Medida en grados de un ángulo. Medida de ángulo en radianes. Conversión de grados a radianes y viceversa.

¡Atención!
Hay adicionales
materiales en la Sección Especial 555.
Para los que son muy "no muy..."
Y para los que “mucho…”)

En la lección anterior aprendimos cómo medir ángulos en un círculo trigonométrico. Aprendí a contar positivos y ángulos negativos. Aprendimos a dibujar un ángulo mayor a 360 grados. Es hora de descubrir cómo medir ángulos. Especialmente con el número "Pi", que intenta confundirnos en tareas difíciles, eso sí...

Los problemas estándar de trigonometría con el número "Pi" se resuelven bien. Memoria visual ayuda. ¡Pero cualquier desviación del modelo es un desastre! Para evitar caer - entender necesario. Que es lo que haremos ahora con éxito. Quiero decir, ¡lo entenderemos todo!

Entonces, qué ¿Cuentan los ángulos? EN curso escolar La trigonometría utiliza dos medidas: medida de grado de ángulo Y medida del ángulo en radianes. Veamos estas medidas. Sin esto, no hay ninguna parte en trigonometría.

Medida en grados de un ángulo.

De alguna manera nos acostumbramos a los grados. Como mínimo pasamos geometría... Y en la vida a menudo nos encontramos con la frase "girado 180 grados", por ejemplo. Una carrera, en definitiva, es algo sencillo...

¿Sí? Contéstame entonces ¿Qué es un título? ¿Qué, no funciona de inmediato? Eso es todo...

Los grados se inventaron en la antigua Babilonia. Fue hace mucho tiempo... hace 40 siglos... Y se les ocurrió una idea sencilla. Tomaron y dividieron el círculo en 360 partes iguales. 1 grado es 1/360 de un círculo. Eso es todo. Podrían haberlo partido en 100 pedazos. O 1000. Pero lo dividieron en 360. Por cierto, ¿por qué exactamente 360? ¿Cómo es 360 mejor que 100? 100 parece ser de alguna manera más fluido... Intente responder esta pregunta. O débilmente en contra Babilonia antigua?

En algún lugar al mismo tiempo, en Antiguo Egipto Estaban atormentados por otra pregunta. ¿Cuántas veces es mayor la longitud de un círculo que la longitud de su diámetro? Y lo midieron de esta manera, y de aquella manera... Todo resultó ser un poco más de tres. Pero de alguna manera resultó peludo, desigual... Pero ellos, los egipcios, no tienen la culpa. Después de ellos, sufrieron durante otros 35 siglos. Hasta que finalmente demostraron que no importa cuán finamente cortes un círculo en pedazos iguales, a partir de esos pedazos puedes hacer liso La longitud del diámetro es imposible... En principio, es imposible. Bueno, claro, se estableció cuántas veces la circunferencia es mayor que el diámetro. Aproximadamente. 3.1415926... veces.

Este es el número "Pi". Tan peludo, tan peludo. Después del punto decimal hay una cantidad infinita de números sin ningún orden... Estos números se llaman irracionales. Esto, por cierto, significa que de partes iguales de un círculo el diámetro liso no doblar. Nunca.

Para aplicación práctica Es costumbre recordar sólo dos dígitos después del punto decimal. Recordar:

Como entendemos que la circunferencia de un círculo es mayor que su diámetro en "Pi", tiene sentido recordar la fórmula para la circunferencia de un círculo:

Dónde l- circunferencia, y d- su diámetro.

Útil en geometría.

Para educación general Añadiré que el número “Pi” no sólo se encuentra en geometría... ¡En diversas ramas de las matemáticas, y especialmente en la teoría de la probabilidad, este número aparece constantemente! Por sí mismo. Más allá de nuestros deseos. Como esto.

Pero volvamos a los grados. ¿Has descubierto por qué en la antigua Babilonia el círculo estaba dividido en 360 partes iguales? ¿Y no a 100, por ejemplo? ¿No? DE ACUERDO. Te daré una versión. No se puede preguntar a los antiguos babilonios... Para la construcción o, digamos, la astronomía, conviene dividir el círculo en partes iguales. Ahora descubre por qué números es divisible. completamente 100 y cuáles, 360? ¿Y en qué versión de estos divisores? completamente- ¿más? Esta división es muy conveniente para las personas. Pero...

Como resultó mucho más tarde que la antigua Babilonia, no a todo el mundo le gustan los títulos. A las matemáticas superiores no les gustan... Matemáticas avanzadas- una dama seria, organizada según las leyes de la naturaleza. Y esta señora declara: “Hoy rompiste el círculo en 360 partes, mañana lo romperás en 100, pasado mañana en 245... ¿Y qué debo hacer? No, de verdad...” Tenía que escuchar. No se puede engañar a la naturaleza...

Tuvimos que introducir una medida de ángulo que no dependiera de inventos humanos. Encontrarse - ¡radián!

Medida de ángulo en radianes.

¿Qué es un radián? La definición de radianes todavía se basa en un círculo. Un ángulo de 1 radian es un ángulo que corta un arco a un círculo cuya longitud es ( l) es igual a la longitud del radio ( R). Miremos las fotos.

Un ángulo tan pequeño, es casi inexistente... Pasamos el cursor sobre la imagen (o tocamos la imagen en la tableta) y vemos aproximadamente uno radián. L = R

¿Sientes la diferencia?

Un radian es mucho más que un grado. ¿Cuantas veces?

Miremos la siguiente imagen. En el que dibujé un semicírculo. El ángulo desplegado es, naturalmente, de 180°.

¡Ahora cortaré este semicírculo en radianes! Pasamos el cursor sobre la imagen y vemos que 180° se ajusta a 3 radianes y medio.

¿Quién puede adivinar a qué equivale esta cola?

¡Sí! Esta cola es 0,1415926.... Hola, número "Pi", ¡aún no te hemos olvidado!

De hecho, 180° grados contienen 3,1415926... radianes. Como usted mismo comprende, escribir 3.1415926 todo el tiempo... es un inconveniente. Así que en vez número infinito escribe siempre simplemente:

Pero en Internet el número

Es incómodo escribir... Por eso escribo su nombre en el texto: "Pi". No te confundas, ¿vale?...

Ahora podemos escribir una igualdad aproximada de una manera completamente significativa:

O igualdad exacta:

Determinemos cuántos grados hay en un radian. ¿Cómo? ¡Fácilmente! Si hay 180° grados en 3,14 radianes, ¡entonces hay 3,14 veces menos en 1 radian! Es decir, dividimos la primera ecuación (¡la fórmula también es una ecuación!) por 3,14:

Es útil recordar esta relación. Un radianes equivale aproximadamente a 60°. En trigonometría, a menudo es necesario estimar y evaluar la situación. Aquí es donde este conocimiento ayuda mucho.

Pero la principal habilidad de este tema es convertir grados a radianes y viceversa.

Si el ángulo se da en radianes con el número "Pi", todo es muy sencillo. Sabemos que "Pi" radianes = 180°. Entonces sustituimos “Pi” por radianes - 180°. Obtenemos el ángulo en grados. Reducimos lo reducido y la respuesta está lista. Por ejemplo, necesitamos saber cuántas grados en ángulo "Pi"/2 radián? Entonces escribimos:

O una expresión más exótica:

Fácil, ¿verdad?

La traducción inversa es un poco más complicada. Pero no mucho. Si el ángulo está dado en grados, debemos calcular a qué equivale un grado en radianes y multiplicar ese número por la cantidad de grados. ¿A cuánto equivale 1° en radianes?

Observamos la fórmula y nos damos cuenta de que si 180° = “Pi” radianes, entonces 1° es 180 veces más pequeño. O, en otras palabras, dividimos la ecuación (¡una fórmula también es una ecuación!) entre 180. No es necesario representar “Pi” como 3,14, de todos modos siempre se escribe con una letra. Encontramos que un grado es igual a:

Eso es todo. Multiplicamos el número de grados por este valor y obtenemos el ángulo en radianes. Por ejemplo:

O, de manera similar:

Como puede ver, en una conversación tranquila con digresiones líricas Resultó que los radianes son muy simples. Y la traducción no es problema... Y "Pi" es algo completamente tolerable... Entonces, ¿¡de dónde viene la confusión!?

Voy a revelar el secreto. El caso es que en funciones trigonométricas se escribe el símbolo de grados. Siempre. Por ejemplo, sen35°. Este es el seno 35 grados . Y el ícono en radianes ( contento) - ¡no escrito! Está implícito. O los matemáticos se sintieron abrumados por la pereza, o algo más... Pero decidieron no escribir. Si no hay símbolos dentro del seno-cotangente, entonces el ángulo es en radianes ! Por ejemplo, cos3 es coseno de tres radianes .

Esto lleva a confusión... Una persona ve “Pi” y cree que mide 180°. En cualquier momento y en cualquier lugar. Por cierto, esto funciona. Por el momento, los ejemplos son estándar. ¡Pero "Pi" es un número! ¡El número es 3,14, pero no grados! ¡Esto es radianes "Pi" = 180°!

Una vez más: ¡“Pi” es un número! 3.14. Irracional, pero un número. Lo mismo que 5 u 8. Puedes, por ejemplo, hacer pasos "Pi". Tres pasos y un poco más. O compre kilogramos de caramelos "Pi". Si un vendedor educado se encuentra...

¡"Pi" es un número! ¿Qué, te molesté con esta frase? ¿Ya lo entendiste todo hace mucho tiempo? DE ACUERDO. Vamos a revisar. Dime, ¿qué número es mayor?

¿O qué es menos?

Esto es un poco una serie. preguntas no estándar, que puede llevarte al estupor...

Si tú también has caído en un estupor, recuerda el hechizo: ¡“Pi” es un número! 3.14. En el primer seno se indica claramente que el ángulo es en grados! ¡Por lo tanto, es imposible reemplazar “Pi” en 180°! Los grados "Pi" son aproximadamente 3,14°. Por tanto, podemos escribir:

No hay notaciones en el segundo seno. Por lo tanto, allí - radianes! Aquí es donde reemplazar “Pi” en 180° funcionará bien. Al convertir radianes a grados, como se escribió anteriormente, obtenemos:

Queda por comparar estos dos senos. Qué. ¿Olvidaste cómo? ¡Usando un círculo trigonométrico, por supuesto! Dibuja un círculo, dibuja ángulos aproximados de 60° y 1,05°. Veamos qué senos tienen estos ángulos. En resumen, todo se describe como al final del tema sobre el círculo trigonométrico. En un círculo (¡incluso en el torcido!) será claramente visible que pecado60° significativamente más que sen1.05°.

Haremos exactamente lo mismo con los cosenos. En el círculo, dibuja ángulos de aproximadamente 4 grados y 4 radián(¿Has olvidado a qué equivale aproximadamente 1 radian?). ¡El círculo lo dirá todo! Por supuesto, cos4 es menor que cos4°.

Practiquemos usando medidas de ángulos.

Convierte estos ángulos de grados a radianes:

360°; 30°; 90°; 270°; 45°; 0°; 180°; 60°

Deberías obtener estos valores en radianes (¡en un orden diferente!)

0

Por cierto, destaqué específicamente las respuestas en dos líneas. Bueno, averigüemos cuáles son las esquinas en la primera línea. ¿Al menos en grados, al menos en radianes?

¡Sí! ¡Estos son los ejes del sistema de coordenadas! Si miras el círculo trigonométrico, entonces el lado móvil del ángulo con estos valores encaja exactamente en los ejes. Es necesario conocer estos valores. Y noté el ángulo de 0 grados (0 radianes) por una buena razón. Y luego algunas personas simplemente no pueden encontrar este ángulo en un círculo... Y, en consecuencia, se confunden en las funciones trigonométricas del cero... Otra cosa es que la posición del lado en movimiento en cero grados coincide con la posición en 360°, por lo que siempre hay coincidencias en el círculo cercano.

En la segunda línea también hay ángulos especiales... Estos son 30°, 45° y 60°. ¿Y qué tienen de especial? Nada especial. La única diferencia entre estos ángulos y todos los demás es que debes conocer estos ángulos. Todo. Y dónde están ubicados y qué funciones trigonométricas tienen estos ángulos. digamos el valor pecado100° no tienes que saberlo. A pecado45°- ¡por favor sea tan amable! Este es un conocimiento obligatorio, sin el cual no hay nada que hacer en trigonometría... Pero hablaremos más sobre esto en la próxima lección.

Mientras tanto, sigamos entrenando. Convierte estos ángulos de radianes a grados:

Deberías obtener resultados como este (en desorden):

210°; 150°; 135°; 120°; 330°; 315°; 300°; 240°; 225°.

¿Sucedió? Entonces podemos suponer que convertir grados a radianes y viceversa- ya no es tu problema.) Pero traducir ángulos es el primer paso para comprender la trigonometría. Allí también necesitas trabajar con senos y cosenos. Y con tangentes y cotangentes también...

El segundo paso poderoso es capacidad de determinar la posición de cualquier ángulo en círculo trigonométrico. Tanto en grados como en radianes. Te daré pistas aburridas sobre esta misma habilidad a lo largo de la trigonometría, sí...) Si sabes todo (o crees que lo sabes todo) sobre el círculo trigonométrico y la medida de los ángulos en el círculo trigonométrico, puedes comprobarlo. Resuelve estas sencillas tareas:

1. ¿En qué cuarto caen los ángulos?

45°, 175°, 355°, 91°, 355° ?

¿Fácilmente? Continuemos:

2. ¿En qué cuarto caen las esquinas?

¿402°, 535°, 3000°, -45°, -325°, -3000°?

¿No hay problema también? Atractivo...)

3. Puedes colocar las esquinas en cuartos:

¿Podrías? Bueno, dale...)

4. ¿Sobre qué ejes caerá la esquina?

y esquina:

¿Es fácil también? Mmm...)

5. ¿En qué cuarto caen las esquinas?

¿¡Y funcionó!? Bueno, entonces realmente no lo sé...)

6. Determine en qué cuarto caen las esquinas:

1, 2, 3 y 20 radianes.

Daré una respuesta sólo a la última pregunta (es un poco complicada) de la última tarea. En el primer cuarto caerá un ángulo de 20 radianes.

No daré el resto de las respuestas, no por codicia.) Simplemente, si no he decidido algo Lo dudas como resultado, o gastado en la tarea número 4 más de 10 segundos, estás mal orientado en un círculo. Este será tu problema en toda la trigonometría. Es mejor deshacerse de él (¡el problema, no de la trigonometría!) inmediatamente. Esto se puede hacer en el tema: Trabajo práctico con el círculo trigonométrico en la sección 555.

Le indica cómo resolver dichas tareas de forma sencilla y correcta. Bueno, estas tareas están resueltas, por supuesto. Y la cuarta tarea se resolvió en 10 segundos. ¡Sí, se ha decidido que cualquiera puede hacerlo!

Si tiene plena confianza en sus respuestas y no le interesan formas sencillas y sin problemas de trabajar con radianes, no es necesario que visite 555. No insisto).

Una buena comprensión es suficiente. buena razón¡seguir adelante!)

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Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).

Podrás practicar la resolución de ejemplos y descubrir tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendamos, ¡con interés!)

Puede familiarizarse con funciones y derivadas.

Funciones trigonométricas son funciones elementales cuyo argumento es esquina. Mediante el uso funciones trigonométricas Describe las relaciones entre los lados y los ángulos agudos de un triángulo rectángulo. Los campos de aplicación de las funciones trigonométricas son extremadamente diversos. Por ejemplo, cualquier proceso periódico se puede representar como una suma de funciones trigonométricas (serie de Fourier). Estas funciones suelen aparecer al resolver ecuaciones diferenciales y funcionales.

Las funciones trigonométricas incluyen las siguientes 6 funciones: seno, coseno, tangente, cotangente, secante Y cosecante. Para cada funciones especificadas hay una función trigonométrica inversa.

La definición geométrica de funciones trigonométricas se puede introducir convenientemente usando circulo unitario. La siguiente figura muestra un círculo con radio. r= 1. Hay un punto en el círculo. METRO(x,y). Ángulo entre vectores de radio om y dirección del eje positivo Buey es igual α .

Senoángulo α y puntos METRO(x,y) al radio r: pecado α = y/r. Porque el r= 1, entonces el seno es igual a la ordenada del punto METRO(x,y).

Cosenoángulo α X puntos METRO(x,y) al radio r:porque α = X/r = X

Tangenteángulo α llamada razón de ordenadas y puntos METRO(x,y) a su abscisa X:broncearse α = y/X, X ≠ 0

Cotangenteángulo α llamada relación de abscisas X puntos METRO(x,y) a su ordenada y:cuna α = X/y, y ≠ 0

Secanteángulo α − es la relación del radio r a la abscisa X puntos METRO(x,y):segundo α = r/X = 1/X, X ≠ 0

Cosecanteángulo α − es la relación del radio r a la ordenada y puntos METRO(x,y): cosec α = r/y = 1/y, y ≠ 0

En el círculo unitario de proyección X, y puntos METRO(x,y) y radio r formar un triángulo rectángulo en el que x,y son piernas, y r− hipotenusa. Por lo tanto, las definiciones anteriores de funciones trigonométricas aplicadas a un triángulo rectángulo se formulan de la siguiente manera: Senoángulo α se llama razón del cateto opuesto a la hipotenusa. Cosenoángulo α Se llama relación entre el cateto adyacente y la hipotenusa. Tangenteángulo α llamado lado opuesto al adyacente. Cotangenteángulo α llamado pierna adyacente al contrario.

Gráfica de la función seno y= pecado X, dominio: X ∈ ℜ , rango: −1 ≤ pecado X ≤ 1

Gráfica de la función coseno y= porque X, dominio: X ∈ ℜ , rango: −1 ≤ cos X ≤ 1

Gráfica de la función tangente y= ttg X, dominio: X ∈ ℜ , X ≠ (2k + 1)π /2, rango: −∞< tg X < ∞

Gráfica de la función cotangente y=ctg X, dominio: X ∈ ℜ , X ≠ kπ, rango: −∞< ctg X < ∞

Miremos la foto. El vector \(AB\) ha “girado” con respecto al punto \(A\) en una cierta cantidad. Entonces esta es la medida de esta rotación relativa a posición inicial y actuará ángulo \(\alfa\).

¿Qué más necesitas saber sobre el concepto de ángulo? Bueno, por supuesto, ¡unidades angulares!

El ángulo, tanto en geometría como en trigonometría, se puede medir en grados y radianes.

Un ángulo de \(1()^\circ \) (un grado) se llama ángulo central en un círculo, descansando sobre un arco circular igual a \(\dfrac(1)(360)\) parte del círculo.

Por lo tanto, todo el círculo consta de \(360\) "piezas" de arcos circulares, o el ángulo descrito por el círculo es \(360()^\circ \) .

Es decir, la figura de arriba muestra un ángulo \(\beta \) igual a \(50()^\circ \), es decir, este ángulo descansa sobre un arco circular que mide \(\dfrac(50)(360) \ ) la circunferencia.

Un ángulo en \(1\) radianes es el ángulo central de un círculo subtendido por un arco circular cuya longitud es igual al radio del círculo.

Entonces, la figura muestra un ángulo \(\gamma \) igual a \(1 \) radianes, es decir, este ángulo descansa sobre un arco circular, cuya longitud es igual al radio del círculo (la longitud \( AB \) es igual a la longitud \(BB" \) o radio \(r\) igual a la longitud arcos \(l\) ). Por tanto, la longitud del arco se calcula mediante la fórmula:

\(l=\theta \cdot r\) , donde \(\theta \) es el ángulo central en radianes.

Bueno, sabiendo esto, ¿puedes responder cuántos radianes contiene el ángulo que describe el círculo? Sí, para ello es necesario recordar la fórmula de la circunferencia. Aqui esta ella:

\(L=2\pi \cdot r\)

Bueno, ahora correlacionemos estas dos fórmulas y encontremos que el ángulo descrito por el círculo es igual a \(2\pi \). Es decir, al correlacionar el valor en grados y radianes, encontramos que \(2\pi =360()^\circ \) . En consecuencia, \(\pi =180()^\circ \) . Como puede ver, a diferencia de "grados", se omite la palabra "radianes", ya que la unidad de medida suele quedar clara en el contexto.

Convertidor de longitud y distancia Convertidor de masa Convertidor de volumen a granel y de alimentos Convertidor de área Convertidor de volumen y unidades en recetas culinarias Convertidor de temperatura Convertidor de presión, tensión mecánica, módulo de Young Convertidor de energía y trabajo Convertidor de potencia Convertidor de fuerza Convertidor de tiempo Convertidor velocidad lineal Convertidor de números de eficiencia térmica y eficiencia de combustible de ángulo plano a varios sistemas notaciones Convertidor de unidades de medida de cantidad de información Tipos de cambio Tallas de ropa y calzado de mujer Tallas Ropa de Hombre y convertidor de zapatos velocidad angular y velocidad de rotación Convertidor de aceleración Convertidor aceleración angular Convertidor de densidad Convertidor de volumen específico Convertidor de momento de inercia Convertidor de momento de fuerza Convertidor de par Convertidor calor especifico combustión (en masa) Convertidor de densidad de energía y calor específico de combustión del combustible (en volumen) Convertidor de diferencia de temperatura Convertidor de coeficientes expansión térmica Convertidor de resistencia térmica conductividad térmica Convertidor capacidad calorífica específica Convertidor de potencia de exposición a la energía y radiación térmica Convertidor de densidad flujo de calor Convertidor de coeficiente de transferencia de calor Convertidor de flujo volumétrico Convertidor de flujo másico Convertidor de flujo molar Convertidor de densidad de flujo másico concentración molar Convertidor concentración de masa en solución Convertidor de viscosidad dinámica (absoluta) Convertidor de viscosidad cinemática Convertidor tensión superficial Convertidor de permeabilidad al vapor Convertidor de permeabilidad al vapor y tasa de transferencia de vapor Convertidor de nivel de sonido Convertidor de sensibilidad del micrófono Convertidor de nivel de presión sonora (SPL) Convertidor de nivel de presión sonora con presión de referencia seleccionable Convertidor de brillo Convertidor de intensidad luminosa Convertidor de iluminancia Convertidor de resolución gráficos de computadora Convertidor de frecuencia y longitud de onda. potencia óptica en dioptrías y longitud focal Potencia óptica en dioptrías y aumento de lente (×) Convertidor carga eléctrica Convertidor de densidad de carga lineal densidad superficial Convertidor de carga Densidad a Granel Convertidor de carga corriente eléctrica Convertidor de densidad de corriente lineal Convertidor de densidad de corriente superficial Convertidor de intensidad de campo eléctrico Convertidor potencial electrostático y convertidor de voltaje resistencia eléctrica Convertidor Convertidor de Resistividad Eléctrica conductividad eléctrica Convertidor de conductividad eléctrica Capacidad eléctrica Convertidor de Inductancia Convertidor Americano de Calibre de Cables Convertidor de Niveles en dBm (dBm o dBm), dBV (dBV), vatios y otras unidades fuerza magnetomotriz Convertidor de tensión campo magnético Convertidor flujo magnético Convertidor de inducción magnética Radiación. Convertidor de tasa de dosis absorbida radiación ionizante Radioactividad. Convertidor desintegración radioactiva Radiación. Convertidor de dosis de exposición Radiación. Convertidor de dosis absorbida Convertidor de prefijos decimales Transferencia de datos Convertidor de unidades de procesamiento de imágenes y tipografía Cálculo del convertidor de unidades de volumen de madera masa molar Tabla periódica elementos químicos D. I. Mendeleev

1 radian [rad] = 57,2957795130823 grados [°]

Valor inicial

Valor convertido

grados radianes grad gon minuto segundo sector zodiacal milésima revolución círculo revolución cuadrante ángulo recto sextante

Más sobre ángulos

información general

Un ángulo plano es una figura geométrica formada por dos líneas que se cruzan. Un ángulo plano consta de dos rayos con comienzo común, y este punto se llama vértice del rayo. Los rayos se llaman lados del ángulo. hay muchos rincones propiedades interesantes, por ejemplo, la suma de todos los ángulos en un paralelogramo es 360° y en un triángulo, 180°.

tipos de ángulos

Directo los ángulos son 90°, picante- menos de 90°, y estúpido- por el contrario, más de 90°. Los ángulos iguales a 180° se llaman desplegada, los ángulos de 360° se llaman lleno, y los ángulos mayores que completos pero menores que completos se llaman no convexo. Cuando la suma de dos ángulos es 90°, es decir, un ángulo complementa al otro en 90°, se llaman adicional adyacente, y si es hasta 360° - entonces conjugado

Cuando la suma de dos ángulos es 90°, es decir, un ángulo complementa al otro en 90°, se llaman adicional. Si se complementan hasta 180° se llaman adyacente, y si es hasta 360° - entonces conjugado. En los polígonos, los ángulos dentro del polígono se llaman internos y los conjugados con ellos se llaman externos.

Dos ángulos formados por la intersección de dos rectas que no son adyacentes se llaman vertical. Son iguales.

Ángulos de medición

Los ángulos se miden con un transportador o se calculan mediante una fórmula midiendo los lados del ángulo desde el vértice hasta el arco y la longitud del arco que limita estos lados. Los ángulos suelen medirse en radianes y grados, aunque existen otras unidades.

Puedes medir tanto los ángulos formados entre dos líneas rectas como entre líneas curvas. Para medir entre curvas se utilizan tangentes en el punto de intersección de las curvas, es decir, en el vértice del ángulo.

Transportador

Un transportador es una herramienta para medir ángulos. La mayoría de los transportadores tienen forma de semicírculo o círculo y pueden medir ángulos de hasta 180° y 360°, respectivamente. Algunos transportadores tienen una regla giratoria adicional incorporada para facilitar la medición. Las escalas en los transportadores suelen escribirse en grados, aunque a veces también en radianes. Los transportadores se utilizan con mayor frecuencia en las clases de geometría en la escuela, pero también se utilizan en arquitectura e ingeniería, en particular en la fabricación de herramientas.

Uso de ángulos en arquitectura y arte.

Artistas, diseñadores, artesanos y arquitectos llevan mucho tiempo utilizando ángulos para crear ilusiones, acentos y otros efectos. Alternancia de ángulos agudos y obtusos o patrones geométricos de Esquinas filosas Se utiliza a menudo en arquitectura, mosaicos y vidrieras, como en catedrales góticas y mosaicos islámicos.

Una de las formas famosas de bellas artes islámicas es la decoración con diseños geométricos de girih. Este diseño se utiliza en mosaicos, tallas de metal y madera, sobre papel y tela. El dibujo se crea alternando formas geométricas. Tradicionalmente, se utilizan cinco cifras con estricto ciertos ángulos a partir de combinaciones de 72°, 108°, 144° y 216°. Todos estos ángulos son divisibles por 36°. Cada figura está dividida por líneas en varias más pequeñas. figuras simétricas para crear un patrón más delgado. Inicialmente, estas figuras o piezas de mosaico se llamaban girikh, de ahí el nombre de todo el estilo. En Marruecos existe un estilo geométrico similar de mosaico, zullage o zilij. La forma de las baldosas de terracota con las que está hecho este mosaico no se observa tan estrictamente como en girikha, y las baldosas suelen tener formas más extrañas que las estrictas. figuras geometricas en Giriha. A pesar de esto, los artistas zullija también usan ángulos para crear patrones intrincados y contrastantes.

En islámico Bellas Artes y en arquitectura se utiliza a menudo el rub al-hizb, un símbolo en forma de un cuadrado superpuesto a otro en un ángulo de 45°, como en las ilustraciones. Se le puede representar como figura solida, o en forma de líneas; en este caso, este símbolo se llama estrella de Al-Quds (al Quds). El Rub al-Hizb a veces está decorado con pequeños círculos en la intersección de los cuadrados. Este símbolo se utiliza en los escudos de armas y en las banderas de los países musulmanes, por ejemplo en el escudo de armas de Uzbekistán y en la bandera de Azerbaiyán. Las bases de las torres gemelas más altas del mundo en el momento de escribir este artículo (primavera de 2013), las Torres Petronas, están construidas en forma de Rub al-Hizb. Estas torres están ubicadas en Kuala Lumpur en Malasia y el Primer Ministro del país participó en su diseño.

Las esquinas afiladas se utilizan a menudo en arquitectura como elementos decorativos. Le dan al edificio una estricta elegancia. Los ángulos obtusos, por el contrario, dan a los edificios un aspecto acogedor. Por ejemplo, admiramos las catedrales y los castillos góticos, pero parecen un poco tristes e incluso aterradores. Pero lo más probable es que elijamos una casa con techo. ángulos obtusos entre las pistas. Las esquinas en arquitectura también se utilizan para fortalecer. partes diferentes edificio. Los arquitectos diseñan la forma, el tamaño y el ángulo de inclinación en función de la carga sobre las paredes que necesitan refuerzo. Este principio de fortalecimiento mediante inclinación se ha utilizado desde la antigüedad. Por ejemplo, los antiguos constructores aprendieron a construir arcos sin cemento u otros materiales aglutinantes, colocando piedras en un ángulo determinado.

Por lo general, los edificios se construyen verticalmente, pero a veces hay excepciones. Algunos edificios se construyen intencionalmente con pendiente y otros se inclinan debido a errores. Un ejemplo de edificios inclinados es el Taj Mahal en la India. Los cuatro minaretes que rodean el edificio principal se construyeron con una inclinación desde el centro, de modo que en caso de terremoto no cayeran hacia el interior, sobre el mausoleo, sino en la otra dirección, y no dañaran el edificio principal. A veces los edificios se construyen en ángulo con respecto al suelo con fines decorativos. Por ejemplo, la Torre Inclinada de Abu Dhabi o Capital Gate está inclinada 18° hacia el oeste. Y uno de los edificios del Puzzle World de Stuart Landsborough en Wanka, Nueva Zelanda, está inclinado 53° con respecto al suelo. Este edificio se llama “Torre Inclinada”.

A veces la inclinación de un edificio es el resultado de un error de diseño, como por ejemplo la inclinación de la Torre Inclinada de Pisa. Los constructores no tuvieron en cuenta la estructura y calidad del suelo sobre el que se construyó. Se suponía que la torre debía mantenerse recta, pero los pobres cimientos no pudieron soportar su peso y el edificio se hundió, inclinándose hacia un lado. La torre ha sido restaurada muchas veces; la restauración más reciente del siglo XX detuvo su paulatino hundimiento y pendiente creciente. Logramos nivelarlo de 5,5° a 4°. La torre de la iglesia de SuurHusen en Alemania también está inclinada porque sus cimientos de madera se pudrieron por un lado después de que se drenara el suelo pantanoso sobre el que estaba construida. En este momento esta torre está inclinada más que la Torre Inclinada de Pisa, unos 5°.

¿Le resulta difícil traducir unidades de medida de un idioma a otro? Los colegas están listos para ayudarlo. Publicar una pregunta en TCTerms y en unos minutos recibirás una respuesta.

Los ángulos se miden en grados o radianes. Es importante comprender la relación entre estas unidades de medida. Comprender esta relación le permite operar con ángulos y hacer la transición de grados a radianes y viceversa. En este artículo, derivaremos una fórmula para convertir grados a radianes y radianes a grados, y también veremos varios ejemplos prácticos.

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Relación entre grados y radianes

Para establecer la conexión entre grados y radianes, es necesario conocer la medida en grados y radianes de un ángulo. Por ejemplo, tomemos el ángulo central, que se basa en el diámetro de un círculo de radio r. Para calcular la medida en radianes de este ángulo, es necesario dividir la longitud del arco por la longitud del radio del círculo. El ángulo considerado corresponde a la longitud del arco, igual a la mitad circunferencia π · r. Divide la longitud del arco por el radio y obtén la medida en radianes del ángulo: π · r r = π rad.

Entonces, el ángulo en cuestión es π radianes. Por otro lado, es un ángulo invertido igual a 180°. Por lo tanto 180° = π rad.

Relación entre grados y radianes

La relación entre radianes y grados se expresa mediante la fórmula

π radianes = 180°

Fórmulas para convertir radianes a grados y viceversa.

A partir de la fórmula obtenida anteriormente, puedes derivar otras fórmulas para convertir ángulos de radianes a grados y de grados a radianes.

Expresemos un radian en grados. Para hacer esto, divide los lados izquierdo y derecho del radio por pi.

1 r a d = 180 π ° - la medida en grados de un ángulo de 1 radian es igual a 180 π.

También puedes expresar un grado en radianes.

1° = π 180 r a d

Puedes realizar cálculos aproximados de valores de ángulos en radianes y viceversa. Para hacer esto, tome los valores del número π con una precisión de diez milésimas y sustitúyalos en las fórmulas resultantes.

1 r a d = 180 π ° = 180 3, 1416 ° = 57, 2956 °

Entonces hay aproximadamente 57 grados en un radian

1° = π 180 r a d = 3.1416 180 r a d = 0.0175 r a d

Un grado contiene 0,0175 radianes.

Fórmula para convertir radianes a grados

x r a d = x 180 π °

Para convertir un ángulo de radianes a grados, debes multiplicar el ángulo en radianes por 180 y dividirlo por pi.