1 временное уравнение шредингера амплитуда вероятности. Уравнение Шредингера

где – оператор Гамильтона – аналог классической функции Гамильтона

в которой и заменены операторами импульса x , y , z и координаты , , :

х → = х, y → = y, z → = z,

Так как уравнение Шредингера является линейным уравнением первого порядка по времени, то с его помощью по заданному значению волновой функции Ψ(x, y, z, 0) в момент времени t = 0 можно найти её значение в произвольный момент времени t − Ψ(x, y, z, t).

Уравнение Шредингера для стационарного состояния, когда потенциальная энергия частицы не зависит от времени, имеет вид

Это уравнение называют стационарным уравнением Шредингера.

Так как в стационарном состоянии

и вероятность найти частицу в момент t в точке x, y, z пропорциональна |Ψ(,t)|, то она ~ |ψ(x,y,z)| 2 , т.е. не зависит от времени. Аналогично, вероятность обнаружить значение физической величины, характеризующей систему, также не изменяется со временем, поскольку выражается через квадрат модуля волновой функции.

4.2 . Частица в одномерной прямоугольной яме с бесконечными стенками

Потенциальная энергия U(x) в прямоугольной яме удовлетворяет следующим условиям:

Частица находится в области 0 ≤ x ≤ L. Вне этой области ψ(x) = 0. Уравнение Шредингера для частицы, находящейся в области 0 ≤ x ≤ L

где k = (2mE/ћ 2) 1/2 . Из граничных условий ψ(0) = 0, ψ(L) = 0 и условий непрерывности волновой функции следует

Частица может находиться в каком-то одном из множества дискретных состояний, доступных для неё.
Каждому значению энергии E n соответствует волновая функция ψ n (x), которая с учетом условия нормировки

имеет вид

(4.10)

В отличие от классической, квантовая частица в прямоугольной яме не может иметь энергию
E < ћ 2 π 2 /(2mL 2). Состояния частицы ψ n в одномерном поле бесконечной потенциальной ямы полнос­тью описывается с помощью одного квантового числа n. Спектр энергий дискретный.

Рис. 4.2. Уровни энергии и волновые функции частицы Ψ в бесконечной прямоугольной яме. Квадрат модуля волновой функции |Ψ| 2 определяет вероятность нахождения частицы в различных точках потенциальной ямы.

4.3 . Гармонический осциллятор

Положение уровней частицы в потенциальной яме зависит от вида потенциальной ямы. В одномерной потенциальной яме гармонического осциллятора потенциальная энергия имеет вид

Допустимые значения полной энергии определяются формулой

В отличие от бесконечной прямоугольной ямы, спектр уровней гармонического осциллятора эквидистантный.
С увеличением массы частицы или размеров области ее локализации квантовое описание частицы переходит в классическое.

4.4 . Частица в поле с центральной симметрией

В сферических координатах стационарное уравнение Шредингера для частицы в центральном потенциале U(r) имеет вид

где радиальная функция R nl (r) и угловая функция Y lm (θ,φ), называемая сферической, удовлетворяют уравнениям

Y lm (θ,φ) = ћ 2 l (l +1)Y lm (θ,φ)

(4.17)

Уравнение (4.16) определяет возможные собственные значения l и собственные функции Y lm (θ,φ) оператора квадрата момента 2 . Уравнение (4.17) определяет собственные значения энергии Е и радиальные собственные функции R nl (r), от которых зависит энергия системы (рис. 4.3).
Схема уровней (последовательность и абсолютные значения энергий) зависит от радиальной функции R nl (r), которая в свою очередь определяется потенциалом U(r), в котором находится частица.

Рис. 4.3. Радиальное распределение вероятности нахождения электрона в кулоновском поле протона (атом водорода). Расстояния даны в боровских радиусах
r 0 = ћ 2 /m e e 2 ≈ 0.529·10 8 cм.

4.5 . Орбитальный момент количества движения

Собственные значения L 2 и L z являются решением уравнений

2 Y lm (θ,φ) = L 2 Y lm (θ,φ) и z Y lm (θ,φ) = L z Y lm (θ,φ).

Они имеют следующие дискретные значения

L 2 = ћ 2 l(l + 1), где l = 0, 1, 2, 3, …,
L z = ћm, где m = 0, ± 1, ± 2, ± 3,…, ± l.

Для характеристики состояний с различными значениями орбитального момента l обычно используют следующие обозначения:

Спектроскопические названия орбитальных моментов l

Состоянию с l = 0 отвечает сферически симметричная волновая функция. В тех случаях, когда l ≠ 0 волновая функция не имеет сферической симметрии. Симметрия волновой функции определяется симметрией сферических функций Y lm (θ,φ). Имеет место интересное квантовое явление, когда решение сферически симметричной задачи (потенциал описывает сферически симметричную систему) приводит к состояниям, не обладающим сферической симметрией. Таким образом, симметрия уравнений не обязательно должна отражаться в симметрии каждого отдельно взятого решения этих уравнений, а лишь во всей совокупности этих решений.
Для частицы, находящейся в сферически симметричном потенциале, величина орбитального момента количества движения L:

Обычно, для упрощения, когда говорят о величине орбитального момента количества движения, называют этой величиной квантовое число l, имея в виду, что между l и L имеется однозначная связь (4.18).

Так как величина l может принимать только целочисленные значения 0, 1, 2, 3,…, то и орбитальный момент количества движения L квантуется. Например, для частицы с l = 2 момент количества движения

=
= 6.58·10 -22 √6 МэВ·сек ≈ 2.6·10 - 34 Дж·сек.

Пространственное квантование . Орбитальный момент количества движения является векторной величиной. Так как величина орбитального момента количества движения квантуется, то и направление по отношению к выделенному направлению z, например, к внешнему магнитному полю, также квантуется и принимает дискретные значения Lz = ћm, где m изменяется от +l до –l, т. е. имеет 2l + 1 значений. Например, при l = 2 величина m принимает значения +2, +1, 0, -1, -2 (см. рис. 4.4). Вместе с тем энергия системы не зависит от m, т. е. от направления вектора , что является очевидным следствием сферической симметрии системы.
Состояние частицы, находящейся в сферически симметричном поле, полностью описывается тремя квантовыми числами: n, l и m.
Появление квантовых чисел связано со свойствами симметрии системы. Характер этой симметрии определяет возможные значения квантовых чисел. Очевидно, что система, описываемая функцией e im φ , примет прежнее значение только тогда, когда азимутальный угол φ в результате поворота вокруг оси z примет прежнее значение φ. Этому условию функция e im φ удовлетворяет только в случае, когда величина mφ кратна 2π. Т.е. величина m должна иметь целые значения. Так как необходимо учитывать вращение в двух противоположных направлениях и отсутствие вращения, единственно возможными значениями оказываются m = 0, ±1, ±2, … .

4.6 . Спин

Спин − собственный момент количества движения частицы. Между значением вектора спина и квантовым числом спина s выполняется такое же соотношение, как между величиной значением вектора орбитального момента и орбитальным квантовым числом l:

В отличие от орбитального квантового числа l, которое может быть лишь целым числом или нулем, спиновое квантовое число s (в дальнейшем просто спин) может быть как целым (включая нуль), так и полуцелым, т. е. s = 0, 1/2, 1, 3/2, 2, 5/2, … , но при этом для каждой элементарной частицы спин может принимать единственное присущее этому типу частиц значение . Так, спины π-мезонов и К-мезонов равны 0. Спины электрона, протона, нейтрино, кварков и их античастиц равны 1/2. Спин фотона равен 1. Бозоны составляют класс частиц с целым значением спина, спин фермионов имеет полуцелое значение. Спин частицы невозможно изменить, также как её заряд или массу. Это её неизменная квантовая характеристика.
Как и в случае других квантовых векторов, проекция вектора спина на любое фиксированное направление в пространстве (например, на ось z) может принимать 2s + 1 значение:

s z ћ = ±sћ, ±(s − 1)ћ, ±(s − 2)ћ,..., ±1/2ћ или 0.

Число s z − это квантовое число проекции спина. Максимальная величина s z совпадает с s. Так как спин электрона равен 1/2, то проекция этого спина может принимать лишь два значения s z = ±1/2. Если проекция +1/2, то говорят, что спин направлен вверх, если проекция -1/2, то говорят, что спин направлен вниз.

4.7 . Полный момент количества движения

Полный момент количества движения частицы или системы частиц является векторной суммой орбитального и спинового моментов количества движения.

Квадрат полного момента имеет значение:

2 = ћ 2 j(j + 1).

Квантовое число полного момента j, соответствующее сумме двух векторов и , может принимать ряд дискретных значений, отличающихся на 1:

j = l + s, l + s −1,..., |l − s|

Проекция на выделенную ось J z также принимает дискретные значения:

J z = ћj z ; = -j, -j + 1,..., j − 1, j.

Число значений проекции J z равно 2j + 1. Если для и определены единственные значения проекций на ось z l z и s z , то j z также определена однозначно: j z = l z + s z .

4.8 . Квантовые числа

Квантовые числа – это целые или дробные числа, которые определяют все возможные значения физической величины, характеризующей различные квантовые системы – атомы, атомные ядра, кварки и другие частицы.

Таблица квантовых чисел

Для обозначения спинового момента часто используют букву J.

Все состояния, в которых может находиться квантовая система, описываются с помощью полного набора квантовых чисел. Так в случае протона в ядре состояние протона описывается с помощью четырех квантовых чисел, соответствующих четырем степеням свободы – трем пространственным координатам и спину. Это

• Радиальное квантовое число n (1, 2, …, ∞),
• Орбитальное квантовое число l (0, 1, 2, …),
• Проекция орбитального момента m (± l, ± (l-1), …, ±1, 0),
• Спин протона s =1/2.

Для описания сферически-симметричных систем в квантовой физике используются различные сферически симметричные потенциалы с различной радиальной зависимостью:

где U 0 , а и R – положительные константы (R – радиус ядра). Во всех случаях сферически симметричные системы можно описать с помощью набора квантовых чисел n, l, j, j z , однако, в зависимости от радиального вида потенциала энергетический спектр состояний системы будет различным.
Существование сохраняющихся во времени физических величин тесно связано со свойствами симметрии гамильтониана системы. Например, в случае, если квантовая система обладает центральной симметрией U = U(r), то этой системе соответствует сохранение орбитального момента количества движения l и одной из его проекций m. При этом из-за сферической симметрии задачи энергия состояний не будет зависеть от величины m, т. е. состояния будут вырожденными по m.
Наряду с пространственными симметриями, связанными с непрерывными преобразованиями, в квантовой физике существуют и другие симметрии – дискретные. Одной из них является зеркальная симметрия волновой функции относительно инверсии координат (→ -). Оператору инверсии соответствует квантовое число четность, которое может принимать два значения +1 и -1 в зависимости от того, сохраняется ли знак волновой функции при инверсии или меняется на противоположный.
Система тождественных частиц характеризуется еще одной симметрией – симметрией относительно перестановок тождественных частиц. Эта симметрия определяется свойствами частиц, образующих систему. Системы частиц с целым спином (бозонов) описываются симметричными волновыми функциями, системы частиц с полуцелым спином (фермионов) − антисимметричными волновыми функциями.

Движение микрочастиц в различных силовых полях описывается в рамках нерелятивистской квантовой механики с помощью уравнения Шредингера, из которого вытекают наблюдаемые на опыте волновые свойства частиц. Это уравнение, как и все основные уравнения физики, не выводятся, а постулируется. Его правильность подтверждается согласием результатов расчета с опытом. Волновое уравнение Шредингера имеет следующий общий вид :

- (ħ 2 / 2m) ∙ ∆ψ + U (x, y, z, t) ∙ ψ = i ∙ ħ ∙ (∂ψ / ∂t)

где ħ = h / 2π, h = 6,623∙10 -34 Дж ∙ с - постоянная Планка;
m - масса частицы;
∆ - оператор Лапласа (∆ = ∂ 2 / ∂x 2 + ∂ 2 / ∂y 2 + ∂ 2 / ∂z 2);
ψ = ψ (x, y, z, t) - искомая волновая функция;
U (x, y, z, t) - потенциальная функция частицы в силовом поле, где она движется;
i - мнимая единица.

Это уравнение имеет решение лишь при условиях, накладываемых на волновую функцию:

1. ψ (x, y, z, t) должна быть конечной, однозначной и непрерывной;
2. первые производные от нее должны быть непрерывны;
3. функция | ψ | 2 должна быть интегрируема, что в простейших случаях сводится к условию нормировки вероятностей.

∆ψ + (2m / ħ 2) ∙ (E - U) ∙ ψ = 0

где ψ = ψ (x, y, z) - волновая функция только координат;
E - параметр уравнения - полная энергия частицы.

Для этого уравнения реальный физический смысл имеют лишь такие решения, которые выражаются регулярными функциями ψ (называемыми собственными функциями), имеющими место только при определенных значениях параметра E, называемого собственным значением энергии. Эти значения E могут образовывать как непрерывный, так и дискретный ряд, т.е. как сплошной, так и дискретный спектр энергий.

Для какой-либо микрочастицы при наличии уравнения Шредингера типа (8.2) задача квантовой механики сводится к решению этого уравнения, т.е. нахождению значений волновых функций ψ = ψ (x, y, z), соответствующих спектру собственных энергией E. Далее находится плотность вероятности | ψ | 2 , определяющая в квантовой механике вероятность нахождения частицы в единичном объеме в окрестности точки с координатами (x, y, z).

Одним из простейших случаев решения уравнения Шредингера является задача о поведении частицы в одномерной прямоугольной "потенциальной яме" с бесконечно высокими "стенками". Такая "яма" для частицы, движущейся только вдоль оси Х, описывается потенциальной энергией вида

где l - ширина "ямы", а энергия отсчитывается от ее дна (рис. 8.1).

Уравнение Шредингера для стационарных состояний в случае одномерной задачи запишется в виде:

∂ 2 ψ / ∂x 2 + (2m / ħ 2) ∙ (E - U) ∙ ψ = 0

В силу того, что "стенки ямы" бесконечно высокие, частица не проникает за пределы "ямы". Это приводит к граничным условиям:

ψ (0) = ψ (l) = 0

В пределах "ямы" (0 ≤ x ≤ l) уравнение (8.4) сводится к виду:

∂ 2 ψ / ∂x 2 + (2m / ħ 2) ∙ E ∙ ψ = 0

∂ 2 ψ / ∂x 2 + (k 2 ∙ ψ) = 0

где k 2 = (2m ∙ E) / ħ 2

ψ (x) = A ∙ sin (kx)

где k = (n ∙ π)/ l

при целочисленных значениях n.

Из выражений (8.8) и (8.10) следует, что

E n = (n 2 ∙ π 2 ∙ ħ 2) / (2m ∙ l 2) (n = 1, 2, 3 ...)

Следовательно, микрочастица в "потенциальной яме" с бесконечно высокими "стенками" может находится только на определенном энергетическом уровне E n , т.е. в дискретных квантовых состояниях n.

Подставив выражение (8.10) в (8.9) найдем собственные функции

ψ n (x) = A ∙ sin (nπ / l) ∙ x

которое для данного случая запишется в виде:

Откуда в результате интегрирования получим А = √ (2 / l) и тогда имеем

ψ n (x) = (√ (2 / l)) ∙ sin (nπ / l) ∙ x (n = 1, 2, 3 ...)

Графики функции ψ n (х) не имеют физического смысла, тогда как графики функции | ψ n | 2 показывают распределение плотности вероятности обнаружения частицы на различных расстояниях от "стенок ямы"(рис. 8.1). Как раз эти графики (как и ψ n (х) - для сравнения) изучаются в данной работе и наглядно показывают, что представления о траекториях частицы в квантовой механике несостоятельны.

Из выражения (8.11) вытекает, что энергетический интервал между двумя соседними уровнями равен

∆E n = E n-1 - E n = (π 2 ∙ ħ 2) / (2m ∙ l 2) ∙ (2n + 1)

Отсюда видно, что для микрочастиц (типа электрона) при больших размерах "ямы" (l≈ 10 -1 м), энергетические уровни располагаются настолько тесно, что образуют практически непрерывный спектр. Такое состояние имеет место, например, для свободных электронов в металле. Если же размеры "ямы" соизмеримы с атомными (l ≈ 10 -10 м), то получается дискретный спектр энергии (линейчатый спектр). Эти виды спектров также могут быть изучены в данной работе для различных микрочастиц.

Другим случаем поведения микрочастиц (как, впрочем, и микросистем - маятников), часто встречаемым на практике (и рассматриваемым в этой работе), является задача о линейном гармоническом осцилляторе в квантовой механике.

Как известно, потенциальная энергия одномерного гармонического осциллятора массой m равна

U (x) = (m ∙ ω 0 2 ∙ x 2)/ 2

где ω 0 - собственная частота колебаний осциллятора ω 0 = √ (k / m);
k - коэффициент упругости осциллятора.

Зависимость (8.17) имеет вид параболы, т.е. "потенциальная яма" в данном случае является параболической (рис. 8.2).

ψ n (x) = (N n ∙ e -αx2 / 2) ∙ H n (x)

где N n - постоянный нормирующий множитель, зависящий от целого числа n;
α = (m ∙ ω 0) / ħ;
H n (x) - полином степени n, коэффициенты которого вычисляются при помощи рекуррентной формулы при различных целочисленных n.
В теории дифференциальных уравнений можно доказать, что уравнение Шредингера имеет решение (8.18) лишь для собственных значений энергии:

E n = (n + (1 / 2)) ∙ ħ ∙ ω 0

Это значит, что энергия квантового осциллятора может принимать лишь дискретные значения, т.е. квантуется. При n = 0 имеет место E 0 = (ħ ∙ ω 0) / 2, т.е. энергия нулевых колебаний, что является типичным для квантовых систем и представляет собой прямое следствие соотношения неопределенности.

Как показывает детальное решение уравнения Шредингера для квантового осциллятора , каждому собственному значению энергии при разных n соответствует своя волновая функция, т.к. от n зависит постоянный нормирующий множитель

а также H n (x) - полином Чебышева-Эрмита степени n.
При том первые два полинома равны:

H 0 (x) = 1;
H 1 (x) = 2x ∙ √ α

Любой последующий полином связан с нми по следующей рекуррентной формуле:

H n+1 (x) = 2x ∙ √ α ∙ H n (x) - 2n ∙ H n-1 (x)

Собственные функции типа (8.18) позволяют найти для квантового осциллятора плотность вероятности нахождения микрочастицы как | ψ n (х) | 2 и исследовать ее поведение на различных уровнях энергии. Решение этой задачи затруднительно ввиду необходимости использования рекуррентной формулы. Эта задача успешно может решаться лишь с использованием ЭВМ, что и делается в настоящей работе.

(Документ)

n1.doc

Уравнение Шредингера

Основным уравнением квантовой механики является уравнение Шредингера. Подобно тому, как уравнения динамики Ньютона не могут быть получены теоретически, а представляют собой обобщение большого числа опытных фактов, уравнение Шредингера также нельзя вывести из каких – либо известных ранее соотношений. Его следует рассматривать как исходное основное предположение, справедливость которого доказывается тем, что все вытекающие из него следствия достаточно точно согласуются с опытными фактами.

Поскольку точное значение параметров состояния микрочастицы неизвестно, основной задачей квантовой механики является определение вероятности реализации данной величины, если она может быть измерена. Для этого, по аналогии с рассмотрением дуализма волна – квант энергии, вводится в рассмотрение функция волны, соответствующей частице (волновая функция), которую принято обозначать буквой . Она является функцией координат и времени и может быть найдена путем решения уравнения:

Это уравнение было введено в практику Шредингером в 1926 г. и называется уравнением Шредингера со временем (или временным уравнением Шредингера). Здесь: i – мнимая единица; ħ – постоянная Планка; m – масса частицы; U – потенциальная энергия частицы; ? – оператор Лапласа

Из уравнения Шредингера следует, что волновая функция определяется потенциальной энергией U , т. е., в конечном счете, есть функция координат и времени. Для стационарного силового поля U не зависит явно от времени. В этом случае волновая функция представляется в виде множителей, один из которых зависит только от времени, второй – только от координат:

где Е – полная энергия частицы.

В самом деле, при подстановке этой функции в уравнение Шредингера с независящим от времени силовым полем экспоненты, содержащие время, сокращаются. Тогда уравнение для не зависящих от времени состояний  (стационарных состояний) получает вид:

(*)

В дальнейшем мы будем называть это выражение просто уравнением Шредингера.

К уравнению Шредингера можно прийти путем следующих рассуждений. Из опытов по дифракции микрочастиц вытекает, что параллельный пучок частиц обладает свойствами плоской волны, распространяющейся в направлении движения частиц. Уравнение плоской волны, распространяющейся в направлении оси х , имеет вид:

Согласно гипотезе де – Бройля свободному движению частицы соответствует плоская волна с частотой  = E/t и длиной волны  = 2ħ/p. Подставляя  и  в уравнение плоской волны, получим волновую функцию для свободной частицы, движущейся в направлении оси х :

Продифференцировав функцию  один раз по t, a второй раз дважды по х, получим:

Из этих соотношений можно выразить Е и р 2 через функцию  и её производные:

Теперь запишем для нерелятивистского случая E = p 2 /2m и подставим в него полученные выражения:

Появление в уравнении лапласиана есть обобщение уравнения на случай распространения волны в произвольном направлении.

Полученное уравнение совпадает с уравнением Шредингера для движения свободной частицы (U = 0). Так как данное состояние стационарно (U = 0 и, следовательно, не зависит от времени) уравнение получает вид:

Это уравнение совпадает с уравнением (*) для случая U = 0.

Полная энергия Е складывается из кинетической энергии Т и потенциальной энергии U. В случае свободной частицы полная энергия Е совпадает с кинетической Т, так что величину Е можно трактовать либо как полную, либо как кинетическую энергию частицы. Если принять, что Е – полная энергия частицы получится не физичная ситуация: обобщенное уравнение не будет зависеть от характера силового поля (то есть от U). Поэтому при наличии сил, действующих на частицу, вместо Е в уравнение нужно ввести кинетическую энергию частицы Т = Е– U. Произведя такую замену, мы придем к уравнению (*).

Еще раз отметим, что приведенные математические манипуляции не могут рассматриваться как вывод уравнения Шредингера. Их цель – пояснить, каким образом можно было прийти к установлению вида волнового уравнения для микрочастицы. Доказательством же правильности уравнения Шредингера может служить лишь согласие с опытом тех результатов, которые получаются с помощью этого уравнения.

Квантование энергии.

В отличие от модели атома Бора, основанной на введении некоторых постулатов, уравнение Шредингера позволяет получить фиксированные значения энергии при непосредственном решении уравнения. Требования, предъявляемые к волновым функциям вполне стандартны для математики: конечность, однозначность, непрерывность, гладкость. Требования должны выполняться даже в случае неаналитического поведения потенциала U: потенциал может быть разрывным, бесконечным в некоторой области пространства и проч.

Решения, получаемые при этом, соответствуют лишь некоторым определённым значениям энергии Е. Они носят название собственных значений энергии. Волновые функции, полученные в процессе решения уравнения Шредингера, носят название собственных функций, принадлежащих собственным значениям.

Значения Е могут быть как дискретными (квантованными), так и принимать непрерывный набор значений. В последнем случае говорят о непрерывном спектре энергии.

Решив уравнение Шредингера, вообще говоря, можно получить и набор вероятностей обнаружения других параметров частицы: импульса и момента импульса.

Наконец, следует отметить некоторую ограниченность полученных решений. Она заключается в том, что стационарное уравнение Шредингера не предназначено для рассмотрения процессов во времени. Между тем, опыт показывает, что энергии стационарных (точнее почти стационарных) состояний получаются в полном согласии с опытом.

Частица в потенциальной яме .

Решение задач о поведении или состоянии частицы в потенциальной яме позволяет продемонстрировать математическую сторону квантового подхода. Кроме того, потенциальная яма является отличной моделью для получения представления о формировании энергетического спектра частиц, ограниченных в своём движении. С точки зрения атомной или ядерной теории имеет смысл рассмотреть частицу в ямах трёх типов. Простейший случай – частица в прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками есть всего лишь пример решения задачи в квантовой теории и демонстрация универсального факта появления дискретных состояний микрочастицы, ограниченной в своём движении. Рассмотрение состояния частицы в яме с параболическим потенциалом позволяет понять особенности колебаний связанных микрочастиц и решение этой задачи имеет прямое отношение к расчёту теплоёмкости твёрдого тела. Наконец, решение задачи с гиперболической ямой аналогично решению задачи о состояниях электрона в атоме водорода, но без использования гипотезы о существовании стационарных состояний. В данном случае стационарность состояний есть следствие решения задачи (уравнения Шредингера).

Рассмотрим поведение частицы в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме .

Общее решение этого уравнения имеет вид:

Как говорилось выше,  (х = 0) =  (х = l ) = 0. Первое равенство позволяет определить  = 0. Из второго следует, что  l = n  . Определив отсюда  и подставив это значение в выражение для  2 , получим собственные значения задачи:

Заметим, что n = 1,2,3…, но не равно нулю, так как при этом исчезает волновая функция: частица отсутствует. Собственные функции определяются тогда таким образом:

Функции определены с точностью до постоянного множителя а . В подавляющем большинстве случаев бывает удобным, чтобы функция была нормирована. При этом имеется ввиду, что интеграл от плотности вероятности
нахождения частицы во всех возможных состояниях равен единице. (Звёздочка означает комплексное сопряжение). Условие нормировки соответствует достоверности нахождения частицы в одном из возможных состояний. Формально это равносильно определению коэффициента при волновой функции:

Волновая функция приобрела полный вид:

Теперь можно определить распределение плотности вероятности нахождения электрона по координате х :

Частица в параболической яме .

Часто эта задача называется задачей о квантовом осцилляторе, так как в ней рассматривается вопрос о колебаниях микрочастицы. В квантовой физике понятие силы теряет свой смысл из-за проявления соотношения неопределённости координата – импульс. В этом случае использование уравнения Шредингера позволяет решить задачу о колебаниях частицы, обладающей потенциальной энергией аналогичной потенциальной энергии в классической теории:

Так как в классической механике действие упругой силы проявляется в существовании собственной частоты
, имеет смысл перейти к выражению:

Здесь жёсткость определена из выражения для собственной частоты колебаний. Тогда уравнение Шредингера приобретает вид:

Математическое решение этого уравнения весьма громоздко и требует применения так называемых специальных функций. Поэтому укажем, что требования к собственным функциям данной задачи (непрерывность, гладкость, конечность, однозначность) выполняются при собственных значениях задачи:

Е = ħ  ( + 1/2), ( = 0,1,2,…)

Эти энергии для различных  (цифры справа) вместе с зависимостью потенциальной энергии от координаты х (жирная сплошная линия) приведены на рисунке.

Изменение введённого квантового числа  возможно только на единицу? =  1. Это так называемое правило отбора для гармонического квантового осциллятора. Подобное изменение появляется, например, при оптических переходах между стационарными состояниями, обусловленными взаимодействием электронов атома с ядром и друг с другом. Приведённая картина характеризует спектр в каждом из стационарных состояний электронов атома. При переходах с изменением числа  помимо прочего испускается квант с энергией ħ, где частота  приобретает свой реальный физический смысл.

Говорить о частоте колебаний частицы в каждом стационарном состоянии неверно. Частица в классическом осцилляторе может двигаться лишь в пределах координаты, задаваемых потенциальной кривой. При падении её на границу она отражается. Микрочастица в квантовой механике может проникать внутрь соседней области, то есть за границу потенциальной кривой. При этом о колебаниях не может быть никакой речи. Имеет смысл только плотность вероятности нахождения частицы в некоторой точке.

Потенциальные барьеры .

Рассмотрим движение частицы в области пространства, содержащей потенциальный барьер. Примером физической ситуации, в которой проявляется действие барьера на движение частицы, может служить выход электрона за пределы твёрдого тела (автоэлектронная эмиссия). Зависимость формы барьера от координат может быть весьма сложной, но высота барьера конечна и, как правило, вполне конечна длина нарастания барьера. Поэтому в качестве простой модельной задачи следует взять барьер высоты U 0

Пусть частица налетает на барьер с левой стороны. Частицу, как обычно, рассматриваем как волну де-Бройля:

Задача заключается в определении амплитуды волны, а затем в определении коэффициентов её отражения и прохождения. Существование отражённой и прошедшей волн возникает из требований, накладываемых на вид функции и её производной (гладкость, однозначность, непрерывность, конечность) при х = 0.

Частота падающей, отражённой и прошедшей волн должна быть одной и той же. Это позволяет перейти от время зависимой функции к функции, зависящей только от координат. Для этого достаточно подставить функцию (x,t) в общее уравнение Шредингера, сократить экспоненту, зависящую от времени и получить стационарное уравнение Шредингера:

В данной задаче имеются два варианта рассмотрения E 1 >U 0 и E 2
1. E 1 >U 0 . Общий вид решения имеет вид

Амплитуда падающей волны равна а 1 , отражённой b 1 . В области x>0 волна только прошедшая (слева направо), поэтому b 2 = 0. Из условия непрерывности и гладкости при х = 0 получаем:

Отсюда получаем:

Для определения коэффициентов прохождения D и отражения R необходимо ввести понятие потока плотности вероятности F . В данном случае оно аналогично обычному понятию потока, применённому к распространению волны: это энергия потока в единицу времени, равная произведению плотности энергии на скорость распространения. Энергия волны пропорциональна квадрату её амплитуды. В рассматриваемом случае скорость потока равна скорости движения частицы. Последняя равна  = р /m = ħ k /m . Тогда:

Обозначим: F – поток падающей волны, F’ поток отражённой волны, F” – поток прошедшей волны. Получаем искомый результат:

Особенности полученного результата:

1. Сумма коэффициентов прохождения и отражения равна единице, что вполне стандартно.

2. Коэффициенты не зависят от направления движения частицы – волны.

3. Даже при энергии частицы большей высоты потенциальной ступеньки существует отражение частицы от барьера.

1. E 1 оказывается мнимой величиной k 2 = ik . Тогда отражение частицы от барьера полное, то есть R = 1.

Вместе с тем, легко видеть, что функция прошедшей во вторую область волны не равна нулю. Так как
функция прошедшей волны равна

Плотность вероятности, таким образом, пропорциональна отрицательной вещественной экспоненте, то есть быстро затухает по мере распространения волны вглубь барьера:

Глубину проникновения l определяют как расстояние при котором величина Р уменьшается в е раз. Тогда 2kl =1. Отсюда

Отсюда следует, например, что при U 0 -E = 10 -3 эВ электрон проникает вглубь барьера на 10 -9 м.

Таким образом, при набегании частицы на потенциальную стенку достаточно малой толщины возможно проникновение этой частицы сквозь стенку как бы по туннелю, что определило название этого явления: туннельный эффект . Разумеется, такое проникновение возможно лишь с определённой вероятностью, что, тем не менее, позволяет не только регистрировать эффект, но и использовать его в практике. Существует так называемый туннельный диод, обладающий рядом весьма интересных характеристик.

В физике, помимо холодной эмиссии электронов из металла, действием туннельного эффекта объясняется  - распад, спонтанное деление ядер, термоядерный синтез и целый ряд других явлений.

Операторы физических величин .

Зная волновую функцию, можно определить любые измеряемые характеристики микрочастицы. Для этого пользуются своеобразным исчислением, носящим название операционного. Чтобы понять суть операционного исчисления, определим вначале очень важное в квантовой механике понятие среднего значения. Рассмотрим для начала координату и определим вероятность dP нахождения частицы в области dx в окрестности точки х. В соответствии с изложенным выше dP = *dx. Тогда среднее значение координаты х равно

При этом предполагается, что функция  нормирована:

Аналогично можно определить среднее значение любой величины, зависящей от координаты:

Для получения других величин приходится проводить дополнительные расчеты, порой весьма громоздкие, позволившие получить, например, среднее значение импульса:

Если записать приведённые выражения в виде:

то оказывается, что получение средних значений можно связать с действием на волновую функцию некоторого оператора. Тип действия и вид оператора подчиняются следующему правилу: формулы классической физики для связи между величинами в квантовой теории заменяются формулами, связывающими операторы этих величин .

Например, оператором координаты или величины f(x) в приведённом выражении являются сами величины. Их действие заключается в умножении этих величин на функцию . Оператор импульса дифференциальный и имеет вид (ср. с последним выражением):

Обозначаются операторы символами величин, но со шляпкой наверху. Например, оператор импульса записывается в виде .

Основные математические свойства операторов :

1. Операторы можно складывать (ассоциативность). Действие суммы операторов равно сумме их действий порознь: . Здесь символ  обозначает аргумент функции f .

2. Операторы можно перемножать. Действие произведения операторов равно последовательному применению операторов к функции:
. Здесь следует отметить, что коммутативность операторов не является их общим свойством, то есть
может быть не равно
. Если всё-таки равенство выполняется, то операторы называются коммутирующими. Можно показать, что всегда не коммутируют операторы величин, входящих в соотношения неопределённости. Справедливо и обратное соответствие: если операторы не коммутируют, то соответствующие им величины не могут быть определены одновременно.

3. Операторы называются линейными, если выполняется условие:

Именно линейность операторов определяет возможность использования принципа суперпозиции волн де-Бройля.

Приведённые примеры можно обобщить. Среднее значение величины Q равно:

где есть оператор величины Q .

Рассмотрим операторы основных физических величин.

По аналогии с введённым выше оператором проекции импульса можно написать:

Отсюда оператор квадрата импульса имеет вид:

Теперь можно написать оператор энергии, один из основных операторов квантовой механики. Кинетическая энергия определяется в соответствии с приведённым правилом:

Оператор полной энергии, так называемый оператор Гамильтона или гамильтониан, получает уже известный, использованный выше, вид:

Теперь можно определить среднее значение полной энергии, действуя на волновую функцию оператором Гамильтона:

Несмотря на невозможность одновременного определения потенциальной и кинетической энергии можно определить и сопоставить сумму средних значений этих энергий среднему значению полной энергии.

Таким образом, если известна волновая функция частицы, всегда можно определить среднее значение соответствующей величины.

Роль операторов в квантовой механике будет определена не полностью, если не сформулировать общее соотношение, позволяющее получить расчётным путём собственное значение любой величины Q . Это соотношение имеет вид:

(*)

В его справедливости можно убедиться, рассчитывая среднее значение величины Q :

В данном случае волновая функция является собственной функцией задачи или оператора . Значение Q в рассмотренном случае единственное (поэтому собственное). Других значений, соответствующих данной функции, нет. Взаимное соответствие функции и значения в виде (*) есть определение собственных функций и собственных значений опрератора .

Примером соответствия выражения (*) предыдущим уравнениям движения частиц является его совпадение со стационарным уравнением Шредингера. Подставив оператор Гамильтона в уравнение (*), получим уравнение Шредингера для стационарных состояний:

Квантование момента импульса.

В квантовой механике свойства момента импульса существенно отличаются от свойств этой же величины в классической теории. Например, существенной величиной является не сам вектор, а модуль момента М или квадрат момента импульса М 2 . Исследование коммутационных свойств операторов показывает, что коммутируют только квадрат момента и одна из его проекций. Обычно она соотносится с осью Z. Две другие проекции и квадрат момента М 2 друг с другом не коммутируют. Как было сказано выше, это означает возможность одновременного определения только двух данных величин М 2 и М z . Поэтому можно представить, что момент образован некоторым неопределённым движением вектора по конусу. Тогда определимы только проекция и длина вектора.

Следуя приведённому выше правилу, можно ввести в рассмотрение оператор момента импульса . В классической механике момент импульса равен

Тогда оператор проекции момента импульса на ось Z равен

Более простой вид он приобретает в сферической системе координат (r, , ):

Квадрат момента импульса определяется общим уравнением:

В силу большого объема рассуждений и вычислений приведём конечный результат решения этого уравнения:

Число l называется орбитальным квантовым числом. Отсюда модуль момента импульса равен:

В отличие от классического момента квантовый его аналог не зависит от положения точки, относительно которой он определяется. Он определяется только угловым движением частицы. Поэтому в квантовой механике часто момент импульса называется угловым моментом или просто моментом. То же относится и к собственным значениям оператора проекции момента.
вырождении энергетического состояния . Это связано с произвольностью выбора оси Z в отсутствии магнитного поля. Введение в рассмотрение электрического поля не позволяет выбрать направление оси, поэтому электрическое поле снять вырождение по проекции момента полностью не может. Остаётся как минимум двукратное вырождение.

Вообще кратность вырождения проекции момента определяется тем, что формально M z есть проекция момента и, следовательно, не может по величине превышать величину М . Отсюда следует, что

Общее число значений m равно, таким образом, 2l +1, что и определяет кратность вырождения орбитальных состояний.

Полученные результаты можно представить хорошо известным образом:

Они представляют суть положения, называемого пространственным квантованием .

Частица со спином обладает также и определенным «собственным» магнитным моментом . Соответствующий ему квантовомеханический оператор пропорционален оператору спина s, т. е. может быть, записан в виде

где s - величина спина частицы, - характерная для частицы постоянная. Собственные значения проекции магнитного момента равны Отсюда видно, что коэффициент (который и называют обычно просто величиной магнитного момента) представляет собой наибольшее возможное значение достигаемое при проекции спина

Отношение дает отношение собственного магнитного момента частицы к ее собственному механическому моменту (когда оба направлены по оси ). Как известно, для обычного (орбитального) момента это отношение равно (см. II, § 44). Коэффициент же пропорциональности между собственным магнитным моментом и спином частицы оказывается иным. Для электрона он равен - т. е. вдвое больше обычного значения (такое значение получается теоретически из релятивистского волнового уравнения Дирака - см. IV, § 33). Собственный магнитный момент электрона (спин 1/2) равен, следовательно, где

Эту величину называют магнетоном Бора.

Магнитный момент тяжелых частиц принято измерять в ядерных магнетонах, определяемых как где - масса протона. Эксперимент дает для собственного магнитного момента протона значение 2,79 ядерных магнетонов, причем момент направлен по спину. Магнитный момент нейтрона направлен противоположно спину и равен 1,91 ядерного магнетона.

Обратим внимание на то, что величины и s, стоящие в обоих сторонах равенства (111,1), как и следовало, одинаковы по своему векторному характеру: обе являются аксиальными векторами.

Аналогичное же равенство для электрического двпольного момента противоречило бы симметрии по отношению к инверсии координат: при инверсии менялся бы относительный знак обеих сторон равенства.

В нерелятивистской квантовой механике магнитное поле может рассматриваться только в качестве внешнего поля. Магнитное взаимодействие частиц друг с другом является релятивистским эффектом, и его учет требует последовательной релятивистской теории.

В классической теории функция Гамильтона заряженной частицы в электромагнитном воле имеет вид

где - скалярный, А - векторный потенциал поля, - обобщенный импульс частицы (см. II, § 16). Если частица не обладает едином, то переход к квантовой механике производится обычным образом: обобщенный импульс надо заменить оператором и мы получим гамильтониан

Если же частица обладает спином, то такая операция недостаточна. Дело в том, что собственный магнитный момент частицы непосредственно взаимодействует с магнитным полем. В классической функции Гамильтона это взаимодействие вообще отсутствует, поскольку сам спин, будучи чисто квантовым эффектом, исчезает при переходе к классическому пределу. Правильное выражение для гамильтониана получится путем введения (в 111,3) дополнительного члена - соответствующего энергии магнитного момента , в поле Н. Таким образом, гамильтониан частицы, обладающей спином, имеет вид

При раскрытии квадрата надо иметь ввиду, оператор , вообще говоря, не коммутативен с вектором А, являющимся функцией координат. Поэтому надо писать

Согласно правилу коммутации (16,4) оператора импульса с любой функцией координат имеем

Таким образом, и А коммутативны, если , в частности, имеет место для однородного поля, если выбрать его векторный потенциал в виде

(111,7)

Уравнение с гамильтонианом (111,4) представляет собой обобщение уравнения Шредингера на случай наличия магнитного поля. Волновые функции, на которые действует гамильтониан в этом уравнении, - симметричные спиноры ранга

Волновые функции частины в электромагнитном поле обладают неоднозначностью, связанной с неоднозначностью потенциалов поля. Как известно (см. II, § 18), последние определены лишь с точностью до калибровочного преобразования

где - произвольная функция координат и времени. Такое преобразование не отражается на значениях напряженностей поля. Ясно поэтому, что оно не должно существенно изменять также и решений волнового уравнения; в частности, должен оставаться неизменным квадрат Действительно легко убедиться в том, что мы вернемся к исходному уравнению, если одновременно с заменой (111,8) в гамильтониане произвести также и замену волновой функции согласно

(111,9)

Эта неоднозначность волновой функции не сказывается ни на какой имеющей физический смысл величине (в определение которой не входят в явном виде потенциалы).

В классической механике обобщенный импульс частицы связан с ее скоростью соотношением Для того чтобы найти оператор v в квантовой механике, надо прокоммутировать вектор с гамильтонианом.

Простое вычисление приводит к результату

(111,10)

в точности аналогичному классическому. Для операторов компонент скорости имеют место правила коммутации

которые легко проверить непосредственным вычислением. Мы видим, что в магнитном поле операторы трех компонент скорости частицы (заряженной) оказываются некоммутативными. Это значит, что частица не может иметь одновременно определенных значений скорости по всем трем направлениям.

При движении в магнитном поле симметрия по отношению к обращению времени имеет место лишь при условии изменения знака поля Н (и векторного потенциала А). Это значит (см. § 18 и 60), что уравнение Шредингера должно сохранить свой вид при переходе к комплексно сопряженным величинам и изменении знака Н. Для всех членов в гамильтониане (111,4), за исключением члена - это непосредственно очевидно. Член же

Нахождение электрона в поле ядра можно приближенно считать движением в трехмерной потенциальной яме. Высота этой ямы определяется величиной кулоновского поля ядра.

Рассмотрим простейший случай – движение частицы в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» – потенциальная энергия на границах имеет бесконечно большое значение. Потенциальная энергия такой ямы шириной l имеет вид:

Рис. 5.1. Одномерная потенциальная яма

Ограничимся рассмотрением стационарных состояний системы, уравнение Шредингера для одномерной задачи в этом случае имеет вид:

(5.16)

Поскольку частица не может проникнуть за пределы потенциальной ямы, то волновая функция ψ(x ) вне ямы тождественна нулю. В силу условия непрерывностиψ(x ) должна быть равна нулю и на границах ямы:

(5.17)

Выражение (5.17) является граничным условием задачи.

В пределах ямы (0 ≤ x ≤ l ) U =0 , следовательно, уравнение Шредингера имеет вид:

(5.18)

Обозначив через
(5.19)

получим уравнение, описывающее колебательный процесс:

(5.20)

Решение этого уравнения имеет вид: (5.21)

Подстановка граничных условий позволяет найти константы ω иα :

, из чего следует, чтоα=0 .

, отсюда получаем:

(n =1, 2, 3,...) (5.22)

При n = 0 решение лишено физического смыла, так какψ = 0 означает, что частица нигде не находится, т.е. не существует.

Подставив ω из (5.22) в выражение (5.20), можно найти собственные значения энергии частицы:
(n = 1, 2, 3, ...) (5.23)

Итак, энергия, которой может обладать частица в одномерной потенциальной яме, представляет собой дискретный набор значений, то есть энергетический спектр частицы является дискретным. Минимальное значение энергии частицы, находящейся в потенциальной яме, отлично от нуля. Это проявление волновых свойств частиц. Такой результат может быть получен из соотношения неопределенности.

Как будет двигаться электрон, можно узнать, рассчитав волновые функции: Подстановка найденного значения параметра ω в формулу (5.21) дает вид собственных функций задачи:
(5.24)

Подставив волновую функцию (5.24) в условие нормировки (4.18),
, найдем параметр
.

Таким образом, собственные функции имеют вид:

(n =1,2,3,...) (5.25)

На рисунке показаны волновые функции первых трех энергетических состояний частицы в потенциальной яме шириной l , а также вероятности обнаружения частицы на различных расстояниях от стенок ямыψ 2 =ψ * ψ .

Рис. 5.2. а) энергетический спектр (первые 5 состояний) частицы в потенциальной яме шириной L ; б) волновая функция частицы в первых трех состояния; в) квадрат волновой функции частицы = вероятность нахождения частицы в определенной точке потенциальной ямы в первых трех состояниях

В частности видно, что в состоянии n = 2 вероятность обнаружить частицу в середине ямы равна нулю. Напомним, что согласно классическим (не квантовым) соображениям, частица с одинаковой вероятностью может находиться в любой точке ямы.

Такое поведение микрочастиц иллюстрирует тот факт, что к ним не применимо понятие траектория . В частности в состоянииn = 2 частица «перемещается» из левой части ямы в правую и при этом не проходит через «середину» этой ямы.

Оценим расстояние между уровнями:

Видно, что чем больше масса частицы и геометрические размеры области, в которой эта частица ограничена, тем меньше расстояние между соседними уровнями. Разумеется, для тел с большой массой ни о каких квантовых эффектах говорить не приходится. Но даже, если взять m порядка массы молекулы (~10 –26 кг), аl порядка 0.1 м (размер сосуда, в котором находится молекула), расстояние между уровнями составит∆ E n ≈n·10 –20 эВ. Спектр с такой густотой линий будет восприниматься как сплошной, а молекула будет вести себя как классическая частица.

Такая же приблизительно ситуация складывается с движением электрона в проводнике. В этом случае в формулу (5.26) нужно подставить массу электрона m ~ 10 –30 кг, геометрические размеры области, в которой ограничен электрон, для определенности возьмемl = 0.1 м. Тогда∆ E n ≈n·10 –16 эВ, то есть квантовые эффекты будут мало заметны, и поведение электрона в проводнике также будет иметь классический характер.

Итак, квантовый характер движения будет иметь только малая частица (нуклон, электрон, атом и даже молекула), ограниченная в очень малой области пространства. Эти условия выполняются, например, для электронов, находящихся в поле ядра. В этом случае масса электрона m ~ 10 –30 кг,l ≈ 10 –9 м, тогда расстояние между уровнями будет∆ E n ≈n·1 эВ. В этом случае квантование энергии будет выраженным, следовательно, и поведение электрона будет отличным от классического.

Можно показать, что стационарные уровни в потенциальной яме возникают лишь в том случае, если Е 1 ˂ U . То есть в потенциальной яме рассматриваемого вида уровни возникают лишь при условии:

(5.27)

В левой части этого неравенства стоят параметры потенциальной ямы (глубина и ширина), а в правой – только постоянные числа и универсальные постоянные. Если полученное нами условие не выполнено (потенциальная яма слишком узкая или слишком мелкая), в ней не помещается ни одного энергетического уровня. Такие случаи встречаются не так уж редко. Силы взаимодействия между двумя нейтронами являются слабыми силами притяжения. Эти силы определяют величину потенциальной энергии U . Ядра, состоящего из двух нейтронов, в природе не существует, так как потенциальная яма, в которой должны находиться два нейтрона в каких-либо состояниях, не удовлетворяет указанному выше условию (5.27). Аналогичным образом не существует и ядра, состоящего из двух протонов. Сила взаимодействия между протоном и нейтроном совсем немного больше, чем сила взаимодействия двух нейтронов или протонов. Но этой небольшой разницы достаточно, чтоб потенциальная энергияU уже удовлетворяла условию (5.27). В такой яме может образоваться только один уровень – одно состояние. Связанное состояние нейтрона и протона называется дейтроном. Возбужденного состояния дейтрона не существует, так как в соответствующей потенциальной яме может образоваться только одно состояние.