Ayrık iki boyutlu Fourier dönüşümü c. Ayrık Fourier Dönüşümü (DFT)

Bu, dijital sinyal işleme algoritmalarında yaygın olarak kullanılan Fourier dönüşümlerinden biridir (modifikasyonları MP3'te ses sıkıştırmada, JPEG'de görüntü sıkıştırmada vb. kullanılır) ve ayrık frekansların analiziyle ilgili diğer alanlarda (örneğin, örneğin dijitalleştirilmiş analog sinyal. Ayrık Fourier dönüşümü girdi olarak gerektirir ayrık fonksiyon. Bu tür işlevler genellikle örnekleme (sürekli işlevlerden değerlerin örneklenmesi) yoluyla oluşturulur. Ayrık Fourier dönüşümleri kısmi çözümün çözümüne yardımcı olur diferansiyel denklemler ve evrişim gibi işlemleri gerçekleştirin. Ayrık Fourier dönüşümleri istatistikte, zaman serilerinin analizinde de aktif olarak kullanılmaktadır. Dönüşümler tek boyutlu, iki boyutlu ve hatta üç boyutlu olabilir.

Doğrudan dönüşüm:

Ters dönüşüm:

Tanımlar:

§ N- bir süre boyunca ölçülen sinyal değerlerinin sayısı ve ayrıca ayrışma bileşenlerinin sayısı;

§ - ölçülen sinyal değerleri (giriş verileri olan sayılarla ayrı zaman noktalarında) doğrudan dönüşüm ve hafta sonları dönüş için;

§ - N orijinal sinyali oluşturan sinüzoidal sinyallerin karmaşık genlikleri; doğrudan dönüşüm için çıkış verileri ve ters dönüşüm için giriş verileridir; Genlikler karmaşık olduğundan, onlardan hem genliği hem de fazı hesaplamak mümkündür;

§ k'inci sinüzoidal sinyalin olağan (gerçek) genliğidir;

§ arg( X k) - k'inci sinüzoidal sinyalin fazı (karmaşık bir sayının argümanı);

§ k- k'inci sinyalin frekansı, eşit, burada T- giriş verilerinin alındığı süre.

İkincisinden, dönüşümün sinyali, periyot başına N salınımından periyot başına bir salınımına kadar frekanslara sahip sinüzoidal bileşenlere (bunlara harmonikler denir) ayrıştırdığı açıktır. Örnekleme frekansının kendisi periyot başına N örneğe eşit olduğundan, yüksek frekanslı bileşenler doğru şekilde görüntülenemez; hareli etkisi oluşur. Bu, N kompleks genliklerinin ikinci yarısının aslında birincinin ayna görüntüsü olduğu ve ek bilgi taşımadığı gerçeğine yol açmaktadır.

Bazı periyodik sinyalleri ele alalım X(T) periyodu T'ye eşit. Bunu bir Fourier serisine genişletelim:

Her periyotta N örnek olacak şekilde sinyali örnekleyelim. Ayrık sinyali örnekler biçiminde temsil edelim: xn = X(tn), burada Fourier serisi üzerinden yapılan bu okumalar aşağıdaki gibi yazılacaktır:

: ilişkisini kullanarak şunu elde ederiz:

Nerede

Yani elimizde ters ayrık Fourier dönüşümü.

Şimdi ifadeyi skaler olarak çarpalım. xn açık ve şunu elde ediyoruz:

Burada şunları kullanırız: a) sonlu sayıda terimin (üslerin) toplamı için bir ifade geometrik ilerleme ve b) Euler fonksiyonlarının oranının limiti olarak Kronecker sembolünün ifadesi karmaşık sayılar. Bundan şu sonuç çıkıyor:

Bu formül açıklamaktadır doğrudan ayrık Fourier dönüşümü.

Literatürde çarpanın ters dönüşümle yazılması gelenekseldir ve bu nedenle dönüşüm formülleri genellikle aşağıdaki biçimde yazılır:

Ayrık Fourier dönüşümü doğrusal dönüşüm, zaman örneklerinin bir vektörünü aynı uzunluktaki spektral örneklerin bir vektörüne dönüştürür. Yani dönüşüm çarpma olarak uygulanabilir kare matris vektöre:

Fourier dönüşümü

Fourier dönüşümleri kullanıldığında görüntü karmaşık öğelerin toplamı olarak temsil edilir. üstel fonksiyonlar genlik, frekans ve faz değişkenleri. Fourier dönüşümü çok etkilidir önemli rol iyileştirme, analiz, restorasyon ve sıkıştırma dahil olmak üzere görüntü işlemenin birçok alanında.

1. Fourier dönüşümünün temel tanımları
2. Hızlı Fourier dönüşümü dahil ayrık Fourier dönüşümü
3. Fourier dönüşümünün uygulamaları (Fourier dönüşümünün pratik uygulamalarına bazı örnekler)

Fourier dönüşümünün temel tanımları

Eğer ƒ(m,n) iki ayrı uzaysal değişken m ve n'nin bir fonksiyonudur, o zaman iki boyutlu dönüşüm Fourier fonksiyonları ƒ(m,n) aşağıdaki ifadeyle temsil edilebilir

Değişkenler açısal frekanslardır. Yani bir fonksiyonu temsil ediyor ƒ(m,n) frekans alanında. karşılık gelen frekanslara sahip karmaşık değerli bir fonksiyondur. Frekanslar aralığı dahilindedir. Dikkat F(0,0) tüm değişkenlerin toplamı olarak temsil edilir ƒ(m,n). Bu nedenle F(0,0) genellikle Fourier dönüşümünün sabit bileşeni olarak adlandırılır.

Ters iki boyutlu Fourier dönüşümü şu ifadeyle temsil edilir:

Onlar. bu ifade temsil eder ƒ(m,n) toplam olarak sonsuz sayı farklı frekanslara sahip karmaşık üstel fonksiyonlar (sinüs dalgaları). Genlik ve faz, frekansların gösterime katkısını belirler.

Fourier dönüşümünün görselleştirilmesi

Fourier dönüşümünü gösterirken, fonksiyonun olduğunu varsayalım. ƒ(m,n) 1'e eşittir ve bir dikdörtgen olarak temsil edilir. Diyagramı basitleştirmek için fonksiyon ƒ(m,n) iki ayrı değişkenin sürekli bir fonksiyonu olarak temsil edilecektir M Ve N.

Dikdörtgen işlevi

Aşağıdaki şekil, örgü fonksiyonunu kullanarak Fourier dönüşümünden elde edilen genlik değerlerini görselleştirir. dikdörtgen fonksiyonönceki şekilde gösterilmiştir. Genlik görselleştirmesine Fourier dönüşümü görselleştirmesi de denir.

Dikdörtgen fonksiyon görüntü genliği

Fonksiyonun zirvesi merkezdedir ve değeri gösterir. F(0,0), tüm değerlerin toplamıdır ƒ(m,n). Diğer tüm bileşenler enerjinin dikey ve yatay frekanslardaki dağılımını temsil eder.

Fourier dönüşümünü görselleştirmenin bir başka yolu da değerleri resim olarak göstermektir.

Dikdörtgen bir fonksiyonun Fourier dönüşümünün logaritmik gösterimi

Çeşitli basit formlardaki fonksiyonların Fourier dönüşümlerinin örneklerine bakalım.

Çeşitli basit formlardaki fonksiyonların Fourier dönüşümlerinin örnekleri

Ayrık kosinüs dönüşümü

Ayrık kosinüs dönüşümleri, bir görüntüyü farklı genlik ve frekanslara sahip sinüzoidlerin toplamı olarak temsil eder. Görüntü uygulamasında dct2 işlevi İşleme Araç Kutusu görüntülerin iki boyutlu ayrık kosinüs dönüşümlerini uygular. Ayrık Fourier dönüşümünün özelliklerinden biri, bazılarının yerel alanlar görüntüler karakterize edilebilir küçük bir miktar ayrık Fourier dönüşüm katsayıları. Bu özellik, görüntü sıkıştırma yöntemlerinin geliştirilmesinde sıklıkla kullanılır. Örneğin, ayrık kosinüs dönüşümü, JPEG kayıplı görüntü sıkıştırma algoritmasında kullanılan uluslararası bir standardın temelidir. “JPEG” formatının adı ismin ilk harflerinden oluşur çalışma grubu Bu standardın geliştirilmesine katılan (Ortak Fotoğraf Uzmanları Grubu).

İki boyutlu ayrık kosinüs matris dönüşümü A boyutları ile aşağıdaki ifadeye göre uygulanır

Değerler Bpq matrisin ayrık kosinüs dönüşümünün katsayıları denir A.

(MATLAB'da matris indekslerinin her zaman 0'dan değil, 1'den başladığına dikkat edilmelidir. Bu nedenle MATLAB'da A(1,1) ve B(1,1) olarak temsil edilen matris elemanları, elemanlara karşılık gelecektir. 00 Ve B00 Yukarıdaki formülden.)

Ters ayrık kosinüs dönüşümü aşağıdaki ifadelere göre uygulanır:

Ters ayrık kosinüs dönüşümü ifadesi, bir matris temsili olarak yorumlanabilir A boyutları aşağıdaki fonksiyonların toplamı olan

Bu fonksiyonlara ayrık kosinüs dönüşümünün temel (temel) fonksiyonları denir. Ayrık Kosinüs Dönüşüm Katsayıları Bpq her temel fonksiyon için ağırlık olarak düşünülebilir. Örneğin eleman boyutuna sahip bir matris için 64 tane vardır. temel işlevler, resimde gösterilmektedir.

Eleman boyutlarına sahip bir matris için elde edilen 64 temel fonksiyon

Yatay frekanslar soldan sağa doğru artarken, dikey frekanslar yukarıdan aşağıya doğru artar.

Ayrık Kosinüs Dönüşüm Matrisi

Başvuru Görüntü İşleme Araç Kutusu iki seçenek sunar farklı yollar ayrık kosinüs dönüşümlerinin uygulanması. İlk yöntem dct2 işlevinde uygulanır. dct2 işlevi şunu kullanır: hızlı dönüşüm Hesaplamaları hızlandırmak için Fourier. İkinci yöntem, dctmtx işlevi tarafından döndürülen ayrık kosinüs dönüşüm matrisini kullanır. Dönüşüm matrisi T aşağıdaki ifadeye göre oluşturulur

Matris için A boyutları olan bir matristir; burada her sütun tek boyutlu ayrık kosinüs dönüşümü içerir A. İki boyutlu ayrık kosinüs dönüşümü A olarak hesaplanır B=T*A*T'. Ters iki boyutlu ayrık kosinüs dönüşümü B olarak hesaplanır T'*B*T.

Ayrık Kosinüs Dönüşümleri ve Görüntü Sıkıştırma

JPEG görüntü sıkıştırma algoritmasında, orijinal görüntü boyut veya öğe bloklarına bölünür. Daha sonra her blok için iki boyutlu ayrık kosinüs dönüşümü hesaplanır. Ayrık kosinüs dönüşümlerinin katsayıları nicelenir, kodlanır ve iletilir. JPEG alıcısı ayrık kosinüs dönüşüm katsayılarının kodunu çözer, her bloktaki ters 2D ayrık kosinüs dönüşümünü hesaplar ve ardından bunları tek bir görüntü halinde birleştirir.

Orijinal görüntünün öğelerinin boyutlarına sahip bloklar halinde iki boyutlu ayrık kosinüs dönüşümlerini hesaplamanın bir örneğini ele alalım. Ayrıca görüntüyü yeniden oluştururken her bloktan yalnızca 10 katsayıyı hesaba katacağız, geri kalanı sıfıra ayarlanacak. Açıklanan hesaplamaları gerçekleştirirken dönüşüm matrisi de kullanılacaktır.

ben = imread("cameraman.tif"); ben = im2double(I); T = dctmtx(8); B = blkproc(I,,"P1*x*P2",T,T"); maske = ; B2 = blkproc(B,,"P1.*x",mask); I2 = blkproc(B2,,"P1) *x*P2",T",T); imshow(I); şekil, göster(I2)

Şekilde iki görüntü gösterilmektedir - orijinal ve yeniden oluşturulmuş olan. Görüntü yeniden yapılandırmasında ayrık kosinüs dönüşüm katsayılarının yalnızca %15'i kullanıldı. Ancak yeniden oluşturulan görüntünün kalitesinin oldukça kabul edilebilir olduğunu belirtmek gerekir. Ayrık kosinüs dönüşümünün diğer özelliklerini görüntülemek için dctdemo işlevine bakın.

Radon dönüşümleri

Görüntü İşleme Araç Kutusundaki radon işlevi, verilen yönler boyunca görüntü projeksiyonlarının bir matrisini hesaplar. İki boyutlu bir f(x,y) fonksiyonunun izdüşümü belirtilen çizgi boyunca integrale eşittir. Radon işlevi, saat yönünün tersine yataya göre derece cinsinden açılarla belirtilen bir eksen üzerindeki görüntü projeksiyonlarının hesaplanmasıdır. Şekil belirli bir şeklin belirli bir açıdaki izdüşümünü göstermektedir

Teta dönüş açısına sahip paralel ışın projeksiyonu

Aşağıdaki şekil, basit bir iki boyutlu fonksiyonun yatay ve dikey izdüşümlerini göstermektedir.

Bazı basit fonksiyonların yatay ve dikey izdüşümleri

Projeksiyonlar birlikte hesaplanabilir keyfi açı teta. Görüntü İşleme Araç Kutusu'ndaki yerleşik radon işlevi, belirli yönler boyunca görüntü projeksiyonlarını hesaplar. İki boyutlu bir f(x,y) fonksiyonunun x' eksenine izdüşümü doğrusal bir integraldir

Böylece x' y' eksenleri saat yönünün tersine bir açıyla döndürülerek belirlenir.

Aşağıdaki resim Radon dönüşümünün geometrisini göstermektedir.

Radon Dönüşüm Geometrisi

Radon dönüşümlerinin görselleştirilmesi

Radon dönüşümlerini gerçekleştirirken orijinal görüntüyü ve teta açılarının vektörünü belirtmek gerekir.

Radon(I,teta);

R her sütunun teta vektöründe bulunan açılardan birinin Radon dönüşümü olduğu bir matristir. xp vektörü, x ekseni boyunca karşılık gelen koordinatları içerir. Merkezi piksel I, kat((boyut(I)+1)/2) ifadesine göre belirlenir.

Radon dönüşümlerinde projeksiyonların nasıl hesaplandığına bakalım. 0° ve 45° açıdaki projeksiyonları ele alalım.

ben = sıfırlar(100,100); ben(25:75, 25:75) = 1; göster(I)

Radon(I,); figür; arsa(xp,R(:,1)); title("R_(0^o) (x\asal)")

0°'de radon dönüşümleri

Figür; arsa(xp,R(:,2)); title("R_(45^o) (x\asal)")

45°'de radon dönüşümleri

Çok sayıda açıdaki Radon dönüşümü genellikle bir görüntü olarak görüntülenir. Bu örnekte, açı aralığı 0° ile 180° arasında olan ve 1° çözünürlüğü olan kare şeklindeki bir görüntü için Radon dönüşümü dikkate alınmıştır.

Teta = 0:180;

= radon(I,teta); görüntülerc(teta,xp,R); title("R_(\theta) (X\prime)"); xlabel("\teta (derece)"); ylabel("X\asal"); set(gca,"XTick",0:20:180); renk haritası(sıcak); renk çubuğu

180 projeksiyon kullanarak radon dönüşümleri

Çizgileri tespit ederken Radon dönüşümlerini kullanma

Radon dönüşümleri, Hoch dönüşümleri olarak bilinen diğer iyi bilinen işlemlere benzer. Radon fonksiyonu düz çizgileri tespit etmek için kullanılabilir. Bu sürecin ana aşamalarına bakalım. R Matristeki en büyük tepe =1° ve x'= -80'e karşılık gelir. Orijinal görüntünün merkezinden x' uzaklıkta bir açıyla bir çizgi çizilir. Bu çizgiye dik olarak düz bir çizgiye karşılık gelen bir düz çizgi çizilir. orijinal resim R. Ek olarak görüntüde matriste sunulan başka çizgiler de vardır.

karşılık gelen zirveler.

Düz Çizgi Tespiti için Radon Dönüşüm Geometrisi

ile belirtelim

. (3.21)

satırların ve sütunların boyutunun ayrı bir görüntüsünü tanımlayan iki boyutlu bir alan (iki boyutlu sinyal). Belirtilen sınırların dışında bu sinyal tanımlanmamıştır. İki boyutlu bir periyodik sinyal ekleyerek bu sonlu sinyalin periyodik devamını gerçekleştirelim.

Pirinç. 3.4. Gerçek (a) ve periyodik olarak devam eden (b) görüntüler

Herhangi bir periyodik sinyal bir Fourier serisi olarak temsil edilebilir, ancak tek boyutlu sinyallerden farklı olarak iki boyutlu sinyaller, şu şekilde olan iki boyutlu bir Fourier serisiyle tanımlanır:

(3.23)

Bu iki boyutlu gösterimin temel fonksiyonları iki boyutlu karmaşık üstellerdir (bazen karmaşık sinüzoidler olarak da adlandırılır)

sinyal gibi aynı periyoda sahip dikdörtgen bir periyodikliğe sahiptir. Burada (,) temel fonksiyonun iki boyutlu sayısıdır ve nicelikler uzaysal frekanslar anlamını taşır. Bazen tamsayı miktarlara uzaysal frekanslar denir. (3.22) serisinin Fourier katsayıları iki boyutlu bir form oluşturur frekans spektrumu

(3.24)

sinyaldir ve doğrudan Fourier dönüşümü formülüyle belirlenir: Sinyali spektrumundan geri getiren ifade (3.22), ters Fourier dönüşümüdür. İki boyutlu DFT olarak adlandırılan (3.22) ve (3.24) dönüşümlerinin geçerliliği, (3.24)'ün (3.22)'ye yerleştirilmesi ve getirilmesiyle doğrulanabilir. sağ taraf

FFT formüllerine göre iki boyutlu eleman periyoduna sahip ayrı bir sinyalin doğru bir şekilde temsil edilmesi için sonlu sayıda temel fonksiyonun (3.23) yeterli olduğuna dikkat edin - seri (3.22) sonludur. Temsil edilen sinyalin kendisi bir periyotta yer aldığından bu anlaşılabilir bir durumdur. son sayı puanlar, yani sınırlı sayıda serbestlik derecesine sahiptir. Spektrumdaki serbestlik derecesi sayısının sinyalin kendisindeki serbestlik derecesi sayısından farklı olamayacağı açıktır.

İki boyutlu ayrık Fourier spektrumunun en temel özellikleri üzerinde duralım. Frekans noktalarındaki spektral katsayıları (3.24) hesaplayalım. :

Çünkü herhangi bir tamsayı değeri ve ortaya çıkan ifadedeki son faktör için bire eşit, o zaman eşitliği elde ederiz:

,

iki boyutlu DFT'nin dikdörtgen periyodikliğini belirtir. Sonuç olarak, iki boyutlu bir DFT'nin resmi, niteliksel olarak Şekil 2'de gösterilen iki boyutlu periyodik olarak sürekli bir sinyalin resmine benzer. 3.4.b (üzerindeki uzaysal koordinatlar frekans koordinatlarıyla değiştirilirse). Bununla birlikte, (3.24)'ten takip edildiği gibi spektral katsayıların, gerçek bir sinyal de dahil olmak üzere karmaşık sayılar olduğu akılda tutulmalıdır. Ama sonra soru ortaya çıkıyor. Spektral bileşenlerin toplam sayısı şu şekilde bulunmuştur: Karmaşık bir sayı, bir çift gerçek sayıya (cebirsel gösterimde gerçek ve sanal kısımlar veya üstel gösterimde modül ve faz) eşdeğerdir. Bu nedenle, tam spektrum açıklanmıştır gerçek sayılar Bu, sinyalin kendisinin iki katı boyutundadır. İlk bakışta bu bir çelişki içeriyor. İki boyutlu DFT'nin özelliklerinin daha fazla incelenmesiyle açıklamasını bulur.

(3.25) bağıntısını aşağıdaki gibi dönüştürelim. Öncelikle frekanslar yerine frekansları koyalım. İkinci olarak, eşitliği ihlal etmeyecek şekilde her iki parçanın karmaşık bir çekimini gerçekleştireceğiz. Sonuç olarak şu ifadeyi elde etmek kolaydır:

,

Bu, spektral dikdörtgenin iki farklı noktasındaki spektral katsayılar arasında kesin bir bağlantı kurar. Ortaya çıkan ilişki çelişkiyi ortadan kaldırır çünkü bu spektral simetri nedeniyle bağımsız spektral katsayıların sayısı yarı yarıya azalır. Belirlenen özelliğe göre dikdörtgenin sol üst ve sağ alt köşelerine ait spektral katsayılar, spektral eşlenik bağımlılığı ile birbirine bağlıdır. Benzer şekilde spektral dikdörtgenin sağ üst ve sol alt bölümlerine ait Fourier katsayıları da birbiriyle ilişkilidir.

Bu paragrafın sonunda şunu belirtiyoruz: pratik uygulama iki boyutlu DFT - hem doğrudan hem de ters, dönüşümler (3.22) ve (3.24) tarafından varsayıldığı gibi periyodik sinyaller ve spektrumlarla çalışmaya gerek yoktur. (3.22) ve (3.24) bağıntılarının kendisi bu ihtiyacı ortadan kaldırır. Aslında, doğrudan Fourier dönüşümü (3.24), sağ tarafta periyodik olarak devam eden sinyalin değerlerini yalnızca bir "ana" dikdörtgen içinde içerir. Ancak bu sınırlar dahilinde orijinal ve periyodik olarak devam eden sinyaller tamamen çakışmaktadır, bu da formül (3.24)'teki orijinal sinyalin kullanılmasını mümkün kılmaktadır. konusunda da benzer açıklamalar yapılabilir. ters dönüşüm(3.22), bundan pratik olarak hesaplama sürecinde kişinin spektrumun "ana" kısmı ile ilgili olarak çalışması gerektiği sonucu çıkar. spektral bölge.

Yalnızca tamamen hesaplamaya dayalı önemi olan yapılan açıklamalardan, dikkate alınanın yapaylığı ve yararsızlığı hakkında bir sonuca varılmamalıdır. matematiksel modeller periyodik alanlar. Görüntüleri işlerken çok sayıda problem ortaya çıkar ve bunların doğru yorumlanması ve çözümü ancak bu matematiksel yorumlara dayanarak mümkündür. Bunlardan biri en önemli görevler uygulanması sözde döngüsel evrişimin uygulanmasıyla ilişkili olan spektral alanda dijital iki boyutlu filtrelemedir.

Fourier dönüşümleri

Birçok sinyali sinüzoidlere (harmoniklere) ayrıştırarak analiz etmek uygundur. Bunun birkaç nedeni var. Örneğin insan kulağı da benzer şekilde çalışır. Sesi farklı frekanslardaki bireysel titreşimlere ayrıştırır. Ek olarak sinüzoidlerin " kendi fonksiyonları» lineer sistemler (içinden geçtikleri için) doğrusal sistemler, şekli değiştirmeden, ancak yalnızca fazı ve genliği değiştirebilir). Diğer bir neden ise Kotelnikov teoreminin sinyal spektrumu cinsinden formüle edilmiş olmasıdır.

Fourier dönüşümü ) fonksiyonların sinüzoidlere ayrıştırılmasıdır (bundan sonra kosinüs fonksiyonları sinüzoidleri olarak da adlandıracağız, çünkü bunlar “gerçek” sinüzoidlerden yalnızca faz bakımından farklılık gösterir). Fourier dönüşümünün birkaç türü vardır.

1. Periyodik olmayan sürekli sinyal Fourier integraline genişletilebilir.

2. Periyodik sürekli bir sinyal sonsuz bir Fourier serisine genişletilebilir.

3. Periyodik olmayan ayrı bir sinyal, Fourier integraline genişletilebilir.

4. Periyodik bir ayrık sinyal, sonlu bir Fourier serisine genişletilebilir.

Bir bilgisayar yalnızca sınırlı miktarda veriyle çalışabilir, bu nedenle gerçekte yalnızca son Fourier dönüşüm türünü hesaplayabilir. Şimdi ona daha yakından bakalım.

Gerçek sinyal DFT

Ayrık bir sinyal x'in N noktalı bir periyodu olsun. Bu durumda, ayrı sinüzoidlerin sonlu bir serisi (yani doğrusal bir kombinasyon) olarak temsil edilebilir:

Eşdeğer gösterim (her kosinüsü sinüs ve kosinüse ayrıştırıyoruz, ancak artık faz yok):

Pirinç. 6. 8 noktalı ayrık sinyal için Fourier serisi temel işlevleri. Solda kosinüsler, sağda sinüsler var. Frekanslar yukarıdan aşağıya doğru artar.

Temel sinüzoidlerin birden fazla frekansı vardır. Serinin ilk terimi (k =0), adı verilen bir sabittir. sabit bileşen(DC ofset) sinyali. İlk sinüzoid (k = 1), periyodu orijinal sinyalin periyoduyla çakışacak şekilde bir frekansa sahiptir. En yüksek frekans bileşeni (k =N /2), periyodu iki sayıma eşit olacak şekilde bir frekansa sahiptir. KatsayılarA k ve

Bk'ye sinyal spektrumu (spektrum) denir. Si-nin genliklerini gösterirler.

sinyali oluşturan nusoidler. Fourier açılımından iki bitişik sinüzoid arasındaki frekans adımına denir. frekans çözünürlüğü spektrum

Şek. Şekil 6, 8 noktadan ayrı bir sinyali ayrıştırmak için kullanılan sinüzoidleri göstermektedir. Sinüzoidlerin her biri 8 noktadan oluşur, yani sıradan bir ayrık sinyaldir. Açıklık sağlamak amacıyla sürekli sinüzoidler şekilde gösterilmiştir.

Her noktadaki Fourier serisinin toplamını hesaplayarak orijinal sinyali dönüştürün. Bir sinyali sinüzoidlere ayırmaya (yani katsayıları elde etmeye) denir. doğrudan Fourier dönüşümü. Bunun tersi olan süreç ise sinüzoidleri kullanarak sinyal sentezi olarak adlandırılır. ters Fourier dönüşümü(ters Fourier dönüşümü).

Ters Fourier dönüşümünün algoritması açıktır (Fourier serisinin formülünde bulunur; sentezi gerçekleştirmek için katsayıları yerine koymanız yeterlidir). Doğrudan Fourier dönüşümü algoritmasını ele alalım, yani. A k ve B k katsayılarını bulma.

N periyoduna sahip periyodik ayrık sinyaller uzayında togonal temel. Bu, herhangi bir uzay öğesini (sinyali) ona ayrıştırmak için hesaplamanız gerektiği anlamına gelir. nokta ürünleri bu eleman sistemin tüm fonksiyonlarıyla birlikte ve ortaya çıkan katsayılar normalize edilir. O zaman A k ve B k katsayılı temel genişleme formülü orijinal sinyal için geçerli olacaktır.

Böylece, A k ve B k katsayıları skaler çarpımlar olarak hesaplanır (olmayanlarda)

süreksiz durumda - fonksiyonların çarpımının integralleri, ayrık durumda

– ayrık sinyallerin çarpımından elde edilen toplamlar):

Modern iletişim teknolojisi olmadan hayal edilemez spektral analiz. Sinyallerin frekans alanında temsili, hem karakteristiklerinin analizi hem de radyo iletişim sistemlerinin alıcı-vericilerinin bloklarının ve düzeneklerinin analizi için gereklidir. Sinyalleri frekans alanına dönüştürmek için doğrudan Fourier dönüşümü kullanılır. Doğrudan Fourier dönüşümünün genelleştirilmiş formülü şu şekilde yazılır:

Frekans analizi için bu formülden de anlaşılacağı üzere hesaplama yapılmaktadır. korelasyon bağımlılığı zaman alanında temsil edilen bir sinyal ile belirli bir frekanstaki karmaşık bir üstel arasında. Bu durumda Euler formülüne göre karmaşık üstel, gerçek ve sanal kısımlara ayrıştırılır:

Frekans alanında temsil edilen bir sinyal, ters Fourier dönüşümü kullanılarak tekrar zaman alanına dönüştürülebilir. Ters Fourier dönüşümünün genelleştirilmiş formülü şu şekilde yazılır:

Doğrudan Fourier dönüşümü formülü, eksi sonsuzdan sonsuza kadar zaman entegrasyonunu kullanır. Doğal olarak bu matematiksel bir soyutlamadır. İÇİNDE gerçek koşullarşuradan entegre edebiliriz: şu anda 0 olarak gösterebileceğimiz zaman, T zamanından öncedir. Direkt Fourier dönüşümünün formülü aşağıdaki forma dönüştürülecektir:

Sonuç olarak Fourier dönüşümünün özellikleri önemli ölçüde değişir. Bunun yerine sinyal spektrumu sürekli fonksiyon ayrı bir değerler dizisi haline gelir. Şimdi minimum frekans ve aynı zamanda sinyal spektrumunun frekans değerlerinin adımı şöyle olur:

Sadece işlevler günah ve çünkü frekanslarla k/t karşılıklı dik olacak ve bu Fourier dönüşümü için vazgeçilmez bir koşuldur. Fourier serisi açılımının ilk fonksiyonlarının seti Şekil 1'de gösterilmektedir. Bu durumda fonksiyonların süresi analizin süresine denk gelir. T.

Şimdi sinyal spektrumu Şekil 2'de gösterildiği gibi görünecektir.

İÇİNDE bu durumda doğrudan Fourier dönüşümünü (4) hesaplama formülü aşağıdaki forma dönüştürülür:

Spektrumun sınırlı bir süre boyunca belirlenmesi durumunda ters Fourier dönüşümünün formülü şöyle görünecektir:

Benzer şekilde dijital sinyal örnekleri için doğrudan Fourier dönüşümünün formülünü belirleyebilirsiniz. Sürekli bir sinyal yerine dijital örneklerinin kullanıldığı göz önüne alındığında, ifade (6)'da integralin yerini bir toplam alır. Bu durumda analiz edilen sinyalin süresi dijital örneklerin sayısına göre belirlenir. N. Dijital sinyal örnekleri için Fourier dönüşümüne ayrık Fourier dönüşümü denir. ve şu şekilde yazılır:

Şimdi ayrık Fourier dönüşümünün (DFT) özelliklerinin sınırlı bir zaman aralığı boyunca doğrudan Fourier dönüşümüne kıyasla nasıl değiştiğine bakalım. Örneklemeye baktığımızda analog sinyal, giriş sinyalinin spektrumunun frekans açısından sınırlı olması gerektiğini bulduk. Bu gereklilik, sinyal spektrumunun ayrık bileşenlerinin sayısını sınırlar. Başlangıçta sinyalin spektrumunu frekansla sınırlayabiliyormuşuz gibi görünebilir. F d/2, frekans bileşenlerinin sayısına karşılık gelir K=N/2. Ancak bu doğru değil. Pozitif frekanslar ve negatif frekanslar için gerçek sinyal örneklerinin sinyal spektrumu 0 civarında simetrik olmasına rağmen, bazı spektrum algoritmaları için negatif frekanslar gerekebilir. Giriş sinyalinin karmaşık örnekleri üzerinde ayrık bir Fourier dönüşümü gerçekleştirilirken fark daha da büyüktür. Sonuç olarak tam açıklama spektrum dijital sinyal gerekli N frekans örnekleri ( k = 0, ..., N/2).