Optimallik için gerekli koşullar. Gerekli ve yeterli özellikler

OPTİMAL YETERLİ KOŞULLAR

Optimalliği sağlayan koşullar bu karar Seçilen karşılaştırma eğrileri sınıfındaki değişimlerin hesabına ilişkin problemler.
O.d.u. zayıf minimum (bkz.): zayıf işlevsellik sağlamak için

(1) saat sınır koşulları. sen . (x 0) = y 0 ,y(x 1) = y 1 ise aşağıdaki şartların sağlanması yeterlidir.

1) Eğri ekstremum olmalıdır, yani Euler denklemi

2) Uçları da dahil olmak üzere eğri boyunca güçlendirilmiş Legendre'nin durumu

Fy "y"(x, y, y") > 0.

3) Eğri geliştirilmiş değerleri karşılamalıdır Jacobi durumu Jacobi denklemlerinin kullanılmasını gerektiren

(2) ile başlangıç ​​koşulları

h(x 0)=0, h"(x 0) = 1

Weierstrass fonksiyonu, a ve ( x, y) - alan eğimi.

çevreleyen aşırılıklar

Ekstremin kendisinde, koşul (3) alır Güçlü bir minimum için koşul (4) gereklidir; buna denir gerekli bir Weierstrass koşulu. Bu nedenle, zayıf bir minimum için yeterli koşulların, ekstremalin kendi noktalarında belirli güçlendirilmiş gerekli koşulların yerine getirilmesini gerektirdiğinin aksine, güçlü bir minimum için yeterli koşullar, ekstremalin belirli bir komşuluğunda gerekli Weierstrass koşulunun yerine getirilmesini gerektirir. Genel durumda, Weierstrass koşulunun ekstremalin bir komşuluğunda karşılanması gerekliliğini güçlendirilmiş Weierstrass koşulu (koşul (4) ile işaretle değiştirerek) güçlü bir minimum için yeterli koşulların formülasyonunu zayıflatmak imkansızdır. katı eşitsizlik

) ekstrem noktalarda (bkz.). Yukarıda ele alınan klasik olmayan varyasyonel problemler için matematiksel optimum kontrol teoriler,

O.d.u.'yu kurmaya yönelik çeşitli yaklaşımlar vardır. mutlak aşırı.

Fonksiyonel minimumun belirlenmesinin gerekli olduğu bir optimal kontrol problemi ortaya konsun.

koşullar altında Nerede U- verildi kapalı küme.

p boyutlu uzay

Dinamik programlama yöntemini kullanırken O.d.u. aşağıdaki gibi formüle edilir. u(t) kontrolünün (5)-(8) probleminde optimal kontrol olması için aşağıdakiler yeterlidir: , 1) böyle bir S(x) vardı Edge'in her şey için sürekli kısmi türevleri vardır X, belki belirli bir parçalı düzgün boyut kümesi hariç P, sıfıra eşit bitiş noktası(x 1, S)=0, ve Bellman denklemini karşılıyor

2) u(t) =v(x(t)) , , burada v(x) - Bellman denkleminden belirlenen sentezleme fonksiyonu:

Aslında dinamik yöntemi kullanırken. programlamanın daha fazla olduğu ortaya çıkıyor güçlü sonuç: O.d.u. Faz noktasını rastgele bir başlangıç ​​durumundan belirli bir son duruma (x1) aktaran çeşitli farklı kontroller için.

Daha genel bir durumda, otonom olmayan bir sistem düşünüldüğünde, yani sağ tarafların integral fonksiyonu ve vektör fonksiyonu da zamana bağlıdır T, S fonksiyonu t'ye bağlı olmalı ve terim (9) denkleminin sol tarafına eklenmelidir. Burada çok kısıtlayıcı olan ve çoğu problemde yerine getirilmeyen ancak S(x) fonksiyonunun sürekli türevlenebilirliği için genellikle varsayılan koşulu ortadan kaldırmanın mümkün olduğu (bkz.) vardır. X.

O.d.u. Pontryagin'in maksimum ilkesine göre inşa edilebilir. G-faz uzayının belirli bir bölgesinde düzenli bir sentez gerçekleştirilirse, düzenli bir sentez oluştururken maksimum prensibi kullanılarak elde edilen tüm yörüngeler bölgede optimaldir. G.

Düzenli sentezin tanımı, oldukça hantal olmasına rağmen, esasen (5)-(8) problemine herhangi bir özel kısıtlama getirmez.

O.d.u.'yu kurmanın başka bir yaklaşımı daha var. (santimetre. ). j(x) kabul edilebilir tüm değerler için kısmi türevleriyle birlikte sürekli olan bir fonksiyon olsun. Edge'in her şey için sürekli kısmi türevleri vardır Belirli bir G bölgesine ait olan ve

(5) - (8) probleminde çiftin mutlak minimumu sağlaması için, öyle bir j(x) fonksiyonunun var olması yeterlidir:

O.d.u.'nun verilen formülasyonunda uygun değişikliklere izin verilir. daha fazlası için genel durumlar otonom olmayan sistem, Mayer ve Boltz tipi fonksiyonellerle ilgili problemler (bkz. Bolza sorunu), ve ayrıca optimal modları kaydırmak için (bkz.).

Araştırıldı varyasyon problemleriçoklu integraller biçimindeki fonksiyoneller ve birkaç değişkenli fonksiyonların dikkate alındığı kısmi diferansiyel denklemler biçiminde diferansiyel bağlantılar ile (bkz.).

Yaktı.: Lavrentiev M.A., Lyusternik L.A., Course of matematiğin varyasyonları, 2. baskı, M.-L., 1950; Bliss G. A. Varyasyon hesabı üzerine dersler, çev. İngilizce'den, M., 1950; Bellman R., Dinamik, çev. İngilizce'den, M., 1960; Boltyansky V.G., Matematiksel yöntemler optimal kontrol, M., 1966; Krotov V.F., "Otomasyon ve telemekanik", 1962, cilt 23, no. 1571-83; 1963, cilt 24, sayı 5, s. 581-98; Butkovsky A.G., Dağıtılmış parametrelere sahip sistemlerin optimal kontrolü teorisi, M., 1965. I. B. Vapnyarsky.

Matematik ansiklopedisi. - M .: Sovyet Ansiklopedisi.

I. M. Vinogradov.

1977-1985.

Diğer sözlüklerde “OPTİMAL YETERLİ KOŞULLAR”ın ne olduğuna bakın: Optimizasyon teorisinde Karush Kuhn Tucker koşulları (KKT), doğrusal olmayan bir programlama problemini çözmek için gerekli koşullardır. Çözümün optimal olması için bazı şeylerin yapılması gerekir... ... Vikipedi Optimum kontrol probleminin çözümü matematiksel teori, bir sürünün içinde kontrol eylemi

u=u(t).zamanın bir fonksiyonu olarak oluşur (böylece işlem sırasında sisteme başlangıçta verilen bilgi dışında hiçbir bilginin girmediği varsayılır... ...

Matematik Ansiklopedisi Wikipedia'da bu soyadı taşıyan diğer kişiler hakkında makaleler var, bkz. Krotov. Vadim Fedorovich Krotov Doğum tarihi: 14 Şubat 1932 (1932 02 14) (80 yaşında) Doğum yeri ... Wikipedia Sayısal yöntemler Fonksiyonellerin uç değerlerini bulma yöntemlerine ayrılmış bir hesaplamalı matematik dalı. V. ve.'nin sayısal yöntemleri. genellikle ikiye ayrılır kontrol eylemi

büyük sınıf : Dolaylı ve doğrudan yöntemler. Dolaylı yöntemler şunlara dayanmaktadır: ... ... C çekirdeği (tse çekirdeği olarak telaffuz edilir), işbirlikçi oyunlar teorisindeki bir optimallik ilkesidir.

verimli tahsisler

herhangi bir oyuncu koalisyonunun sapmalarına karşı dayanıklı kazançlar, yani bir dizi vektör: ve ... ... Vikipedi kontrol eylemi

Herhangi bir oyuncu koalisyonunun sapmalarına dirençli bir dizi etkili kazanç dağılımları olan, yani bir dizi vektörden oluşan işbirlikçi oyunlar teorisindeki temel optimallik ilkesi: ve tuttuğu herhangi bir koalisyon için ... Vikipedi Eğri üzerinde fonksiyonel J(y) tarafından elde edilen minimum değer öyledir ki (1) tüm karşılaştırma eğrileri için y(x) sıfır dereceli yakınlık koşulunu e karşılar: (2) tüm aralıkta. Eğrilerin karşılandığı varsayılmaktadır... ...- (21 Ekim 1926, Novosibirsk doğumlu) Rus matematikçi. St. Petersburg Matematik ve Mekanik Fakültesi Teorik Sibernetik Bölüm Başkanı devlet üniversitesi, ilgili üye

Rus Akademisi

Bir matematiksel programlama probleminde optimal noktanın (vektör) sahip olduğu karakteristik özellikler. Form O.n. sen. kabul edilebilir setin belirtildiği form tarafından belirlenir. İlk kez General O.n. sen. Lagrange, eşitlikler biçiminde kısıtlamaların olduğu ekstrem problemler için formüle edilmiştir (bkz. Lagrange'ın çarpanlar kuralı). 1951'de Amerika. matematikçiler G. Kuhn ve A. Tucker gerekli ve yeterli koşullar dışbükey programlama probleminde x noktasının optimalliği, yani bulma probleminde

fonksiyonun içbükey olduğu ve tüm fonksiyonların dışbükey olduğu yer. X vektörünün problem (1)'e çözüm olabilmesi için, kabul edilebilir kümenin dahili içermesi gerekir. nokta, yani negatif olmayan bir u vektörünün bulunması gerekli ve yeterlidir; bu, x vektörüyle birlikte herkes için Lagrange fonksiyonunun bir eyer noktasıdır. x vektörünün optimalliği için, x vektörüyle birlikte aşağıdaki koşulları karşılayan, negatif olmayan bir u vektörünün bulunması gerekli ve yeterlidir. sonraki sistem denklemler ve eşitsizlikler

Eğer fonksiyon ve Q kümesi dışbükey değilse, o zaman koşullar (2) yalnızca x vektörünün optimalliği için gerekli koşullardır. Belirtilen O. n. sen. Lagrange çarpanlarının klasik kuralının, eşitsizlikler biçimindeki kısıtlamalar altında bir fonksiyonun ekstremumunu bulma problemine doğrudan bir genellemesidir.

Temel matematik. O. n. yapımında kullanılan aparat. sen. matematik problemleri için. sonlu boyutlu uzayda programlama ayırma teoremleridir dışbükey kümeler ve teori doğrusal eşitsizlikler. Matematik problemlerinde ekstremum için gerekli koşulların incelenmesi. Sonsuz boyutlu uzaylarda programlama. edinilmiş özel anlam optimizasyon görevleriyle bağlantılı olarak. yönetmek. İlk kez Banach uzayı kümesinde bir fonksiyonelin ekstremumu için gerekli koşullar. Sov tarafından formüle edilmiştir. matematikçi L.V. Kantorovich, 1940'ta. 50'li yılların ortalarında Sovyet. matematikçi L. S. Pontryagin şu şekilde formüle edildi:

Maksimum ilkesi, optimal problemler için gerekli ekstremum koşullar. kontrol (bkz. Iontryagin'in maksimum ilkesi). 60'ların başında Sov. Bilim adamları A. Ya. Dubovitsky ve A. A. Milyutin, gerekli koşullar hakkında genel bir teori oluşturdular ve matematikteki geniş bir problem sınıfı için bu tür koşulları oluşturmak için bir teknik geliştirdiler. programlama. Özellikle optimal kontrol teorisini genel teoriye yerleştirmeyi başardılar.

Öz genel teori O. sen. aşağıdaki gibidir. Diyelim ki bulmamız gerekiyor

nerede - Banach uzayında ayarlanır. bu alanın bazı çeşitliliği. Her biri için dışbükey bir K konisi olsun, öyle ki her biri için

yeterince küçük t için ve bunun için ayrıca L'ye teğet bir altuzay olduğunu varsayacağız. yani, herkes için yeterince küçük t için bir vektör vardır ve Ek olarak, (4) koşulunun karşılandığı herhangi bir eleman için dışbükey bir Ko konisi olsun. sonraki ifade(Dubovitsky-Miliutin teoremi): x noktasının problem (3)'e çözüm olabilmesi için, şu gereklidir:

burada B Banach uzayına eşlenik uzaydır. boş numara Konilerin kesişmemesi için, aralarında en az birinin 0'dan farklı olduğu ve Dubovitsky-Milyutin teoremini sağlayacak şekilde fonksiyonellerin bulunması gerekli ve yeterlidir. Bu teoreme dayanarak, doğrusal programlamadaki klasik dualite teoremlerinden Pontryagin'in maksimum ilkesine kadar çeşitli sonuçların düzgün bir şekilde elde edilmesi mümkündür.

Bağımsız anlamının yanı sıra O. n. sen. oynamak önemli rol Optimum çözümleri etkili bir şekilde bulmak için hesaplamalı algoritmalar oluştururken. puan x. O.n.'nin teorisine dayanmaktadır. sen. ile başardı yeni nokta Chebyshev yaklaşımları teorisinin bazı klasik sonuçlarını, moment problemini vb. kavrama vizyonu. R. A. Polyak, M. E. Primak.

Seçilen karşılaştırma eğrileri sınıfındaki varyasyonlar hesabı problemine verilen bir çözümün optimalliğini sağlayan koşullar.
O.d.u. zayıf minimum (bkz.): eğrinin fonksiyonele zayıf bir minimum sunması için

(1) sınır koşulları altında. sen . (x 0) = y 0 ,y(x 1) = y 1 ise aşağıdaki şartların sağlanması yeterlidir.

1) Eğri ekstremum olmalıdır, yani Euler denklemi

2) Uçları da dahil olmak üzere eğri boyunca güçlendirilmiş Legendre'nin durumu

Fy "y"(x, y, y") > 0.

3) Eğri geliştirilmiş değerleri karşılamalıdır Jacobi durumu Jacobi denkleminin çözümünü gerektiren

(2) başlangıç ​​koşullarıyla

h(x 0)=0, h"(x 0) = 1

Sağ kapalı bir aralığın noktalarında kaybolmadı

Doğrusal olan Jacobi denkleminin (2) katsayıları diferansiyel denklem 2. derece, ekstremal boyunca hesaplanır ve temsil edilir bilinen işlevler itibaren X.

Güçlü bir minimum için, yukarıda sıralananlara ek olarak, sonraki koşul.

4) Her (x, y) noktasında eğrinin bir komşuluğu vardır. sen" eşitsizlik geçerli

Weierstrass fonksiyonu, a ve ( x, y) - alan eğimi. çevreleyen aşırılıklar

Ekstremin kendisinde, koşul (3) şu şekli alır:

Güçlü bir minimum için koşul (4) gereklidir; buna denir gerekli bir Weierstrass koşulu. Bu nedenle, zayıf bir minimum için yeterli koşulların, ekstremalin kendi noktalarında belirli güçlendirilmiş gerekli koşulların yerine getirilmesini gerektirdiğinin aksine, güçlü bir minimum için yeterli koşullar, ekstremalin belirli bir komşuluğunda gerekli Weierstrass koşulunun yerine getirilmesini gerektirir. Genel durumda, Weierstrass koşulunun ekstremalin bir komşuluğunda karşılanması gerekliliğini güçlendirilmiş Weierstrass koşuluyla (koşul (4) katı bir eşitsizlik işaretiyle) değiştirerek güçlü bir minimum için yeterli koşulların formülasyonunu zayıflatmak imkansızdır. ) ekstrem noktalarda (bkz.).

) ekstrem noktalarda (bkz.). Yukarıda ele alınan klasik olmayan varyasyonel problemler için matematiksel optimum kontrol teoriler,

O.d.u.'yu kurmaya yönelik çeşitli yaklaşımlar vardır. mutlak aşırı.

Fonksiyonel minimumun belirlenmesinin gerekli olduğu bir optimal kontrol problemi ortaya konsun.

koşullar altında Nerede belirli bir kapalı p boyutlu uzay kümesi.

p boyutlu uzay

1) böyle bir şey vardı sürekli fonksiyon S(x) , 1) böyle bir S(x) vardı Edge'in her şey için sürekli kısmi türevleri vardır X, belki belirli bir parçalı düzgün boyut kümesi hariç bitiş noktasında sıfıra eşit bitiş noktası(x 1, S)=0, ve Bellman denklemini karşılıyor

2) u(t) =v(x(t)) , , burada v(x) - Bellman denkleminden belirlenen sentezleme fonksiyonu:

Aslında dinamik yöntemi kullanırken. programlama daha güçlü bir sonuç üretir: O.d.u. Faz noktasını rastgele bir başlangıç ​​durumundan belirli bir son duruma (x1) aktaran çeşitli farklı kontroller için.

Daha genel bir durumda, otonom olmayan bir sistem düşünüldüğünde, yani sağ tarafların integral fonksiyonu ve vektör fonksiyonu da zamana bağlıdır T, S fonksiyonu t'ye bağlı olmalı ve terim (9) denkleminin sol tarafına eklenmelidir. Çok kısıtlayıcı olan ve çoğu problemde yerine getirilmeyen ancak S(x) fonksiyonunun sürekli türevlenebilirliği için genellikle varsayılan koşulu kaldırmanın mümkün olduğunu gösteren bir kanıt vardır (bkz.). X.

O.d.u. Pontryagin'in maksimum ilkesine göre inşa edilebilir. G-faz uzayının belirli bir bölgesinde düzenli bir sentez gerçekleştirilirse, düzenli bir sentez oluştururken maksimum prensibi kullanılarak elde edilen tüm yörüngeler bölgede optimaldir. G.

Düzenli sentezin tanımı, oldukça hantal olmasına rağmen, esasen (5)-(8) problemine herhangi bir özel kısıtlama getirmez.

O.d.u.'yu kurmanın başka bir yaklaşımı daha var. (santimetre. ). j(x) kabul edilebilir tüm değerler için kısmi türevleriyle birlikte sürekli olan bir fonksiyon olsun. Edge'in her şey için sürekli kısmi türevleri vardır Belirli bir G bölgesine ait olan ve

(5) - (8) probleminde çiftin mutlak minimumu sağlaması için, öyle bir j(x) fonksiyonunun var olması yeterlidir:

O.d.u.'nun verilen formülasyonunda uygun değişikliklere izin verilir. Otonom olmayan sistemlerin daha genel durumları için Mayer ve Boltz tipi fonksiyonellerle ilgili sorunlar (bkz. Bolza sorunu), ve ayrıca optimal modları kaydırmak için (bkz.).

Çoklu integraller formundaki fonksiyonellerle ve birkaç değişkenli fonksiyonların dikkate alındığı kısmi diferansiyel denklemler formundaki diferansiyel bağlantılar ile varyasyon problemleri incelenmiştir (bkz.).

Yaktı.: Lavrentiev M.A., Lyusternik L.A., Course of matematiğin varyasyonları, 2. baskı, M.-L., 1950; Bliss G. A. Varyasyon hesabı üzerine dersler, çev. İngilizce'den, M., 1950; Bellman R., Dinamik programlama, çev. İngilizce'den, M., 1960; Boltyansky V.G., Optimum kontrolün matematiksel yöntemleri, M., 1966; Krotov V.F., "Otomasyon ve telemekanik", 1962, cilt 23, no. 1571-83; 1963, cilt 24, sayı 5, s. 581-98; Butkovsky A.G., Dağıtılmış parametrelere sahip sistemlerin optimal kontrolü teorisi, M., 1965. I. B. Vapnyarsky.

• - A ifadesinin doğruluğunun koşulları, yerine getirilmediği takdirde Bilinen ifadenin doğru olamayacağı ve buna göre yerine getirildiğinde Bilinen ifadenin doğru olduğu...

  Matematik Ansiklopedisi

• - resmi açıklamalar farklı görüşler optimal hakkında. Genellikle O. maddeleri sürdürülebilirlik, karlılık ve adalete dair sezgisel bir anlayışın belirli özelliklerini yansıtır...

  Matematik Ansiklopedisi

• - gerçeğin bağımlılığını oluşturan koşullar...

  Mantık sözlüğü

• - Bakınız: gerekli ve yeterli koşullar...

  Ekonomik sözlük

• - Cezaların özümsenmesi ve cezaların eklenmesi esaslarının uygulanması Sanatın 2 ve 3 üncü bölümlerinde düzenlenmiştir. Rusya Federasyonu Ceza Kanunu'nun 69'u. Ancak kanun, bir takım suçlar için ceza verilmesi konusunu düzenlememektedir; bunlar arasında...

  Ceza hukuku sözlük-referans kitabı

• - matematikte bkz. Gerekli ve yeterli koşullar...

• Doğa bilimi. Ansiklopedik Sözlük

• - en temel özellik Herhangi bir faaliyetin amacına ulaşma koşullarını belirleyen değerlendirmeler...

  İnşaat sözlüğü

• - İngilizce: Çalışma koşulları Elektrikli ekipmanın belirli bir anda ve zamanda çalışmasını karakterize eden parametre değerlerinin bir kümesi verilen koşullar operasyon Kaynak: Elektrik enerjisi endüstrisindeki terimler ve tanımlar...

  İnşaat sözlüğü

• - sistemin işleyişinin mümkün olan tüm seçenekler arasında en iyisi olarak kabul edildiği bir kriter...

  İş terimleri sözlüğü

• - sistemin işleyişinin mümkün olan en iyi seçenek olarak kabul edildiğini gösteren bir işaret...

  Büyük Muhasebe Sözlüğü

• - bkz. Gerekli ve yeterli koşullar...
• - karşılaştırmalı bir değerlendirmenin yapıldığı bir işaret olası çözümler ve en iyisini seçiyoruz. İçindekiler K. o. nesnel olarak birçok faktör tarafından belirlenir: sosyal sistemin doğası,...

  Büyük Sovyet Ansiklopedisi

• - A ifadesinin doğruluğu için gerekli koşullar, onlar olmadan A ifadesinin açıkça doğru olamayacağı koşullar ve A ifadesinin doğruluğu için yeterli koşullar...

  Büyük Sovyet Ansiklopedisi

• - Olası çözümlerin karşılaştırmalı değerlendirmesi ve en iyi çözümlerin seçimi için verilen bir kararın ekonomik etkisinin maksimum ölçüsünü ifade eden niceliksel veya sıralı bir gösterge.

  Büyük ansiklopedik sözlük

• - matematikte...

  Büyük ansiklopedik sözlük

Kitaplarda "OPTİMAL YETERLİ KOŞULLAR"

83. Ekonomik ve matematiksel yöntemlerin optimallik kriterlerine göre sınıflandırılması