Sürekli bir rastgele değişkenin karakteristik fonksiyonu nasıl bulunur? Rastgele bir değişkenin karakteristik fonksiyonu

Karakteristik fonksiyon rastgele değişken X rastgele bir değişkenin dağılımının Fourier dönüşümü denir:

Özellikler

Kanıt.

Kanıt.

doğal olarak, bu özellik daha fazla sayıda terimi kapsar:

.

φ (T) düzgün süreklidir.

Kanıt.

Ortaya çıkan son ifade yalnızca şunlara bağlıdır: H. Sürekli bir rastgele değişken için şunu yazabiliriz:

.

Kanıt. Varsa k büyüklük anı X o zaman integral işareti altında farklılaşmayı kullanarak (ki bu mümkündür, çünkü P(X) var), şunu elde ederiz

Sonraki her farklılaşmayla birlikte “taşınır” Ben E[ X], yani sonra k elde ettiğimiz farklılaşmalar Ben k E[ X k] Bu sonuç şu şekilde gösterilebilir:

.

Karakteristik fonksiyon, bir rastgele değişkenin dağılımını benzersiz bir şekilde belirler.

Özel durumların kanıtı

İzin vermek X - tamsayı ayrık rastgele değişken ( k Z), sonra (ters Fourier dönüşümü)

(Katsayıları olan Fourier serileri P k), Daha sonra

Bunun için tüm şartlar k≠M 0 verir (diklik yoluyla) ve kalır

.

İzin vermek φ (T) gerçek çizgide kesinlikle integrallenebilir ve bir dağılım yoğunluğu vardır P(X) 11 .

Hadi deneyelim ifade etmek P(X) karakteristik fonksiyonu aracılığıyla. Haydi yazalım ters dönüşüm Fourier fonksiyonları φ :

.

Bu düşünceyle birlikte

Çünkü

Değişkenleri değiştirerek elde ederiz

ve bu nedenle

.

İkinci integralde (*)'da her iki integral limiti de aynı işaretlere sahipse 0 elde ederiz; farklıysa - sonlu bir sayı. Yani sıfırdan farklı bir sınır vardır. A<sen<B. Bu durumda, −∞'dan ∞'a kadar olan integral şuna eşit olarak görünecektir: π . Buradan

Var:

,

buradan, P tamamen karakteristik fonksiyon tarafından belirlenir.

.

Kanıt..

Karakteristik fonksiyon kriteri

İşlev φ X (T) - rastgele bir değişkenin karakteristiği X ancak ve ancak:

φ X (0) = 1,

φ X (T) pozitif tanımlı.

İşlev φ (T) denir pozitif tanımlı(pozitif tanımlı), eğer

ve sıfıra eşitlik ancak şu durumlarda elde edilir: z Ben = 0Ben. Eşitliğe ulaşma koşulunu sıfıra indirirsek, şunu elde ederiz: negatif olmayan kesin işlev.

Hadi kontrol edelim karakteristik fonksiyonun pozitif tanımlı olduğu:

Gerekçe. Özellik 5'e göre),

Şu tarihte: k= 1, elde ederiz,

Şu tarihte: k= 2 -.

Eğer E ise X= 0.D X=E[ X 2 ] = 1,
.

20.2 Örnekler

Çözüm. İfadeyi forma indirgeyelim

Bunu görmek zor değil
. Dönüşümden sonra yazabilirsiniz
.

Şimdi değerlere bakalım P Ben :

Çözüm:çünkü 2 T 1/2 olasılıkla 0 değerini, 1/4 olasılıkla 2 ve −2 değerlerini alan ayrık bir rastgele değişkenin karakteristik fonksiyonudur.

Karakteristik fonksiyonu hesaplayın dejenere rastgele değişken: P(X= 0) = 1.

Çözüm..

Eğer P(X=C) = 1, elde ederiz.

Çözüm. İfadeyi forma indirgeyelim

.

Şimdi değerlere bakalım P Ben :

Var: Bu, ayrık bir rastgele değişkenin karakteristik fonksiyonudur.

Çözüm. İzin vermek e=X–X′ , Daha sonra

Çözüm: Herhangi bir karakteristik fonksiyonun modülünün karesi yine bir karakteristik fonksiyondur.

İzin vermek X,e - karakteristik fonksiyonlara sahip rastgele değişkenler φ X (T) Ve φ e (T);A,B> 0 - öyle sabitler ki A+B= 1. Fonksiyonu düşünün

Bu karakteristik midir ve eğer öyleyse hangi rastgele değişken için?

Cevap: Evet öyle. Karşılık gelen dağıtım fonksiyonlarına izin verin X Ve e - F X (X) Ve F e (sen). Fonksiyonu ele alalım. Açıkçası bu bir dağıtım fonksiyonudur, çünkü

O halde olasılık yoğunluğu

Eğer φ (T) - karakteristik fonksiyon X, O φ (−T) - karakteristik fonksiyon (– X). (örnek 4'ten)).

İzin vermek φ (TX, daha sonra

F (T) =Yeniden[ φ (T)]

Çözüm. Açıkça,

İzin vermek φ (T) dağıtım fonksiyonuna karşılık gelir F X (X), sonra Re[ için φ (T)]:

İzin vermek φ (T) - miktarın karakteristik fonksiyonu X, daha sonra

F (T) =Ben[ φ (T)]

bazı rastgele değişkenlerin karakteristik fonksiyonu?

Çözüm. Hayır değil çünkü F (0) = 0.

Normal dağılımın karakteristik fonksiyonunu bulun.

1. X ~ N(0, 1):

Haydi sayalım φ (T), integral işareti altında farklılaşan:

Diferansiyel denklemi çözelim
başlangıç ​​koşuluyla φ (0) = 1:

X~N(A,σ 2): Bu değeri şununla karşılaştıralım: X 0 ~N(0, 1). Bunu görmek kolaydır X=A+σ X 0. Daha sonra, özelliğe göre 2)

Formülle sayı doğrusunun tamamında verilmiştir

X. f. Rastgele değişken X, tanımı gereği X'tir. f. olasılık dağılımı

X. f.'nin kullanımıyla ilgili yöntem ilk olarak A. M. Lyapunov tarafından kullanıldı ve daha sonra ana analitik yöntemlerden biri haline geldi. Olasılık teorisi yöntemleri. Örneğin olasılık teorisinde limit teoremlerinin kanıtlanmasında özellikle etkili bir şekilde kullanılır. 2 momentli bağımsız, aynı şekilde dağıtılmış rastgele değişkenler için merkezi limit teoremi, temel ilişkiye indirgenir

X'in temel özellikleri. f. 1) ve pozitif tanımlı, yani.

Herhangi bir sonlu karmaşık sayı ve argüman koleksiyonu için

2) tüm eksen boyunca eşit şekilde sürekli

4)özellikle, yalnızca karşılık gelen olasılık simetrikse, yani gerçek değerleri alır (ve eşit bir fonksiyondur).

5) X.f. ölçüyü açıkça tanımlar; bir itiraz var:

Uçları sıfır m-ölçüsüne sahip olan herhangi bir aralık (a, 6) için. Eğer integrallenebilirse (kesinlikle Riemann anlamında anlaşılırsa), o zaman karşılık gelen dağılım fonksiyonu şu şekildedir:

6) X.f. iki olasılık ölçüsünün evrişimi (iki bağımsız rastgele değişkenin toplamı) onların X'idir. f.

Aşağıdaki üç özellik, bir rastgele değişkenin momentlerinin varlığı ile X. fonksiyonunun düzgünlük derecesi arasındaki bağlantıyı ifade eder.

7) Eğer biraz doğal P, o zaman tüm doğallar için X'ten r mertebesinde türevler mevcuttur. f. rastgele değişken X ve eşitlik geçerlidir

8) Varsa o zaman

9) Herkes için ise

o zaman herkes için geçerli

X.f yöntemini kullanma temel olarak X. fonksiyonlarının yukarıdaki özelliklerine ve ayrıca aşağıdaki iki teoreme dayanmaktadır.
Bochner teoremi (X. fonksiyonlarının sınıfının açıklaması). f fonksiyonu verilsin ve f(0)=1 olsun. F'nin X olabilmesi için. f. Belirli bir olasılık ölçüsünün sürekli ve pozitif tanımlı olması gerekli ve yeterlidir.
Levy teoremi (yazışma). Olasılık ölçümlerinin bir dizisi olsun ve bunların X.f dizisi olsun. Daha sonra belirli bir olasılık ölçüsüne zayıf bir şekilde yakınsar (yani, keyfi bir sürekli sınırlı fonksiyon için, ancak ve ancak her noktada belirli bir sürekli f fonksiyonuna yakınsarsa; yakınsama durumunda, fonksiyon şu şekildedir: göreceli (anlamında) Bir olasılık ölçümleri ailesinin zayıf yakınsaması), karşılık gelen X fonksiyonları ailesinin sıfırındaki eşsürekliliğe eşdeğerdir.
Bochner teoremi, Fourier-Stieltjes dönüşümüne, Lévy's'deki olasılık ölçümlerinin bir yarı grubu (evrişim işlemine göre) ile sıfırda bire eşit pozitif belirli sürekli fonksiyonların bir yarı grubu (noktasal çarpmaya göre) arasında bakmamızı sağlar. teorem bunun cebirsel olduğunu belirtir. izomorfizm aynı zamanda topolojiktir. homeomorfizm, eğer olasılık ölçümlerinin yarı grubunda zayıf yakınsaklığın topolojisini ve pozitif tanımlı fonksiyonların yarı grubunda - sınırlı kümeler üzerinde düzgün yakınsaklığın topolojisini kastediyorsak.
X. f.'nin ifadeleri bilinmektedir. temel olasılıksal hastalıklar (bkz.), örneğin, X. f. Ortalama varyanslı Gauss ölçüsü
Negatif olmayan tam sayı rastgele değişkenler için X, X.f. ile birlikte analogu kullanılır -

X. f ile ilişkili. oran
X. f. sonlu boyutlu bir uzaydaki olasılık ölçümleri benzer şekilde tanımlanır:

Nerede x> araç . Yukarıda formüle edilen gerçekler X için de geçerlidir. f. olasılık ölçümleri

Aydınlatılmış.: Lukach E., Karakteristik fonksiyonlar, çev. İngilizce'den, M., 1979; Feller V., Olasılık Teorisine Giriş ve Uygulamaları, cilt 2. çev. İngilizce'den, M., 1967; Prokhorov Yu.V., Rozanov Yu., Olasılık Teorisi. Temel konseptler. Sınır teoremleri. Rastgele süreçler, 2. baskı, M., 1973; 3olotarev V. M., Tek boyutlu kararlı dağılımlar, Moskova, 1983.
NH. Vakhania.

Matematik ansiklopedisi. - M .: Sovyet Ansiklopedisi. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Diğer sözlüklerde "KARAKTERİSTİK FONKSİYON" un ne olduğuna bakın:

Karakteristik fonksiyon: Termodinamikteki karakteristik fonksiyon, bir sistemin termodinamik özelliklerinin belirlendiği bir fonksiyondur. Bir kümenin karakteristik işlevi, bir kümedeki bir öğenin üyeliğini belirleyen bir işlevdir;

Termodinamikte, termodinamiğin durumunu belirleyen bağımsız parametrelerin durumunun bir fonksiyonu. sistemler. X.f.'ye. termodinamik ve entropi potansiyellerini içerir. X aracılığıyla... Fiziksel ansiklopedi

karakteristik fonksiyon- İlgili bağımsız termodinamik parametrelerden oluşan bir termodinamik sistemin durumunun bir fonksiyonu olup, özelliği, bu fonksiyon ve bu parametrelere göre türevleri aracılığıyla tüm termodinamik ... ... Teknik Çevirmen Kılavuzu

Karakteristik fonksiyon- işbirlikçi oyunlar teorisinde, oyundaki herhangi bir koalisyonun minimum kazanç miktarını belirleyen bir oran. İki koalisyon birleştiğinde H.f. birleşik olmayanlar için bu tür fonksiyonların toplamından daha az olmayacaktır... ... Ekonomik ve matematiksel sözlük

karakteristik fonksiyon- Temel işlevlerle ilgili durumların belirlenmesi Bu işlevler, farklı işlevlere sahip farklı sistemler ve termodinamin sistemlerini koruma altına alır. atitikmenys: İngilizce. karakteristik fonksiyon rus. karakteristik fonksiyon... Chemijos terminų aiškinamasis žodynas

karakteristik fonksiyon- būdingoji funkcija statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. karakteristik fonksiyon vok. Charakteristische Funktion, f rus. karakteristik fonksiyon, f pranc. Fonksiyon özelliği, f… Fizikos terminų žodynas - Espace X kümeleri, 1 at'ye ve 0 at'ye eşit bir fonksiyondur (burada CE, Ev X'in tamamlayıcısıdır). Değerleri (0, 1) olan her fonksiyon bir X. fonksiyonudur. belirli bir kümenin, yani bir kümenin, X fonksiyonlarının özellikleri: ikili ayrık, sonra 6) eğer o zaman... Matematik Ansiklopedisi

Bu arada, az önce öğrencinin düzgün süreklilik hakkında hiçbir şey bilmemesi gerektiğini savundunuz ve şimdi ona delta fonksiyonları mı sunuyorsunuz? Neyse, hiçbir şey söylemeyeceğim.

Kişisel olarak beni ilgilendiren özellikler ne olursa olsun, sizi bu konuyu tartışma isteğiyle tekrar gördüğüme sevindim. Seninle ilgileniyorum. Öğrenci kendisine sorulabilecek her şeyi bilmelidir, ancak her şeyden önce kavramlar sistemine, bunların karakterizasyonuna ve aralarındaki ilişkilere hakim olmalı ve içinde bulunduğu disiplinin bölümünün dar çemberiyle sınırlı kalmamalıdır. şu anda çalışıyor ve aynı zamanda şu veya bu koşulu karşılamayan çok sayıda işlevi sürekli hatırlayan yürüyen bir referans kitabı olmamalıdır.
Orijinal problemde, verilen HF fonksiyonunun herhangi bir rastgele değişken olup olmadığının belirlenmesi gerekiyordu. HF kavramı tanıtıldığında öğrenci böyle bir görev alır. Ve bu tür sorunları çözmenin amacı, CP ile PR arasındaki ilişkiye dair anlayışın pekiştirilmesinin yanı sıra CP'nin özellikleri hakkındaki bilgilerin pekiştirilmesidir.
Belirli bir fonksiyonun HF olduğunu göstermenin iki yolu vardır: ya Fourier'e göre ona karşılık gelen fonksiyonu bulmalı ve normalizasyon koşulunu karşıladığını ve pozitif olduğunu kontrol etmelisiniz ya da verilenin negatif olmayan kesinliğini kanıtlamalısınız. fonksiyonu ve Bochner-Khinchin teoremine bakın. Aynı zamanda, bir SV'nin diğer Rademacher SV'lerin doğrusal kombinasyonu şeklinde temsil edilmesine ilişkin teoremlerin kullanılması, HF'nin temel özelliklerinin anlaşılmasına hiçbir şekilde katkıda bulunmaz; ayrıca, yukarıda belirttiğim gibi, çözümünüz şunları içerir; örtülü bir Fourier serisi, yani aslında birinci yönteme karşılık geliyor.
Belirli bir fonksiyonun herhangi bir SV'nin HF'si olamayacağını göstermek gerektiğinde, HF'nin özelliklerinden birinin başarısızlığını tespit etmek yeterlidir: sıfırda birim değer, modülün bir ile sınırlı olması, doğru değerlerin elde edilmesi ​​PDF anları için tekdüze süreklilik. Belirli bir fonksiyon aracılığıyla hesaplanan moment değerlerinin doğruluğunun kontrol edilmesi, bu özelliklerden herhangi birinin yerine getirilmemesinin, belirli bir fonksiyonun uygunsuzluğunun tanınması için aynı temel olarak hizmet edebilmesi anlamında, tek biçimli sürekliliğin matematiksel olarak eşdeğer bir kontrolüdür. Bununla birlikte, moment değerlerinin doğruluğunun kontrol edilmesi resmileştirilmiştir: farklılaştırın ve kontrol edin. Genel durumda tekdüze sürekliliğin kanıtlanması gerekir; bu, bir problemi çözme başarısını öğrencinin yaratıcı potansiyeline, "tahmin etme" yeteneğine bağlı kılar.
Bir SV'nin "inşası" tartışmasının bir parçası olarak, basit bir problemi düşünmeyi öneriyorum: Haydi, HF formundaki bir SV'yi inşa edelim: Nerede

Matematiksel beklenti ve özellikleri.

Rasgele değişkenlerin sayısal özellikleri.

Karakteristik fonksiyon.

Ders No.5

Bölüm 2. Rastgele değişkenler.

Konu 1. Bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu, olasılık yoğunluğu ve sayısal özellikleri.

Dersin amacı: Rastgele değişkenleri tanımlamanın yolları hakkında bilgi vermek.

Ders soruları:

Edebiyat:

L1 - Bocharov P.P., Pechinkin A.V. Olasılık teorisi. Matematik istatistikleri. - 2. baskı. - M.: FİZMATLİT, 2005. - 296 s.

L2 - Gmurman, V. E. Olasılık teorisi ve matematiksel istatistik: Ders Kitabı. üniversiteler için el kitabı/V. E. Gmurman. - 9. baskı, silindi. - M.: Daha yüksek. okul, 2005. - 479 s.: hasta.

L3 - Nakhman A.D., Kosenkova I.V. Satırlar. Olasılık Teorisi ve Matematiksel İstatistik. Metodolojik gelişmeler. – Tambov: TSTU Yayınevi, 2009.

L4 - Plotnikova S.V. Matematik istatistikleri. Metodolojik gelişmeler. – Tambov: TSTU Yayınevi, 2005. (pdf dosyası)

Birçok problemi çözerken dağıtım fonksiyonu yerine F(x) ve p.v. p(x) karakteristik fonksiyonu uygulanır. Bu özelliğin yardımıyla örneğin sl.v'nin bazı sayısal özelliklerinin belirlenmesi tavsiye edilebilir. ve z.r. işlevler

Karakteristik fonksiyon sl.v. a.e'nin Fourier dönüşümü denir. p(x):

, (2.6.1)

karakteristik fonksiyonun argümanı olan parametre nerede, - m.o. sl.v. (bkz. § 2.8.).

Ters Fourier dönüşümünü uygulayarak a.e'yi belirleyen bir formül elde ederiz. sl.v. karakteristik fonksiyonu ile

. (2.6.2)

Boyuttan beri p(x) boyutun tersi X, o zaman miktar ve dolayısıyla boyutsuzdur. Argümanın ters boyutu var X.

Gösterimin kullanılması (2.5.7) a.e. p(x) delta fonksiyonlarının toplamı biçiminde, formül (1)'i ayrık r.v'ye genişletebiliriz.

. (2.6.3)

Bazen karakteristik fonksiyon yerine logaritmasını kullanmanın daha uygun olduğu ortaya çıkar:

e. (2.6.4)

İşlev e ikinci olarak adlandırılabilir ( logaritmik)karakteristik fonksiyon sl.v. .

Karakteristik fonksiyonun en önemli özelliklerini not edelim.

. (2.6.5)

2. Simetrik dağılım için p(x)= p(-x)(1)'deki sanal kısım sıfırdır ve bu nedenle karakteristik fonksiyon gerçek bir çift fonksiyondur . Aksine, yalnızca gerçek değerleri alırsa o zaman eşit olur ve karşılık gelen dağılım simetrik olur.

3. Eğer s.v. r.v'nin doğrusal bir fonksiyonudur. , o zaman karakteristik fonksiyonu şu ifadeyle belirlenir:

, (2.6.6)

Nerede A Ve B- kalıcı.

4. Toplamın karakteristik fonksiyonu bağımsız s.v. terimlerin karakteristik fonksiyonlarının çarpımına eşittir, yani eğer

. (2.6.7)

Bu özellik özellikle kullanışlıdır, çünkü aksi takdirde a.e. sl.v miktarı bazen zorluklara neden olan evrişimin birden fazla tekrarıyla ilişkilidir.

Dolayısıyla, dağılım fonksiyonu, olasılık yoğunluğu ve karakteristik fonksiyon arasındaki kesin ilişki dikkate alındığında, karakteristik fonksiyon r.v.'yi tanımlamak için eşit şekilde kullanılabilir.

Ayrık s.v. üç değer alabilir (darbelerin hiçbiri bastırılmaz), (bir darbe bastırılır), (her iki darbe de bastırılır). Bu değerlerin olasılıkları sırasıyla eşittir: