Bu paragrafta özel bir konuya odaklanacağız, ancak önemli sınıf pozitif ikinci dereceden formlar.

Tanım 3. Değişkenlerin herhangi bir gerçek değeri için, gerçek ikinci dereceden bir forma negatif olmayan (pozitif olmayan) denir.

. (35)

Bu durumda katsayıların simetrik matrisine pozitif yarı tanımlı (negatif yarı tanımlı) denir.

Tanım 4. Değişkenlerin aynı anda sıfır olmayan herhangi bir gerçek değeri için, gerçek ikinci dereceden bir forma pozitif tanımlı (negatif tanımlı) denir,

. (36)

Bu durumda matrise pozitif tanımlı (negatif tanımlı) da denir.

Pozitif belirli (negatif belirli) formlar sınıfı, negatif olmayan (yani pozitif olmayan) formlar sınıfının bir parçasıdır.

Negatif olmayan bir form verilsin. Bunu bağımsız karelerin toplamı olarak düşünelim:

. (37)

Bu gösterimde tüm kareler pozitif olmalıdır:

. (38)

Aslında, eğer varsa, o zaman değerleri öyle seçmek mümkün olurdu ki

Ancak değişkenlerin bu değerleri ile form negatif bir değere sahip olacaktır ki bu da koşul gereği imkansızdır. Açıkçası, tam tersine, (37) ve (38)'den formun pozitif olduğu sonucu çıkar.

Böylece, negatif olmayan ikinci dereceden form eşitliklerle karakterize edilir.

Artık olumlu olsun kesin şekil. O zaman negatif olmayan bir formdur. Bu nedenle hepsinin pozitif olduğu (37) formunda temsil edilebilir. Formun pozitif kesinliğinden şu sonuç çıkar. Gerçekten de, aynı anda sıfıra eşit olmayan ve hepsinin sıfıra döneceği değerleri seçmek mümkündür. Ama o zaman, (37) sayesinde, (36) koşuluyla çelişen için.

Tersine, eğer (37)'de ve hepsi pozitifse, o zaman bunun pozitif tanımlı bir form olduğunu görmek kolaydır.

Başka bir deyişle, negatif olmayan bir form, ancak ve ancak tekil değilse pozitif tanımlıdır.

Aşağıdaki teorem, form katsayılarının karşılaması gereken eşitsizlikler formundaki bir formun pozitif kesinliği için bir kriter verir. Bu durumda, matrisin ardışık asli küçükleri için önceki paragraflarda daha önce karşılaşılan gösterim kullanılır:

.

Teorem 3. İkinci dereceden bir formun pozitif tanımlı olabilmesi için eşitsizliklerin sağlanması gerekli ve yeterlidir.

Kanıt. Koşulların (39) yeterliliği doğrudan Jacobi formülünden (28) kaynaklanmaktadır. Koşulların (39) gerekliliği şu şekilde tespit edilmiştir. Formun pozitif kesinliğinden "kesilmiş" formların pozitif kesinliği gelir

.

Ancak o zaman tüm bu formların tekil olmaması gerekir, yani.

Artık Jacobi formülünü (28) (at ) kullanma fırsatımız var. Bu formülün sağ tarafında tüm kareler pozitif olmak zorunda olduğundan, o zaman

Bu eşitsizlikleri ima eder (39). Teorem kanıtlandı.

Bir matrisin herhangi bir asal minörü, değişkenlerin uygun şekilde yeniden numaralandırılmasıyla sol üst köşeye yerleştirilebildiğinden, o zaman şunu elde ederiz:

Sonuçlar. Pozitif tanımlı ikinci dereceden formda, katsayı matrisinin tüm büyük küçükleri pozitiftir:

Yorum. Ardışık asil reşit olmayanların olumsuzluğundan

formun olumsuz olmayışı takip etmez. Gerçekten de formül

,

burada , koşulları karşılıyor ancak negatif değil.

Ancak aşağıdakiler geçerlidir

Teorem 4. İkinci dereceden bir formun negatif olmaması için, katsayı matrisinin tüm büyük küçüklerinin negatif olmaması gerekli ve yeterlidir:

Kanıt. Hadi tanıştıralım yardımcı form pozitif değildi, eşitsizliklerin oluşması gerekli ve yeterliydi

Çeşitli değişkenlerde derecesi 2 olan homojen bir polinom ikinci dereceden form olarak adlandırılır.

Değişkenlerin ikinci dereceden formu iki tür terimden oluşur: değişkenlerin kareleri ve bunların bazı katsayılarla ikili çarpımları. İkinci dereceden form genellikle aşağıdaki kare diyagram olarak yazılır:

Çiftler benzer üyeler Her biri değişkenlerin karşılık gelen çarpımı ile katsayının yarısını oluşturacak şekilde aynı katsayılarla yazılır. Bu nedenle, her ikinci dereceden form doğal olarak simetrik olan katsayı matrisiyle ilişkilidir.

İkinci dereceden formu aşağıdaki şekilde temsil etmek uygundur: matris gösterimi. X ile X'e kadar değişkenlerin bir sütununu - bir satırı, yani X ile değiştirilmiş bir matrisi - gösterelim.

İkinci dereceden şekiller Matematiğin birçok dalında ve uygulamalarında bulunur.

Sayı teorisi ve kristalografide ikinci dereceden formlar, değişkenlerin yalnızca tam sayı değerleri aldığı varsayımı altında ele alınır. İÇİNDE analitik geometri ikinci dereceden form, sıra eğrisinin (veya yüzeyin) denkleminin bir parçasıdır. Mekanik ve fizikte ikinci dereceden form şunu ifade ediyor gibi görünüyor: kinetik enerji genelleştirilmiş hızların bileşenleri vb. aracılığıyla sistemler. Ancak ek olarak, birçok değişkenin fonksiyonlarını incelerken analizde, çözümünün nasıl olduğunu bulmanın önemli olduğu sorularda ikinci dereceden formların incelenmesi de gereklidir. bu fonksiyon Belirli bir noktanın yakınında, ona yaklaşan noktadan sapar doğrusal fonksiyon. Bu tür bir problemin örneği, bir fonksiyonun maksimum ve minimum değerlerinin incelenmesidir.

Örneğin, sürekli kısmi türevleri olan iki değişkenli bir fonksiyonun maksimum ve minimumunu inceleme problemini düşünün. Gerekli bir koşul Bir noktanın bir fonksiyonun maksimum veya minimumunu verebilmesi için o noktadaki mertebeden kısmi türevlerinin sıfıra eşit olması gerekir. x ve y değişkenlerine küçük artışlar ve k verelim ve fonksiyonun buna karşılık gelen artışını düşünelim. Taylor formülüne göre, bu artış, daha küçük mertebelere kadar, ikinci türevlerin değerlerinin olduğu ikinci dereceden forma eşittir. noktada hesaplanır. Bu ikinci dereceden form ve k'nin (hariç) tüm değerleri için pozitifse, o zaman fonksiyonun noktada bir minimumu vardır; negatifse o zaman bir maksimumu vardır. Son olarak, eğer form hem pozitif hem de negatif değerler o zaman ne maksimum ne de minimum olacaktır. İşlevleri Daha değişkenler.

İkinci dereceden formların incelenmesi esas olarak değişkenlerin bir veya başka doğrusal dönüşüm kümesine göre formların denkliği probleminin incelenmesinden oluşur. Belirli bir kümenin dönüşümlerinden biri yoluyla biri diğerine dönüştürülebiliyorsa, iki ikinci dereceden formun eşdeğer olduğu söylenir. Eşdeğerlik sorunuyla yakından ilgili olan, biçimin azaltılması sorunudur; onu muhtemelen en basit biçime dönüştürmek.

İÇİNDE çeşitli sorunlarİkinci dereceden formlarla ilişkili olarak, değişkenlerin kabul edilebilir çeşitli dönüşümleri de dikkate alınır.

Analiz sorularında değişkenlerin özel olmayan dönüşümleri kullanılır; Analitik geometri amaçları açısından en büyük ilgi ortogonal dönüşümler, yani bir değişkenler sisteminden geçişe karşılık gelenler Kartezyen koordinatları başka bir. Son olarak sayı teorisinde ve kristalografide tamsayı katsayılı ve determinantı birliğe eşit olan doğrusal dönüşümler dikkate alınır.

Bu problemlerden ikisini ele alacağız: ikinci dereceden bir formu tekil olmayan herhangi bir dönüşümle en basit formuna indirme sorunu ve aynı soru dik dönüşümler için. Her şeyden önce, değişkenlerin doğrusal dönüşümü sırasında ikinci dereceden formdaki bir matrisin nasıl dönüştürüldüğünü bulalım.

A'nın form katsayılarının simetrik bir matrisi, X'in değişkenlerin bir sütunu olduğunu varsayalım.

Hadi yapalım doğrusal dönüşüm değişkenler olarak kısaltılarak yazılır. Burada C bu dönüşümün katsayılarının matrisini, X ise yeni değişkenlerin bir sütununu temsil ediyor. O zaman ve dolayısıyla, dönüştürülmüş ikinci dereceden formun matrisi şu şekildedir:

Matrisin otomatik olarak simetrik olduğu ortaya çıkar ve bunun kontrol edilmesi kolaydır. Dolayısıyla, ikinci dereceden bir formu en basit forma indirgeme problemi, simetrik bir matrisi karşılıklı olarak yer değiştiren matrislerle sol ve sağdan çarparak en basit forma indirgeme problemine eşdeğerdir.

İşlev girme kuralları:

İki kez sürekli türevlenebilen bir f(x) fonksiyonu ancak ve ancak şu şartla dışbükeydir (içbükeydir) Hessian matrisi x'e göre f(x) fonksiyonu tüm x için pozitif (negatif) yarı-belirlidir (birkaç değişkenli bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarına bakınız).

İşlev açısından kritik noktalar:

• Hessian pozitif tanımlı ise x 0 bir noktadır yerel minimum f(x) fonksiyonları,
• Hessian negatif tanımlıysa, o zaman x 0 f(x) fonksiyonunun yerel maksimum noktasıdır,
• Hessian işaret-kesin değilse (hem pozitif hem de negatif değerler alır) ve dejenere değilse (det G(f) ≠ 0), bu durumda x 0, f(x) fonksiyonunun eyer noktasıdır.

Bir matrisin kesinliği için kriterler (Sylvester teoremi)

• matrisin tüm köşegen elemanları pozitif olmalıdır;
• tüm önde gelen ana niteleyiciler pozitif olmalıdır.

Pozitif yarı kesinlik:

• tüm diyagonal öğeler negatif değildir;
• tüm ana belirleyiciler negatif değildir.

Elemanları kısmi türev olan n dereceli kare simetrik matris amaç fonksiyonu ikinci emir Hessian matrisi denir ve belirlenmiştir:

Simetrik bir matrisin pozitif tanımlı olabilmesi için tüm köşegen minörlerinin pozitif olması gerekli ve yeterlidir;


A = (a ij) matrisi için pozitiftir.

Negatif kesinlik.
Simetrik bir matrisin negatif tanımlı olabilmesi için aşağıdaki eşitsizliklerin gerçekleşmesi gerekli ve yeterlidir:
(-1) k Dk > 0, k=1,.., n.
Başka bir deyişle, ikinci dereceden formun olabilmesi için negatif tanımlı, ikinci dereceden formdaki bir matrisin açısal küçüklerinin işaretlerinin eksi işaretinden başlayarak değişmesi gerekli ve yeterlidir. Örneğin iki değişken için D 1< 0, D 2 > 0.

Eğer Hessian yarı-kesin ise bu da bir dönüm noktası olabilir. Gerekli ek araştırma aşağıdaki seçeneklerden birine göre gerçekleştirilebilir:

1. Azalan sipariş. Değişken değişikliği yapılır. Örneğin, iki değişkenli bir fonksiyon için bu y=x'tir, sonuç olarak tek değişkenli bir x fonksiyonu elde ederiz. Daha sonra fonksiyonun y=x ve y=-x doğrularındaki davranışını inceliyoruz. İlk durumda, incelenen noktadaki fonksiyonun bir minimumu varsa ve diğer durumda bir maksimumu varsa (veya tam tersi), o zaman incelenen nokta bir eyer noktasıdır.
2. Hessian'ın özdeğerlerini bulma. Tüm değerler pozitifse, incelenen noktadaki fonksiyonun minimumu vardır, tüm değerler negatifse maksimum vardır.
3. f(x) fonksiyonunun ε noktası civarında incelenmesi. x değişkenleri x 0 +ε ile değiştirilir. Daha sonra, bir ε değişkenine ait f(x 0 +ε) fonksiyonunun, veya Sıfırın üstünde(bu durumda x 0 minimum noktadır) veya Sıfırdan daha az(bu durumda x 0 maksimum noktadır).

Not. Bulmak ters Hessian ters matrisi bulmak yeterlidir.

Örnek No.1. Hangisi aşağıdaki işlevler dışbükey veya içbükeydir: f(x) = 8x 1 2 +4x 1 x 2 +5x 2 2.
Çözüm. 1. Kısmi türevleri bulalım.


2. Denklem sistemini çözelim.
-4x 1 +4x 2 +2 = 0
4x1 -6x2 +6 = 0
Şunu elde ederiz:
a) Birinci denklemden x 1'i ifade edip onu ikinci denklemde yerine koyarız:
x 2 = x 2 + 1/2
-2x2 +8 = 0
Burada x2 = 4
Bu değerleri x 2'yi x 1 ifadesine yerleştiriyoruz. Şunu elde ederiz: x 1 = 9/2
Kritik nokta sayısı 1'dir.
M 1 (9 / 2 ;4)
3. İkinci dereceden kısmi türevleri bulalım.



4. Bu ikinci dereceden kısmi türevlerin değerini hesaplayalım. kritik noktalar M(x 0;y 0).
M 1 noktasının değerlerini hesaplıyoruz (9 / 2 ;4)



Hessian matrisini oluşturuyoruz:

D 1 = a 11< 0, D 2 = 8 > 0
Çapraz küçükler olduğundan çeşitli işaretler o zaman fonksiyonun dışbükeyliği veya içbükeyliği hakkında hiçbir şey söylenemez.

Pozitif tanımlı ikinci dereceden formlar

Tanım. İkinci dereceden form N bilinmeyenlere denir pozitif tanımlı, eğer sıralaması pozitif atalet indeksine eşitse ve sayıya eşit Bilinmeyen.

Teorem.İkinci dereceden bir form, ancak ve ancak sıfırdan farklı herhangi bir değişken değer kümesinde pozitif tanımlıdır. pozitif değerler.

Kanıt.İkinci dereceden form, bilinmeyenlerin dejenere olmayan doğrusal dönüşümü olsun

normale döndü

.

Sıfır olmayan herhangi bir değişken değer kümesi için sayılardan en az biri sıfırdan farklı, yani . Teoremin gerekliliği kanıtlanmıştır.

İkinci dereceden formun sıfır olmayan herhangi bir değişken kümesinde pozitif değerler aldığını, ancak atalet indeksinin bilinmeyenlerin dejenere olmayan doğrusal dönüşümü ile pozitif olduğunu varsayalım.

Normal forma getirelim. Genelliği kaybetmeden, bu normal formda son değişkenin karesinin ya bulunmadığını ya da eksi işaretiyle dahil edildiğini varsayabiliriz; , nerede veya . Sistemin çözülmesi sonucunda elde edilen sıfırdan farklı değişken değerler kümesi olduğunu varsayalım. doğrusal denklemler

Bu sistemde denklem sayısı değişken sayısına eşit olup sistemin determinantı sıfırdan farklıdır. Cramer teoremine göre sistem tek karar ve sıfır değildir. Bu set için. Durumla çelişki. Teoremin yeterliliğini kanıtlayan varsayımla çelişkiye düşüyoruz.

Bu kriteri kullanarak ikinci dereceden formun pozitif tanımlı olup olmadığını katsayılardan belirlemek imkansızdır. Bu sorunun cevabı, formülasyonu için başka bir kavramı tanıttığımız başka bir teorem tarafından verilmektedir. Bir matrisin asal köşegen küçükleri solunda küçükler var mı üst köşe:

, , , … , .

Teorem.İkinci dereceden bir form, ancak ve ancak tüm ana köşegen küçüklerinin pozitif olması durumunda pozitif tanımlıdır.

Kanıt tamamlama yöntemini uygulayacağız matematiksel tümevarım numaraya göre N ikinci dereceden değişkenler F.

İndüksiyon hipotezi. Daha az değişkenli ikinci dereceden formlar için şunu varsayalım: N ifade doğrudur.

İkinci dereceden formunu düşünün N değişkenler. içeren tüm terimleri koyalım. Geri kalan terimler değişkenlerin ikinci dereceden bir formunu oluşturur. Tümevarım hipotezine göre ifade onun için doğrudur.

İkinci dereceden formun pozitif tanımlı olduğunu varsayalım. O halde ikinci dereceden form pozitif tanımlıdır. Durumun böyle olmadığını varsayarsak, sıfırdan farklı bir değişken değerleri kümesi vardır. , hangisi için ve buna bağlı olarak, ve bu ikinci dereceden formun pozitif tanımlı olduğu gerçeğiyle çelişiyor. Tümevarım hipotezine göre, ikinci dereceden bir formun tüm asal köşegen küçükleri pozitiftir, yani. İkinci dereceden formdaki tüm birinci ana küçükler F olumlu. İkinci dereceden formun son ana minörü – bu onun matrisinin determinantıdır. Bu determinant pozitiftir çünkü işareti matrisinin işaretiyle çakışmaktadır. normal görünümlü yani birim matrisin determinantının işareti ile.

İkinci dereceden formun tüm asal köşegen küçüklerinin pozitif olmasına izin verin. O halde ikinci dereceden formun tüm temel köşegen küçükleri eşitlikten pozitiftir. . Tümevarım hipotezine göre, ikinci dereceden form pozitif tanımlıdır, dolayısıyla değişkenlerin, formu yeni değişkenlerin karelerinin toplamı formuna indirgeyen, dejenere olmayan bir doğrusal dönüşümü vardır. Bu doğrusal dönüşüm, ayarı yapılarak tüm değişkenlerin dejenere olmayan doğrusal dönüşümüne genişletilebilir. Bu dönüşüm ikinci dereceden formu forma indirger

İkinci dereceden şekiller

İkinci dereceden şekil f(x 1, x 2,...,x n) n değişkenin her bir terimi ya değişkenlerden birinin karesi ya da iki farklı değişkenin belirli bir katsayı ile çarpımı olan bir toplamdır: f (x 1, x 2, ...,x n) = (a ij = a ji).

Bu katsayılardan oluşan A matrisine ikinci dereceden form matrisi denir. Her zaman simetrik matris (yani ana köşegen etrafında simetrik bir matris, a ij = a ji).

Matris gösteriminde ikinci dereceden form f(X) = X T AX'tir, burada

Aslında

Örneğin şunu yazalım matris formu ikinci dereceden form.

Bunu yapmak için ikinci dereceden formda bir matris buluyoruz. Çapraz elemanları, kare değişkenlerin katsayılarına eşittir ve geri kalan elemanlar, ikinci dereceden formun karşılık gelen katsayılarının yarısına eşittir. Bu yüzden

X değişkenlerinin matris sütunu, Y matris sütununun dejenere olmayan doğrusal dönüşümüyle elde edilsin; X = CY, burada C n'inci dereceden tekil olmayan bir matristir. Daha sonra ikinci dereceden form
f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y.

Böylece, dejenere olmayan bir doğrusal dönüşüm C ile ikinci dereceden formun matrisi şu şekli alır: A * = C T AC.

Örneğin, f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 ikinci dereceden formundan doğrusal dönüşümle elde edilen ikinci dereceden f(y 1, y 2) formunu bulalım.

İkinci dereceden form denir kanonik(Vardır kanonik görünüm), eğer i ≠ j için tüm katsayıları a ij = 0 ise, yani
f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

Matrisi köşegendir.

Teorem(kanıt burada verilmemiştir). Herhangi bir ikinci dereceden form şuna indirgenebilir: kanonik form dejenere olmayan bir doğrusal dönüşüm kullanarak.

Örneğin ikinci dereceden formu kanonik forma indirgeyelim.
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3.

Bunu yapmak için önce seçiyoruz mükemmel kare değişken x 1 ile:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 – x 2 x 3.

Şimdi x 2 değişkenine sahip tam bir kare seçiyoruz:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 2 – 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) - (5/100)x 3 2 =
= 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 – (1/10)x 3) 2 - (1/20)x 3 2.

Daha sonra dejenere olmayan doğrusal dönüşüm y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 – (1/10) x 3 ve y 3 = x 3, bu ikinci dereceden formu kanonik f(y 1, y 2) formuna getirir , y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

İkinci dereceden bir formun kanonik formunun belirsiz bir şekilde belirlendiğine dikkat edin (aynı ikinci dereceden form kanonik forma indirgenebilir) Farklı yollar). Ancak alınan Farklı yollar kanonik formların bir takım özellikleri vardır Genel Özellikler. Özellikle, ikinci dereceden bir formun pozitif (negatif) katsayılarına sahip terimlerin sayısı, formun bu forma indirgeme yöntemine bağlı değildir (örneğin, ele alınan örnekte her zaman iki negatif ve bir pozitif katsayı olacaktır). Bu özelliğe denir İkinci dereceden formların eylemsizlik yasası.

Aynı ikinci dereceden formu kanonik forma farklı bir şekilde getirerek bunu doğrulayalım. Dönüşüme x 2 değişkeniyle başlayalım:
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = -3x 2 2 – x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = - 3(x 2 2 –
- 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3)x 1) +((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2) – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3(x 2 – (1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2 – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 = f (y 1 , y 2 , y 3) = -3y 1 2 -
-3y 2 2 + 2y 3 2, burada y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 – (1/6) x 3, y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 ve y3 = x 1 . Burada y3'te 2'lik pozitif bir katsayı ve y1 ve y2'de iki negatif katsayı (-3) vardır (ve başka bir yöntem kullanarak y1'de 2'lik pozitif bir katsayı ve y'de iki negatif katsayı - (-5) elde ettik) y 2 ve (-1/20) y 3'te).

Aynı zamanda, ikinci dereceden formdaki bir matrisin rütbesinin de belirtildiği belirtilmelidir. ikinci dereceden formun sıralaması, sıfır olmayan katsayıların sayısına eşittir kanonik form ve doğrusal dönüşümler altında değişmez.

İkinci dereceden f(X) formu denir olumlu (olumsuz) kesin Değişkenlerin aynı anda sıfıra eşit olmayan tüm değerleri için pozitifse, yani. f(X) > 0 (negatif, yani
f(X)< 0).

Örneğin ikinci dereceden f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 formu pozitif tanımlıdır, çünkü karelerin toplamıdır ve ikinci dereceden f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 formu negatif tanımlıdır, çünkü f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2 olarak temsil edilebileceğini temsil eder.

Çoğu pratik durumda, ikinci dereceden bir formun kesin işaretini belirlemek biraz daha zordur, bu nedenle bunun için aşağıdaki teoremlerden birini kullanırız (bunları kanıt olmadan formüle edeceğiz).

Teorem. İkinci dereceden bir form pozitif (negatif) kesindir ancak ve ancak hepsi özdeğerler matrisleri pozitiftir (negatif).

Teorem (Sylvester kriteri). İkinci dereceden bir form, ancak ve ancak bu formun matrisinin tüm önde gelen küçüklerinin pozitif olması durumunda pozitif tanımlıdır.

Ana (köşe) minör N'inci dereceden k'inci derece matris A'ya, A () matrisinin ilk k satır ve sütunlarından oluşan matrisin determinantı denir.

Negatif belirli ikinci dereceden formlar için asal küçüklerin işaretlerinin dönüşümlü olduğunu ve birinci dereceden küçüklerin negatif olması gerektiğini unutmayın.

Örneğin işaret kesinliği için ikinci dereceden f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 formunu inceleyelim.

= (2 - l)*
*(3 - l) – 4 = (6 - 2l - 3l + l 2) – 4 = l 2 - 5l + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;
. Bu nedenle ikinci dereceden form pozitif tanımlıdır.

Yöntem 2. A matrisinin birinci dereceden asal minörü D 1 = a 11 = 2 > 0. İkinci dereceden asal minör D 2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Dolayısıyla Sylvester kriterine göre ikinci dereceden form şu şekildedir: pozitif kesin.

İşaret kesinliği için başka bir ikinci dereceden formu inceliyoruz, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Yöntem 1. İkinci dereceden A = şeklinde bir matris oluşturalım. Karakteristik denklem gibi görünecek = (-2 - l)*
*(-3 - l) – 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) – 4 = l 2 + 5l + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;
. Bu nedenle ikinci dereceden form negatif tanımlıdır.