Primer nivel

Círculo circunscrito. guía visual (2019)

La primera pregunta que puede surgir es: ¿qué se describe y en torno a qué?

Bueno, en realidad a veces sucede alrededor de cualquier cosa, pero hablaremos de un círculo circunscrito alrededor (a veces también dicen “sobre”) un triángulo. ¿Qué es?

Y imagínense, ocurre un hecho sorprendente:

¿Por qué sorprende este hecho?

¡Pero los triángulos son diferentes!

Y para todos hay un círculo que pasará a través de los tres picos, es decir, el círculo circunscrito.

Prueba de esto hecho asombroso se puede encontrar en los siguientes niveles de teoría, pero aquí solo notamos que si tomamos, por ejemplo, un cuadrilátero, entonces no para todos habrá un círculo que pase por los cuatro vértices. Por ejemplo, un paralelogramo es un cuadrilátero excelente, ¡pero no hay ningún círculo que pase por sus cuatro vértices!

Y sólo existe para un rectángulo:

Aquí tienes, ¡Y cada triángulo siempre tiene su propio círculo circunscrito! E incluso siempre es bastante fácil encontrar el centro de este círculo.

Sabes lo que es bisectriz perpendicular?

Ahora veamos qué sucede si consideramos hasta tres bisectrices perpendiculares a los lados del triángulo.

Resulta (y esto es precisamente lo que hay que demostrar, aunque no lo haremos) que las tres perpendiculares se cruzan en un punto. Mire la imagen: las tres bisectrices perpendiculares se cruzan en un punto.

¿Crees que el centro del círculo circunscrito siempre está dentro del triángulo? Imagínese, ¡no siempre!

Pero si de ángulo agudo, luego - adentro:

¿Qué hacer con un triángulo rectángulo?

Y con un bono adicional:

Ya que estamos hablando del radio del círculo circunscrito: ¿a qué es igual? triangulo arbitrario? Y hay una respuesta a esta pregunta: la llamada .

A saber:

Y por supuesto,

1. Existencia y centro circuncírculo

Aquí surge la pregunta: ¿existe tal círculo para cada triángulo? Resulta que sí, para todos. Y además, ahora formularemos un teorema que también responde a la pregunta de dónde se encuentra el centro del círculo circunscrito.

Se parece a esto:

Seamos valientes y demostremos este teorema. Si ya leyó el tema "" y entendió por qué tres bisectrices se cruzan en un punto, entonces le resultará más fácil, pero si no lo ha leído, no se preocupe: ahora lo resolveremos.

Realizaremos la demostración utilizando el concepto de lugar geométrico de puntos (GLP).

Bueno, por ejemplo, es el juego de bolas - “ lugar» objetos redondos? No, claro, porque hay sandías redondas. ¿Es un conjunto de personas, un “lugar geométrico”, que puede hablar? Tampoco, porque hay bebés que no pueden hablar. En la vida, generalmente es difícil encontrar un ejemplo de una "ubicación geométrica de puntos" real. Es más fácil en geometría. Esto, por ejemplo, es exactamente lo que necesitamos:

Aquí el conjunto es la mediatriz y la propiedad " " es "estar equidistante (un punto) de los extremos del segmento".

¿Lo comprobamos? Entonces, debes asegurarte de dos cosas:

1. Cualquier punto que sea equidistante de los extremos de un segmento se ubica en la bisectriz perpendicular al mismo.

Conectemos c y c. Entonces la recta es la mediana y la altura b. Esto significa, isósceles, que nos aseguramos de que cualquier punto que se encuentre en la bisectriz perpendicular esté igualmente alejado de los puntos y.

Tomemos el medio y conectemos y. El resultado es la mediana. Pero según la condición, no sólo la mediana es isósceles, sino también la altura, es decir, la bisectriz perpendicular. Esto significa que el punto se encuentra exactamente en la mediatriz.

¡Todo! Hemos verificado plenamente el hecho de que La mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los extremos del segmento.

Todo esto está muy bien, pero ¿nos hemos olvidado del círculo circunscrito? En absoluto, simplemente nos hemos preparado un “trampolín para el ataque”.

Considere un triángulo. Dibujemos dos perpendiculares bisectorales y, digamos, a los segmentos y. Se cruzarán en algún punto, que nombraremos.

¡Ahora presta atención!

El punto se encuentra en la mediatriz;
el punto se encuentra en la mediatriz.
Y eso significa, y.

De esto se desprenden varias cosas:

En primer lugar, el punto debe estar en la tercera bisectriz perpendicular al segmento.

Es decir, la mediatriz también debe pasar por el punto y las tres mediatrices se cruzan en un punto.

En segundo lugar: si dibujamos un círculo con centro en un punto y radio, entonces este círculo también pasará por el punto y el punto, es decir, será un círculo circunstante. Esto significa que ya existe que la intersección de tres mediatrices es el centro del círculo circunscrito para cualquier triángulo.

Y lo último: sobre la unicidad. Está claro (casi) que el punto se puede obtener de forma única, por tanto el círculo es único. Bueno, dejamos “casi” para tu reflexión. Entonces demostramos el teorema. Puedes gritar "¡Hurra!"

¿Qué pasa si el problema pregunta "hallar el radio del círculo circunscrito"? ¿O viceversa, se da el radio, pero necesitas encontrar algo más? ¿Existe alguna fórmula que relacione el radio del círculo circunstante con los demás elementos del triángulo?

Tenga en cuenta: el teorema del seno establece que Para encontrar el radio del círculo circunscrito, necesitas un lado (¡cualquiera!) y el ángulo opuesto a él.. ¡Eso es todo!

3. Centro del círculo: interior o exterior.

Ahora la pregunta es: ¿puede el centro del círculo circunscrito estar fuera del triángulo?
Respuesta: tanto como sea posible. Además, esto siempre ocurre en un triángulo obtuso.

Y en términos generales:

CÍRCULO CIRCULAR. BREVEMENTE SOBRE LAS COSAS PRINCIPALES

1. Círculo circunscrito a un triángulo.

Este es el círculo que pasa por los tres vértices de este triángulo.

2. Existencia y centro circuncírculo

Bueno, se acabó el tema. Si estás leyendo estas líneas es que eres muy guay.

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Ahora lo más importante.

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Un círculo circunscrito por un triángulo rectángulo. En esta publicación, veremos la prueba de uno " hecho matemático", que se utiliza ampliamente para resolver problemas de geometría. En algunas fuentes este hecho se designa como teorema, en otras como propiedad, existen diferentes formulaciones, pero su esencia es la misma:

¡Cualquier triángulo construido sobre el diámetro de un círculo cuyo tercer vértice se encuentra en este círculo es rectangular!

Es decir, el patrón en este patrón geométrico es que dondequiera que coloques el vértice del triángulo, el ángulo en este vértice siempre será recto:

En el examen de matemáticas hay bastantes tareas en cuyas soluciones se utiliza esta propiedad.

La prueba estándar me parece muy confusa y sobrecargada. simbolos matematicos, lo encontrarás en el libro de texto. Consideraremos lo simple e intuitivo. Lo descubrí en un ensayo maravilloso llamado " El grito del matemático", Recomiendo la lectura a profesores y alumnos.

Primero, recordemos algunos puntos teóricos:

Signo de paralelogramo. Un paralelogramo tiene lados opuestos que son iguales. Es decir, si un cuadrilátero tiene ambos pares de lados opuestos iguales, entonces este cuadrilátero es un paralelogramo.

Signo rectangular. Un rectángulo es un paralelogramo y sus diagonales son iguales. Es decir, si un paralelogramo tiene diagonales iguales, entonces es un rectángulo.

*Un rectángulo es un paralelogramo; este es su caso especial.

Entonces empecemos:

Tomemos un triángulo y gírelo 180 0 con respecto al centro del círculo (dale la vuelta). Obtenemos un cuadrilátero inscrito en un círculo:

Como simplemente rotamos el triángulo, los lados opuestos del cuadrilátero son iguales, lo que significa que es un paralelogramo. Dado que el triángulo gira exactamente 180 grados, su vértice es diametralmente opuesto al vértice del triángulo "original".

Resulta que las diagonales del cuadrilátero son iguales, por lo que son diámetros. Tenemos un cuadrilátero cuyos lados opuestos son iguales y las diagonales son iguales, por lo tanto es un rectángulo, y todos sus ángulos son rectos.

¡Esa es toda la prueba!

También puedes considerar esto, también simple y comprensible:

Ver otra prueba = >>

Desde el punto C construiremos un segmento que pase por el centro del círculo, cuyo otro extremo quedará en el punto opuesto del círculo (punto D). Conecte el punto D a los vértices A y B:Tenemos un cuadrilátero. Triángulo AOD igual a un triangulo BÚHO en dos lados y el ángulo entre ellos:

De la igualdad de triángulos se deduce que AD = CB.

Asimismo, AC = DB.

Podemos concluir que el cuadrilátero es un paralelogramo. Además, sus diagonales son iguales: AB se da inicialmente como un diámetro, CD también es un diámetro (pasa por el punto O).

Por tanto, ACBD es un rectángulo, lo que significa que todos sus ángulos son rectos. ¡Probado!

Otro enfoque destacable, que de forma clara y “bella” nos dice que el ángulo en cuestión siempre es el correcto.

Mira y recuerda la información sobre. Ahora mira el boceto:

El ángulo AOB no es más que el ángulo central basado en el arco ADB, y es igual a 180 grados. Sí, AB es el diámetro de un círculo, pero nada nos impide contar AOB ángulo central(este es un ángulo recto). Para él está inscrito el ángulo ACB; también se apoya en el mismo arco en ADB.

Y sabemos que el ángulo inscrito igual a la mitad central, es decir, no importa cómo coloquemos el punto C en el círculo, el ángulo ACB siempre será igual a 90 grados, lo que significa que es recto.

¿Qué conclusiones se pueden sacar en relación a la resolución de problemas, en particular los incluidos en el examen?

Si la condición se trata de un triángulo inscrito en un círculo y construido sobre el diámetro de este círculo, entonces este triángulo es definitivamente un triángulo rectángulo.

Si se dice que un triángulo rectángulo está inscrito en un círculo, esto significa que su hipotenusa coincide con su diámetro (igual a él) y el centro de la hipotenusa coincide con el centro del círculo.

Eso es todo. ¡Buena suerte para ti!

Atentamente, Alexander Krutitskikh.

Mediatriz perpendicular a un segmento de recta

Definición 1. Mediatriz perpendicular a un segmento Se llama línea recta perpendicular a este segmento y que pasa por su centro (Fig. 1).

Teorema 1. Cada punto de la mediatriz de un segmento se ubica a la misma distancia de los extremos este segmento.

Prueba . Consideremos punto arbitrario D, que se encuentra en la bisectriz perpendicular al segmento AB (Fig. 2), y demuestra que los triángulos ADC y BDC son iguales.

De hecho, estos triángulos son triángulos rectángulos en los que los catetos AC y BC son iguales y el cateto DC es común. La igualdad de los triángulos ADC y BDC implica la igualdad de los segmentos AD y DB. El teorema 1 está demostrado.

Teorema 2 (contrario al teorema 1). Si un punto está a la misma distancia de los extremos de un segmento, entonces se encuentra en la bisectriz perpendicular a este segmento.

Prueba . Demostremos el teorema 2 por contradicción. Para ello, supongamos que algún punto E está a la misma distancia de los extremos del segmento, pero no se encuentra en la bisectriz perpendicular a este segmento. Llevemos esta suposición a una contradicción. Consideremos primero el caso en el que los puntos E y A se encuentran a lo largo lados diferentes desde la perpendicular media (Fig. 3). En este caso, el segmento EA corta en algún punto a la mediatriz, que denotaremos con la letra D.

Demostremos que el segmento AE es más largo que el segmento EB. En realidad,

Por tanto, en el caso de que los puntos E y A se encuentren en lados opuestos de la mediatriz, tenemos una contradicción.

Consideremos ahora el caso en el que los puntos E y A se encuentran en el mismo lado de la mediatriz (Fig. 4). Demostremos que el segmento EB es más largo que el segmento AE. En realidad,

La contradicción resultante completa la demostración del teorema 2.

Círculo circunscrito a un triángulo.

Definición 2. Un círculo circunscrito a un triángulo., se llama círculo que pasa por los tres vértices del triángulo (Fig. 5). En este caso el triángulo se llama triangulo inscrito en un circulo o triangulo inscrito.

Propiedades de la circunferencia circunscrita de un triángulo. Teorema de los senos

Cifra	Dibujo	Propiedad
Bisectrices perpendiculares a los lados del triangulo		se cruzan en un punto .
Centro descrito sobre triángulo agudo círculo		Centro descrito sobre ángulo agudo adentro triángulo.
Centro círculo circunscrito a un triángulo rectángulo		El centro describió sobre rectangular medio de la hipotenusa .
Centro círculo circunscrito alrededor de un triángulo obtuso		Centro descrito sobre de ángulo obtuso círculo triángulo mentiras afuera triángulo.
		,
Cuadrado triángulo		S= 2R 2 pecado A pecado B pecado C ,
Circunradio		Para cualquier triángulo la igualdad es cierta:

Bisectrices perpendiculares a los lados de un triángulo

Todas las bisectrices perpendiculares , dibujado a los lados de un triángulo arbitrario, se cruzan en un punto .

Círculo circunscrito a un triángulo.

Cualquier triángulo puede estar rodeado por un círculo. . El centro de una circunferencia circunscrita a un triángulo es el punto en el que se cortan todas las bisectrices perpendiculares trazadas a los lados del triángulo.

Centro del círculo circunscrito de un triángulo agudo

Centro descrito sobre ángulo agudo círculo triángulo mentiras adentro triángulo.

Centro del círculo circunscrito de un triángulo rectángulo

El centro describió sobre rectangular el circulo triangulo es medio de la hipotenusa .

Centro del círculo circunscrito de un triángulo obtuso

Centro descrito sobre de ángulo obtuso círculo triángulo mentiras afuera triángulo.

Para cualquier triángulo se cumplen las siguientes igualdades (teorema del seno): , donde a, b, c son los lados del triángulo, A, B, C son los ángulos del triángulo, R es el radio del círculo circunscrito.

Área de un triángulo

Para cualquier triángulo la igualdad es cierta: S= 2R 2 pecado A pecado B pecado C , donde A, B, C son los ángulos del triángulo, S es el área del triángulo, R es el radio del círculo circunscrito.

Circunradio

Para cualquier triángulo la igualdad es cierta: donde a, b, c son los lados del triángulo, S es el área del triángulo, R es el radio del círculo circunscrito.

Pruebas de teoremas sobre las propiedades del círculo circunscrito de un triángulo.

Teorema 3. Todas las bisectrices perpendiculares dibujadas a los lados de un triángulo arbitrario se cortan en un punto.

Prueba . Considere dos bisectrices perpendiculares dibujadas a los lados AC y AB. triangulo abc, y denota el punto de su intersección con la letra O (Fig. 6).

Dado que el punto O se encuentra en la mediatriz del segmento AC, entonces, en virtud del Teorema 1, se cumple la igualdad:

Dado que el punto O se encuentra en la mediatriz del segmento AB, entonces, en virtud del Teorema 1, se cumple la siguiente igualdad:

Por tanto, la igualdad es cierta:

de donde, utilizando el teorema 2, concluimos que el punto O se encuentra en la bisectriz perpendicular al segmento BC. Por lo tanto, las tres mediatrices pasan por el mismo punto, como se requiere demostrar.

Consecuencia. Cualquier triángulo puede estar rodeado por un círculo. . El centro de una circunferencia circunscrita a un triángulo es el punto en el que se cortan todas las bisectrices perpendiculares trazadas a los lados del triángulo.

Prueba . Consideremos el punto O, en el que se cruzan todas las bisectrices dibujadas a los lados del triángulo ABC (Fig. 6).

Al demostrar el Teorema 3 se obtuvo la siguiente igualdad:

de lo cual se deduce que una circunferencia con centro en el punto O y radios OA, OB, OC pasa por los tres vértices del triángulo ABC, que era lo que había que demostrar.

El triángulo es el más simple de los planos. figuras poligonales. Si el valor de cualquier ángulo en sus vértices es de 90°, entonces el triángulo se llama triángulo rectángulo. Es posible dibujar un círculo alrededor de dicho polígono de tal manera que cada uno de los 3 vértices tenga un punto común con su límite (círculo). Este círculo se llamará circunscrito, y la presencia ángulo recto simplifica enormemente la tarea de construirlo.

Necesitará

• Regla, compás, calculadora.

Instrucciones

1. Comience determinando el radio del círculo que necesitará construir. Si es posible medir las longitudes de los lados de un triángulo, entonces preste atención a su hipotenusa, el lado opuesto al ángulo recto. Mídelo y divide el valor resultante por la mitad; este será el radio del círculo descrito alrededor del triángulo rectángulo.

2. Si se desconoce la longitud de la hipotenusa, pero hay longitudes (a y b) de los catetos (2 lados adyacentes al ángulo recto), entonces encuentre el radio (R) usando el teorema de Pitágoras. De ello se deduce que este parámetro será igual a la mitad de la raíz cuadrada extraída de la suma de las longitudes al cuadrado de los catetos: R=?*?(a?+b?).

3. Si se conoce la longitud de sólo uno de los catetos (a) y el tamaño del ángulo agudo adyacente (?), entonces para determinar el radio del círculo circunscrito (R) se utiliza Funcion trigonometrica– coseno. En un triángulo rectángulo, determina la razón entre las longitudes de la hipotenusa y este cateto. Calcula la mitad del cociente de la longitud del cateto dividido por el coseno del famoso ángulo: R=?*a/cos(?).

4. Si, además de la longitud de uno de los catetos (a), se conoce el valor del ángulo agudo (?) opuesto a él, entonces para calcular el radio (R), se utiliza otra función trigonométrica: el seno. Aparte de reemplazar la función y el lado, nada cambiará en la fórmula: divida la longitud del cateto por el seno del ángulo agudo conocido y divida el resultado por la mitad: R=?*b/sin(?).

5. Después de encontrar el radio por cualquiera de métodos enumerados determinar el centro del círculo circunscrito. Para hacer esto, coloque el valor resultante en un compás y ajústelo a cada vértice del triángulo. Describir círculo completo no es necesario, marque fácilmente el lugar donde se cruza con la hipotenusa; este punto será el centro del círculo. Ésta es la cualidad de un triángulo rectángulo: el centro del círculo circunscrito a su alrededor está invariablemente en el medio de su lado más largo. Dibuja un círculo del radio establecido en la brújula con el centro en el punto detectado. Esto completará la construcción.

De vez en cuando sobre polígono convexo Está permitido dibujar un círculo de tal manera que los vértices de todos los ángulos se encuentren sobre él. Tal círculo en relación con el polígono debería llamarse circunscrito. Su centro no necesariamente debe ubicarse dentro del perímetro de la figura inscrita, sino utilizando las propiedades del descrito círculo, descubrir este punto, como es habitual, no es muy difícil.

Necesitará

• Regla, lápiz, transportador o escuadra, compás.

Instrucciones

1. Si el polígono alrededor del cual es necesario describir un círculo está dibujado en papel, encontrar centro y un círculo basta con regla, lápiz y transportador o escuadra. Mida la longitud de cada lado de la figura, determine su centro y coloque un punto auxiliar en este lugar del dibujo. Con el apoyo de una escuadra o transportador, dibuja un segmento dentro del polígono perpendicular a este lado hasta que se cruce con el lado opuesto.

2. Haz la misma operación con todos los demás lados del polígono. La intersección de 2 segmentos construidos será el punto deseado. Esto se desprende de la propiedad principal de lo descrito. círculo- su centro en un polígono convexo con cualquier número de lados se encuentra invariablemente en el punto de intersección de las bisectrices perpendiculares trazadas a estos lados.

3. Para polígonos regulares, la definición centro e inscrito círculo podría ser mucho más sencillo. Digamos que si es un cuadrado, entonces dibuja dos diagonales; su intersección será centro ohmios inscritos círculo. En un polígono positivo con un número par de lados, basta con combinar dos pares de ángulos opuestos con segmentos auxiliares: centro descrito círculo debe coincidir con el punto de su intersección. En un triángulo rectángulo, para resolver el problema, es fácil determinar el centro del lado más largo de la figura: la hipotenusa.

4. Si de las condiciones no queda claro si en la tesis está permitido dibujar un círculo circunscrito para un polígono dado, después de determinar la posición del punto centro y podrás averiguarlo utilizando cualquiera de los métodos descritos. Marque en la brújula la distancia entre el punto detectado y cada uno de los vértices, ajuste la brújula a la posición requerida centro círculo y dibuja un círculo; todo el vértice debe estar en este círculo. Si este no es el caso, entonces una de las propiedades básicas no se cumple y es imposible describir un círculo alrededor de este polígono.

Según la definición descrita círculo debe pasar por todos los vértices de las esquinas polígono dado. En este caso, idealmente no importa qué tipo de polígono sea: un triángulo, un cuadrado, un rectángulo, un trapezoide o cualquier otra cosa. Tampoco importa si el polígono es verdadero o falso. Sólo hay que considerar que existen polígonos alrededor de los cuales círculo imposible de describir. Siempre se permite describir círculo alrededor del triángulo. En cuanto a los cuadriláteros, entonces círculo Puedes describir un cuadrado, un rectángulo o un trapezoide isósceles.

Necesitará

• Polígono especificado
• Gobernante
• Cuadrado
• Lápiz
• Brújula
• Transportador
• Tablas de senos y cosenos
• Representaciones matemáticas y fórmulas.
• Teorema de pitágoras
• Teorema de los senos
• Teorema del coseno
• Signos de similitud de triángulos.

Instrucciones

1. Construye un polígono con parámetros dados y determinar si está permitido describir a su alrededor círculo. Si te dan un cuadrilátero, calcula sus sumas. esquinas opuestas. Cada uno de ellos debe ser igual a 180°.

2. Para describir círculo, necesitas calcular su radio. Recuerda dónde se encuentra el centro del círculo circunstante en varios polígonos. En un triángulo se ubica en el punto de intersección de todas las alturas. triángulo dado. En un cuadrado y rectángulos, en el punto de intersección de las diagonales, en un trapezoide, en el punto de intersección del eje de simetría con la línea que conecta los puntos medios de los lados laterales, y en cualquier otro polígono convexo, en el punto de intersección de las medianas perpendiculares a los lados.

3. Calcula el diámetro de un círculo circunscrito a un cuadrado y un rectángulo utilizando el teorema de Pitágoras. sera igual raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los lados del rectángulo. Para un cuadrado con todos los lados iguales, la diagonal es igual a la raíz cuadrada del doble del cuadrado del lado. Al dividir el diámetro por 2 se obtiene el radio.

4. Calcula el circunradio del triángulo. Dado que los parámetros del triángulo están dados en las condiciones, calcule el radio usando la fórmula R = a/(2·sinA), donde a es uno de los lados del triángulo, ? - el ángulo opuesto a él. En lugar de este lado, puedes tomar cualquier otro lado y el ángulo opuesto.

5. Calcula el radio del círculo circunscrito alrededor del trapezoide. R = a*d*c / 4 v(p*(p-a)*(p-d)*(p-c)) En esta fórmula, a y b son las bases del trapezoide, h es la altura, d es la diagonal, p = 1 /2*(a+d+c) . Calcular los valores faltantes. La altura se puede calcular utilizando el teorema de los senos o cosenos, ya que las longitudes de los lados del trapezoide y los ángulos se especifican en las condiciones del problema. Conociendo la altura y considerando los signos de semejanza de los triángulos, calcula la diagonal. Después de esto, solo queda calcular el radio usando la fórmula anterior.

Vídeo sobre el tema.

Consejo útil
Para calcular el radio de un círculo circunscrito alrededor de otro polígono, realice la serie construcciones adicionales. Consigue figuras más primitivas cuyos parámetros conozcas.

Consejo 4: Cómo dibujar un triángulo rectángulo usando un ángulo agudo y una hipotenusa

Un triángulo se llama triángulo rectángulo si el ángulo en uno de sus vértices es de 90°. El lado opuesto a este ángulo se llama hipotenusa y los lados opuestos a los dos ángulos agudos del triángulo se llaman catetos. Si la longitud de la hipotenusa y la magnitud de uno de los Esquinas filosas, entonces estos datos son suficientes para construir un triángulo usando al menos dos métodos.

Necesitará

• Una hoja de papel, un lápiz, una regla, un compás, una calculadora.

Instrucciones

1. El primer método requiere, además de lápiz y papel, una regla, un transportador y un cuadrado. Primero, dibuja el lado que es la hipotenusa: coloca el punto A, aparta de él la longitud conocida de la hipotenusa, coloca el punto C y combina los puntos.

2. Fija el transportador al segmento dibujado de forma que la marca cero coincida con el punto A, mide el valor del ángulo agudo conocido y coloca un punto auxiliar. Dibuja una línea que comenzará en el punto A y pasará por el punto auxiliar.

3. Une el cuadrado al segmento AC de tal manera que el ángulo recto comience desde el punto C. Marca el punto donde el cuadrado cruza la línea trazada en el paso anterior con la letra B y combínalo con el punto C. Esto completa la construcción de Se completará un triángulo rectángulo con la famosa longitud de lado AC (hipotenusa) y un ángulo agudo en el vértice A.

4. Otro método, además de lápiz y papel, requerirá regla, compás y calculadora. Comience calculando las longitudes de los catetos; conocer el tamaño de un ángulo agudo y la longitud de la hipotenusa es absolutamente suficiente para esto.

5. Calcule la longitud de ese cateto (AB), el que se encuentra opuesto al ángulo de la cantidad conocida (β): será igual al producto la longitud de la hipotenusa (AC) por el seno del famoso ángulo AB=AC*sin(β).

6. Determine la longitud del otro cateto (BC): será igual al producto de la longitud de la hipotenusa y el coseno del ángulo dado BC=AC*cos(β).

7. Coloque el punto A, mida la longitud de la hipotenusa a partir de él, coloque el punto C y dibuje una línea entre ellos.

8. Aparta en el compás la longitud del cateto AB, calculada en el quinto paso, y dibuja un semicírculo auxiliar con centro en el punto A.

9. Aparta en el compás la longitud del cateto BC, calculada en el sexto paso, y dibuja un semicírculo auxiliar con centro en el punto C.

10. Marca el punto de intersección de los 2 semicírculos con la letra B y dibuja segmentos entre los puntos A y B, C y B. Esto completará la construcción del triángulo rectángulo.

Consejo 5: ¿Cuáles son los nombres de los lados de un triángulo rectángulo?

La gente se interesó por las impresionantes propiedades de los triángulos rectángulos ya en la antigüedad. Muchas de estas propiedades fueron descritas por el antiguo científico griego Pitágoras. En la Antigua Grecia también aparecieron los nombres de los lados de un triángulo rectángulo.

¿Qué triángulo se llama triángulo rectángulo?

Hay varios tipos de triángulos. Algunos tienen todos los ángulos agudos, otros tienen uno obtuso y dos agudos, y otros tienen dos agudos y uno recto. Según este signo, todo tipo de estos formas geométricas y recibió el nombre: de ángulo agudo, de ángulo obtuso y rectangular. Es decir, un triángulo en el que uno de los ángulos mide 90° se llama triángulo rectángulo. Existe otra definición similar a la primera. Un triángulo cuyos dos lados son perpendiculares se llama triángulo rectángulo.

hipotenusa y piernas

Los de ángulo agudo y triangulos obtusos los segmentos que conectan los vértices de las esquinas se llaman primitivamente lados. en el triangulo lado rectangular También tienen otros nombres. Los adyacentes al ángulo recto se llaman catetos. El lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa. Traducido de Palabra griega"Hipotenusa" significa "apretada" y "pierna" significa "perpendicular".

Relaciones entre la hipotenusa y los catetos.

Los lados de un triángulo rectángulo están relacionados entre sí mediante ciertas relaciones, lo que facilita mucho los cálculos. Por ejemplo, conociendo las dimensiones de los catetos, puedes calcular la longitud de la hipotenusa. Esta relación, que lleva el nombre del matemático que la descubrió, se llamó teorema de Pitágoras y tiene este aspecto: c2 = a2 + b2, donde c es la hipotenusa, a y b son los catetos. Es decir, la hipotenusa será igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los catetos. Para descubrir cada uno de los catetos basta con restar el cuadrado del otro cateto al cuadrado de la hipotenusa y extraer la raíz cuadrada de la diferencia resultante.

Pierna adyacente y opuesta

Dibuja un triángulo rectángulo DIA. La letra C generalmente denota el vértice de un ángulo recto, A y B, los vértices de ángulos agudos. Es conveniente llamar a los lados opuestos al ángulo total a, byc, según los nombres de los ángulos opuestos a ellos. Mire el ángulo A. El cateto a será opuesto, el cateto b será adyacente. Actitud pierna opuesta a la hipotenusa se llama seno. Esta función trigonométrica se puede calcular usando la fórmula: sinA=a/c. La razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa se llama coseno. Se calcula mediante la fórmula: cosA=b/c. Así, conociendo el ángulo y uno de los lados, es posible calcular el otro lado mediante estas fórmulas. Relaciones trigonométricas Ambos lados también están conectados. La razón del opuesto al adyacente se llama tangente, y la razón del adyacente al opuesto se llama cotangente. Estas relaciones se pueden expresar usando las fórmulas tgA=a/b o ctgA=b/a.