Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

• Siteye bir başvuru gönderdiğinizde adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

• Topladığımız kişisel bilgiler, benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve gelecek etkinlikler konusunda sizinle iletişim kurmamıza olanak tanır.
• Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
• Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
• Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

• Gerekirse - yasaya, adli prosedüre uygun olarak, yasal işlemlerde ve/veya kamunun talepleri veya Rusya Federasyonu topraklarındaki hükümet yetkililerinin talepleri temelinde - kişisel bilgilerinizi ifşa etmek. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
• Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

Bazı matematik problemlerini çözerken kareköklerle işlem yapmanız gerekir. Bu nedenle kareköklerle işlem kurallarını bilmek ve bunları içeren ifadelerin nasıl dönüştürüleceğini öğrenmek önemlidir. Amaç, kareköklerle işlem kurallarını ve kareköklerle ifadeleri dönüştürmenin yollarını incelemektir.

Bazı rasyonel sayıların sonsuz periyodik ondalık kesirler olarak ifade edildiğini biliyoruz, örneğin 1/1998=0,000500500500... Ancak hiçbir şey bizi ondalık açılımı herhangi bir dönemi göstermeyen bir sayı hayal etmekten alıkoyamaz. Bu tür sayılara irrasyonel denir.

İrrasyonel sayıların tarihi, Pisagorcuların 6. yüzyıldaki şaşırtıcı keşiflerine kadar uzanır. M.Ö. e. Her şey görünüşte basit bir soruyla başladı: Kenarı 1 olan bir karenin köşegeninin uzunluğunu hangi sayı ifade eder?

Köşegen, kareyi her biri hipotenüs görevi gören 2 özdeş dik açılı üçgene böler. Dolayısıyla Pisagor teoreminden de anlaşılacağı gibi, bir karenin köşegeninin uzunluğu şuna eşittir:

Ve Pisagor ve öğrencilerinin bilgisayarı olmamasına rağmen, bu gerçeği kanıtlayanlar da onlardı. Pisagorcular, bir karenin köşegeni ile kenarının ortak bir ölçüsünün (yani, hem köşegende hem de kenarda tam sayı olarak çizilen bir parça) olmadığını kanıtladılar. Bu nedenle uzunluklarının oranı sayıdır

Pisagorcuların keşfinden sonra

Bir sayının nasıl kanıtlanacağı

Geriye varsayımımızın yanlış olduğu ve m/n rasyonel sayısının şuna eşit olduğu sonucuna varmak kalıyor.

1. Bir sayının karekökü

Zamanı bilmek T , aşağıdaki formülü kullanarak serbest düşüşteki yolu bulabilirsiniz:

Görev . 122,5 m yükseklikten bırakılan bir taşın düşmesi kaç saniye sürer?

Cevabı bulmak için denklemi çözmeniz gerekir

Ayrıca diğer problemleri çözerken, örneğin bir karenin bir kenarının uzunluğunu alanına göre bulurken, pozitif bir sayıyı karesine göre aramanız gerekir. Aşağıdaki tanımı tanıtalım.

Tanım . Karesi negatif olmayan bir a sayısına eşit olan negatif olmayan bir sayıya a'nın karekökü denir. Bu sayı şu anlama gelir:

Böylece

Örnek . Çünkü

Herhangi bir sayının karesi ya pozitif ya da sıfıra eşit olduğundan, negatif sayılardan karekök alamazsınız. Örneğin, ifade

sıfırlar: = 10…0

2n sıfır n sıfır

2n sıfır n sıfır

Örneğin,

2. Kareköklerin hesaplanması

. Bu işleme devam ederek sonsuz ondalık kesrin rakamlarını birbiri ardına elde ediyoruz.

ve tuşuna basın - değerin 8 hanesi ekranda görüntülenecektir. Bazı durumlarda kareköklerin aşağıda belirteceğimiz özelliklerini kullanmak gerekir.

Mikro hesap makinesinin sağladığı doğruluk yetersizse, aşağıdaki teoremle verilen kök değerini hassaslaştırma yöntemini kullanabilirsiniz. Teorem.

a pozitif bir sayıysa ve fazlalık için yaklaşık bir değerse, o zaman

Kök formülleri. Kareköklerin özellikleri.
Dikkat!
Ek var
Özel Bölüm 555'teki materyaller.
Çok "pek değil..." olanlar için

Ve “çok…” diyenler için) Önceki derste karekökün ne olduğunu çözdük. Hangilerinin var olduğunu bulmanın zamanı geldi kökler için formüller ne var köklerin özellikleri

ve tüm bunlarla ne yapılabilir?- bu aslında aynı şeydir. Karekökler için şaşırtıcı derecede az sayıda formül vardır. Bu beni kesinlikle mutlu ediyor! Daha doğrusu pek çok farklı formül yazabilirsiniz, ancak köklerle pratik ve kendinden emin çalışma için yalnızca üçü yeterlidir. Diğer her şey bu üçünden akıyor. Pek çok insanın üç kök formül konusunda kafası karışsa da, evet...

En basitinden başlayalım. İşte:

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)

Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

Karekök nedir?

Kök formülleri. Kareköklerin özellikleri.
Dikkat!
Ek var
Özel Bölüm 555'teki materyaller.
Çok "pek değil..." olanlar için

Bu kavram çok basittir. Doğal diyebilirim. Matematikçiler her eyleme bir tepki bulmaya çalışırlar. Toplama var, çıkarma da var. Çarpma var, bölünme de var. Kare alma var... Yani aynı zamanda var karekökünü alıyoruz!İşte bu. Bu eylem ( karekök) matematikte şu simgeyle gösterilir:

Simgenin kendisine güzel bir kelime denir " radikal".

Kök nasıl çıkarılır? Bakmak daha iyi örnekler.

9'un karekökü nedir? Hangi sayının karesi bize 9'u verir? 3'ün karesi bize 9'u verir! Onlar:

Peki sıfırın karekökü nedir? Soru yok! Sıfır hangi sayının karesini yapar? Evet sıfır veriyor! Araç:

Anladım, karekök nedir? Sonra düşünürüz örnekler:

Cevaplar (karışıklık içinde): 6; 1; 4; 9; 5.

Karar verilmiş? Gerçekten, bu ne kadar kolay?

Ama... İnsan, kökleri olan bir görev gördüğünde ne yapar?

İnsan üzülmeye başlar... Köklerinin sadeliğine, hafifliğine inanmaz. Her ne kadar biliyor gibi görünse de karekök nedir...

Bunun nedeni kişinin kökleri incelerken birkaç önemli noktayı göz ardı etmesidir. Sonra bu hevesler test ve sınavlardan acımasızca intikam alıyor...

Birinci nokta. Kökleri görerek tanımalısınız!

49'un karekökü nedir? Yedi? Sağ! Yedi olduğunu nasıl bildin? Yedinin karesi ve 49 mu aldın? Sağ! Lütfen şunu unutmayın kökü çıkar 49'dan ters işlemi yapmak zorunda kaldık - 7. kare! Ve kaçırmadığımızdan emin olun. Ya da gözden kaçırmış olabilirler...

Bu zorluk kök çıkarma. Kareİstediğiniz numarayı sorunsuzca kullanabilirsiniz. Bir sayıyı kendisiyle bir sütunla çarpın - hepsi bu. Ama için kök çıkarma Bu kadar basit ve hatasız bir teknoloji yoktur. Zorundayız toplamak cevaplayın ve karesini alarak doğru olup olmadığını kontrol edin.

Bu karmaşık yaratıcı süreç (bir yanıtın seçilmesi) büyük ölçüde basitleştirilir. Unutma popüler sayıların kareleri. Çarpım tablosu gibi. Diyelim ki 4'ü 6 ile çarpmanız gerekiyorsa, 4'ü 6 kez toplamazsınız, değil mi? Cevap 24 hemen çıkıyor. Her ne kadar bunu herkes anlayamıyorsa da, evet...

Köklerle özgürce ve başarılı bir şekilde çalışmak için 1'den 20'ye kadar sayıların karelerini bilmek yeterlidir. Orası Ve geri. Onlar. Hem 11'in karesini, hem de 121'in karekökünü kolaylıkla okuyabilmelisiniz. Bu ezberlemeyi başarmanın iki yolu vardır. İlki kareler tablosunu öğrenmek. Bu, örnekleri çözmede çok yardımcı olacaktır. İkincisi ise daha fazla örnek çözmek. Bu, kareler tablosunu hatırlamanıza büyük ölçüde yardımcı olacaktır.

Ve hesap makinesi yok! Yalnızca test amaçlıdır. Aksi takdirde sınav sırasında acımasızca yavaşlarsınız...

Bu yüzden, karekök nedir ve nasıl kökleri çıkarmak- Bence açık. Şimdi bunları NEYDEN çıkarabileceğimizi bulalım.

İkinci nokta. Kök, seni tanımıyorum!

Hangi sayılardan karekök alınabilir? Evet, neredeyse hepsi. Neyden geldiğini anlamak daha kolay yasak onları çıkarın.

Bu kökü hesaplamaya çalışalım:

Bunu yapmak için karesi bize -4 verecek bir sayı seçmeliyiz. Biz seçiyoruz.

Ne, uymuyor mu? 2 2 +4 verir. (-2) 2 yine +4 verir! İşte bu... Karesi alındığında bize negatif sayı verecek hiçbir sayı yoktur! Gerçi bu numaraları biliyorum. Ama sana söylemeyeceğim). Üniversiteye git ve kendin öğreneceksin.

Aynı hikaye herhangi bir negatif sayı için de yaşanacaktır. Dolayısıyla sonuç:

Karekök işaretinin altında negatif bir sayı bulunan bir ifade - mantıklı değil! Bu yasak bir operasyondur. Sıfıra bölmek kadar yasaktır. Bu gerçeği kesinlikle unutmayın! Veya başka bir deyişle:

Negatif sayılardan karekök çıkaramazsınız!

Ama diğerleri arasında bu mümkün. Örneğin, hesaplamak oldukça mümkün

İlk bakışta bu çok zordur. Kesirleri seçip karelerini almak... Merak etmeyin. Köklerin özelliklerini anladığımızda bu tür örnekler aynı kareler tablosuna indirgenecektir. Hayat daha kolay olacak!

Tamam, kesirler. Ancak yine de şu tür ifadelerle karşılaşıyoruz:

Önemli değil. Her şey aynı. İkinin karekökü, karesi alındığında bize iki değerini veren sayıdır. Sadece bu sayı tamamen eşitsizdir... İşte:

İlginç olan bu kesrin hiç bitmemesi... Bu tür sayılara irrasyonel denir. Kareköklerde bu en yaygın şeydir. Bu arada köklü ifadelere bu nedenle denir mantıksız. Her zaman böyle sonsuz bir kesir yazmanın sakıncalı olduğu açıktır. Bu nedenle sonsuz kesir yerine şu şekilde bırakıyorlar:

Bir örneği çözerken çıkarılamayacak bir şeyle karşılaşırsanız, örneğin:

sonra bu şekilde bırakıyoruz. Cevap bu olacak.

Simgelerin ne anlama geldiğini açıkça anlamalısınız

Tabii sayının kökü alınırsa düz, bunu yapmalısın. Görevin cevabı formdadır, örneğin

Oldukça eksiksiz bir cevap.

Ve elbette, hafızadaki yaklaşık değerleri bilmeniz gerekir:

Bu bilgi, karmaşık görevlerde durumu değerlendirmeye büyük ölçüde yardımcı olur.

Üçüncü nokta. En kurnaz.

Köklerle çalışmadaki asıl karışıklık bu noktadan kaynaklanmaktadır. Kendi yeteneklerine güven veren odur... Gelin bu noktayı doğru ele alalım!

Öncelikle yine dördünün karekökünü alalım. Seni bu kökle zaten rahatsız ettim mi?) Boşver, şimdi ilginç olacak!

4'ün karesi hangi sayıdır? Peki, iki, iki - tatminsiz cevaplar duyuyorum...

Sağ. İki. Ama aynı zamanda eksi iki 4'ün karesini verecek... Bu arada cevap

doğru ve cevap

büyük hata. Bunun gibi.

Peki sorun nedir?

Aslında (-2) 2 = 4. Ve karekök dört tanımına göre eksi iki oldukça uygun... Bu aynı zamanda dördün karekökü.

Ancak! Okul matematik dersinde karekökleri dikkate almak gelenekseldir. yalnızca negatif olmayan sayılar! Yani sıfır ve hepsi pozitif. Özel bir terim bile icat edildi: arasından işarete radikal işaret denir (Latince "radix" - kökten) ve sayı- Bu negatif olmayan karesi olan sayı işarete radikal işaret denir (Latince "radix" - kökten) ve sayı. Aritmetik bir karekök çıkarırken negatif sonuçlar basitçe atılır. Okulda her şey kareköktür - aritmetik. Her ne kadar bundan özellikle bahsedilmese de.

Tamam, bu anlaşılabilir. Olumsuz sonuçlarla uğraşmamak daha da iyidir... Bu henüz kafa karışıklığı değil.

İkinci dereceden denklemleri çözerken kafa karışıklığı başlar. Örneğin aşağıdaki denklemi çözmeniz gerekiyor.

Denklem basit, cevabı yazıyoruz (öğretildiği gibi):

Bu cevap (bu arada kesinlikle doğru) sadece kısaltılmış bir versiyondur. iki cevaplar:

Dur, dur! Hemen yukarıda karekökün bir sayı olduğunu yazdım Her zaman olumsuz değil! Ve işte cevaplardan biri: negatif! Düzensizlik. Bu, köklere güvensizliğe neden olan ilk (ancak son değil) sorundur... Gelin bu sorunu çözelim. Cevapları (sadece anlamak için!) şu şekilde yazalım:

Parantezler cevabın özünü değiştirmez. Sadece parantezle ayırdım işaretler itibaren kök. Artık kökün kendisinin (parantez içinde) hala negatif olmayan bir sayı olduğunu açıkça görebilirsiniz! Ve işaretler denklem çözmenin sonucu. Sonuçta, herhangi bir denklemi çözerken şunu yazmalıyız: Tüm Orijinal denklemde yerine konulduğunda doğru sonucu verecek olan X'ler. Beşin kökü (pozitif!) hem artı hem de eksi ile denklemimize uyuyor.

Bunun gibi. eğer sen sadece karekökünü al her şeyden, sen Her zaman alırsın negatif olmayan bir sonuç. Örneğin:

Çünkü bu... aritmetik karekök.

Ancak ikinci dereceden bir denklem çözüyorsanız, örneğin:

O Her zamançıkıyor iki cevap (artı ve eksi ile):

Çünkü denklemin çözümü bu.

Umut, karekök nedir Görüşlerinizi net bir şekilde anladınız. Şimdi köklerle neler yapılabileceğini, özelliklerinin neler olduğunu bulmaya devam ediyor. Ve püf noktaları ve tuzaklar nelerdir... pardon, taşlar!)

Bütün bunlar aşağıdaki derslerde.

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)

Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

Tebrikler: Bugün 8. sınıfın en akıllara durgunluk veren konularından biri olan köklere bakacağız :)

Pek çok insanın kökler konusunda kafası karışır, çünkü bunlar karmaşıktır (bunun nesi bu kadar karmaşıktır - birkaç tanım ve birkaç özellik daha), fakat çoğu okul ders kitabında kökler öyle bir orman yoluyla tanımlanır ki, yalnızca ders kitaplarının yazarları kendilerinin bu yazıyı anlayabilir. Ve o zaman bile sadece bir şişe iyi viskiyle :)

Bu nedenle, şimdi kökün en doğru ve en yetkin tanımını vereceğim - gerçekten hatırlamanız gereken tek tanım. Sonra açıklayacağım: tüm bunlara neden ihtiyaç duyuluyor ve pratikte nasıl uygulanıyor.

Ancak öncelikle, birçok ders kitabı derleyicisinin bazı nedenlerden dolayı “unuttuğu” önemli bir noktayı hatırlayın:

Kökler çift dereceli (en sevdiğimiz $\sqrt(a)$, ayrıca her türlü $\sqrt(a)$ ve hatta $\sqrt(a)$) ve tek dereceli (her türlü $\sqrt) olabilir (a)$, $\ sqrt(a)$, vb.). Ve tek dereceli bir kökün tanımı çift olandan biraz farklıdır.

Muhtemelen köklerle ilgili tüm hataların ve yanlış anlamaların% 95'i bu kahrolası "biraz farklı" da gizlidir. O halde terminolojiyi kesin olarak açıklığa kavuşturalım:

Tanım. Hatta kök sıfırlar, bir ve tarafından yazılan sayıya eşittir$a$ sayısından herhangi biri negatif olmayan$b$ sayısı öyledir ki $((b)^(n))=a$. Ve aynı $a$ sayısının tek kökü genellikle aynı eşitliğin geçerli olduğu herhangi bir $b$ sayısıdır: $((b)^(n))=a$.

Her durumda kök şu şekilde gösterilir:

\(A)\]

Böyle bir gösterimdeki $n$ sayısına kök üssü denir ve $a$ sayısına da köklü ifade denir. Özellikle, $n=2$ için "favori" karekökümüzü alıyoruz (bu arada, bu çift dereceli bir kök) ve $n=3$ için kübik kökü (tek dereceli) alıyoruz; problemlerde ve denklemlerde de sıklıkla bulunur.

Örnekler. Klasik karekök örnekleri:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(hizala)\]

Bu arada, $\sqrt(0)=0$ ve $\sqrt(1)=1$. $((0)^(2))=0$ ve $((1)^(2))=1$ olduğundan bu oldukça mantıklıdır.

Küp kökleri de yaygındır - onlardan korkmanıza gerek yok:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(hizala)\]

Birkaç “egzotik örnek”:

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(hizala)\]

Çift derece ile tek derece arasındaki farkın ne olduğunu anlamıyorsanız tanımı tekrar okuyun. Bu çok önemli!

Bu arada köklerin hoş olmayan bir özelliğini ele alacağız, bu nedenle çift ve tek üslü sayılar için ayrı bir tanım yapmamız gerekti.

Neden köklere ihtiyaç var?

Tanımı okuduktan sonra birçok öğrenci şu soruyu soracaktır: "Matematikçiler bunu bulduklarında ne içiyordu?" Ve gerçekten: neden tüm bu köklere ihtiyaç var?

Bu soruyu cevaplamak için bir anlığına ilkokula dönelim. Unutmayın: Ağaçların daha yeşil, köftelerin daha lezzetli olduğu o uzak zamanlarda asıl derdimiz sayıları doğru çarpmaktı. Yani “beşe beş – yirmi beş” gibi bir şey, hepsi bu. Ancak sayıları çiftler halinde değil, üçüzler, dörtlüler ve genel olarak tam kümeler halinde çarpabilirsiniz:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

Ancak konu bu değil. İşin püf noktası farklı: Matematikçiler tembel insanlardır, bu yüzden on beşin çarpımını şu şekilde yazmakta zorlanırlar:

Bu yüzden dereceler buldular. Neden faktör sayısını uzun bir dize yerine üst simge olarak yazmıyorsunuz? Bunun gibi bir şey:

Çok uygun! Tüm hesaplamalar önemli ölçüde azaltıldı ve 5.183 kadarını yazmak için bir sürü parşömen ve defter yaprağı harcamanıza gerek yok. Bu kayıt, bir sayının kuvvetleri olarak adlandırıldı; içinde bir dizi özellik bulundu, ancak mutluluğun kısa ömürlü olduğu ortaya çıktı.

Sadece derecelerin "keşfi" için düzenlenen görkemli bir içki partisinden sonra, özellikle inatçı bir matematikçi aniden şunu sordu: "Ya bir sayının derecesini biliyorsak ama sayının kendisi bilinmiyorsa?" Şimdi, gerçekten de, eğer $b$ sayısının diyelim ki 5'inci kuvvetinin 243 olduğunu biliyorsak, o zaman $b$ sayısının kendisinin neye eşit olduğunu nasıl tahmin edebiliriz?

Bu sorunun ilk bakışta göründüğünden çok daha küresel olduğu ortaya çıktı. Çünkü çoğu "hazır" güç için böyle bir "başlangıç" rakamının olmadığı ortaya çıktı. Kendiniz karar verin:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Rightarrow b=4\cdot 4\cdot 4\Rightarrow b=4. \\ \end(hizala)\]

Ya $((b)^(3))=50$ ise? Kendiyle üç kez çarpıldığında bize 50 verecek belli bir sayı bulmamız gerektiği ortaya çıktı. Peki bu sayı nedir? 3 3 = 27 olduğundan açıkça 3'ten büyüktür.< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Yani bu sayı üç ile dört arasında bir yerde ama neye eşit olduğunu anlayamazsınız.

Matematikçilerin $n$'ıncı kökleri bulmalarının nedeni tam olarak budur. $\sqrt(*)$ radikal simgesinin tanıtılmasının nedeni tam olarak budur. Belirtilen dereceye kadar bize önceden bilinen bir değeri verecek olan $b$ sayısını belirtmek için

\[\sqrt[n](a)=b\Rightarrow ((b)^(n))=a\]

Tartışmıyorum: çoğu zaman bu kökler kolayca hesaplanır - yukarıda bu tür birkaç örnek gördük. Ancak yine de çoğu durumda, eğer rastgele bir sayı düşünürseniz ve ondan rastgele bir derecenin kökünü çıkarmaya çalışırsanız, korkunç bir serseri ile karşı karşıya kalırsınız.

Orada ne var! En basit ve en tanıdık $\sqrt(2)$ bile her zamanki biçimimizde (tamsayı veya kesir olarak) temsil edilemez. Ve bu sayıyı hesap makinesine girerseniz şunu göreceksiniz:

\[\sqrt(2)=1.414213562...\]

Gördüğünüz gibi virgülden sonra hiçbir mantığa uymayan sonsuz bir sayı dizisi var. Elbette diğer sayılarla hızlı bir şekilde karşılaştırmak için bu sayıyı yuvarlayabilirsiniz. Örneğin:

\[\sqrt(2)=1,4142...\yaklaşık 1,4 \lt 1,5\]

Veya işte başka bir örnek:

\[\sqrt(3)=1,73205...\yaklaşık 1,7 \gt 1,5\]

Ancak tüm bu yuvarlamalar öncelikle oldukça kaba; ve ikincisi, yaklaşık değerlerle de çalışabilmeniz gerekir, aksi takdirde bir dizi bariz olmayan hata yakalayabilirsiniz (bu arada, Birleşik Devlet Sınavı profilinde karşılaştırma ve yuvarlama becerisinin test edilmesi gerekir).

Bu nedenle, ciddi matematikte kökler olmadan yapamazsınız - bunlar, bize uzun zamandır aşina olduğumuz kesirler ve tamsayılar gibi, $\mathbb(R)$ tüm gerçek sayılar kümesinin aynı eşit temsilcileridir.

Bir kökün $\frac(p)(q)$ formunun kesirli kısmı olarak temsil edilememesi, bu kökün rasyonel bir sayı olmadığı anlamına gelir. Bu tür sayılara irrasyonel denir ve bir radikalin veya bunun için özel olarak tasarlanmış diğer yapıların (logaritmalar, kuvvetler, sınırlar vb.) yardımı olmadan doğru bir şekilde temsil edilemezler. Ama bunun hakkında daha fazlasını başka bir zaman anlatacağım.

Tüm hesaplamalardan sonra irrasyonel sayıların hala cevapta kalacağı birkaç örneği ele alalım.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\approx 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\yaklaşık -1,2599... \\ \end(align)\]

Doğal olarak kökün görünümünden virgülden sonra hangi sayıların geleceğini tahmin etmek neredeyse imkansızdır. Ancak bir hesap makinesine güvenebilirsiniz, ancak en gelişmiş tarih hesaplayıcı bile bize irrasyonel bir sayının yalnızca ilk birkaç rakamını verir. Bu nedenle cevapları $\sqrt(5)$ ve $\sqrt(-2)$ şeklinde yazmak çok daha doğrudur.

İşte tam da bu yüzden icat edildiler. Cevapları rahatça kaydetmek için.

Neden iki tanıma ihtiyaç var?

Dikkatli okuyucu muhtemelen örneklerde verilen tüm kareköklerin pozitif sayılardan alındığını fark etmiştir. En azından sıfırdan. Ancak küp kökler, ister pozitif ister negatif olsun, kesinlikle herhangi bir sayıdan sakin bir şekilde çıkarılabilir.

Bu neden oluyor? $y=((x)^(2))$ fonksiyonunun grafiğine bir göz atın:

Bu grafiği kullanarak $\sqrt(4)$ değerini hesaplamaya çalışalım. Bunu yapmak için, grafik üzerinde parabol ile iki noktada kesişen yatay bir $y=4$ çizgisi çizilir (kırmızıyla işaretlenmiştir): $((x)_(1))=2$ ve $((x) )_(2)) =-2$. Bu oldukça mantıklı çünkü

İlk sayıyla ilgili her şey açık - pozitif, yani kök:

Peki o zaman ikinci noktayla ne yapmalı? Sanki dördünün aynı anda iki kökü var mı? Sonuçta, eğer −2 sayısının karesini alırsak, aynı zamanda 4 elde ederiz. O halde neden $\sqrt(4)=-2$ yazmıyorsunuz? Peki öğretmenler neden bu tür paylaşımlara sizi yemek istiyormuş gibi bakıyorlar :)

Sorun şu ki, eğer herhangi bir ek koşul dayatmazsanız, o zaman dörtlünün pozitif ve negatif olmak üzere iki karekökü olacaktır. Ve herhangi bir pozitif sayıda da bunlardan iki tane olacaktır. Ancak negatif sayıların hiçbir kökü olmayacaktır; bu aynı grafikten de görülebilir, çünkü parabol hiçbir zaman eksenin altına düşmez. sen, yani negatif değerleri kabul etmez.

Çift üslü tüm kökler için benzer bir sorun ortaya çıkar:

1. Açıkça konuşursak, her pozitif sayının $n$ üssü çift olan iki kökü olacaktır;
2. Negatif sayılardan $n$ çift olan kök hiçbir şekilde çıkarılmaz.

Bu nedenle $n$ çift dereceli bir kökün tanımında cevabın negatif olmayan bir sayı olması gerektiği özellikle şart koşulmuştur. Belirsizlikten bu şekilde kurtuluruz.

Ancak tek $n$ için böyle bir sorun yoktur. Bunu görmek için $y=((x)^(3))$ fonksiyonunun grafiğine bakalım:

Bu grafikten iki sonuç çıkarılabilir:

1. Kübik bir parabolün dalları, normal olanın aksine, hem yukarı hem de aşağı olmak üzere her iki yönde de sonsuza gider. Dolayısıyla hangi yükseklikte yatay bir çizgi çizersek çizelim, bu çizgi mutlaka grafiğimizle kesişecektir. Sonuç olarak, küp kökü her zaman kesinlikle herhangi bir sayıdan çıkarılabilir;
2. Ek olarak, böyle bir kesişim her zaman benzersiz olacaktır, bu nedenle hangi sayının "doğru" kök olarak kabul edildiğini ve hangisini göz ardı edeceğinizi düşünmenize gerek yoktur. Bu nedenle tek derece için kökleri belirlemek çift derece için olduğundan daha basittir (negatif olmama şartı yoktur).

Bu basit şeylerin çoğu ders kitabında açıklanmaması üzücü. Bunun yerine beynimiz her türlü aritmetik kök ve özellikleriyle uçmaya başlar.

Evet, tartışmıyorum: aritmetik kökün ne olduğunu da bilmeniz gerekiyor. Ve bundan ayrı bir derste detaylı olarak bahsedeceğim. Bugün bunun hakkında da konuşacağız, çünkü o olmasaydı $n$'ıncı çokluğun kökleri hakkındaki düşünceler eksik olurdu.

Ama önce yukarıda verdiğim tanımı net bir şekilde anlamalısınız. Aksi takdirde terimlerin çokluğundan dolayı kafanızda öyle bir karmaşa başlayacak ki sonunda hiçbir şey anlayamayacaksınız.

Tek yapmanız gereken çift ve tek göstergeler arasındaki farkı anlamaktır. Bu nedenle kökler hakkında gerçekten bilmeniz gereken her şeyi bir kez daha toplayalım:

1. Çift dereceli bir kök yalnızca negatif olmayan bir sayıdan oluşur ve kendisi de her zaman negatif olmayan bir sayıdır. Negatif sayılar için böyle bir kök tanımsızdır.
2. Ancak tek derecenin kökü herhangi bir sayıdan oluşur ve kendisi herhangi bir sayı olabilir: pozitif sayılar için pozitiftir ve negatif sayılar için, başlığın ima ettiği gibi, negatiftir.

Zor mu? Hayır, zor değil. Apaçık? Evet, tamamen açık! Şimdi hesaplamalarla biraz pratik yapacağız.

Temel özellikler ve sınırlamalar

Köklerin birçok garip özelliği ve sınırlaması vardır; bu ayrı bir derste tartışılacaktır. Bu nedenle, şimdi yalnızca çift indeksli kökler için geçerli olan en önemli "numara" yı ele alacağız. Bu özelliği formül olarak yazalım:

\[\sqrt(((x)^(2n))))=\left| x\sağ|\]

Yani bir sayıyı çift kuvvete yükseltip sonra aynı kuvvetin kökünü çıkarırsak orijinal sayıyı değil modülünü elde ederiz. Bu, kolayca kanıtlanabilen basit bir teoremdir (negatif olmayan $x$'yi ayrı ayrı, ardından negatif olanları ayrı ayrı düşünmek yeterlidir). Öğretmenler sürekli bunun hakkında konuşuyor, her okul ders kitabında veriliyor. Ancak sıra irrasyonel denklemleri (yani kök işareti içeren denklemleri) çözmeye gelince, öğrenciler oybirliğiyle bu formülü unutuyorlar.

Konuyu detaylı anlamak için bir dakikalığına tüm formülleri unutalım ve doğrudan iki sayıyı hesaplamaya çalışalım:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

Bunlar çok basit örnekler. Çoğu kişi ilk örneği çözecektir ancak birçok kişi ikincide takılıp kalacaktır. Bu tür saçmalıkları sorunsuz bir şekilde çözmek için her zaman aşağıdaki prosedürü göz önünde bulundurun:

1. İlk olarak sayının dördüncü kuvvetine yükseltilir. Aslında bu biraz kolay. Çarpım tablosunda bile bulunabilecek yeni bir sayı elde edeceksiniz;
2. Ve şimdi bu yeni sayıdan dördüncü kökü çıkarmak gerekiyor. Onlar. Köklerde ve güçlerde "azalma" meydana gelmez - bunlar sıralı eylemlerdir.

İlk ifadeye bakalım: $\sqrt(((3)^(4)))$. Açıkçası, öncelikle kökün altındaki ifadeyi hesaplamanız gerekir:

\[(((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Daha sonra 81 sayısının dördüncü kökünü çıkarıyoruz:

Şimdi aynı işlemi ikinci ifade için de yapalım. İlk olarak, −3 sayısını dördüncü kuvvetine yükseltiriz, bu da sayının 4 kez kendisiyle çarpılmasını gerektirir:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ left(-3 \right)=81\]

Pozitif bir sayı elde ettik, çünkü çarpımdaki toplam eksi sayısı 4 ve hepsi birbirini götürecek (sonuçta eksiye eksi artı verir). Sonra kökü tekrar çıkarıyoruz:

Prensipte bu satır yazılamazdı çünkü cevabın aynı olması hiç de akıllıca değil. Onlar. aynı çift gücün eşit kökü eksileri “yakar” ve bu anlamda sonuç normal bir modülden ayırt edilemez:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4))))=\left| 3 \sağ|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \sağ|=3. \\ \end(hizala)\]

Bu hesaplamalar, çift dereceli bir kökün tanımıyla iyi bir uyum içindedir: sonuç her zaman negatif değildir ve kök işareti de her zaman negatif olmayan bir sayı içerir. Aksi takdirde kök tanımsızdır.

Prosedürle ilgili not

1. $\sqrt(((a)^(2))))$ gösterimi, önce $a$ sayısının karesini aldığımız ve ardından elde edilen değerin karekökünü aldığımız anlamına gelir. Bu nedenle, her durumda $((a)^(2))\ge 0$ olduğundan, kök işaretinin altında her zaman negatif olmayan bir sayı olduğundan emin olabiliriz;
2. Ancak $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$ gösterimi, tam tersine, önce belirli bir $a$ sayısının kökünü aldığımız ve ancak ondan sonra sonucun karesini aldığımız anlamına gelir. Bu nedenle, $a$ sayısı hiçbir durumda negatif olamaz; bu, tanımda yer alan zorunlu bir gerekliliktir.

Bu nedenle, hiçbir durumda kökler ve dereceler düşüncesizce azaltılmamalı, böylece orijinal ifadenin "basitleştirildiği" iddia edilmemelidir. Çünkü eğer kök negatif bir sayıya sahipse ve üssü çift ise bir sürü problemle karşı karşıya kalırız.

Ancak tüm bu sorunlar yalnızca eşit göstergeler için geçerlidir.

Kök işaretinin altındaki eksi işaretini kaldırma

Doğal olarak, tek üslü köklerin de kendi özellikleri vardır ve bu, prensipte çift üslerde mevcut değildir. Yani:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Kısacası tek dereceli köklerin işaretinin altındaki eksiyi kaldırabilirsiniz. Bu, tüm dezavantajları "ortadan kaldırmanıza" olanak tanıyan çok kullanışlı bir özelliktir:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(hizala)\]

Bu basit özellik birçok hesaplamayı büyük ölçüde basitleştirir. Artık endişelenmenize gerek yok: Ya olumsuz bir ifade kökün altında gizlenmişse, ancak kökteki derecenin eşit olduğu ortaya çıkarsa? Köklerin dışındaki tüm eksileri "atmak" yeterlidir, daha sonra birbirleriyle çarpılabilir, bölünebilir ve genel olarak pek çok şüpheli şey yapılabilir, bu da "klasik" kökler durumunda bizi garanti altına alır. bir hata.

Ve burada başka bir tanım sahneye çıkıyor; çoğu okulun irrasyonel ifadeler üzerine çalışmaya başladığı tanımla aynı. Ve bu olmadan akıl yürütmemiz eksik olurdu. Tanışmak!

Aritmetik kök

Bir an için kök işaretinin altında yalnızca pozitif sayıların veya aşırı durumlarda sıfırın olabileceğini varsayalım. Çift/tek göstergeleri unutalım, yukarıda verilen tüm tanımları unutalım; yalnızca negatif olmayan sayılarla çalışacağız. Peki ne olacak?

Ve sonra bir aritmetik kök elde edeceğiz - bu, "standart" tanımlarımızla kısmen örtüşüyor, ancak yine de onlardan farklı.

Tanım. Negatif olmayan bir sayı olan $a$'ın $n$'ıncı derecesinin aritmetik kökü, $((b)^(n))=a$ olacak şekilde negatif olmayan bir $b$ sayısıdır.

Gördüğümüz gibi artık pariteyle ilgilenmiyoruz. Bunun yerine yeni bir kısıtlama ortaya çıktı: Radikal ifade artık her zaman negatif değildir ve kökün kendisi de negatif değildir.

Aritmetik kökün normalden ne kadar farklı olduğunu daha iyi anlamak için, zaten aşina olduğumuz kare ve kübik parabol grafiklerine bir göz atın:

Gördüğünüz gibi, bundan sonra yalnızca ilk koordinat çeyreğinde yer alan grafik parçalarıyla ilgileniyoruz - burada $x$ ve $y$ koordinatları pozitif (veya en azından sıfır). Kökün altına negatif bir sayı koyma hakkımız olup olmadığını anlamak için artık göstergeye bakmanıza gerek yok. Çünkü negatif sayılar artık prensipte dikkate alınmıyor.

Şunu sorabilirsiniz: “Peki, neden bu kadar kısırlaştırılmış bir tanıma ihtiyacımız var?” Veya: "Yukarıda verilen standart tanımı neden yapamıyoruz?"

Yeni tanımın uygun olmasını sağlayacak tek bir özellik vereceğim. Örneğin, üs alma kuralı:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k))))\]

Lütfen unutmayın: Radikal ifadeyi herhangi bir kuvvete yükseltebilir ve aynı zamanda kök üssü aynı kuvvetle çarpabiliriz - sonuç aynı sayı olacaktır! İşte örnekler:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^) (4))))=\sqrt(16)\\ \end(align)\]

Peki önemli olan ne? Bunu neden daha önce yapamadık? İşte nedeni. Basit bir ifadeyi ele alalım: $\sqrt(-2)$ - bu sayı klasik anlayışımıza göre oldukça normaldir, ancak aritmetik kök açısından kesinlikle kabul edilemez. Bunu dönüştürmeye çalışalım:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

Gördüğünüz gibi, ilk durumda radikalin altındaki eksiyi kaldırdık (üs tek olduğu için her hakkımız var) ve ikinci durumda yukarıdaki formülü kullandık. Onlar. Matematiksel açıdan bakıldığında her şey kurallara göre yapılır.

Ne oldu? Aynı sayı nasıl hem pozitif hem de negatif olabilir? Mümkün değil. Pozitif sayılar ve sıfır için harika çalışan üs alma formülü, negatif sayılar söz konusu olduğunda tam bir sapkınlık üretmeye başlıyor.

Aritmetik kökler bu tür belirsizliklerden kurtulmak için icat edildi. Tüm özelliklerini ayrıntılı olarak ele aldığımız ayrı bir büyük ders onlara ayrılmıştır. Bu yüzden şimdi bunların üzerinde durmayacağız - ders zaten çok uzun oldu.

Cebirsel kök: daha fazlasını öğrenmek isteyenler için

Uzun süre bu konuyu ayrı bir paragrafa koysam mı, koymasam mı diye düşündüm. En sonunda onu burada bırakmaya karar verdim. Bu materyal, kökleri daha da iyi anlamak isteyenler için tasarlanmıştır - artık ortalama "okul" seviyesinde değil, Olimpiyat seviyesine yakın bir seviyede.

Yani: bir sayının $n$th kökünün "klasik" tanımına ve bununla ilişkili çift ve tek üslere bölünmeye ek olarak, pariteye ve diğer inceliklere hiç bağlı olmayan daha "yetişkinlere uygun" bir tanım vardır. Buna cebirsel kök denir.

Tanım. Herhangi bir $a$'ın cebirsel $n$'inci kökü, $((b)^(n))=a$ olacak şekilde tüm $b$ sayıları kümesidir. Bu tür kökler için yerleşik bir tanım yoktur, bu nedenle en üste bir çizgi koyacağız:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]

Dersin başında verilen standart tanımdan temel farkı, cebirsel kökün belirli bir sayı değil, bir küme olmasıdır. Gerçek sayılarla çalıştığımız için bu küme yalnızca üç türde gelir:

1. Boş küme. Negatif bir sayıdan çift dereceli cebirsel bir kök bulmanız gerektiğinde ortaya çıkar;
2. Tek bir elemandan oluşan küme. Tek kuvvetlerin tüm kökleri ve sıfırın çift kuvvetlerinin kökleri bu kategoriye girer;
3. Son olarak, küme iki sayı içerebilir - yukarıda gördüğümüz $((x)_(1))$ ve $((x)_(2))=-((x)_(1))$ ile aynı grafik ikinci dereceden fonksiyon. Buna göre böyle bir düzenleme ancak pozitif bir sayıdan çift dereceli kökün çıkarılmasıyla mümkündür.

Son durum daha ayrıntılı bir değerlendirmeyi hak ediyor. Farkı anlamak için birkaç örnek sayalım.

Örnek. İfadeleri değerlendirin:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Çözüm. İlk ifadeyle her şey basit:

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]

Kümenin parçası olan iki sayıdır. Çünkü her birinin karesi dört verir.

\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]

Burada tek sayıdan oluşan bir küme görüyoruz. Kök üssü tek olduğundan bu oldukça mantıklıdır.

Son olarak son ifade:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

Boş bir set aldık. Çünkü dördüncü (yani çift!) üssüne yükseltildiğinde bize -16 negatif sayısını verecek tek bir gerçek sayı yoktur.

Son not. Lütfen unutmayın: Gerçek sayılarla çalıştığımızı her yerde belirtmem tesadüf değildi. Çünkü karmaşık sayılar da var - orada $\sqrt(-16)$ ve diğer birçok tuhaf şeyi hesaplamak oldukça mümkün.

Ancak karmaşık sayılara modern okul matematik derslerinde neredeyse hiç yer verilmez. Yetkililerimiz konunun "anlaşılmasının çok zor" olduğunu düşündüğü için çoğu ders kitabından çıkarıldılar.