferansiyelin tanımından, birinci türevin diferansiyeller yoluyla başka bir temsili gelir: sen

1 (X)= -

S"dx. : Diferansiyelin geometrik anlamı en Bir fonksiyonun belirli bir noktadaki diferansiyeli, bu noktada çizilen tanjantın ordinatındaki artışa eşittir: D = (*) bir fonksiyonun türevi ile bir değişkenin diferansiyelinin çarpımıdır ve ile gösterilir cas (bkz. Şekil 3). Bu doğrudan bir noktadaki teğet denkleminden kaynaklanır (bkz. formül (3)). Eğer belirlersek 0 evet =Evetİle , X- X 0 ac. X= Bağımsız bir değişkenin diferansiyeli, bu değişkenin artışıdır:= bir ise teğet denklem şu şekilde yazılabilir: Evet = cas 0 ) f"(x ■ Ah = (*) bir fonksiyonun türevi ile bir değişkenin diferansiyelinin çarpımıdır ve ile gösterilir

veya Du cas

Pirinç. 3. Diferansiyelin geometrik anlamı 26 Diferansiyelin geometrik anlamından, fonksiyonun diferansiyel yoluyla yaklaşık hesaplanmasına yönelik formül takip eder. Değişkenin küçük artışlarıyla, fonksiyonun artışı, tanjant artışıyla değiştirilebilir (bkz. Şekil 3), yani. küçükX A

yaklaşık eşitlik Au~Au ka = cas 0 İle

Çünkü Asen= f(x 0 + Ah ) - f(x 0 ), o zaman alırız fonksiyonun yaklaşık hesaplanması için formül yakın bir noktada X 0 :

f(x 0 + Ah ) « Dh 0) + f(x 0 ) Ah. (8)